2020年高考教育部考试中心·考试说明·高考样卷12套·数学(理)12

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故选：D．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；故选：C．【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．9【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+＝12⇒p＝6；故选：C．【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除A，D；再由f（﹣）＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．8．（5分）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解答】解：因为（x+）（x+y）5＝；要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；展开式含x4y3的项为：x2•x2•y3+y2•x4•y＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P 作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝，说明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，圆心M（1，1），半径r＝2．∵＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|＝．∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，联立，解得P（﹣1，0）．则以PM为直径的圆的方程为．联立，可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．12．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的单调性即可求解结论．【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；故选：B．【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若为第四象限角，则（）A. B. C. D.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )A. B. C. D.6.数列中，，，若，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.B.C.D.8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数，则( )A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为（）A. B. C. D.11. 11.若，则（）A. B. C. D.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则_______．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数满足，则______．16.设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．19.已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．20.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）证明：，且平面；（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．21.已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．22.已知曲线，的参数方程分别为：（为参数），：（为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出，再求补集.【解答】解：，故选A.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题.根据所给角是第四象限角，写出角的范围，求出的范围，进而可判断出三角函数值的正负.【解答】解：∴是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，故选D.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数.【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为名.故选B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.由成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数.【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差，，由等差数列性质知成等差数列，且，则，得，则三层共有扇形面石板为故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题.由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可.【解答】解：设圆心为，则半径为，圆过点，则，解得或，所以圆心坐标为，圆心到直线的距离都是故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题.取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值.【解答】解：取，则，又，所以，所以是等比数列，则，所以，得故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题.由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点.【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题.【解答】解：双曲线C的两条渐近线分别为,由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到,则, ,即,所以焦距.故选B.9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题.【解答】解：函数,则为奇函数，时，,单调递增；时，，单调递减.故选D.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题.【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为,设,圆的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则，可得,于是，由题意知，球O的表面积为，则,由,求得，即O到平面ABC的距离为1.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题.【解答】解：，设,则，所以函数在R上单调递增，因为，所以,则，.故选A.12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题.【解答】解：对于A选项，，，不满足，排除；对于B选项，，不满足，排除；对于C选项，，，，，满足；对于D选项，，不满足，排除；故选C.13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题.【解答】解：由单位向量的夹角为，与垂直，所以，则.故答案为.14.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意可得不同的安排方法有：．答案：36．15.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量满足，，求，由，可得，故．故答案为．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于：可设与，所得平面为若与相交，则交点A必在平面内.同理与的交点B在平面内，故直线AB在平面内，即在平面内，故为真命题．对于过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故为假命题．对于空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故为假命题．对于若，则m垂直于平面内的所有直线，故，故为真命题．综上可知，为真命题，为真命题，为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，因为，所以．由知，，因为，即，由余弦定理得，，所以，由基本不等式可得，所以所以当且仅当时取得等号，所以周长的最大值为．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．直接利用正余弦定理即可求解；利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为，所以该地区这种野生动物数量的估计值为(2)根据公式得(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i,则|z2−2z|=A.0B.1C.√2D.22.设集合A={x|x2−4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+124.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be xD.y=a+b ln x6.函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1)在[−π，π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为7.设函数f(x)=cos(ωx+π6A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2 8.(x +y 2x )(x +y)5的展开式中x 3y 3的系数为A.5B.10C.15D.209.已知α∈(0,π),且3cos 2α−8cos α=5,则sin α=A.√53B.23C.13D.√5910.已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知⊙M:x 2+y 2−2x −2y −2=0,直线l:2x +y =0,p 为l 上的动点.过点p 作⊙M 的切线PA ,PB ,切点为A,B ,当|PM ||AB |最小时,直线AB 的方程为A.2x −y −1=0B.2x +y −1=0C.2x −y +1=0D.2x +y +1=012.若2a +log 2a =4b +2log 4b 则A. a >2bB.a <2bC. a >b 2D. a <b 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x,y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0,则z =x +7y 的最大值为 114.设a,b 为单位向量,且|a +b |=1,则|a −b |= √315.已知F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点,且BF垂直于x 轴,若AB 的斜率为3,则C 的离心率为____2____16.如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30∘,则cos ∠FCB =___−14___三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题,共60分.17.(12分)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比；(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.(1)q =−2;(2)S n =19−3n+19∙(−2)n . 18.(12分)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD,ΔABC 是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =√66DO . (1)证明:P A⊥平面PBC ；(2)求二面角B-PC-E 的余弦值.(1){PA ⊥PC(勾股定理)PA ⊥PB(勾股定理)PB ∩PC =P⇒PA ⊥平面PBC(2)2√55(建立空间直角坐标系) 19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.(1)116; (2) 34; (3) 38.20.(12分)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点,G 为E 上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程(2)证明:直线CD 过定点(1)x 29+y 2=1;(2)(32,0)21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2−x .(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.(1)增区间为(0,+∞),减区间为(−∞,0);(2)[7−e 24,+∞)(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =cos k t ,y =sin k t(t 为参数),以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线？(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.(1)以原点为圆心,1为半径的圆;(2)(14,14)23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|3x +1|−2|x -1|.(1)画出y =f (x )的图像；(2)求不等式f (x )>f(x +1)的解集. (1)(2){x|x <−76}。

2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。

0B。

1C。

2D。

22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。

$-4$B。

$-2$C。

2D。

43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。

$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。

$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。

$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。

$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。

2B。

3C。

6D。

95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。

$y=a+bx$B。

$y=a+bx^2$C。

$y=a+be^x$D。

$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。

$y=-2x-1$B。

$y=-2x+1$C。

$y=2x-3$D。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2020•新课标Ⅱ）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3）C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}2．（5分）（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜03．（5分）（2020•新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名4．（5分）（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块5．（5分）（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x ﹣y﹣3＝0的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√556．（5分）（2020•新课标Ⅱ）数列{a n }中，a 1＝2，a m +n ＝a m a n ．若a k +1+a k +2+…+a k +10＝215﹣25，则k ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（5分）（2020•新课标Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H8．（5分）（2020•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．329．（5分）（2020•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ）A ．是偶函数，且在（12，+∞）单调递增B ．是奇函数，且在（−12，12）单调递减C ．是偶函数，且在（﹣∞，−12）单调递增D ．是奇函数，且在（﹣∞，−12）单调递减 10．（5分）（2020•新课标Ⅱ）已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．√3B ．32C ．1D ．√3211．（5分）（2020•新课标Ⅱ）若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则（ ） A ．ln （y ﹣x +1）＞0B ．ln （y ﹣x +1）＜0C ．ln |x ﹣y |＞0D ．ln |x ﹣y |＜012．（5分）（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈{0，1}（i ＝1，2，…），且存在正整数m ，使得a i +m ＝a i （i ＝1，2，…）成立，则称其为0﹣1周期序列，并称满足a i +m ＝a i （i ＝1，2…）的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0﹣1序列a 1a 2…a n …，C （k ）=1m ∑ m i=1a i a i +k （k ＝1，2，…，m ﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满足C （k ）≤15（k ＝1，2，3，4）的序列是（ ）A ．11010…B ．11011…C ．10001…D ．11001… 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考考试说明——数学（理）根据教育部考试中心《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》（以下简称《大纲》），结合基础教育的实际情况，制定了《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》（以下简称《说明》）的数学科部分。

制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合本省（自治区、直辖市）普通高等学校招生全国统一考试工作指导方案和普通高中课程改革试验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。

Ⅰ．命题指导思想1．普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求．3．命题注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性．既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求．合理分配必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡．4．试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容．第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．必考部分题由4个填空题和5个解答题组成；选考部分由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分．1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比约为：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右．2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定为难题．三种难度的试题应控制合适的分值比例，试卷总体难度适中．Ⅲ．考核目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是知道（了解、模仿）、理解（独立操作）、掌握（运用、迁移），且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．1．知道（了解、模仿）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.2．理解（独立操作）：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.3．掌握（运用、迁移）：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.二、能力要求能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1．空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.2．抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.3．推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.4．运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.5．数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.6．应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.7．创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15. 设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=______． 16. 设有下列四个命题：P 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． P 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． P 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是________．①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③¬p 2∨p 3 ④¬p 3∨¬p 4 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与的C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.A解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.2.D+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.3.B解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−1200504.C解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×2625.B解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√556.C解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.7.A解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.B解：双曲线C 的两条渐近线分别为y =±ba x ，由于直线x =a 与双曲线的两条渐近线分别交于D 、E 两点， 则易得到|DE|=2b ，则S △ODE =ab =8，c 2=a 2+b 2⩾2ab =16 ，即c ⩾4， 所以焦距2c ⩾8．9. D解：由已知，函数定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称， 函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，当x ∈(−12,12)时，f(x)=ln (2x +1)−ln (1−2x)=ln 2x+11−2x=ln (1+41x−2)，单调递增； 当x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减．10. C解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =√3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π， 则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1， 即O 到平面ABC 的距离为1．11.A解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．12.C解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；13.√22解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22=0，则k=√22．14.36解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．15.2√3解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．16.①③④解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．17.解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．18.解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=80×9000=32≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【含答案】一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无．．．．．．．效．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 2 14．已知a ∈（2π，π），sin α=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB,CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 （I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。