届北师大版九年级数学下册课件：第一章《直角三角形的边角关系》单元小结与复习(共38张PPT)

直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 A+B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sinAcoBsa, coAssinBb, tan A a , tan B b .
互余两角之间c 的三角函数关c系:
b
aB
sinA=cosB,tanA=cotB.
c
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1. tanA sinA.
cosA
A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
a
┌
b
C
随堂练习
复习题A组
1.已知△ABC中，cosA=0.6, 求sinA,tanA.
想一想
?
小结 拓展
回味无穷
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角
300
450
600
2
2
余弦
3
2
1
cosα
2
2
2
正切
3
tanα 3
1
3
随堂练习
复习题A组
2.计算: (1)sin450-cos600+tan600; (2)sin2300-cos2300-tan450; (3)sin300-tan300+cos450.
想一想
?
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 4:37:53 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14

能求出其他的元素?
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30

71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c

(2)在△ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100 3)2＝40 000，BC2＝2002＝40 000，∴AB2＋AC2 ＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°，即点 C 位于点 A 的 南偏东 75°方向．
13．如图，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆，测量人员在山脚A处测得B，C两 地的仰角分别为30°，45°，在B处测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200米，电缆BC
∴DE＝CD·sin60°＝12× 3＝6 3(m)，CE＝CD·cos60°＝12×1＝6(m)．∴DE＝D′E′＝
2
2
6 3.∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝ D′E′ ≈12.8(m)，∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8 tan39°
≈7(m)，∴学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 m 才能保证教学楼的安全．
A. 2 4
B.1
C.1
D. 2
4
3
3
8．如图，把两块相同的含30°角的三角尺按图示放置，若AD＝6 6 ，则三角尺的斜边长为 12____．
9．将直角边长为5 cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中 阴影部分的面积是___2_5__3___.
6
10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与 CD，AC相交于点F，E.若FB＝2CF，求sinA的值．
5
3．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，1FC＝ BC，则cos∠EAF＝_2__5_____.
4
5
二、特殊角的三角函数值 4．把一把直尺与一个三角板如图放置．若sin∠21＝ ，则∠2的度数为1_3_5_°__．

北师大版九年级数学下册
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
回顾与思考
1.锐角三角函数定义: tanA= sinA=
A的对边 A的邻边
B 斜边 ∠A的对边 A ∠A的邻边 ┌ C
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
回顾与思考 1.结论:梯子的倾斜程度与tanA 、sinA和cosA有关: tanA越___,梯子越陡.sinA越___,梯子越陡; cosA越____,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，_________
1.若A为锐角， sin A和cos A随A如何变化？
sin A随A的增大而增大 cos A随A的增大而减小
2.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度 与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角 的正切.
铅直高度 i tan 水平宽度
3.朝上看时，视线与水平面夹角为仰角 朝下看时，视线与水平面夹角为俯角
3 ，则 cosB 5
中考链接
3.(2013 年深圳市)如图，已知 l1 // l 2 // l3 ，相邻两条平行直线间的距离相 等，若等腰直角△ ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是（ D ）
1 A. 3
6 B. 17
5 C. 5
10 D. 10
D
C
E
l1 l2 l3
1.如图,已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4 ,则AC=_______.
5
【解析】因为∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，
所以∠B=∠CAD；
因为cosB= ,
所以在Rt△ADC中，cos∠CAD= 又因为AD=4，所以AC=5. 答案：5

A.
5 5
B.12
C.2 5 5
D.2
2.如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,设∠ABC=α,则下列 结论错误的是( D )
A.BC=s���i���n������������
B.CD=ADtan αபைடு நூலகம்
C.BD=ABcos α D.AC=ADcos α
3.( 舟山中考 )如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan ∠BA1C=1,tan ∠BA2C=13,tan ∠BA3C=17,计算 tan ∠
在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图 2, 某一时刻,旗杆 AB 的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上, 测得落在平台上的影长 BC 为 4 米,落在斜坡上的影长 CD 为 3 米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为 72°,1 米的竖立标杆 PQ 在斜坡上的影长 QR 为 2 米,求旗杆的高度.( 结果精确到 0.1 米,参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08 )
【解析】如图,作 CM∥AB 交 AD 于点 M,MN⊥AB 交 AB 于点 N.
由题意得������������
������������
=
������������������������,即������3������
=
12,解得
CM=32,
在 Rt△AMN 中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°,
解:( 1 )CD-BD=AD. 理由:在时间相同的情况下,AD=tv 人,BD=tv 自动扶梯,CD=tv . 人+自动扶梯 CD-BD=tv 人+自动扶梯-tv 自动扶梯=t( v -v 人+自动扶梯 自动扶梯 )=tv 人=AD.

cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。

随堂练习
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高 为7m,扶梯的长度是多少?
解：如图，
C 90,sin A BC AB
又∠A=300 ，BC=7m，
1 7 2 AB
AB 27 14(m)
答：扶梯的长度是14m.
随堂练习
*3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
13m
4m
5m
β
8m （甲）
（乙）
解:甲梯中， tanα = 4 = 1 .
82
乙梯中，
tan β = 5 = 5 . 132 52 12
∵tanα＞tanβ，∴甲梯更陡.
学以致用
正切也经常用来描述山坡的坡度．例如，有一山坡在 水平方向上每前进100 m 就升高 60 m（图 1-6），那 么山坡的坡度就是
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程， 能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应 的锐角的大小.
回顾与思考
锐角三角函数定义
B
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。 c
解:在Rt△ABC中，
sinA = BC = 0.6,AC = 200,
C
AC
BC = 0.6
200
200
┌
BC = 200× 0.6 = 120 A
B
随堂练习
1.如图:在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=10，求AB，sinB.
cos A = 12 . 13
解 : cos A = AC = 12 ,AC = 10, AB 13

；
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝
∠A的邻边
斜边
.
第二页，共16页。
数学(shùxué)·新课标
第1章复习(fùxí) ┃ 知识归类
2．30°，45°，60°角的三角函数(sānjiǎhánshù)值
三角函数
角α
sinα
cosα
tanα
30°
1
2
3
3
2
3
45°
4
3
3
4
A.3 B.4 C.5 D.5
第五页，共16页。
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点(kǎo diǎn)攻略
[解析] B 根据 sinA＝54，可设三角形的两边长分别为 4k,5k， 则第三边长为 3k，所以 tanB＝34kk＝34.
第六页，共16页。
数学(shùxué)·新课
第1章复习 ┃ 考点(kǎo diǎn)攻略
第九页，共16页。
数学(shùxué)·新课标
第1章复习 ┃ 考点(kǎo diǎn)攻略
[解析] 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示 出 FG，在 Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝40，可求 AG.
第十页，共16页。
数学(shùxué)·新课标
处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向 上，量得BC长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．
第十三页，共16页。
数学(shùxué)·新课
第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
第十四页，共16页。
数学(shùxué)·新课

章末复习
素养提升
专题一 方程思想在解直角三角形中的应用
【要点指导】在“双直角三角形”中, 如果两个直角三角形求解 的条件都不充分, 可设其中一条线段的长度, 再用所设未知数表示 其他的线段, 最后结合图形与已知条件建立方程或方程组求解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
章末复习
例1 益阳市为了改善市区交通状况, 计划在康富路的北端修建通 往资江北岸的新大桥． 如图1-Z-4所示, 新大桥的两端位于A, B 两点, 小张为了测量A, B之间的江宽, 在垂直于新大桥AB 的直线 形道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1° , ∠BCA=68.2°, CD=82米, 求AB的长. (结果精确到0.1米； 参考数据： sin76.1°≈0.97, cos76.1°≈0.24, tan76.1°≈4.04, sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37, tan68.2°≈2.50)
30° , 45° , 60°角 的三角函数值
利用三角函数测高
章末复习
归纳整合
专题一 关于锐角三角函数的概念及计算
【要点指导】中考中常借助一定的背景图形(网格、三角形等)通 过等量代换及转化, 将某些无法求解的锐角三角函数转移或构建 特殊的直角三角形, 借助数形结合求解.
章末复习
例1 在△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c, 且b2= (c+a)(c-a), 5b-4c=0, 求sinA+sinB的值．
章末复习
母题3 (教材P25复习题第12题) 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至 B港, 然后再沿北 偏西30°方向航行10 km至C港. (1)求A, C两港之间的距离(结果精确到0.1 km)； (2)确定C港在A港的什么方向.

议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
大于1吗？
B
A
┌ C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一 的确定的值与它对应.
典例精析 例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡?
甲
13m α ┌
5m
乙 6m
B'
B
A
C
A'
C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定 时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
概念学习
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）， 记作sinA ， 即
斜边
c A b
B
对边
a C
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
典例精析
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
A 5 ┌ 6 D C
解 : 过A作AD BC于D, 则在RtABD中,
AB 5, 易知BD 3, AD 4.
B
5
AD 4 BD 3 sin B , cos B , AB 5 AB 5 AD 4 tan B . BD 3
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？
讲授新课
一 正切的定义
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，
称为梯子的铅直高度
A
从梯子的底端B到墙角C的距离，
称为梯子的水平宽度
梯子与地面的夹角