概率论总复习
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概率论总复习
一、古典概型和概率空间
实质上，以统计和数据接触未知世界，用统计规律性代替定理。
1.体现概率论的集合化，可能结果数值化，利于量化讨论。
（所以，解题时考虑韦恩图，使复杂公式得以解释）
2.集合变化注意对偶公式（加减乘除样本空间样本点事件）
3.Jornden 公式加法公式
4.变换目的元和接收元
5.t条件概率的性质与应用：全集可为1 加法2 对立性质求并事件的好方法
6.第一次接触独立性独立性的性质
考点：全概率公式和贝叶斯公式
注意的课后题：
3 16 （对几何的性质应熟悉）
二、随机变量及其分布
离散型随机变量的分布律、分布律图像，连续性分布函数、概率密度。
1.两点分布二项分布泊松分步几何分布
2.注意离散型随机变量的分步函数
3.均匀分布指数分布正态函数（分布函数计算性质）
4.概率密度函数：单调公式法（增减性）不单调原始法
5.二项是分布的简化泊松定理
注意的课后题：单调性也是要看区间的
三、多维随机变量
1.二维联合分布必须借助图像
2.联合分布函数与概率密度的关系
3.由概率密度函数与图像求概率
4.一旦微分必成概率密度，边缘分布函数从总的概率密度入手，或趋于无穷。
但密度可微、可积。
5.将二维扩张到均匀分布和正态分布。
正态分布的边缘分布函数。
独立性的充要条件。
6.线性随机向量分布律的求取
7.随机向量只能在面积积分下，先求概率分布，后求概率密度；或用卷积公式的思路。
8.正态分布和二项分布的线性随机向量。
（独立性泊松分布）
9.最大最小向量求取（往往独立）
习题攻略：29：连续型随机变量最大值多维向量新元应注明范围原始法求多维向量的分步图形划分18：将正态分布积分转化成查表17：边缘分布的连续和离散的使用15：体现两个边缘
四、随机变量的数字特征
（数学期望的两种解题方法：定义性质：转化思路空盒下车）
1.离散型随机变量的数学期望：0 1 分布的期望泊松分布的期望二项分布的期望几何分布连续性随机变量：均匀分布指数分布标准正态分布
2.离散型关联变量的数学期望连续性关联变量的数学期望（注意取值范围的合并）
3.离散型随机向量的期望连续性随机向量的期望
4.数学期望的性质：常数性质线性性质独立性
5.方差：随机变量与期望平方的期望
6.方差常用公式并可以反过来求平方的期望
7.常见方差：0-1分布方差（利于变换思路）二项分布泊松分布几何分布（离散）
均匀分布指数分布正态分布
8.方差的性质：归0性类线性性质独立性推论线性性推论独立性
9.绝对值期望的求解
10.切比雪夫不等式（考点待研究）
11.协方差的定义式方差处处式以及如何求两者相乘的期望与相关系数的关系
12.协方差的性质：分割线性性质累积线性性质协方差不可证明独立性的充要
13.协方差和相关系数都是研究量随机变量之间的关系的
14.分析误差可采用类插值法误差分析利用协方差性质（与1的关系）
15.相关性与相关系数的关系
16.相关系数与正态独立的关系
习题攻略：36 切比雪夫不等式34 正态分布中相互独立与相关性等价
五、大数定理和中心极限法则
1.独立同分布的随机变量序列（算术平均算术平均的方差）
2.辛钦大数定理：算术平均值依概率收敛域期望。
3.伯努利大数定理频率依概率收敛于概率。
（大数定理为数理统计的基础为数据挖掘建模依据之一）
4.独立同分布的随机变量之和的标准化随机变量服从标准正态分布（随机变量均值服从正态分布）
5.由中心极限定理将二项分布推置0-1正态分布（n充分大时）（为应试和出题计算给出了可能）
习题攻略：11 找到无关变量的方差和期望
六、样本及抽样分布（数理统计开始）
1.由于样本个体独立同分布，所以样本可视为n维随机向量的几何。
2.已知总体的分布可知样本的联合分布
3.样本均值样本方差（简化式）样本标准差样本k阶原点距样本k阶中心距
4.正态分布随机变量平方和符合卡方分布（卡方分布的概率密度含伽玛分布）
5.卡方性质：可加性期望方差
6.t分布的参数主要依赖卡方分布的n值
7.t分布对称性，可以很好的接近标准正态分布（n值越大）
8.F成比值关系为双卡方分布
9.F分布的概率密度函数与第一第二自由度有关
10.卡方分布的上分位点
11.t分布的上分位点及其对称性推出来的性质
12. F分布的上分位数F分位点的性质（用来求分布表中一些未列出的分位点）
13.标准正态分布的上分位点
14.样本方差的期望为总体方差
15.正态总体样本均值正态总体样本方差正态总体样本均值方差未知
16.正态总体的样本均值差分布符合标准正态分布（已知和未知符合t分布）
17.正态总体样本方差比的分布符合F分布
习题攻略：2：本章全部涵盖：样本中各个独立变量，独立同分布。
4:正态分布的独立性8：样本均值的期望方差样本方差9：不解
七、参数估计
1.中心原点距期望的估计利用均值法：矩估计法
2.二阶矩估计最大似然估计：连乘积每点都要用求导（似然函数）
3.无偏估计，比较方差来验证无偏估计的有效性。
4.置信区间求取：期望对称不对称
问题：为啥方差的无偏估计与矩估计不同？。
