2020年高考·教育部考试中心·理科数学样卷(四)(含答案和解析)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2−2z |=|2i −(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2,3. C解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=1±√54．负值舍去可得ℎ′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．7.C解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=−1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，α∈(0,π)，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，10.A解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，11.D解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.√3解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.−14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA ⊥平面PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底面内垂直于OE 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ， 四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (−3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．。

1 / 12绝密★启用前数学测试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数34i z =+，则5z 的虚部是（）. A. 45- B. 45C. 4-D. 4 2. 设集合{}21log 3A x x =≤≤，{}2340B x x x =--<，则A B =U （）.A. ()1,2-B. (]1,8-C. [)2,4D. []4,83. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）.A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数是女性人数的43倍D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数4. “0a b >>”是“22a a b b +>+”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则{}n a 中一定为0的项是（）.A. 12aB. 10aC. 8aD. 6a6. 求11111135792019++++++L 的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（）.A. 1010?n ≤B. 1010?n <C. 1012?n ≤D. 1012?n <7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺. 蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）. （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg20.3010≈）A. 2B. 3C. 4D. 58. 圆2211:504C x y y +--=上有且仅有三点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（）. A. 53 B. 54 C. 259 D. 25169. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）.A. 36πB. 27πC. 27π2D. 252π 10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形．．．．．三边的数对(,)x y 的个数m ，最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（）. A. 9429 B. 4715C. 5116D. 5317 11. 如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为（）.A.B. C. D. 12. 已知函数()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1x 、2x 、[]30,πx ∈，且[]0,πx ∀∈都有()()()12f x f x f x ≤≤，满3 / 12足()30f x =的实数3x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数1x 有且只有1个；②满足题目条件的实数2x 有且只有1个；③()f x 在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；④ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 其中所有正确结论的编号是（）.A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（ ） Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能111B10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范11y围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++ 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以11A 2222211121(12)233222B AAC C AA C C V S BH -==+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m =，0BC m =得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos 22m l m l m l===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线．1x方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<， 解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥． 又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C ．D．22．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p ＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx +）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）（x +）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC ＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝012．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国高考模拟理科数学卷（4）考试时间120分钟 总分150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U I )(A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4}2.若复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 的值为（ ） A. -1 B.-2 C.1 D.23.A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．21C ．1D ．25. 在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = （ ） A. 495 B.500 C.505 D.5106. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）4A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UC ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U8. 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 （ ） A.1 B.2 C.3 D.9. 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[]2,1是减函数，则函数)(x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数10. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．23D12. 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，4AB DB +=，AB ⊥BD ，则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积的最小值为（ ）A. 3B. 43πC. 3D. 323π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13. 若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+ 。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（四）一、单选题1．设i 是虚数单位，则202011i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】由于()()()21121112i i ii i i i ---===-++-，所以()()202020204505111i i i i ⨯-⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭．故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，乘方运算，属于容易题.2．已知全集U =R ，集合(){}lg 11A x N x =∈-<，()(){}370B x x x =--≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}8,9,10B ．{}2,8,9,10C ．{}2,7,8,9,10D ．{}3,4,5,6,7【答案】B【解析】首先分别化简集合,A B ，再根据文氏图计算即可. 【详解】因为()110lg 1111110x x x x -<⎧-<⇔⇒<<⎨->⎩，所以(){}{}{}lg 111112,3,4,5,6,7,8,9,10A x N x x N x =∈-<=∈<<=，()(){}{}37037B x x x x x =--≥=≤≤，{7UB x x =>或}3x <.所以阴影部分表示的集合为{}2,8,9,10UA B ⋂=．故选：B 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，同时考查了集合的运算和一元二次不等式的解法，属于简单题. 3．函数()()12sin 12xxx f x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】确定函数的奇偶性可排除B ，C ，再由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数值的正负可排除D ，从而得正确选项． 【详解】因为()()()122112sin sin sin 122112x x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=-⋅=⋅=+++，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B ，C ； 因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象问题，解题可研究函数的性质，函数的值的大小，正负等等利用排除法得出正确选项． 4．若点()4,1P 在函数log ay x =的图象上，则πtan3a 的值为（ ）A ．0B ．3 C ．1D ．3【答案】D【解析】首先根据题意得到4a =，再利用三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】因为点()4,1P 在函数log ay x =的图象上，所以1log 4a =，所以4a =， 所以4πtantan tan tan 33333a ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查了对数的运算，属于简单题. 5．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．23【答案】A 【解析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.6．中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A ．7047B ．21141C ．7569D ．22707【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺，再由棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺， ∴该四棱锥的体积127272970473V =⨯⨯⨯=立方尺． 故选A ． 【点睛】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．若曲线()3ln 1y x =+在1x =处的切线斜率为a ，则6213x ax ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．4- B ．4C ．60D ．60-【答案】C【解析】先由1x a y =='|，确定a 的取值，然后利用二项展开式的通项公式即可求得本题答案. 【详解】由题，得31y x '=+，则32a =， 所以6226(123))3(3x x ax x--=，则其二项展开式的通项公式：6663166222(3)()(3)()33rrr r rr r r T C x C x x ---+=-=- ， 令630r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为24262(3)()603C -=.故选：C 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力. 8．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1417a a +的值为（ ） A ．56 B ．52 C ．28 D ．26【答案】D【解析】根据题意设出等差数列的公差d ，然后利用前30项和列方程，解方程求得d 的值，由此求得1417a a +的值. 【详解】等差数列的首项15a =，设公差为d ，故3013029303902S a d ⨯=+=，解得1629d =，故1417122926a a a d +=+=.故选D. 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题. 9．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A ，B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D 或【答案】C【解析】根据向量运算得到OA OB ⊥，再利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】因为OA OB OA OB +=-，故222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅=+-⋅，所以OA OB ⊥，所以由题意可得圆心到直线的距离d ==2a =±．故选：C. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．已知()3cos ,2sin a x x =，()2cos ,cos b x x =-，函数()3f x a b =⋅-，下面四个结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移π6个单位得到的 D ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 【答案】D【解析】由题意结合平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换可得()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；利用2T πω=即可判断A ；由π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断B ；由三角函数图象平移的规律可判断C ；由诱导公式可判断D ；即可得解. 【详解】由题意()232sin cos f x a b x x x =⋅-=-π2sin 22cos 26x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误； 对于B ，ππ2cos 266π06f ⎛⎫⨯+ ⎛⎫=⎝⎝⎭⎪⎭=⎪，故B 错误； 对于C ，由2cos2y x =的图象向左平移π6个单位得到函数π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象，故C 错误；对于D ，因为ππππ2cos 22cos 22sin 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换的应用，考查了三角函数图象的变换及三角函数图象与性质的应用，属于中档题.11．下图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月度涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法正确的是（ ）①2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9% ②2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1% ③2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4% ④2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④．【答案】A【解析】对照表中数据逐项检验分析即可得出答案. 【详解】对于①. 根据图表中的数据可得：2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%，正确.对于②. 根据图表中的数据可得: 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%，正确. 对于③. 根据图表中的数据可得: 2018年2月CPI 环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，不正确.对于④. 根据图表中的数据可得: 2018年6月CPI 同比上涨1.9%，以与上一年度的6月对比，而不是跟前一个月对比，所以不正确. 故选：A 【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.12．若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点.设函数()(1)x g x e e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <.若存在01()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】 ∵2()()f x f x x -+= ∴令21()()2F x f x x =-， ∴221()22)1(f f x x x x =---+, ∴()()F x F x =--，即()F x 为奇函数，∵()()F x f x x '='-，且当0x ≤时，()f x x '<， ∴()0F x '<对0x <恒成立，∵()F x 为奇函数，∴()F x 在R 上单调递减， ∵1()(1)2f x f x x +≥-+， ∴22111()(1)222f x x f x x x +-≥-+-， 即()(1)F x F x ≥-，11,2x x x ≤-≤012x ∴≤，∵0x 为函数()g x 的一个不动点，∴00()g x x =，即()0x h x e a =--=在1(,]2-∞有解．∵()0x h x e '=-≤，∴()h x 在R 上单调递减．∴min 1()02h x h a ⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭即可，∴a ≥． 故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过抛物线28x y =的焦点和双曲线22116x y -=的顶点，则该椭圆的离心率等于______．【答案】2【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的定点坐标，则可求出椭圆的,,a b c ，进而可得离心率. 【详解】抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2，双曲线22116x y -=的顶点坐标为()4,0，()4,0-，由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，设为22221(0)x ya b a b+=>>，则4a =，2b =，故c =，所以其离心率2c e a ==.【点睛】本题考查圆锥曲线的性质及运算，是基础题.14．正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，16AA =，若112C F FC =，12B E EB =，则异面直线1A F ，AE 所成角的正弦值为______．【答案】265【解析】首先将原三棱柱补形构造直四棱柱1111ABCD A B C D -，取12D M MD =，连接MF ，1A M ，由已知可得AE 平行于MF ，且AE MF =，从而得到1A FM ∠就是异面直线1A F 与AE 所成的角或其补角．再代入余弦定理公式计算即可得到答案.【详解】在原三棱柱基础上，补形构造直四棱柱1111ABCD A B C D -，如图，使得底面ABCD 为菱形，取12D M MD =，连接MF ，1A M ，由已知可得AE 平行于MF ，且AE MF =，所以1A FM ∠就是异面直线1A F 与AE 所成的角或其补角． 因为2214225A F MF ==+=2214442A M =+=所以由余弦定理得22211111cos 25A F MF A M A FM A F MF +-∠==⋅， 所以异面直线1A F 与AE 26． 26【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，平移找角为解题的关键，属于中档题.15．若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】20,π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11x x g x e e --=-的图像的唯一交点为()1,0．对()g x 求导，可得()g x 的单调性及斜率范围，又()x ϕ是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数，画出草图，比较()g x 与()x ϕ在x =1处斜率即可. 【详解】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像的唯一交点为()1,0．又∵()11xx g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，∴()11x x g x ee --'=--在R 上恒小于零，即()11x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数．又∵()1112xxg x ee --'=--≤-，当且仅当111x xe e --=，即1x =时等号成立，且()()sin π0x a x a ϕ=>是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数，∴可得函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图像如图所示．∴要使函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''≥．∵()πcos π1πa a ϕ'==-，()21g '=-， ∴π2a -≥-，解得2πa ≤．对∵0a >，∴实数a 的取值范围为20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题由函数的零点入手，转化成求两个已知函数交点的问题，并利用导函数判断函数的单调性，结合题意，画出()g x 与()x ϕ的图像，并根据斜率的大小，进行求解，考查整理化简，计算求值，分析作图的能力，属难题.三、双空题16．某农户建造一个室内面积为150m 2的矩形蔬菜温室．如图，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留2m 宽的空地，中间区域为菜地.当温室的长为______m 时，菜地的面积最大，最大面积是______m 2．【答案】15 96【解析】设温室的左侧边长为()x m ，则温室的后侧边长为150()m x，所以菜地的面积()()150300231563250y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得最大值. 【详解】设温室的左侧边长为()x m ，菜地的面积为2()y m ，则温室的后侧边长为150()m x， 所以()()150300231563250y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为3003003360x x x x+≥⋅=，当且仅当3003x x =，即10x =时取等号， 所以1566096y ≤-=，即y 的最大值为96，此时温室的长为()15015m x=． 所以当温室的长为15()m 时，菜地的面积最大，最大面积为296()m ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，考查学生的分析问题能力和转化求解能力.四、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意的自然数2n ≥，n a 是34n S -与1322n S --的等差中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ．【答案】（1）()()111122n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）1411332n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）已知条件用等式表示为当2n ≥时，()1323422n n n a S S -⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，用1n +替换n 得1132(34)22n n n a S S ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，两式相减可得{}n a 从第二项开始成等比数列，求出通项公式，1a 不适合此式，用分段函数形式表示数列的通项公式； （2）2n ≥时，分组求和12()n n S a a a =+++，然后验证1S 也适合上式，即得n S 表达式． 【详解】解：（1）由已知，当2n ≥时，()1323422n n n a S S -⎛⎫=-+-⎪⎝⎭①， 所以1132(34)22n n n a S S ++⎛⎫=-+-⎪⎝⎭②， 由②－①得1132232n n n n a a a a ++-=-，∴112n n a a +=-． ∴2a ，3a ，…，n a 成等比数列，其中22123323423(1)4222a S a a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，∴212a =， ∴当2n ≥时，21111222n n n a --⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又11a =不符合此式，∴()()111122n n n a n -⎧=⎪=⎨⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）当2n ≥时，()11212111221112n n n nS aa a a a a -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++=++⋅⋅⋅+=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (1)1114111132332n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=--⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 当1n =时，014111332S ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭也符合上述公式．∴1411332n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查由n S 与n a 的关系求数列通项公式，考查分组求和法．已知n S 与n a 的关系求数列通项公式一般都是利用1n n n a S S -=-，化已知等式为{}n a 的递推式，得出数列的性质，从而求得其通项公式．但此种方法要注意1a 1S =与此法不相同，故需验证1a ． 18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ．（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）71cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦. 【解析】（1）在底面ABCD 中证明BC AC ⊥即可证得线面垂直；（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，然后写出各点坐标，求出平面MAB 和平面FCB 的法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得cos θ（为λ的函数），由函数知识可得最大值和最小值，即得取值范围．【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒， ∴2AB =．∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥．∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE ．（2）解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ，∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-．设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由110,0,n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30,0.x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，则()11,3,3n λ=． ∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量，∴()()122212cos 133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+．∵03λ≤≤∴当0λ=时，cos θ7； 当3λ=cos θ有最大值12． ∴71cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查证明线面垂直，考查二面角问题，求二面角时，可建立空间直角坐标系，得出两平面的法向量，由法向量夹角求得二面角．19．在一次数学考试中，从甲，乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，他们成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（1）从两班10名同学中各抽取一人，在有人及格的情况下，求乙班同学不及格的概率； （2）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）27；（2）分布列见解析，75.【解析】（1）从茎叶图知甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A ，事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，求出()P A 和()P A B ⋂可由条件概率公式可得结论；（2）X 的取值为0，1，2，3，分别计算概率得概率分布列，再由公式计算期望． 【详解】解：（1）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A ， 事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，则()()()2021003071100P A B P B A P A ⋂===-． （2）X 的取值为0，1，2，3，()12651210102015C C P X C C ==⋅=；()111216555412121010101019145C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=；()121116555412121010101016245C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=；()21541210104345C C P X C C ==⋅=．所以X 的分布列为所以()1932127455E X ++==．【点睛】本题考查条件概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，本题属于中档题．20．过x 轴正半轴上的动点P 作曲线C ：21y x =+的切线，切点为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，设曲线C 与y 轴的交点为D ． （1）求ADB ∠的大小及Q 的轨迹方程；（2）当动点Q 到直线y x =的距离最小时，求PAB △的面积．【答案】（1）90ADB ∠=︒；()2220y x x =+>；（2. 【解析】（1）设过点()(),00P p p >，斜率为k 的直线l 的方程为()y k x p =-，代入21y x =+得210x kx kp -++=，由相切得2440k kp --=，同时得到切点坐标为2(,1)24k k +，设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则可得1212,k k k k +，同时得出切点,A B 的坐标，利用1212,k k k k +计算DA DB ⋅可得90ADB ∠=︒．再由,A B 两点坐标得中点Q 坐标，消去参数可得Q 点轨迹方程；（2）由点到直线距离公式求得Q 到直线y x =的距离后可得其最小值及此时Q 点坐标，P 点坐标，从而得直线AB 方程，代入已知抛物线方程应用韦达定理可求得弦长AB ，再求出P 到直线AB 的距离后可得三角形面积． 【详解】解：（1）设过点()(),00P p p >，斜率为k 的直线l 的方程为()y k x p =-，代入21y x =+得210x kx kp -++=，当直线和抛物线相切时，有0∆=，即2440k kp --=，此时切点坐标为2,124k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则124k k p +=，124k k ⋅=-，相应点的坐标为211,124k k A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222,124k k B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()0,1D ， 所以222211221212,,024242244k k k k k k k k DA DB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以90ADB ∠=︒． 中点Q 的横坐标为12222k k x p+==，纵坐标为()22122221212212112441122288k k k k k k k k y p ++++-+==+=+=+， 所以Q 的轨迹方程为()2220y x x =+>．（2）动点Q 到直线y x =的距离为d ==≥，当且仅当14x =时取等号，此时14p =，1(,0)4P ，∴由（1）得AB 中点Q 坐标是117(,)48，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由21122211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得121212()()y y x x x x -=-+，所以12121211242AB y y k x x x x -==+=⨯=-，所以直线AB 的方程为1711()824y x -=-，即122y x =+，代入曲线C 的方程得21102x x --=，则1212x x +=，121x x =-．AB ===， 点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭到直线AB=，所以PAB △的面积为12432=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查切点弦中点轨迹，考查直线与抛物线相交中三角形面积问题．采取设而不求的思想结合韦达定理解决交点坐标问题．角的确定可通过向量的数量积公式求解．21．已知函数()222ln f x a x x =-（常数0a >）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 在区间()21,e上零点的个数（e 为自然对数的底数）． 【答案】（1）10y +=；（2）答案见解析.【解析】（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果；（2）先求函数最小值，再根据最小值分类讨论，结合零点存在定理确定零点个数 【详解】（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，∴()22f x x x'=-， ∴()10f '=． 又∵()11f =-，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10y +=．（2）∵()222ln f x a x x =-，∴()()()22222222x a x a a a x f x x x x x--+-'=-==． ∵0x >，0a >，∴当0x a <<时，()0f x '>，当x a >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数．∴()()()2max 2ln 10f x f a a a ==-=．讨论函数()f x 的零点情况如下：①当()22ln 10aa -<，即0a <=()f x 无零点，在()21,e 上也无零点．②当()22ln 10aa =-，即a =()f x 在()0,∞+内有唯一零点a ，而21a e <=， ∴()f x 在()21,e 内有一个零点．③当()22ln 10aa >-，即a >由于()110f =-<，()()22ln 10f a a a =->，()()()222424222ln 422f e a e e a e a e a e =-=-=-+，当220a e-<22e a <<时，2212e a e <<<<，()20f e <．由单调性可知，函数()f x 在()1,a 内有唯一零点1x ，在()2,a e 内有唯一零点2x ，则()f x 在()21,e 内有两个零点；当220a e-≥，即22e a ≥>()20f e ≥，而且221202f a e a e =⋅-=->，()110f =-<，由单调性可知()f x 在(内有唯一的一个零点，在)2e 内没有零点，所以()f x 在()21,e内只有一个零点．综上所述，当0a <<()f x 在区间()21,e 上无零点；当a =22e a ≥时，函数()f x 在区间()21,e 上有一个零点；22e a <<时，函数()f x 在区间()21,e 上有两个零点．【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中于档题目.22．在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 经过坐标原点O ，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求l 与1C 的极坐标方程；（2）设l 与1C 的交点为O 、A ，l 与2C 的交点为O 、B ，且AB =，求α值.【答案】（1）l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）34πα= 【解析】（1）倾斜角为α的直线l 经过坐标原点O ，可以直接写出()R θαρ=∈； 利用22sin cos 1φφ+=，把曲线1C 的参数方程化为普通方程，然后再利用 222sin ,cos ,y x x y ρθρθρ===+，把普通方程化成极坐标方程；（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，则14cos ρα=，24sin ρα=，已知AB =以有12ρρ-=运用二角差的正弦公式，可以得到sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，根据倾斜角的范围，可以求出α值.【详解】解：（1）因为l 经过坐标原点，倾斜角为α，故l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 1C 的普通方程为()2224x y -+=，可得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）设()1,A ρα，()2,B ρα，则14cos ρα=，24sin ρα=.所以124cos sin AB ρραα=-=- 4πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由题设sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，因为0απ<<，所以34πα=. 【点睛】 本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离. 23．已知()34f x x x =-+-．（1）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求参数a 的取值范围；（2）解不等式：()277f x x x ≥+-．【答案】（1）1a >；（2）(][),07,-∞⋃+∞.【解析】（1）作出函数()f x 的图象得其值域，从而得a 的范围；（2）作出函数()f x 和2()77g x x x =+-的图象，求出两图象交点坐标，后由图象可得不等式的解．【详解】解：（1）函数()34f x x x =-+-的图象如图①所示，所以()34f x x x =-+-的值域为[)1,+∞．所以关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集的充要条件为1a >．（2）画出两个函数的图象，如图②所示．由方程22777x x x -=+-，（4x >），解得7x =(2x =-舍去)．由方程27277x x x -=+-，（3x <），解得0x =(9x =舍去)．()277f x x x ≥+-的解集为(][),07,-∞⋃+∞．【点睛】本题考查绝对值不等式，解题方法作出函数图象，通过图象得出参数范围，得出不等式的解．。

2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。

0B。

1C。

2D。

22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。

$-4$B。

$-2$C。

2D。

43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。

$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。

$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。

$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。

$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。

2B。

3C。

6D。

95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。

$y=a+bx$B。

$y=a+bx^2$C。

$y=a+be^x$D。

$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。

$y=-2x-1$B。

$y=-2x+1$C。

$y=2x-3$D。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷总分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 62.复数113i的虚部是（ ） A. 310B. 110C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p B. 14230.4,0.1p p p p C. 14230.2,0.3p p p pD. 14230.3,0.2p p p p4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69机密★启用前5.设O 为坐标原点，直线2x 与抛物线C ：22(0)y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04B. 1,02C. (1,0)D. (2,0)6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （ ） A. 3135B. 1935C.1735D.19357.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +1211.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1B. 2C. 4D. 812.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A .a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d ，19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． [选修4—5：不等式选讲]（10分） 23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．理科数学参考答案12020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.C5.B6.D7.A8.C9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.7 14.240 15.316.②③ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ， 证明如下：当1n 时，13a 成立； 假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.机密★启用前理科数学参考答案2则对任意的*n N ，都有21n a n 成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n231325272(21)2(21)2n n n S n n ，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？理科数学参考答案3附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22 列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100，等级为2的概率为510120.27100 ，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100理科数学参考答案4（3）22 列联表如下：221003383722 5.820 3.84155457030K，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；理科数学参考答案5（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，理科数学参考答案6设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由00m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ， 设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z， 由1100n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7. 因此，二面角1A EF A的正弦值为7. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；理科数学参考答案7（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率4c e a ， 解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y，即221612525x y ； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图理科数学参考答案8||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又 90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ △△，221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时， 故532MB ，PMB BNQ △△，理科数学参考答案9||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d， 根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点为(3,1) 时， 故5+38MB ，PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图理科数学参考答案10(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522， 综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f ，解方程即可；理科数学参考答案11（2）由（1）可得'2311()32()422f x x x x，易知()f x 在11(,22上单调递减，在1(,2 ，1(,)2上单调递增，且111111(1),(,(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b则34b； （2）由（1）可得33()4f x x x c， '2311()33()()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,)22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c或14c . 当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ， 即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，理科数学参考答案12即()f x 在(1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120 【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)B.AB （2）由（1）可知12030(4)AB k，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .理科数学参考答案13由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 . 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bcbc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ，22212ab bc ca a b c. 1,,,abc a b c 均不为0，则2220a b c ，222120ab bc ca a b c ； （2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c时，取等号，a，即max{,,}a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.理科数学参考答案14选填题解析1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i的虚部是（ ） A. 310B. 110C.110D.310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ， 所以复数113z i 的虚部为310. 故选：D.理科数学参考答案15【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p B. 14230.4,0.1p p p p C. 14230.2,0.3p p p p D. 14230.3,0.2p p p p【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60B. 63C. 66D. 69理科数学参考答案16【答案】C 【解析】 【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合0.95I t K 求得t 即可得解. 【详解】0.23531t KI t e，所以 0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t ，解得353660.23t. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线2x 与抛物线C ：22(0)y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. 1,04B. 1,02C. (1,0)D. (2,0)【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,E D 两点，且OD OE ， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx，所以 2,2D ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （ ）理科数学参考答案17A. 3135B. 1935C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a ab a a b a a b. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】 在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB由22299161 cos22339 AB BC ACBAB BC故1 cos9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB理科数学参考答案18ADB△是边长为根据三角形面积公式可得：211sin60222ADBS AB AD△该几何体的表面积是：632.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan74，tan12tan71tan，令tan,1t t，则1271ttt，整理得2440t t，解得2t ，即tan2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l与曲线y和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D.y=12x+12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.理科数学参考答案19理科数学参考答案20【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数yy，则直线l的斜率k， 设直线l的方程为 0y x x，即00x x ， 由于直线l 与圆2215x y两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍）， 则直线l 的方程为210x y ，即1122y x . 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ， 12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ， 12F P F P ， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.理科数学参考答案21【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b ，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg522lg 5lg 25lg5a b，a b ； 由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b； 由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c . 综上所述，a b c . 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.理科数学参考答案2213.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y ，当322x zy经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x ，得12x y，(1,2)A ，所以max 31227z . 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】理科数学参考答案23写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】 622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r r C x当1230r ，解得4r622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r rr n T a b ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】3【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，理科数学参考答案24由于AM，故122S△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】理科数学参考答案25利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f， 所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称，111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x， 所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。

绝密 ★ 启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =I （ ） A ．{}0 B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则31322f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A ．33B ．3C ．3-D ．33-5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A ．22-B ．22C ．2D ．2-7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ） A ．4B ．6C ．32+1D ．109．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞-U B ．()()1,03,-+∞U C ．()(),11,3-∞-UD ．()()1,01,3-U10．已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域2040⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点,)x y （连线倾斜角小于3π的概率为（ ）A ．116B ．316C ．3316D ．333211．某几何体的直观图如图所示，AB 是O e 的直径，BC 垂直O e 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O e 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ uuu r的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．10,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭C ．710,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．101,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无．．．．．．．效．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 2 14．已知a ∈（2π，π），sin α=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB,CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 （I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（陕西卷，解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =I （ C ） （A ） (1,2) （B ） [1,2) （C ） (1,2] （D ） [1,2]2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ） （A ） 1y x =+ （B ） 3y x =- （C ） 1y x=（D ） ||y x x =3. 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ B ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数即（45+47）/2=46极差为68-12=56.所以选A. 【答案】A【考点定位】此题主要考查样本数据特征的概念，要正确的理解样本数据特征的概念以及争取的用来估计总体。

4. 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ A ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ A ）（A ）55 （B ）53 （C ） 255 （D ） 356. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ B ）（A ） x x <甲乙，m 甲>m 乙 （B ） x x <甲乙，m 甲<m 乙 （C ） x x >甲乙，m 甲>m 乙 （D ） x x >甲乙，m 甲<m 乙7. 设函数()xf x xe =，则（ D ）（A ） 1x =为()f x 的极大值点 （B ）1x =为()f x 的极小值点 （C ） 1x =-为()f x 的极大值点 （D ）1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ C ）（A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ） （A ）32 （B ） 22 （C ） 12 （D ） 12-10. 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ）（A ） 1000NP = （B ） 41000NP =（C ） 1000MP =（D ） 41000MP =【解析】由循环体可知结果41000MP = 【答案】D【考点定位】此题主要考查算法的基本思想和功能以及结构。