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误差理论与测量平差基础第七章 间接平差

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误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础

《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。

本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。

◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。

课程性质为必修课、考试课。

本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。

◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。

测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。

平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。

计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。

平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。

间接平差专题教育课件

间接平差专题教育课件

第二节 误差方程
要拟定平差问题中未知数旳个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 怎样选用未知救旳近似值； 怎样写出误差方程。
一、拟定未知数旳个数 未知数旳个数等于必要观察数 二、参数旳选择
参数选择旳原则：足数 独立 最简
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立旳一组量 作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据 实际需要或是否便于计算而定。
试按间接平差法列出误差方程。 A L1L2LL34 L5
C
解：必要观察为3，设
L6
D
Lˆ1 Xˆ1, Lˆ4 Xˆ 2 , Lˆ6 Xˆ 3
E
Xˆ
0 1
L1
48 1701,
Xˆ
0 2
L4
48
3512,
Xˆ
0 3
L6
56
0149
L1 v1 Xˆ1 L2 v2 Xˆ1 Xˆ 2
v1 xˆ1 0
V T PV V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
V B xˆ l l L (BX 0 d )
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差旳基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ BT P l 0
令 N BB
tt
BT PB，W t1
BT Pl
则： NBB xˆ W 0
v2 xˆ1 xˆ2 6
L3
v3 Xˆ1 L4 v4
Xˆ 2 Xˆ 2
Xˆ
3
v3
xˆ1 xˆ2 xˆ3 8
v4 xˆ2 0
L5 v5 Xˆ 2 Xˆ 3 L6 v6 Xˆ 3
B
v5 xˆ2 xˆ3 6

误差理论与测量平差基础习题集3

误差理论与测量平差基础习题集3

第七章间接平差§7-1间接平差原理7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么？7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（HA =10.OOOm)，P1，P2为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：h 1= 1.352m,S1=2km，h2=-0.531m，S2= 2km,h3= - 0.826m,S3= lkm。

试用间接平差法求各髙差的平差值。

7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得α=78º23´12"，Pα=1;β= 85º30 '06 "，Pß =2;γ=16º06'32"，Pγ=1;δ=343º53'24", Pδ=1；试用间接平差法求各内角的平差值。

7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为HA，HB，路线长为S 1，S 2，观测高差为h 1 h 2，试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。

7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L 1=32º25'18", L 2 =61º14'36", L 3=94º09'40",L 4 172010'17" L 5=93º39'48", L 6=155º24'20"已知A 方向方位角αA =21º10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。

误差理论与测量平差基础第七章 间接平差

误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
例如在下图，我们选
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
ห้องสมุดไป่ตู้
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B

《土木工程测量》第7章误差与平差PPT课件

《土木工程测量》第7章误差与平差PPT课件
△1 = L1 – X △2 = L2 – X
‥‥ △n = Ln – X 取以上各式的和并除以观测次数 n得：
[] [L] nX x X nnn
lim x X
n
由此可见，当观测量n无限大时，算术平均值的极限是观测值的真值。
二、算术平均值的中误差
设等精度独立观测值 L1,L2‥‥Ln的中误差为 m，等精度独立观测量最 可靠值的计算式可写为如下形式：
三、误差传播定律的应用
(一)水准测量的精度
(1) 按测站数求高差中误差
h h1 h2 hn
m站
mh m站 n
当各测站观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方 根成正比。
(2) 按水准路线长求高差中误差
一般情况下，各测站所测的两转点间的距离l大致都相等
令 m站
l
mh m站 n m站
其对全长的影响为： D n l
设为m′为尺段的系统中误差
m
l
全长的系统中误差为： mD D
同时考虑偶然误差和系统误差: mD 2 D 2 D 2
（四）光电测距的精度 D c0 n K 2ng f 2
m
2 D
D
2
mc20 c02
mn2g
n
2 g
m
2 f
f2
m
2 xn
应用误差传播定律时应注意以下三点： 1．要正确列立函数式。 2．函数式中观测值必须是独立的。
3．函数式中同时角度观测值和长度观测值时，单位要统一。
【例7—2】测量得某正方形建筑场地周长 ，四条边的测量结果为a=32.60m， 边长测量中误差均为ma=±0.01m。求该场地的周长及其中误差。
三、偶然误差特性

测量平差误差理论基本知识

测量平差误差理论基本知识
=±3.4mm
z 15 2 36 2 74 2 10 10 10
测量平差误差理论基本知识
一般函数
函数形式：
Zf(x1,x2 xn)
中误差关系式：
m z2 x f1 2m 1 2 x f2 2m 2 2 x fn 2m n 2
测量平差误差理论基本知识
例题： 设有某函数：zS•si n
数n的平方根成正比
测量平差误差理论基本知识
当水准路线通过平坦地区时，各测站 的视线长度大致相等，每公里的测站数也 接近相等，因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时，A、B两点间 高差中误差为： mhAB Smkm
水准测量高差的中误差，与距离S 的平方根成正比
真误差 lXl18 0
误差区间 （3″）
0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24以上 ∑
观测值与理论值之差
负误差
个数 （k）
相对个数 （k/n）
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
0
对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误 差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不 同程度的影响。 2．仪器的原因
测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪 器具有一定的精密度，使测量结果受到一定的影响。 3．外界环境的影响
测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、 湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时 刻在变化，使测量结果产生误差。

误差理论与测量平差基础(武测)

误差理论与测量平差基础(武测)

35 -1.7 2.4
[a ] = 28 o 47'31.3" 10 ˆ = [b ] = 47 o18 '19 .4" b 10 ˆ a=
31 -3.7 -4.6 1.8 30 -3.7 1.4 29 32 32 37 0.3 3.4 2.8 3.8
2.3 -5.6 0.8 4.3 0.4 0.8
Chapter 2. Error Distribution and Index of Precision
四、随机向量的数字特征
1、随机向量 2、随机向量的数学期望 3、随机向量的方差-协方差阵
，
• •
协方差阵的定义 协方差阵的特点 协方差阵的定义 协方差阵的特点
4、互协方差阵 • •
Chapter 2. Error Distribution and Index of Precision 例1. 在测站D上，观测了 三个方向A、B、C，得10 个测回的方向观测读数a、 b、c，试估算各个方向观 测值的方差、协方差、相 关系数。
令
⎛ k11 k12 ⎛ Z1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ k 21 k 22 ⎜Z2 ⎟ Z = ⎜ ⎟, K = ⎜ t ×1 t ×n ⎜ ⎟ ⎜ ⎜k k ⎜Z ⎟ ⎝ t1 t 2 ⎝ t⎠
+ k1n X n + k10 + k 2n X n + k 20 + ktn X n + kt 0
k 1n ⎞ ⎛ k10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ k 2n ⎟ ⎜ k 20 ⎟ 0 ⎟ , K1 = ⎜ ⎟ ⎟ t× ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎟ k tn ⎠ ⎝ t0 ⎠
， ，，
⎛ ∂f1 ⎞ +⎜ ⎜ ∂X ⎟dX n ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ ∂f 2 +⎜ ⎜ ∂X ⎝ n ⎞ ⎟dX n ⎟ ⎠

误差理论与测量平差基础CH07

误差理论与测量平差基础CH07

误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
第七章 间接平差
水准网如图所示:
h1 P1 h7 P2 h3 h5 h6
A h2 P4 h4 P3
按条件平差列出误差方程。 选P2 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 选P1 、P2 和P3 高程平差值为参数，列出全部条件方程。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
X k αjk
0 +ˆ (Xk xk ) − (Xj0 + ˆ xj ) j 线性化后得到测方向坐标平差误差方程
δαjk =
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xj −
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yj −
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xk +
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yk
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
一、基础方程及其解
由于： V = Bˆ x−l 根据最小二乘原理 对ˆ x求导即得 dV T PV dV dV T PV = = V T PB = 0 dˆ x dV dˆ x 转置即有 BT PV = 0 l = L − (BX 0 + d)
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-3 精度评定
二、测角网函数模型
观测角度Li ，设j,h,k均为待定 点，参数为(Xj , Yj )，(Xh , Yh ) 和(Xk , Yk )观测方程为 Li + vi = αjk − αjh
j 令li = Li − (αjk − αjh )，即有误 差方程 vi = δαjk − δαjh − li L k

误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础引言在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。

从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。

然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。

一、误差的分类一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。

在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。

1. 按照产生原因分类ⅰ.人为误差如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。

ⅱ.仪器误差如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散噪声等。

ⅲ.环境影响如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。

2.从系统设备模型分类ⅰ.常规误差该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。

如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。

常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。

ⅱ.偶然误差偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。

如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。

因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。

二、测量值的平差原理平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。

该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。

平差的目的是在满足精度要求的情况下，将各个测量值之间保持合适关系，或将测量值与真值接近（最小二乘法）。

测量平差分为绝对平差和相对平差，其中绝对平差侧重于改正单个点的误差，而相对平差则侧重于改正一组数据测量中产生的各种误差。

1.多项式平差多项式平差是一种对多项式函数进行拟合的方法，常用于测量数据处理的多项式平滑，通常被用于地理信息系统中的地图校正。

间接平差的精度评定

间接平差的精度评定

式中： 所以
fi
Xˆ i
Qˆˆ FQXˆXˆ FT＝FNbb1FT
于是
D＝ˆ 02Qˆ
误差理论与测量平差
误差理论与测量平差
间接平差的精度评定
1.单位权方差估值计算 的计V算T PV：
ˆ
0
2＝V
T
PV r
1. V T PV＝P1V12 P2V22 PnVn2 权阵为对角阵时
2. V T PV Bxˆ l T PV xˆT BT PV l T PV
lT PBxˆ l 顾及BT PV＝0
Q XˆXˆ
N 1 bb
Q Xˆ 1 Xˆ
2
QXˆ1Xˆ t
QXˆ1Xˆ 2 QXˆ 2 Xˆ 2
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ1Xˆ t
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ t Xˆ t
3.待定点i的点位中误差
ˆ ˆ Q Xˆ i 的中误差：
Xˆ i
0
Xˆ 2i 1Xˆ 2i 1
Yˆi 的中误差：
E E
L0
由协因数传播律得：
QLL QLXˆ QLV QLLˆ
QZZ
QLXˆ
QLV
Q XˆXˆ Q XˆV
Q XˆV QVV
Q XˆLˆ QVLˆ
QLLˆ QXˆLˆ QVLˆ QLˆLˆ
E
E
N
1 bb
B
T
P
BNbb1BT P
Bbb1 PBNbb1BT
P B Nbb1 B T
E
展开得：
QLL
QZZ
N
1 bb
B
T
B
N 1 bb
B
T
QLL

Ch07 间接平差__例题

Ch07 间接平差__例题

Ch07 间接平差__例题例7.1.1 平差原理在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。

求此三角形各内角的最或然值。

若能选取两个内角L 1、L 2的平差值【最或然值】作为参数1ˆX 、2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+=+=+180ˆˆˆˆ2133222111X X v L X v L X v L 称为观测方程 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-=-=3213222111180ˆˆˆˆL X X v L X v L X v 称为误差方程为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令i ii x X X ˆˆ0+= x X X ˆˆ0+=，则上式可写成如下形式： ⎪⎩⎪⎨⎧-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L x v 称为误差方程 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=18002013022011X X L X L X L l ，l x B V -=ˆ 也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。

单纯为消除矛盾，1v 、2v 、3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则：231][i i v vv ∑==min =PV V T 可求得唯一解。

因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。

对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：231][i i v vv ∑== min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：min)]180(ˆˆ[)](ˆ[)](ˆ[][202013212022220111231=-++---+--+--==∑=X X L x x X L x X L x v vv i i min =PV V T按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++------=∂∂=-++------=∂∂0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][0)]180(ˆˆ[2)](ˆ[2ˆ][020132102122020132101111X X L x x X L x x vv X X L x x X L x xvv 0=V B T=>⎩⎨⎧=-+-+++=-+-+++)2(01802ˆ2ˆ)1(01802ˆˆ23202012131020121L L X X x x L L X X x x 0=-l B Bx B T T（2）×2-(1)=>018023ˆ3321022=-+-++L L L X x=>60313231ˆˆ3212022+-+-==+L L L X X x =>60313132ˆˆ3211011+--==+L L L X X x l B B B x T T 1)(-=， l xB V -=ˆ 代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++--=+--+-=+--=60323131ˆ60313231ˆ60313132ˆ321332123211L L L L L L L L L L L L V L L +=ˆ例7.1.2 水准网如图所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： 1h = +1.003m ， 2h = +0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ； 1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ，4S =1km 。

测量平差基础

测量平差基础

停止
返回
误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。

(





)实际
180

( )理论 180
停止
返回
产生误差的原因
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
返回
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶 方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的 逆矩阵。记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
停止
返回
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教 研室，测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
停止
返回
第一章 绪论
第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差
闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 角度测量………..
1
4

第7章 间接平差

第7章 间接平差
ˆ X ˆ L 2 2 ˆ X ˆ X ˆ 1800 L 3 1 2
1 1
误差方程常数项（闭合差）计算:
l1 L1 X 10 0
0 l2 L2 X 2 0 0 l3 L3 X10 X 2 1800
5 /53
误差方程为：
ˆ1 v1 x ˆ2 v2 x ˆ1 x ˆ 2 l3 v3 x
ˆ L V L
ˆ X0 x ˆ X
n ,1
n ,1
l F X 0 L

为此，可用平差值和改正数表示间接平差的函数模型， 即
ˆ F ˆ L X n ,1 t ,1
ˆ l V Bx
n ,1 n ,t t ,1
—平差值方程（观测方程） —误差方程 —误差方程常数项（闭合差）计算式
其中
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0




令
a1 b1 a b 2 B 2 a n bn
法方程为： 6.6 解出
ˆ1 85.1 0 0 x 3.7 9.5 3.3 x ˆ 2 38.9 0 ˆ3 3.3 7.3 0 x 46.2 0
ˆ X ˆ X 1

ˆ X 2
ˆ X 3

T
ˆ H B

ˆ H C
ˆ H D

T
主页
间接平差
误差理论与测量平差
0 X2 0 X3

间接平差估值的统计性质

间接平差估值的统计性质

2 0
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV nus
E(ˆ
2 0
)
2 0
即可。根据二次型定理，可得：
E(V
T
PV)
tr(PDVV
)
2 0
tr(
PQVV
)
02tr(P(Q
B(
N
1 BB
N BB1 C T
N
1 CC
CN
1 BB
)BT
)
02tr(nIn
P
B(
N
1 BB
N B1BC T
N
1 CC
CN
1 BB
因为 V Bxˆ l
等号两边取数学期望，则: E(V ) BE(xˆ) E(l) B~x B~x 0
所以改正数 V的数学期望 E(V) 0。 可知 Lˆ L V ，两边取数学期望有: E(Lˆ) E(L) E(V ) L~
所以 Lˆ 具有无偏性。
2 . Xˆ 的方差最小
由于Xˆ X 0 xˆ，要证明 Xˆ 的方差最小，也就是要证
G1
2G1QWW
2
KN
T BB
G1N BB
2KN BB
0
KC T 0 G2
可得： K
(B
BN BB1 C T
N
1 CC
C
)
N
1 BB
G1
(B
BN BB1 C T
N
1 CC
C
)
N
1 BB
(B
G2
C
)
N
1 BB
C
T
0
BN
1 BB
C
T
G2CN BB1 C T

《误差理论与测量平差基础》课程学习指南

《误差理论与测量平差基础》课程学习指南

《误差理论与测量平差基础》课程学习指南2011.09一、课程学习目标通过学习牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，熟悉三种控制网平差的全过程，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。

二、课程知识结构本课程由两大部分内容组成，即误差理论和测量平差基础。

误差理论部分是研究误差来源以及处理方法、研究偶然误差的统计性质、误差分布、误差的传播以及衡量精度的指标等。

测量平差基础部分处理带有偶然误差的观测值，求出待求量的最佳估值，并评定测量成果的精度。

课程学习内容分细为七块，即，误差理论、测量平差原理、测量平差方法、测量平差计算、点和线的位置误差、假设检验、近代测量平差等。

学习的层次可分为:理论、原理、方法、应用四个层次，其中，平差原理、平差方法、平差计算为测量平差学习的核心内容。

三、基本要求1、基本知识部分：1)误差理论部分✧了解观测误差产生的原因；✧掌握误差分类及其处理方法；✧掌握偶然误差的统计特性以及误差分布；✧掌握衡量精度的绝对指标和相对指标；✧了解测量平差的任务和内容。

✧掌握求函数的协方差阵（协因数阵）的方法。

2)测量平差基础部分✧掌握测量平差的数学模型（包括函数模型和随机模型）概念；✧掌握间接平差、条件平差以及附有限制条件的条件平差函数模型建立方法；✧了解最小二乘准则及其最小二乘估计的统计特性。

✧掌握基本平差原理、平差计算公式以及精度评定方法。

2、理论联系实际部分1）掌握三角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程式建立、条件平差时条件式建立方法、观测值权阵确立方法。

2）平差计算：分组平差原理、高斯约化原理。

3）掌握点位（误差椭圆）、直线元位置误差的计算。

3、近代平差部分掌握秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。

四、学习建议1、开始学习前预习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识。

2、对公式推导过程要有清晰的认识，熟悉各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨公式中的符号所对应的向量。

3、每一个知识点均需做一定的习题，巩固课堂理论知识；4、所有平差方法学习之后，同一算例采用不同方法求解，得出一致结果。

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第七章——间接平差
第七章
§7-1 间接平差原理
间接平差
§7-2 误差方程
§7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为
式中：
ˆ V B x l
n1 nt t 1 n1
且
v1 a1 v2 a2 V , B v a n n
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立 （1）、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选
ˆ ˆ ˆ ˆ X1 H E , X 2 H F
第七章——间接平差
于是有： ˆ v1 X 1 h1 H A ˆ v 2 X 1 h2 H B ˆ ˆ v X X h
第七章——间接平差
（4）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。一般地， 边长观测值可由下图表示，于是有：
k
S
i
j
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X k X j ) 2 (Yk Y j ) 2 S i
第七章——间接平差
YAB 2 A AB
ˆ v Z AB X 3 Z A Z AB ˆ v X AC X 4 X A X AC ˆ v X Y Y ˆ v Z AC X 6 Z A Z AC ˆ v X AD X 7 X A X AD ˆ v X Y Y ˆ v Z AD X 9 Z A Z AD
解只有一组。由于向量V是向量 的方法有：
ˆ x
的函数，按数学上求自由极值
V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 ˆ ˆ ˆ x V x x
第七章——间接平差
转置后得：
B T PV 0
将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：
B T PV 0 ˆ l V Bx
3 1 2
ˆ ˆ 令X i X i0 xi，则有 ˆ v1 x1 l1
3
ˆ v 4 X 2 h4 H C ˆ v5 X 2 h5 H D
其中：
ˆ v 2 x1 l 2 ˆ ˆ v3 x1 x 2 l 3 ˆ v4 x2 l4 ˆ v5 x 2 l5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B
rk ( B) t
ˆ b1 t1 x1 L1 d1 ˆ b2 t 2 x2 L2 d 2 ˆ , x , l x L d bn t n n ˆt n
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 解：设 X 1 H p , X 2 H p , X 3 H p
1 2
3
0 X i0 H pi
于是误差方程为：
ˆ v1 x1 3 ˆ v2 x1 0 ˆ ˆ v3 x1 x3 1 ˆ v4 x3 0 ˆ ˆ v5 x2 x3 2 ˆ ˆ v6 x1 x2 5 ˆ v7 x 2 0
例如在下图，我们选
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
§7-2 误差方程
间接平差的关键是列误差方程，而列误差方 程的关键是选择待估参数（未知数）。
1、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。 2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第七章——间接平差
第七章——间接平差
2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 2 2 DLL 0 QLL 0 P 1
nn nn nn
3、基础方程及其解
误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 V T PV min
第七章——间接平差
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合的误 差方程为：
ˆ 由上式解出参数 x 后，代入误差方程可得到改正数V。 进而可求得观测值的平差值：
ˆ L L V
间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V； ˆ 6、计算观测值的平差值 L L V
教材：7－1，7－2 习题：7.1.04，7.1.05
教材：7－5 习题：7.2.16
第七章——间接平差
（5）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待 定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度Yk Yi ˆ ˆ vi ik ij arctan arctan Li ˆ ˆ ˆ ˆ Xk Xi X j Xi
H 01 H B h2 5.053m p H 02 H A h7 8.452m p H 03 H C h4 7.450m p
观测值见下表，试列出误差方程。 1 2
1.100
3
2.398
4
0.200
(m)
5
6
3.404
7
3.452
hi
0.050
1.000
第七章——间接平差
Z CD 6 9 CD Z BD 3 9 BD Z BC 3 6 BC
第七章——间接平差
（3）、三角网
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值 h 作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 L j 地，角度观测值可由右图 k 表示，于是有： ˆ ˆ ˆ ˆ Yk Y j Yh Y j ˆ ˆ vi jk jh arctan arctan Li ˆ X ˆ ˆ X ˆ X X
习题：7.2.15
第七章——间接平差
（2）、GPS网三维无约束平差
在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点 在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i 可看作已知数据，其余各点 作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为 t 3(m 1) ，因此，可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 X A , YA , Z A 已知，则t个参数为：
再列边长误差方程。
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X i X j ) 2 (Yi Y j ) 2 Li
第七章——间接平差
（6）、拟合模型 a、曲线拟合 如图，观测了很多散点，要求将其拟合成一条曲线。 2 3 设此曲线为： yi a0 a1 xi a2 xi a3 xi
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X B , X 2 YB , X 3 Z B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 4 X C , X 5 YC , X 6 Z C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X X ,X Y ,X Z
7 D 8 D 9
D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ v X AB X 1 X A X AB ˆ v X Y Y
YAD 8 A AD YAC 5 A AC
ˆ ˆ v X BC X 1 X 4 X BC ˆ ˆ v YBC X 2 X 5 YBC ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X BD X 1 X 7 X BD ˆ ˆ v YBD X 2 X 8 YBD ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X CD X 4 X 7 X CD ˆ ˆ v YCD X 5 X 8 YCD ˆ ˆ v X X Z