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2018考研数学模拟题完整版及参考答案（数二）一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ） （A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ] （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .x y y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （7）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=. （Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =（11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小. （16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.2018可锐考研数学答案（四）1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>， 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P .165【例6.1】，P .193【１（３）】.2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰， 而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可. 【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】.4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即. 故对应的齐次微分方程为 20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）. 【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P .156【例 5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P .195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P .93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4s i n 14s i n1l i m l i m 2c o s 52c o s 55x x x x x x xx x x →∞→∞++==--.故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b bb b b x x x x x xb +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰.【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e xy Cx -=.（1e CC =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P .139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x y y x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d yyy x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x y x==-.方法三：令(,)1e yF x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y F F x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P .378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. 【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P .124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21tx t x t t =-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P .284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1s i n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=+∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得 ()()0f u f u u'''+=. （II ） 令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln ln p u C =-+，即1C p u =，亦即 1()C f u u'=. 由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+， 由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =.【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P .337【例12.15】21. 【分析】 （I ）利用曲线凹凸的定义来判定；（II ）先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上 ； （III ）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】 （I ）因为d d d d 422d 2,421d d d d 2d yx y y t t t t x t t x t tt-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t ≥时是凸的.（II ）由（I ）知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，设L 的方程()x g y =，则()3()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =，即(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰3(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】.22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=. 则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P .427【例4.5】，P.431【例4.11】.23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。
考研数学二模拟题2018年(18) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件______．SSS_FILL 该问题分值: 5a1 +a2+a3+a4=0；2.设其中ai ≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则线性方程A T x=B的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0) T；3.设A=(aij )3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0) T，则线性方程组Ax=b的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5(1，0，0) T；4.设方程有无穷多个解，则a=______．SSS_FILL该问题分值: 5-2．5.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54；6.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54．二、选择题1.设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是______SSS_SINGLE_SELA r=n．B r≥n．C r＜n．D r＞n．该问题分值: 5答案:C2.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是______SSS_SINGLE_SELA A的列向量线性无关．B A的列向量线性相关．C A的行向量线性无关．D A的行向量线性相关．该问题分值: 5答案:A3.设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0必有______SSS_SINGLE_SELA (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．该问题分值: 5答案:A4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0SSS_SINGLE_SELA 当n＞m时仅有零解．B 当n＞m时必有非零解．C 当m＞n时仅有零解．D 当m＞n时必有非零解．该问题分值: 5答案:D5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系______SSS_SINGLE_SELA 不存在．B 仅含一个非零解向量．C 含有两个线性无关的解向量．D 含有三个线性无关的解向量．该问题分值: 5答案:B6.设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解．C 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．该问题分值: 5答案:D7.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则______SSS_SINGLE_SELA r=m时，方程组Ax=b有解．B r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解．该问题分值: 5答案:A8.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1 =(1，2，3，4) T，α2+α3=(0，1，2，3) T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:C9.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A *的特征值之一是______• A.λ-1|A|n．• B.λ-1|A|．• C.λ|A|．• D.λ|A|n．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B10.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B11.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T属于特征值λ的特征向量是______•**α．•**α．•**α．D.(P-1)Tα．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B12.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的______SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 5答案:B13.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______SSS_SINGLE_SELA λE-A=λE-B．B A与B有相同的特征值和特征向量．C A与B都相似于一个对角矩阵．D 对任意常数t，tE-A与tE-B相似．该问题分值: 5答案:D14.设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．该问题分值: 5答案:C1。
2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++®x bx ax e xx，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数îíì³-=010,1)(x x x f ，＜，ïîïíì³--£-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且ò=1)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f ¢时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ¢¢时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f ¢时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ¢¢时，0)21(＜f 5.设dx x x M ò-++=22221)1(pp ，dx e x N x ò-+=221pp ，dx x K ò-+=22)cos 1(pp ，则（A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-òòòò----dy xy dx dy xy dxxxxx1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵÷÷øöççèæ100110011相似的为相似的为（A ）÷÷÷øöçççèæ1001101-11 （B ）÷÷÷øöçççèæ1001101-01 （C ）÷÷÷øöçççèæ1000101-11 （D ）÷÷÷øöçççèæ1000101-01 8.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++¥®= 。
2018考研数二真题答案解析2018年的考研数学二真题是无论对于考生还是备考人员都是一个非常重要的参考材料。
在这篇文章中，我们将对2018年考研数学二真题进行解析，帮助考生更好地理解题目和解题思路。
首先，我们来看一下第一道题目。
这道题目是一个概率论的题目，考察的是事件的独立性。
题目给出了两个事件A和B，要求求解事件A和B同时发生的概率。
通过分析题目中给出的条件，我们可以得出事件A和B是相互独立的，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
因此，我们只需要计算出事件A和事件B分别发生的概率，然后将两个概率相乘即可得到最终的答案。
接下来，我们来看一下第二道题目。
这道题目是一个线性代数的题目，考察的是矩阵的特征值和特征向量。
题目给出了一个3阶矩阵A，要求求解矩阵A的特征值和特征向量。
首先，我们需要计算出矩阵A的特征多项式，然后解特征多项式的根得到特征值。
接着，我们将特征值代入特征方程求解特征向量。
通过计算，我们可以得到矩阵A的特征值和特征向量。
第三道题目是一个微积分的题目，考察的是函数的连续性和可导性。
题目给出了一个函数f(x)，要求求解函数f(x)的连续点和可导点的个数。
首先，我们需要判断函数f(x)在定义域内的连续性，即判断函数在每个点上是否满足左极限和右极限相等。
然后，我们需要判断函数f(x)在定义域内的可导性，即判断函数在每个点上是否满足导数存在的条件。
通过分析函数f(x)的定义和性质，我们可以得到函数f(x)的连续点和可导点的个数。
最后，我们来看一下第四道题目。
这道题目是一个概率论的题目，考察的是随机变量的期望和方差。
题目给出了一个随机变量X的概率密度函数，要求求解随机变量X的期望和方差。
首先，我们需要计算出随机变量X的期望，即计算随机变量X在每个取值上的概率乘以取值的加权和。
然后，我们需要计算出随机变量X的方差，即计算随机变量X的每个取值与其期望的差的平方乘以概率的加权和。
通过计算，我们可以得到随机变量X的期望和方差。
考研数学二模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 1．[解析]2.设f(x)连续，且，则f(7)=______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 等式，两边对x求导，得3x 2 f(x 3 -1)=1．令x=2得12f(7)=1，则．3.SSS_FILL分值: 1-3f(cos3x)sin3x．[解析] 由变上限积分求导法可知4.设f(x)连续，则SSS_FILL分值: 1xf(x 2 )． [解析] 令u=x 2 -t 2，du=-2tdt．当t=0时，u=x 2，当t=x 时，u=0．故本题属于要先作换元然后才能求导的类型．5.设函数f(x)连续，．若φ(1)=1，φ"(1)=5，则f(1)=______．SSS_FILL分值: 12． [解析] 改写，由变限积分求导法得由得f(1)=2．6.由曲线y=xe x与直线y=ex所围成图形的面积S=______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 由xe x =ex可知x(e x -e)=0．则x=0或x=1．故二、选择题1.设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值SSS_SINGLE_SELA 依赖于s，t．B 依赖于s，t，x．C 依赖于t，x，不依赖于s．D 依赖于s，不依赖于t．分值: 1答案:D[解析] ，由此可见，I的值只与s有关，所以应选D．2.设函数记，0≤x≤2，则A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 当0≤x≤1时，；当1＜x≤2时，．由此可见应选B．f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，C，D．3.设f(x)连续，，则F"(x)等于•**(x4)．•**(x4)．•**(x4)．**(x2)．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 由知F"(x)=2xf(x 4 )．故应选C．4.已知设，则F(x)为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析]所以应选D．f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，B，C．5.设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 设，则即F(x)是偶函数，D是正确的．类似方法可以证明A，C均为奇函数．而对B中的函数，因为由所给条件不能推出为偶函数．6.设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是SSS_SINGLE_SELA 连续的奇函数．B 连续的偶函数．C 在x=0间断的奇函数．D 在x=0间断的偶函数．分值: 1答案:B[解析] 解法1 取函数它满足题设条件，则是一个连续的偶函数，从而排除了选项A，C，D，故选B．解法2 显然f(x)在任何有限区间[a，b]上都可积，于是连续；又因f(x)是奇函数，则是偶函数，故选B．7.设函数y=f(x)在区间[-1，3]上的图形如图所示．则函数的图形为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 根据题中函数y=f(x)的图形，可知函数在除了x=0，x=2两点外可导，且F"(x)=f(x)．由此可知：函数F(x)在(-1，0)内单调递增，在(0，1)内单调递减，在(1，2)内单调递增，在(2，3)内恒为常数．由于函数F(x)连续，且F(0)=0，所以正确选项只能是D．8.设函数，则SSS_SINGLE_SELA x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B x=π是函数F(x)的可去间断点．C F(x)在x=π处连续但不可导．D F(x)在x=π处可导．分值: 1答案:C9.曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形面积可表示为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] y=x(x-1)(2-x)与x轴的交点为x=0，x=1，x=2，因此该曲线与x轴围成的面积为所以应选C．10.由曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析]11.曲线与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为A．B．π．C．D．π 2．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析]12.设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 先画草图如图所示，对x积分。
考研数学二模拟题2018年(31)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围______SSS_SINGLE_SELA (-∞，1]∪{0}．B (-∞，0]．C [0，+∞)．D [1，+∞)∪{0}．分值: 4答案:D[解析] f[g(x)]=|g(x)|=|x 2 -x|，g[f(x)]=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x|．由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x 2 -x|=x 2 -|x|．①当x 2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x 2 -x=x 2 -|x|，即x=|x|，解得x≥0．综合得x≥1．②当x 2≤x，即1≥x≥0时，x-x 2 =x 2 -x，即2x=2x 2，解得x=1或x=0．综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．2.设z=h(x，y)由方程e xyz =x+y+z确定，则h(x，y)在点P(0，1)的两个偏导数______SSS_SINGLE_SELA 分别等于0和-1．B 分别等于-1和0．C 都等于0．D 都等于-1．分值: 4答案:D[解析] 将x=0，y=1代入方程e xyz =x+y+z，得e 0 =1+z0z=0．方程两边对x取偏导数，得e xyz (yz+xyzx )=1+zx．将p(0，1，0)代入上式，得同理可得3.设非负可微函数f(x)满足条件f"(x)≤0，收敛，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 由于f"(x)≤0，所以f(x)为单调下降函数．由于收敛，则又故由夹逼定理可知又当x≥1时，0≤f(x)≤xf(x)，从而有4.若F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数，则在[-1，1]上f(x)______SSS_SINGLE_SELA 有界．B 无第一类间断点．C 可积．D 连续．分值: 4答案:B[解析] F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数对x∈[-1，1]，f(x)=F"(x)．B正确，在[-1，1]上f(x)一定无第一类间断点，利用微分中值定理，通过反证法证明．研究函数F(x)有在(-∞，+∞)上连续，且导函数f(x)在(-∞，+∞)存在，且f(0)=0．但导函数f(x)在x=0点不连续，而且当x→0时，f(x)无界，不可积．因而A、C、D错误．5.设函数f(x)单调，且f"(0)≠0．若则______SSS_SINGLE_SELA f(0)+f"(0)=-1．B f(0)+f"(0)=1．C f(0)+f"(0)=0．D f(0)+f"(0)=2．分值: 4答案:B[解析] 思路一：即f[f(0)]=f(0)．因为f(x)单调，则f(x)在x=0点某邻域内存在反函数f -1．由此可得f(0)=f -1 [f(0)]=0．依题意有f(0)=0，f"(0)=1，f(0)+f"(0)=1．思路二：假设f(x)连续可导，则依题意有f(0)=0，f"(0)=1，f(0)+f"(0)=1．6.设y=y(x)是初值问题的解，则______A．x=1是y(x)的极大点，且极限B．x=1是y(x)的极大点，且极限C．x=1是y(x)的极小点，且极限D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，且极限SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] 因为y(x)是方程的解．由y"(1)=0，知x=1是y(x)的一个驻点．又y"(1)=(πe x-1 -2y"-ay)|=π＞0，所以x=1是y(x)的极小点．x=17.关于n阶矩阵A，B有如下命题：①A和A T有相同的特征值．②若A～B，则A，B有相同的特征值．③A，B是实对称矩阵，则AB和BA有相同的特征值．④A是可逆矩阵，则AB和BA有相同的特征值．上述正确的个数是______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:D[解析] 对①：|λE-A|=|(λE-A) T|=|λE-A T | A，A T有相同的特征值．对②：A～B，即可逆矩阵P，使得P -1 AP=B，则|λE-B|=|λE-P -1AP|=|λP -1 P-P -1 AP|=|P -1(λE-A)P|=|λE-A|，则A，B 有相同的特征值．对③：A T =A，B T =B，(AB) T =B T A T =BA，由①知AB和(AB) T =BA有相同的特征值．对④：A可逆，取P=A，则P -1 ABP=A -1 ABA=BA，由③知AB和BA有相同的特征值．故①、②、③、④均成立．8.设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______•**=0和A2X=0．•**=0和A3X=0．•**=0和A4X=0．**=0和A5X=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 显然，由A i X=0，两边左乘以A，得A i+1 X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立．反之，若A i+1 X=0，是否有A i X=0．对A，取 A 2 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 2 X=0X=0，但故A不是同解方程组．对B，取 A 3 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 3 X=0，但故B不是同解方程组．对C，取 A 4 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 4 X=0，但故C不是同解方程组．由排除法知，应选择D．对于D：易知A 4 X=0 A 5 X=0，要证A 5 X=0 A 4 X=0，用反证法，设A 5 X=0，而A 4X≠0，因5个四维向量X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X必线性相关，存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4使得k0 X+k1AX+k2A 2 X+k3A 3 X+k4A 4 X=0． (*)对(*)式两边左乘A 4，得k0 A 4 X+k1A 5 X+k2A 6 X+k3A 7 X+k4A 8 X=0 kA 4 X=0，又A 4X≠0得k0 =0，将k=0代入(*)式，类似的再两边左乘A 3，可得k1=0，同理可得k2 =k3=k4=0，这和X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X线性相关矛盾，故A 5 X=0 A 4 X=0．(一般的，当A为n阶方阵时，有A n+1 X=0A n X=0)故A是四阶方阵时，A 4 X=0和A 5 X=0是同解方程组．二、填空题1.设δ＞0，f(x)在[-δ，δ]上有定义，f(0)=1，且有则f"(0)=______．SSS_FILL分值: 41 [解析] 由已知，得则2.设则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由已知得由于曲线y(x)切线的斜率应为当x＜0时，无解．当x≥0时，由此得切点为P(1，ln2)．所求切线方程为3.SSS_FILL分值: 40 [解析]4.SSS_FILL分值: 4[解析] 思路一：在极坐标系下，x=ρcosφ，y=ρsinφ，则其中思路二：其中所以5.若y(x)满足且y(0)=y"(0)=0，则y(x)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 因为得新方程为则由y"(0)=0，得则6.设则(A-2E) -1 (A * +E)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由已知得A可逆，A * =|A|A -1 =-2A -1．故(A-2E) -1 (A * +E)=(A-2E) -1 (-2A -1 +E)=(A-2E) -1 (A-2E)A -1 =A -1，利用初等变换法求逆则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设z=z(x，y)在全平面R 2上有连续的二阶偏导数，并且满足方程如果f(-x，x)=-x 2，f"1 (-x，x)=-x求f"12(-x，x)，f"11(-x，x)，f"22(-x，x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10f(-x，x)=-x 2-f"1 (-x，x)+f"2(-x，x)=-2x-[-f"11 (-x，x)+f"12(-x，x)]+[-f"21(-x，x)+f"22(-x，x)]=-2．由已知得f"11 (-x，x)+f"22(-x，x)=0，f"12(-x，x)=f"21(-x，x)．所以f"12(-x，x)=1．又f"1(-x，x)=-x，故-f"11 (-x，x)+f"12(-x，x)=-1 f"11(-x，x)=2，f"22 (-x，x)=-f"11(-x，x)=-2．2.求定积分的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10思路一：思路二：3.计算累次积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 10所给累次积分所对应的二重积分的积分域由y=x，y=2，围成．4.设g(x)满足g"(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10得到代入方程得由g(0)=2，得到C=1，于是g(x)=(1+x)(1+e -x )．5.若u0 =0，u1=1，n=1，2，…．其中α，β是正实数，求的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10由得则设函数集合Ψ，其中每一函数f(x)，满足下列条件：①f(x)是定义在[0，1]上的非负函数，且f(1)=1；②v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)．SSS_TEXT_QUSTI6.证明Ψ中每一函数f(x)都是单调增加的．分值: 5.5证明f(x)是单调增函数，因为x，x+Δx∈[0，1]，f(x+Δx)≥f(x)+f(Δx)是单调增函数．SSS_TEXT_QUSTI7.对所有这一类函数Ψ，求积分的最大取值．分值: 5.5对有1=f[x+(1-x)]≥f(x)+f(1-x)，从而而今函数f0(x)≡x，x∈[0，1]，显然f(x)∈Ψ．又所以有对所有这一类函数中，积分的最大取值为8.已知曲线求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11点(x，y，z)到xOy面的距离为d=|z|，故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题：构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ，μ)=z 2+λ(x 2 +y 2 -2z 2)+μ(x+y+3z-5)，则由(1)(2)得x=y，代入(4)(5)有解得或代入得d=|z|=5或1．即曲线C距离xOy面最远点为(-5，-5，5)，最远距离为5；曲线C距离xOy面最近点为(1，1，1)．最近距离为1．设向量组(ⅰ)α1 =[1，2，-1] T，α2=[1，3，-1] T，α3=[-1，0，a-2] T；(ⅱ)β1 =[-1，-2，3] T，β2=[-2，-4，5] T，β3=[1，b，-1] T；记A=[α1，α2，α3，B=[β1，β2，β3．SSS_TEXT_QUSTI9.问a，b为何值时，A，B等价；a，b为何值时，A，B不等价；分值: 5.5A，B等价r(A)=r(B)，将A，B合并成一起作初等行变换，得当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，A，B等价；当a=3，b=2时，r(A)=r(B)=2，A，B等价；当a=3，b≠2或a≠3，b=2时，r(A)≠r(B)，A，B不等价．SSS_TEXT_QUSTI10.问a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．分值: 5.5向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价(ⅰ)，(ⅱ)向量组之间可以相互表出．当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，(α1，α2，α3)X=βi，i=1，2，3，(β1，β2，β3)y=αi，i=1，2，3，都有唯一解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；当a=3，b任意时，(α1，α2，α3)X=β1，(或=β2)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价；当b=2，a任意时，(β1，β2，β3)y=α2，(或=α3)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．设A，B是n阶矩阵，证明：SSS_TEXT_QUSTI11.当A可逆时，AB和BA有相同的特征值；分值: 5.5[证明] 当A可逆时，因A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA，故AB～BA．相似矩阵有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．SSS_TEXT_QUSTI12.证明AB和BA有相同的特征值．分值: 5.5[证明] 思路一：若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若AB有特征值λ≠0，并设相应的特征向量为α(≠0)，即(AB)α=λα，(α≠0) (*)(*)式左乘B，得B(AB)α=λBα (BA)(Bα)=λBα，其中Bα≠0，(若Bα=0，则由(*)式(AB)α=A(Bα)=0，这和λ≠0且α≠0矛盾)，故BA也有特征值λ≠0，对应的特征向量为Bα，得证AB和BA有相同的特征值．思路二： AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若λ≠0，则则当λ≠0时，AB和BA有相同的特征值．1。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则（）（A ）1,12a b ==-（B ）1,12a b =-=-（C ）1,12a b ==（D ）1,12a b =-=【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此，222222001()12lim 0lim 0x x x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======，故1,12a b ==-，选（B ）.2.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B）()f x x =（C ）()cos f x x =（D）()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A.000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ，可导；B.000()(0)lim 0x x x f x f x →→→-===,可导； C.20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---===，可导；D.20001122lim lim x x x x x x→→→--==，极限不存在。
2018考研数学冲刺模拟卷（数学二）答案与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数210(),0x f x ax b x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)14ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A.【解析】222001114lim lim ,()4x x xf x ax ax a++→→==在0x =处连续11.44b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-=-=且''()0f x <，则（ ）(A)11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）11()()f x dx f x dx -<⎰⎰【答案】A.【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-+满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-+=>⎰⎰，选A. （3）设数列{}n x 收敛，则（ ）（A ）当lim tan 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=（C ）当2lim()0n n n x x →∞-=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D.【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim tan 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程244(1sin 2)xy y y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（C ）222(cos 2sin 2)xx Ax ee B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】C.【解析】特征方程为：21,24402λλλ-+=⇒=， 因为2()(1sin 2)xf x e x =+，故*222(cos 2sin 2)xx y Ax ee B x C x =++，选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂<>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C. 【解析】(,)(,)0,0(,)f x y f x y f x y x y∂∂<>⇒∂∂是关于x 的单调递减函数，是关于y 的单调递增函数，所以有(0,1)(0,0)(1,0)f f f >>，故答案选C.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】D.【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要超过甲，则210(t)v (t)10t v dt ->⎰，当025t >时满足，故选D.（7）设A 为m n 阶矩阵，且r A m n ，则下列结论正确的是（A ）A 的任意m 阶子式都不等于零 （B ）A 的任意m 个列向量线性无关 （C ）方程组AX b 一定有无穷多解 （D ）矩阵A 经过初等行变换可化为m E O【答案】C.【解析】对于选项C ，=min ,m r Ar A m n m r A m n 所以选项C 正确,对于选项A 和B ，r(A)=m ，由秩的定义可得，存在一个m 阶行列式不为零，从而m 阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A 和B 不正确对于选项D ，矩阵A 经过初等行变换和列变换才可化为m E O ，所以选项D 不正确 （8）设1122331,0,2,,0,2,1,,1,2,3,TTTc c c ，41,0,1,0T,其中1,2,3i c i为任意实数，则（A ）1234,,,必线性相关 （B ）1234,,,必线性无关（C ）123,,必线性相关（D ）234,,必线性无关【答案】D.【解析】1234312101101100000001c cc 经初等行变换所以12344r，从而选项A 和B 均不正确1233r，从而选项C 不正确利用排除法可得正确答案为D对于选项D ，23411001100100经初等行变换，从而可得2343r 向量的个数，所以234,,必线性无关二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 曲线21ln(1)x y x e x=++的斜渐近线方程为_______ 【答案】2y x = 【解析】()222ln(1)ln(1)lim lim(1)2,lim 2lim 0,2x x x x x x y e e y x x x x x y x→∞→∞→∞→∞⎛⎫++=+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴=(10) 设函数()y y x =由参数方程()0sin ttux t e y u e du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，则220t d y dx ==______ 【答案】38【解析】()'220322sin sin ,11sin 1(cos )(1)(sin )381t t ttt tt t t t t t dy dx dy t e t e e dt dt dx e t e e d y t e e t e e d y dx dx dx e dt=+=+=+⇒=+⎛⎫+ ⎪+++-+⎝⎭⇒==⇒=+(11)21ln xdx x+∞=⎰_______ 【答案】-1 【解析】122111ln 111ln ln 1x dx xd x dx x x xx+∞+∞+∞+∞=-=-⋅+=⎰⎰⎰(12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且,(1)y y f fye x y e x y∂∂==+∂∂，(0,0)0f =， 则(,)_______f x y =. 【答案】yxye .【解析】,(1),(,)(),yyy y x y f ye f x y e f x y ye dx xye c y ''==+==+⎰故 ()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，因此()0c y '=，即()c y C =，再由(0,0)0f =，可得(,).yf x y xye =（13）已知1tan ()x tf x dt t=⎰，则10()______f x dx =⎰.【答案】ln cos1-.【解析】交换积分次序：1()f x dx =⎰11110000tan tan tan ln cos1t x t t dt dx dt dx tdt t t ⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰.（14）设,为四维非零的正交向量，且TA，则A 的所有特征值为 .【答案】0,0,0,0【解析】设矩阵A 的特征值为，则2A 的特征值为2由,为四维非零的正交向量0T从而20TTTTA所以2A 的特征值20A 的特征值为所以4阶矩阵A 的4个特征值均为0.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限lim x t x dt du+→【答案】23.【解析】0lim x t x dt du+→=t x dt →x t u -=，则有t x u x u xdt du du --=-=⎰⎰⎰330022322=limlim2lim332x uxu x x ux x duedu xxdu xx --→→-→→====⎰⎰⎰原式（16）（本题满分10分）设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ +=++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，若()()00,01,f f '==求函数()f u 的表达式.【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f x x y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++同理()()2223222222zy x f f y x y x y ∂'''=+∂++代入22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ +=-++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，得2f f f '''+=，即 ()()2()f u f u f u '''+=.则对应的特征方程为220r r +-=，121,2r r ==-，故212()x x f u C e C e -=+.由()()00,01,f f '==得1211,33C C =-=，即211()33x x f u e e -=-+ （17）（本题满分10分）求()()21ln ln limnn k k n k n n→∞=+-∑【答案】14. 【解析】原式=21112212000111111lim ln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214nn k k k x x x dx x dx x x dx nn x →∞=-++=+=+=+⋅-=+∑⎰⎰⎰.（18）（本题满分10分）设函数()f x 连续，且()2013arccot 2xtf x t dt x -=⎰.已知()21f =，求()32f x dx ⎰的值.【解析】令3u x t =-，则3t x u =-，所以dt du =-代入()2013arccot 2xtf x t dt x -=⎰ 得()()()230323(3)(3)x xxxxtf x t dt x u f u du x u f u du -=--=-⎰⎰⎰()()3322213arccot 2xx x xx f u du uf u du x =-=⎰⎰ 将等式()()3322213arccot 2xx xx xf u du uf u du x -=⎰⎰两边对x 求导得()34233[3(3)2(2)][3(3)32(2)2]1xx xf u du x f x f x xf x xf x x+--⋅-⋅=-+⎰ 化简得 ()34232(2)1xxxf u du xf x x =-+⎰令1x =得，()32132(2)11f u du f =-+⎰，化简得 ()3212f u du =⎰ （19）（本题满分10分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数，()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-试证明在(0,1)内，1()()0x xf x f t dt -=⎰存在唯一实根.【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()xx xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y xy x =+≤计算二重积分()21Dy dxdy +⎰⎰。
