人教A版(2019)高中数学必修第一册 4.3.1 对数的概念 课件

用数学的眼光看世界， 用数学的思维思考世界， 用数学的语言表达世界
谢谢！
0901
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8
数海拾贝，知识渊源
恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积 分的建立是17世纪数学史上的三大成就。
伽利略说，给我空间、时间以及对数，我可以创造 一个宇宙。 拉普拉斯说，因为省时省力，对数倍增了天文学 家的寿命。
共同研究，建构新知
共同研究，建构新知
log 是同加减 乘除符号一 样表示一种 运算，运算符号在数的 前面。 已知底数和 幂求指数的运算称为 对数运算.
(2)自然对数：以e=2.71828…为底的对数称为自然对数
loge N记为 ln N
深入探究，提高能力
探究：（1） loga1＝_0__，logaa＝_1__ a0 1; a1 a
11
（2）loga a2 _2__,loga a5 5___,loga a3 -_3__,loga a5 _5__,... 一般地，loga ab _b__,请证明该结论.
情境引入，探索新知
Байду номын сангаас
思考1：上述问题实质上是 已知__底_数_和__幂__的值，求指 数的问题。
即指数式 ab N 中，已知a 和N.求b的问题。（这里
a>0且a≠1 ）
思考2： ( 1 ) x 0 .03125
2
(111%)x 2
x5
x?
为了解决此问题，需学习新的数 ——对数
数海拾贝，知识渊源
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11
深入研究，构建新知
对数与指数的关系
指数式与对数式表示的是a，x，N三者之间的同一关系,只是形式不同
指数式
对数式

(1) log 64
2
x＝ － ；
3
(3) lg 100 ＝ x;
解：
(2) log x 8 ＝ 6；
(4) － ln e2 ＝ x.
精讲点拨
例3 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取
值范围是________.
4－x>0，

解析： 由题意可知x－2>0， 解得 2<x<4 且 x≠3.

x－2≠1，
答案 (2，3)∪(3，4)
知识建构
（1）对数的由来
（2）对数的定义
（3）常用对数与自然对数
（5）指对数互换
巩固训练
1.判断
（1）根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
（2）对数式log32与log23的意义一样.(
×
×)
)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
（3）对数的运算实质是求幂指数.( √ )
巩固训练
2.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
巩固训练
2
3.若logx8＝3，则x＝________.
4.若log3(log2x)=0,则x=
2
.
巩固训练
5.求下列各式的值
对数的有关性质是解
2.对数的有关性质
题的重要依据！！
没有对数
(1)零和负数__________；
0
(2)1的对数为___，即log
a1＝0(a>0且a≠1)；
1
(3)底数的对数为___，即log
aa＝1(a>0且a≠1).

是真的吗
嘿，挖到几枚恐龙蛋，送
到权威机构做了碳14同位素鉴定，
结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现
在坐等博物馆人员上门收购！
碳14同位素法检测原理
生物死亡后，它机体内原有的碳14含
量每经过大约6000年会衰减为本来的
一半，这个时间称为“半衰期”.
研究人员常常根据机体内碳14的含量
来推断生物体的年代，其中半衰次数

=
(＜＜)
y
=
(＞)
a∈{a| ＞0，且a≠1}
x∈R
N∈+
O
x
四、典例精析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）log 5 125 = 3；（2）log 2
1
16
= −4；
（3）10−2 = 0.01；（4）e0 = 1（其中e=2.71828…）.
log = 1.
五、随堂练习
1.对数式与指数式的互化：
（1）2
−1
=
1
;
2
（2）ln1 = 0.
1
2
解：（1）log 2 =-1；（2） 0 =1.
2.求值：（1）log 3 9；
（2）log 9 3.
解：（1）设x=log 3 9，则3 = 9 = 32 ，所以x=2，即log 3 9=2；
1
2
与碳14的含量P之间的关系为： = ( ) .
但是，当生物组织内的碳14含量不足千分之一（这里我们按
来计算）时，放射性探测器就测不到碳14了．
1
1024
试回答以下几个问题：
（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为本来的多少？3次呢？
1
1 3 1

2x=3，那么x可以记作 x=log23
读作：以2为底3的对数
3x=27，那么x可以记作 x=log327
读作：以3为底27的对数
对数式与指数式的关系
以a为底N的对数
指数
幂
真数
log a N = x
a x= N
底数
对数的性质
1.对数和指数运算互为逆运算
2.底数a>0且a≠1；底数a的取值范围： , ∪ , +∞
3
（4）1 16 = −4
64
2
；
规律总结
指数式与对数式互化的思路
1. 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指
数作为对数，底数不变，写出对数式 .
2. 对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对
数作为指数，底数不变，写出指数式 .
题型二 对数的求值
例2 求下列各式中的x值：
(1)log5x=3;
对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，
N叫做真数
注意
①底数的限制，a>0且a≠1； > 0
②对数的书写格式
log a N
在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(－∞，3]
C.(4，＋∞)
B.(3,4)∪(4，＋∞)
√
D.(3,4)
x＋1>0，

由对数的概念可得x－3>0，
b. 利用幂的运算性质和指数的性质计算 .
题型三 对数的性质应用
例4
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，

答案：(1)x=16；
(3)x=2；
(2)x= 2；
(4)x=-2.
练一练
1.求下列各式中x的值：
(1)log2x=-2 ;
(2)logx49=4 ;
(3)lg0.00001=x ;
(4)ln =-x .
1
答案：(1)x= ；
4
(3)x=-5；
(2)x= 7；
1
(4)x=- .
2
练一练
2.求下列各式的值：
（请注意书写格式： x=logaN
）
指数式与对数式的关系
指数
对数
x
a =N
x=logaNLeabharlann 真数幂底数
思考：这里的a与N各自的取值范围是什么？
2 两类重要对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数.
为了方便,N的常用对数logeN简记为lnN.
求下列各式的值：
(1) ;
(2)logaaN .
提醒：这里的a与N各自的取值范围是什么？
思 维
素 养
1.(1)使式子log(x-1)(3-x)有意义的x的取值范围
是
;
(2)方程4x=5×3x的解为
答案：(1)(1, 2)∪(2, 3)；
(2)x=4 5 .
3
.
2.求下列各式中x的值：
所以 a2m+n =(am)2an
=22×3
=12
方法：对数式转化为指数式
3.(1)已知函数 f(ex)=x,则 f(2)=
(2)设 f(log2x)=x,则 f(3)=
;

（2）log只是记录对数的符号，类似于三角中的正 余弦sin,cos等；
（3） logaN不是loga与N的乘积； （4）对数是一个数，是指数式中指数的等价表达。
对数的概念
立德树人 和谐发展
例如·，由于 2的对数，记作
，所以x就是以1.11为底 ；
由于
，所以x就是以3为底
6的对数，记作
；
再如，由于
， 4= ，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求
指数．用我们现有的知识体系可以解决上述问题吗？
这就是本节要学习的对数。
立德树人 和谐发展
对数的发明者
约翰·纳皮尔
（John Napier， 1550～1617）
苏格兰数学家
对数的概念
立德树人 和谐发展
1．对数的定义(阅读课本第二自然段)
如果 ax ＝ N，（a > 0，且 a ≠ 1），则数 x 叫以 a 为底 N 的对数记作 x ＝ loga N，其中 a 叫底数，N 叫真数. 注意： （1）对数的写法；
立德树人 和谐发展
问题探究
立德树人 和谐发展
[探究问题] 1．你能推出对数恒等式 alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N >0)吗？
2．如何解方程 log4(log3x)＝0?
2
归纳总结
立德树人 和谐发展
其实指数式与对数式，虽然从形式上看，两者不同， 但本质上是一致的。这个一致就是底数、指数（对数）、 幂（真数）三者之间的关系。
典例解析
立德树人 和谐发展
例 2 求 下 列 各 式 中 的 x 的 值：
(1) log 64 x＝ － 32； (3) lg 100 ＝ x;
对数的基本性质
立德树人 和谐发展

对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中 a>0，且 a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子 logmN 中，底数 m 的范围是什么？ 提示：m>0 且 m≠1.
2．对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积？ 提示：不是，logaN 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数．
第四
章
指数函数与对数函数
4．3 对数
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数，并能进行简单的化简计算
数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝12，所以2512＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B. 答案：AB
4．已知logx16＝2，则x等于
[问题] 依次类推，1 个这样的细胞分裂 x 次得到的细胞个数 N 是多少？ 分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？如果已知细胞分裂后的个数 N，如何 求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做__以__a__为__底__N__的__对__数__， 记作__x_＝__lo_g_a_N____，其中 a 叫做_对__数__的__底__数___，N 叫做__真__数__． 2．常用对数与自然对数

(2)对数式y＝logax有意义的条件是x＞0，有时底数a＞0，且a≠1也要 考虑．
[典例 1] (1)在对数式 b＝loga－2(5－a)中，实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(5，＋∞)
B．(2,5)
C．(2,3)∪(3,5)
D．(3,4)
(2)将下列指数式、对数式互化：
①53＝125；②log216＝4； ③10－2＝0.01；④log 5125＝6.
提示：①a<0，N 取某些值时，logaN 不存在，如根据指数的运算性质可知，
不存在实数 x 使－12x＝2 成立，所以
不存在，所以 a 不能小于 0.
②a＝0，N≠0 时，不存在实数 x 使 ax＝N，无法定义 logaN；N＝0 时，任
意非零实数 x，有 ax＝N 成立，logaN 不确定．
③a＝1，N≠1 时，logaN 不存在；N＝1，loga1 有无数个值，不能确定．
[方法技巧] 利用对数性质求解的两类问题的解法 (1) 求 多 重 对 数 式 的 值 解 题 方 法 是 由 内 到 外 ， 如 求 loga(logbc) 的 值 ， 先 求 logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再 求解．
2．若a2＝M(a＞0，且a≠1)，则有
A．log2M＝a 答案：B
B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
3．若log2x＝2，则x＝__________. 答案：4
4．已知 log32x－5 1＝0，则 x＝________.
答案：3
()
题型一 对数的概念 【学透用活】
(1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分 的“去向”：

[例3]
(1)设5log5
2−1
＝25，则x的值等于( B )
A．10
B．13
C．100
D．±100
10
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
思路点拨
(1)利用对数恒等式log ＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
多维探究
3e
变式1 若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为______．
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．( × )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( × )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( √ )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )
A．100＝1与lg 1＝0
2
1 −5
2= 32(3)Fra biblioteklg1000＝3；
(4) ln x＝2.
103＝1000
e2＝x
方
法
总
结
指数式与对数式互化的方法
1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，
指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，
对数作为指数，底数不变，写出指数式.
跟踪训练
A．a>5或a<0
B．0<a<1或1<a<5
C．0<a<1
D．1<a<5
5－a>0
a>0
a≠1
0<a<5且a≠1

D.3
10
.
(3)2 2 3 +2log31-3log77+3ln 1=
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
0
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
2
(1)10 =100;(2)ln a=b;(3)7
1
=343;(4)log6 =-2.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,
4
(1)2 =16;(2)3
1
1 b
a
= ;(3)5 =20;(4)
=0.45.
27
2
-3
解 (1)log216=4.
1
(2)log327 =-3.
(3)log520=a.
(4)log 1 0.45=b.
2
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
25
x=-1;(5)logx64=2;(6)2lo g 2 3 =x.
解 由对数的定义,得
(1)x=34=81;
(2)5
1
= =5-2,所以
25
x
x=-2;
(3)x=log35;