22有理数和无理数

无理数的性质及与有理数的比较在数学领域，有理数和无理数是两个重要的概念。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。

本文将探讨无理数的性质，并与有理数进行比较。

首先，无理数的定义是不能表示为有限小数或分数的数。

最著名的无理数是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。

这意味着π的小数部分永远不会重复。

类似地，根号2也是一个无理数，它不能表示为两个整数的比值。

无理数的这种特性使其在数学中具有重要的地位。

其次，无理数与有理数在数轴上的分布也有所不同。

有理数可以在数轴上找到一个精确的位置，而无理数则是无限不可数的。

这意味着在任何两个有理数之间，都存在无穷多个无理数。

例如，在数轴上的任意两个有理数之间，总能找到一个无理数。

这种无限性使得无理数在数学中具有广泛的应用。

此外，无理数还具有一些特殊的运算性质。

例如，无理数的加法、减法和乘法仍然是无理数。

这意味着两个无理数的和、差或积仍然是无理数。

然而，无理数的除法则可能是有理数。

例如，根号2除以根号2等于1，这是一个有理数。

这种运算性质使得无理数与有理数之间的关系更加复杂。

此外，无理数还具有一些有趣的性质。

例如，无理数的平方是无理数。

这意味着如果一个数是无理数，那么它的平方也是无理数。

这可以通过反证法证明。

假设一个数的平方是有理数，那么这个数本身就是有理数，这与无理数的定义相矛盾。

因此，无理数的平方必然是无理数。

最后，无理数与有理数之间存在一种特殊的关系，即无理数可以通过有理数的逼近来近似表示。

例如，我们可以用有理数来逼近根号2，使得它们的差尽可能地小。

这种逼近方法被广泛应用于实际问题的求解中。

通过有理数的逼近，我们可以获得无理数的近似值，从而更好地理解无理数的性质。

综上所述，无理数具有许多独特的性质，使其在数学中具有重要的地位。

与有理数相比，无理数在数轴上的分布更为广泛，运算性质更为复杂。

无理数的平方是无理数，但它们可以通过有理数的逼近来近似表示。

七年级上第1章我们与数学同行1.1 生活数学 1.2 活动思考第2章有理数2.1 正数与负数 2.2 有理数与无理数 2.3 数轴 2.4 绝对值与相反数 2.5 有理数的加法与减法 2.6 有理数的乘法与除法 2.7 有理数的乘方 2.8 有理数的混合运算第3章代数式3.1 字母表示数 3.2 代数式 3.3 代数式的值 3.4 合并同类项 3.5 去括号 3.6 整式的加减第4章一元一次方程4.1 从问题到方程 4.2 解一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题第5章走进图形世界5.1 丰富的图形世界 5.2 图形的运动 5.3 展开与折叠 5.4主视图、左视图、俯视图第6章平面图形的认识(一)6.1 线段、射线、直线 6.2 角 6.3 余角、补角、对顶角 6.4 平行 6.5 垂直七年级下第7章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件 7.2 探索平行线的性质 7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 多边形的内角和与外角和第8章幂的运算8.1 同底数幂的乘法 8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第9章整式乘法与因式分解9.1 单项式乘单项式 9.2 单项式乘多项式 9.3 多项式乘多项式 9.4 乘法公式9.5 多项式的因式分解第10章二元一次方程组10.1 二元一次方程 10.2 二元一次方程组 10.3 解二元一次方程组 10.4 三元一次方程组10.5 用二元一次方程组解决问题第11章一元一次不等式11.1 生活中的不等式11.2 不等式的解集 11.3 不等式的性质11.4 解一元一次不等式11.5 用一元一次不等式解决问题11.6 一元一次不等式组第12章证明12.1 定义与命题12.2 证明 12.3 互逆命题八年级上册第1章全等三角形1.1 全等图形 1.2 全等三角形 1.3 探索三角形全等的条件第2章轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形 2.2 轴对称的性质 2.3 设计轴对称图案 2.4 线段、角的轴对称性 2.5 等腰三角形的轴对称性第3章勾股定理3.1 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 3.3 勾股定理的简单应用第4章实数4.1 平方根 4.2 立方根 4.3 实数 4.4 近似数第5章平面直接坐标系5.1 物体位置的确定 5.2 平面直角坐标系第6章一次函数6.1 函数 6.2 一次函数 6.3 一次函数的图像 6.4 用一次函数解决问题6.5 一次函数与二元一次方程 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式八年级下第7章数据的收集、整理、描述7.1 普查与抽样调查7.2 统计表、统计图的选用7.3 频数和频率7.4 频数分布表和频数分布直方图第8章认识概率8.1 确定事件与随机事件 8.2 可能性的大小 8.3 频率与概率第9章中心对称图形——平行四边形9.1 图形的旋转9.2 中心对称与中心对称图形 9.3 平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形 9.5 三角形的中位线第10章分式10.1 分式10.2 分式的基本性质 10.3 分式的加减 10.4 分式的乘除10.5 分式方程第11章反比例函数11.1 反比例函数11.2 反比例函数的图像与性质11.3用反比例函数解决问题第12章12.1 二次根式12.2 二次根式的乘除 12.3 二次根式的加减九年级上第1章一元二次方程1.1 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 1.4 用一元二次方程解决问题第2章对称图形——圆2.1 圆 2.2 圆的对称性 2.3 确定圆的条件 2.4 圆周角2.5 直线与圆的位置关系 2.6 正多边形与圆 2.7 弧长及扇形的面积 2.8 圆锥的侧面积第3章数据的集中趋势和离散程度3.1 平均数 3.2 中位数与众数 3.3 用计算器求平均数3.4 方差 3.5 用计算器求方差第4章等可能条件下的概率4.1 等可能性 4.2 等可能条件下的概率（一） 4.3 等可能条件下的概率（二）九年级下第5章二次函数5.1 二次函数 5.2 二次函数的图像与性质 5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 5.3 二次函数与一元二次方程 5.4 用二次函数解决问题第6章图形的相似6.1 图上距离与实际距离 6.2 黄金分割 6.3 相似图形 6.5 探索三角形相似条件 6.6 相似三角形的性质 6.7 图形的位似 6.8 用相似三角形解决问题第7章锐角三角形7.1 正切7.2 正弦、余弦7.3 特殊角的三角函数7.4 由三角函数值求锐角 7.5 解直角三角形7.6 用锐角三角函数解决问题第8章统计和概率的简单应用8.1 中学生的视力情况调查 8.2 货比三家8.3 统计分析帮你做预测 8.4 抽签方法合理吗 8.5 概率帮你做估计8.6 收取多少保险费才合理优质文档，内容可编辑。

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。

2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

2.2有理数与无理数分层练习考察题型一有理数的识别1．在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数的个数有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【详解】解：在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数有：5-，0，1.3，，3.1415926，共4个．故本题选：B ．2．在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【详解】解：在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有：0.010010001，0.3333⋯，227-，0，43%-，共5个．故本题选：B ．考察题型二有理数的分类1．在下列数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，属于整数的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，整数的有：1+，15-，0，1-，共4个．故本题选：C ．2．在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【详解】解：在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有：25，3.14，共2个．故本题选：C ．3．在数12-，π， 3.4-，0，3+，73-中，属于非负整数的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：12-、 3.4-、73-为负数，不属于非负整数；π不属于整数；0，3+属于非负整数．故本题选：C ．4．下列各数：452,1,8.6,7,0,,4,101,0.05,9563---+--中，()A ．只有1，7-，101+，9-是整数B ．其中有三个数是正整数C ．非负数有1，8.6，101+，0D ．只有42,453--，0.05-是负分数【详解】解：由题意可知：A 、整数包括：1，7-，0，101+，9-，故本选项错误；B 、正整数包括：1和101+，故本选项错误；C 、非负数包括：1，8.6，101+，0，56，故本选项错误；D 、负分数包括：45-，243-，0.05-，故本选项正确．故本题选：D ．5．把下列各数填入相应的集合中：6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，正分数集合：{}⋯；正整数集合：{}⋯；整数集合：{}⋯；有理数集合：{}⋯．【详解】解：正分数集合：{0.75，245，9%，}⋯；正整数集合：{6+，8+，}⋯；整数集合：{6+，3-，0，8+，}⋯；有理数集合：{6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，}⋯．6．把下列将数填入相应的集合中：23-，0.5，23-，28，0，4，135， 5.2-．【详解】解：如图所示：．7．将数分类：2-，0，0.1314-，11，227，143-，0.03，2%．正数：{}；非负数：{}；负分数：{}；非负整数：{}．【详解】解：正数有：11，227，0.03，2%，非负数有：0，11，227，0.03，2%，负分数有：0.1314-，143-，非负整数有：0，11．8．把下列各数填在相应的集合内：3-，4，2-，15-，0.58-，0， 3.4- ，0.618，139，3.14．整数集合：{}⋯；分数集合：{}⋯；负有理数集合：{}⋯；非正整数集合：{}⋯．【详解】解：整数集合：{3-，4，2-，0}⋯；分数集合：1{5-，0.58-， 3.4- ，0.618，139，3.14}⋯；负有理数集合：{3-，2-，15-，0.58-， 3.4}-⋯；非正整数集合：{3-，2-，0}⋯．考察题型三有理数的概念辨析1．下列关于0的说法错误的是()A．任何情况下，0的实际意义就是什么都没有B．0是偶数，也是自然数C．0不是正数也不是负数D．0是整数也是有理数【详解】解：A、0的实际意义不是什么都没有，符合题意；B、0是偶数，也是自然数，不合题意；C、0不是正数也不是负数，不合题意；D、0是整数也是有理数，不合题意．故本题选：A．2．下面是关于0的一些说法：①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的负数；⑤0既不是奇数又不是偶数．其中正确说法的个数是()个．A．0B．1C．2D．3【详解】解：①0是正数与负数的分界，所以0既不是正数也不是负数，故原说法正确；②0和正整数都是自然数，所以0是最小的自然数，故原说法正确；③0既不是正数也不是负数，故原说法错误；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误；⑤整数按能否被2整除分为奇数与偶数，0属于偶数，故原说法错误；综上，①②正确．故本题选：C．3．下列说法错误的是()A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数【详解】解：负整数和负分数统称负有理数，A正确，不合题意；整数分为正整数，0，负整数，B正确，不合题意；正有理数，0，负有理数组成全体有理数，C错误，符合题意；3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D正确，不合题意．故本题选：C．4．下列说法正确的是()A．正整数、负整数统称为整数B．正分数、负分数统称为分数C．正数、0、负数统称为有理数D．整数、分数、小数都是有理数【详解】解：A．正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；B．正分数、负分数统称为分数，故本选项正确；C．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误；D．无限不循环小数不是有理数，故本选项错误．故本题选：B．5．下列说法中正确的是()A．非负有理数就是正有理数B．有理数不是正数就是负数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【详解】解：A、非负有理数就是正有理数和0，故A选项不正确；B、0既不是正数也不是负数，是有理数，故B选项不正确；C、正整数、0、负整数统称为整数，故C选项不正确；D、整数和分数统称有理数，故D选项正确．故本题选：D．6．下列说法：（1） 3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）2023-既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：（1）正确；（2）错误，还有0；（3）正确；（4）错误，2023-是有理数；（5）正确．正确的有3个，故本题选：C．7．下列说法中，正确的是()A．在有理数集合中，有最大的正数B．在有理数集合中，有最小的负数C．在负数集合中，有最大的负数D．在正整数集合中，有最小的正整数【详解】解：A、在有理数集合中，没有最大的正数，故A选项错误；B、在有理数集合中，没有最小的负数，故B选项错误；C、在负数集合中，没有最大的负数，故C选项错误；D、在正整数集合中，有最小的正整数1，故D选项正确．故本题选：D．8．下面说法中正确的有()A．非负数一定是正数B．有最小的正整数，有最小的正有理数C．a-一定是负数D．0既不是正数，也不是负数【详解】解： 非负数包括0和正数，A∴选项不合题意；∴选项不合题意；没有最小的正有理数，B若a是负数，则a∴选项不合题意；-是正数，C∴选项符合题意．既不是正数，也不是负数，D故本题选：D．9．下列说法正确的是()A．最小的正有理数是1B．最小的正整数是1C．0是最小的有理数D．有理数由正数和负数组成【详解】解：A．没有最小的有理数，故本选项不合题意；B．最小的正整数是1，故本选项符合题意；C．有最小的有理数，故本选项不合题意；D．有理数由正有理数，0，负有理数组成，故本选项不合题意．故本题选：B．10．有下列说法：①最小的自然数为1；②最大的负整数是1-；③没有最小的负数；④最小的整数是0；⑤最小非负整数为0，其中，正确的说法有()A．2个B．3个C．4个D．5个【详解】解：①最小的自然数为0，故①不正确；②最大的负整数是1-，故②正确；③没有最小的负数，故③正确；④没有最小的整数，故④不正确；⑤最小非负整数为0，故⑤正确；综上，正确的说法有3个．故本题选：B．考察题型四数感问题1．有两个正数a，b，且a b<，把大于等于a且小于等于b所有数记作[a，]b，例如大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．如果m在[5，15]内，n在[20，30]内，那么nm的一切值中属于整数的有()A．1，2，3，4，5B．2，3，4，5，6C．2，3，4D．4，5，6【详解】m在[5，15]内，n在[20，30]内，515m∴，2030n，∴2030155nm，即463nm，∴nm的一切值中属于整数的有2，3，4，5，6．故本题选：B．2．设有三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b+，a的形式，又可表示为0，ba-，b的形式，则ab 的值为．【详解】解： 三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b +，a 的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，∴这两个数组的数分别对应相等，a b ∴+与a 中有一个是0，b a-与b 中有一个是1-，若0a =，则b a无意义，0a ∴≠，0a b +=，∴a b =-，即1b a =-，b a-1=，∴1b =-，1a =，ab ∴的值为1-．故本题答案为：1-．考察题型五无理数的识别1．在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数的个数是()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数有：2π，3π-，共2个．故本题选：A ．2．下列八个数：8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），无理数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【详解】解：在实数8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0）中，无理数有：2π，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），共2个．故本题选：C ．3．介于3和π之间的一个无理数是()A ．32π+B ．3.15C ．3.1D ．0.15π-【详解】解：介于3和π之间的一个无理数是32π+．故本题选：A ．4．（1）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是；（2）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是．【详解】解：（1）无理数为：2π-，故本题答案为：2π-（答案不唯一）；（2）(1)1ππ+-=，故本题答案为：π，1π-（答案不唯一）．1．循环小数0.15可化分数为．【详解】解：设0.15x ⋅⋅=，则10015.15x ⋅⋅=，15.15150.15⋅⋅⋅⋅∴=+，10015x x ∴=+，解得：533x =．故本题答案为：533．2．已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，{2A =-，3-，8-，6，7}，{3B =-，5-，1，2，6}，{1C =-，3-，8-，2，5}，请把这些数填在图中相应的位置．【详解】解：如图所示：．3．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为()A．12B．1118C．76D．59【详解】解：由题意可得：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，原10个有理数互不相等，∴它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22， 它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，∴如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．∴10个真分数相加得出结果为5，故所求的10个有理数之和为5/9．故本题选：D．。

有理数与无理数加减乘除的结果有理数和无理数，这俩家伙就像两位性格迥异的邻居。

有理数嘛，大家都知道，像1、2、0.5这类，都是整整齐齐的，能用分数表示的朋友。

他们的日常生活可简单了，数一数，算一算，结果总是看得见的。

可这无理数可就不那么简单了，比如根号2、π，还有那些永远也不能写成简单分数的家伙，他们像个小精灵，总在数轴上神出鬼没，让人哭笑不得。

想象一下，有理数在厨房里做饭，一切都得心应手，切菜、煮汤，调料放得刚刚好。

而无理数则像个艺术家，在画布上挥洒自如，几笔之后，竟然能产生不可思议的效果。

你问他是怎么做到的？他只会眨眨眼，不告诉你，因为他的秘密可不是谁都能懂的。

这俩人碰到一起，就好比火星撞地球，火花四溅。

加法呢，简单得很！有理数和有理数加起来，结果还是有理数。

你说好不好？再比如，无理数和无理数相加，结果也是无理数，这让人感到安慰。

可偏偏有理数和无理数相加，那结果却可能是有理数也可能是无理数，这让很多人绞尽脑汁，心里嘀咕：“这到底是咋回事？”就像开盲盒，兴奋又忐忑，你永远不知道自己会抽到什么。

再来说说减法，嘿，没什么好担心的，结果也还是跟加法差不多。

有理数减去有理数，还是有理数；无理数减无理数，还是无理数。

可如果你要是从有理数里减去无理数，那结果又得看运气，或许是有理数，或许是无理数。

简直像抽奖，谁能猜得到呢？乘法就更有意思了。

有理数乘有理数，结果依旧是有理数；无理数乘无理数，结果也是无理数。

可是，一旦有理数跟无理数一起玩儿，结果就像脱缰的野马，令人目瞪口呆，没准儿变成了有理数，也有可能还是无理数。

这种感觉就像打游戏，明明是简单的操作，却能产生千变万化的结果。

至于除法，哈哈，稍微复杂一点。

一个有理数除以一个无理数，那结果又有可能是无理数，或者在特定的情况下也能是有理数。

可千万别问我怎么来的，谁知道呢？就像你去酒吧喝酒，喝的再好，醒来也不一定记得昨天发生了什么。

看吧，这有理数和无理数的互动，真是耐人寻味。

无理数与有理数的运算法则
无理数和有理数是数学中两种不同的数。

有理数可以表示为两个整数的比例，而无理数则无法表示为有理数的比例。

在进行无理数和有理数的运算时，有以下法则：
1. 无理数和有理数相加减，结果为无理数。

例如，π+3=π+3，√2-4=√2-4。

2. 无理数和有理数相乘，结果为无理数。

例如，π×2=2π，√3×5=5√3。

3. 无理数和有理数相除，结果为无理数。

例如，π÷5=π/5，√5÷2=√5/2。

4. 无理数之间的加减乘除，结果为无理数。

例如，π+√2=π+√2，π×√2=π√2，π÷√2=π/√2。

5. 有理数之间的加减乘除，结果为有理数。

例如，2+3=5，4-2=2，2×3=6，6÷2=3。

在实际运用中，我们需要注意无理数和有理数的运算结果是否有实际意义，并根据需求进行适当的化简或精度控制。

- 1 -。

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。

根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

2.2有理数与无理数1. 0是 ( )A ．最小的正数B ．最大的负数C ．最小的有理数D ．整数 2.下列说法正确的是( )A. 0.555…是分数B. -5是负分数C.3.8不是分数D.自然数一定是正数 3.下列说法:①有限小数是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④有理数是有限小数中错误的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.下列说法正确的是( )A.整数包括正整数和负整数B.零是整数,但不是正数,也不是负数C.分数包括正分数、负分数和零D.有理数不是正数就是负数 5.以下各正方形的边长是无理数的是( )A.面积为25的正方形B.面积为16的正方形C.面积为3的正方形D.面积为1.44的正方形 6.在下列各数中：0，-3.14，722，0.101 001 0001…，3π，有理数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.整数和分数统称为__________数,无限不循环小数是___________数.8.在-2，+3.5,0，-32，-0.7,11，-5π，-0.23 223 2223…，-••31.0中，负分数是__________.9.写出一个比-3大的无理数是___________.10.如图，两个圈分别表示负数集合、整数集合，请从-1,5，-80％，-7,0，-0.2，72，-10这些数中，选择适当的数填在这两个圈的重叠部分为__________.11.有6个数：0.123，-1.5,3.1416，722，π-，0.102 002 0002，若其中无理数的个数是x ，整数的个数是y ，非负数的个数是z ，则x+y+z=_________. 12.我们知道，无限循环小数都可以转化成分数.如:0.333…转化为分数时，可设0.333…=x ， 则x x 1013.0+=，解得31=x ,即0.333…=31.仿此方法，将0.454545…化为分数得_____.13.将下列各数分类：5.1，-3.14， ，0，0.222…，1.696696669，1.696696669…，0.5， -0.210有理数有________________________________; 无理数有________________________________.14.将下列各数填入相应的括号内：11.将下列各数填入相应的括号内：-6，9.3， 17 ，42，0，-0.33，0.333…，1.41421356，-2 ，3.3030030003…，-3.1415926，2π，0.58588588858888….正数集合｛ …｝ 负数集合｛ …｝ 有理数数集合｛ …｝ 无理数数集合｛ …｝ 15.把下列各数填在相应的大括号中-311,-10％,722,0.3,π,0,-1.7,21,-2,1.01001,1.2020020002…，+6 有理数集合｛ …｝ 无理数集合｛ …｝ 正数集合｛ …｝ 负数集合｛ …｝ 整数集合｛ …｝ 分数集合｛ …｝ 非负有理数集合｛ …｝ 16.漠漠做数学：假设抽到牌的点数为x ，漠漠猜中的结果为y ，则y 等于 （ ） A.2 B.3 C.6 D.x+2参考答案 1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C7.有理数，无理数 8.-2，-32，-0.7,-9.-0.23 2232223… 10.-7,-10 11.6 12.45/9913.有理数有5.1，-3.14，0，0.222…，1.696696669，0.5， -0.210无理数有 ，1.696696669…14.正数集合｛ 9.3， 17，42 ,0.333…，1.41421356， 3.3030030003…，2π ，0.58588588858888…. …｝负数集合｛ -6，-0.33,-2 , -3.1415926 …｝有理数数集合｛ -6，9.3， 17，42，0，-0.33，0.333…，1.41421356，-2 ，-3.1415926， …｝无理数数集合｛ 3.3030030003…，2π，0.58588588858888…. …｝ 15.-311,-10％,722,0.3,π,0,-1.7,21,-2,1.01001,1.2020020002…，+6有理数集合｛15.-311,-10％,722,0.3,0,-1.7,21,-2,1.01001,+6 …｝••31.0无理数集合｛ π, 1.2020020002… …｝ 正数集合｛722,0.3,π, 21,1.01001,1.2020020002…，+6 …｝ 负数集合｛-311,-10％, -1.7 , -2 …｝整数集合｛0, 21, -2, +6 …｝分数集合｛ -311,-10％,722,0.3,-1.7, -2,1.01001 …｝非负有理数集合｛ 15. 722,0.3,0,21,1.01001,+6 …｝ 16.2初中数学试卷灿若寒星 制作。

有理数与无理数分类数学中的数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为两个整数的比例形式的数，而无理数则是不可用有限或无限循环小数形式表示的数。

有理数和无理数在数学中有着不同的性质和特点。

本文将对有理数和无理数进行分类和讨论。

一、有理数的分类有理数可以分为整数和分数两种。

1. 整数整数包括正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数。

2. 分数分数由分子和分母组成，分子是整数，而分母是正整数。

分数可以表示为两个整数的比值。

分数又可以分为真分数和假分数。

- 真分数：分子小于分母的分数。

例如，1/2、3/4都是真分数。

- 假分数：分子大于或等于分母的分数。

例如，5/4、7/4都是假分数。

二、无理数的分类无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。

1. 无限不循环小数无限不循环小数是无理数的一种形式，不能表示为两个整数的比例形式。

无限不循环小数的小数部分是无限长度的，且没有循环模式。

例如，圆周率π和自然对数的底数e都是无限不循环小数。

2. 无限循环小数无限循环小数是无理数的另一种形式，同样不能表示为两个整数的比例形式。

无限循环小数的小数部分是有限长度的，且有一个或多个循环模式。

例如，1/3和22/7都是无限循环小数。

三、有理数与无理数的性质比较有理数和无理数在数学运算、大小比较和表示形式等方面有着不同的性质。

1. 数学运算：有理数之间的四则运算（加法、减法、乘法、除法）仍然是有理数，两个有理数之间的运算结果也是有理数。

例如，1/2 + 3/4 = 5/4，结果是一个有理数。

而无理数与有理数之间的运算结果通常是无理数。

例如，√2 + 1/2是一个无理数。

2. 大小比较：有理数之间可以通过大小关系进行比较。

例如，2/3 < 4/5，即2/3小于4/5。

而无理数之间的大小比较相对复杂，需要借助数学方法进行推导。

一般来说，无理数之间无法直接通过大小关系进行比较。

有理项与无理项的概念有理项与无理项的概念一、引言在数学中，我们常常会遇到有理项和无理项。

有理项和无理项是代数式中的两个重要概念。

它们在代数运算、方程解法、数学推导等方面都有着广泛的应用。

二、有理数和无理数的基本概念1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数字，即可以写成分数形式的数字。

例如，1/2、3/4等都是有理数。

它包括正整数、负整数、零以及正分数和负分数。

2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数字，即不能写成分数形式的数字。

例如，π和√2等都是无理数。

三、代数式中的有理项和无理项1. 代数式代数式是由数字、变量以及加减乘除等基本运算符号组成的表达式。

例如，3x+2y-5z就是一个代数式。

2. 有理项有理项是指代表一个有理数字（包括整型和分型）的部分。

例如，在3x+2y-5z中，3x、2y和-5z都是有理项。

3. 无理项无理项是指代表一个无法表示为一个整型或分型的数字的部分。

例如，在代数式√2x+3y-πz中，√2x和πz都是无理项。

四、有理项和无理项的运算1. 加减法有理项之间可以进行加减法运算。

例如，3x+2y-5z+4x-3y+6z可以化简为7x-z。

2. 乘法有理项之间可以进行乘法运算。

例如，(3x+2y)(4x-5y)可以化简为12x²-7xy-10y²。

3. 除法有理项之间也可以进行除法运算。

例如，(3x²+6xy)/(3x)可以化简为x+2y。

五、应用举例1. 方程解法在解一元二次方程时，我们常常会遇到无理数根。

例如，在求解方程x²+5=0时，我们需要求出√5这个无理数根。

2. 几何应用在几何中，我们常常会遇到无理数的概念。

例如，在求一个正方形的对角线长度时，我们需要使用√2这个无理数。

六、总结有理项和无理项是代数式中的两个重要概念。

它们在代数运算、方程解法、几何应用等方面都有着广泛的应用。

了解它们的概念和运算规则，对于学习和应用数学知识都有着重要的作用。

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。

根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。

非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。

我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。

无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。

知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

2.1有理数与无理数主备人乔高霞二次备课1.教学目标1理解有理数的意义；知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念。

2.会判断一个数是有理数还是无理数。

经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。

2.教学重点区分有理数与无理数，知道无理数是客观存在的。

感受夹逼法，估算无理数的大小3.教学难点会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程教学过程：一．自主学习1、我们上了六多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?2、想一想：小学里我们还学过有限小数和循环小数，它们是有理数吗？循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读二．合作、探究、展示1.议一议：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。

（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？（2）a可能是整数吗？说说你的理由。

（3）a可能是分数吗？说说你的理由2、算一算：（1）a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来。

a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.（2）请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3、有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.三．反馈练习1.判断题. (1)无理数都是无限小数. （）(2)无限小数都是无理数. （）11111111（3）有理数与无理数的差都是有理数. （ ）二次备课(4)两个无理数的和是无理数. （ ） 2.把下列各数填在相应的大括号内：35，0，π3，3.14，－23，227，49，－0.55，8， 1.121 221 222 1…(相邻两个１之间依次多一个２)，0.211 1，999正数集合：｛ …｝；负数集合：｛ …｝；有理数集合：｛ …｝；无理数集合：｛ …}.3.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）（A ）面积为25的正方形； (B)面积为16的正方形；(C)面积为3的正方形； (D)面积为1.44的正方形.四．小结提升1．什么叫无理数？2．数的分类？3．如何判定一个数是无理数还是有理数.五．作业巩固《伴你学》检测反馈教学反思。

有理数与无理数知识点1 有理数整数和分数统称有理数.(有理数也叫可比数)整数： 正整数、零和负整数统称为整数。

()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。

()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。

40.3,0.31,......5••⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。

例：0.333……可以化为31 知识点2 有理数的分类1.按有理数的定义分类2.按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点：有理数的分类例1 把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．知识点3 无理数无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数有以下三种类型：（1）常数型无理数，如：π、e 等.（2）规律型无理数，如0.1010010001……（3）开方型无理数（八年级学习），如2、3、5等注意：（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数.（2）圆周率π是无理数.（3）无理数与有理数的和差一定是无理数.（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数.例2下列各数中..3.14，12π，1.090 090 009…，227，0，3.1415是无理数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、把下列各数填在相应的大括号里．+8，+3 4 ，0.275，2，0，-1.04，22 7 ，-8，-100，-1 3 ，0.•3 ．（1）正整数集合{ …}（2）负整数集合{ …}（3）正分数集合{ …}（4）负分数集合{ …}．例4、把下列和数按要求分类．-4，10%，−11 2 ，-2.00，101，2 1 ，-1.5，0，0.1010010001…，0.6．负整数集合：{ …}正分数集合：{ …}负分数集合：{ …}整数集合：{ …}有理数集合：{ …}例5、如图、两个圈分别表示负数集和整数集，请你分别在A、B、C处分别填入3个数．例6、把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内：。