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WORD完美格式 下载可编辑 正弦定理和余弦定理的应用举例
考点梳理
1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
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解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 专业资料
WORD完美格式 下载可编辑 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
考点自测
1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．
解析 记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos
正弦余弦定理及应用
正弦定理和余弦定理是在解三角形问题中常用的两个定理。在解决三角形问题时，我们经常需要求解三角形的边长或者角度。使用正弦定理和余弦定理可以帮助我们更方便地解决这些问题。
首先来看正弦定理。正弦定理是针对一个三角形中的角和边之间的关系进行描述的。对于一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C，三个对边长度分别为a、b和c，则正弦定理可以表示为：
a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C
其中sin∠A表示∠A的正弦值。正弦定理的推导过程非常简单，可以通过三角形的面积公式进行得出。由于三角形的面积与其对边的关系为S = (1/2)ab*sin∠C，我们可以得到sin∠C = (2S)/(ab)，从而推导出上述的正弦定理。
正弦定理的应用非常广泛。通过正弦定理，我们可以方便地求解角度或者边长。举个例子来说，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5、b=7，以及它们之间的夹角为∠C=30，我们可以利用正弦定理来求解第三条边c的长度。
根据正弦定理，我们可以得到c/sin∠C = b/sin∠B，化简后得到c = b*sin∠C/sin∠B。将具体数值代入计算可以得到c=3.5。
而余弦定理则是针对三角形的边和边之间的关系进行描述的。对于一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b和c，三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则余弦定理可以表示为：
c² = a² + b² - 2ab*cos∠C
余弦定理的推导过程较为复杂，这里我们只给出其结果。余弦定理是由向量的内积推导而来的，通过应用余弦定理，我们可以求解未知角或边长。
同样以一个例子来说明，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5和b=7，以及它们夹角的余弦值cos∠C=1/2，我们可以利用余弦定理来求解第三条边c的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = a² + b² - 2ab*cos∠C，将具体数值代入计算可以得到c² = 25 + 49 - 35/2 = 59.5。因此c≈7.71。
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用
近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,acacac三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.
【重点知识回眸】
（一）正弦、余弦定理
1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2sinsinsinabcRABC a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝2R cos A＝b2＋c2－a22bc；
cos B＝c2＋a2－b22ac；
cos C＝a2＋b2－c22ab
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
正、余弦定理在实际生活中的应用
正弦定理和余弦定理是三角学中重要的定理，它们不仅在数学领域有着重要的意义，而且在日常生活中也有着广泛的应用。本文将通过几个实际生活中的例子，来说明正弦定理和余弦定理的应用。
我们来看一个生活中常见的例子，即测量高楼的高度。假设有一栋高楼，我们无法通过直接测量得到其高度，但是我们可以通过测量某一点到高楼顶部的距离和测量这一点与高楼底部的夹角，利用正弦定理和余弦定理来计算高楼的高度。设高楼的高度为h，某一点到高楼顶部的距离为d，某一点与高楼底部的夹角为θ，则根据正弦定理可得：
\[ \frac{h}{\sin{\theta}} = \frac{d}{\sin{(90^\circ - \theta)}} \]
根据余弦定理可得：
\[ h^2 = d^2 + L^2 - 2dL\cos{\theta} \]
通过这两个公式，我们可以根据已知的距离和夹角，计算出高楼的高度。这就是正弦定理和余弦定理在测量高楼高度时的应用。
正弦定理和余弦定理也可以在航海领域中得到应用。航海员在航海时需要测量两个位置之间的距离和方向角，而这正是正弦定理和余弦定理所擅长的。假设航海员需要确定A点和B点之间的距离d和方向角θ，可以利用正弦定理和余弦定理来进行计算。首先利用余弦定理计算A点和B点的距离：
\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta} \]
然后利用正弦定理计算出方向角θ：
\[ \frac{\sin{\theta}}{a} = \frac{\sin{B}}{d} \]
通过这些计算，航海员可以准确地确定A点和B点之间的距离和方向角，从而确保航行的安全和准确性。
在建筑领域中，正弦定理和余弦定理也有着重要的应用。在设计桥梁和建筑物结构时，需要计算各种角度和距离，而这些计算中常常需要用到正弦定理和余弦定理。在地质勘探和地震预测中，也需要利用正弦定理和余弦定理来计算地层的深度和角度，从而进行地质勘探和地震预测工作。
