第三章 空间向量
3.1.1空间向量及其加减运算
基础性练习：
1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若BAcCCbCBaCA11,,,则 （ ）
A．cba B．cba
C．cba D．cba
2、给出以下命题：
（1） 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
（2） 若空间向量a、b满足ba,则ba
（3） 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有11CAAC；
（4） 若空间向量pnm、、满足pmpnnm则，,；
（5） 空间中任意两个向量必相等。
其中不正确的命题的个数是（ ）
A、1 B、 2 C、3 D、4
3、如图，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量1AC的共有（ ）
①1)(CCBCAB； ②11111)(CDDAAA
③111)(CBBBAB ④11111)(CBBAAA
A、1 B、 2 C、3 D、4
4、化简：（CDAB）－（BDAC）= 。
巩固性练习：
5、下列说法正确的是（ ）
A、若||||ba，则a、b的长度相同，方向相反；
B、||||ba，ba则的相反向量是向量若向量；
C、空间向量的减法满足结合律；
D、在四边形ABCD中，一定有ACADAB
6、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有（ ）
A、1 个 B、 2 个 C、3 个 D、4个
7、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量BCABDD1化简后的结果是（ ）
A、1BD B、BD1 C、DB1 D、1DB
[学业水平训练]
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于( )
A.AG→ B.CG→
C.BC→ D.12BC→
解析：选A.AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋12OB→＋13OC→，则x的值为( )
A.16 B.13
C.12 D．0
解析：选A.由四点共面的充要条件知．
x＋12＋13＝1，因此x＝16.
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
解析：选A.因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP→＝(1－n)OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→－OA→)，即AP→＝nAB→，所以AP→与AB→共线．又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.OM→＝3OA→－2OB→－OC→
B.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0
C.MA→＋MB→＋MC→＝0
D.OM→＝14OB→－OA→＋12OC→
解析：选C.∵MA→＋MB→＋MC→＝0，
∴MA→＝－MB→－MC→，
∴M与A，B，C必共面．
5．a，b为非零向量，命题甲：“向量a与向量b平行”，命题乙：“|a＋b|＝|a|＋|b|”，那么命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.只有向量a，b方向相同时|a＋b|＝|a|＋|b|才成立，所以命题甲推不出命题乙，反之成立．
6．化简12(a＋2b－3c)＋5(23a－12b＋23c)－3(a－2b＋c)＝________.
第 - 1 - 页 空间向量的综合运算
题一：已知a→，b→均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a→+3b→|为( )
A．7 B．10 C．13 D．4
题二：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=3，则cos
A．12 B．22 C．12 D．0
题三：已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a→=AB→，b→=AC→．
(1)设|c→|=3，c→//BC→，求c→．
(2)求a→与b→的夹角的余弦值．
(3)若ka→+b→与ka→2b→互相垂直，求k．
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空间向量的综合运算
讲义参考答案
题一：C．题二：D．题三：(2，1，2)或(2，1，2)；1010；2或52．
1.1 空间向量及其运算
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算。
平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
课程目标 学科素养
A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直. 1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；
2..直观想象：向量运算的几何意义；
3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；
1.教学重点：理解空间向量的概念
2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标 一、情境导学
章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。
二、探究新知
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作AB―→，其模记为__________.
