2017年马鞍山市红星中学科学创新实验班选拔考试数学理科(试卷)

二、填空题（13）60 （14）5 （15）（16）三、解答题（17）(本小题满分12分)在中，角所对的边长分别为，且满足,(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)若的面积为，求的值.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，难度：简单题．【解】(Ⅰ)由已知及正弦定理可得，…………………………（5分）(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，又由题意可知，…………………………（12分）（18）(本小题满分12分)是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一.日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理。

马鞍山市环保局从市区2015年11月~12月和2016年11月~12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果。

样本数(Ⅰ)月的空气质量是否比2015年同期有所提高？(Ⅱ)在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望.【命题意图】本题考查统计和离散型随机变量，难度：中等题．解答：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是2016年数据的中位数是51，平均数是2016年11月~12月比2015年11月~12月的空气质量有提高。

…………………………（5分）（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X 的所有可能取值是0,1,2,33122131141141143333153344664(0),(1),(1),(0)C C C C C C P X P X P X P X C ============ .（19）(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，点是正方形的中心，，且，点为棱上一点.(Ⅰ) 当点为棱的中点时.，求证：；(Ⅱ)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，难度：中等题．【解】(Ⅰ)由题意不妨设，则为等边三角形，当的中点时，又，.…………………………………………（5分）(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系则可得，假设存在符合题意的点，可设设平面的一个法向量为则 不妨取又 由可得解得.所以符合题意的点是棱上靠近点D 的三等分点. （20）(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．【命题意图】本题考查圆锥曲线的综合运用，难度：中等题．【解】(Ⅰ)椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，由题可得，椭圆过点，椭圆的方程是…………………………………………………………（4分）(Ⅱ)由题易得，左焦点右焦点坐标为若直线垂直于轴，则点………………………………………………………（6分）若直线不垂直于轴，可设的方程为设点将直线的方程代入椭圆的方程得到则.，…………………………………………………（10分）的取值范围是………………………………………………………（12分）（21）(本小题满分12分)设函数（）．（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设，若恒成立，求的取值范围．【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，难度：较难题．`【解】（Ⅰ）由已知，当时，上单调递增，且上单调递减，在上单调递增. ………………………………………（4分）（Ⅱ）（方法一）由题可得，，则上单调递增，令则，由知，且，的取值范围是.………………………………………………………（12分）（方法二）由题可得恒成立，令，则,解得的取值范围是.………………………………………………………（12分）四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线和曲线相交于两点，求的值．解：（Ⅰ）由………………………………3分由即.………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵直线与圆相交于两点，又的圆心，为半径为1，故圆心到直线的距离，∴．……………………………………………………10分选修4-5：不等式选讲（23）（本小题满分10分）已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，（，），求的最小值.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式，中等题. 解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，∴原不等式的解集为；……………………5分（Ⅱ），∵的解集为∴………………………………………7分∴，∴（当且仅当即时取等号）∴的最小值为2．……10分解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，∴原不等式的解集为；……………………5分（Ⅱ），∵的解集为∴………………………………………7分又，∴（当且仅当即时取等号）∴的最小值为2．……10分。

8．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为已（）9．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，若0x >时，()e x f x x =⋅，则不等式()3f x x >的解集为（ ）A ．{|ln3ln3}x x -<<B ．{|ln3ln3}x x x <->，或C ．{|ln30ln3}x x x -<<>，或D ．{|ln30ln3}x x x <-<<，或 10．已知函数()ln f x x a x =-，当1x >时，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1, +)∞B ．(, 1)-∞C ．(e,)+∞D ．(,e)-∞11．过点(3, 6)的直线被圆2225x y +=截得的弦长为8，这条直线的方程是等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．34150x y -+=B ．34330x y +-=C ．341503x y x -+==或D ．343303x y x +-==或 12．已知函数|1|23, 0()21, 0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2()(1)()0f x a f x a +--=有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1, 2]B ．(1, 2)C ．(2, 1)--D ．[2, 1]--第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.．已知向量(1, 2)a =，(, 6)b x =，且a b ∥，则||=a b -________.sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=><<的图象关于y 2a b2121 2PF PF b ⋅=17．（本小题满分。

Y
2222118118||12919k k k k k ++++
12125t =-，1212||||
|||||||||
t t FB FB t t ++=， 12125
t =-
，所以24(5t =-11||FA FB +………………………………………………………………
(2m m x x ⋅⋅322)m x ⋅
⋅⋅【命题意图】本题考查解三角形的基础知识与基本运算，难度：简单题．
20．【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系，运算求解能力的培养．难度：中等题．
21．【命题意图】本题考查函数与导数的综合应用．难度：较难题．
22．【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，直线与椭圆的位置关系，中等题．
23．【命题意图】本题考查含绝对值代数式大小比较，绝对值函数图象特征等基础知识，以及分类讨论思想和运算求解能力，中等题．。

2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡上．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题．．卡．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑． 1.已知i 是虚数单位，则311i i -⎛⎫⎪+⎝⎭=（▲）A. 1B. iC. i - D 1- .答案：B命题意图：复数及其运算. 简单题2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（▲） A ．2y x=-B ．3y x =C ．2log y x =D ．tan y x =答案：B命题意图：函数及其性质. 简单题 3. 已知a >,b >且1a ≠，则log 0a b >是(1)(1)0a b -->的（▲）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：C命题意图：函数性质与充要条件. 简单题4. 右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为=720S ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（▲）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥第4题图答案：C命题意图：程序框图 简单题5. 已知函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该函数的一条对称轴方程为（▲） A ．12x π=-B ．6x π=-C ．12x π=D ．6x π=答案：D命题意图：三角函数及性质 简单题6. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（▲）A.15B. 16C.17D.18答案：A 命题意图：三视图及几何体的体积计算 中档题7.已知直线21x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线:2cos M ρθ=交于,P Q 两点，则||PQ =（▲）A ．2 D.答案：C命题意图：极坐标与参数方程 简单题俯视图侧视图正视图第6题图8. 函数()1ln ||f x x x=+的图象大致为（▲）答案：B命题意图：函数性质与图象 中档题9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（▲） A ．72 B ．168 C ．144 D ．120答案：D命题意图：排列组合应用 难题解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空. （1）小品1，相声，小品2.有232448AA ⋅= （2）小品1，小品2，相声.有21223336A C A ⋅⋅= （3）相声，小品1，小品2.有21223336A C A ⋅⋅=共有483636120++=种，选D ．10.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点(0,)A b ，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AF AB =，则此双曲线的离心率是（▲）B．C．A．D答案：A命题意图：圆锥曲线及其性质难题第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11.设随机变量X服从正态分布2P X a P X a≤-=>-，则正(1)(3)Nσ，且2(1,)数a= ▲ .答案：2命题意图：正态分布简单题12. 已知二项式21+的展开式的系数之和为32，则展开式中含x项x()nx的系数是▲ .答案：10命题意图：二项式定理简单题13. 如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为 ▲ . 答案：22e命题意图：定积分，几何概型及指、对数函数。

2017年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试数 学【注意事项】1.本试卷共4页，总分150分，答题时长120分钟，请掌握好时间。

2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。

3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将试卷 和答题卷一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．．．．．．．．．．．） 1．将一些棱长为1的正方体摆放在33⨯的平面上（如图1所示），其正视图和侧视图分别如图2、图3，记摆放的正方体个数的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 72.多项式2234(1)(1)(3)(1)x x x x +++-+-等于下列哪个选项（ ）A ．22(1)x x - B ． 2(1)(1)x x x +- C ． (1)(1)x x x +- D ． 22(1)(1)x x --3.甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40张.每张纸牌上有1至10中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有20张牌，每人将各自牌中相差为5的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4和a ，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7和b ，则b a -的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 7 4.已知x 为实数，且|31||41||171|x x x -+-++-的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（ ）： A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 755.[]x 表示不超过实数x 的最大整数4ππ-(如[]=3,[-]=-4,[]=-4),记x x x M=[]+[2]+[3]. 将不能表示成M 形式的正整数称为“隐形数”.则不超过2014的“隐形数”的个数是( ) A ． 335 B ． 336 C ． 670 D ． 6716.如图，点O 为锐角ABC ∆的外心，点D 为劣弧AB 的中点， 若,BAC α∠=,ABC β∠=,βα>且则DCO ∠=( ) A ．2βα- B ．3αβ- C ．3βα+ D ．4βα+第6题图C第1题图图1图2图3二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．将答案填在答题卷中相应横线上．．．．．．．．．．．．） 7.如果不等式||||2x a x -+<没有实数解，则实数a 的取值范围 ； 8.已知实数xx =，则x 的取值范围是 ； 9.函数y =的最大值为 ；10.设a b 、为实数，已知坐标平面上的抛物线2y x ax b =++与x 轴交于P Q 、两点，且线段7PQ =.若抛物线28y x ax b =++-与x 轴交于R S 、两点，则线段=RS ；11.正方形ABCD 中，两个顶点到直线l 的距离相等，且均为另两个顶点到直线l 的距离的两倍，则这样的直线有 条；12.使二次方程222510x px p p -+--=的两根均为整数的质数p 的所有可能值为 ；13.在平面直角坐标系中,不管实数a 取什么实数,抛物线223y ax x =++的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 ；14.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b cb c ac a b++=+-+-+-，则abc = ；15.如图，P 为等边ABC ∆内一点，2,1,PA PB PC ===则ABC ∆的面积为 ；16.如图，在AOB ∠的边OA 上过到点O 的距离为1,3,5,7,…的点作互相平行的直线，分别与OB 相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为123,,,S S S …． 则20142013S S = ．三、解答题（本大题共5小题，共60分．将答案填在答题卷中相应．．．．．．．．位置处．．．，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10+O第16题图第15题图CB18.（本题满分12分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点A 出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两辆车都必须沿原路返回出发点A ，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A ，并求这辆车一共行驶了多少千米？19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且2.DC CE CA =⋅ （1）求证：BC CD =（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ，若,22,PB OB CD ==求DF 的长．20.（本题满分13分）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于,A B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以,,A B P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；第19题图（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？第20题图21.（本题满分13分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，22=-就是一个“好数”.1653（1）2014是不是“好数”？说明理由.（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？数学试题答案及评分标准．．．．．．．．．．．．．．．．．．17.解：原式+=+=+………………………………………………5分77=--14=-………………………………………………………………10分18.解:设尽可能远离出发点A 的甲汽车行驶了xkm ,乙汽车行驶了ykm ,则24012224012x y x y +≤⨯⨯⎧⎨-≤⨯⎩而11()()432022x x y x y =++-≤,即甲车一共行驶了4320km .………………………6分 具体的方案是:两辆汽车行驶了720km 后,乙车借给甲车60L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km 后返回,碰到乙车时再借60L 汽油,然后两车回到出发点A .………………12分19.（1）证明：2,DC CE CA =⋅∴CDE ∆∽CAD ∆∴CDB DBC ∠=∠， ∵四边形ABCD 内接于O ，∴BC CD =………………………………………………3分 （2）解：如图，连接OC ， ∵BC CD =，∴DAC CAB ∠=∠，又∵AO CO =，∴CAB ACO ∠=∠，∴DAC ACO ∠=∠， ∴AD ∥OC ，∴,PC POPD PA= ∵,22,PB OB CD ==∴2,4 2.322PC PC PC =∴=+又∵PC PD PB PA ⋅=⋅∴4PA =也就是半径4OB =，……………………6分在RT ACB ∆中，22228(22)214,AC AB BC =-=-=∵AB 是直径，∴90ADB ACB ︒∠=∠=∴90FDA BDC ︒∠+∠=,90CBA CAB ︒∠+= ∵BDC CAB ∠=∠∴FDA CBA ∠=∠ 又∵90AFD ACB ︒∠=∠=,∠AFD =∠ACB =90° ∴AFD ∆∽ACB ∆∴2147,22AF AC FD CB ===………………………………9分 在RT APF ∆，设FD x =，则7AF x =，∴222(7)(62)12,x x ++=求得322DF =.………………………………12分 20.解：（1）抛物线(2)(4)8k y x x =+-，令0y =，解得2x =-或4x =，∴(2,0)A -，(4,0)B ．∵直线33y x b =-+经过点(4,0)B ，∴解得433b =， ∴直线BD 解析式为：33334y x =-+．当5x =-时，33y =，∴(5,33)D -在抛物线(2)(4)8k y x x =+-上，解得839b =．………………………………………………………………………3分 （2）由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，∴(0,)C k -，OC k =．点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC ∆∽APB ∆或ABC ∆∽ABP ∆．第19题图①若ABC ∆∽APB ∆，则有BAC PAB ∠=∠，如答图2﹣1所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则,ON x PN y ==．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：,.222k y k y x k x =∴=++ ∴(,)2kP x x k +，代入抛物线解析式整理得：26160x x --=， 解得：8x =或2x =（与点A 重合，舍去），∴(8,5)P k ． ∵ABC ∆∽APB ∆，∴AC ABAB AP=， 即2246625100k k +=+，解得：455k =．……………………………………7分 ②若ABC ∆∽ABP ∆，则有ABC PAB ∠=∠，如答图2﹣2所示．同理，可求得2k =．综上所述，455k =或2k =．………………………9分 则33DN =，（3）由（1）知：(5,33)D -，如答图3，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，5,9,ON BN ==∴tan 3,3DBA DN BN ∠==∴30,DBA ︒∠= 过点D 作DKx 轴，则30,KDF DBA ︒∠=∠=过点F 作FG DK ⊥于点G ，则12FG DF =．由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF AF FG =+=+．由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则min t AH =，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：33y x =+∴(F -.………………………………………………………13分21、（1）2014不是“好数”.如果2014是“好数”，不妨设222014()m n m n =-、为自然数，则()()m n m n +-⨯=21007，而m n m n +-、的奇、偶性相同，即()()m n m n +-要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是“好数”.…………………………………………4分(2)设k 为自然数，由（1）类似可得如42k +的自然数都不是“好数”22221)(1)4,(1)21k k k k k k +--=+-=+（，故4,k 21k +的自然数都是“好数”，……………………………………………………10分所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第n 个“好数”为1[]3n n -+，所以第2014个“好数”为2684.…………………………………………………………13分。

数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数)5z i i i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +2.“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5C ． 45D ． 904. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()()|,|P A B P B A 分别是（ ） A ．601,912 B ．160,291 C ．560,1891 D ．911,21625. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．306. 已知点,,P A B 在双曲线22221x y a b-=上，直线AB 过坐标原点，且直线PA PB 、的斜率之积为13，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．27.在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．138. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()8,7--B ．[)8,7--C ．(]8,7--D ．[]8,7--10.函数4cos xy x e =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 当,x y 满足不等式组22472x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是面1111A B C D 上的动点．给出以下四个结论中，则正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线 ，且该曲线的长度是2；②若//DP 平面1ACB ，则DP 与平面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎫+∞⎪⎪⎣⎭；③若DP ，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 ）二、填空题（本大题 共4小题 ，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f =____________．14.若0,,cos 224ππααα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ____________． 15.在数列{}n a 及{}n b 中，1111b 1,1n n n n n n a a b a b a b ++=+=+==．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2017项和为 ____________．16.已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，有72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，第17题 至21题每题 12分，在第22、23题中任选一题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，12,cos 3AB B ==，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2,BD DC ACD =∆sin sin BAD CAD∠∠的值． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列： ②求X 的数学期望和方差． 附临界值表：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的22⨯列联表：19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，且1,2AB BC AD ===，顶点P 在平面ABCD 内的射影H 在AD 上，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A PC D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知焦点为F 的抛物线()21:20C x py p =>，圆222:1C x y +=，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q ．（1）当直线l的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且有两个零点记为12,x x ．（1）求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； （2）证明: 12ln ln 2x x +>．选做题 （在第22、23两题中任选一题作答，若两题都做，按第22题 记分.）22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求,A B 两点的极坐标和PAB ∆面积的最小值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-．（1）解不等式：()()12f x f x ++≤；（2）若0a <，求证：()()()2f ax af x f a -≥．参考答案一、选择题二、填空题 13. 13-14. 151615. 4034 16. 15 三、解答题17.（1）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又ADC S ∆=ADC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵11sin ,sin 22ABD ADC S AB AD BAD S AC AD CAD ∆∆=∠=∠，2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD ACCAD AB∠=∠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，∴AC =sin 242sin BAD ACCAD AB∠==∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由题 意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表如下：()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0，1，2，3．其中()()()32211233327235423360;1;25125551255512P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②由于23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2622183,31555525E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-=⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．12分19.解析：（1）∵PH ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，∴PH AB ⊥， ∵,,,AB AD ADPH H AD PH ⊥=⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵PH ⊥平面ABCD ， ∴x 轴//PH ．则()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0A C D ，设(),02,0AH a PH h a h ==<<>， ∴()0,,P a b ，()()()0,,,0,2,,1,1,0AP a h DP a h AC ==-=， ∵PA PD ⊥，∴()220AP DP a a h =-+=， ∵AC 与BD 所成角为60°． ∴()21cos ,222AC DP a ==-， ∴()222a h -=，∴()()210a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴()0,1,1P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0AP AC PC DC ===-=-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =，由n AP y z n AC x y ⎧=+=⎨=+=⎩，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-，设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由00m PC x z m DC x y ⎧=-=⎨=-=⎩，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1， ∴1cos ,3m nm n m n ==． ∵二面角A PC D --的平面角为钝角，∴二面角A PC D --的余弦值为13-．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）设点200,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()220x py p =>得，22x y p =，求导x y p '=， 因为直线PQ 的斜率为1，所以01x p =且2002x x p-=，解得p = 所以抛物线1C的方程为2x =．（2）因为点P 处的切线方程为：()20002x x y x x p p-=-，即200220x x py x --=，根据切线与圆切，得d r =1=，化简得4220044x x p =+，由方程组20022422002201440x x py x x y x x p ⎧--=⎪+=⎨⎪--=⎩，解得20042,2x Q x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以002P Q PQ x x =-=-=，点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到切线PQ的距离是d ==所以2220010211224p x p x S PQ d p x +-==⨯=，20122Q pS OF x x ==， 而由4220044x x p =+知，24200440p x x =->，得02x >，所以()()()()()() ()222242222 222000000000012422 20000 222442222422424443324x p x x x x x x xxx p xSS p x p p x x xxx+-+---+-=⨯===---=++≥-当且仅当224424xx-=-时取“=”号，即24x=+p=所以12SS的最小值为3．21.（1）()()21ln1lnax x a a xxf xx x--+-'==，由()10af x x e+'=⇒=，且当1ax e+<时，()0f x'>，当1ax e+>时，()0f x'<，所以()f x在1ax e+=时取得极值，所以10ae e a+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以()()()2ln1ln,0,x xf x m x f xx x-'=->=，函数()f x在()0,e上递增，在(),e+∞上递减，()1f e me'=-，()00x x→>时，();f x x→-∞→+∞时，()(),f x m f x→-有两个零点12,x x，故101,0mmeem⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）不妨设12x x<，由题意知1122lnlnx mxx mx=⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln,lnxx xx x m x x m x x mx x x=+=-⇒=-．需证12ln ln2x x+>，只需证明212x x e>，只需证明：()12ln2x x >，只需证明：()122m x x+>，即证：()122211ln2x x xx x x+>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+．也就是证明：1ln 201t t t -->+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >，则12ln ln 2x x +>得证．．．．．．．．．．．．12分22.（1）由53x ty t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=， 由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为()()2,0,0,2A B -，化为极坐标为()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d==∴min d ==AB = 所以PAB ∆面积的最小值是1222242S '==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.（1）由题意，得()()112f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式122x x -+-≤，当1x ≤时，原不等式等价于232x -+≤，即112x ≤≤； 当12x <≤时，原不等式等价于12≤，即12x <≤； 当2x >时，原不等式等价于232x -≤，即522x <≤． 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得()()()222222222f ax af x ax a x ax a ax ax a ax a f a -=---=-+-≥-+-=-=，所以()()()2f ax af x f a -≥成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2017年马鞍山二中理科实验班招生数学试题一选择题（30分）1.将一枚四个面编号为1、2、3、4的质地均匀的正四面体骰子先后投掷两次并记录朝下的面上的点数，第一次掷出的点数记为a ，第二次掷出的点数记为b ，则使关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+223y x by ax 只有正数解的概率为（ ）（A ）21 （B ）165 （C ）163 （D ）1672.关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x ＜1或x ＞3，则不等式cx 2+bx+ a ＞0的解集是（ ）（A ）x ＜31或x ＞1 （B ）31＜x ＜1 （C ）x ＜—1或x ＞—31 （D ）—1 ＜x ＜—313.如图，在Rt ΔABC 中，AB=BC=8，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则ΔPEF 周长的最小值是（ ）（A ）4+74 （B ）4745+（C ）42+74 （D ）42+8E4.若关于x 的不等式2331-+-x x ≤a 有实数解，则实数a 的最小值是 （A ）1（B ）2（C ）4（D ）65.如图，⊙C 的圆心坐标为C （—1，0），半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与Y 轴交于点E ，则ΔABE 面积的最小值是（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）2—22 （D ）2—26.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一个写，那么甲写数字（ ）时有必胜策略（A ）10 （B ） 9 （C ）8 （D ）6二填空题（60分）7.如果（x+3）（x+a ）—2可以因式分解为（x+m ）（x+n ）（m 、n 均为整数），则a=8若x ＞0，规定f （x ）=1+x x ，例如f （2）=2/（2+1）=2/3 ，f(1/3)=(1/3)/( 1/3+1)=1/4 那么:f(1/2017)+f(1/2016)+…+ f(1/3)+f(1/2)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=9.若x=251+，则x 4+8x 3+17x 2+4x+1= 10.已知正方形ABCD 的边长为5，P 为形内一点，且PA=5，PC=5，则PB=11.已知有理数a 、b 、c 满足a 2+b 2+1=2（c 2+ab+b —a ），则a —b —c=12.我们将自数数1、2、3、4、5、6、7、8经适当排列写成一列数a 1、a 2、…，a 8，并设代数式 1887766554433221.a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+-+-+-的最大值为m ，最小值为n ，则m+2n=13.若实数x 、y 满足51=-+xy y x ，则22111yx xy ++-=14.如图，在Rt ΔABC 中，∠ABC=900，D 是线段BC 的中点，E 在AB 内，CE 与AD 交于点F ，若AE=EF ，且AC=7，FC=3，则cos ∠ACB 的值为B C D E15.黑板上写有1，21，31，41，…，20181共2018个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a 、b ，然后删去a 、b ，并在黑板上写上数a+b+ab,则经过2017次操作后,黑板上剩下的数是（ ）．16．我们注意到182=324，242=576，他们分别是由三个连续数码2，3，4以及5，6，7经适当排列而成，而662=4356是由四个连续数码3，4，5，6经适当排列而成;那么下一个这种四位平方数是 （请写出形如662=4356的算式）三解答题（60分）17．（10分）已知ΔABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2—（2k+3）x+k 2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC 长为5，则k 为何值时，ΔABC 是直角三角形？18.（12分）如图，顶点为（4，—1）的抛物线交Y 轴于A （0，3），交X 轴于点B 、C （点B 在点C 的左侧），（1）求此抛物线的解析式（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴L 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明。

座位号安徽师范大学附属中学2017年自主招生考试数 学 试 题【注意事项】 本试卷共4页，总分150分，数学答题时长共120分钟，请掌握好时间，答案写在答题卡上。

一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a ，b 满足631)63()2(22-=++-+-a b a b a ，则b a 等于 （ ）A ．1-B ．12C ．12- D ．2- 2．已知实数c b a ,,满足cb a 111++=O ，1222=++c b a ，则c b a ++的值等于（ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．O3．满足1)2(22=---x xx 的所有实数x 的和为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．如图，以AB 为直径作半圆，C 在圆上，再分别以AC 和BC 为直径作两个半圆，则两阴影部分面积之和1S 与ABC ∆的面积2S 之间的大小关系为 （ ）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．不能确定，与AB AC 的大小有关 5．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是 （ ） A ．221y x =-+ B ．2112y x =-+ C ．241y x =-+ D ．2114y x =-+ 6．如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于 （ ）yxO （第5题图）（第4题图）A ．310B ．38C 、12D 、134二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7．设236m m +=，236n n +=，且m n ≠，则代数式2211nm +的值为 。

安徽省马鞍山市高考数学一诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合，，则为（）A .B .C .D .2. （2分）复数（）A . 4﹣2iB . ﹣4+2iC . 2+4iD . 2﹣4i3. （2分）要从已编号（1～50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射的试验，用选取的豪迈间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，324. （2分）“直线l与平面a内无数条直线都平行”是“直线l与平面a平行”的（）A . 充要条件B . 充分非必要条件C . 必要非充分条件D . 既非充分又非必要条件5. （2分） (2019高一下·台州期中) 设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“ 数列”（）A . 若是等差数列，且首项，则数列是“ 数列”B . 若是等差数列，且公差，则数列是“ 数列”C . 若是等比数列，也是“ 数列”，则数列的公比满足D . 若是等比数列，且公比满足，则数列是“ 数列”6. （2分）(2018·保定模拟) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·赣州模拟) 已知动点A（xA ， yA）在直线l：y=6﹣x上，动点B在圆C：x2+y2﹣2x﹣2y ﹣2=0上，若∠CAB=30°，则xA的最大值为（）A . 2B . 4C . 5D . 68. （2分）(2018·安徽模拟) 执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不大于的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）若，则z=x+2y的最小值为（）A . -1B . 0C .D . 210. （2分） (2020高一下·太原期中) 函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A . 关于点对称B . 关于点对称C . 关于直线对称D . 关于直线对称11. （2分） (2016高二上·临川期中) 已知点P是抛物线x= y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A . 2B .C .D .12. （2分）已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（）A .B .C . 或D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）如图，点C是半径为2的圆的劣弧的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则•的值为________14. （2分） (2019高二下·丽水期末) 若，则 ________________．15. （1分）(2016·南通模拟) 已知函数f（x）=x2+ax（a∈R），g（x）= （f′（x）为f（x）的导函数），若方程g（f（x））=0有四个不等的实根，则a的取值范围是________．16. （1分）在数列｛an｝中，若a1=1 ，an+1=2an+3 (n≥1)，则该数列的通项an=________ ．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2020高一下·吉林月考) 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求的值；（2）若的面积为，，求a、b的值．18. （5分）(2020·银川模拟) 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为，据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在之间的频率；（Ⅱ）现从分数在之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在的份数为，求的分布列和数学望期．19. （10分） (2018高二上·玉溪期中) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1= AB=1，点E在棱AB上移动．（1）证明：B1C⊥平面D1EA；（2）若BE= ，求二面角D1﹣EC﹣D的大小．20. （5分）已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若=λ1 ，=λ2 ，求证：λ1+λ2为定值．21. （10分）(2019·山西模拟) 已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围.22. （5分）(2020·安徽模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数，为直线的倾斜角）.（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求直线倾斜角的大小.23. （5分）(2019·江南模拟) [选修4-5：不等式选讲]设函数 .（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。