中考最全 最值问题复习题

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．第1题第2题第3题第4题2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ． （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？ （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

题型四几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．第1题图2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD 和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．第2题图3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E 是BC上一动点，若AC＝6，BD＝63，则PC＋PE的最小值为________．第3题图4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．第4题图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点P 是矩形ABCD 内一点，记a ＝S △APB ＋S △CPD ，b ＝P A ＋PB ＋PC ＋PD ，则a ＋b 的最小值为________．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M ，N 分别为BC ，CD 边上的动点，则△AMN 周长的最小值为________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，点D 为边BC 上的动点，点E 为边AB 的中点，连接DE ，DA ，则线段DE ＋DA 的最小值为________．第3题图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22 ，∠A ＝90°，点P 是△ABC 内部一点，且满足S △BCP ＝12S △ABC ，则PB ＋PC 的最小值为________．第4题图5. 如图，二次函数y ＝－23 x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一点，连接PB ，PC ，BC ，则△PBC 的周长最小为________．第5题图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题（2021.9）1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c, 记p ＝a ＋b ＋c 2，则其面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ） .这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p ＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 52. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是BC 上的任意一点(P 与B ，C 不重合)，过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E ，连接AE ，在点P 的运动过程中，线段CE 的最大值为________．第2题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠C ＝120°，点P 是AC 上一动点，PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接AD ，则点P 在运动过程中，△APD 的面积的最大值为________．第3题图4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．第4题图类型四利用“辅助圆”解决最值问题（8年3考：2021.10、17，2020.17）1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝25，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE 折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第1题图2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．第3题图4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝3＋1，P为边AB上一动点，过点P 作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．第5题图题型四 几何最值问题类型一 利用“垂线段最短”解决最值问题 1. 853【解析】如解图，设DE 与AB 交于点O ，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴OB ＝OA ，DE ＝2OD ，∴当OD ⊥AC 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHD ＝∠EDH ＝90°，易知AD ∥BE ，即AC ∥BE ，∴∠EBH ＝90°，∴四边形BHDE 是矩形，∴DE ＝BH ，∵AC ＝BC ＝6，AB ＝8，∴设CH ＝x ，则AH ＝6－x ，∵BA 2－AH 2＝BH 2＝BC 2－CH 2，即82－(6－x )2＝62－x 2，解得x ＝23 ，∴CH ＝23，∴DE ＝BH ＝BC 2－CH 2 ＝853 .∴DE 的最小值为853.第1题解图2. 4 【解析】如解图，作点N 关于DC 的对称点N ′.∵AC ＝BC ，点D 为AB 的中点，∴点N ′在AC 上，连接MN ′，BN ′，∴BM ＋MN ＝BM ＋MN ′≥BN ′，∴当B ，M ，N ′三点共线，且BN ′⊥AC 时，BM ＋MN 取得最小值．∵AC ＝6，S △ABC ＝12，∴△ABC 中AC 边上的高为4，∴BM ＋MN 的最小值是4.第2题解图3. 33 【解析】如解图，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接PE ′，∵四边形ABCD 是菱形，∴BA 与BC 关于BD 对称，∴点E ′位于BA 上，由对称的性质可知，PE ＝PE ′，∴当C ，P ，E ′三点重合，且CE ′⊥BA 时，PC ＋PE 的值最小，即为CE ′的长，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12 AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝33 ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ，∴在Rt △BOC 中，BC ＝BO 2＋CO 2 ＝6，tan ∠BCO ＝BO CO＝3 ，∴∠BCO ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CE ′＝BC ·sin 60°＝33 ，∴PC ＋PE 的最小值为33 .第3题解图 4. 33 【解析】如解图，作点P 关于OA 的对称点P ′，连接OP ′，过点P ′作OB 的垂线交OA 于点M ，交OB 于点N ，此时PM ＋MN 的值最小，最小值为线段P ′N 的长．∵∠AOB ＝35°，∠BOP ＝10°，点P ′与点P 关于OA 对称，∴∠POA ＝∠P ′OA ＝25°，∴∠BOP ′＝60°，OP ′＝OP ＝6，在Rt △P ′ON 中，P ′N ＝OP ′·sin 60°＝6×32＝33 ，∴PM ＋MN 的最小值为33 .第4题解图类型二 利用“两点之间线段最短”解决最值问题1. 44 【解析】如解图，过点P 作EF ⊥AB ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AC ，BD ，则EF ＝AD ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴AC＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10，∴BD ＝AC ＝10，∵S △APB ＋S △CPD ＝12 AB ·PE ＋12 CD ·PF ＝12AB ·EF ＝12×6×8＝24，P A ＋PC ≥AC ，PB ＋PD ≥BD ，∴当A ，P ，C 三点共线，B ，P ，D 三点也共线时，P A ＋PB ＋PC ＋PD 有最小值，最小值为AC ＋BD ＝20，∴a ＋b 的最小值为24＋20＝44.第1题解图2. 27 【解析】如解图，分别作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值，作A ′H ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∴AA ′＝2AB ＝2，AA ″＝2AD ＝4，∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∴在Rt △A ′HA 中，AH ＝12 AA ′＝1，∴A ′H ＝22－12 ＝3 ，A ″H ＝AH ＋AA ″＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝A ′H 2＋A ″H 2 ＝27 ，∴△AMN 的周长最小值为27 .第2题解图3. 43 【解析】如解图，作点E 关于BC 的对称点E ′，连接EE ′，交BC 于点F ，连接DE ′，AE ′，过点E ′作E ′G ⊥AC 交AC 的延长线于点G ，则DE ＝DE ′，EF ＝E ′F ，DE ＋DA ＝DE ′＋DA ≥AE ′，∴当A ，D ，E ′在同一直线上时，DE ＋DA 的值最小，最小值为AE ′的长，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝43 ，∴AC ＝33 BC ＝33×43 ＝4，∵点E 为边AB 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12 AC ＝2，CF ＝12BC ＝23 ，∴E ′F ＝EF ＝2＝CG ，E ′G ＝CF ＝23 ，∴AG ＝AC ＋CG ＝4＋2＝6，∴AE ′＝E ′G 2＋AG 2 ＝（23）2＋62 ＝43 ，∴DE ＋DA 的最小值为43 .第3题解图4. 25 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝22 ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝2，BC ＝4，∵S △BCP ＝12S △ABC ，∴点P 到BC 的距离为1，即点P 在AD 的垂直平分线l 上运动，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接B ′C 交直线l 于点P ′，连接BP ′，B ′P ，则BB ′⊥BC ，BP ′＝B ′P ′，BP ＝B ′P ，∴BP ＋PC ＝B ′P ＋PC ≥B ′C ，当B ′，P ，C 三点共线，即点P 与点P ′重合时，BP ＋PC 的值最小，为B ′C 的长．在Rt △B ′BC 中，BB ′＝2，BC ＝4，∴B ′C ＝BB ′2＋BC 2 ＝25 ，∴PB ＋PC 的最小值为25 .第4题解图5. 13 ＋5 【解析】如解图，连接AC ，AP ，令y ＝0，得x ＝－3或1，∴点A (－3，0)，点B (1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x ＝－1，OA ＝3，OB ＝1，令x ＝0，得y ＝2，∴点C (0，2)，∴OC ＝2，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5 ，AC ＝OA 2＋OC 2 ＝13 ，∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴要使△PBC 的周长最小，则PB ＋PC 最小即可，∵点A 与点B 关于对称轴对称，∴P A ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A ＋PC ≥AC ，∴PB ＋PC 的最小值为AC 的长，∴△PBC 的周长最小值＝AC ＋BC ＝13 ＋5 .第5题解图类型三 利用“二次函数性质”解决最值问题1. C 【解析】∵p ＝5，c ＝4，∴S ＝5（5－a ）（5－b ）（5－4） ＝5（5－a ）（5－b ） ，∵p ＝a ＋b ＋c 2 ，∴a ＋b ＝2p －c ＝6，∴b ＝6－a ，∴S ＝5（5－a ）[5－（6－a ）] ＝5（5－a ）（a －1） ＝－5（a －3）2＋20 ，∵－5＜0，∴当a ＝3时，S 有最大值为20 ＝25 .2. 98【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵AP ⊥PE ，∴∠APB ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠PEC ＝90°，∴∠APB ＝∠PEC ，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB PC ＝BP CE，设BP ＝x ，CE ＝y ，则PC ＝3－x ，即23－x ＝x y，∴y ＝－12 x 2＋32 x ＝－12 (x －32 )2＋98 ，∵－12 ＜0，∴当x ＝32 时，y 有最大值，最大值是98 ，∴线段CE 的最大值为98 . 3. 3 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，设AP ＝x ，则CP ＝4－x ，∵AC ＝BC ，∠C ＝120°，∴∠BAC ＝∠B ＝30°，AE ＝BE ，∴CE ＝12AC ＝2，PF ＝12 AP ＝12x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得AE ＝42－22 ＝23 ，∴AB ＝2AE ＝43 ，∵PD ∥AB ，∴△PCD ∽△ACB ，∴PC AC ＝PD AB ，∴4－x 4 ＝PD 43，解得PD ＝3 (4－x )，∴S △APD ＝12 PD ·PF ＝12 ×3 (4－x )×12 x ＝－34 (x －2)2＋3 ，∵－34<0，∴当x ＝2时，S △APD 有最大值，最大值为3 .第3题解图4. (1)1 【解析】∵点E 为AB 的中点，AE ＝CF ，∴点F 为CD 的中点，∴EF ＝FG ＝4，此时F ，D ，G 三点共线，∴DG ＝FG －FD ＝1； (2)255 【解析】如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点G 作IG ⊥CD 于点I ，则∠EHF ＝∠GIF ＝90°，由题意可知∠EFG ＝90°，EF ＝GF ，∴∠EFH ＋∠EFI ＝∠EFI ＋∠GFI ＝90°，∴∠EFH ＝∠GFI ，∴△EFH ≌△GFI (AAS)，∴EH ＝GI ，设AE ＝a ，①当0＜a ＜3时，如解图①，GI ＝EH ＝6－2a ，ID ＝FD －FI ＝FD －FH ＝6－a －4＝2－a ，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(2－a )2＋(6－2a )2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145 )2＋45 ，∵5＞0，∴当a ＝145 时，DG 2取最小值45，∴DG ＝255；②当3≤a ＜6时，如解图②，GI ＝EH ＝2a －6，ID ＝FI －FD ＝FH －AE ＋EH ＝4－a ＋2a －6＝a －2，∴DG 2＝ID 2＋IG 2＝(a －2)2＋(2a －6)2＝5a 2－28a ＋40＝5(a －145)2＋45 ，∵5＞0，3≤a ＜6，∴当a ＝3时，DG 2取最小值1，∴DG ＝1，∵1＞255，∴DG 的最小值为255.第4题解图类型四 利用“辅助圆”解决最值问题1. 2 【解析】如解图，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，过点B 作弧的切线交CD 于点G ，切点为F ，此时点E 和点G 重合，DG 的最大值即为DE 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝25 ，AB ＝CD ＝6，由折叠的性质可知，DE ＝EF ，AF ＝AD ＝25 ，设DE ＝EF ＝x ，则CE ＝CD －DE ＝6－x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝AB 2－AF 2 ＝4，则BE ＝BF ＋EF ＝4＋x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2＋BC 2，即(4＋x )2＝(6－x )2＋(25 )2 ，解得x ＝2，即DG 的最大值为2.第1题解图 2. 5 －1 【解析】如解图，取CD 的中点O ，连接BO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠EBC ＝∠FCD ＝90°，∵AE ＝BF ，∴AE ＋BE ＝BF ＋CF ，∴BE ＝CF ，∴△EBC ≌△FCD (SAS)，∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE ＋∠DCE ＝∠BCD ＝90°，∴∠CDF ＋∠ECD ＝90°，∴∠CMD ＝90°，当点E ，F 分别在AB 和BC 上移动时，点M 在以CD 的中点O 为圆心，OC 长为半径的半圆上运动，要使BM 取得最小值，则需点B ，M ，O 在同一条直线上．∵AB ＝2，∴CO ＝1，∴BO ＝5 ，∴此时BM ＝5 －1，即BM 的最小值为5 －1.第2题解图3. 9 【解析】如解图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则S △ABP ＝12AB ·PH ＝5PH ，∴当PH 最小时，△ABP 的面积最小．∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝6.∴EF＝AC ＝6.连接CP ，则CP ＝12EF ＝3.∴点P 在以点C 为圆心，3为半径的圆弧上，过点C 作CH ′⊥AB 于点H ′，交⊙C 于点P ′，∵P ′H ′＝CH ′－CP ′＝CH ′－CP ≤CP ＋PH －CP ＝PH ，∴当点P 与点P ′重合，点H 与点H ′重合时，PH 最小，最小值为P ′H ′的长．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12 AB ·CH ′，∴CH ′＝AC ·BC AB ＝245 ，∴P ′H ′＝CH ′－CP ′＝245 －3＝95 ，∴PH 的最小值是95 ，此时S △ABP ＝5PH ＝9，即△ABP 面积的最小值为9.第3题解图4. 27 －2 【解析】如解图，过点E 作EH ∥AD ，交AC 于点H ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝6，由旋转的性质得AD ＝AB ，∴AD ＝AC ，∴∠D ＝∠ACD ，∵DE ＝2CE ，∴CE CD ＝CH CA ＝13 ，∠CEH ＝∠D ＝∠ACD ，∴CH ＝EH ，∵AC ＝6，∴CH ＝EH ＝2，取AH 的中点P ，连接EP ，则PH ＝EH ，∴∠EPH ＝∠PEH ，∵∠EPH ＋∠CEP ＋∠ACD ＝180°，∴2∠PEH ＋2∠CEH ＝180°，∴∠CEP ＝90°，∴点E 在以点H 为圆心，CP 为直径的圆弧上运动，连接BH ，∵EH 为定值2，∴当B ，E ，H 三点共线时，BE 的长最小，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则CQ ＝12AC ＝3，∴QH ＝CQ －CH ＝1，BQ ＝BC 2－CQ 2 ＝62－32 ＝33 ，∴BH ＝BQ 2＋QH 2 ＝（33）2＋12 ＝27 ，∴BE 的最小值为27 －2.第4题解图5. 32＋64【解析】如解图，连接CP ，∵∠PDC ＝∠PEC ＝90°，∴∠PDC ＋∠PEC ＝180°，∴C ，D ，P ，E 四点共圆，圆心为点O ，且直径为CP ，∵BC ＝3 ＋1，∠ACB ＝45°，∠B ＝60°是定值，∴直径CP 最小时，∠DCE 所对的弦DE 最小，即CP ⊥AB 时，DE 的值最小，连接OD ，OE ，∵∠B ＝60°，CP ⊥AB ，BC ＝3 ＋1，∴∠BCP ＝30°，∴BP ＝12BC ＝3＋12 ，CP ＝3 BP ＝3＋32 ，∴OD ＝OE ＝12 CP ＝3＋34，∵∠ACB ＝45°，∴∠DOE ＝2∠ACB ＝90°，∴△ODE 是等腰直角三角形，∴DE ＝2 OD ＝32＋64，即DE 的最小值为32＋64.第5题解图。

牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。

中考数学专题复最值问题费马点学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．33 2B ．23 3C ．33 3D ．43 3评卷人 得分二、填空题 2．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA ＋MD ＋ME 的最小值为______．3．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，42MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________4．如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为22，则BC＝_____．5．如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．评卷人得分三、解答题6．如图，∠ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求2253BP AP PC++最小值7．如图，在∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是∠ABC内一点，求P A＋PB＋PC的最小值．8．【问题提出】（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM ，CM ．若连接MN ，则BMN △的形状是________．（2）如图2，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC +=，求BC 的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD ，6AB BC +=千米，60ABC ∠=︒，公园内有一个儿童游乐场E ，分别从A 、B 、C 向游乐场E 修三条,,AE BE CE ，求三条路的长度和（即AE BE CE ++）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．9．在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=22； （1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ； ∠把图形补充完整（无需写画法）； ∠求2EF 的取值范围； (2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．10．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的正半轴上，30ODB∠=︒，OE为∠BOD的中线，过B、E两点的抛物线236y ax x c=++与x 轴相交于A、F两点（A在F的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边∠OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为∠ABO内的一个动点，设m PA PB PO=++，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.11．背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC内部，当120APB APC CPB∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC++取得最小值．(1)如图2，等边ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP △绕顶点A 旋转到ACP '△处，此时ACP ABP '≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠=_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，ABC 三个内角均小于120°，在ABC 外侧作等边三角形ABB '，连接CB '，求证：CB '过ABC 的费马点．(3)如图4，在RT ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点P 为ABC 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．参考答案：1．D【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图，∠将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∠BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∠∠BFG是等边三角形．∠BF=BG=FG，．∠AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∠当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF∠BC交CB的延长线于F，∠∠EBF=180°-120°=60°，∠BC=4，∠BF=2，EF=23，在Rt△EFC中，∠EF2+FC2=EC2，∠EC=43．∠∠CBE=120°，∠∠BEF=30°，∠∠EBF=∠ABG=30°，∠EF=BF=FG，∠EF=13CE=433，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．2．4+33【解析】【分析】【详解】【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边∠ADF、等边∠AMG，连接FG，易证∠AMD∠∠AGF，∠MD＝GF∠ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF过F作FH∠BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．3．229【解析】【分析】如图，将∠MOG绕点M逆时针旋转60°，得到∠MPQ，易知∠MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA∠NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.【详解】如图，将∠MOG绕点M逆时针旋转60°，得到∠MPQ，显然∠MOP为等边三角形，∠，OM＋OG＝OP＋PQ，∠点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∠当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA∠NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，∠∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∠MQ＝MG＝42，∠AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，∠NQ＝2222AN AQ+=++=，(46)4229故答案为229.【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.4．62-【解析】【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∠AB=AC，AH∠BC，∠∠BAP=∠CAP，∠PA=PA，∠∠BAP∠∠CAP（SAS），∠PC=PB，∠MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∠∠GAP是等边三角形，∠PA=PG，∠PA+PB+PC=CP+PG+GM，∠当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∠AP+BP+CP的最小值为22，∠CM=22，∠∠BAM=60°，∠BAC=30°，∠∠MAC=90°，∠AM=AC=2，作BN∠AC于N．则BN=12AB=1，AN=3，CN=2-3，∠BC=2222=1(23)=62BN CN++--．故答案为62．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题5．63【解析】【分析】以BM为边作等边∠BMN，以BC为边作等边∠BCE，如图，则∠BCM∠∠BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH∠AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．【详解】以BM为边作等边∠BMN，以BC为边作等边∠BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∠∠MBC=∠NBE，∠∠BCM∠∠BEN，∠CM=NE，∠AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∠AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∠BH∠AE，AH=EH，∠BAH=30°，∠BH=1AB=3，2AH=3BH=33，∠AE=2AH=63．故答案为63．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．6．36【解析】【分析】将∠APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到∠A P 'C '，将∠A P 'C '扩大324倍，得到∠AP C ''''，当点B 、P 、P ''、C ''在同一直线上时，2253BP AP PC ++=()''''''22PB PP P C ++最短，利用勾股定理求出BC ''即可．【详解】解：如图，将∠APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到∠A P 'C '，将∠A P 'C '扩大，相似比为324倍，得到∠AP C ''''，则32=4AP AP '''，32=4P C P C ''''''，32=4AC AC '''， 过点P 作PE ∠A P ''于E ，∠AE=22PE AP =， ∠P ''E=A P ''-AE=24AP ， ∠P P ''=22104PE P E AP ''+=， 当点B 、P 、P ''、C ''在同一直线上时，2253BP AP PC ++=()''''''22PB PP P C ++最短，此时()''''''22PB PP P C ++=B C ''，∠∠BA C ''=∠BAC +∠CA C ''=90°，AB =6，3232==43244AC AC '''⨯=，∠2222=6(32)36BC AB AC ''''+=+=．【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．7．22+62 【解析】【分析】以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接BN ．根据△PAM 、△ABN 都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN ；根据当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA=CB ，NA=NB 可得CN 垂直平分AB ，进而求得PA+PB+PC 的最小值．【详解】证明：如图所示，以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接BN ．由旋转可得，△AMN∠∠ABP ，∠MN=BP ，PA=AM ，∠PAM=60°=∠BAN ，AB=AN ，∠∠PAM 、△ABN 都是等边三角形，∠PA=PM ，∠PA+PB+PC=PM+MN+PC ； （3）当AC=BC=1时，AB=22，当C 、P 、M 、N 四点共线时，由CA=CB ，NA=NB 可得CN 垂直平分AB ，∠AQ=12AB=22=CQ ，NQ=62， 此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=22+628．（1）等边三角形；（2）BC 的最小值为52；（3）平行四边形公园ABCD 的面积为932（平方米）．【解析】【分析】（1）由旋转得BN =BM ，∠MBN =60°，可判断出△BMN 是等边三角形即可；（2）设AB =a ，则AC=10-a ，进而根据勾股定理得出()222550BC a =-+即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E ，C 在同一条线上，设BF =x ，进而依次得出AB =2x ，BC =6-2x ，CF =6-x ，再利用勾股定理得出223'4()272A C x =-+，得出x =32是A'C 最小，进而求出A'F ，BC ，利用平行四边形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：BMN △的形状是等边三角形，理由如下;由旋转知，BN =BM ，∠MBN =60°∠△BMN 为等边三角形故答案为：等边三角形；（2）解：设AB=a，∠AB+AC=10，∠AC=10-AB=10a-，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，()2222210BC AB AC a a=+=+-2220100a a=-+()22550a=-+，∠()250a-≥，∠()2255050a-+≥，即250BC≥，∠52BC≥，即BC的最小值为52；（3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∠∠ABE∠∠A'BE'，∠∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，∠∠EBE'为等边三角形，∠∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∠AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，过点A'作A'F∠CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，设BF=x，则A'B=2x，根据勾股定理得，A'F=3x，∠AB=A'B，∠AB =2x ，∠AB +BC =6，∠BC =6-AB =6-2x ，∠CF =BF +BC =6-x ，在Rt △A'FC 中，根据勾股定理得，2222223''3(6)4()272A C A F CF x x x =+=+-=-+， ∠当x =32，即AB =2x =3时，2'A C 最小， 此时，BC =6-3=3，A'F =3332x =， ∠平行四边形公园ABCD 的面积为3393322⨯=（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB =BC 时，AE +BE +CE 最小是解本题的关键．9．（1）∠补图见解析；∠2816EF ≤≤；（2）232+【解析】【分析】（1）∠根据要求画出图形即可；∠首先证明∠ECF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，在Rt∠ECF 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将∠ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到∠AFG ，连接EG ，DF ．作FH∠AD 于H ．根据两点之间线段最短可得DF≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，推出AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长；【详解】（1）∠如图∠DCF 即为所求；∠∠四边形ABCD是正方形，∠BC＝AB＝22，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∠AC＝22AB BC＝2AB＝4，∠∠ADE绕点D逆时针旋转90°得到∠DCF，∠∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∠∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∠y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，∠2＞0，∠x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∠8≤EF2≤16．（2）如图中，将∠ABE绕点A顺时针旋转60°得到∠AFG，连接EG，DF．作FH∠AD于H．由旋转的性质可知，∠AEG是等边三角形，∠AE＝EG，∠DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∠AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．在Rt∠AFH中，∠FAH＝30°，AB＝22=AF，∠FH ＝12AF ＝2，AH ＝22AF FH -＝6， 在Rt∠DFH 中，DF ＝()2222(226)2FH DH +=++＝232+，∠BE ＋AE ＋ED 的最小值为232+．【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．(1)213 226y x x =-++ (2) 13AE = ；71313AM =或51313AM = （3）m 可以取到的最小值为13．当m 取得最小值时，线段AP 的长为51313【解析】【分析】 （1）已知点B 的坐标，可求出OB 的长；在Rt △OBD 中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD 的长，也就得到了点D 的坐标；由于E 是线段BD 的中点，根据B 、D 的坐标即可得到E 点的坐标；将B 、E 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；（2）过E 作EG∠x 轴于G ，根据A 、E 的坐标，即可用勾股定理求得AE 的长；过O 作AE 的垂线，设垂足为K ，易证得△AOK∠∠AEG ，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK 的长；在Rt △OMK 中，通过解直角三角形，即可求得MK 的值，而AK 的长可在Rt △AOK 中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM 或AM=AK+KM 即可求得AM 的长； （3）由于点P 到△ABO 三顶点的距离和最短，那么点P 是△ABO 的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE 是等边三角形，那么PA+PO+PB 的最小值应为AE 的长；求AP 的长时，可作△OBE 的外接圆（设此圆为∠Q ），那么∠Q 与AE 的交点即为m 取最小值时P 点的位置；设∠Q 与x 轴的另一交点（O 点除外）为H ，易求得点Q 的坐标，即可得到点H 的坐标，也就得到了AH 的长，相对于∠Q 来说，AE 、AH 都是∠Q 的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP 的长．【详解】（1）过E 作EG∠OD 于G∠∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D ，∠∠BOD∠∠EGD ，∠点B （0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD ＝23；∠E 为BD 中点，∠EG DE GD BO DB OD ===12∠EG=1，GD ＝3∠OG ＝3∠点E 的坐标为(3，1)∠抛物线236y ax x c =++经过()0,2B 、()3,1E 两点， ∠()2313326a =+⨯+. 可得12a =-. ∠抛物线的解析式为213226y x x =-++. （2）∠抛物线与x 轴相交于A 、F ，A 在F 的左侧，∠A 点的坐标为()3,0-.过E 作EG∠x 轴于G∠23,1AG EG ==,∠在△AGE 中，90AGE ∠=︒, ()2223113AE =+=. 过点O 作OK ∠AE 于K ，可得△AOK ∠∠AEG ．∠OK EG AO AE=． ∠1313OK =． ∠39.13OK = ∠2261313AK AO OK =-=.∠∠OMN是等边三角形,∠60NMO∠=︒．∠391313tan133OKKMKMO===∠．∠71313AM AK KM=+=,或51313AM AK KM=-=（3）如图；以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；∠OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∠∠AOE∠∠B′OB；∠∠B′BO=∠AEO；∠∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∠∠POP'=60°，∠∠POP′为等边三角形，∠OP=PP′，∠PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=13如图；作正△OBE的外接圆∠Q，根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∠∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（33，1），则H（233，0）；∠AH=533；由割线定理得：AP•AE=OA•AH，即：AP=OA•AH÷AE=3×533÷13=51313故：m可以取到的最小值为13．当m取得最小值时，线段AP的长为513 13【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．11．(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)62+．【解析】【分析】（1）根据旋转性质得出ABP△∠ACP'△，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP =AP′=3，BP=CP′=4，根据∠ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证∠APP′为等边三角形，PP′=AP =3，∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可； （2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ∠△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠P AP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ∠∠AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC =2222213AB AC -=-=，可求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C =()2222327BC BB '+=+=即可； （4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ∠AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ∠△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF =112122BB '=⨯=，勾股定理BF =2222213BB B F ''-=-=，可求AF =AB +BF =2+3，再根据勾股定理AB′=()222223162AF B F '+=++=+即可． (1)解：连结PP′，∠ABP △∠ACP '△，∠∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，∠∠ABC 为等边三角形，∠∠BAC =60°∠∠P AP ′=∠P AC +∠CAP ′=∠P AC +∠BAP =60°，∠∠APP′为等边三角形，,∠PP′=AP =3，∠AP′P =60°，在△P′PC 中，PC =5，222223425PP P C PC ''+=+==，∠∠PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，∠∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，∠∠APB =∠AP′C =150°，故答案为150°；(2)证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∠∠APB ∠△AB′P′，∠AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，∠∠P AP′=∠BAB′=60°，∠∠APP′和△ABB′均为等边三角形，∠PP′=AP ，∠PA PB PC PP P B PC '''++=++，∠点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∠点P 在CB′上，∠CB '过ABC 的费马点．(3)解：将∠APB 逆时针旋转60°，得到∠AP′B′，连结BB′，PP′，∠∠APB ∠∠AP′B′，∠AP′=AP ，AB′=AB ，∠∠P AP′=∠BAB′=60°，∠∠APP′和∠ABB′均为等边三角形，∠PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，∠PA PB PC PP P B PC '''++=++∠点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∠90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，∠AB =2AC =2，根据勾股定理BC =2222213AB AC -=-=∠BB′=AB =2，∠∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，∠在Rt∠CBB′中，B′C =()2222327BC BB '+=+= ∠PA PB PC ++最小=CB′=7；(4)解：将∠BCE 逆时针旋转60°得到∠CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ∠AB ，交AB 延长线于F ，∠∠BCE ∠∠CE′B′，∠BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，∠∠ECE′=∠BCB′=60°，∠∠ECE′与∠BCB′均为等边三角形，∠EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，∠AE BE CE AE EE E B '''++=++，∠点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′， ∠四边形ABCD 为正方形，∠AB =BC =2，∠ABC =90°，∠∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∠B′F ∠AF ，∠BF =112122BB '=⨯=，BF =2222213BB B F ''-=-=， ∠AF =AB +BF =2+3，∠AB′=()222223162AF B F '+=++=+，∠AE BE CE ++最小=AB′=62+．【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．。

最值问题一、与绝对值有关的最值问题例1(2004，南昌)：先阅读下面材料，然后解答问题。

在一条直线上有依次排列的n台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：(1)如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之合等于A1到A2的距离。

(2)如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站高在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D 的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置，试回答：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。

二、由不等关系确定的最值问题例2：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价为4500元，现将这50吨原料全部加工完。

（1）设其中粗加工吨，获利元，求与的函数关系式。

（不要求写自变量的范围）（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才通报获得最大利润？最大利润是多少？三、由相等关系确定的最值问题例3：已知：a、b、c均为实数，且满足a+b+c=2, abc=4求a、b、c中最大者的最小值四、由垂线段确定的最值问题例4：台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观察,距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东300方向向C移动,且台风中心风力不变,若城市受到的风力达到或超过四级,则称受台风影响.(1) 该城市是否会受到这次台风的影响?为什么?.(2) 若受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3) 该城市受到台风影响的最大风力为几级？五、由完全平方公式确定的最值问题例5：设为x实数，代数式x2+4x-5的最小值为。

2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题一、单选题1．已知2()=++≠的对称轴为直线230y ax bx ax=，与x轴的其中一个交点为(1,0)，该x的取值范围，下列说法正确的是（）函数在14A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值1-，有最大值3C．有最小值3-，有最大值4 D．有最小值1-，有最大值42．若二次函数24＝＋＋的最小值是3，则a的值是（）y ax x aA．4 B．－1或3 C．3 D．4或－13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5C．当x＝1时，y有最大值5D．该函数的图象与坐标轴有两个交点4．函数2(0)=++≠的图象如图所示，则该函数的最小值是（）y ax bx c aA．1-B．0C．1D．25．在关于n 的函数2=+中，n 为自然数．当n =9 时，S< 0；当n =10 时，S an bnS > 0．则当S 取值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．代数式22 5-+的最小值为（）a aA．2 B．3 C．4 D．57．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣38．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（ ）A ．2500元B ．2000元C ．1800元D ．2200元二、填空题9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，16AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值是_________10．已知二次函数242y x x =-+，当13x -≤≤时，y 的取值范围内是_______． 11．已知抛物线22(1)1y x =-+，当03x 时，y 的最小值是 __，y 的最大值是 __． 12．当02x ≤≤时，22y x x a =++有最小值为4，则a 为 _____．13．某商品的销售利润y 与销售单价x 的关系为y ＝﹣21(50)10x -+2650，则当单价定价为每件____元时，可获得最大利润____元．14．已知二次函数223y x x =-+的图象经过点()11A x y ， 和点()122B x y +，，则12y y +的最小值是________．15．设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）不论a 为何值，该抛物线必经过一定点 _____；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．16．如图是二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =－1，下列判断：①b －2a =0；②4a －2b ＋c ＜0；③abc ＞0；④当x =0和x =－2时，函数值相等； ⑤3a ＋c ＜0；⑥a －b ＞m （ma ＋b ）；⑦若自变量x 的取值范围是－3＜x ＜2，则函数值y ＞0．其中正确的序号是________．三、解答题17．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求用x表示S的函数解析式，并写出x的取值范围．(2)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？18．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．20．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．(1)求每个水果礼盒的成本（成本=水果成本+盒子成本）；(2)若每个礼盒的售价是a元(a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；(3)若每个礼盒的售价不超过m元(m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．参考答案：1．B2．A3．C4．A5．C6．C7．A8．C9．3210．27y -≤≤11． 1 912．413． 50 265014．615． （-1，0） 216．①③④⑥17．(1)S 2+(0＜x ≤8)(2)18．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)219．(1)y =40x +160；(2)这种水果每千克降价9元；(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．20．(1)40元(2)2=-+-23008800w a a(3)当75m时，每天的最大利润为2450元；当7075<<时，每天的最大利润为m2-+-m m23008800。

中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。

⎭ ⎝⎝ ⎝ 4 4 6 4 ⎭ 初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求－4答案： 32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c= 252b , 求a 的最小值？ 答案：42.a 的值？b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。

252b=6×6×7 b ， × 即 b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛ -1 ⎫第一个数： - 1+ ⎪2 ⎝ 2 ⎭1 ⎛ －1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫第二个数： - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪3 ⎝ 2 ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭1 ⎛ -1 ⎫⎛ (-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫⎛ (-1)4 ⎫⎛ (-1)5 ⎫第三个数： - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪1+ ⎪1+ ⎪4 ⎝ 2 ⎭⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭……第 n 个数：1⎛ -1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫ ⎛ (-1)2n -1 ⎫ - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪…… 1+ ⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭ ⎝2n ⎪ ；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？答案：第 10 个。

解析：第n 个数是 1- n2(n +1), 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。

4、已知： 20n 是整数，求满足条件的 最小整正数n 的值？答案：5解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为54、当（m+n ）²+1 取最小值时，求m 2 - n 2 + 2 m - 2 n 的值？答案：0解析：（m+n ）²+1 取最小值，m+n=0 时最小。

（一）定值问题1、如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）2. 以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△A EF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)22、如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1．（1）求l 1的解析式；（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4、如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学专题复最值问题胡不归学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD＋PC的最小值是（）A．4B．2＋22C．22D．32223+2．如图，在ABC∆中，90A∠=︒，60B∠=︒，2AB=，若D是BC边上的动点，则2AD DC+的最小值（）A．236+B．6C．33+D．4评卷人得分二、填空题3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则32AP PC的最小值是______．5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P 在x轴上运动，则2PC＋PB的最小值为___．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE ＋CE的最小值为___．7．如图，∠ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则∠ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则∠DEF的周长最小值为_．8．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝2．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为___．9．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为_____．10．如图，∠ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.11．如图，ABC中，10AB AC==，tan2A=，BE AC⊥于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CD BD+的最小值是__________．12．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E,，且tan ∠EBA=43，有一只蚂蚁从A 出发,先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是________s评卷人 得分三、解答题 13．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，P A +PC 的值最小？求此时P A +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF 上一点，当514AQ CQ -+取最小值时，求∠QAC 的正弦值．14．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt∠BEF绕点B 旋转，BE＝BF＝10，连接AE，CF．(1)求证：∠ABE∠∠CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示∠BCF的面积）(3)如图3，当Rt∠BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G 时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足2MP+PG的值最小时，求MP的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求∠ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋22OP的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 13:33y x =+和直线l 2相交于y 轴上的点B ，分别交x 轴于A 、C 且∠OBC ＝30度．（1）求直线l 2的解析式；（2）点E 坐标为（5，0），点F 为直线l 1上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF ＋CF 最小时，点F 的坐标，并求出此时22PF OP +的最小值．17．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(23,4)，一次函数33yx b 的图象与边OC 、AB 、x 轴分别交于点D 、E 、F ，30DFO ∠=，并且满足OD BE =，点M 是线段DF 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标；（3）求12OM MF +的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB＋PD的最小值．19．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD1+2OD的最小值．20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．∠过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF∠PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求∠BCF的面积的最大值；∠连接PB，求35PC＋PB的最小值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a=>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B 的左侧)，1OA=，经过点A的一次函数()0y kx b k=+≠的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．22．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠过点(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，=3OC．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM BC⊥，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC∆面积最大时，求点P的坐标；(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：12AQ QC+是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值HF +FP +1/3PC 取得小值时，把点P 向上平移个22单位得到点Q ，连结AQ ，把∠AOQ 绕点O 瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到∠AOQ ，其中边AQ 交坐标轴于点C 在旋转过程中，是否存在一点G 使得''Q Q OG ∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（∠）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（∠）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（∠）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为3324时，求b 的值．25．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-1x-6交y轴与点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF∠x轴交AC于点F，2交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）∠在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；∠在∠的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为∠E上一动点，求12AM+CM的最小值.26．如图，已知抛物线()()248k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与ｙ轴交于点C ，经过点B 的直线33yx b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少．参考答案：1．A【解析】【分析】过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．根据()22222PD PC PD PC PD PJ⎛⎫+=+=+⎪⎪⎝⎭，求出DP PJ+的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．∠二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∠c＝﹣3，∠二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠A（﹣1，0），B（0，-3），∠OB＝OC＝3，∠∠BOC＝90°，∠∠OBC＝∠OCB＝45°，∠D（0，1），∠OD＝1，BD＝4，∠DH∠BC，∠∠DHB＝90°，设DH x=，则BH x=,∠222DH BH BD+=，∠2224x x+=，∠22x=，∠22DH ＝，∠PJ ∠CB ，∠90PJC ∠︒＝，∠22PJ PC ＝， ∠()22222PD PC PD PC PD PJ ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∠DP PJ DH +≥，∠22DP PJ +≥，∠DP +PJ 的最小值为22，∠2PD PC +的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．B【解析】【分析】作点A 关于BC 的对称点A'，连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E ，易得2DE = CD ，AD= A'D ，从而得出AD+ DE = A'D+ DE ，当A'，D, E 在同一直线上时，AD + DE 的最小值等于A' E 的长是3，进而求出2AD 十CD 的最小值．【详解】如图所示，作点A 关于BC 的对称点A',连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E∠∠BAC = 90o ，∠B = 60o ，AB= 2∠BH=1,AH=3,AA'=23，∠C= 30o∠DE =12CD,即2DE = CD∠A 与A'关于BC 对称∠AD= A'D∠AD+ DE = A'D+ DE∠当A'，D, E 在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt∠AA' E中：A' E= sin60o×AA'=32×23= 3∠AD十DE的最小值为3∠2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．3．5【解析】【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证∠GDI∠∠CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt∠DEF中，G是EF的中点，∠DG＝122EF ，∠点G 在以D 为圆心，2为半径的圆上运动，在CD 上截取DI ＝1，连接GI ，∠DI DG ＝DG CD＝12， ∠∠GDI ＝∠CDG ，∠∠GDI ∠∠CDG ，∠IG DI CG DG=＝12， ∠IG ＝12CG ， ∠BG +12CG ＝BG +IG ≥BI ， ∠当B 、G 、I 共线时，BG +12CG 最小＝BI ， 在Rt∠BCI 中，CI ＝3，BC ＝4，∠BI ＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G 的运动轨迹是解题的关键．4．3332+##3332+ 【解析】【分析】作∠OCE =120°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG =32PC ；当A 、P 、G 在同一直线时，AP +32PC = AP +PG = AG 的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：∠点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∠OA =3，OC =3，作∠OCE =120°，∠∠OCB =60°，则∠OCB =∠BCE =∠FCE =60°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∠CG=12PC，由勾股定理得PG=32PC，∠AP+32PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∠∠FCG=60°，∠CGF=90°，∠∠CFG=30°，∠CF=2CG，GF=32CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OF A=30°，∠AF=2OA=6，OF=333OA=，∠CF=OF-OC=333-，∠GF=32(333-)=93322-，∠AG=AF-FG=93333362222-+=+，即AP+32PC的最小值为33322+．故答案为：3332+．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+32PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．5．4【解析】【分析】【详解】思路引领：过P作PD∠AB于D，依据∠AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到∠BDP是等腰直角三角形，故PD22=PB，当C，P，D在同一直线上时，CD∠AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD∠AB于D，∠直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∠A（0，﹣3），B（3，0），∠AO＝BO＝3，又∠∠AOB＝90°，∠∠AOB是等腰直角三角形，∠∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∠∠BDP是等腰直角三角形，∠PD22=PB，∠2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD∠AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，∠ACD是等腰直角三角形，又∠点C（0，1）在y轴上，∠AC ＝1+3＝4，∠CD 22=AC ＝22， 即PC +PD 的最小值为22，∠2PC +PB 的最小值为222⨯=4，故答案为：4．6．3【解析】【分析】【详解】思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ．易证ET 12=AE ，推出12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题． 答案详解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝90°，∠tan∠CAB 33CB AB ==， ∠∠CAB ＝30°，∠AC ＝2BC ＝23，在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ． ∠ET ∠AM ，∠EAT ＝30°，∠ET12=AE，∠∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∠CH＝AC•sin6°＝2332⨯=3，∠12AE+EC＝CE+ET≥CH，∠12AE+EC≥3，∠12AE+EC的最小值为3，故答案为3．7．6+23326+【解析】【分析】（1）过点A作AH∠BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到（2）过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长，然后证明∠BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可.【详解】解：∠如图，过点A作AH∠BC于H．∠∠AHB=∠AHC=90°，∠∠BAC＝75°，∠C＝60°，∠∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°∠BH=AH，122HC AC==∠2223AH AC HC=-=∠AH＝BH＝23，∠BC＝BH+CH＝23+2，∠S△ABC＝12•BC•AH＝12•（23+2）3＝6+23．∠如图，过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长．∠BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∠∠MBN＝2∠ABC＝90°，∠∠BMN是等腰直角三角形，∠BM的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，∠21243==334ABCSBJAC+=+△,∠MN的最小值为2BJ＝326+，∠∠DEF的周长的最小值为326+．故答案为：6+23，326+．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．5【解析】【分析】连接AC 、AQ ，先证明∠BCP ∠∠ACQ 得22AQ BP =即AQ ＝2，在AD 上取AE ＝1，证明∠QAE ∠∠DAQ 得EQ ＝12QD ，故12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，求出CE 即可． 【详解】解：如图，连接AC 、AQ ，∠四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∠∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∠∠BCP ＝∠ACQ ，cos∠ACB ＝22BC AC =，cos∠PCQ ＝22PC QC =， ∠∠ACB =∠PCO ，∠∠BCP ∠∠ACQ ，∠22AQ BP = ∠BP ＝2，∠AQ ＝2，∠Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1，∠12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∠∠QAE ∠∠DAQ ，∠12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∠12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ，∠225CE DE CD =+=，∠12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.9．43【解析】【分析】如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【详解】解：如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H．∠四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∠∠DBC＝12∠ABC＝30°，∠MH∠BC，∠∠BHM＝90°，∠MH＝12BM，∠AM+12BM＝AM+MH，∠AT∠BC，∠∠ATB＝90°，∠AT＝AB•sin60°＝43，∠AM+MH≥AT，∠AM+MH≥43，∠AM+1BM≥43，2BM的最小值为43，∠AM+12故答案为：43．【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．10．6【解析】【分析】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E AB∠CD，推出PE=12三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12 AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠CD，∠∠EDC=∠DAB＝30°，PD，∠PE=12PD）=2(PB+PE)，∠2PB+ PD=2（PB+12∠当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∠∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∠PB+PE的最小值=1AB=3，2∠2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD 转化为三点共线的形式是解题的关键.11．45【解析】【分析】过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ，首先通过勾股定理及tan 2A =求出AE,BE 的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM BE =，然后通过锐角三角函数得出55DH BD =，进而可得出55CD BD CD DH +=+，最后利用CD DH CM +即可求值．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ．∠BE AC ⊥，∠90AEB =︒∠，∠tan 2BE A AE==， 设AE a =，2BE a =，222AB AE BE =+∠221004a a =+，∠220a =，∠25a =或25-（舍弃），∠245BE a ==，∠AB AC =，BE AC ⊥，CM AB ⊥，∠45CM BE ==（等腰三角形两腰上的高相等）∠DBH ABE ∠=∠，BHD BEA ∠=∠，∠5sin 5DH AE DBH BD AB ∠===， ∠55DH BD =， ∠55CD BD CD DH +=+，∠CD DH CM +，∠5455CD BD +， ∠55CD BD +的最小值为45, 故答案为：45．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．12．649【解析】【详解】过点E 作EF ∠AB ，过点A 作AH ∠EF 于点H ，交EF 于点D ，易知A （-1，0），B （3，0），又4tan 3EBA ∠=，则4:43BE l y x =-+，所以E （73-，649）， 因为EF ∠AB ，所以∠DEH =∠ABE ，所以4tan 3DEH ∠=，则4sin 5DH DEH DE ∠==，故1.25DE DH =. 蚂蚁从A 到H 所用的时间t =1 1.25AD DE +=1AD DH AD DH AH +=+=. 因为AH =649，所以t 的最小值是649.点晴：本题是一个求最小时间的胡不归问题，解题的关键是化12v DE v =DH ，一般的以目的地E 为角的顶点，以12sin v BEF v ∠=构造直角三角形，得到直角边EF ，再过A 作AH ∠EF 交BE 于点D ，则可解决问题. 13．(1)直线AD 是∠ABC 的自相似分割线；(2)当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)∠QAC 的正弦值为514+ 【解析】【分析】（1）根据定义证明∠DBA ∠∠ABC 即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得PA PC PB PC BC +=+≥，当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小，设BD x =，则1BC x =+ 根据DBA ABC ∽，列出方程，解方程求解即可求得BD ，进而即可求得BC 的长，即PA PC +最小值；（3）过点A 作AH BC ⊥于点H ，过点Q 作QG BC ⊥于点G ，连接AG ，设CF 与AD 交于点M ，根据已知条件求得514GQ CQ -=，进而转化为514AQ CQ AQ GQ -+=+，则当Q 点落在AG 上时，点G 与点H 重合，此时514AQ CQ -+的值最小，最小值为AH ，进而根据sin sin CH QAC HAC AC ∠=∠=求解即可． (1)∠∠ABC 中，AB =AC =1，∠BAC = 108°∠∠B =∠C =12（180°-∠BAC ）= 36° ∠DE 垂直平分AB∠AD = BD∠∠B =∠BAD = 36°∠∠C =∠BAD又∠∠B =∠B∠∠DBA ∠∠ABC∠直线AD 是∠ABC 的自相似分割线．(2)如图，连接PB ，AD ，DE 垂直平分AB ，PA PB ∴=PA PC PB PC BC ∴+=+≥ 当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小， 72ADC B BAD ∠=∠+∠=︒，72DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒ ADC DAC ∴∠=∠1CD CA ∴==设BD x =，则1BC x =+ DBA ABC ∽ BD AB AB BC∴= 111x x ∴=+ 210x x ∴+-=解得：152x -±=0x x ∴=152-+ 5112BC x +∴=+= ∴P A +PC =512+ ∴当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)如图，过点A作AH BC⊥于点H，过点Q作QG BC⊥于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，AB AC=，15124CH BC+∴==由（2）知，1DC AC==CF平分ACB∠CM AD∴⊥15124DM AM AD-===sinGQMCDCQ∴∠=514DMCD-==514GQ CQ-∴=514AQ CQ AQ GQ AG-∴+=+≥AG AH≥Q∴点落在AG上时，点G与点H重合，即此时514AQ CQ-+的值最小，最小值为AHQAC HAC∴∠=∠,AB AC AH BC=⊥15124CH BC+∴==51sin sin4CHQAC HACAC+∴∠=∠==∴∠QAC的正弦值为514+【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．14．(1)见解析(2)2或6(3)1152- 【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABE ∠∠CBF ；（2）由“SSS ”可证∠ADE ∠∠ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ∠CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∠∠ABE ＝∠CBF ，又∠BE ＝BF ，AB ＝BC ，在∠ABE 和∠CBF 中， AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CBF （SAS ）；(2)解：如图2，过点E 作EH ∠AB 于H ，∠∠ABE∠∠CBF，∠S△ABE＝S△CBF，∠AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∠∠ADE∠∠ABE（SSS），∠∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EH∠AB，∠∠EAB＝∠AEH＝45°，∠AH＝EH，∠BE2＝BH2+EH2，∠10＝EH2+（4﹣EH）2，∠EH＝1或3，当EH＝1时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×1＝2，当EH＝3时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×3＝6，∠S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK∠AE于K，由（1）同理可得∠ABE∠∠CBF，∠∠EAB＝∠BCF，∠∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠AGC＝90°，∠∠AGC＝∠ADC＝90°，∠点A，点G，点C，点D四点共圆，∠∠ACD＝∠AGD＝45°，∠PK∠AG，∠∠PGK＝∠GPK＝45°，∠PK＝GK＝22PG，∠MP+22PG＝MP+PK，∠当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+22PG值最小，即2 MP+PG最小，如图4，过点B作BQ∠CF于Q，∠BE＝BF＝10，∠EBF＝90°，BQ∠EF，∠EF＝25，BQ＝EQ＝FQ＝5，∠CQ＝2216511BC BQ-=-=，∠CE＝CQ﹣EQ＝115-，∠MK∠AE，CE∠AE，∠MK∠CE，∠DM MPDC CE=，又∠M是CD的中点，∠DC＝2DM，∠MP＝12CE＝1152-．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．15．（1）S△ABC=23；（2）点F坐标为（1，433）；PF＋22OP的最小值为26232+．【解析】【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣3x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得∠ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG∠l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG=22OP，可得FG为PF＋22OP的最小值，过点F作FQ∠x轴，交l3于Q，可得∠FGQ为等腰直角三角形，可得FG=22FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．【详解】（1）∠l1：y＝33x＋3，∠当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，∠A（-3，0），B（0，3），∠点B直线l2：y＝﹣3x＋b上，∠b=3，∠直线l2的解析式为y＝﹣3x＋3，∠当y=0时，x=1，∠C（1，0），∠AC=4，OB=3，∠S△ABC=12AC OB⋅=1432⨯⨯=23．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∠A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∠AB2=（-3）2+（3）2=12，BC2=12+（3）2=4，AC2=42=16，∠AC 2=AB 2+BC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠点C ′在直线l 2上，∠点C 与点C ′关于直线l 1的对称，∠CC ′=2BC =4，设点C ′（m ，﹣3m ＋3，）∠（m -1）2+（﹣3m ＋3）2=42，解得：m 1=-1，m 2=3，∠点C ′在第二象限，∠m =-1，∠﹣3m ＋3=23，∠FC=FC′，∠EF ＋CF =EF+FC′，∠当C ′、F 、E 三点共线时EF ＋CF 的值最小，设直线C ′E 的解析式为y =kx +b ，∠2350k b k b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠直线C ′E 的解析式为35333y x =-+， 联立直线C ′E 与l 1解析式得35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：1433x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∠F （1，433）． 如图，作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ∠l 3于G ，交y 轴于P ，过点F 作FQ ∠x 轴，交l 3于Q ，∠直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∠∠GOP是等腰直角三角形，∠PG=22OP，∠G、P、F三点共线时，PF＋22OP的值最小，最小值为FG的长，∠∠GOP=45°，∠POE=90°，∠∠EOQ=45°，∠∠FQO=45°，∠∠FGQ是等腰直角三角形，∠FG=22FQ，∠F（1，433），直线l3的解析式为y=-x，∠Q（1，-1），∠FQ=433-（-1）=433+1，∠FG=22FQ=22×（433+1）=26232+，∠PF＋22OP的最小值为26232+．【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．16．（1）33y x=-+；（2）F（1，433），PF+22OP的最小值为22623+；【解析】【分析】（1）求出B（0，3），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K∠y轴交K点，易证△C'KB∠∠COB（AAS），则C'的纵坐标为23，即可求C'（-1，23），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+22OP的值最小，过F作FG∠x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，∠B（0，3），∠OB=3，∠∠OBC=30°，∠OC=BO•tan30°=3×313=，∠C（1，0），设直线l2的解析式为y=kx+b，则3bk b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∠33kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∠直线l2的解析式为33y x=-+；（2）令y=0，则3303x+=，∠x=-3，∠A（-3，0），∠OA=3，∠tan∠ABO=333AOBO==，∠∠ABO=60°，∠∠ABC=90°，∠C点关于直线l1的对称点C'在l2上，如图1，过点C '作C 'K ∠y 轴交K 点，∠∠KBC '=∠CBO ，∠C 'KB =∠BOC ，BC =BC '，∠∠C 'KB ∠∠COB （AAS ），∠BK =BO =3，∠C '的纵坐标为23，∠3323x -+=，∠x =-1，∠C '（-1，23），连接C 'E 交l 1于F ，∠EF +CF =EF +C 'F ≥C 'E ，∠当C '、E 、F 三点共线时，EF +CF 的值最小为C 'E ，设直线C 'E 的解析式为y =kx +b ，∠E （5，0），C '（-1，23），则5023k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， ∠33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠35333y x =-+，∠35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得x =1，∠F （1，433）， 作第二、四象限的角平分线l 3，，过点F 作FQ ∠l 3，，交y 轴于点P ，交l 3，于点Q ， 在Rt △PQO 中，∠POQ =45°，∠22OP PQ =， ∠PF +22OP =PF +PQ ≥FQ ， 当P 、F 、Q 三点共线时，PF +22OP 的值最小， 过F 作FG ∠x 轴交l 3，于点G ，∠∠FQG 为等腰直角三角形，∠FQ =22FG ， ∠l 3，的解析式为y =-x ，∠G （1，-1），∠FG =1+433， ∠FQ =22+263， ∠PF +22OP 的最小值为22+263． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将22PF OP 转化为求FQ 的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．17．（1）3b =；（2）237(,)33M ；（3）92 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，用b 表示点E 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形OAED 的面积，再根据条件求出ODM △的面积，即可解决问题；（3）过点M 作MN x ⊥轴交于点N ，则12OM MF OM MN +=+，即可转化为求OM MN +的最小值，作点O 关于一次函数的对称点O '，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，交一次函数于点M ，即OM MN +的最小值为O N ''，算出长度即可．【详解】（1）在33y x b 中，令0x =，则y b =， ∴点D 的坐标为(0,)b ，OD BE =，(23,4)B ，(23,4)E b ∴-，把(23,4)E b -代入33yx b 中得：34233b b -=-⨯+， 解得：3b =； （2）由（1）得一次函数为333y x =-+，(0,3)D ，(23,1)E ， 3OD ∴=，1AE =，23=OA ，11=()(31)234322OADE S OD AE OA ∴+⋅=⨯+⨯=四边形， ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3， ODM 的面积与四边形OADE 的面积之比为1:4，134ODM OADE S S ∴==四边形， 设点M 的横坐标为a ，则1332a ⨯=， 解得：233a =， 把233x =代入333y x =-+中得：73y =， 237(,)33M ∴； （3）如图所示，过点M 作MN x ⊥轴交于点N ， 30DFO ∠=，12MN MF ∴=， 12OM MF OM MN ∴+=+，作点O 关于一次函数的对称点O '，且OO’与直线DF 交于Q 点，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，OM O M '∴=，12OM MF OM MN O M MN '∴+=+=+，当O '、M 、N 在同一直线时O M MN '+最小，即12OM MF OM MN O M MN '+=+=+的最小值为O N ''，30DFO ∠=︒，60ODF ∴∠=︒，30DOQ ∠=︒，903060O ON ''∠=︒-︒=︒，在Rt ODQ 中，333sin 60322OQ OD =⋅︒=⨯=， 233OO OQ ∴=='，在Rt ON O ''中．39sin 603322O N OO =︒='⨯=''， 12OM MF ∴+的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 18．（1）y =32（x 12-）2938-，（12，938-）；（2）（12，72）或（12，72-）或（12，153+2-）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）334【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．答案详解：（1）由题意03420a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得 32323a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩，∠抛物线解析式为y 32=x 232-x 3-， ∠y 32=x 232-x 332-=（x 12-）2938-，∠顶点坐标（12，938-）； （2）设点M 的坐标为（12，y ）．∠A （﹣1，0），B （0，3-）， ∠AB 2＝1+3＝4．∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ， 则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝±72，即此时点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ， 则（12）2+（y 3+）2＝4，解得y 1532=-+或y 1532=--，即此时点M 的坐标为（12，1532-+）或（12，1532--）；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ， 则（12+1）2+y 2＝（12）2+（y 3+）2，解得y 36=-，即此时点M 的坐标为（12，36-）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）或（12，1532-+）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）如图，连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∠OA ＝1，OB 3=，∠tan∠ABO 33OA OB ==， ∠∠ABO ＝30°， ∠PH 12=PB ， ∠12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ， ∠此时12PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt∠ADH 中，∠∠AHD ＝90°，AD 32=，∠HAD ＝60°， ∠sin60°DHAD=， ∠DH 334=， ∠12PB +PD 的最小值为334． 19．3 【解析】 【分析】【详解】思路引领：(胡不归经典)作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM的长，答案详解：如图，作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，∠CD ′12=OD ′ 所以当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∠在Rt∠OCM 中，∠OMC ＝30°，OM ＝2 ∠OC ＝1， ∠CM 3=．答：MD 12+OD 的最小值为3．20．（1）241620999x x -++；（2）∠32；∠245【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）∠先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；∠根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ∠AC 于G ，可得PG35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解． 答案详解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∠抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∠D （2，0）， 又∠43CDtan CBD DB∠==， ∠CD ＝BD •tan∠CBD ＝4， 即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5）， 解得 49a =-，∠二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++； （2）∠设P （2，t ），其中0＜t ＜4， 设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∠0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩，， 解得 4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∠点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， ∠221244t EF t t t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∠∠BCF 的面积12=⨯EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∠当t ＝2时，∠BCF 的面积最大，且最大值为32；∠如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∠35AD sin ACD AC ∠==， 过点P 作PG ∠AC 于G ，则在Rt∠PCG 中，35PG PC sin ACD PC =⋅∠=，∠35PC PB PG PB +=+， 过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ， ∠线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∠11641222ABCSAB CD =⨯⨯=⨯⨯=， 又∠1522ABCSAC BH BH =⨯⨯=， ∠5122BH =， 即245BH =， ∠35PC PB +的最小值为245．21．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.【解析】 【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点()1,0A -代入可求得a 的值，由ABD ∆的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)作EMy 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S ∆∆∆=-构建关。