正弦定理、余弦定理应用举例练习卷
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km a km a km D．2a km
2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 B．352海里 C．353海里 D．70海里 4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．201＋33 m B．201＋32 m C．20(1＋3) m D．30
m
5．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小( )
B．1 D．2
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.
- 1 - 正弦定理、余弦定理应用举例
1．用正弦定理和余弦定理,面积公式
2．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏南60°,东北方向等．
【例题分析】
一、基础理解
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．
A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°
3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．
A．5海里 B．53海里 C．10海里 D．103海里
二、测量距离问题
例1、如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
A．502 m B．503 m C．252 m D.2522 m
例2、 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
1 正弦定理、余弦定理应用举例练习卷
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.3a km
C.2a km D．2a km
2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15
min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．22 km B．32
km C．33 km D．23 km
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 B．352海里 C．353海里 D．70海里 2 4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．201＋33
m B．201＋32 m C．20(1＋3) m D．30
m
5．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A.1010 B.105 C.31010 D.55
6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80
km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小( )
A.6943 B．1 C.7043 D．2
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
- 1 - 第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例
【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．
【基础梳理】
1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
3、解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
4、解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
- 2 - (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
【例题分析】
一、基础理解
例1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
A．502 m B．503 m C．252 m D.2522 m
解：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°
