新版高中数学人教A版选修2-1习题第一章常用逻辑用语1.2
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1.2 充分条件与必要条件
课时过关·能力提升
基础巩固
1若{an}是等比数列,则“a1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若数列{an}为递增数列,则有a1 答案:C 2已知条件p:y=lg(x2+2x3)的定义域,条件q:5x6>x2,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:p:x2+2x3>0,则x>1或x<3; q:5x6>x2,即x25x+6<0,则2 故q⇒p,但pq. 答案:B 3若φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当φ=0时,f(x)=cos x,f(x)=f(x), 故f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数, 则f(0)=±1,即cos φ=±1. 故φ=kπ(k∈Z).故选A. 答案:A 4已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 5已知p:x2x<0,则p成立的一个充分条件是( ) A.1 C.13 答案:C 6不等式x23x+2<0成立的充要条件是 . 解析:x23x+2<0⇔(x1)(x2)<0⇔1 答案:1 7条件p:1x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是 . 答案:(∞,1] 8分别判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是“方程x23x+2=0”的充分条件还是必要条件. 解:当x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”“x=1或x=2”都是方程的充分条件. 当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”与“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件. 9已知p:2x23x2≥0,q:x22(a1)x+a(a2)≥0.若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 分析本题考查充分条件和必要条件的应用.分别求出集合M与N的范围,利用M⫋N构成a的不等式求解:. 解:令M={x|2x23x2≥0} ={x|(2x+1)(x2)≥0} ={𝑥|𝑥≤-12或𝑥≥2}, N={x|x22(a1)x+a(a2)≥0} ={x|(xa)[x(a2)]≥0} ={x|x≤a2或x≥a}, 由已知p⇒q,且qp,得M⫋N. 故{𝑎-2≥-12,𝑎<2或{𝑎-2>-12,𝑎≤2, 即32≤a<2或32 即所求a的取值范围是[32,2]. 能力提升 1设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若{an}为单调递增数列,则an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立,如数列{an}为n,(n1),…,2,1,显然不满足an+1>|an|;如果an+1>|an|>0,那么一定能够得到{an}为单调递增数列;故“an+1>|an|”是“{an}为单调递增数列”的充分不必要条件. 答案:B 3若数列{an}满足𝑎𝑛+12𝑎𝑛2=p(p为正常数,n∈N*),则称{an}为“等方比数列”.甲:数列{an}是等方比数列;乙:{an}是等比数列.则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若数列{an}是等方比数列,则数列{an}不一定是等比数列.例如,1,1,1,1,1,1,…,𝑎𝑛+12𝑎𝑛2=11=1(正常数)是等方比数列,但不是等比数列,故甲乙;若{an}是等比数列,𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q(非零常数),则𝑎𝑛+12𝑎𝑛2=q2(常数),即{an}为等方比数列,故乙⇒甲. 答案:C 4在平面直角坐标系xOy内,直线x+(m+1)y=2m与直线mx+2y=8互相垂直的充要条件是m= . 解析:x+(m+1)y=2m与mx+2y=8互相垂直⇔1·m+(m+1)·2=0⇔m=23. 答案:23 5已知α,β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β,p:a与b无公共点,q:α∥β,则p是q的 .(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 解析:pq,例如,当α与β相交时,也能满足条件a⊂α,b⊂β,a与b无公共点,即a与b异面;若α∥β,而a⊂α,b⊂β,则a与b一定无公共点,即q⇒p. 答案:必要不充分条件 6设A={𝑦|𝑦=2𝑥2𝑥+1,𝑥∈R},B={𝑦|𝑦=13𝑥+𝑚,𝑥∈ [1,1] },记p:“x∈A”,q:“x∈B”,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是 . 解析:由题意知,A=(0,1),B=[𝑚-13,𝑚+13],又p是q的必要不充分条件, 故B⫋A,即{𝑚-13>0,𝑚+13<1,解得13 答案:(13,23) 7已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件. 解:a1=S1=p+q. 当n≥2时,an=SnSn1=pn1(p1). ∵p≠0,p≠1, ∴𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑝𝑛(𝑝-1)𝑝𝑛-1(𝑝-1)=p(n≥2). 若{an}为等比数列,则𝑎2𝑎1=𝑎𝑛+1𝑎𝑛=p, 故𝑝(𝑝-1)𝑝+𝑞=p.又p≠0, ∴p1=p+q,∴q=1. 这是{an}为等比数列的必要条件. 下面证明q=1是{an}为等比数列的充分条件. 当q=1时, Sn=pn1(p≠0,p≠1),a1=S1=p1. 当n≥2时,an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1), 故an=(p1)pn1(p≠0,p≠1), 即𝑎𝑛𝑎𝑛-1=(𝑝-1)𝑝𝑛-1(𝑝-1)𝑝𝑛-2=p(为常数). 于是当q=1时,数列{an}为等比数列,故数列{an}是等比数列的充要条件为q=1. ★8已知条件p:A={x|2a≤x≤a2+1},条件q:B={x|x23(a+1)x+2(3a+1)≤0},若条件p是条件q的充分条件,求实数a的取值范围. 解:A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x2)·[x(3a+1)]≤0},当a≥13时,B={x|2≤x≤3a+1}. 当a<13时,B={x|3a+1≤x≤2}. 由p是q的充分条件,知A⊆B. 于是有{𝑎≥13,𝑎2+1≤3𝑎+1,2𝑎≥2, 解得1≤a≤3, 或{𝑎<13,𝑎2+1≤2,2𝑎≥3𝑎+1,解得a=1. 故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a=1}.
