六年级上奥数第六讲最不利原则

抽屉原理知识框架一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、 抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11xn -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．重难点抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。

本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题；（4）利用最不利原则进行解题；（5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

例题精讲（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511÷=，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．【答案】对【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】略．【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．【例 2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。

最不利原则【知识点】1、当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则分析问题。

最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。

才能达到“保证”目的。

2、要求：从最不利的条件开始分析；考虑所有最坏的可能。

例题1：一个盒子中装有10个黑球、6个白球和4个红球，一次至少取出多少个球才能保证其中有白球？【答案】15个【分析】最不利的情况是每次取出的都是黑球或红球，就是没有白球。

这时取了10个黑球和4个红球。

然后第15个球就必然能取到白球。

所以一次至少取出10+4+1=15（个）球。

例题2：泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖16颗、黄色糖20颗，紫色糖3颗。

如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相同的糖？【答案】20元【分析】要想保证有5颗颜色相同的糖，根据最不利原则，先把数量不够5的得到。

然后让剩下4种颜色的糖都各得到了4颗，那么再任意得到一颗糖就能达到“保证有5颗颜色相同的糖”，算式：3+4×4＋1=20（元），至少投20元钱。

例题3：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。

请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有3种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红色球和黄色球？【答案】（1）19（2）15【分析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多的取出其中某2种颜色的球，且这2种球的数量要最多。

显然红球和黄球最多，全都取出共有10+8=18个球，此时再多取1个球，就可以保证至少有3种颜色，因此取19个球即可。

（2）要使取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，然后红色和黄色的其中一种颜色的球都取出（选最多）。

算式：3+1+10+1=15个球。

例题4：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。

专题十二最不利原则在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。

解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。

常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。

例1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个。

问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4 个小球颜色相同？分析与解答：如果碰巧，可能你一次取出的4 个小球的颜色都相同。

但显然，仅仅摸出4 个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。

因此，为了“保证至少有4 个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。

如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

“最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。

那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3 个红球、3 个黄球和3 个蓝球，此时三种颜色的球都是3 个，却无4 个球同色。

为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4 个小球颜色相同。

所以，一次最少摸出10 个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。

由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕” 、从“运气最差”的角度来考虑问题。

什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。

例2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。

其中红球3 个、黄球5 个、蓝球10 个。

现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5 个同色，那么最少要取多少个？分析与解答：与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。

最不利原则知识点一、知识概述《最不利原则知识点》①基本定义：最不利原则呢，简单说就是考虑最倒霉、最糟糕的情况。

打个比方，你想从一堆盒子里找一个特定的东西，最不利的情况就是你把除了这个东西在的盒子之外的所有盒子都翻了个遍。

②重要程度：在数学学科里特别是在一些概率、组合数学相关的板块中挺重要的。

它可以帮忙在一些问题中确定下限，就像兜底似的，知道最不好的情况就能有所准备。

③前置知识：要知道一些基础的计数知识，像数个数之类的，还有基本的逻辑推理就行了。

④应用价值：在生活中也有用。

比如说抽奖，商家想算一下最坏情况得准备多少奖品，就可能用到这个原则。

还有规划东西的存放等很多实际场景。

二、知识体系①知识图谱：它是数学组合学和概率论里的一个重要补充知识。

比一般的计算情况更加深入地考虑问题。

②关联知识：和概率中的一些事件关系密切，还有组合数学里的排列组合在构建最不利情况时可能会用到。

③重难点分析：难点在于准确判断什么是最不利情况，要想得很周到。

重点是清楚这个概念的核心就是想最倒霉的场景。

掌握的关键是多做实例，积累经验。

④考点分析：在考试里如果涉及到类似要找最坏情况的题目就会用到。

考查方式可能会让你计算在最不利情况下的某个数值，或者判断某个行动在最不利情况下什么时候结束。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：最不利原则的准确含义就是要找到一种情况，这种情况对达成目标来说是最不顺利的。

并不是随随便便找个不好的情况，而是那种离成功就差那么一点点的最糟状态。

②特征分析：主要特点就是它是一种极端情况。

性质上是具有唯一性或者说是极限性的，就是说这个糟糕程度在设定问题下不能再糟糕了。

③分类说明：在不同类型的题目里，比如数字抽取型，那最不利就是把所有不符合目标数字的都抽完；物品分配型，就是把最不希望的分配方式都弄完还没达到理想的分配。

④应用范围：适用在各种需要找极限情况的资源分配、搜索目标等问题。

局限性在于题目要是有明确的目标状态，如果目标很模糊那就不太适合用。

抽屉原理知识点1. 最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最少值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。

最不利原则就是从“极端糟糕”的情况开始考虑问题，也就是说：找出最坏的情况是应用最不利原则解题的关键。

2. 抽屉原理抽屉原理I：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

假定n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是l 件，或者没有。

这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。

这与有多于n件物品的假设相矛盾。

说明抽屉原理I成立。

抽屉原理Ⅱ：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1件。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到(m十1)件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。

这与多于m×n件物品的假设相矛盾。

说明原来的假设不成立。

所以抽屉原理Ⅱ成立。

运用抽屉原理解题的步骤(1)确定什么作为“抽屉”；(2)把什么当作“物品”；(3)如果满足“物品”的数量多于“抽屉”的个数，则可以根据抽屉原理得出结论。

说明：对于有些问题，同样可以运用最不利原则解答。

典型例题例1 橱柜里有木筷子6根，竹筷子8根，从中最少摸出多少根筷子，才能保证有两双不同的筷子?提示“有两双不同的筷子”，实际上就是指木筷子、竹筷子各一双，即起码要有2+2＝4(根)。

题目要求“保证有两双不同的筷子”，只摸出4根筷子是保证不了的。

从最坏的情况来考虑，一个人先摸出8根筷子，可能都是竹筷子，实际只满足了有一双筷子的要求，那么再摸2根，必然出现一双木筷子，合起来就是10根筷子。

这就是所说的“最不利情况”。

解由于先摸出8根筷子，都是竹筷子，只满足两双不同筷子要求的一部分，是最坏的情况，再摸出2根，必有一双木筷子出现。

8+2＝10(根)，所以，从中最少摸出l0根筷子，才能保证有两双不同的筷子。

行测数量关系答题技巧：把握“最不利原则”的核心所谓最不利原则，其实指的就是考虑与成功一线之差的情况。

而题目一般是求此种情况下的具体的数据，即与成功的最小量相差为1的量即为最差的量，考虑此时的情况即可。

所以才称之为最不利原则问题。

这类题目的问题问法也相对来说比较固定，就是“至少……才可以保证……”，为了巩固知识理论，我们来看几道题目。

例题1：袋子里有3种颜色的筷子各10根，至少取多少根才可以保证3种颜色的筷子都取?A.20B.21C.22D.23【答案】：B【解析】：首先判断题型，这道题是典型的最不利原则问题，此时我们考虑最倒霉的也就是最不利的情况是哪种情况，与成功一步之遥的情况就是两种颜色的筷子都取完了，而第三种颜色的筷子还没有取出来，此时再取一根就能凑齐三种颜色，所以至少取20+1=21根筷子，选择B。

例题2：若干本书，发给50名同学，至少需要多少本书才能保证有同学能拿到4本书?A.151B.150C.149D.137【答案】：A【解析】：首先判断题型，有至少，保证字样，所以求的是最不利原则题目，此时考虑最差的情况，也即是先让每名同学各自拿到3本书，而在这样的情况下，如果再发一本书给任何一个学生，则可以保证有学生拿到了4本书，所以一共需要50×3+1=151本，选择A。

经过两道题目的练习，我们可以看到在解决最不利原则题目的时候，首先看清楚问题中的关键词，判断出题目类型是否是最不利原则的题目，然后去寻找距离成功最接近的情况，得到此状态下的具体数据，再加上1，即为所要求的结果。

一、盈亏思想的含义：盈余亏补二、盈亏思想的核心：多的量和少的量相等。

三、盈亏思想的应用：盈亏思想通常解决平均数计算、鸡兔同笼问题、比值混合问题、物品分配等。

四、例题解析(一)物品分配所谓的物品分配指的是把若干物品均分给一定数量的对象，并不是每次都正好分完。

如果物品还有剩余则为盈;如果物品不够分则为亏。

这类题目从外在上看多呈现排比句。

小学奥数之抽屉原理与与极端思想抽屉原理：把多于N个的苹果随意地放入N个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有两个或者两个以上的苹果。

把多于(MN+1)个苹果随意地放入N个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有（M+1）个苹果。

抽屉原理中平均思想的介入：要至少，那么就应该是把物体进来平均的放入每个抽屉，这样才能至少。

当遇到抽屉个数可能更少，可能更多时，为了满足“至少”，那么应该选择抽屉数更多的来考虑。

抽屉原理之最不利原则：极端倒霉的原则，从最坏的情况讨论。

哪种情况最坏就从哪种情况开始考虑。

常举的一个例子，N年前交通不发达，每天下午某森林公园只有三趟车回另外一个城市，车票5元，10元，15元三种。

如果规定每个人一定可以遇到一辆车，如果身上的钱不够坐车，那么就不能上车，而且那个时候，森林公园有好多的野兽，很危险。

问，小明至少准备多少元回家坐车的钱，才能保证小明坐车回家？分析：至少.......保证.......，即就是考虑最坏的情况。

当小明狠倒霉，只遇到了最贵的车票的车子，那么如果钱不够不能上车，所以应该准备15元的回家的车票钱。

就可以保证回家了，所以至少需要15元才能保证。

“至少........保证........”其实说的就是：在可以保证的情况下，钱数最少的情况。

比如小明可以准备的钱大于等于15元即可，但是15元是至少的。

武汉童老师把抽屉问题中可能的题型按照问题分为了三类：①求至少几个苹果在同一个抽屉？②求物体的最小值？③求抽屉的最大值？（1）当M个物体随意的放入N个抽屉中（其中M≥N，且都是自然数，其中N不为0），至少有多少个物体在同一个抽屉中？M÷N=K........X--------即：物体数÷抽屉数=商........余数。

①当没有余数，即X为0时，那么至少有“商”（即K）个物体在同一个抽屉中。

②当有余数时，即X不为0,且无论X为何值时，那么至少有“商+1”即（K+1）个物体在同一个抽屉中。

第六讲最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。

下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。

例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。

其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。

现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。

问：在乐乐之前已就座的最少有几人？例4一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？例6若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？巩固训练：1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。

问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？3.一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。

问：在乐乐之前已就座的最少有几人？4.一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。

问：在乐乐之前已就座的最少有几人？5.口袋里有三种颜色的筷子各10根。

问：（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？6.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。

数量关系题目是行测考试中的重难点，分值较高但题目较难，是很多考生的难题。

其实数量关系中并非所有题目都难，一些简单的类型题在考试中还是可以做一做，例如，最不利原则就是极值问题中的一类较为简单的题目，今天通过例题讲解最不利原则的解题技巧。

【例】在一密封箱子内有4个黑球、6个白球共10个球，除颜色外，大小质地完全一致。

①问至少取几次球就能出现白球?②至少取几次球才能保证出现白球?解析：看到两个问题似乎没有太大区别，但细分析却有所不同：第一种问法是“至少......就能.....”强调的是“可能性”，箱子中有两种颜色的球，取1个球非黑即白，所以最少取1个球就有可能是白球。

第二种问法是“至少......才能保证......”强调的是“保证”，保证取出的球一定是白球，即前4次将黑球全部取走箱内无黑球，再取1一次才能保证一定是白球，至少取4+1=5次。

小结：所以最不利原则一般从问法上区分，题干可转换为“至少......才能保证......”类似表述一般为最不利原则，而最不利原则的解题关键是“在达不到题干要求的前提下尽可能多的满足题干要求”找到最糟糕的情况，在此基础上‘+ 1’即为答案。

【例1】一副完整扑克牌有四种花色共有54张，两张王牌算不同花色(1)至少取多少张牌，才能保证有2张花色相同?(2)至少取多少张牌，才能保证有3张花色相同?(3)至少取多少张牌，才能保证有4张花色相同?(4)至少取多少张牌，才能保证有n张花色相同?解析：通过问法“至少......就能保证......”判定是最不利原则问题：(1)取不到2张的前提下，最不利情况为每种花色取1张，同时取出2张王牌，再任取1张牌一定为4种花色中的1种，即在取牌数最少的情况下保证2张花色相同，即为：4×1+2+1=7(张)(2)同理：至少取4×2+2+1=11张牌，才能保证有3张花色相同。

(3)同理：至少取4×3+2+1=15张牌，才能保证有4张花色相同。

一、最不利原则走进来一天晚上，爸爸带小明回家，从一串挂有5把不同的钥匙串中找防盗门的钥匙。

因为没有开灯，他随意取一把试试，没开；再试另一把，又没开……那么他最多试多少次，保证能打开防盗门呢？这里“最多试多少次’’显然相当于此人“最不凑巧’’的情况下开锁的次数。

像这样“最不凑巧’’“最糟糕”的极端情况，我们称为“最不利的情况”要保证完成一项任务时，经常要考虑到所有最不利的情况，就是今天我们要学习的最不利原则。

【例1】一个袋里装有5个白球，6个黑球，从中最少摸出多少个球，才能保证拿到白球？提示：“保证拿到”就是一定要拿到。

只要口袋里有黑球，就不能保证拿到的是白球。

【例2】一个口袋里有白球7个、黑球8个，从中最少摸出多少个球，才能保证有3个相同颜色的球？提示：你想取3个相同颜色的球，如果在不利的情况下会出现什么情况呢？【例3】如果现有5把钥匙和5把锁，一把钥匙只能开一把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最少试多少次才能保证打开所有的锁？提示：拿出其中的一把钥匙去开锁，最不利的情况下要试几次才能打开一把锁呢？第二把钥匙又需要试几次才能打开一把锁呢？【例4】一排椅子只有1 5个座位，部分座位已有人就座，小亮来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。

在小亮之前已就座的最少有几人？提示：我们可以从比较少的情况来寻找规律，如果只有5个座位至少坐几人可以满足要求呢？【例5】在一副扑克牌中，最少取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有呢？提示：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃’’、“方块”、“梅花’’四种花色各13张，共计有54张牌。

最不利的情形是：将大、小王和其中的3种花色的牌都取出来，再取任意一张就可以了。

【例6】某小学四年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。

如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？提示：从最矮的138厘米到最高的是160厘米，一共有多少种身高？要保证有5人的身高相同，会出现怎样的最不利的情况？展现自己1．桌子上有肉馅包子4个，素馅包子5个，从外表上看不出是什么馅的。

最不利原则1 有400个小朋友参加夏令营，问：这些小朋友中，至少有多少人不单独过生日？2 在一付扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？3 在一个口袋中有10个黑球、 6个白球、 4个红球。

问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？4 口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？5 袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。

问：至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一颜色的？6 一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。

问：至少捞出多少条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼？7 某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。

如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？8 一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配？9 一把钥匙只能打开一把锁，现有10把锁和其中的8把钥匙，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？10 将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友分得的苹果个数互不相同。

分得苹果个数最多的小朋友至少得到多少个苹果？11 将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本。

问：至少有多少同学得到的书的本数相同？12 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个乒乓球。

证明：至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。

13 一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者的得分都是自然数，75人的总分是980分。

问：至少有几人的得分相同？14 把325个桃分给若干只猴子，每只猴子分得的桃不超过8个。

问：至少有几只猴子得到的桃一样多？15 一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。