高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)

专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______． 解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ． 因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)． 习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。

专题20 坐标系与参数方程1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．知识点一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 知识点二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．知识点三、参数方程 (1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．高频考点一 坐标系与极坐标例1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】(1)由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【变式探究】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 【变式探究】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线310x y -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】由ρ＝2cos θ得x 2＋y 2－2x ＝0. ∴(x －1)2＋y 2＝1，圆的两条垂直于x 轴的切线方程为x ＝0和x ＝2. 故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.【答案】B高频考点二 参数方程例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；(2)7．【解析】(1)因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=． (2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【变式探究】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 的距离取到最小值5. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】(I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=(II)1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.(Ⅰ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a (舍去)，1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．【解析】直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．【答案】(2，π)【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【解析】∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.【答案】A1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩(t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点(1，0)到直线l的距离65d ==，故选D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；(2)7．【解析】(1)因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．(2)π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】(1)由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离． 【答案】(1)5；(2)2．【解析】(1)设极点为O ．在△OAB 中，A (3，4π)，B (2，2π)， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=． (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=， 则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=． 1. (2018年全国I 卷理数)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的直角坐标方程；(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【答案】 (1)． (2)的方程为．【解析】 (1)由，得的直角坐标方程为 ．(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆． 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．2. (2018年全国Ⅰ卷理数)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).(1)求和的直角坐标方程；(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】(1)当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．(2)【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. (2018年全国Ⅰ卷理数)在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点．(1)求的取值范围；(2)求中点的轨迹的参数方程．【答案】(1)(2)为参数，【解析】(1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．(2)的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．4. (2018年江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为． 1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 2. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为___________.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211AC r -=-=.3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. (1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到la. 【答案】(1)C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430{ 19x y x y +-=+=解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d=16a =-.综上， 8a =或16a =-.【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 的距离取到最小值5. 1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB = 2.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. (I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】(I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=(II)1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.(Ⅰ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a (舍去)，1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(Ⅰ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】(Ⅰ)212cos 110ρρθ++=；(Ⅰ)3±. 【解析】(I)由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= (II)在(I)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||10AB =得2315cos,tan 8αα==±， 所以l 的斜率为153或153-. 4. 【2016高考新课标3理数】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=(I)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(II)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；(Ⅰ)31(,)22． 【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (Ⅰ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2sin()2|32d ααπαα+-==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，2，此时P 的直角坐标为31(,)22.。

2014年高三数学二轮复习第21讲 坐标系与参数方程1．[2011·新课标全国卷改编] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数) ①，M 是曲线C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，则P 点轨迹的参数方程是________．⇒ 直角坐标系中的伸缩变换关键词：伸缩变换、坐标变换，如①.2．[2012·江西卷] 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程②为________．⇒ 直角坐标、极坐标互化关键词：直角坐标、极坐标、互化公式，如②.3．[2012·上海卷] 如图9－21－1所示，在极坐标系中，过点M (2，0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f （θ）的形式③，则f (θ)＝________.图9－21－1 ⇒ 曲线的极坐标方程关键词：极坐标系、直线的极坐标方程、曲线的极坐标方程，如③.4．[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数) ④过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． ⇒ 直线的参数方程关键词：直线方程、参数，如④.5．[2013·陕西卷] 如图9－21－2所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程⑤为________．⇒ 曲线的参数方程关键词：曲线、参数方程，如⑤.6．[2012·北京卷] 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点 ⑥个数为________．⇒ 参数方程化为普通方程关键词：参数方程、普通方程、相互转化，如⑥.► 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标、极坐标化为直角坐标．考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例1 已知圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆C 1，C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．小结：在解决以极坐标的形式给出的直线、曲线的综合问题时，把它们化为直角坐标方程后使用直角坐标方法解决是一种重要解题思路．► 考向二 简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用．考例：2009年T23、2010年T23、2013年卷ⅡT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例2 已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求直线C 1与曲线C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作直线C 1的垂线，垂足为点A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．小结：求以参数形式给出的两条曲线的交点坐标时，一般把它们化为普通方程．求曲线的参数方程就是使用一个参数表达动点的坐标．注意运用三角函数的知识化曲线参数方程为普通方程．► 考向三 极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查是坐标系与参数方程试题的基本考查方式． 考例：2011年T23、2012年T23、2013年卷ⅠT23，近五年新课标全国卷共考查了3次．例3在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值． 小结：曲线的极坐标方程、参数方程在解决一些与距离有关的问题时显得非常的方便．在求曲线上的点到点的距离、点到直线的距离的最值问题中使用参数方程更为有效．变式题 在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．[变换与运算]1．数学中绝大多数内容实质就是变换，把问题从一个方面变换为另一个方面，达到便于解决问题的目的，这也是化归与转化思想的体现．2．坐标之间的变换涉及的内容很广泛，其中直角坐标与极坐标互化、参数方程与普通方程互化就是两个重要内容．在解决解析几何问题时，有时直角坐标方程显得方便，有时极坐标方程、参数方程显得方便．在进行运算时能够根据不同的问题选用合理的方程是运算能力的表现．示例 设圆C 的极坐标方程为ρ＝2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C 上的一点M (m ，s )作垂直于x 轴的直线l ：x ＝m ，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ→＝OM →＋ON →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)设点R (1，0)，求|RQ→|的最小值．小结：本题(2)是求椭圆上的点到一个定点的距离的最值问题，使用普通方程的方法也能解决，但使用椭圆的参数方程问题就归结为三角函数的最值问题，解决起来相对方便．踪练 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．[备选理由] 下面两题均是参数方程与极坐标方程的综合，这是高考考查该考点的主要形式，可在本讲结束时选用．例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t ，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．例2 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．。

极坐标与参数方程
类型一:含参---距离---韦达定理与三角函数型 例1：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标
系．已知曲线1cos sin C ρθθ=-：
，曲线212:2
x y t C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．
（1）求曲线1C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与曲线2C 相交于P 、Q 两点，求PQ 的值．
练习题：在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ
=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，0,3πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为2,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，半径为2，直线l 与圆C 相交于M ，N 两点． （I ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）求当
的取值范围．
类型二：含参----最值----点到直线距离型
类型三：含参----最值----三角函数型
例3：在极坐标系中，曲线():2cos 0C a a ρθ=>，3:cos 32l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，C 与l 有且仅有
一个公共点．
(Ⅰ)求a ；
(Ⅱ) O 为极点,A 、B 为C 上的两点，且AOB ∠=OA OB +
类型四：不含参----点到直线距离型
例4：以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+
（1）求直线l 和C 的普通方程
（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求弦AB 的长。

1．(2016·北京，11，易)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．1．[考向2]【解析】 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得直线和圆的普通方程分别为x －3y －1＝0，(x －1)2＋y 2＝1.由于该直线过圆心(1，0)，圆的半径r ＝1，故|AB |＝2r ＝2. 【答案】 22．(2015·广东，14，易)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．2．[考向1，2]【解析】 ∵2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4－cos θsin π4 ＝2(ρsin θ－ρcos θ)＝2， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，∴y －x ＝1.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4化为直角坐标为(2，－2)，∴点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2＋1|2＝522.【答案】5223．(2015·安徽，12，易)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．3．[考向2]【解析】 ∵ρ＝8sin θ， ∴ρ2＝8ρsin θ.∴x 2＋y 2＝8y ，即(y －4)2＋x 2＝16. ∵θ＝π3，∴直线方程为y ＝3x ， ∴圆心(0，4)到直线的距离d ＝43＋1＝2， ∴圆上点到直线的最大距离为2＋4＝6. 【答案】 64．(2013·天津，11，易)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.4．[考向1，2]【解析】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，对应的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，可得点P 的直角坐标为(2，23)，∴|CP |＝（2－2）2＋（23－0）2＝2 3. 【答案】 2 35．(2014·重庆，15，易)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________． 5．[考向2]【解析】 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2)，故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.【答案】 56．(2013·课标Ⅰ，23，10分，中)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．6．[考向1，2]解：(1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 联立C 1，C 2的方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.极坐标与直角坐标的互化在高考中经常出现，在课标卷中题型为解答题，难度为中低档．在复习中要弄清极轴、极角、极坐标等相关概念，其中掌握极坐标和直角坐标互化的公式是解题的关键．1(2015·课标Ⅰ，23，10分)在直角坐标系xOy 中，直线C1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【解析】 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.题(1)可直接将公式代入将直角坐标方程化为极坐标方程；题(2)可将θ＝π4代入C 2的极坐标方程求出极径，再求出|MN |，最后得三角形的面积．(2016·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．极坐标与直角坐标互化的方法(1)将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)即可．在[0，2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．(2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．注意：极坐标下点的坐标表示不唯一．曲线的极坐标方程在高考中经常考查，主要有以下几个命题角度： (1)求曲线的极坐标方程； (2)在极坐标下求点到直线的距离； (3)在极坐标下求线段的长度． 题型多为解答题，属中低档题．2(2014·辽宁，23，10分)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴。

坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x (x ≠0).1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2α－44 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 条件探究：若直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，l 与C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋ ρ＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－ ，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝ 圆C 的半径为5，△CMN 的面积为 .2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．考向二：参数方程1、［2017•全国Ⅰ，22］在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，（－2125，2425）.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y xx +=≠-；l 的直角坐标方程为2110x+=；（2． 【解析】（1）解法一：，221111t t--<≤+，，，，2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.解法二:因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．3、［2018•全国Ⅲ，22］在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)解析一：⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈（π4，π2）或α∈（π2，3π4）.综上α的取值范围是（π4，3π4）.解析二：设l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，代入⊙O 的直角坐标方程得t 2－22t sin α＋1＝0.直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，所以 ，， α的取值范围是（π4，3π4）.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4.条件探究：点 (0，－2)，过点M 的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，若，求直线l 的方程。

第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎨⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． (2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t 得y 2＝8x .② 联立①②得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 2分将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，8分解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. 10分已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，2分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 4分 (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，8分 解得－25≤a ≤2 5. 10分[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，4分 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3. 10分已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【导学号：66482486】[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. 4分(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 8分 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255. 10分[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 2分 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数). 4分。

专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。

O x极坐标与参数方程1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M的极坐标，记为M),(θρ. 极坐标),(θρ与)Zk)(2k,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O的坐标为)R)(,0(∈θθ.3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

(1)极坐标系问题：①极坐标与直角坐标的互化：互化公式(i)cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，互化公式(ii)tanyxρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，如(i)将sin(4ρθπ=+化为直角坐标方程为2222x y y x+=+，(ii)将()6θρπ=∈R化为直角坐标方程为3y x=，(iii)将21x y+=化为极坐标方程为cos2sin1ρθρθ+=，(iv)将2y x=化为极坐标方程为2sin cosρθθ=，②直线、圆的极坐标方程：(i)直线的极坐标方程：(ii)圆的极坐标方程：cos()tθ为参数)为参数tan()y b x aθ-=-22)r=(2)参数方程问题：①直线的参数方程与普通方程注意：直线参数方程t的几何意义其中t表示直线l上以定点(,)P a b为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段MP的数量，t的几何意义是直线上点M到P的距离.此时,若t>0,则MP的方向向上;若t<0,则MP的方向向下;若t=0,则点P与点M重合.由此，易得参数t具有如下的性质：若直线l上两点A、B所对应的参数分别为BAtt,，则性质一：A、B两点之间的距离为||||BAttAB-=，特别地，A、B两点到M的距离分别为.|||,|BAtt性质二：A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt+，若M是线段AB的中点，则0=+BAtt，反之亦然。

参数方程• 曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系 xOy ，把坐标 x ，y 表示为第三个变量 t 的函数{x =f (t )y =g (t )a ⩽t ⩽b. ② 如果对于 t 的每一个值（a ⩽t ⩽b ），② 式所确定的点 M (x,y ) 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点 M (x,y )，都可由 t 的某个值通过 ② 式得到，则称 ② 式为该曲线的参数方程，其中变量 t 称为参数． • 直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是 {x =x 0+lty =y 0+mt ,t ∈R ．• 圆的参数方程若圆心在点 M 0(x 0,y 0)，半径为 R ，则圆的参数方程为 {x =x 0+Rcosθy =y 0+Rsinθ,0⩽θ⩽2π．• 椭圆的参数方程设椭圆的普通方程为 x 2a +y 2b=1，则椭圆的参数方程为 {x =acosty =bsint 0⩽t ⩽2π.若椭圆的中心不在原点，而在点 M 0(x 0,y 0)，相应的椭圆的参数方程为{x =x 0+acost y =y 0+bsint,0⩽<t ⩽2π.• 抛物线的参数方程设抛物线的普通方程为 y 2=2px ，则抛物线的参数方程为 {x =2pt 2y =2pt．• 双曲线的参数方程设双曲线的普通方程为 x 2a2−y 2b 2=1，则双曲线的参数方程为 {x =asecθy =btanθ．• 摆线的参数方程一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点 M 的轨迹称为摆线．如下图，设半径为 a 的圆在 x 轴上滚动，开始时定点 M 在原点 O 处．取圆滚动时转过的角度 t （以弧度为单位）为参数．当圆滚过 t 角时，圆心为 B ，圆与 x 轴的切点为 A ，定点 M 的位置如图所示，∠ABM =t设动点 M 的坐标为 (x,y )，则所得摆线的参数方程为{x =a (t −sint )y =a (1−cost )极坐标与极坐标方程• 极坐标系在平面上取一个定点 O ，由 O 点出发的一条射线 Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画．这两个数组成的有序数对 (ρ,θ) 称为点 M 的极坐标．ρ 称为极径，θ 称为极角．在极坐标系 (ρ,θ) 中，一般限定 ρ⩾0．当 ρ=0 时，就与极点重合，此时 θ 不确定．给定点的极坐标 (ρ,θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种表示形式．事实上，(ρ,θ) 和 (ρ,θ+2kπ) 代表同一个点，其中 k 为整数．可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定 ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系．若 ρ<0，此时极坐标 (ρ,θ) 对应的点 M 的位置按下面规则确定：点 M 在与极轴成 θ 角的射线的反向延长线上，它到极点 O 的距离为 ∣ρ∣，即规定当 ρ<0 时，点 M (ρ,θ) 就是点 M (−ρ,θ+π)．• 极坐标与直角坐标的关系设 M 为平面上的一点，它的直角坐标系为 (x,y )，极坐标为 (ρ,θ)． 则有 {x =ρcosθy =ρsinθ 或 {ρ2=x 2+y 2tanθ=yx(x ≠0)，ρ<0 也成立． • 曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F (ρ,θ)=0．如果曲线 C 是由极坐标 (ρ,θ) 满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 F (ρ,θ)=0 为曲线 C 的极坐标方程． 圆心在极轴上的点 (a,0) 处，且过极点的圆，其极坐标方程是 ρ=2acosθ,−π2⩽θ⩽π2；圆心在点 (a,π2) 处且过极点的圆，其极坐标方程是 ρ=2asinθ，0⩽θ⩽π．精选例题坐标系与参数方程1. 圆 C:{x =1+cosθ,y =sinθ（θ 为参数）的圆心到直线 l:{x =−2√2+3t,y =1−3t （t 为参数）的距离为 ．【答案】 22. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 l 过点 (1,0) 且与直线 θ=π3(ρ∈R ) 垂直，则直线 l 极坐标方程为 ．【答案】 ρcosθ+√3ρsinθ=13. 在极坐标系中，过点 M (√2,π4) 的直线 l 与极轴的夹角 α=π3，l 的极坐标方程为 ．【答案】 √3ρcosθ−ρsinθ−√3+1=0【分析】 依题意得直线 l 的斜率为 √3，其直角坐标方程是 y −1=√3(x −1)，即 √3x +y −√3+1=0， 其极坐标方程为 √3ρcosθ−ρsinθ−√3+1=0．4. 在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为 A (2,π3),B (4,2π3)，则直线 AB 的直角坐标方程为 ．【答案】 x +√3y −4=0【分析】 两点的极坐标为 A (2,π3)，B (4,2π3)， 化为直角坐标 A(1,√3)，B(−2,2√3)． 斜率 k =2√3−√3−2−1=−√33． 所以直线 AB 的直角坐标方程为 y −√3=−√33(x −1)，化为 x +√3y −4=0．5. 点 (2,3) 经过伸缩变换 {2xʹ=x,yʹ=3y 后得到点的坐标为 ．【答案】 (1,9)【分析】 由伸缩变换公式 {2xʹ=x,yʹ=3y 得 {xʹ=12x =1,yʹ=3y =9.6. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为x 225+y 216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，以椭圆 C 的左焦点为圆心，且过椭圆中心的圆的极坐标方程为 ．【答案】 ρ=−6cosθ7. 在同一平面直角坐标系中，将曲线 x 2−36y 2−8x +12=0 变成曲线 xʹ2−yʹ2−4xʹ+3=0，则满足条件的伸缩变换是 ．【答案】 {xʹ=x2,yʹ=3y【分析】 x 2−36y 2−8x +12=0 可化为 (x−42)2−9y 2=1. ① xʹ2−yʹ2−4xʹ+3=0 可化为 (xʹ−2)2−yʹ2=1. ②比较①②，可得 {xʹ−2=x−42,yʹ=3y即{xʹ=x2,yʹ=3y.8. 极坐标方程分别为 ρ=2cosθ 和 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距为 ．【答案】 √529. 在极坐标系中，直线 l:ρcosθ=12与曲线 C:ρ=2cosθ 相交于 A ，B 两点，O 为极点．则∠AOB 的大小是 ．【答案】 2π310. 将椭圆x 225+y 29=1 按 φ：{xʹ=15x,yʹ=13y变换后的曲线围成图形的面积为 ．【答案】 π【分析】 设椭圆x 225+y 29=1 上任意一点的坐标为 P (x,y )，按 φ 变换后的对应的坐标为Pʹ(xʹ,yʹ)，由 φ:{xʹ=x5,yʹ=y 3得 {x =5xʹ,y =3yʹ 带入椭圆方程得 xʹ2+yʹ2=1，为单位圆，面积为 π．11. 直线 x −y +1=0 与直线 3x −y −1=0 交于点 P ，与曲线 C {x =5cosθ,y =3sinθ 交于点 A ，B ，求 ∣PA ∣ 与 ∣PB ∣ 的乘积．【解】 联立两条直线的方程，得{x −y +1=0,3x −y −1=0,故点 P 坐标为 (1,2)，直线 PA 的倾斜角为 π4， 故直线 PA 的参数方程为 {x =1+√22t,y =2+√22t.由曲线 C 的参数方程得其普通方程为 x 225+y 29=1．把 PA 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，有 9(1+√22t)2+25(2+√22t)2=225，即 17t 2+59√2t −116=0，则 t A t B =−11617．故 ∣PA ∣∣PB ∣=11617．12. 建立极坐标系证明：已知半圆直径 ∣AB∣=2r （r >0），半圆外一条直线 l 与 AB 所在直线垂直相交于点 T ，并且 ∣AT∣=2a (2a <r2)．若半圆上相异两点 M ，N 到 l 的距离 ∣MP ∣，∣NQ∣∣ 满足 ∣MP∣:∣MA∣=∣NQ∣∣:∣NA∣=1，则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣．【解】 以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为 ρ=2rcosθ． 设 M (ρ1,θ1)，N (ρ2,θ2)，则 ρ1=2rcosθ1，ρ2=2rcosθ2，又 ∣MP∣=2a +ρ1cosθ1=2a +2rcos 2θ1，∣NQ∣∣=2a +ρ2cosθ2=2a +2rcos 2θ2，所以 ∣MP∣=2a +2rcos 2θ1=2rcosθ1，所以 ∣NQ∣∣=2a +2rcos 2θ2=2rcosθ2， 所以 cosθ1，cosθ2 是方程 rcos 2θ−rcosθ+a =0 的两个根，由韦达定理得 cosθ1+cosθ2=1，所以 ∣MA∣+∣NA∣=2rcosθ+2rcosθ2=2r =∣AB∣．13. 已知椭圆x 24+y 23=1，过左焦点 F 的直线 l 交此椭圆于 A ，B 两点，y A >y B ，且 ∣FA ∣=2∣FB ∣，求直线 l 的方程及 ∣AB ∣ 的长．【解】 解法一：由椭圆 x 24+y 23=1 可得椭圆的左焦点 F 的坐标为 (−1,0)，则 设直线 AB 的参数方程为 {x =−1+tcosα,y =tsinα,α 为直线 AB 的倾斜角．又点 A ，B 在椭圆上，故 t A ，t B 满足 3(−1+tcosα)2+4(tsinα)2=12，即 (3cos 2α+4sin 2α)t 2−6tcosα−9=0．则 t A +t B =6cosα3cos 2α+4sin 2α，t A t B =−93cos 2α+4sin 2α． 因为 ∣FA ∣=2∣FB ∣， 所以 t A =−2t B ，所以 −t B =6cosα3cos 2α+4sin 2α，−2t B 2=−93cos 2α+4sin 2α，2(6cosα3cos 2α+4sin 2α)2=93cos 2α+4sin 2α， 即 8cos 2α=3cos 2α+4sin 2α， 则 tan 2α=54．因为 y A >y B 且 ∣FA ∣=2∣FB ∣，故直线 l 的方程为 y =√52(x +1)．线段 AB 长度的计算见解法二．解法二：以椭圆的左焦点 F 为极点，以 x 轴的正方向为极轴建立极坐标系，则 椭圆x 24+y 23=1 对应的极坐标方程为 ρ=32−cosθ．依题意，设 A ，B 两点的极坐标分别为 (ρA ,θ)，(ρB ,π+θ)，则 0<θ<π2，ρA =2ρB ． 32−cosθ=62+cosθ． 则 cosθ=23．所以 tanθ=√52，ρA =32−23=94，ρB =32+23=98．故 ∣AB ∣=ρA +ρB =278，直线 l 的方程为 y =√52(x +1)．14. 设抛物线 y 2=2px 过顶点的两弦 OP 1，OP 2 互相垂直，求以 OP 1，OP 2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程．【解】 设抛物线 y 2=2px 的参数方程为 {x =2pt 2,y =2pt.则 P 1，P 2 两点的坐标分别设 (2pm 2,2pm )，(2pn 2,2pn )．因为 OP 1，OP 2 互相垂直，故 mn =−1．以 OP 1 为直径的圆的方程为 x (x −2pm 2)+y (y −2pm )=0，即 x 2−2pxm 2+y 2−2pym =0．以 OP 2 为直径的圆的方程为 x (x −2pn 2)+y (y −2pn )=0，即 x 2−2pxn 2+y 2−2pyn =0．设以 OP 1，OP 2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的坐标为 (x 0,y 0)，则其满足x 02−2px 0m 2+y 02−2py 0m =0，x 02−2px 0n 2+y 02−2py 0n =0，故 m ，n 是方程 x 02−2px 0x 2+y 02−2py 0x =0 的两个根． 由根与系数的关系，得 mn =x 02+y 02−2px 0=−1．故所求动点 Q 的轨迹方程为 x 2+y 2−2px =0(x ≠0)．15. 在极坐标中，已知圆 C 经过点 P(√2,π4) ，圆心为直线 ρsin(θ−π3)=−√32与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．【解】 在 ρsin(θ−π3)=−√32中，令 θ=0 ，得 ρ=1 ，所以圆 C 的圆心坐标为 (1，0) ．因为圆 C 经过点 P(√2，π4) ，所以圆 C 的半径PC =√(√2)2+12−2×1×√2cosπ4=1, 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ ．16. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．(1)当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；【解】 当 α=π3 时，C 1 的普通方程为 y =√3(x −1), C 2 的普通方程为 x 2+y 2=1.联立方程组{x 2+y 2=1,y =√3(x −1),解得 C 1 与 C 2 的交点为(1,0) 和 (12,−√32).(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 当 α≠kπ2,k ∈Z 时，C 1 的普通方程为y =(x −1)tanα,设 P (x,y )，则 A (2x,2y )，根据 A 在 C 1 上及 OA 垂直于 C 1 得{2y =(2x −1)tanα,2y 2x =−1tanα, 消去 tanα 并整理，得 P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.当 α=kπ2,k ∈Z 时，仍适合上述方程．故 P 点是圆心为 (14,0)，半径为 14的圆．17. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 1:x 2+y 2=4，圆 C 2:(x −2)2+y 2=4．(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1 、 C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1，C 2 的交点坐标（用极坐标表示）；【解】 圆 C 1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C 2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.解方程组{ρ=2,ρ=4cosθ,得ρ=2,θ=±π3,故圆 C 1 与圆 C 2 交点的坐标为 (2,π3),(2,−π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．【解】 解法一：由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得圆 C 1 与 C 2 交点的直角坐标分别为(1,√3),(1,−√3).故圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 {x =1,y =t.其中 −√3⩽t ⩽√3.解法二：将 x =1 代入 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 得ρcosθ=1, 从而ρ=1cosθ. 于是圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 {x =1,y =tanθ,其中 −π3⩽θ⩽π3.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 {x =5cosφy =3sinφ(φ为参数) 的右焦点，且与直线{x =4−2t y =3−t (t 为参数) 平行的直线的普通方程．【解】 椭圆的普通方程为x 225+y 29=1, 右焦点为 (4,0) ；直线的普通方程为 2y −x =2， 斜率为 12 ； 故所求直线方程为y =12(x −4),即x −2y −4=0.19. 已知在直角 xOy 坐标系中，圆 C 的参数方程为 {x =3+2cosθy =−4+2sinθ（θ 为参数）．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；【解】 圆 C 的参数方程为 {x =3+2cosθy =−4+2sinθ（θ 为参数），所以普通方程为 (x −3)2+(y +4)2=4，圆 C 化为极坐标方程：ρ2−6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．(2)已知 A (−2,0)，B (0,2)，圆 C 上任意一点 M (x,y )，求 △ABC 面积的最大值．【解】 点 M (x,y ) 到直线 AB ：x −y +2=0 的距离为d =√2△ABM 的面积S =12×∣AB ∣×d =∣2cosθ−2sinθ+9∣=∣2√2sin (π4−θ)+9∣所以 △ABM 面积的最大值为 9+2√2．20. 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区 ⋯ 十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为 200 m ，每相邻两排的间距为 1 m ，每层看台的高度为 0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置 A ，请建立适当的坐标系，把点 A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育场中心 O 为极点，选取以 O 为端点且过正东入口的射线 Ox 为极轴， 在地面上建立极坐标系，则点 A 与体育场中轴线 Oz 的距离为 203 m ，极轴 Ox 按逆时针方向旋转 17π16，就是 OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为 2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点 A 的准确位置． 所以点 A 的柱坐标为 (203,17π16,145)．参数方程1. 已知两曲线参数方程分别为 {x =√5cosθ,y =sinθ(0⩽θ<π) 和 {x =54t 2,y =t (t ∈R )，它们的交点坐标为 ．【答案】 (1,2√55)【分析】 {x =√5cosθy =sinθ 表示椭圆 x 25+y 2=1（−√5<x ⩽√5, 且 0⩽y ⩽1）；{x =54t2y =t 表示抛物线 y 2=45x ．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．2. 已知曲线 C 1:{x =3+2cosθy =2+2sinθ(θ 为参数)，曲线 C 2:{x =1+3ty =1−4t (t 为参数)，则 C 1 与 C 2 的位置关系为 ．【答案】 相离3. 若圆 M 的方程为 x 2+y 2=4，则圆 M 的参数方程为 ．【答案】 {x =2cosαy =2sinα（α 为参数）答案不唯一4. 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 {x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，ρcos (θ−π4)=√22m ，若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则实数 m = ．【答案】 1±2√2【分析】 曲线 C 的方程化为 (x −1)2+y 2=9，圆心 (1,0)，r =3，直线 l 的方程化为 x +y −m =0．若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则圆心到直线 l 的距离等于 2，即 √2=2，所以 m =1±2√2．5. 双曲线 {x =2+3tanφ,y =secφ(φ为参数) 的渐近线方程为________．【答案】 y =±13(x −2)6. （参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线 C 1 的参数方程为 {x =t +1t,y =t 2+1t 2（t 为参数且 t ≠0），在以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C 2 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，则曲线 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为 ．【答案】 (2,2)【分析】 由 ∣x ∣=∣t +1t ∣=∣t ∣+1∣t∣⩾2 及 {x =t +1t ,y =t 2+1t 2，得 C 1:y =x 2−2(∣x ∣⩾2)． 由 θ=π4(ρ∈R )，得 C 2:y =x ．联立 C 1 与 C 2 的方程，解得交点的坐标为 (2,2)．7. 直线的参数方程为 {x =2+12t,y =3+√32t（t 为参数），则它的斜截式方程为 ．【答案】 y =√3x +3−2√38. 圆 C:{x =2cosθy =1+2sinθ（θ 为参数）的圆心坐标为 ；直线 l:y =2x +1 被圆 C 所截得的弦长为 ．【答案】 (0,1)；49. 在平面直角坐标系中，已知曲线 c:{x =−2+cosθy =sinθ ( θ 为参数， θ∈[π2,3π2] )，则曲线 c关于 y =x 对称的曲线方程是 ．【答案】 x 2+(y +2)2=1(−3⩽y ⩽−2)10. 曲线 {x =t 2−1y =2t +1（t 为参数）的焦点坐标是 ．【答案】 (0,1)【分析】 曲线化为一般式方程为 (y −1)2=4(x +1)，令 y −1=m ，x +1=n ，则原式可化为 m 2=4n ，此时焦点为 (1,0)，即 x +1=1，y −1=0，得 x =0，y =1，所以该曲线的焦点为 (0,1)．11. 设直线 l 1 过点 (1,−2)，倾斜角为 π4．直线 l 2：x +2y −4=0． (1)写出直线 l 1 的一个参数方程；【解】 由题意得直线 l 1 的方程为 y +2=x −1．设 y +2=x −1=t ，得 {x =1+t,y =−2+t（t 为参数），即为 l 1 的参数方程．(2)求直线 l 1 与 l 2 的交点．【解】 将 {x =1+t,y =−2+t 代人 x +2y −4=0，得 (1+t )+2(−2+t )−4=0，所以 t =73．所以 {x =1+t =103,y =−2+t =13.即 l 1 与 l 2 的交点为 (103,13)．12. 当 φ=π2，π 时，求出渐开线 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ(φ为参数) 上的对应点 A ，B ，并求出 A ，B 间的距离．【解】 将 φ=π2 代入 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ,得 x =cos π2+π2sin π2=π2，y =sin π2−π2cos π2=1．所以 A (π2,1)．将 φ=π 代入 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ,得 x =cosπ+πsinπ=−1，y =sinπ−πcosπ=π．所以 B (−1,π)． 故 A ，B 间的距离为∣AB ∣=√(1−π)2+(π2+1)2=√54π2−π+2．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =1−12ty =√32t （t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的方程为 ρ=2√3sinθ． (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；【解】 消去参数得直线 l 的普通方程为 √3x +y −√3=0， 由 ρ=2√3sinθ 得圆 C 的直角坐标方程 x 2+y 2−2√3y =0．(2)若点 P 的直角坐标为 (1,0)，圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点，求 |PA|+|PB| 的值．【解】 由直线 l 的参数方程可知直线过点 P ，把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 x 2+y 2−2√3y =0， 得 (1−12t)2+(√32t−√3)2=3，化简得 t 2−4t +1=0， 因为 Δ=12>0，故设 t 1，t 2 是上述方程的两个实数根，所以 t 1+t 2=4，t 1t 2=1， A,B 两点对应的参数分别为 t 1，t 2，所以 |PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4．14. 边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴两正半轴上移动，顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧，记 ∠CAx =α，求顶点 C 的轨迹的参数方程．【解】 过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，设点 C 的坐标为 (x,y )．则由 {x =OA +AD,y =DC,得 {x =acos (2π3−α)+acosα,y =asinα（α 为参数），即为顶点 C 的轨迹方程．15. 已知定直线 l 和线外一点 O ，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转，如图所示），求点 P 的轨迹方程．【解】 以 O 点为原点，过点 O 作 l 的垂线为 x 轴建立直角坐标系．设点 O 到直线 l 的距离为 d （为定值，且 d >0），取 ∠NOQ =θ（θ 为参数），θ∈(−π2,π2)．设动点 P (x,y )，在 Rt △OQN 中，∵∣OQ∣∣=d cosθ，∣OP∣=∣OQ∣∣，∠NOP =θ+π3， ∴x =∣OP∣cos (π3+θ)=d cosθ⋅cos (π3+θ)=(12−√32tanθ)⋅d ，y =∣OP∣⋅sin (π3+θ)=dcosθ⋅sin (π3+θ)=(√32+12tanθ)⋅d ．∴ 点 P 的参数方程为 {x =(12−√32tanθ)d,y =(√32+12tanθ)d (−π2<θ<π2)．消去参数 θ，得普通方程为 x +√3y −2d =0．16. 已知曲线 C 1：{x =2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），曲线 C 2：{x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）(1)若 α=π4，求曲线 C 2 的普通方程，并说明它表示什么曲线；【解】 因为 α=π4，所以 {x =1+√22t,y =−1+√22t（t 为参数），所以 x −1=y +1，所以曲线 C 2 的普通方程是 y =x −2，它表示过点 (1,−1)，倾斜角为 π4 的直线． (2)曲线 C 1 和曲线 C 2 的交点分别记为 M ，N ，求 ∣MN∣ 的最小值．【解】 曲线 C 1 的普通方程为 x 2+y 2=4．将 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）代入 x 2+y 2=4 中得 (1+tcosα)2+(−1+tsinα)2=4，则 t 2+2(cosα−sinα)t −2=0，设 t 1，t 2 为方程的两个根，则有 ∣MN∣=∣t 1−t 2∣=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα−sinα)2+8=√12−4sin2α，所以当 sin2α=1 时，∣MN∣ 的最小值为 2√2．17. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =12t 2y =14t （t 为参数），若曲线 C 与直线l ：y =12x 相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长．【解】 将曲线 C 的参数方程 {x =12t 2y =14t 化为普通方程得 x =8y 2，由方程组 {x =8y 2x =2y ，解得 {x =0y =0 或 {x =12y =14． 所以 A (0,0)，B (12,14) 或 A (12,14)，B (0,0)， 所以 AB =√(12)2+(14)2=√54．18. 设圆的半径为 4，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O ，记圆上动点为 M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 y 的最大值．【解】 依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为 {x =4(φ−sinφ),y =4(1−cosφ)(φ为参数且0⩽φ⩽2π)．其曲线是摆线的第一拱 (0⩽φ⩽2π)，如下图所示：易知，当 x =4π 时，y 有最大值 8．19. 已知 acosα+bsinα=c ，acosβ+bsinβ=c ，(ab ≠0,α−β≠kπ,k ∈Z )，求证：cos 2α−β2=c 2a 2+b 2．【解】 设直线 l:ax +by =c ，圆 C:{x =cosθy =sinθ，则A (cosα,sinα)，B (cosβ,sinβ) 是直线 l 与圆C 的两个交点，设 OM ⊥AB 于 M ． 从而∣AB ∣2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2cos (α−β);又 OM =√a 2+b 2；OM 2+(12AB)2=OA 2， 所以 c 2a 2+b 2+2−2cos (α−β)4=1， 整理得 1+cos (α−β)2=c 2a 2+b 2，即 cos 2α−β2=c 2a 2+b 2．20. 平面直角坐标系中，若圆的摆线过点 (1,0)，求这条摆线的参数方程．【解】 令 r (1−cosφ)=0，可得 cosφ=1，所以 φ=2kπ(k ∈Z ) 代入可得 x =r (2kπ−sin2kπ)=1．所以 r =12kπ．又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r >0． 所以应有 k >0 且 k ∈Z ，即 k ∈N ∗．所以所求摆线的参数方程是 {x =12kπ(φ−sinφ),y =12kπ(1−cosφ)（φ 为参数）（其中 k ∈N ∗）．极坐标与极坐标方程1. 在极坐标系中，点 (√2,π4) 到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为 ．【答案】 12. 已知两点的极坐标 A (3,π2)，B (3,π6)，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与极轴正方向所夹角的大小为 ．【答案】 3；5π63. 在极坐标系中，曲线 C 1:ρ(√2cosθ+sinθ)=1 与曲线 C 2:ρ=a (a >0) 的一个交点在极轴上，则 a = ．【答案】 √224. 圆 ρ=2cosθ 的半径是 ．【答案】 15. 若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ．【答案】 x 2+y 2−4x −2y =06. 在极坐标系中，直线 l 过点 A (3,π3)，B (3,π6)，则直线 l 向上的方向与极轴正方向的夹角等于 ．【答案】 3π47. 在极坐标系 (ρ,θ) (0⩽θ<2π) 中，曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=−1 的交点的极坐标为 ．【答案】(√2,34π)【分析】两条曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=−1的普通方程分别为x2+y2=2y与x=−1，交点坐标为(−1,1)，对应的极坐标为(√2,34π)．8. 已知曲线C的参数方程为{x=2+cosθ，y=sinθ（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x−4y+4=0的距离的最大值为．【答案】3【分析】曲线上C的点到直线d=∣∣√32+42∣∣=∣∣10+3cosθ−4sinθ5∣∣⩽3，距离的最大值为3．9. 极坐标方程ρ=cos(π4−θ)所表示的曲线是．【答案】圆10. 如图所示的极坐标系中，以M(4,π6)为圆心，半径r=1的圆M的极坐标方程是．【答案】ρ2−8ρcos(θ−π6)+15=0【分析】依题意，题中的圆M的圆心的直角坐标是(2√3,2)，因此圆M的直角坐标方程是(x−2√3)2+(y−2)2=1，即x2+y2−4√3x−4y+15=0，相应的极坐标方程是ρ2−4√3ρcosθ−4ρsinθ+15=0，即ρ2−8ρcos(θ−π6)+15=0．(1)求过A(2,π4)平行于极轴的直线的极坐标方程；【解】如图所示，在直线 l 上任意取点 M (ρ,θ)． 因为 A (2,π4)，所以 ∣MH ∣=2⋅sin π4=√2．在 Rt △OMH 中，∣MH∣=∣OM∣sinθ，即 ρsinθ=√2， 所以过 A (2,π4) 平行于极轴的直线方程为 ρsinθ=√2．(2)直线 l 过点 A (3,π3)，且向上的方向与极轴正方向成 3π4，求直线 l 的极坐标方程．【解】如图所示，A (3,π3)，∣OA∣=3，∠AOB =π3，由已知 ∠MBx =3π4， 所以 ∠OAB =3π4−π3=5π12． 所以 ∠OAM =π−5π12=7π12．又 ∠OMA =∠MBx −θ=3π4−θ，在三角形 MOA 中，根据正弦定理，得 3sin(3π4−θ)=ρsin7π12．因为 sin 7π12=sin (π4+π3)=√2+√64，将 sin (3π4−θ) 展开，化简上面的方程，可得 ρ(sinθ+cosθ)=3√32+32．所以，过 A (3,π3) 且和极轴成 3π4 的直线方程为 ρ(sinθ+cosθ)=3√32+32．12. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =t 2,y =t （t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−4=0． (1)把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；【解】 曲线 C 1 的参数方程为 {x =t 2,y =t（t 为参数）普通方程为 y 2=x ，将 {x =ρcosθ,y =ρsinθ代入上式化简得 ρsin 2θ=cosθ，即 C 1 的极坐标方程为 ρsin 2θ−cosθ=0．(2)求 C 1 与 C 2 交点的极坐标（ρ⩾0，0⩽θ<2π）．【解】 曲线 C 2 的极坐标方程 ρ2+2ρcosθ−4=0 化为平面直角坐标方程为 x 2+y 2+2x −4=0，将 y 2=x 代入上式得 x 2+3x −4=0，解得 x =1，x =−4（舍去）．当 x =1 时，y =±1，所以 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标为 A (1,1)，B (1,−1)．因为 ρA =√1+1=√2，ρB =√1+1=√2，tanθA =1，tanθB =−1，ρ⩾0，0⩽θ<2π，所以 θA =π4，θB =7π4，故 C 1 与 C 2 交点的极坐标 A (√2,π4)，B (√2,7π4)．13. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线 C 1 的参数方程为 {x =2cosα+√3,y =2sinα+1.（α 为参数），曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ．(1)求曲线 C 1 的极坐标方程；【解】 由 {x =2cosα+√3,y =2sinα+1. 得 {x −√3=2cosα,y −1=2sinα.C 2 的直角坐标方程是 (x −√3)2+(y −1)2=4，即 x 2+y 2−2√3x −2y =0， 由 ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ 得曲线 C 2 的极坐标方程 ρ2=2ρ(√3cosθ+sinθ)， ρ=4cos (θ−π6)．(2)若射线 θ=π6(ρ⩾0) 交曲线 C 1 和 C 2 于 A ，B （A ，B 异于原点），求 ∣AB ∣．【解】 设 A (ρ1,θ1)，B (ρ2,θ2)，将 θ=π6 代入曲线 C 1 的极坐标方程 ρ=4cos (θ−π6) 得 ρ1=4， 同理将 θ=π6代入曲线 C 2 的极坐标方程 ρ=2cosθ 得 ρ2=√3， 所以 ∣AB ∣=∣ρ1−ρ2∣=4−√3．14. 某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点 O ，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标（限定 ρ⩾0，0⩽θ<2π 且极点为 (0,0)）【解】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox（单位长度为1 m），建立极坐标系，如图所示．由∣OB∣=600 m，∠AOB=30∘，∠OAB=90∘，得∣AB∣=300 m，∣OA∣=300√3 m，同样求得∣OD∣=2∣OF∣=300√2 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300√3,0)，B(600,π6)，C(300,π2)，D(300√2,3π4)，E(300,π)，F(150√2,3π4)．15. 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(3,π6)，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点． (1)求圆C的极坐标方程；【解】如图所示，设 M (ρ,θ) 为圆 C 上任意一点，在 △COM 中，∣CM∣=1，∠COM =∣∣θ−π6∣∣，根据余弦定理得1=ρ2+9−2⋅ρ⋅3⋅cos ∣∣∣θ−π6∣∣∣, 化简整理得 ρ2−6⋅ρ⋅cos (θ−π6)+8=0，即为圆 C 的极坐标方程． (2)若 P 在直线 OQ 上运动，且满足 ∣OQ∣∣QP∣=23，求动点 P 的轨迹方程．【解】 设 Q (ρ1,θ1)，则有ρ12−6⋅ρ1cos (θ1−π6)+8=0. ⋯⋯①设 P (ρ,θ)，则∣OQ∣∣:∣QP∣∣=ρ1:(ρ−ρ1)=2:3 或 ∣∣OQ∣∣:∣QP∣∣=ρ1:(ρ1+ρ)=2:3, 当 ρ1=25ρ 时，又 θ1=θ，即 {ρ1=25ρ,θ1=θ, 代入 ① 得 425ρ2−6⋅25ρ⋅cos (θ−π6)+8=0, 整理得 ρ2−15ρcos (θ−π6)+50=0 即为 P 点的轨迹方程． 当 ρ1=2ρ 时，又 θ1=θ−π，同理可得ρ2+3ρ⋅cos (θ−π6)+2=0.所以点 P 的轨迹方程为 ρ2−15ρ⋅cos (θ−π6)+50=0 或 ρ2+3ρcos (θ−π6)+2=0．16. 在直角坐标系 xOy 中，直线经过点 P (−1,0)，其倾斜角为 α，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2−6ρcosθ+5=0．(1)若直线与曲线 C 有公共点，求 α 的取值范围；【解】 将 C 的极坐标方程 ρ2−6ρcosθ+5=0 化为直角坐标为 x 2+y 2−6x +5=0，直线的参数方程为 {x =−1+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2−8tcosα+12=0， 直线与曲线有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48⩾0，得 cosα⩾√32或 cosα⩽−√32． 因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围为 [0,π6]∪[5π6,π)．(2)设 M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，求 x +y 的取值范围．【解】 曲线 C 的方程 x 2+y 2−6x +5=0 化为 (x −3)2+y 2=4，其参数方程为 {x =3+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，所以 x +y =3+2cosθ+2sinθ=3+2√2sin (θ+π4)． x +y 的取值范围是 [3−2√2,3+2√2]．17. 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2√2ρsin (θ−π4)−4=0，求圆心的极坐标．【解】 以极坐标系的极点为直角坐标系的原点 O ，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy ，圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2ρsinθ−2ρcosθ−4=0，则圆 C 的直角坐标系方程为 x 2+y 2−2x +2y −4=0，即 (x −1)2+(y +1)2=6， 于是圆心的直角坐标为 (1,−1)，则其极坐标为 (√2,7π4)．18. 极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ（θ 为参数）．在极坐标系（直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 ρsin (θ+π4)=2√2． (1)求圆 C 的极坐标方程；【解】 由 {x =2+2cosθ,y =2sinθ,得圆 C 的直角坐标方程为 (x −2)2+y 2=4，即 x 2+y 2−4x =0．化为极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ=0，即 ρ=4cosθ． (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A ，B ，求 ∣AB ∣．【解】 展开 ρsin (θ+π4)=2√2 得：ρsinθ⋅√22+ρcosθ⋅√22=2√2，所以直线 l 的普通方程为 x +y −4=0．由（1）知圆 C 的圆心坐标为 (2,0)，半径 r =2，所以圆心 (2,0) 到直线 l 的距离 d =√2=√2． 所以 r 2=d 2+(∣AB∣2)2．所以 ∣AB ∣=2√2．19. 在极坐标系中，求圆 ρ=2cosθ 的圆心到直线 2ρsin (θ+π3)=1 的距离．【解】 将圆 ρ=2cosθ 化为普通方程为 x 2+y 2−2x =0，圆心为 (1,0)，又 2ρsin (θ+π3)=1，即 2ρ(12sinθ+√32cosθ)=1，所以直线的普通方程为 √3x +y −1=0， 故所求的圆心到直线的距离 d =√3−12．20. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos (θ−π3)=1，M ，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．写出 C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标．【解】 由 ρcos (θ−π3)=1 得 ρ(12cosθ+√32sinθ)=1．从而 C 的直角坐标方程为 12x +√32y =1，即 x +√3y =2.θ=0 时，ρ=2，所以 M (2,0)． θ=π2 时，ρ=2√33，所以 N (2√33,π2)．课后练习1. 将函数 y =√x −2 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象．2. 如图，过点 A 作边长为 √3 的等边 △ABC ，BC 边上的高为 AD ．设 △ABC 的外接圆为圆 M ，现以顶点 A 为极点，以射线 AD 为极轴建立极坐标系，规定在极坐标系中，点 P 的极坐标 (ρ,θ) 满足：ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则图中， （1）点 C 的极坐标为 ； （2）圆 M 的极坐标方程为 ； （3）直线 BC 的极坐标方程为 ．3. 在同一坐标系中，将曲线 y =3sin2x 变为曲线 yʹ=sinxʹ 的伸缩变换是 ．4. 已知直线 l 的参数方程为 {x =4t y =1+3t （t 为参数），圆 C 的参数方程为 {x =2+cosθy =sinθ（θ为参数），则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 ．5. 在极坐标系中，曲线 ρ=2 与 cosθ+sinθ=0(0⩽θ⩽π) 的交点的极坐标为 ．6. 已知直线 l 1 的参数方程为 {x =1+2t,y =3−2t, 则（1）直线 l 1 的倾斜角 α= ；（2）直线 l 1 与直线 l 2：{x =2−t,y =1−t 的交点坐标为 ；（3）点 P (−2,−1) 到直线 l 1 的距离为 ．7. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin (θ−π6)=3，点 A (2,π3) 到曲线 C 上点的距离的最小值 ．8. 在极坐标系 (ρ,θ)（0⩽θ⩽2π）中，曲线 ρ(cosθ+sinθ)=1 与 ρ(sinθ−cosθ)=1 的交点的极坐标为 ．9. 若直线 3x +4y +m =0 与圆 {x =1+cosθy =−2+sinθ（θ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是 ．10. 将极坐标方程 ρ=cos (π4−θ) 化为直角坐标方程是 ．11. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 {x =t +3y =3−t （参数 t ∈R ），圆的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ+1（参数 θ∈[0,2π)），则圆心到直线 l 的距离为 ． 12. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 {x =1+s,y =1−s,(s 为参数)，曲线 C 的参数方程为 {x =t +2,y =t 2,(t 为参数)，若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，则 ∣AB ∣= ( )13. 若点 P (x,y ) 在曲线 {x =−2+cosθ,y =sinθ（θ 为参数）上，则 yx 的取值范围是 ．14. 若圆 C 的参数方程为 {x =3cosθ+1,y =3sinθ.（θ 为参数），则圆 C 的圆心坐标为 ，圆 C与直线 x +y −3=0 的交点个数为 ．15. 曲线 {x =4cosθ,y =2√3sinθ（θ 为参数）上一点 P 到点 A (−2,0),B (2,0) 的距离之和为 ．16. 已知动直线 l 平分圆 C ：(x −2)2+(y −1)2=1 ，则直线 l 与圆 O ：{x =3cosθy =3sinθ ( θ 为参数)的位置关系是 ．17. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1: {x =t +1,y =1−2t （t 为参数）与曲线 C 2: {x =asinθ,y =3cosθ（θ 为参数，a >0）有一个公共点在 x 轴上，则 a = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =ty =t +1 (参数t ∈R) ，圆 C 的参数方程为{x =cosθ+1y =sinθ (参数θ∈[0,2π)) ，则圆心到直线 l 的距离是 ．19. 直线 {x =3+tsin40∘,y =−1+tcos40∘（t 为参数）的倾斜角为 ．20. 直线 {x =2−12t,y =−1+12t,（t 为参数）被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 ．21. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为x 225+y 216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，过椭圆 C 的右焦点，且垂直于 x 轴的直线的极坐标方程为 ．22. 在极坐标系中，直线 ρ(2cosθ+sinθ)=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）23. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ(3cosθ−4sinθ)=1 ，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 ．24. 在极坐标系中，点 (m,π6)(m >1) 到直线 ρcos (θ−π6)=3 的距离为 2，则 m 的值为 ．25. 在平面直角坐标系中，当 P (x,y ) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹ(y x 2+y 2,−x x 2+y 2)；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 Cʹ 定义为曲线 C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” Cʹ 关于 y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．26. 在平面直角坐标系中，当 P (x,y ) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹ(y x 2+y2,−x x 2+y 2)；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，现有下列命题： ①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．27. 在极坐标系中，曲线 C 1:ρ=2cosθ，曲线 C 2:θ=π4，若曲线 C 1 与 C 2 交于 A 、B 两点，则线段 AB = ．28. 在极坐标系中， O 是极点，设点 A(4,π3) ， B(5,−5π6) ，则 △OAB 的面积是 ．29. 极坐标系内，点 (1,π2) 到直线 ρcosθ=2 的距离是 ． 30. 过点 P (2,π3) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 ．31. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x −y +4=0 ，曲线 C 的参数方程为 {x =√3cosαy =sinα(α为参数) ． (1)已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 (4,π2) ，判断点 P 与直线 l 的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．32. 在极坐标系中，已知圆 C 的方程是 ρ=4，直线 l 的方程是 ρsin (θ+π6)=3，求圆 C 上一点到直线 l 的距离的最大值．33. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3−√22t,y =√5−√22t (t 为参数). 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ρ=2√5sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ，若点 P 的坐标为 (3,√5) ，求 ∣PA ∣+∣PB ∣ ． 34. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cosφ,y =sinφ（φ 为参数），曲线 C 2 的参数方程为 {x =acosφ,y =bsinφ（a >b >0，φ 为参数）．在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:θ=α 与 C 1，C 2 各有一个交点，当 α=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α=π2 时，这两个交点重合．(1)分别说明 C 1，C 2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；(2)设当 α=π4时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 1，B 1，当 α=−π4时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 2，B 2，求四边形 A 1A 2B 2B 1 的面积．35. 由抛物线 y 2=2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程（参数形式）． 36. 化圆锥曲线的极坐标方程 ρ=ep1−ecosθ 为直角坐标方程．。

21　坐标系与参数方程1.已知动点P ,Q 都在曲线C :(t 为参数)上,对应参数分别{x =2cos t,y =2sin t 为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求点M 的轨迹的参数方程;(2)将点M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断点M 的轨迹是否过坐标原点.解析▶　(1)由题意得P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),故点M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).{x =cos α+cos2α,y =sin α+sin2α(2)点M 到坐标原点的距离d==(0<α<2π),x 2+y 22+2cos α当α=π时,d=0,故点M 的轨迹过坐标原点.2.已知圆O 1,圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程,并将其化为极坐标方程.解析▶　(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,将ρcosθ=x ,ρ2=x 2+y 2代入上式,可得x 2+y 2=4x ,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.由ρ=-sin θ得ρ2=-ρsin θ,将ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y 代入上式,可得x 2+y 2=-y ,所以圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+y=0.(2)由x 2+y 2-4x=0及x 2+y 2+y=0,两式相减得4x+y=0,所以经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.将4x+y=0化为极坐标方程为4ρcos θ+ρsin θ=0,即tan θ=-4.3.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),曲{x =255t ,y =2+55t线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ,N ,求|MN|.解析▶　(1)因为cosρ2θ=8sin θ,所以cos θ=8ρsin θ,ρ22即x 2=8y ,所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y 轴的抛物线.(2)易知直线l 过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为{x =255t ,y =2+55t(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2-2t-20=0,设M ,N 对应的参5数分别为t 1,t 2,所以t 1+t 2=2,t 1t 2=-20.5所以|MN|=|t 1-t 2=10.(t 1+t 2)2-4t 1t 24.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin =,曲线C 2的极坐标(θ-π4)2方程为ρ=2cos .(θ-π4)(1)写出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程;(2)设M ,N 分别是曲线C 1,C 2上的两个动点,求|MN|的最小值.解析▶　(1)依题意得,ρsin =ρsin θ-ρcos θ=(θ-π4)2222,2所以曲线C 1的直角坐标方程为x-y+2=0.由曲线C 2的极坐标方程得ρ2=2ρcos =ρcos θ+(θ-π4)22ρsin θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,即+22(x -22)2=1,　(y -22)2所以曲线C 2的参数方程为(θ为参数). {x =22+cos θ,y =22+sin θ(2)由(1)知,圆C 2的圆心到直线x-y+2=0的距离d=(22,22)=.|22-22+2|22又半径r=1,所以|MN|min =d-r=-1.2能力1▶　能用曲线极坐标方程解决问题 【例1】　在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的圆心为,半径为(0,12),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.12(1)求圆C 的极坐标方程;(2)设M ,N 是圆C 上两个动点,且满足∠MON=,求+的最2π3|OM ||ON |小值.解析▶　(1)由题意得圆C 的直角坐标方程为x 2+=,即(y -12)214x 2+y 2-y=0,化为极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理可得ρ=sin θ.(2)设M ,N, 则|OM|+=ρ1+ρ2=sin θ+sin(ρ1,θ)(ρ2,θ+2π3)|ON | =sin θ+cos θ=sin .(θ+2π3)1232(θ+π3)由得0≤θ≤,所以≤θ+≤,故≤sin{0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,π3π3π32π332≤1,(θ+π3)即+的最小值为.|OM ||ON |32 由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标系求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.已知曲线C :ρ=-2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,求实数a 的取值范围.解析▶　(1)由ρ=-2sin θ可得 ρ2=-2ρsin θ,即x 2+y 2=-2y ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1.(2)由圆C 与直线有公共点,得圆心C 到直线的距离d=|0-1+a |2≤1,解得1-≤a ≤1+.22∴实数a 的取值范围为[1-,1+].22能力2▶　会用参数方程解决问题 【例2】　在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t 为参{x =2cos θ,y =4sin θ{x =1+t cos α,y =2+t sin α数).(1)求曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解析▶　(1)曲线C的普通方程为+=1.x 24y 216当cos α≠0时,l 的普通方程为y=x tan α+2-tan α;当cos α=0时,l 的普通方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程,即(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0.　①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t 1+t 2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l4(2cos α+sin α)1+3cos 2α的斜率k=tan α=-2. 过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是(t 是参数).注意以下结论的应用:{x =x 0+tcos α,y =y 0+tsin α(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|;(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t=,中点M 到t 1+t 22定点M 0的距离|MM 0|=|t|=;|t 1+t 22|(3)若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1+t 2=0.在平面直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为{x =2+r cos θ,y =1+r sin θ(θ为参数,r>0),曲线N 的参数方程为(t 为参数,且{x =255t ,y =1+55tt ≠0).(1)以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线N 的参数方程;(2)若曲线M 与N 的两个交点为A ,B ,直线OA 与直线OB 的斜率之积为,求r 的值.43解析▶　(1)将消去参数t ,得x-2y+2=0(x ≠0),由题{x =255t ,y =1+55t意可知k ≠.12由得.{x -2y +2=0,y =kx (k ≠12),{x =22k -1,y =2k 2k -1(k ≠12)故曲线N 的参数方程为k 为参数,{x =22k-1,y =2k2k-1.且k ≠12)(2)由曲线M 的参数方程得其普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r 2,将代入上式,{x =22k-1,y =2k2k-1整理得(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0.因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为,所以=,解得r 2=1.4317-r 216-4r 243又r>0,所以r=1.将r=1代入(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0,得12k 2-28k+16=0,满足Δ>0,故r=1.能力3▶　会解极坐标与参数方程的综合问题 【例3】　在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a ∈R),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴{x =a -22t ,y =1+22t建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+2cos θ-ρ=0.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P (a ,1),曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=4,求实数a 的值.解析▶　(1)由C 1的参数方程消去t 得其普通方程为x+y-a-1=0.由C 2的极坐标方程得ρ2cos 2θ+2ρcos θ-ρ2=0,所以C 2的直角坐标方程为y 2=2x.(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2:y 2=2x ,得t 2+4t+2(1-22a )=0,由Δ>0得a>-.32设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=2(1-2a ).由题意得|PA|·|PB|=|t 1t 2|=|2(1-2a )|=4,解得a=-或a=,满足Δ>0,1232所以实数a的值为-或.1232 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为{x =2+25cos α,y =4+25sin α极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).π3(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C 2与C 1的交点为π6O ,M ,C 3与C 1的交点为O ,N ,求△OMN 的面积.解析▶　(1)将曲线C 1的参数方程消去参数α,得其普通方程为(x-2)2+(y-4)2=20,即x 2+y 2-4x-8y=0.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入方程得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.由直线C 2的极坐标方程得其直角坐标方程为y=x.3(2)设M (ρ1,θ1),N (ρ2,θ2),分别将θ1=,θ2=代入ρ=4cosπ3π6θ+8sin θ,得ρ1=2+4,ρ2=4+2.33则△OMN 的面积S=ρ1ρ2sin(θ1-θ2)12=×(2+4)×(4+2)×sin =8+5.1233π631.在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2,曲线C 2:ρsin =(θ-π4).2(1)试判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;(2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.解析▶　(1)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4.由ρsin =,可得ρsin θ-ρcos θ=2,即x-y+2=0.(θ-π4)2圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==<2,∴曲线C 1与曲线C 2222相交.(2)∵曲线C 2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y=x-1,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos (θ+π4)=.222.已知曲线C 的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角{x =3cos θ,y =2sin θ坐标系中,将曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C'.{x '=13x ,y '=12y(1)求曲线C'的普通方程;(2)若点A 在曲线C'上,点B (3,0),当点A 在曲线C'上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.解析▶　(1)将代入得C'的参数方程为{x =3cos θ,y =2sin θ{x '=13x ,y '=12y ,{x '=cos θ,y '=sin θ,所以曲线C'的普通方程为x 2+y 2=1.(2)设P (x ,y ),A (x 0,y 0),因为点B (3,0),且AB 的中点为P ,所以{x 0=2x -3,y 0=2y .又点A 在曲线C'上,代入C'的普通方程x 2+y 2=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,所以动点P 的轨迹方程为+y 2=. (x -32)2143.已知直线l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点O{x =1+12t ,y =3+3t为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为sinθ-ρcos 2θ=0.3(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析▶　(1)由消去参数t ,得y=2x-,即直线l{x =1+12t ,y =3+3t33的普通方程为y=2x-.33∵sin θ-ρcos 2θ=0,∴ρsin θ-ρ2cos 2θ=0,得y-333x 2=0,即曲线C 的直角坐标方程为y=x 2.3(2)将代入y=x 2,得+t-=0,解得{x =1+12t ,y =3+3t3333(1+12t )2t=0,∴交点坐标为(1,),3∴交点的一个极坐标为.(2,π3)4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t{x =-1+22t ,y =1+22t为参数),圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程;(2)若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求cos∠AOB 的值.解析▶　(1)由直线l 的参数方程得其普通方程{x =-1+22t ,y =1+22t为y=x+2,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2,即ρsin θ-ρcos θ=2.又∵圆C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ,{x =ρcos θ,y =ρsin θ∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)将ρsin θ-ρcos θ=2与ρ=4cos θ+2sin θ联立,得(4cos θ+2sin θ)(sin θ-cos θ)=2,整理得sin θcos θ=3cos 2θ,∴θ=或tan θ=3.π2不妨记点A对应的极角为,点B 对应的极角为θ,且tan θ=3.π2∴cos∠AOB=cos=sin θ=.(π2-θ)310105.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1的参数方程为(α{x =2+2cos α,y =2sin α为参数).以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为ρsin θ=.3(1)求圆C 1圆心的极坐标;(2)设C 1与C 2的交点为A ,B ,求△AOB 的面积.解析▶　(1)由曲线C 1的参数方程(α为参数),消{x =2+2cos α,y =2sin α去参数,得C 1的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0,∴C 1的圆心坐标(2,0)在x 轴的正半轴上,∴圆心的极坐标为(2,0).(2)由C 1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).由方程组得4sin θcos θ=,解得sin 2θ=.{ρ=4cos θ,ρsin θ=3332∴θ=k π+(k ∈Z)或θ=k π+(k ∈Z),π6π3∴ρ=2或ρ=2.3∴C 1和C 2交点的极坐标为A ,B 2,k π+(k ∈Z).(23,kπ+π6)π3∴S △AOB =|AO||BO|sin∠AOB=×2×2×sin =.12123π636.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3+2cos α,y =1+2sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线l :θ=(ρ≥0)和曲线C 2:ρ(sin θ+2cosπ4θ)=ρ2cos 2θ+m.(1)判断射线l 和曲线C 1公共点的个数;(2)若射线l 与曲线C 2 交于A ,B 两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m 的值.解析▶　(1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y=x (x ≥0),曲线C 1是以(3,1)为圆心,为半径的圆,其直角坐标方程为(x-3)2+(y-21)2=2.联立解得{y =x (x ≥0),(x -3)2+(y -1)2=2,{x =2,y =2,故射线l 与曲线C 1有一个公共点(2,2). (2)将θ=代入曲线C 2的方程,π4得ρ=ρ2cos 2+m ,(sin π4+2cos π4)π4即ρ2-3ρ+2m=0.2由题知解得0<m<.{Δ=(32)2-8m >0,m >0,94设方程的两个根分别为ρ1,ρ2(0<ρ1<ρ2),由韦达定理知 ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=2m.2由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即ρ2=2ρ1,∴ρ1=,ρ2=2,m=2.22。

考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。

专题18坐标系与参数方程(教学案)1. 考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化.2. 考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系.、直角坐标与极坐标的互化 如图，把直角坐标系的原点作为极点，X 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性. 二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点 M p 0, 0 0),且极轴到此直线的角为 a ,则它的方程为：p sin( 0 - a ) = p o sin( 0几个特殊位置直线的极坐标方程 ① 直线过极点：0 = a ；② 直线过点 Ma,0)且垂直于极轴：p cos 0 = a ； ③ 直线过点 Mb ,号且平行于极轴：p sin 0 = b .\一 2丿 (2)几个特殊位置圆的极坐标方程是平面内的任意一点， 它的直角坐标、极坐标分别为(x , y )和(p ,X = p cos0)，则〈.|y = p sintan①圆心位于极点，半径为r: p = r;②圆心位于Mr, 0），半径为r: p = 2r cos 0 ;③圆心位于Mr, -2，半径为r: p = 2r sin 0 .【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式.三、参数方程（1）直线的参数方程x = x o+ t cos a ,过定点MX o, y o），倾斜角为a的直线I的参数方程为＜（t为参数）.|y = y o+1 sin a（2）圆、椭圆的参数方程x=x o+ r cos 0 ,①圆心在点Mx o, y o），半径为r的圆的参数方程为* （0为参数，0W 0 W2 n ）.y= y o+ r sin 0x 2y2x = a cos 0 ,②椭圆—+ 2= 1的参数方程为a b|y =b sin 0（0为参数）.【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.考点一坐标系与极坐标例1 .【2017课标3,文22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为£一（t为参数），直线l2.y = kt,x - _2 m,（1）写出C的普通方程;（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：p （cos 0 +sin 0 ） - . 2 =0, M为13与C的交点，求M的极径•【答案】（1）x2「y2 =4（y = o）；（2）5【解析】的参数方程为（m为参数）.设11与l 2的交点为P,当k变化时, P的轨迹为曲线C⑴消去薑数『得占的普通方程肚尸凤—2*消去蜃数期得归的普通方程/2:>=1(^+2). k所以c 的普通方程为x 2-y 2=4(y^0).(2) C 的极坐标方程为p 1 (coJ 日-sin 带)=4(0 c 0 c2兀&工兀). p 1 (cos 2^ — siu'a) = 4.联立{ ''得 co 認一或D& = 2(coe + siu&).P (COS 0 + S J D 0)-Q = 0)91 SI? tsn & =——，从[Tf] co"* = —. sin 鼻0 —— ”3 1010代入P 1(8“0-鈕勺)"得尸=»所以交点M 的极径为75 -【变式探究】【2016年高考北京文数】 在极坐标系中，直线「cos^ - •、. 3「si-1 = 0与圆］=2cosv 交于A , B 两点，贝y |AB|= _________ .【答案】2【解析】直线x-屈 -1=0过圆(x —1)2+y 2=1的圆心，因此|AB =2. 【变式探究】在极坐标系中，圆 p = 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( )A. 0= 0( p€ R)和 p cos 0 = 2n 十B. 0 = —( p€ R)和 p cos 0 = 2nhC. 0 = ~( p € F)和 p cos 0 = 1D. 0 = 0( p € R)和 p cos 0 = 1【解析】由p = 2cos 0得x 2 + y 2 — 2x = 0./ 2 2•••(x — 1) + y = 1,圆的两条垂直于 x 轴的切线方程为 x = 0和x = 2. 故极坐标方程为 0=寺(P € R)和p cos 0 = 2,故选B. 【答案】By = k{x-2)厂扣+2)，消去上得x 2-y 2 =4(y^0)考点二参数方程x = 3co^A例2. 16.【2017课标1,文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为一 "'(0为参数)y = si n €l ,直线I 的参数方程为X" 4t （t 为参数）. y J -t.(1)若a 二-1，求C 与I 的交点坐标;(2)若C 上的点到I 的距离的最大值为 J7，求a .21 24【答案】(1) (3,0) , (, ) ； (2) a=8 或 a - -16 . 25 252【解析】 (1 )曲线C 的普通方程为X . y 2 =1 .9当a=-1时，直线l 的普通方程为x ・4y-3=0.x 4y -3 = 0由｛ x\ 21y =19(2)直线l 的普通方程为x ，4y-a-4=0 ,故C 上的点3cosv,si n v 到l 的距离为3cos J 4sin - a -4a + 9 a + 9 d 的最大值为 ----- .由题设得 ^17，所以a = 8 ；V17 V17当a v -4时，d 的最大值为一a —1 .由题设得一—J 仃，所以a = —16 .V 17V17综上，a = 8 或 a = -16.【变式探究】【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程x = a cost在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为/错误！未找到引用源。

2020届二轮复习 坐标系与参数方程 学案（全国通用）（一）极坐标 1. 极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2. 极坐标系内一点P 的极坐标平面上一点P 到极点O 的距离OP 称为极径ρ，OP 与Ox 轴的夹角θ称为极角，有序实数对)(θρ，P 就叫做点P 的极坐标。

（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当0=ρ时表示极点；当0<ρ时，点)(θρ，P 的位置这样确定：作射线OP ，使θ=∠xOP ，在OP 的反向延长线上取一点P’，使得ρ='O P ，点'P 即为所求的点。

（2）点)(θρ，P 与点()θπρ+k 2，（Z k ∈）所表示的是同一个点，即角θ与θπ+k 2的终边是相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即()θρ，，()θπρ+k 2，，()()θπρ++-12k ，均表示同一个点。

3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标()θρ，和直角坐标()y ，x 有如下关系：直角坐标化极坐标：θρθρsin y cos ==，x ；极坐标化直角坐标：()0x tan 222≠=+=xyy x θρ， 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系。

4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为的直线：()R ∈=ραθ或写成αθ=及παθ+=（2）过()α，a A 垂直于极轴的直线：αθρcos cos a =⋅ 5. 圆的极坐标方程：（1）以极点O 为圆心，()0>a a 为半径的圆：a =ρ（2）若()00，O ，，以OA 为直径的圆：θρcos 2a =（二）柱坐标系与球坐标系： 1. 柱坐标系的定义：空间点P （x ，y ，z ）与柱坐标（z ,,θρ）之间的变换公式：2. 球坐标系的定义：空间点与球坐标之间的变换公式：（三）参数方程概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标()y x ，都是某个变数的函数：，并且对于t 的每一个允许值，方程所确定的点()y ，x M 都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系y ，x 间的关系的变数叫做参变数（简称参数）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程()0y =，x F ，叫做曲线的普通方程。

2020年高考数学文科二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及基础题型精讲卷一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长ρθ度ρ和从Ox到OM的角度θ(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)称为点M的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 3.极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M u u u u u u r的数量，向上向右为正(如图3所示).图 1图 25.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y，半径为r，则圆的参数方程为0cos(02)sinx x ry y rθθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.6.椭圆的参数方程椭圆2222C:1x ya b+=的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C:1x ya b-=的参数方程为sectanx ay bθθ=⎧⎨=⎩(,)2k kπθπ≠+∈Z.8.抛物线的参数方程抛物线22y px=的参数方程为222x pty pt⎧=⎨=⎩（t为参数，参数t的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化1.⊙1O和⊙2O的极坐标方程分别为4cosρθ=,4sinρθ=-.(1)把⊙1O和⊙2O的极坐标方程分别化为直角坐方程;(2)求经过⊙1O和⊙2O交点的直线的直角坐标方程.图3解析 （1）圆1O ：4cos ρθ= ⇒ 24cos ρρθ=⇒224x y x +=，得()2224x y x -+=，圆2O ：4sin ρθ=-⇒24sin ρρθ=-⇒224x y y +=-，得()2224x y ++=。

第1讲 坐标系与参数方程考点1 极坐标1．极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx (x≠0).顺便指出，上式对ρ<0也成立． 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 2．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ. (3)圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2处且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. [例1] [2019·全国卷Ⅲ][选修4—4：坐标系与参数方程]如图，在极坐标系Ox 中，A(2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D(2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|＝3，求P 的极坐标．【解析】 本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．(1)由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0 ≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.(1)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.『对接训练』1．[2019·全国卷Ⅱ][选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解析：本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP|＝|OA|cos π3＝2.设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 考点2 参数方程1．直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y －y 0＝k(x －x 0)． 其中k ＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式，得 y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)，α≠π2，即x －x 0cos α＝y －y 0sin α. 记上式的比值为t ，整理后得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t 有明显的几何意义．在直角三角形M 0AM 中，|M 0A|＝|x －x 0|，|MA|＝|y －y 0|，|M 0M|＝|t|，即|t|表示直线上任一点M 到定点M 0的距离．2．圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(θ为参数)．3．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)处，相应的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos θ，y ＝y 0＋b sin θ(θ为参数)．通常规定参数θ的范围为[0,2π)．[例2] [2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 【解析】 (1)解：曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)解：将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围．(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.『对接训练』2．[2018·天津卷]已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．解析：将直线的参数方程化为普通方程，为y ＝－x ＋2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，x 2＋y 2－2x ＝0，可求得A ，B 两点的坐标分别为(1,1)，(2,0)．故|AB|＝ 2.又圆心C 到直线AB 的距离d ＝22， 故S△ABC＝12×2×22＝12.答案：12考点3 极坐标方程与参数方程的综合[例3] [2019·全国卷Ⅰ][选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【解析】 本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y24＝1(x≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.极坐标方程与参数方程的综合问题，一般采用分别化为普通方程的方法，利用平面解析几何的知识解决．当涉及线段长度时，也可以利用极径的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义求解.『对接训练』3．[2019·河南新乡一模]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P(－1,2)，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)消去参数，得直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0.由ρcos 2θ＝sin θ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 则y ＝x 2，故曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t 代入y ＝x 2，得t 2＋2t －2＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2，易知直线l 过点P(－1,2)，故|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2.课时作业 21 坐标系与参数方程1．[2019·江苏卷]在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离．解析：本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．(1)设极点为O.在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理， 得AB ＝32＋(2)2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，则直线l 过点⎝⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.2．[2019·湖北八校第一次联考]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，t 为常数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 有两个交点，求实数t 的取值范围． 解析：(1)消去参数，得圆C 的普通方程为(x －t)2＋y 2＝2. 将直线l 的极坐标方程化为－22ρcos θ＋22ρsin θ＝2， 则－22x ＋22y ＝2，化简得y ＝x ＋2. 故直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2. (2)∵圆C 的普通方程为(x －t)2＋y 2＝2， ∴圆C 的圆心为C(t,0)，半径为2， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|t ＋2|2，∵直线l 与圆C 有两个交点，∴d＝|t ＋2|2<2，解得－4<t<0.∴实数t 的取值范围为(－4,0)．3．[2019·广东广州一模]已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝23cos θ＋2sin θ，直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )，直线l 2：θ＝π3(ρ∈R )．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l 1，l 2的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；(2)已知直线l 1与曲线C 交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．解析：(1)依题意，得直线l 1的直角坐标方程为y ＝33x ， 直线l 2的直角坐标方程为y ＝3x ，由ρ＝23cos θ＋2sin θ得ρ2＝23ρcos θ＋2ρsin θ， ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴曲线C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝23cos θ＋2sin θ，得|OA |＝|ρ1|＝4，同理，得|OB |＝|ρ2|＝2 3. 又∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin∠AOB ＝12×4×23×12＝23，故△AOB 的面积为2 3.4．[2019·广东佛山质检]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝3＋2sin φ(φ为参数)，直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 与l 1的极坐标方程；(2)当－π6<α<π3时，直线l 1与曲线C 相交于O ，A 两点，过点O 作l 1的垂线l 2，l 2与曲线C 的另一个交点为B ，求|OA |＋|OB |的最大值．解析：(1)因为曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝3＋2sin φ(φ为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 化简得ρ＝2cos θ＋23sin θ.因为直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，所以直线l 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．(2)根据题意设点A 的极坐标为(ρA ，α)，－π6<α<π3，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，α＋π2，则ρA ＝2cos α＋23·sin α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，ρB ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋π6＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，所以|OA |＋|OB |＝ρA ＋ρB ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12， 所以当α＝π12时，|OA |＋|OB |取得最大值，且(|OA |＋|OB |)max ＝4 2.5．[2019·四川泸州一诊]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝－4＋5t (t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PA |·|PB |＝|AB |2，求a 的值．解析：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)得ρ2sin 2θ＝2aρcos θ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)． 消去参数，得直线l 的普通方程为y ＝x －2. (2)将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得t 2－22(4＋a )t ＋32＋8a ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝32＋8a ，t 1>0，t 2>0， 所以|t 1|＝|PA |，|t 2|＝|PB |，|t 1－t 2|＝|AB |，由|PA |·|PB |＝|AB |2得 |t 1－t 2|2＝t 1t 2，所以|t 1＋t 2|2＝5t 1t 2， 所以[22(4＋a )]2＝5(32＋8a )，即a 2＋3a －4＝0， 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)，所以a ＝1.6．[2019·福建福州质量抽测]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )，与圆E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3<β<2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)若当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值． 解析：(1)证明：依题意，得|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝|4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3|， ∵π3<β<2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |. (2)当β＝5π6时，易得直线θ＝β＋π3与圆E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4sin 76π，7π6＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6， 直线θ＝β－π3与圆E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4sin π2，π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2， 从而B ，C 两点的直角坐标分别为(3，1)，(0,4)，∴直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋4，故y 0＝1，α＝2π3.。