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正、余弦定理及其应用
作者：夏志辉
来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期
正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.
重点难点
在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题. 在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.
重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.
难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.
正弦定理和余弦定理的应用习题
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于（ ）．
A．10° B．50° C．120° D．130°
2．若P的Q的北偏东44°50′，则Q在P的（ ）
A．东偏北45°10′ B．东偏北45°50′
C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′
3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A． 海里/小时 B． 海里/小时
C． 海里/小时 D． 海里/小时
5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．akm B． km C． km D．2akm 6．如图所示，D、C、B在地平面同一直线上， ，从D、C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（ ）
A．10m B． m C． m D． m
二、填空题
7．某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为_______，风速为_______．
8．某车向正南方向开了S千米后，向右转 角，然后又开了m千米，结果该车离出发地点213.4m， ，则
9．如图所示，为了测量两点A、B（这两点间不能通视）间的距离，在地面上选择适当的点C，测得
10．如图所示为一角槽，已知 ，并量得 ，则
11．如图所示，在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A、C两孔中心的距离．已知 ，则 （保留三位有效数字）．
2014—2015七台河市高级中学高一数学必修5导学案 编制：王美玉 编号：03 审核：刘波 时间： 班级： 姓名： 小组： 评价：
导学案：正弦定理和余弦定理应用举例
【使用说明及学法指导】
1.结合问题导学自学课本，用红色笔勾画出疑惑点；独立思考完成合作探究，并总结规律方法。
2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。
3.带（*）号的C层可以不做，带（附加）的B、C层可以不做。
【重点难点】
重点：正确应用正、余弦定理解决解三角形、距离、角度、有关三角形面积、底部不可到达的测量物体高度的问题。
难点：会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，证明与三角形边角有关的恒等式，解决生产实践中的相关问题。
【学习目标】
1．体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。
2.理解并掌握利用正、余弦定理解决一系列问题。
3．提高灵活地选择正余弦定理的解题能力。
4. 引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型。
【问题导学】
1．方位角：指方位角：从指正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做________
方位角的其他表示：
（1）正南方向 （2）东南方向 （3）北偏东 （4）南偏西
方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式．
2．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_______.
3.正弦定理：在三角形中，
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1 正弦定理、余弦定理的实际应用
一、教学目标：
应用正余弦定理解决三角形中常见的有关：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、航海问题、物理问题等。
二、教学重点、难点：
将实际问题转化为解三角形问题。
三、应用
（一）实际问题中常用的角
（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角。
（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方位线的水平角。
（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角。
（二）例题选讲：
例1、如图示，为了测量小河两岸之间的距离，在河的一岸边（观察者所在的一边）选定A和B两点，选择对岸的一参照物C，测得004575120CABCBAAB，，米，设A、B、C在同一平面内，求河宽
变式：如图示，为了测量河对岸两点A、B之间的距离，在河岸这边取点C、D,测得
mCDBCDACDBDCADC100,75,45,60,75，设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B两点之间的距离
A C
B
D C B A
2 例2、在塔底的水平面上测得塔顶的仰角为由此点向塔的方向沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高多少米？。
例3、如图示，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号。我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮正沿方位角为45度，距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105度的方向，以9n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军立即以21n mile/h的速度前去营救。求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1度，时间精确到1分钟）。
变式：如图示，某岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北东60度的C处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60度的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方向且距海岛5km的E港口，假设轮船始终匀速直线前进，求船速。
