复数代数形式的乘除运算

1 第一讲 复数的概念与运算

1. 复数的分类

复数Rbabia,是纯虚数  ；

复数Rbabia,是实数  ；

例1.复平面内，若immmmz23222所对应的点在虚轴上，则实数m= .

例2. 设复数ixxxxz6log5log3loglog3232323，

当x为何值时，复数z为： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数

例3．若z为虚数，且1z，求证：11zz为纯虚数

2 例4. 复数与实数的异同点

以下哪些结论对于实数成立，但对于虚数不成立？写出其序号

（1）02x （2）yxyx0 （3）yxyx0

（4）0022yxyx （5）2222yxyxyx （6）22xx

2. 两个复数相等

若12zz ；

例1：复数z满足izz2__，求复数z。

例2. 已知实数yxa,,满足0222iyxxyaia，求点yx,的轨迹方程。

例3. 已知方程02122ipxix有实根，则实数p=

3 3. 复数运算中的常用量

（1）101011ii= 。

（2）当z=21i时，z100＋z50＋1的值等于

（3） 20061()1ii=

（4） 当n取遍正整数时，nnii可表示 个不同值。

（5）i表示虚数单位，则2008321iiii的值是

第 1 页 共 4页 第 2页 共4页 第三章 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

【学习目标】 1. 知识与技能：掌握复数的加减运算及其几何意义；理解并掌握复数代数形式进行四则运算的规律；

2. 过程与方法：了解复数加减法运算的几何意义；理解并掌握复数的有关概念

3. 情感、态度与价值观：激情投入，合作探究，培养归纳分析的能力；

【重点难点】

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系；

教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义；

【今日赠言】

不要让对失败的恐惧，绊住你尝试新事物的脚步。

预 习 案

【知识准备】

1．各种数集的集合表示；

2．复数的概念及其几何意义；

【预习导学】

1．设12,zabizcdi，是任意两个复数，那么。

()()(abicdiacbdi

很明显，两个复数的和仍然是 .

对于任意123,,zzzC，有

12zzzz

123()()zzzzzz

2．复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

由平面向量的坐标运算，有OZ=12OZOZ=（ ）

3．问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.

新知：复数的减法法则为：

()()(abicdiacbdi

高中数学（选修1-2）

内容：复数的代数形式的乘除运算 课时：1 编号：4

一、学习目标：

1. 掌握复数代数形式的乘、除运算；

2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；

3. 理解共轭复数的概念。

二、学习重难点：

1.重点：复数代数形式的乘、除运算

2.难点：复数代数形式的除法运算

三、学习过程：

1、阅读课本58页-60页，完成下列问题：

问题1.已知复数biaz1，bicz2(a，b，c，d∈R)．求它们的积。

（bia）（dic）=

问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？写出推理过程。

2、例1 ：计算（1+2i）(3-4i)(-2+i)

练习1：（1）（4+3i）(4-3i) (2)231）（i

3、复数的除法

问题1：共轭复数的概念以及表示

当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为 ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ．

练习1：写出下列复数的共轭复数

（1）8+7i (2)-3i (3)a+bi(0b)

问题2：若z1，z2 是共轭复数，那么

（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

（2）z1z2 是怎样的数？

问题3：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。试探究复数除法的法则。

复数除法的法则是：

4、例2：计算(1+2i)(3-4i) 练习2：完成60页课后练习1,2,3

5、课后练习

1.若z＝4＋3i，则z|z|＝( )

A．1 B．－1 C.45＋35i D.45－35i

2.若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )

A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i

3．满足z＋iz＝i(i为虚数单位)的复数z等于( )

复数的乘除运算教学设计

教学目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的

核心素养。

教学重难点

1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；

2.难点：复数的除法运算

教学过程

（一）新知导入

1.创设情境，生成问题

两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定

两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定

相容？

2.探索交流，解决问题

【问题1】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，

应如何规定两个复数相乘？

[提示]z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋

ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）

【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？

[提示]满足．

【问题3】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则zz的共轭复数等于什么？zz是一个

怎样的数？[提示]z＝a－bi，zz＝a2＋b2是一个实数．

（二）复数的乘除运算

1.复数的乘法运算

复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1

结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

（3）例题讲解

【例1】计算（3−4i）（3+4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)

解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)

=3×3+3×4i−4×3i−4i×4i;=(11−2i)(−2+i);

=−20+15i.=25.