高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案解析
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新数学《推理与证明》期末复习知识要点
一、选择题
1．设x，y，z＞0，则三个数,,yyzzxxxzxyzy （ ）
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.
2．已知0x，不等式12xx，243xx，3274xx，…，可推广为1naxnx ，则a的值为( )
A．2n B．nn C．2n D．222n
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意归纳推理得到a的值即可.
【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为111；
当分母的指数为2时，分子为224；
当分母的指数为3时，分子为3327；
据此归纳可得：1naxnx中，a的值为nn.
本题选择B选项.
【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
3．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n及3n时，如图：
记nS为每个序列中最后一列数之和，则6S为（ ）
A．147 B．294 C．882 D．1764
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S的值.
【详解】
依题意列表如下：
上列乘6 上列乘5 上列乘2
1 6 30 60
12 3 15 30
13 2 10 20
14 32 152 15
15 65 6 12
16 1 5 10
所以6603020151210147S.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
4．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）
A．小钱 B．小李 C．小孙 D．小赵
【答案】A
【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
5．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i行，第j列的数记为ija，例如329a，4215a，5423a，若2019ija，则ij（ ）
A．71 B．72 C．20 D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i行末共有11+2+3++=2iii个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.
【详解】
奇数2019为第1010个奇数，
由题意按照蛇形排列，从第1行到第i行末共有11+2+3++=2iii个奇数，
则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数，
则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，
故2019位于第45行，从右往左第20列，
则45i，26j，故19ij.
故选：D.
【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.
6．用数学归纳法证明 11151236nnn时，从nk到1nk，不等式左边需添加的项是（ ）
A．111313233kkk B．112313233kkk
C．11331kk D．133k
【答案】B
【解析】
分析：分析nk，1nk时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.
详解：nk时，左边为111123kkk,
1nk时，左边为111111233313233kkkkkk,
所以左边需添加的项是 11111123132331313233kkkkkkk，选B.
点睛：研究nk到1nk项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
7．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法预测
【答案】A
【解析】
【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。
因此，第三名是甲，故选：A。
【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。
8．在等差数列na中，若0na，公差0d，则有4637aaaa.类比上述性质，在等比数列nb中，若0nb，公比1q，则关于5b，7b，4b，8b的一个不等关系正确的是（ ）
A．5748bbbb B．7845bbbb C．5748bbbb D．7845bbbb
【答案】C
【解析】
【分析】
类比等差数列{}na与等比数列{}nb各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．
【详解】
在等差数列{}na中，由4637时，有4637aaaa，
类比到等比数列{}nb中，由5748时，有4857bbbb，
因为4334857444444()(1)(1)bbbbbbqbqbqbqbqq
32244(1)(1)(1)(1)0bqqbqqq，
所以4857bbbb成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．
9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.
【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.
故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
10．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．
【详解】
①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；
②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.
综上所述，盗窃者是甲.
故选：A.
【点睛】
本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．
11．用数学归纳法证明“1112nn…111()24nNnn”时，由nk到1nk时，不等试左边应添加的项是( )
A．12(1)k B．112122kk
C．11121221kkk D．1111212212kkkk
【答案】C
【解析】
【分析】
分别代入,1nknk，两式作差可得左边应添加项。
