人教版高中数学《三角函数》全部教案,DOC

仅供个人学习参考 三角函数第一教时

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2．讲解：“旋转”形成角（P4）

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于x轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角或可以简记成

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1角有正负之分如：=210=150=660

2角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）

3还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30390330是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角

5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Zkk个周角的和

390=30+360)1(k

330=30360)1(k30=30+0×360)0(k

1470=30+4×360)4(k

1770=305×360)5(k

3．所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和

4．例一（P5略）

仅供个人学习参考 五、小结：1角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2“象限角”与“终边相同的角”

第二教时

教材：弧度制

目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。

过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制

它的单位是rad读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：AOB=1rad

AOC=2rad

周角=2rad

1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2．角的弧度数的绝对值rl（l为弧长，r为半径）

3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：360=2rad∴180=rad

∴1=radrad01745.0180

例一把'3067化成弧度

解：2167'3067∴radrad832167180'3067

例二把rad53化成度

解：1081805353rad

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3radsin表示rad角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

例三用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在x轴上的角的集合ZkkS,|1

2终边在y轴上的角的集合ZkkS,2|2 o r C

2rad 1rad r l=2r

o A A B

仅供个人学习参考 3终边在坐标轴上的角的集合ZkkS,2|3

第三教时

教材：弧度制（续）

目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答《教学与测试》P101-102练习题1—5并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二

二、由公式：rlrl比相应的公式180rnl简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

例一（课本P10例三）利用弧度制证明扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径。

证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：221R

弧长为l的扇形圆心角为radRl

∴lRRRlS21212

比较这与扇形面积公式3602RnS扇要简单

例二《教学与测试》P101例一直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴34⑵165

解：cmr10⑴：)(3401034cmrl

⑵：radrad1211)(165180165∴)(655101211cml

例三如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有

22162lrrllr∴扇形的面积2)(221cmrlS

例四计算4sin5.1tan

解：∵454∴2245sin4sin

∴12.14'5785tan5.1tan

例五将下列各角化成0到2的角加上)(2Zkk的形式

⑴319⑵315 o R

S l

o A B

仅供个人学习参考 解：63319

2436045315

例六求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m）

图中长度单位为：m

解：∵360

∴)(471514.3453mRl

三、练习：P116、7《教学与测试》P102练习6

四、作业：课本P11-12练习8、9、10

P12-13习题4.25—14

《教学与测试》P1027、8及思考题

第四教时

教材：任意角的三角函数（定义）

目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。

过程：一、提出课题：讲解定义：

1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离02222yxyxr（图示见P13略）

2．比值ry叫做的正弦记作：rysin

比值rx叫做的余弦记作：rxcos

比值xy叫做的正切记作：xytan

比值yx叫做的余切记作：yxcot

比值xr叫做的正割记作：xrsec

比值yr叫做的余割记作：yrcsc

注意突出几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0r，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）

⑤定义域：

二、例一已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值

解：13)3(2,3,222ryx R=45 6x o y

仅供个人学习参考 ∴sin=13133cos=13132

tan=23cot=32

sec=213csc=313

例二求下列各角的六个三角函数值

⑴0⑵⑶23⑷2

解：⑴⑵⑶的解答见P16-17

⑷当=2时ryx,0

∴sin2=1cos2=0tan2不存在cot2=0

sec2不存在csc2=1

例三《教学与测试》P103例一求函数xxxxytantancoscos的值域

解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上

又∵tanx0∴x的终边不在y轴上

∴当x是第Ⅰ象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2

…………Ⅱ…………,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2

…………ⅢⅣ………,0,00,0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0

例四《教学与测试》P103例二

⑴已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值

⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值

解：⑴由定义：5rsin=53cos=54∴2sin+cos=52

⑵若0aar5则sin=53cos=54∴2sin+cos=52

若0aar5则sin=53cos=54∴2sin+cos=52

三、小结：定义及有关注意内容

四、作业：课本P19练习1P20习题4.33

《教学与测试》P1044、5、6、7

第五教时

教材：三角函数线

目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”