河南省郑州市高新区一中2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析

绝密★启用前2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=.若存在两项m a ，n a ，使得14a =，则14m n+的最小值为()A.4 B.23C.32D.92.已知函数()()223x x f x a bx -=-++,且0ab ≠.若()2019f h =-,则()f h -=()A.2024B.2023C.2022D.20253.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.32-B.12-C.12D.324.在ABC △中，下列各式正确的是()A.sin sin a B b A=B.sin sin a C c B=C.2222cos()c a b ab A B =+-+D.sin()sin a A B c A+=5.满足下列条件的两条直线1l 与2l ，其中可以推出12//l l 的条件是()①1l 的斜率为2，2l 过点(1,2)A ，(4,8)B ；②1l 经过点(3,3)P ，(5,3)Q -，2l 平行于x 轴，但不经过P 点；③1l 经过点(1,0)M -，(5,2)N --，2l 经过点(4,3)R -，(0,5)S .A.①②B.②③C.①③D.①②③6.在三棱锥P ABC -中，CP ，CA ，CB 两两互相垂直，1AC CB ==，2PC =，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAB 的法向量可以是()A.11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C.(1,1,1)D.(2,2,1)-7.已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是()A.9,34⎛⎫⎪⎝⎭B.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(1,3)D.(2,3)8.一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s )之间的函数关系为()25s t t mt =+，且这一物体在23t ≤≤这段时间内的平均速度为26m /s ，则实数m 的值为()A.2B.1C.1- D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设一元二次方程220x ax a ++=的两个实根为,1x ,()212x x x ≠,则()A.1216x x >B.当17a >时,12117x x a +-的最小值为34+C.1211x x +为定值D.当21127x x x x +=时,16a =10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点3)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π||2ϕ<），则下列叙述正确的是()A.6R =，π30ω=，π6ϕ=-B.当[35,55]t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C.当[10,25]t ∈时，函数()y f t =单调递减D.当20t =时，||PA =三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知样本数据1x ,2x ,…,2022x 的平均数与方差分别是m 和n ,若i i 2(i 1,2,,2022)y x =-+= ,且样本数据的1y ,2y ,…,2022y 平均数与方差分别是n 和m ,则222122022x x x +++= ________.14.已知过不同两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的一个方向向量(1,1)=a ，则实数m =_________.15.若直线l 的斜率k 的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是__________.16.商场对某种产品的广告费用支出x (元)与销售额y (元)之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额y 的预报值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球, .球数构成一个数列{}n a ,满足1n n a a n -=+,1n >且*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证:121112na a a +++< .（1）求sin ABD ∠的值；（2）求ABD △的面积.19.（12分）已知函数()cos )sin f x x x =+-,在ABC △中,AB =,()f C =ABC △的面积为2．（1）求C 的值；（2）求sin sin A B +的值．20.（12分）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为A ,每期利率为r ,期数为n ,到期末的本利和为S ,则()1n S A r =+其中,S 称为n 期末的终值,A 称为n 期后22.（12分）已知0a >,设函数()(2)ln f x x a x x =-+,()f x '是()f x 的导函数.（1）若2a =,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,()212x x x <.①求实数a 的取值范围；②证明：()222e 2e 2a ax f x '<--.2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=，可得28886a q a q a +=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍）.14a =，2216m n +-∴=，6m n ∴+=，141141413()5(56662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即2m =，4n =时，等号成立.故14m n +的最小值为32.故选C.2.答案：D解析：由()()223x x f x a bx -=-++,得()()223x x f x a bx --=--+,()()6f x f x -+∴=,()()62025f h f h ∴-=-=.故选：D.3.答案：D解析：由题意得122236ωπππ⨯=-，解得2ω=，易知6x π=是()f x 的最小值点，所以322()62k k ϕππ⨯+=+π∈Z ，得72()6k k ϕπ=+π∈Z ，于是77()sin 22sin 266f x x k x ππ⎛⎫⎛⎫=++π=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则557sin 2sin 1212632f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.4.答案：D解析：对于选项A：由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ==,故sin sin a Ab B=,故选项A 错误；对于选项B ：因为sin sin a c A C=,故sin sin a C c A =,故选项B 错误；对于选项C：()cos cos A B C +=-,由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得()2222cos c a b ab A B =+++;故选项C 错误;对于选项D：由正弦定理可得sin sin a c A C=,再根据诱导公式可得：()sin sin a c A A B =+,即()sin sin a A B c A +=，故选项D 正确;故选：D 5.答案：B解析：根据两点间的斜率公式知①中2l 的斜率为2，但是不能保证12//l l ，因为有可能直线1l 与2l 重合；②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证12//l l .故选B.6.答案：A解析：由题意，得(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)P ，则(1,1,0)AB =- ，(1,0,2)AP =-，设平面PAB 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1y =，12z =，所以11,1,2⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，故选A.7.答案：D解析：根据题意，6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，要使{}n a 是递增数列，必有8630,1,(3)73,a a a a -->⎧⎪>⎨⎪-⨯-<⎩即3,1,29,a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或可得23a <<.故选D.8.答案：B 解析：由已知，得()()322632s s -=-，()()2253352226m m ∴⨯+-⨯+=，解得1m =，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：BC解析:因为方程220x ax a ++=的两个实根为1x ,()212x x x ≠,所以280a a ∆=->,解得()(),08,a ∈-∞+∞ ,由12x x a +=-,122x x a =,所以()()12,016,x x ∈-∞+∞ ,所以A 错误;则()1211123421734342171717x x a a a a a ⋅+=+=+-+++--- ,当172a =+时,等号成立,所以12117x x a +-的最小值为34+B 正确;由1212121112x x x x x x ++==-,所以C 正确;当21127x x x x +=时,()22221212121212242722x x x x x x a a a x x x x a +-+-===-=,得18a =,所以D 错误.故选:BC.10.答案：ABD解析：由题意可知60T =，所以2π60ω=，解得π30ω=，又从点3)A -出发，所以6R =，6sin 3ϕ=-，又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，A 正确；ππ6sin()306y t =-，当[35,55]t ∈时，ππ5π[π,]3063t -∈，则ππsin([1,0]306t -∈-，[6,0]y ∈-，点P 到x 轴的距离为||y ，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，B 正确；当[10,25]t ∈时，πππ2π[,30663t -∈，所以函数ππ6sin(306y t =-在[10,25]上不单调，C 不正确；当20t =时，πππ3062t -=，则π6sin 62y ==，且π6cos 02x ==，所以()0,6P ，则||PA ==正确.故选ABD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.解析：分析知2223m m m +≠--，即1m ≠-且12m ≠.又由题意，得()()222231132m m m m m --=---+，所以2m =-.15.答案：0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：0k ≤< 0tan α∴≤<.又[0,)α∈π，0,3απ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.16.答案：82.5解析：x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额的预报值为6.51017.582.5⨯+=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）π3A =（2）见解析解析：（1）因为1n n a a n -=+,1n >,所以1n n a a n --=,1n >,所以当1n >时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+()()11212n n n n +=+-+++= ,当1n =时,上式也成立,所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.19.答案：（1）3C =（2）32解析：（1）π()cos )sin 2cos()6f x x x x =+-=++由()f C =,得π2cos(6C +=,π2cos(06C +=()0,πC ∈ ππ7π(,)666C ∴+∈π3C ∴=.（2）由（1）知π3C =,又1sin 2ABC S ab C = △31πsin 223ab ∴=2ab ∴=由余弦定理得2222π32cos23a b ab a b ==+-+-225a b ∴+=,3a b +=由正弦定理得sin sin sin 12A B C a b c ===13sin sin ()22A B a b +=+=∴.（2）①a >;②证明见解析解析:（1）由题设()2(1)ln f x x x x =-+,则2(1)2()2ln 12ln 3x f x x x x x-'=++=-+,且0x >,所以(1)1f =,(1)1f '=,则在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-,即0x y -=.（2）①当1x >时()0f x =等价于20ln x x a x +-=,设()2ln x g x x a x =+-,则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln x x x g x x x -+-=+'=.当1x <<时()0g x '<,()g x 单调递减;当x >()0g x '>,()g x 单调递增;所以,当1x >时min ()g x g a ==,因为()f x 在(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,2x ,则min ()0g x <,解得a >.当a >时,取1a a x a =∈-,则1ln 11a a x x a <-=-,故()221201ln 111a a a a a x a a a g x x a a x a a a -=+->+-=>---,又2002ln 2a a g a⎛⎫=>= ⎪⎝⎭,所以()f x在和2a ⎫⎪⎭上各有一个零点,故a >.②因为()2ln 3a f x x x-'=+,所以22222()2ln 3x f x x x a x '=-+,结合()()22222ln 0f x x a x x =-+=知：()()2222222222232222a x a x f x a x a x x a a x -=-+=---+--'.设ln 1y x x =-+,则11y x'=-,在(0,1)上0y '>,在(1,)+∞上0y '<,所以y 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减,故ln1110y ≤-+=,即ln 1x x ≤-,所以ln 1e ex x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,即ln e x x ≤,当e x =时取等号,所以e e e e e e ln e 02222e 2a a a a a f -----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭.由①知,()f x 在[)2,x +∞上单调递增,且()20f x =,所以2e 2a x -≤,即22e a x -≥.因为22()2a a t t tϕ=--+在[e,)+∞上是减函数,且22e a x -≥,所以()()22222(e)e 22e a a x f x a x ϕϕ=-≤=--+',得证.。

2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末数学试题一、单选题1．命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（）A ．∀x ∈R ，|x |+x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |+x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x <0D ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x ≥0【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“x ∀∈R ，20x x +≥”的否定是“0x ∃∈R ，2000x x +<”.故选：C.2．已知全集U =R ，集合{|14}A x x x =<->或，23{|}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为A ．4{|}2x x -≤<B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|13}x x -≤≤【正确答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，求出U C A ，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，{|14}A x x x =- 或{|14}U C A x x ∴=-≤≤{|23}B x x =-≤≤ (){|13}U C A B x x ∴⋂=-≤≤故选D本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题3．已知函数3,2,()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩则(6)f 等于（）A ．－2B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据分段函数，根据分段函数将(6)f 最终转化为求()1f 【详解】根据分段函数可知：()()()()()(6)543212f f f f f f ======-故选：A4．对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b>C ．若0a b <<，则b a a b >D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b <【正确答案】D【分析】通过不等式的性质一一验证即可.【详解】对于选项A ：若a b >，当0c =时，22ac bc =，故选项A 错误；对于选项B ：若0a b >>，可得0b aab -<，则11ab<，故选项B 错误；对于选项C ：若0a b <<，则22a b >，则b aa b<，故选项C 错误，对于选项D ：若11a b >，则0b a ab->，又a b > ，则0a >，0b <，故选项D 正确；故选：D.5．“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】由sin 2θ=等价于2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】因为sin 2θ=，所以2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，所以“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的充分而不必要条件.故选:B.6．函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【正确答案】B【详解】试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 零点存在性定理7．已知α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C ．D 【正确答案】C先求出cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用和角的余弦公式计算求解.【详解】∵α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5cos cos 12123πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin123123ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123=-=故选：C本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．函数()()2121531xa x a x f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】先求出()f x 在R 上单调递减的a 的范围，则充分不必要条件为102a <<的非空真子集.【详解】函数()()2121531xa x ax f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减，则2100121253a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥-⎩，解得：102a <<，则()f x 在R 上单调递减的一个充分不必要条件为102a <<的非空真子集，所以A 正确，故选：A.二、多选题9．下列函数是奇函数的有（）A ．ln y x =B ．sin y x =C ．1y x x=+D ．2xy =【正确答案】BC【分析】通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，以及定义域关于原点对称分析各个选项【详解】因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，不符合奇函数定义，A 错误；通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，sin sin()0x x +-=，且定义域关于原点对称，B 正确；1()f x x x=+，所以()()0f x f x +-=，且定义域关于原点对称，C 正确；()2x g x =，所以()()0g x g x +-≠，D 错误；故选：BC10．已知函数()sin 2xf x =，则以下结论恒成立的是（）A ．()()f x f x -=-B ．()()f x f x -=C ．(2)()f x f x π-=D ．()()f x f x ππ+=-【正确答案】ACD利用诱导公式逐个验证即可得答案【详解】解：对于A ，B ，()sin()sin ()22x xf x f x -=-=-=-，所以A 正确，B 错误；对于C ，2(2)sinsin(sin ()222x x xf x f x πππ--==-==，所以C 正确；对于D ，因为()sinsin()cos 2222xx x f x πππ++==+=，()sin sin()cos 2222x x xf x πππ--==-=，所以()()f x f x ππ+=-，所以D 正确，故选：ACD11．已知角α的终边经过点()sin120,tan120P,则（）A．cos α=B．sin α=C ．tan 2α=-D．sin cos αα+=【正确答案】ACD【分析】先化简点P 坐标,再根据三角函数的定义,求得sin α,cos α,进而求得tan ,sin cos ααα+的值即可判断选项.【详解】解:由题知()sin120,tan120P ,即P ⎝,因为角α的终边经过点P ,所以sin ,5α=-cos ,5α=sin tan 2cos ααα==-,sin cos 555α+α=-+=-.故选:ACD12．函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是（）A ．图象C 关于直线11π12x =对称；B ．图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；C ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；D ．函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数.【正确答案】ABD【分析】利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.【详解】对于A ，由()ππ2πZ 32x k k -=+∈，得()π5πZ 212k x k =+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为()π5πZ 212k x k =+∈，当1k =时，π5π11π21212x =+=，所以图象C 关于直线11π12x =对称，故A 正确；对于B ，由2π2ππ3sin 23sin π=0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，将3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得π2ππ3sin 23sin 23sin 2()333y x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≠-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个增区间，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()21xf x =-,则()1f -=__________.【正确答案】1-【分析】根据0x >时函数解析式,将1x =代入即可求()1f ,根据奇函数()()011f f +-=代入即可求得()1f -.【详解】解:由题知()f x 是定义在R 上的奇函数,()()110f f ∴+-=,当0x >时,()21xf x =-,()11f ∴=,()11f ∴-=-.故答案为:-114．已知函数()()2lg 72f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【正确答案】49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】转化为2720ax x ++>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：2720ax x ++>恒成立，当0a =时，720x +>，解得：27x >-，定义域为不是R ，舍去；当0a ≠时，要满足0Δ4980a a >⎧⎨=-<⎩，解得：498a >，综上：实数a 的取值范围是49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为.49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，()01f =，则()()()()()21012f f f f f -+-+++=__________.【正确答案】1-【分析】由奇函数的定义，()1f x +是奇函数，所以有()()11f x f x -+=-+，分别令x 取0和1-，即可求出()1f 与()2f 的值，再利用()f x 为偶函数，可求出()1f -与()2f -的值，然后代入式中求解即可.【详解】∵()1f x +是奇函数，∴()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()()0101f f -+=-+，即()()11f f =-，∴()10f =，令=1x -，得()()()1111f f --+=--+，即()()201f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()221f f -==-，()()110f f -==，∴()()()()()()()21012101011f f f f f -+-+++=-++++-=-.故答案为.1-16．已知函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为3，则()2f =__________.【正确答案】3-【分析】根据函数的奇偶性确定π2ϕ=，再根据12x x -的最小值为3确定函数最小正周期，求得2π3ω=，即得函数解析式，即可求得答案.【详解】因为函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，故()()6sin 6sin x x ωϕωϕ-+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ-+=+，所以sin cos 0x ωϕ=，sin x ω不恒等于0，故cos 0ϕ=，而0πϕ<<，则π2ϕ=，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，12x x -的最小值为3，则()f x 的最小正周期为6，则2ππ63ω==，故()πππ36sin 6co 3s 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()6cos2π233f ==-，故3-四、解答题17．求值：（1）1103231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++【正确答案】（1）32-（2）1792【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.【详解】（1）1103231338⎛⎫--+⎪⎝⎭13271()18=-+133312(12⨯=--+32=-（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++421log 32221log ln 2lg 4lg 54e =++++-1281lg10022=-+++-1792=本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.18．已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=.(1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.【正确答案】（1）1225-（2）75-【分析】（1）由1sin cos 5x x +=两边平方可得sinxcosx ，利用同角关系2sin cos sin sinxcosx 1tan x x xx⋅+=+；（2）由（1）可知cosx 0sinx 0＞，＜，从而sin cos x x -=【详解】（1）∵1sin cos 5x x +=.∴112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=-()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx+⋅+=++，()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx +===-+（2）由（1）知12sinxcosx 25=-＜0，又22x ππ-<<∴cosx 0sinx 0＞，＜，∴7sin cos 5x x -===-本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．19．设命题()2:240p x m x m +-+=方程有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的23x ≤≤，不等式22413x x m -+≥恒成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 一真一假，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){4m m 或1}m <(2){|3m m <-或13m ≤≤或4}m >【分析】（1）根据命题p 为真命题，由2(24)44(1)(4)0m m m m ∆=--=-->求解；（2）先由命题q 为真命题求得m 的范围，再根据命题,p q 一真一假求解.【详解】（1）解：若命题p 为真命题，则2Δ(24)44(1)(4)0m m m m =--=-->，解得4m >或1m <，所以实数m 的取值范围为{4m m 或1}m <.（2）若命题q 为真命题，则当23x ≤≤时，()2229x m -≥-恒成立.当2x =时，()22y x =-取得最小值0，则209m ≥-，即29m ≤，解得3 3.m -≤≤当p 真q 假时，1433m m m m <<⎧⎨<-<⎩或或，得3m <-或4m >，当p 假q 真时，得33m -≤≤且14m ≤≤，解得13m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为{|3m m <-或13m ≤≤或4}m >.20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？【正确答案】(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案.【详解】（1）当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+.故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩（2）当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29；当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减，所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元.21．已知22()()21x x a a f x x ⋅+-=∈+R 是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明之；(3)解关于t 的不等式()23(2)0f t f t -+<．【正确答案】(1)1；(2)函数()(())f x g h x =在R 上是增函数，证明见解析；(3){31}t t -<<。

2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）A ．(12]-，B ．(12)-，C ．[01)，D ．[01]，【正确答案】C【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知{|01}[0,1)A B x x =≤<= ．故选：C ．2．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域是（）A ．(2)+∞，B ．(23)，C ．(3)+∞，D ．(23)(3)+∞ ，，【正确答案】D【分析】由题可得2030x x ->⎧⎨-≠⎩，即得.【详解】∵1()lg(2)3f x x x =-+-，∴2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >，且3x ≠，所以函数的定义域为(2,3)(3,)+∞ .故选：D.3．已知ln 3a =，0.43-=b ，0.53c -=，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a>>【正确答案】A【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.【详解】因为ln 3ln e 1a =>=，0.50.4331c b --=<=<，所以a b c >>．故选：A4．用二分法求函数32()22f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝–2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈–0.984，f （1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.3125）【正确答案】C【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程32220x x x +--=的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程32220x x x +--=的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）．故选C ．本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm 【正确答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ，则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=，所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=（2cm ）．故选：D ．6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P -在角α的终边上，则sin cos 2sin 3cos αααα-=-（）A ．34-B ．34C ．49-D ．49【正确答案】D【分析】先根据三角函数的定义求出tan α，然后采用弦化切，代入tan α计算即可【详解】因为点(1,3)P -在角α的终边上，所以tan 3α=-sin cos tan 13142sin 3cos 2tan 32(3)39αααααα----===--⨯--故选：D7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称【正确答案】B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(2)33y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x R ∈，均有210x x ++≥【正确答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x -<<，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B.当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，=1x -，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p .存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x R ∈，均有210x x ++≥，故正确；故选：C二、多选题9．下列化简结果正确的是（）A ．1cos 22sin 52sin 22cos522︒︒-︒︒=B ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．cos15sin152︒-︒=D ．tan 24tan 361tan 24tan 36︒+︒=-︒︒【正确答案】ACD【分析】由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ，()1cos 22sin 52sin 22cos 52sin 5222sin 302︒︒-︒︒=-==，故A 正确；对于B ，11111sin15sin 30sin 75cos15sin15sin 30sin 30sin 3022228︒︒︒=︒︒︒=⋅=⨯⨯= ，故B 不正确；对于C ，()cos15sin15451530︒-︒=-== ，故C 正确；对于D ，()tan 24tan 36tan 24+36tan 601tan 24tan 36︒+︒=︒︒=︒=-︒︒D 正确，故选：ACD.10．下列四个命题正确的有（）A ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为35B ．若22a x a y ≥，则x y≥C ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π【正确答案】ACD【分析】利用诱导公式可以判断A ；利用特值法可以判断B ；对C 先判断α的象限，再判断2α的象限；对D ，作出函数的图象，再由图象进行判断．【详解】A.因为π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5ππππsin sin cos 3π3co 26s 66αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎝⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎝=⎪⎭⎭⎭，故选项A 正确；B ．当0a =，1,2x y ==时，满足22a x a y ≥，但不能得到x y ≥，故选项B 错误；C ．2sin sin tan 0cos αααα⋅=> 且cos tan sin 0ααα⋅=<，∴cos 0,sin 0αα><，α\为第四象限角，所以32ππ2π2π,Z 2k k k α+<<+∈,所以3ππππ,Z 42k k k α+<<+∈，∴2α为第二或第四象限角，故选项C 正确；D ．作出1|cos |2y x =+的图象如图所示，由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为2π，故选项D 正确；故选：ACD11．下列说法正确的有（）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()0f x x>的解集为()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】AB【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D ，根据题意可得函数在(),0∞-上单调递减，从而可得不等式()0f x x>等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()()11121212111212x x x x⎡⎤-++-⋅-⋅+=-⎢⎥--⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，故1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以函数在(),0∞-上单调递减，又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0f x x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-⋃+∞，故D 错误故选：AB12．定义运算：a b ad bc cd=-，将函数()cos sin x f x xωω=的图像向左平移23π个单位，所得图像关于原点对称，若01ω<<，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．对任意的x R ∈，都有()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()0,π上是增函数D ．由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()f x 图像【正确答案】AC【分析】依题意得()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据奇函数可得12ω=，可判断A ；判断3x π=是否为对称轴可判断B ；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，可判断C ；根据平移性质可判断D ．【详解】依题意得()cos sin 2sin 3sin xf x x x x x ωπωωωω⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，()f x 图像向左平移23π个单位得22sin 33y x ππω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数所以2,33k k Z πωππ-=∈，又01ω<<，得12ω=故()12sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其最小正周期为4π，A 正确；由于12sin 2sin 132336f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故B 错；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，由于sin y x =在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在()0,π上是增函数，故C 正确；由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()12sin 23y x f x π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故D 错；故选：AC三、填空题13．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．【正确答案】3-【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数()()222mm m f x x =+-是幂函数，则2221m m +-=，解得m =1或m =-3，又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则0m <，所以实数m 的值为-3.故-314．已知sin α＋cos α＝713，α∈(－π，0)，则tan α＝________.【正确答案】512-.由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α和cos α的值，可得tan α的值.【详解】因为sin α＋cos α＝713，①所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝120169-.因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝1713==-，与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，所以tan α＝sin 5cos 12αα=-.故答案为.512-该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα++⋅这三个式子是知一求二，属于简单题目.15．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．【正确答案】π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故π416．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()()sin 0πy A x B ωϕϕ=++<<，则下列说法正确的是________．①该函数的周期是16．②该函数图象的一条对称轴是直线14x =③该函数的解析式是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭④这一天的函数关系式也适用于第二天【正确答案】①②【分析】根据图象确定函数的最小正周期及14x =时，函数取得最大值，判断①②正确；由于2ππ8T ω==，故可取π8ω=-，从而该函数的解析式不一定是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎝⎭，③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，④错误.【详解】由图象可得：函数最小正周期()146216T =-⨯=，①正确；故2ππ8T ω==，不妨令A >0，且3010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：1020A B =⎧⎨=⎩，由图象可得：当14x =时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线14x =，②正确；不妨取π8ω=-，则π10sin 208y x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，将()6,10代入得：3π10sin 20104ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，解得：π4ϕ=，故③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误.故①②四、解答题17．化简求值：(1))120431818-⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)2log 32122log 1lg 25lg ln 4⎛⎫++-⋅ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)5；(2)4.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得；（2）利用对数的运算性质化简计算即得.【详解】（1）)()()1211204333443181=22218---⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭2415=+-=；（2）2log 321122log 1lg 25lg ln 30lg10031442⎛⎫++-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭.18．已知全集U =R ，集合{}13A x x =<≤，集合{}21B x m x m =<<-．条件①U A B =∅ ð；②x A ∈是x B ∈的充分条件；③12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =．(1)若1m =-，求A B ⋂；(2)若集合A ，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}12x x <＜(2)∞（-,-2）或{}|2m m -＜【分析】（1）可将1m =-带入集合B 中，得到集合B 的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合B 之间的关系，即可完成求解.【详解】（1）当1m =-时，集合{}22B x x =-<<，集合{}13A x x =<≤，所以{}12A B x x ⋂=<＜；（2）i.当选择条件①时，集合{}21B x m x m =<<-，当B =∅时，U A B A =≠∅ ð，舍；当集合B ≠∅时，即集合21m m -＜，13m ＜时，{}|21U B x x m x m =≤≥-或ð，此时要满足U A B =∅ ð，则2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，结合13m ＜，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；ii.当选择条件②时，要满足x A ∈是x B ∈的充分条件，则需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；iii.当选择条件③时，要使得12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =，那么需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；故，实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜.19．已知角α在第二象限，且4tan 3α=-．(1)求23112tan()sin 2sin(3)sin 2ππααπαπα⎡⎤⎢⎥⎛⎫--+⎢⎥ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；(2)若cos()αβ-=，且αβ-为第一象限角，求sin β的值．【正确答案】(1)145-【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得43sin ,cos 55αα==-，利用诱导公式化简原式可得原式2(sin cos )αα=--，代入即得解；（2）利用同角三角函数关系可得sin()αβ-=sin[(]sin )ααββ=--，利用两角差的正弦公式，即得解【详解】（1）因为4tan 3α=-，且α在第二象限，故22sin 4cos 3sin cos 1sin 0cos 0αααααα⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪<⎪⎩，所以43sin ,cos 55αα==-，原式2112(tan )cos sin cos αααα⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos 2(sin cos )sin cos αααααααα-=-⋅=--145=-（2）由题意有sin()0αβ->故sin()10αβ-===，sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---4351051050⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭．20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知()π2sin cos 23cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；（2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果.【详解】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭sin 222x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2326k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-，∴1144k -<≤或12k =-，故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.22．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；（3） 函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t +=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1-.。

2023-2024学年河南省郑州市高一上册学业质量测试数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，a A B ∈ ，则a 的值可以是（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】D【分析】求得集合,A B ，得到A B ⋂，结合a A B ∈ 和选项，即可求解.【详解】由题意，集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，11{|0B x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭或1}x >，所以{|20A B x x =-<< 或12}x <<，因为a A B ∈ ，结合选项可得13A B -∈ .故选：D.2．已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【正确答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（）A ．1[,2]2-B ．1[3,]2--C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞-【正确答案】A【分析】()f x =，由260x x --≥结合函数26y x x =--的递减区间可得结果.【详解】()322()6f x x x=--=由260x x --≥得32x -≤≤，又22125624x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的单调递减区间为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A ．4．已知13a a -+=，下列各式中正确的个数是（）①227a a -+=；②3318a a -+=；③1122a a -+==A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.【详解】①2212()2927a a a a --+-==-=+,正确；②33122()(1)3(71)18a a a a a a ---+=+-+=⨯-=，正确；③因为13a a -+=可知0a >，11220a a -+>，211221()25a a a a --=++=+，所以1122a a -+=④3311112222()(1)1)a aa a a a a a----=+=+-+=-+=.故选：C本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.5．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约4πm ，肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）A ．m 2πB．4C ．58πm D ．2m【正确答案】B【分析】由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【详解】由题得：弓所在的弧长为：54488l ππππ=++=；所以其所对的圆心角58524ππα==；∴两手之间的距离2sin 1.254d R AB π===．故选：B6．,R a b ∈，记{}()()max ,a a b a b b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数(){}2max 1,f x x x =+（x ∈R ）的最小值是（）ABCD【正确答案】A【分析】讨论21x x +≥，21x x +<时，可得函数的解析式，结合函数的单调性可得函数的最小值.【详解】当21x x +≥，即21x x +≥或21x x +≤-x ≤≤(){}2max 1,11f x x x x x =+=+=+，函数单调递增，所以()min 11322f x ==+；当x <(){}22max 1,f x x x x =+=，函数单调递减，()f x f =⎝⎭>；当x (){}22max 1,f x x x x =+=，函数单调递增，()1322f x f ⎛⎫ ⎪⎪= ⎝⎭>；综上，()min 32f x =.故选：A.7．已知()22,0,4,0.x x f x x +⎧≥=⎨<⎩则关于a 的不等式()()223f a f a >-的解集为（）A ．()0,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()0,1【正确答案】A【分析】先画出函数的图象，再解不等式组223,20a a a ⎧>-⎨>⎩即得解.【详解】解：函数的图象如图所示，213,23,03020a a a a a a ⎧-<<>-⎧⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩，故选：A.8．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则函数()12f x y x=-的零点为（）A ．12B ．13C ．2D ．3【正确答案】A【分析】先根据()f x 单调，结合已知条件求出()f x 的解析式，然后再进一步研究函数()12f x y x=-的零点．【详解】解：因为()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，故可设存在唯一的实数()0,C ∞∈+，使得()3f C =，则设()2log f x x C -=，所以()2log f x x C =+，所以()2log 3f C C C =+=，则2log 3C C =-，由于函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，函数3y x =-在()0,∞+上单调递减，又2log 2132==-，所以2C =，故()()22log 2log 4f x x x =+=再令()120f x x-=，()0,x ∈+∞，得：140x x -=，解得12x =±（负值舍去）．则函数()12f x y x=-的零点为12.故选：A ．二、多选题9．下列选项正确的是（）A ．对1,1x x x ∀∈++R 的最小值为1B ．若0ab <，则a b ba+的最大值为2-C ．若0,0a b >>，则11a b +≥D ．若正实数,x y 满足21x y +=，则21x y+的最小值为8【正确答案】BD【分析】根据特殊值A ，由均值不等式判断BC ，根据“1”的技巧及均值不等式判断D.【详解】对A ，取2x =-，1311x x +=-<+，故A 错误；对B ，0ab <，则()2a b a b baba+=---≤-=-，当且仅当a b =-时等号成立，故B 正确；对C ，因为0,0a b >>，所以11ab+<C 错误；对于D ，21214()(2)448y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时等号成立，故D 正确.故选：BD10．已知函数()2121x x f x -=+，下面说法正确的有（）A ．()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的值域为()1,1-D ．12,x x R ∀∈，且()()121212,f x f x x x x x -≠>-【正确答案】ACD【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项.【详解】21()21x x f x -=+的定义域为R 关于原点对称,()()2122112()()2112212x x x x x xx x f x f x --------====-+++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 不正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，22021x --<<+，所以211121x-<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <，则()()()12122112122222222()()1(1)212121212121x x x x x x x x f x f x -=---=-=++-++++，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 正确；故选：ACD利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.11．下列命题中是真命题的有（）A ．存在α，β，使()tan tan tan αβαβ-=-B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．在ABC 中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cosC 的值为3365或6365【正确答案】AC【分析】赋值法可以判断A 选项；在ABC 中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B 选项；根据正弦定理可判断选项C ；先由5cos 13A =，求得12sin 13A =，再由4sin 5B =，结合大角对大边求得3cos 5B =，最后根据cos cos()C A B =-+求值即可判断选项D.【详解】对于A ，当0β=时，正确；对于B ，由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C ，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>(其中R 是ABC 外接圆的半径)，正确；对于D ，因为5cos 13A =，0A π<<，所以12sin 13A ===.因为sin sin A B >，所以由正弦定理得a b >，从而A B >.又因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，从而()33cos cos sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=，错误；故选：AC.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．12．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【正确答案】CD令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．三、填空题13．已知集合{}2R |2(1)0A x ax a x a =∈+++=没有非空真子集，则实数a 构成的集合为______.【正确答案】{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意可得集合A 中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意0a =这种情况.【详解】解：因为集合{}2R |2(1)0A x ax a x a =∈+++=没有非空真子集，所以集合A 中元素的个数为1或0个，当集合A 中元素的个数为1个时，若0a =，则有20x =，解得0x =，符合题意，若0a ≠，则有()224140a a ∆=+-=，解得12a =-，当集合A 中元素的个数为0个时，则()22Δ41400a a a ⎧=+-<⎪⎨≠⎪⎩，解得12a <-，综上0a =或12a ≤-，即实数a 构成的集合为{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭.故答案为.{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭14．已知,a b 均为实数且,1a b >-，3a b ab ++=，则4a b +的最小值为______.【正确答案】3【分析】由3a b ab ++=可得1)(14a b ++=()，再将4a b +变形为(1)4(1)5a b +++-，利用基本不等式即可求解.【详解】由3a b ab ++=，可得1)(14a b ++=()，因为,1a b >-，所以10a +>，10+>b ，则4(1)4(1)553a b a b +=+++-≥-=，当且仅当(1)4(1)(1)(1)4a b a b +=+⎧⎨++=⎩，即30a b =⎧⎨=⎩时取等号.所以4a b +的最小值为3.故315．已知函数()()2121xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为__________.【正确答案】(8,12)【分析】由题意可知函数()f x 的图象关于1x =对称，画出函数()f x 的大致图象，不妨设1234x x x x <<<，则142x x +=，232x x +=，12x x =-，所以222221234248x x x x x +++=+，再由201x <<即可求出结果．【详解】解：∵当x ＞1时，()(2)f x f x =-，∴()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上的图象关于1x =对称，画出函数()f x 的图象，如图所示，不妨设1234x x x x <<<，由对称性可知，142x x +=，232x x +=，12x x =-，()()2222222221234222222248x x x x x x x x x ∴+++=++-++=+，201x << ，2284812x ∴<+<，即22222341x x x x +++的取值范围为(8,12).故(8,12)．16．已知偶函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，已知当210x x >>时，122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，若2(2)2e 8f =+，则2||()2||e x f x x x >+的解集为______.【正确答案】()()2,00,2-⋃【分析】由122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，可得1211222212()e ()e x x f x x f x x x x -->，令()2()exg f xx x x -=，从而可得出函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再判断函数()g x 的奇偶性，结合2(2)2e 8f =+，求得()2g ，而所求不等式可化为||2()||e 2x f x x x->，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案.【详解】解：当210x x >>时，由122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，得1211222212()e ()e x x f x x f x x x x -->，令()2()ex g f x x x x -=，当0x >时，()2()e x g f x x x x -=，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上递减，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()22()e ()exx f x x f x x x x x ----=--=-=，所以函数()g x 也是偶函数，因为2(2)2e 8f =+，所以(2)2g =，不等式2||()2||e x f x x x >+可化为||2()||e 2x f x x x ->，即()()2g x g >，所以2x <，解得22x -<<，所以2||()2||e x f x x x >+的解集为()()2,00,2-⋃.故答案为.()()2,00,2-⋃四、解答题17．函数()f x 的定义域为集合A ，函数()()112x g x x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭的值域为集合B ,U =R..(1)求()UA B ⋂ð；(2)）若[],21C a a =-且C B ⊆,求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)(]0,1(2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）此题考查集合的运算，先求集合A 与()03f =，然后再求集合的补集与交集；（2）m ，所以讨论当C =∅和C ≠∅两种情况求范围．【详解】（1）函数()f x 的定义域为10x ->，所以()1,A =+∞，U ð(],1A =-∞，因为1x ≥-，1022x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，(]0,2B =；()UA B ⋂=ð(]0,1.（2）因为C B ⊆，所以,21C a a =∅>-，解得.1a <C ≠∅时，0021121232a a a a a a a ⎧⎪<>⎧⎪⎪≤-⇒≥⎨⎨⎪⎪-≤⎩⎪≤⎩，得.312a ≤≤故实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎝⎦.18．()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的定义域；(2)若π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α.【正确答案】(1)ππ,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z (2)π12α=【分析】（1）由正切函数的定义域通过换元即可求解；（2）利用三角函数的和差角及二倍角公式化简可得1sin 22α=，根据π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】（1）由ππ2π,42x k k +≠+∈Z ，得ππ82k x ≠+，k ∈Z ，所以()f x 的定义域为ππ,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z .（2）由2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得πtan 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()22πsin 42cos sin πcos 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin αααααααα+=+--，因为π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+≠，因此21(cos sin )2αα-=，即1sin 22α=，由π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26α=，即π12α=.19．命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x x a +-≥”，命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=”.(1)当p 为假命题时，求实数a 的取值范围；(2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)14a >-(2)14a ≠-【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案；（2）利用分类讨论的解题思想，可得答案.【详解】（1）由p 为假命题，则p ⌝为真命题，即[]1,2x ∃∈，20x x a +-<，令()2f x x x a =+-，开口向上，则140a ∆=+>，解得14a >-.（2）由（1）可知，当p 为真命题时，14a ≤-；当p 为假命题时，14a >-.当q 为真命题时，()9420a ∆=--≥，解得14≥-a ；当q 为假命题时，14a <-.当p 为真命题，q 为假命题时，14a <-；当p 为假命题，q 为真命题时，14a >-；则p 和q 中有且只有一个是真命题时，14a ≠-.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【正确答案】(1)()0.125,()0.5f x x g x x==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设(),()f x mx g x n x ==由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==，所以()0.125,()0.5f x x g x x==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.1250.520(4208y x x x x =+-=+-，[0,20]x ∈令20t x =-2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,5]t ∈当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.21．如图，要在一块半径为1m ，圆心为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M 、N 在OB 上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．【正确答案】（1）S 23sin cos sin ,0,33πθθθθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）当6πθ=时，S 有最大值为36【分析】（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形，求出边长即可求S 关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ角．【详解】（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形，由扇形半径为1cm ，PD ＝sinθ，OD ＝cosθ，在Rt △OEQ 中MN ＝OD ﹣OE ＝3cos sin 3θθ-3cos sin sin 3S MN PD θθθ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭＝23sin cos sin ,0,33πθθθθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭（2）23323sin cos sin sin 23366S S θθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 252,666ππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，即1sin 2,162πθ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦当6πθ=时，()2max 3m 6S =本题考查三角函数在解决实际问题中的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题，．22．已知函数()()ln f x x a =+()a ∈R 的图象过点()1,0，2()()2e f x g x x =-.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；(2)12m <<.【分析】（1）由已知求得0a =，()ln f x x =，代入即可得到()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；（2）已知可转化为max ()ln(1)g x m <--，即转化为求()g x 在1,m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由已知可得1m >，11m <，根据二次函数的性质可知所以()g x 的最大值在1x m =或x m =处取得.作差可得()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.即可得到22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，根据定义法证明()h m 在1m >时的单调性，根据单调性求解不等式，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，()()1ln 10f a =+=，所以0a =，所以()ln f x x =，定义域为()0,∞+.所以有，2()()2e f x g x x =-2ln 22e 2x x x x =-=-，()0,x ∈+∞.（2）解：若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，只需满足max ()ln(1)g x m <--成立.由（1）知，()22,0g x x x x =->，对称轴为1x =.由0m >，1m m <可得，21m >，所以1m >，即有11m m<<.根据二次函数的性质，可得()g x 在1,1m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以()g x 的最大值在1x m=或x m =处取得.又22111122g m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()22g m m m =-，()221122g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()3211m m m +-=，又1m >，所以()10g m g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()ma 2x (2)g m m m g x ==-.由max ()ln(1)g x m <--成立，可得22ln(1)m m m -<--，1m >，即22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，1m >，则原不等式等价于()0h m <.12,1m m ∀>，且设12m m <，则()()()()22121112222ln 12ln 1h m h m m m m m m m -=-+--+--()()11212212ln 1m m m m m m -=-+-+-，因为12,1m m >，12m m <，所以120m m -<，1220m m +->，12011m m <-<-，所以121011m m -<<-，所以121ln 01m m -<-，所以()()11212212ln 01m m m m m m --+-+-.所以()()120h m h m -<，所以()()12h m h m <，所以()()22ln 1h m m m m =-+-在()1,+∞上单调递增.又()()22222ln 210h =-⨯+-=，则由()()02h m h <=，可解得12m <<.。

2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷1. 若集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∩B=( )A. (1,3]B. [1,3]C. [−1,1)D. [−1,+∞)2. sin20∘cos40∘+sin70∘sin40∘=( )A. 14B. √34C. 12D. √323. 设函数f(x)={g(x)+2,x>0log2(1−x),x≤0，若f(x)是奇函数，则g(3)的值是( )A. 2B. −2C. 4D. −44. 函数f(x)=(4−x2)ln|−x|的图象是( )A. B.C. D.5. 已知a=log23，b=2−0.4，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b6. 下列命题中正确的个数是( )①命题“∃x∈R，x2+1<0”的否定是“∀x∈R，x2+1≥0”；②函数f(x)=9x−lgx的零点所在区间是(9,10)；③若α+β=3π4，则tanα+tanβ−tanαtanβ=1；④命题p：x≥3，命题q：2x−1≤1，命题p是命题q的充要条件．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点．今日距离高考还有936天，我们可以把(1+1%)936看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是1.01936≈11086.79；而把(1−1%)936看作是每天“退步”率都是1%.高考时是0.99936≈0.000082.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过天(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956)( )A. 200天B. 210天C. 220天D. 230天8. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为2，且函数图像过点(13,1)，若f(x)在区间[−2,a]内有4个零点，则a的取值范围为( )A. [116,176) B. (116,176] C. [176,236) D. (176,236]9. 下列命题中正确的是( )A. 存在实数α，使sinα⋅cosα=1B. 函数y=sin(3π2+x)是偶函数C. 若α是第一象限角，则α2是第一象限或第三象限角D. 若α，β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 2a+b=0B. 4a+2b+c<0C. 9a+3b+c<0D. abc<011. 已知a，b为正数，a+b+ab=8，则下列说法正确的是( )A. log ab(a+b)>1B. 1a +1b的最小值为1C. 2a+2b的最小值为8D. a+2b的最小值为6√2−312. 设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1.则下列说法正确的是( )A. f(2022)=1B. 当x∈[4,6]时，f(x)的取值范围为[−1,0]C. y=f(x−1)为奇函数D. 方程f(x)=log9(x+1)仅有3个不同实数解13. 点A(sin1919∘,cos1919∘)是第______象限角终边上的点．14. 函数y =a x−2+7的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=______.15. 将函数y =3sin(x +π12)的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，若方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，则k 的取值范围为______.16. 已知a ∈R ，b >0，若存在实数x ∈[0,1),使得|ax −2b|≤a −2bx 2成立，则ab 的取值范围为______.17. 设全集U =R ，集合A ={x|4−xx+1>0}，集合B ={x|x 2−2ax +a 2−1<0}，其中a ∈R.(1)当a =4时，求∁U A ∩B ；(2)若x ∈∁U A 是x ∈∁U B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P(−35,45)，角α的终边逆时针旋转π4得到角β的终边． (1)求tanβ的值； (2)求cos(α+β)的值．19. 已知函数f(x)=log 3x.(1)设函数g(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式； (2)已知集合A ={x|3log 32x −20log 9x +3≤0}.①求集合A；②当x∈A时，函数ℎ(x)=f(x3a )⋅f(x9)的最小值为−2，求实数a的值．20. 已知f(x)=4cosωx⋅sin(ωx−π6)+1(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求关于x的不等式f(x)>1的解集；(2)求f(x)在[0,π]上的单调区间．21. 某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数，且k>0)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：(1)给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x−m|+b；③Q(x)=a⋅b x；④Q(x)=a⋅log b x.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．22. 已知函数f(x)=x2−2x−a2+2a，(a∈R)，集合A={x|f(x)≤0}.(1)若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围；(2)集合B={x|f(f(x)+b)≤0}，若存在实数a≤1，使得A⊆B，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|x >1}，B ={x|−1≤x ≤3}，∴A ∩B =(1,3].故选：A.可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：sin20∘cos40∘+sin70∘sin40∘=sin20∘cos40∘+cos20∘sin40∘=sin(20∘+40∘)=sin60∘=√32，故选：D.由两角和的正弦公式，结合诱导公式求解即可．本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了诱导公式，属基础题．3.【答案】D【解析】解：函数f(x)={g(x)+2,x >0log 2(1−x),x ≤0，若f(x)是奇函数，则f(3)=g(3)+2=−f(−3)=−log 2(1+3)=−2， 可得g(3)=−4， 故选：D.由奇函数的定义和对数的运算性质可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=(4−x 2)ln|−x|，其定义域为{x|x ≠0}， 有f(−x)=(4−x 2)ln|−x|=f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除AD ， 在区间(0,1)上，4−x 2>0，ln|−x|=lnx <0，则f(x)<0，排除C ， 故选：B.根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AD ，再分析区间(0,1)上，函数的符号，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：a =log 23>log 22=1，∵b =2−0.4=0.50.4，y =0.5x 在R 上单调递减， ∴b =0.50.4>0.52.1=c ， ∵0<b <1，0<c <1，∴a >b >c.故选：C.根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解． 本题主要考查对数函数的公式，以及指数函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：①，特称命题的否定为全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2+1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≥0”正确；②，函数f(x)=9x−lgx 在(0,+∞)上单调递减，又f(9)=1−lg9>0,f(10)=910−1=−110<0，则f(9)f(10)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在(9,10)上存在零点，正确； ③，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，则tanα+tanβ−tanαtanβ=−1，错误； ④，由2x−1≤1，可得2−(x−1)x−1≤0，即x−3x−1≥0，解得x <1或x ≥3，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件，错误． 故选：B.根据特称命题的否定为全称命题可判断选项A ；根据函数零点存在性定理可判断选项B ；由正切的和角公式可判断选项C ；由充要条件的定义可判断选项D.本题主要考查命题的真假判断，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设经过x 天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，则1.01x 0.99x=100，即x =log 1.010.99100=2lg1.01−lg0.99=2lg101−lg99≈230天．故选：D.由题设有1.01x0.99x=100，应用指对数互化及对数的运算性质求x 值即可．本题考查指对数的运算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由最小正周期T=2=2πω，可得ω=π.因为函数f(x)图象过点(13,1)，所以sin(π3+φ)=1，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以k=0时，φ=π6，所以f(x)=sin(πx+π6).当x∈[−2,a]时，πx+π6∈[−2π+π6,πa+π6]，因为f(x)在[−2,a]内有4个零点，所以2π≤πa+π6<3π，所以116≤a<176，所以a的取值范围为[116,17 6).故选：A.由三角函数的周期公式和f(13)=1，可得ω，φ的值，进而得到f(x)的解析式，再结合f(x)在区间[−2,a]内有4个零点，得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可．本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查转化思想和方程思想，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：对于A，由sinα⋅cosα=1，得12sin2α=1，即sin2α=2>1，故错误；对于B，函数y=sin(3π2+x)=−cosx是偶函数，故正确；对于C，若α是第一象限的角，则2kπ<α<2kπ+π2，k∈Z，则kπ<a2<kπ+π4，可得α2是第一象限或第三象限角，故正确；对于D，若α=390∘，β=30∘，满足条件α，β是第一象限角，且α>β，但sinα=sinβ，故错误．故选：BC.对于A，利用二倍角的正弦公式及正弦函数的性质即可求解；对于B，利用诱导公式，余弦函数的性质即可求解；对于C，根据象限角的概念即可求解；对于D，取特例，若α=390∘，β=30∘，满足条件，但sinα=sinβ，即可判断得解．本题主要考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的性质，诱导公式，余弦函数的性质，象限角的概念，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：由图象知，抛物线开口向下，所以a <0，令x =0，则y =c >0， 二次函数的对称轴为x =−b 2a=1，所以2a +b =0，故A 正确；因为对称轴为x =1，所以x =2与x =0对应的函数值相等，由图可得x =0时，y >0，则x =2时，则y =4a +2b +c >0，故B 错误； 因为对称轴为x =1，所以x =−1与x =3对应的函数值相等，由图可得x =−1时，y <0，则x =3时，y =9a +3b +c <0，故C 正确； 因为x =−b2a =1，a <0，所以b >0，则abc <0，故D 正确； 故选：ACD.通过图象开口向下可得a <0，可判断抛物线与y 轴的交点纵坐标为c >0，抛物线对称轴为x =−b 2a=1，进而得到b >0以及ab 的关系式，即可判断A ；根据对称轴以及二次函数对称性可判断B ，C ，本题考查了抛物线与轴的交点，关键是对二次函数性质和特殊值法的应用，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：因为a +b =8−ab ≥2√ab ，解得0<ab ≤4， 且ab =8−(a +b)≤(a+b 2)2，解得a +b ≥4，当且仅当a =b 时取等号，A ：log ab (a +b)−1=log ab a+b ab=log ab (8ab−1)≥log ab 1=0，当且仅当a =b =2时取等号，所以log ab (a +b)≥1，故A 错误， B ：1a+1b=a+b ab=8ab−1≥1，当且仅当a =b =2时取等号，故B 正确，C ：2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b ≥2√24=8，当且仅当a =b =2时取等号，故C 正确，D ：由已知可得a =8−b1+b，则a +2b =8−b1+b+2b =2b 2+b+81+b=2(1+b)2−3(1+b)+91+b=2(1+b)+91+b−3≥2√2(1+b)⋅91+b −3=6√2−3， 当且仅当b =3√22−1，a =3√2−1时取等号，故D 正确，故选：BCD.利用基本不等式求出0<ab ≤4，a +b ≥4，然后根据基本不等式以及统一变量思想对各个选项逐个化简即可判断求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为f(−x)=−f(x −2)，所以f(x)=−f(−x −2)，因为f(x)=f(2−x)，故f(2−x)=−f(−x −2)，所以f[2−(2−x)]=−f[−(2−x)−2]，即f(x)=−f(x−4)，所以f(x−4)=−f(x−8)，所以f(x)=f(x−8)，所以y=f(x)的周期为8，因为2022=8×252+6，所以f(2022)=f(6)，因为f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，所以f(6)=f(2−6)=f(−4)=−f(4−2)=−f(2)=−f(2−2)=−f(0)，因为x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，所以f(0)=−02+1=1，故f(6)=−f(0)=−1，A错误；当x∈[4,5]，x−4∈[0,1]，所以f(x)=−f(x−4)=−[−(x−4)2+1]=(x−4)2−1∈[−1,0]，当x∈(5,6],2−x∈[−4,−3)，2−x+4=6−x∈[0,1),所以f(x)=f(2−x)=−f(2−x+4)=−f(6−x)=−[−(6−x)2+1]=(x−6)2−1∈[−1,0),综上：当x∈[4,6]时，f(x)的取值范围为[−1,0]，B正确；因为f(−x)=−f(x−2)，所以f(x)关于(−1,0)对称，故y=f(x−1)关于原点中心对称，所以y=f(x−1)为奇函数，C正确；画出y=f(x)与g(x)=log9(x+1)的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中x4=8，所以方程f(x)=log9(x+1)仅有4个不同实数解，D错误．故选：BC.根据f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，推导出f(x)=f(x−8)，所以y=f(x)的周期为8，可判断A；根据函数性质求出x∈[4,5]，f(x)=(x−4)2−1∈[−1,0]，当x∈(5,6]时，f(x)=(x−6)2−1∈[−1,0),从而确定f(x)的取值范围，可判断B；根据f(−x)=−f(x−2)得到f(x)关于(−1,0)中心对称，从而y=f(x−1)关于原点中心对称，即y=f(x−1)为奇函数，可判断C；画出y=f(x)与g(x)=log9(x+1)的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程f(x)=log9(x+ 1)的根的个数，可判断D.本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判断，方程根的个数问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】四【解析】解：∵1919∘=3×360∘+119∘为第二象限的角，∴sin1919∘>0，cos1919∘<0，A(sin1919∘,cos1919∘)是第四象限角终边上的点，故答案为：四．利用诱导公式可得1919∘为第二象限的角，从而可得点A 的坐标的符号，进而可得答案． 本题考查诱导公式、象限角及三角函数符号的确定，属于基础题．14.【答案】x 3【解析】解：对于函数函数y =a x−2+7，当x =2时，y =8， 所以A(2,8)，设f(x)=x α，把点A 的坐标代入该幂函数的解析式中，8=2α⇒α=3⇒f(x)=x 3， 故答案为：x 3.根据指数幂的运算性质，结合待定系数法进行求解即可． 本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．15.【答案】[−3,0]∪[32,3]【解析】解：根据题意可得f(x)=3sin[12(x +π6)+π12]=3sin(12x +π6)，作出函数f(x)在[0,11π3]上的图象，如下：f(0)=32，f(11π3)=0，f(x)max =3，f(x)min =−3，因为方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，所以32≤k ≤3或−3≤k ≤0， 所以k 的取值范围为[−3,0]∪[32,3].根据题意可得f(x)=3sin(12x +π6)，作出函数f(x)在[0,11π3]上的图象，若方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，则函数y =f(x)与y =k 有且只有两个交点，即可得出答案．本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】[4√2−4,+∞)【解析】解：由于b >0，故不等式两边同时除以b ，得|ab x −2|≤ab −2x 2，令ab =t,(t ∈R)， 即不等式|tx −2|≤t −2x 2在x ∈[0,1)上有解，去掉绝对值即得2x 2−t ≤tx −2≤t −2x 2，即{2x 2−t ≤tx −2tx −2≤t −2x 2，即{t ≥2x 2+2x+1t ≥2x 2−21−x=−2x −2在x ∈[0,1)上有解， 设f(x)=2x 2+2x+1,g(x)=−2x −2，x ∈[0,1),即t ≥f(x)min ，且t ≥g(x)min 即可．因为x ∈[0,1),所以x +1∈[1,2),2x+2∈(1,2],由f(x)=2x 2+2x+1=2[(x+1)2+2−2(x+1)]x+1=2[(x +1)+2(x+1)−2]≥2[2⋅√(x +1)⋅2(x+1)−2]=4√2−4， 当且仅当x +1=2x+1，即x =√2−1∈[0,1)时，等号成立，故f(x)≥4√2−4，即f(x)min =4√2−4，故t ≥4√2−4，由g(x)=−2x −2在x ∈[0,1)上，−4<−2x −2≤−2，即g(x)∈(−4,−2],故t ≥−2， 综上，t 的取值范围为[4√2−4,+∞),即ab 的取值范围为[4√2−4,+∞). 故答案为：[4√2−4,+∞).根据已知条件及不等式的性质，利用绝对值不等式的等价条件，再将不等式成立问题转化为函数的最值问题，结合基本不等式及一次函数的性质即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题可得A =(−1,4)，∴∁U A =(−∞,−1]∪[4,+∞)，又当a =4时，B ={x|x 2−8x +15<0}=(3,5)， ∴∁U A ∩B =[4,5)；(2)∵x ∈∁U A 是x ∈∁U B 的充分不必要条件， ∴∁U A ⫋∁U B ，∵B ={x|x 2−2ax +a 2−1<0}={x|a −1<x <a +1}， ∴∁U B =(−∞,a −1]∪[a +1,+∞)， ∴{−1≤a −14≥a +1，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围为[0,3].【解析】(1)先化简，再运算即可得解；(2)由题意可得∁U A ⫋∁U B ，从而建立a 的不等式组，解不等式组即可得解． 本题考查集合的基本运算，充分与必要条件的概念，属基础题．18.【答案】解：(1)由α的终边过点P(−35,45)，可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将角α的终边逆时针旋转π4得到角β的终边， 则tanβ=tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1−431+43=−17；(2)因为sinβ=sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√210，cosβ=cos(α+π4)=√22(cosα−sinα)=−7√210，所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−35)×(−7√210)−45×√210=17√250. 【解析】(1)由任意角三角函数的定义和两角和的正切公式，求解即可；(2)由两角和的正弦公式、余弦公式，结合cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ求解即可． 本题考查任意角三角函数的定义和两角和的正弦公式、余弦公式和正切公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为函数f(x)=log 3x ，当x >0时，g(x)=f(x)=log 3x ，x <0时，−x >0，g(−x)=log 3(−x)；又因为g(x)为R 上的奇函数，所以g(−x)=−g(x)，g(x)=−g(−x)=−log 3(−x)， 综上，函数g(x)的解析式为g(x)={log 3x,x >00,x =0−log 3(−x),x <0；(2)①不等式3log 32x −20log 9x +3≤0可化为3log 32x −10log 3x +3≤0，即(3log 3x −1)(log 3x −3)≤0， 解得13≤log 3x ≤3， 即√33≤x ≤27， 所以集合A =[√33,27]；②因为函数ℎ(x)=f(x 3a )⋅f(x 9)=log 3(x 3a )⋅log 3(x 9)=(log 3x −a)(log 3x −2)=log 32x −(a +2)log 3x +2a ，设t =log 3x ，则t ∈[13,3]，所以函数ℎ(x)化为s(t)=t 2−(a +2)t +2a =[t −a+22]2−(a−2)24，当a+22≤13，即a ≤−43时，函数s(t)在[13,3]上是增函数，所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(13)=53a −59=−2，解得a =−1315(不合题意，舍去)； 当a+22≥3，即a ≥4时，函数s(t)在[13,3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(3)=3−a =−2，解得a =5；当13<a+22<3，即−43<a <3时，函数s(t)在[13,3]上有最小值s(a+22)， 所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(a+22)=−(a+2)24=−2，解得a =2−2√2或a =2+2√2(不合题意，舍去)； 综上，实数a 的值为2−2√2或5.【解析】(1)根据当x >0时g(x)=f(x)，求出x <0时g(x)的解析式，再根据奇函数的定义写出函数g(x)的解析式；(2)①不等式化为3log 32x −10log 3x +3≤0，求不等式的解集即可得出集合A ；②化函数ℎ(x)=log 32x −(a +2)log 3x +2a ，利用换元法设t =log 3x ，根据二次函数的图象与性质求出ℎ(x)的最小值，即可求得实数a 的值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想与运算求解能力，是难题．20.【答案】解：(1)f(x)=4cosωx ⋅sin(ωx −π6)+1=4cosωx(√32sinωx −12cosωx)+1=√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6)，由f(x)的最小正周期为π，可得2π2ω=π，解得ω=1，因为f(x)>1，所以sin(2x −π6)>12，所以π6+2kπ<2x −π6<5π6+2kπ，k ∈Z ，解得kπ+π6<x <kπ+π2，k ∈Z ， 所以不等式的解集为(kπ+π6,kπ+π2)，k ∈Z ；(2)由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， 由k =0，1，可得f(x)在[0,π]的增区间为[0,π3]，[5π6,π]； 由2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，k ∈Z ，由k =0，可得f(x)在[0,π]的减区间为[π3,5π6]. 【解析】(1)根据f(x)的最小正周期为π，求出ω，得到f(x)的解析式，再解不等式f(x)>1即可； (2)由正弦函数的单调区间，求出f(x)在[0,π]上的单调区间即可．本题考查了三角恒等变换，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故选②Q(x)=a|x −m|+b ， 则{a|10−m|+b =50a|15−m|+b =55a|20−m|+b =60a|25−m|+b =55a|30−m|+b =50，解得a =−1，m =20，b =60，故函数解析式为Q(x)=−|x −20|+60；(2)由题意，Q(x)=−|x −20|+60={x +40,1≤x ≤2080−x,20<x ≤30，Q(10)⋅P(10)=50(10+k 10)=505，即k =1，则f(x)=P(x)⋅Q(x)={(10+1x)(x +40),1≤x ≤20(10+1x)(80−x),20<x ≤30， 当1≤x ≤20时，f(x)=401+10x +40x≥401+2√10x ⋅40x=441元；当20<x ≤30时，f(x)=799−10x +80x，在(20,30]上为减函数， 则f(x)≥49983元．综上所述，该工艺品的日销售收入f(x)的最小值为441元．【解析】(1)由表中的数据判断日销售量有增有减，函数不单调，结合四个函数的单调性和待定系数法，可得所求函数的解析式；(2)由Q(10)⋅P(10)=505，解得k ，求得f(x)的分段函数的解析式，再由基本不等式和函数的单调性可得所求最小值．本题考查函数模型的选择及应用，以及函数的单调性求最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=x 2−2x −a 2+2a =(x −a)(x +a −2)，由于f(x)对称轴为x =1，所以1∈A ，集合A 中有且仅有3个整数，所以集合A 的3个整数只可能是0，1，2，若a =2−a 即a =1时，集合A ={x|f(x)≤0}={1}与题意矛盾，所以a ≠1； 若a <2−a 即a <1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[a,2−a]， 则{−1<a ≤02≤2−a <3，解得−1<a ≤0， 若a >2−a 即a >1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[2−a,a]， 则{−1<2−a ≤02≤a <3，解得2≤a <3， 综上所述实数a 的取值范围是(−1,0]∪[2,3)；(2)若a =2−a 即a =1时，集合A ={x|f(x)≤0}={x|(x −a)(x +a −2)≤0}={1}，B ={x|f(f(x)+b)≤0}={x|f(x)+b =1}， 因为A ⊆B ，所以1∈B 即f(1)+b =1解得b =1，若a <2−a 即a <1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[a,2−a]，则B ={x|f(f(x)+b)≤0}={x|a ≤f(x)+b ≤2−a}={x|a −b ≤f(x)≤2−a −b} 设集合B =[x 1,x 2]，因为A ⊆B ，即[a,2−a]⊆[x 1,x 2]，如图所示，则{a −b ≤f(1)2−a −b ≥0，即{a −b ≤−a 2+2a −12−a −b ≥0，得a 2−a +1≤b ≤2−a ， 所以a 2−a +1≤2−a 可得−1≤a ≤1，所以−1≤a <1，所以2−a ≤2−(−1)=3， 又因为a 2−a +1=(a −12)2+34≥34，所以34≤a 2−a +1≤b ≤2−a ≤3即34≤b ≤3. 综上所述b 的取值范围是[34,3].【解析】(1)根据条件解不等式f(x)≤0，即(x −a)(x +a −2)≤0，分a =1、a <1、a >1得到集合A ，通过二次函数的对称轴分析1∈A ，又集合A 中有且仅有3个整数，故3个整数只可能是0，1，2，然后由集合A 列出不等式组，解不等式组即可得a 的取值范围；(2)分a =1和a <1两种情况分别写出集合A ，B 对应的解集，根据A ⊆B 列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出b 的取值范围即可．本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数a 进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合B 是解题的关键，属于难题．。

2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,4,6,8C ．{}1,2,3,4,6,8D ．{}1,2,6,8【正确答案】C【分析】根据并集的定义求得正确答案.【详解】已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，所以{}1,2,3,4,6,8⋃=A B .故选：C2．下列函数既是奇函数又在()1,1-上是增函数的是（）A ．sin y x =B ．2y x=-C ．2y x =D ．ln y x=【正确答案】A【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，因为sin y x =是奇函数又在(1,1)-上是增函数，所以A 正确.对于B ，因为2y x=-定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以在()1,0-和()0,1是增函数，所以B 错误.对于C ，因为2y x =是偶函数不是奇函数，所以C 错误.对于D ，因为ln y x =定义域为()0,∞+不具备奇偶性，所以D 错误.故选：A3．若2x >，则12x x +-的（）A ．最小值为0B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最大值为0【正确答案】C【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为2x >，所以20x ->，则11222422x x x x ⎛⎫+=-++≥= ⎪--⎝⎭，当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号，此时取得最小值4，故选：C ．4．已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()0,1【正确答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解.【详解】由于()f x 是偶函数，∴()()f x f x =又因为[)0,x ∞∈+时，()f x 为增函数，所以()()()21211f x f x f -=-<，有211x -<，即1211,01x x -<-<<<；故选：D.5．设0.80.90.80.8,0.8,0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c a b>>【正确答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较,a b 的大小，由幂函数的性质比较,a c 的大小，即可得答案.【详解】解：令()0.8x f x =，由指数函数的单调性可知()f x 在R 上单调递减，又因为0.80.9<，所以(0.8)(0.9)f f >，即0.80.90.80.8>，所以a b >，令0.8()g x x =，由幂函数的性质可知0.8()g x x =在(0,)+∞上单调递增，又因为0.80.9<，所以(0.8)(0.9)g g <，所以0.80.90.80.8<，即a c <，所以b a c <<.故选：D.6．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，可将()y f x =的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【正确答案】C【分析】根据图象求出()f x 的解析式，再根据图象的平移法则即可得答案.【详解】解：由题意可得7ππ4()π123T =-=，所以2ππω=，2ω=，又因为ππ()sin(2)133f ϕ=⨯+=，所以2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，所以π2π-,Z 6k k ϕ=∈，又因为2πϕ<，所以π0,6k ϕ==-，所以()ππsin 2sin 2()612f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以只需将()f x 的图象向左平移π12个单位，即可得sin2y x =的解析式.故选：C.7．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79B ．13C ．79-D ．13-【正确答案】C 【分析】由22(2)33ππαπα-=-+有2cos(2)cos(2)33ππαα-=-+，利用二倍角余弦公式，结合已知三角函数值，可求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由22(2)33ππαπα-=-+，即2cos(2)cos[(2)]cos(2)333πππαπαα-=-+=-+，而227cos(2)12sin ()339ππαα-=--=，∴7cos 239πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：C.8．已知当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最小值，则sin cos sin cos θθθθ+=-（）A ．13-B ．13C ．15D ．15-【正确答案】B【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式，求出tan 2θ=-，再根据商数求解即可．【详解】由函数()()2sin cos sin cosf x x x x x x α⎫=--⎪⎭，其中cos α=sinα=所以当π2π+,Ζ2x k k θα==-∈，函数()f x 取得最小值为所以sin cosθα=-=cos sin θα=，所以tan 2θ=-，所以sin cos tan 1211sin cos tan 1213θθθθθθ++-+===----．故选：B ．二、多选题9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭【正确答案】AD【分析】根据不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，可判断a 的正负，确定3,4-是20ax bx c ++=的两根，从而求出12b ac a =-⎧⎨=-⎩，由此一一判断每个选项，可得答案.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >,结合二次函数2y ax bx c =++和一元二次方程20ax bx c ++=以及不等式的关系，可得0a >，且3,4-是20ax bx c ++=的两根，A 正确；则3434b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，故12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以0bx c +>即120,12ax a x -->∴<-，即0bx c +>的解集为{12}xx <-∣，B 错误；由于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >,故1x =时，20ax bx c ++<，即0a b c ++<，C 错误；由以上分析可知不等式20cx bx a -+<即2120ax ax a -++<，因为0a >，故211210,4x x x -∴<-->或13x >，故不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭，D 正确，故选：AD10．下列说法正确的有（）A ．终边在y 轴上的角的集合为ππ,Z 2k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣B ．若α为第一象限角，则2α也为第一象限角C ．已知,0x y >，且141x y+=，则x y +的最小值为9D ．已知幂函数()()1af x k x =+的图象过点()2,4，则3k a +=【正确答案】AC【分析】根据终边在y 轴上的角的集合为π{|πZ}2k k θθ=+∈，可判定选项A ，根据特殊值或倍半角的范围可判定选项B ，利用“1“的代换和基本不等式可判定选项C ，利用幂函数的定义和性质可判定选项D.【详解】对于A 项，由终边在y 轴上的角的集合为π{|πZ}2k k θθ=+∈，，故选项A 正确；对于B 项，若362α=︒，则1812α=︒，故选项B 不正确；对于C 项，因为()144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当26y x ==时等号成立，所以x y +的最小值为9，故选项C 正确；因为幂函数()()1af x k x =+的图象过点()2,4，所以11k +=，24a =，即0,2k a ==，所以2k a +=，故选项D 不正确．故选：AC11．关于函数()22cos 1f x x x -+有下述四个结论，其中结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线5π6x =对称C ．()f x 的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【正确答案】ABCD【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、单调性、周期公式进行求解即可.【详解】()2π2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以选项A 正确；因为5π5ππ2sin 22666f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线5π6x =对称，因此选项B 正确；因为7π7ππ2sin 2012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，因此选项C 正确；ππππππ0,2,,366222x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⊆-⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因此选项D 正确，故选：ABCD12．设函数()2ln ,08,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有四个零点分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A ．016m <<B ．124x x +=-C ．341x x ⋅=D ．16341612,e e x x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭【正确答案】ACD【分析】根据题意，函数()y f x =与y m =有四个交点，横坐标分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，进而数形结合，结合对数运算，依次讨论各选项即可得答案.【详解】因为()()g x f x m =-有四个零点，所以函数()y f x =与y m =有四个交点，横坐标分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，作出函数()f x 的图象，如图所示，由图可得016m <<，故A 正确；12428x x +=-⨯=-，故B 错误；3401x x <<<，所以34ln 0,ln 0x x <>由34ln ln x x =，得34ln ln x x -=，所以3434ln ln ln 0x x x x +==，所以341x x ⋅=，故C 正确；由ln 16x -=，得161ex =，由ln 16x =，得16e x =，所以16341611e ex x <<<<，34331x x x x +=+，由双勾函数的单调性可得函数1y x x =+在161,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以16343163112,e e x x x x ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的面积为24cm ，该扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的弧长为__________cm .【正确答案】【分析】根据面积公式以及弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径以及弧长分别为R l ，,故由面积公式可得21142R R 创=�所以弧长为αl R ==，故14．求值：28π19πsincos 34⎛⎫+-= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】【分析】利用诱导公式化简即可求出答案.【详解】28π19π4π19π4π3πsincos sin 8π+cos 4πsin cos 343434⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3πsin πcos 34222⎛⎫⎛⎫=++=--=-⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为.15．在ABC 中，已知515cos ,cos 1317A B ==，则cos C =__________.【正确答案】21221【分析】根据同角的三角函数关系求得sin sin A,B 的值，利用诱导公式结合两角和的余弦公式，即可求得答案.【详解】在ABC 中，已知515cos 1317A B ==，故,A B 为锐角，则sin ,sin 1281317A B ===,故cos cos(π)cos(cos cos sin sin )A C A B A B B A B =--=-+=-+5151221131713122871-⨯+⨯==,故2122116．已知函数()()2222,log 21x x f x ax g x +=-=-，若对任意的[]12,1x ∈-，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的范围为__________.【正确答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭##332a -<<.【分析】由题意可得()()11max max f x g x <.后通过讨论a 可确定()f x 最大值，通过单调性可确定()g x 最大值，即可得答案.【详解】任意的[]12,1x ∈-，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x <，等价于()()maxmax f x g x <，()222222133log log log 1212121x x x x xg x ⎛⎫+-+⎛⎫===+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则()g x 在[]2,3x ∈上单调递减，则()()max 21g x g ==.当0a =，()12f x =-，因12>-，则0a =满足题意；当0a >，()2f x ax =-在[]2,1x ∈-上单调递增，则()()max 12f x f a ==-，故1203a a >-⇒<<；当a<0，()2f x ax =-在[]2,1x ∈-上单调递减，则()()max 222f x f a =-=--，故312202a a >--⇒-<<.综上可得实数a 的范围为3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为.3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题17．（1）计算：5log 25lg25lg4log ++-（2）若角α终边经过点()1,2，求sin2,cos2αα的值.【正确答案】（1）52；（2）4sin25α=，3cos25α=-.【分析】（1）根据对数的运算法则及性质计算结果即可；（2）由角α终边经过的点，求出角α的正弦及余弦，再根据二倍角公式求得结果.【详解】（1）53log 223355lg25lg4log 2lg100log 32222++-=+-=+-=.（2）角α终边经过点()1,2，则可得sin ,cos αα=4sin22sin cos 5ααα∴==，223cos22cos 1155αα=-=-=-.18．已知集合{}{}2870,121A xx x B x m x m =-+≤=+≤≤-∣∣.(1)若3m =，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“”x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){}45A B xx ⋂=≤≤∣(2)4m ≤【分析】（1）分别求出集合A 、B ，然后根据并集的运算即可得出答案；（2）由题得B 是A 的真子集，分B =∅时，B ≠∅时，两种情况分别求出m 的范围，然后取并集即可.【详解】（1）{}{}287017∣∣=-+≤=≤≤A x x x x x .当3m =时，{}45B x x =≤≤∣，{}45A B x x ∴⋂=≤≤∣.（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，于是得B 是A 的真子集，①当B =∅时，211,2m m m -<+∴<；②当B ≠∅时，由B 真包含于A 得21111217m m m m -≥+⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩（等号不能同时成立），24m ∴≤≤.综上，4m ≤.19．已知()21xb f x a =+-是其定义域上的奇函数，且()13f -=-.(1)求()f x 的解析式和定义域；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并根据定义证明.【正确答案】(1)()2121xf x =+-，定义域为{}0x x ≠(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）由函数为奇函数可得()()11f f =--，即可求得,a b ，从而可得函数解析式，再根据分母不等于零即可得函数的定义域；（2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，利用作差法判断()()12,f x f x 的大小即可得出结论.【详解】（1）根据题意，()21x b f x a =+-是其定义域上的奇函数，所以()()11f f =--，又由()123f a b -=-=-，有()13f a b =+=，解得1,2a b ==，经验证()2121x f x =+-符合要求，则()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠；（2）()f x 在区间()0,∞+上的单调递减，理由如下：对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()()2112121212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪------⎝⎭，因为2x y =在()0,∞+单调递增，且120x x <<，所以21121120,20,220x x x x --->>>，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间()0,∞+上的单调递减.20．函数()23cos 3cos (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，且函数()f x 图象与直线0y =的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)先将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象.当,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.【正确答案】(1)5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)2⎡-⎢⎣【分析】（1）由题意求出()f x 的解析式，再由2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，解不等式即可求出函数()f x 的单调递增区间；（2）由三角函数的平移和伸缩变换求出()g x ，由正弦函数的图象与性质求解即可.【详解】（1）()233cos 3cos cos222223f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭.因函数()f x 图象与直线y =π，因此函数()f x 的周期πT =，有2π22T ω==，所以1ω=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈，可得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ3x -≤≤，所以ππ7π666x -≤+≤，则1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以()g x 在π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣21．已知函数()4log 416x x f x =⋅.(1)求函数()f x 的值域；(2)解关于x 的不等式()3f x >；(3)若对任意的[]2,4x ∈，不等式()22log 10f x a x -⋅+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[)1,-+∞(2){02xx <<∣或32}x >(3)0a ≤【分析】（1）根据对数的运算性质可化简()()222log 6log 8,f x x x =-+由换元法结合二次函数的性质即可求解，（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.【详解】（1）因为()f x 定义域为()0,∞+，则()()()()22222221log 2log log 2log 4log 6log 8,2416x x f x x x x x =⋅=--=-+设()2log R x t t =∈，则2268(t 3)11y t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为[)1,-+∞.（2）不等式可化为2683t t -+>，即2650t t -+>解得1t <或5t >即2log 1x <或2log 5x >，解得02x <<或32x >所以不等式的解集为{02xx <<∣或32}x >（3）因为()22log 40f x a x -⋅+≥，所以()()222log 1log 3log 10x x a x -⋅--+≥，设2log x t =，则[]1,2t ∈，原问题化为对任意[]21,2,440t t t at ∈-+-≥，即44a t t ≤+-，因为4440t t +-≥=（当且仅当2t =即4x =时，取等号），即44t t+-的最小值为0，所以0a ≤.22．如图所示，ABCD 是一块边长为200米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为180米的扇形草地，P 是弧TS 上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC 和CD上的长方形停车场PQCR ，设PAB α∠=，长方形PQCR 的面积为S .(1)试建立S 关于α的函数关系式；(2)当α为多少时，S 最大，并求最大值.【正确答案】(1)=PQCR S ()π4000036000sin cos 32400sin cos 02ααααα⎛⎫-++≤≤ ⎪⎝⎭(2)π4，56200-平方米【分析】（1）由题意表示出200180cos ,200180sin PQ PR αα=-=-，利用矩形面积公式即可求得答案；（2）利用换元法令cos sin t αα=+，将矩形面积化为关于t 的函数，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）延长RP 交AB 于M ，设π02PAB ∠αα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则180cos ,180sin AM MP αα==，200180cos ,200180sin PQ PR αα=-=-，()()200180cos 200180sin PQCR S αα∴=--()π4000036000sin cos 32400sin cos 02ααααα⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭.（2）设cos sin t αα=+，则π4t α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π02α≤≤，可得ππ3π[,]444α+∈，故21,cos sin 2t t αα-⎡∈=⎣，()221400003600032400200811801192PQCR t S t t t -∴=-+⨯=-+2101620038009t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，该函数图像的对称轴为109t =，∴当t =，即π4x =时，PQCR S 有最大值56200-平方米.。

2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．命题“x ∀∈R ，212x x >-”的否定是（）A ．x ∀∈R ，212x x <-B ．x ∀∈R ，212x x ≤-C ．x ∃∈R ，212x x ≤-D ．x ∃∈R ，212x x<-【正确答案】C【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】原命题的否定为x ∃∈R ，212x x ≤-.故选：C.2．函数()()01f x x =-的定义域为（）A ．[]0,2B ．[]1,2C ．[)(]0,11,2 D ．()()0,11,2U 【正确答案】C【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可.【详解】因为()()01f x x =-，所以()2010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<或12x <≤，所以()f x 的定义域为.[)(]0,11,2 故选：C.3．下列命题为假命题的是（）A ．若a b >，则a c b c ->-B ．若0a b >>，0c d >>，则0ac bd >>C ．若0a b >>，则2a ab >D ．若a b >，c d >，则a c b d->-【正确答案】D【分析】对于ABC ，利用不等式的性质即可判断其命题为真；对于D ，举反例即可判断其命题为假，由此解答即可.【详解】对于A ，因为a b >，所以()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，则选项A 中命题为真，故A 错误；对于B ，因为0a b >>，0c d >>，所以由不等式的性质得0ac bd >>，则选项B 中命题为真，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，则0a >，所以2a ab >，则选项C 中命题为真，故C 错误；对于D ，令1,0,1,0a b c d ====，则a b >，c d >，但0a c b d -==-，故选项D 中命题为假，故D 正确.故选：D.4．已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos απ+的值为（）A B ．5-C D ．5-【正确答案】A【分析】先根据角α的终边，可求出cos α，再利用诱导公式化简求解出结果.【详解】由角α的终边经过点()1,2P -，利用三角函数的定义求出cos α==所以()cos cos 5παα+=-=，故选：A5．已知32log a =，0.010.3b =，c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c a b<<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断()()1,2,0,1,a b ∈∈2c =，进而比大小.【详解】因为332log log 8a ==，3331log 3<log 8log 92=<=，0.0100.31b <=<，故()()1,2,0,1,a b ∈∈22c ===，所以b a c <<.故选：B.6．函数()21xx e f x e =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的符号确定正确选项.【详解】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，由()()()22222111x x x xx x x xe e e ef x f x e ee e ----⋅-====----⋅，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除CD 选项.由于()21>01ef e =-，排除B 选项.故选：A7．已知()0,πα∈，()0,πβ∈，()3sin 4αβ-=，tan 5tan αβ=-，则αβ+=（）A ．1π6B ．11π6C ．7π6D ．5π6【正确答案】D【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于sin cos ,cos sin αβαβ的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得αβ+的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得()sin αβ+的值，由此得到αβ+的值.【详解】因为()3sin 4αβ-=，所以3sin cos cos sin 4αβαβ-=，又因为tan 5tan αβ=-，即tan 5tan αβ=-，则sin sin 5cos cos αβαβ=-⨯，故sin cos 5cos sin 0αβαβ+=，联立3sin cos cos sin 4sin cos 5cos sin 0αβαβαβαβ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得5sin cos 81cos sin 8αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为()0,πα∈，()0,πβ∈，所以sin 0,sin 0αβ>>，又5sin cos 08αβ=>，1cos sin 08αβ=-<，所以cos 0α<，cos 0β>，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3π22αβ<+<，因为()511sin sin cos cos sin 882αβαβαβ+=+=-=，所以5π6αβ+=.故选：D.8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25a T =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：lg 20.30≈，lg11 1.04≈）（）A ．9分钟B ．10分钟C ．11分钟D ．12分钟【正确答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11501025511h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又水温从75℃降至45℃，所以()1452575252t h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即12022505t h⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11110222115tt t hh ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以10112lg22lg 2120.315log 101051lg111 1.04lg 11t -⨯-===≈=--，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.二、多选题9．当()0,1x ∈时，幂函数a y x =的图像在直线y x =的上方，则a 的值可能为（）A ．13B ．2-CD ．3【正确答案】AB【分析】由题意，转化为当01x <<时，a x x >恒成立，解不等式即可．【详解】解：由题意，转化为当01x <<时，a x x >恒成立，两边取对数得lg lg a x x >，由01x <<得lg 0x <，∴1a <，故选：AB.10．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．12sin cos 25θθ=-B ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．7sin cos 5θθ-=-D ．4tan 3θ=-【正确答案】ABD【分析】对于AC ，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；对于B ，结合选项A 中结论，判断得cos 0θ<，从而求得θ的取值范围，由此判断即可；对于D ，利用选项C 中的结论求得sin ,cos θθ，进而求得tan θ，据此解答即可.【详解】对于A ，因为1sin cos 5θθ+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25θθθθθθθθ+=++=+=，所以12sin cos 25θθ=-，故A 正确；对于B ，由选项A 知12sin cos 025θθ=-<，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，故cos 0θ<，所以ππ2θ<<，即π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由选项B 可知，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin θcosθ0->，因为()2221249sin cos sin 2sin cos cos 122525θθθθθθ⎛⎫-=-+=-⨯-= ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5θθ-=，故C 错误；对于D ，因为1sin cos 5θθ+=，7sin cos 5θθ-=，所以43sin ,cos 55θθ==-，故sin 4tan cos 3θθθ==-，故D 正确.故选：ABD.11．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且()1y f x =+为偶函数．当[]0,1x ∈时，()()22log 22x f x a x =-+，下列结论正确的是（）A ．1a =-B ．1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()30f =D ．()()()()12320231f f f f ++++= 【正确答案】BC【分析】对于A ，利用()f x 的奇偶性得到()00f =，代入()f x 即可求得1a =，由此判断即可；对于BC ，利用()1f x +的奇偶性与换元法得到()()2f t f t -=+，进而得到()()2f t f t +=-，从而利用赋值法即可得解；对于D ，由选项BC 中的结论可推得()f x 是周期函数，进而推得()0f n =，从而得以判断.【详解】对于A ，因为()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，又因为当[]0,1x ∈时，()()22log 22xf x a x =-+，所以()022log 2020a -⨯+=，解得1a =，所以1a =，()()22log 22xf x x =-+，故A 错误；对于B ，因为()1y f x =+为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，令1x t -+=-，则1x t =+，所以()()2f t f t -=+，令12t =-，则1132222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为()()f t f t -=-，所以()()2f t f t +=-，令1t =，则()()()12log 212220312f f =-⨯+=-=-=，故C 正确；对于D ，因为()()2f t f t +=-，所以()()()42f t f t f t +=-+=，所以()f x 是4T =的周期函数，则()()400f f ==，令0=t ，则由()()2f t f t +=-得()()200f f =-=，故()()()()12340f f f f ====，所以由()f x 的周期性可知()0f n =，Z n ∈，所以()()()()12320230f f f f ++++= ，故D 错误.故选：BC.12．已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A ．()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的图象关于点()0,1对称C ．函数()f x 在定义域上单调递减D ．若实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【正确答案】ABD【分析】利用函数解析式，求解可得()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可判断A ，利用()()2f x f x -+=可判断B ，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C ，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A 选项，对任意的x ∈R 0x x x +>+≥，所以函数())ln1f x x x =+++的定义域为R ，又因为()())()1]ln()1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，所以()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B 选项，因为函数()f x 满足()()2f x f x -+=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())lnh x x =，该函数的定义域为R ，()()))()22ln ln ln 10h x h x x x x x -+=++=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则()()()2f a f b f b >-=-，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为150︒，半径为3，则扇形的面积是____________【正确答案】154π【分析】根据扇形的面积公式求解即可．【详解】由题意得扇形圆心角的弧度数为56π，所以扇形的面积为215153264S ππ=⨯⨯=．故答案为154π．利用公式212S r α=求扇形的面积时，要注意式中的圆心角α的单位是弧度，这是解题中容易出现错误的地方，属于简单题．14．已知()e lg5xf x =，则()()1e f f +=______.【正确答案】lg5【分析】分别令e 1x =和e ，求出对应的x ，然后代入求()()1f f +e 即可.【详解】令e 1x =，则0x =，令e e x =，则1x =，所以()()1e 0lg51lg5lg5f f +=⨯+⨯=.故答案为.lg 515．已知2:8150p x x -+<，()():250q x m x m --<，其中0m >.若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】312m ≤≤【分析】解出,p q 的范围，并设{}|A x x p =∈、{}|B x x q =∈，根据q 是p 的必要不充分条件，得出AB ，根据集合包含关系即可得出.【详解】解28150x x -+<可得35x <<，即:35p x <<，因为0m >，所以52m m >，解()()250x m x m --<可得25m x m <<，即:25q m x m <<.设{}{}||35A x x p x x =∈=<<，{}{}||25,0B x x q x m x m m =∈=<<>，因为若q 是p 的必要不充分条件，所以AB ，所以有2355m m ≤⎧⎨≥⎩，且不能同时取等号，所以312m ≤≤.故答案为.312m ≤≤16．设函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>．()0f =π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为______．【正确答案】43##113【分析】先由()0f =1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，又由π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭得到()f x 关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，从而得到2ππ4k ωϕ+=，分类讨论ϕ的取值情况，结合12,k k 的取值范围即可求得ω的最小值.【详解】因为()()sin f x x ωϕ=+，()0f =所以sin 2ϕ=，则1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，1k Z ∈，因为π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，且π2πππ26324-+==⨯，若要使ω最小，则结合正弦函数的对称性可知()f x 关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πsin 04ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ4k ωϕ+=，2k Z ∈，当1π2π3k ϕ=+时，12ππ2ππ43k k ω++=，则211243k k ω=-+-，其中1k Z ∈，2k Z ∈，因为0ω>，所以211203k k -+->，则21123k k ->，又212Z k k -∈，所以()21min 21k k -=，则()21min min122433k k ω⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，故min 83ω=；当12π2π3k ϕ=+时，12π2π2ππ43k k ω++=，则212243k k ω=-+-，其中1k Z ∈，2k Z ∈，因为0ω>，所以212203k k -+->，则21223k k ->，又212Z k k -∈，所以()21min 21k k -=，则()21min min212433k k ω⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，故min 43ω=；综上.min 43ω=故答案为.43关键点睛：本题通过sin ϕ=，则1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，1k Z ∈，再利用π2π063f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到函数关于π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而将点代入函数解析式得πsin 04ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则得到2ππ4k ωϕ+=，2k Z ∈，最后对1π2π3k ϕ=+或12π2π3k ϕ=+，1k Z ∈分类讨论即可.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}R 5321A x x =∈-≤-≤，集合(){}2R log 21B x x =∈-≤.(1)求A B ⋂，A B ⋃；(2)求()R B A ⋃ð.【正确答案】(1){}01A B x x ⋂=≤≤，{}12A B x x ⋃=-≤<；(2)()R {2B A x x ⋃=≥ð或1}x ≤【分析】（1）由对数函数单调性解不等式得集合B ，根据集合的交集、并集运算求解；（2）根据补集运算、并集运算求解即可.【详解】（1）由题意得，{}11A x x =-≤≤，不等式()2log 2102202x x x -≤⇔<-≤⇔≤<，可得{}02B x x =≤<，∴{}01A B x x ⋂=≤≤，{}12A B x x ⋃=-≤<；（2）由（1）知，R {0B x x =<ð或2}x ≥∴()R {2B A x x ⋃=≥ð或1}x ≤.18．已知22m n +=．(1)当0m >，0n >时，求12m n+的最小值；(2)当1m >-，0n >时，求121m n++的最小值．【正确答案】(1)92(2)3【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为0m >，0n >，22m n +=，则()1212m n +=，所以()21121225121922252m n n m n m n m n m +⎭=++++⎛⎛⎫⎛⎫+=≥= ⎪ ⎪ ⎝⎝⎭⎝，当且仅当22n mm n=且22m n +=，即23m n ==时，等号成立，所以1922m n +≥，故12m n +的最小值为92.（2）因为1m >-，0n >，22m n +=，则()11213m n ++=，10m +>，所以()()11112321125131221m n n m m n m n m n ⎡⎤⎛⎫++=⎢⎥ ++=++⎪⎝++⎭++⎣⎦5133⎡≥=⎢⎢⎣+，当且仅当()2121m nm n +=+且22m n +=，即0,1m n ==时，等号成立，所以3121m n+≥+，故121m n ++的最小值为3.19．设()()()log 2log 4a a f x x x =++-（0a >，且1a ≠）.(1)若()23f =，求实数a 的值及函数()f x 的定义域；(2)求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)2a =，()2,4-(2)①当1a >时，函数()f x 的值域为(],2log 3a -∞，②当01a <<时，函数()f x 的值域为[)2log 3,a +∞.【分析】（1）根据()23f =求得a ，根据函数定义域的求法求得()f x 的定义域.（2）先求得()f x 的定义域，结合二次函数的知识求得()f x 的值域.【详解】（1）因为()()()()log 2log 40,1a a f x x x a a =++->≠，且()23f =，所以()2log 4log 23log 23a a a f =+==，解得2a =，所以()()()22log 2log 4f x x x =++-的定义域需满足2040x x +>⎧⎨->⎩，解得24-<<x ，即函数()f x 的定义域为()2,4-.（2）()()()()()()22log 2log 4log 28log 19a a a a f x x x x x x =++-=-++=--+，由24-<<x ，根据二次函数的性质可得()20199x <--+≤，①当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增，函数()f x 的值域为(],2log 3a -∞，②当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减，函数()f x 的值域为[)2log 3,a +∞.20．已知221sin cos sin 222ααα=-．(1)求2sin 2cos 2αα+的值；(2)已知()0,πα∈，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，26tan tan 10ββ--=，求αβ+的值．【正确答案】(1)1(2)5π4【分析】（1）利用正余弦函数的倍角公式与三角函数的商数关系，结合齐次式法即可得解；（2）先解二次方程，结合β的取值范围求得tan β，再结合（1）中结论求得αβ+的取值范围，从而利用正切函数的和差公式即可求得αβ+的值．【详解】（1）因为221sin cossin cos 222αααα=-=，易知cos 0α≠，所以sin tan 2cos ααα==，所以222sin 2cos 24sin cos cos sin αααααα+=+-22224sin cos cos sin sin cos αααααα+-=+22224tan 1tan 42121tan 121ααα+-⨯+-===++.（2）因为26tan tan 10ββ--=，所以()()3tan 12tan 10ββ+-=，解得1tan 3β=-或1tan 2β=，因为π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3β=-，又因为tan 20α=>，()0,πα∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ-++===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭，所以5π4αβ+=.21．函数()2π22sin cos 2sin 14f x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)把()f x 的解析式改写为()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>的形式；(2)求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间11π0,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值和最小值；(3)把()y f x =图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数()y g x =的图像，再把函数()y g x =图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到函数()y h x =的图像，若函数()y h x =[]0,m 上至少有30个零点，求m 的最小值．【正确答案】(1)()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期为π，()f x 的最大值为2-.(3)89π3【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式整理即可；（2）根据（1），结合公式求解最小正周期，利用整体代换法求解值域；（3）由题知()y h x x =+-+5π2π,Z 3x k k =+∈或π2π,Z 3x k k =+∈，再根据周期性求解即可.【详解】（1）解：()2π22sin cos 2sin 14f x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭π2sin 2cos 24x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ππ2244x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：由（1）知()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，因为11π0,24x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ2π2,443x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππsin sin 2sin 442x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 2124x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以2224x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以，当ππ242x -=，即3π8x =时，()f x 取得最大值；当ππ244x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-；（3）解：由题知()π4y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()πcos 2y h x x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以函数()y h x x =+-+所以，令()0y h x x =+-+，即1cos 2x =，所以5π2π,Z 3x k k =+∈或π2π,Z 3x k k =+∈，因为函数()y h x =[]0,m 上至少有30个零点，且周期为2π所以5π89π2π1433m ≥+⨯=，即m 的最小值为89π3.22．设a ∈R ，已知函数()22x x af x a+=-为奇函数.(1)求实数a 的值；(2)若a<0，判断并证明函数()f x 的单调性；(3)在（2）的条件下，函数()f x 在区间[](),m n m n <上的值域是()2,2m nk k k ⎡⎤⋅⋅∈⎣⎦R ，求k 的取值范围.【正确答案】(1)1-或1(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)(0,3-【分析】（1）直接根据奇函数定义()()f x f x -=-，代入解析式即可求出参数a 的值；（2）由（1）知，当a<0时，得1a =-，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；（3）首先根据函数单调性可得()()2,2,m n f m k f n k ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，即212,21212,21m mm nn n k k ⎧-=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，令20x t =>，将原问题转化为()2110kt k t +-+=在()0,∞+上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可.【详解】（1）由函数()f x 为奇函数，有()()0f x f x -+=，有1220122x x x xa a a a +++=--，有()()1122022x xx x a a a a ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有221212022x xx x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+--⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有21a =，得1a =±.①当1a =时，()2121xx f x +=-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()1112211212x x x xf x f x ++-===---，符合题意；②当1a =-时，()2121x x f x -=+，定义域为R ，()()1112211212x x x xf x f x ---===-++，符合题意.由上知1a =-或1；（2）当a<0时，有1a =-，即()f x 定义域为R ，结论为：()f x 在R 上单调递增.设R 上任意两个实数1x ，2x ，且12x x <.()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，而21220x x ->，1210x +>，2210x +>，∴()()()12122202121x x x x -<++，即()()12f x f x <得证，则()f x 在R 上单调递增；（3）由m n <知22m n <，由()2,2m n k k k ⎡⎤⋅⋅∈⎣⎦R 知22m n k k ⋅<⋅，所以0k >，由（2）知()f x 在R 上单调递增，结合题意有()()2,2,m nf m k f n k ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩得212,21212,21m m mn n n k k ⎧-=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，即m ，n 是21221x x x k -=⋅+的两个不同实根，令20x t =>，则()2110kt k t +-+=在()0,∞+上有两个不同实根，有()212120,140,10,10,kk kkt tkt tk>⎧⎪∆=-->⎪⎪-⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩可得03k<<-，故实数k的取值范围为(0,3-.。

郑州27届（高一）第一次模拟测试数学试题卷（答案在最后）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，(){}{}30,1M x x x N x x =+<=<-，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.{|1}x x ≥-B.{|30}-<<x xC.{|3}x x ≤-D.{|10}x x -≤<【答案】D 【解析】【分析】先化简集合M ，判断Venn 图表示集合()U N M ⋂ð，再利用集合运算即得结果.【详解】由题意可知，(){}{}3030M x x x x x =+<=-<<，阴影部分用集合表示为()U N M ⋂ð，而{}1N x x =<-，故{}1U N x x =≥-ð，(){|10}U N M x x ∴=-≤< ð.故选：D.【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了Venn 图，属于基础题.2.命题“x ∃∈R ，310x x+>”的否定是（）A.x ∃∈R ，310x x +≥ B.x ∃∈R ，310x x +≤C.x ∀∈R ，310x x+≤ D.x ∀∈R ，310x x+>【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题即可判断.【详解】命题“x ∃∈R ，310x x +>”的否定是x ∀∈R ，310x x+≤.故选：C3.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】由分段函数的性质直接计算即可；【详解】因为21>，所以()24f =，故选：D.4.已知3()2f x x x =+，若a ，b ，c ∈R ，且0a b +>，0a c +>，0b c +>，则()()()f a f b f c ++的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解即可.【详解】因为3()2,R f x x x x =+∈，又33()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=--，所以3()2f x x x =+是R 上的奇函数，又3y x =在R 上单调递增，2y x =在R 上单调递增，所以3()2f x x x =+在R 上单调递增，又因为0a b +>，0a c +>，0b c +>，所以,,a b c a b c >->->-，所以()(),()(),()()f a f b f c f a f b f c >->->-，所以()(),()(),()()f a f b f c f a f b f c >->->-，所以 Ȁက楔敭 Ȁ⁷楔敭 Ȁ̏楔癍 Ȁ⁷楔 Ȁ̏楔 Ȁက楔 ，所以2[()()()]0f a f c f b ++>，所以()()()0f a f c f b ++>.故选：A.5.函数()22111x f x +=-+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由()f x 为偶函数，排除CD 选项，由()10f >排除B 选项.【详解】函数()22111x f x x +=-+定义域为R ，()()()2221211111x x f x f x x x -++-=-=-=+-+，()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，CD 选项错误；()211110112f +=-=>+，选项B 错误.故选：A6.已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A.22a b a b+>+ B.2()4a b ab +≤C.2b a a b +< D.22b b a a +<+【答案】D 【解析】【分析】利用举反例可判断ABC ，利用作差法可判断D .【详解】取2,1a b ==，则2213a a +=+=，2123b b+=+=，故A 错误；()()22219,44218a b ab +=+==⨯⨯=，故B 错误；1222b a a b +=+>，故C 错误；又2(2)(2)2()2(2)(2)b b b a a b b a a a a a a a ++-+--==+++，0a b >> ，0,(2)0∴-<+>b a a a ，202b b a a +-<+，即22b b a a +<+，故D 正确.故选：D .7.已知Z a ∈，关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值不可能是（）A.13B.14C.15D.16【答案】D 【解析】【分析】设方程280x x a -+=的两根为12x x ，，由题有1224x x ≤-<，后由韦达定理可得a 范围，即可得答案.【详解】设方程280x x a -+=的两根为12x x ，，则280x x a -+≤的解集为[]12,x x .由题有()()[)22121212122444,16x x x x x x x x ≤-<⇒-=+-∈.又128x x +=，12x x a =，则Δ64401215464416a a a =->⎧⇒<≤⎨≤-<⎩，则a 的值不可能是16.故选：D8.已知函数212,()23,3x cf x x x x c x ⎧-+<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩，若()f x 的值域为[2,6]，则实数c 的取值范围是（）A.11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.[1,0)- D.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】首先分析函数223y x x =-+的取值情况，从而判断1c ≤，再结合2236c c -+≤得到11c -≤≤，再分01c ≤≤和10c -≤<两种情况讨论，当10c -≤<时结合函数12y x=-+在(,)c -∞上的单调性，得到126c-+≤，从而求出c 的取值范围.【详解】对于函数2223(1)2y x x x =-+=-+，当3x =时，6y =，当1x =时，2y =，而10x-≠，即有122x -+≠，依题意可得1c ≤，又2236c c -+≤，解得13c -≤≤，所以11c -≤≤；当01c ≤≤时，函数()f x 在(,0)-∞上的取值集合为(2,)+∞，不符合题意，当10c -≤<，函数12y x=-+在(,)c -∞上单调递增，则11222x c <-+<-+，所以12610c c ⎧-+≤⎪⎨⎪-≤<⎩，解得114c -≤≤-，所以实数c 的取值范围是11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到11c -≤≤，再分01c ≤≤和10c -≤<两种情况讨论.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（）A.()f x =B.()||f x x x =C.2()1x xf x x -=- D.3()f x x =【答案】BD 【解析】【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断．【详解】()f x =[0,)+∞，2()1x xf x x -=-的定义域是{|1}x x ≠，它们都没有奇偶性，()f x x x =与3()f x x =都是奇函数，在(0,)+∞上，3()f x x =递增，2()f x x x x ==单调递增，故选：BD ．10.命题“[1,2)x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A.4a ≥ B.5a > C.6a ≥ D.7a >【答案】BCD【解析】【分析】求得命题为真的充要条件，然后根据集合包含关系与充分必要条件的关系判断．【详解】[1,2)x ∀∈，20x a -≤，则2a x ≥恒成立，而24x <，所以4a ≥，所以BCD 都是充分不必要条件．故选：BCD ．11.设x 为实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x .例如[1.2]1=，[1.4]2-=-.称函数()[]f x x =为取整函数，下列关于取整函数()f x 的结论中正确的是（）A.()f x 在R 上是单调递增函数B.对任意x ∈R ，都有()1f x x >-C .对任意x ∈R ，k ∈Z ，都有()()f x k f x k+=+D.对任意x ，y ∈R ，都有()()()f xy f x f y =【答案】BC 【解析】【分析】根据[]x 的定义，可得[][]1x x x ≤<+，即可求解BC ，举反例即可求解AD.【详解】对于A ，()(1.1) 1.21f f ==，()f x 不是 上的单调递增函数，A 错误；对于B ，由[]x 的定义，得[][]1x x x ≤<+，故对R x ∀∈， 癍 ，故B 正确；对于C ，对任意 ，k ∈Z ，不妨令()f x m =，则1m x m ≤<+，所以1m k x k m k +≤+<++，此时()()f x k m k f x k +=+=+，故C 正确；对于D ，取103,32x y ==，则()()1035532f xy f f ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，()()10331332f x f y f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足()()()f xy f x f y =，故D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示6N N 1a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣______．【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据6N 1a ∈-且N a ∈求出a 的值，即可求出61a -，从而列举即可.【详解】解：因为6N 1a ∈-且N a ∈，所以11a -=或12a -=或13a -=或16a -=，解得2a =或3a =或4a =或7a =，所以对应的61a -分别为6、3、2、1，即{}6N N 1,2,3,61a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣；故答案为：{}1,2,3,613.函数()f x 是R 上的偶函数，且当0x >时，函数的解析式为2()1f x x=-，则(1)f -=______；当0x <时，函数的解析式为___________.【答案】①.1②.()21f x x=--【解析】【分析】根据偶函数的性质计算可得.【详解】因为函数()f x 是R 上的偶函数，且当0x >时，函数的解析式为2()1f x x=-，所以()()11211f f -==-=，设0x <，则0x ->，所以()21f x x -=--，又 ，所以()21f x x=--，即当0x <时，函数的解析式为()21f x x=--.故答案为：1；()21f x x=--14.已知a ，b 为非负实数，且21a b +=，则22211a b a b+++的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】首先根据题意求出102a ≤<，01b <≤，然后将原式变形得222121111a b a b a b++=+-++，最后利用1的妙用即可求出其最值.【详解】a ，b 为非负实数，且21a b +=，结合目标式，有0a ≥，0b >，120b a =->，解得102a ≤<，210a b =-≥，解得01b <≤，()()22222141221111a a a b b a b a b +-++++∴+=++()()212121214221111a b a b a b a b a b=+-+++=+-++=+-+++，()214114122122322a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+=++⋅+ ⎪⎣⎦+++⎝⎭142215533223b a a b ⎛+⎛⎫=++≥+= ⎪ +⎝⎭⎝，当且仅当42222b a a b+=+即1,0b a ==时等号成立，故min21121a b ⎛⎫+-=⎪+⎝⎭.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知全集R U =，集合{}2|560A x x x =-+>，{|230}B x x =->.（1）求A B ⋂；（2）求()()U U A B 痧.【答案】（1）{3|22x x <<或3}x >（2）3|232x x x ⎧⎫≤≤≤⎨⎩⎭或【解析】【分析】（1）根据题意，求得集合|2{A x x =<或3}x >，3{|}2x x B >=，结合集合交集的运算，即可求解；（2）由（1）求得{|23}U A x x =≤≤ð，3{|}2U B x x =≤ð，根据集合并集的运算，即可求解.【小问1详解】解：由不等式2560x x -+>，可得(2)(3)0x x -->，解得2x <或3x >，所以集合|2{A x x =<或3}x >，又由集合{|2303{}|}2x x B x x -=>=>，所以{3|22A B x x ⋂=<<或3}x >.【小问2详解】解：集合|2{A x x =<或3}x >，3{|}2x x B >=，可得{|23}U A x x =≤≤ð，3{|}2U B x x =≤ð，所以()()3|232U U A B x x x ⎧⎫=≤≤≤⎨⎩⎭或痧.16.设命题[]:1,1p x ∀∈-，使得不等式2230x x m --+<恒成立；命题[]:0,1q x ∃∈，不等式2223x m m -≥-成立．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(,0)-∞（2）(,3]-∞【解析】【分析】（1）若p 为真命题，即对于[]1,1x ∈-，()2min23m x x <-++即可.（2）若q 为真命题，即转化为对于[]0,1x ∈，2max (22)3x m m -≥-即可求出m 的范围，再分类讨论,p q的真假即可解出.【小问1详解】若p 为真命题，即[]11x ∀∈-，，使得不等式2230x x m --+<成立，则对于[]1,1x ∈-，()2min23m x x <-++即可.由于[]1,1x ∈-,()2min230x x -++=，则(,0)m ∈-∞.【小问2详解】若q 为真命题，即[]0,1x ∃∈，不等式2223x m m -≥-成立，则对于[]0,1x ∈，2max (22)3x m m -≥-即可.由于[]0,1x ∈，[]222,0x -∈-，230m m ∴-≤，解得[]0,3m ∈p 、q 有且只有一个是真命题，则003m m m <⎧⎨⎩或或003m m ≥⎧⎨≤≤⎩，解得(],3m ∞∈-.17.设函数()22a f x x a x+=-+为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义法证明()f x 在Ȁt 敭 楔上的单调性.【答案】（1）0a =（2）在(,0)-∞上单调递减，在Ȁt 敭 楔上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，解方程可得a 的值；（2）判断()22f x x x=-在(,0)-∞上单调递减，在Ȁt 敭 楔上单调递减，用定义法证明即可.【详解】解：()1因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()2222a a x a x a x x ++--+=-+--222222a x ax a x ax +--=+-+()()222222x ax a x ax a --++=-+++所以a a -=，解得0a =.()2()22f x x x=-在(,0)-∞上单调递减，在Ȁt 敭 楔上单调递减.证明:1212,0,,()x x x x ∀∈+∞<，()()()12121212122222222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212122121121212212222x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+⋅=--=-⋅+=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭因为210x x >>，所以21120,0x x x x ->⋅>，所以2110x x ⋅+>，所以()()12 0f x f x ->.即()()12 f x f x >，所以()22f x x x=-在Ȁt 敭 楔上单调递减.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义与应用及函数单调性的证明，属于中档题.18.已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．（1）若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？（2）若每个小矩形的面积为983平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？【答案】（1）长为6米、宽为4米（2）长为7米、宽为143米【解析】【分析】（1）设每个小矩形花池的长、宽分别为x 米、y 米，由题意可得2324x y +=，再有基本不等式求解即可；（2）由题意知983y x =，将其代入4648x y +=结合基本不等式求解即可.【小问1详解】设每个小矩形花池的长、宽分别为x 米、y 米，则每个花池的面积为xy 平方米．由题意可知4648x y +=，所以2324x y +=，则24≤，所以24xy ≤，当且仅当23x y =，即6x =，4y =时取得等号．故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大．【小问2详解】由题意知983xy =，则983y x=，所以49464456x y x x ⎛⎫+=+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当49x x =，即7x =，143y =时取得等号，故每个小矩形花池的长为7米、宽为143米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小．19.已知集合A 中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，那么称集合A 具有性质P .已知集合{}1,2,3,,2n S n = *(N ,4)n n ∈≥，对于集合n S 的非空子集B ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于B ，则称集合B 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}1,2,3,5,7,9A =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若集合{}3,4,B a =具有性质P ，证明：集合B 是集合4S 的“期待子集”；（3）证明：集合M 具有性质P 的充要条件是集合M 是集合n S 的“期待子集”.【答案】（1）不具有，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；（2）首先根据性质P ，确定集合B ，再根据“期待子集”的定义，确定集合B 是集合4S 的“期待子集”；（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于M证明满足性质P 的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的,,a b c ，再证明,,+++a b b c c a 均属于M ，即可证明.【小问1详解】集合{}1,2,3,5,7,9A =不具有性质P ，理由如下：（i ）从集合A 中任取三个元素,,x y z 均为奇数时，x y z ++为奇数，不满足条件③（ii ）从集合A 中任取三个元素,,x y z 有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设2y =，x z <，则有2z x -≥，即z x y -≥，不满足条件②，综上所述，可得集合{}1,2,3,5,7,9A =不具有性质P .【小问2详解】证明：由34a ++是偶数，得实数a 是奇数，当34a <<时，由34a +>，得13a <<，即2a =，不合题意，当34a <<时，由34a +>，得47a <<，即5a =，或6a =（舍），因为34512++=是偶数，所以集合{3,4,5}B =，令3,4,5a b b c c a +=+=+=，解得2,1,3a b c ===，显然{}4,,1,2,3,4,5,6,7,8a b c S ∈=，所以集合B 是集合4S 的“期待子集”得证.【小问3详解】证明：先证充分性：当集合M 是集合n S 的“期待子集”时，存在三个互不相同的,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于M ，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即满足条件①，因为()()()20x y z a b a c b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即满足条件②，因为2()x y z a b c ++=++，所以x y z ++为偶数，即满足条件③，所以当集合M 是集合n S 的“期待子集”时，集合M 具有性质P .再证必要性：当集合M 具有性质P ，则存在,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，令2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，则由条件①得a b c <<，由条件②得022x y z x y z a z +++-=-=>，由条件③得,,a b c 均为整数，因为()0222z z y y x y z z x y z c z x z y +--+++--=+-=>=->，所以0a b c z <<<<，且,,a b c 均为整数，所以,,n a b c S ∈，因为,,a b x a c y b c z +=+=+=，所以,,+++a b b c c a 均属于M ，所以当集合M 具有性质P 时，集合M 是集合n S 的“期待子集”.综上所述，集合M 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合M 具有性质P .【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质P”和“期待子集”的定义.。

2023-2024学年河南省联考高一上册期末教学诊断性考试数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6,8}N =，则()U M N = ð（）A ．{1,2,3,4,5,6,8}B ．{7,9}C ．{2,4}D ．{1,3,5,6,7,8,9}【正确答案】B【分析】利用并集和补集的定义求解即可.【详解】因为全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6,8}N =，所以{1,2,3,4,5,6,8}M N = ，所以(){7,9}U M N = ð,故选：B 2．使“112x>”成立的一个充分不必要条件是（）A ．0x >B ．12x <C ．102x <<D ．104x <<【正确答案】D 【分析】由112x>得102x <<，再根据充分不必要条件判断即可.【详解】由112x>得，1202xx ->，即()2210x x -<，得102x <<，所以，使“112x >”成立的一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭的子集，所以，由各选项可知“104x <<”满足题意，所以，使“112x>”成立的一个充分不必要条件可以是“104x <<”.故选：D ．3．已知命题p ：()0,4x ∃∈，1x <或3x >，则命题的否定是（）A ．()0,4x ∃∈，1x ≥或3x ≤B ．()0,4x ∃∈，13x ≤≤C ．()0,4x ∀∈，1x ≥或3x ≤D ．()0,4x ∀∈，13x ≤≤【正确答案】D【分析】存在量词命题的否定是特称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】首先确定量词，排除选项A ，B ；其次“1x <或3x >”的否定形式为13x ≤≤,故命题p 的否定为“()0,4x ∀∈，13x ≤≤”．故选：D ．4．已知a b ＝3log 2，c ＝2，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【正确答案】C【分析】由对数式和根式的运算，确定三个数的范围再比较大小.【详解】∵12<<，∴12a c <<=；又3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b a <<<，∴b a c <<．故选：C ．5．已知某校高三年级共1200人，其中实验班200人，为了解学生们的学习状况，高三年级组织了一次全员的数学测验，现将全部数学试卷用分层抽样的方法抽取60份进行研究，则样本中实验班的试卷份数为（）A ．5B ．10C ．20D ．25【正确答案】B【分析】根据分层抽样可求得样本中实验班的试卷份数.【详解】根据题意，样本中实验班的试卷份数为20060101200⨯=.故选：B.6．若函数()2log f x x x ＝＋，则()f x 的零点所在区间是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】由已知可推得()f x 在()0,∞+上为增函数．然后分别求解，可得104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，304f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()10f >，即可根据零点存在定理，得出答案.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，且()f x 的图象在()0,∞+上是连续的.根据对数函数的单调性可知，任意120x x <<，有2122log log x x <成立，则121222log log x x x x +<+，即()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上为增函数．又211117log 2044444f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭＝＋，211111log 1022222f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭＝＋，223335log log 34444f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭()()45222114log 35log 3log 244=-=-2181log 0432=>，()21log 1110f =>＝＋.即13024⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，根据零点存在定理可知，()f x 的零点所在区间是13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.7．已知0a >，0b >，0c >，()()10a b c a b c +++-=，则33a b c +-的最小值为（）A ．8B ．10C ．D ．【正确答案】C【分析】利用()()332a b c a b c a b c +-=++++-结合均值不等式求解即可.【详解】因为()()10a b c a b c +++-=，0,0,0a b c >>>，所以0a b c ++>，0a b c +->，所以()()332a b c a b c a b c +-=++++-≥=，当且仅当()2a b c a b c ++=+-即3a b c +=时取等号，所以33a b c +-的最小值为故选：C.8．已知函数())lg f x x =，则()()()()2lg lg 2lg log 51f f ++=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】由已知可推得()()1f x f x -+=.又因为()2lg 2log 511⨯+=，所以()()2lg log 51lg lg 2+=-，即可得出答案.0x >恒成立，所以()f x 的定义域为R ，且()()))()22lglglg 101f x f x x x x x -+=+==＋-.()()222lg 2log 51lg 2log 5log 2⨯+=⨯+2lg10lg 2log 10lg 21lg 2=⨯=⨯=，所以，()()21lg log 51lglg lg 2lg 2+==-，所以，()()()()()()()()2lg lg 2lg log 51lg lg 2lg lg 21f f f f ++=+-=.故选：B.关键点睛：涉及较复杂的函数求值问题，探求给定函数的性质，再借助性质计算是解题的关键.二、多选题9．已知函数()f x x α=(α是常数），()42f =，则以下结论错误的是（）A ．12α=B ．()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．()f x 的定义域为()0,∞+D ．在区间()0,1上，()1f x >【正确答案】CD【分析】由题知12α=，()12f x x ==，进而结合幂函数的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由()442f α==得，12α=，即()12f x x ==，函数在定义域上单调递增，故选项A ，B 正确；因为()12f x x =的定义域为[)0,∞+，故选项C 错误；因为()f x 在区间()0,1上，112211x <=，故选项D 错误．故选：CD ．10．已知11a b a＞＞＞，则以下不等式成立的是（）A ．1ab ＞B ．2a b ＋＞C ．log 1b a ＞D ．b aa b ＞【正确答案】ABD【分析】由已知可推得1a >，01b <<.根据基本不等式可判断B 项；根据对数函数、指数函数的单调性可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，1a >，01b <<.对于A 项，由题意知10b a>>，故1ab >，故选项A 正确；对于B 项，由已知可得12a b a a+>+≥，当且仅当1a a =时等号成立.因为1a >，所以 2a b ＋＞，故选项B 正确；对于C 项，由已知01b <<，故log b y x =为()0,∞+上的减函数，又a b >，所以log log 1b b a b <=，故选项C 错误；对于D 项，因为1a >，01b <<，所以01b a a >=，01a b b <=，所以b a a b ＞，故D 项正确.故选：ABD ．11．现有一组数据：1,3,4,7,10,11，则（）A ．这组数据的平均值为6B ．这组数据的中位数为5.5C ．这组数据的75%分位数为7D ．对任意()()()()()()2222221R,134710116x x x x x x x ⎡⎤∈-+-+-+-+-+-⎣⎦的最小值为这组数据的方差【正确答案】ABD【分析】根据平均值、中位数、75%分位数的定义分别计算可判断ABC 选项，再根据二次函数的最小值的取法和方差的定义可判断D 选项.【详解】对于A ：这组数据的平均数为1347101166+++++=，故A 正确；对于B ：这组数据的中位数为475.52+=，故B 正确；对于C ：该组数据是从小到大排列的，60.75 4.5⨯=得，它的75%分位数为第5个数10，故C 错误；对于D ：2222221(1)(3)(4)(7)(10)(11)6x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦214812,3x x =-+当6x =时，此二次函数取最小值，最小值为403，由方差定义可知，该组数据的方差2222222140(16)(36)(46)(76)(106)(116),63s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦故D 正确.故选：ABD.12．若不等式2240ax bx a >＋＋＋()4a >-的解集为(),4a a +，则（）A ．1a ＝B ．1b ＝C ．0a ＜D ．0b ＜【正确答案】BC【分析】根据已知条件可得，a 和4a +是方程2240ax bx a +++=的两根，且a<0.进而可根据两根之积()44a a a a +⋅+=，求出a 的值.然后根据两根之和求出b .【详解】由已知可得，a 和4a +是方程2240ax bx a +++=的两根，且a<0，所以()44a a a a+⋅+=.又4a >-，则21a =，则1a =-．又24ba a a-=++，则1b =，则0b >．故选:BC ．三、填空题13．如图是一组数据的频率分布直方图，分段区间分别是[)[)[)[)[]2,6,6,10,10,14,14,18,18,22，则x =__________.【正确答案】0.03##3100【分析】根据频率和为1列式求解.【详解】根据题意得，()0.020.080.09241x +++⨯=，解得0.03x =.故0.0314．已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味､3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为__________.【正确答案】12##0.5【分析】根据样本空间和所求事件包含的样本点，由古典概型的概率公式求值.【详解】设4袋牛奶编号分别为a b c d ,,,，其中a 为枣味，,,b c d 为原味，从中任取两袋，则样本空间{}Ω,,,,,ab ac ad bc bd cd =，共6个样本点，用事件A 表示“取到枣味”，则{},,A ab ac ad =，共3个样本点，根据古典概型的概率公式可得，()3162P A ==.故1215．已知函数()()2,0f x ax bx a a =++>，()11f =则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为______．【正确答案】2##2-+【分析】由()11f =可得12b a =-，再利用均值不等式求解即可.【详解】由题意得()121f a b =+=，即12b a =-，所以()()212f x ax a x a =+-+，所以由均值不等式得()12112222a f a a a aa a -⎛⎫=++=+-≥-=- ⎪⎝⎭，当且仅当2a a=，即a =所以1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为2，故216．若函数()e e x xf x -=+，则()()123f x f x +>-的解集为______．【正确答案】2,43⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题知()f x 为偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增，进而根据单调性与奇偶性解不等式即可.【详解】解：函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，所以，()()e e x xf x f x --=+=，即()f x 为偶函数．设120x x ≤<，则12e e 0x x -<，12e 1x x +>，12110e x x +->，所以，()()()1212121212111e e e e 10e e exx x x x x x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以，根据偶函数的性质，易知()()123f x f x +>-等价于()()123f x f x +>-，所以，123x x +>-，解得243x <<．所以，()()123f x f x +>-的解集为2,43⎛⎫⎪⎝⎭故2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知1b a >>，log 2a b =，6a b +=．(1)求,a b 的值；(2)解不等式：680x x b a -+<．【正确答案】(1)2,4a b ==(2){|12}x x <<【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可；（2）利用换元法令()2,0,xt t =∈+∞，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】（1）由log 2a b =可得2a b =，代入6a b +=得260+-=a a ，又因为1a >，所以2a =，24b a ==；（2）由（1）得2,4a b ==，所以不等式680x x b a -+<即为46280x x -⋅+<，令()2,0,x t t =∈+∞得()()268420t t t t -+=--<，解得24t <<，即242x <<，解得12x <<，所以不等式的解集为{|12}x x <<.18．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量m （单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了300件产品，并将得到的数据按如下方式分为9组：[)10,15、[)15,20、L 、[]50,55，绘制成如下的频率分布直方图：工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了300件产品.(1)求今年一月份生产的产品长度在[)25,40的件数；(2)现从[)25,30和[)30,35两组产品中以分层抽样的方式抽取7件产品，客户在这7件产品中再随机抽取2件，求这2件产品在[)25,30和[)30,35两组中各有1件的概率.【正确答案】(1)156件(2)47【分析】（1）将产品长度在[)25,40的频率乘以300可得结果；（2）分析可知，在[)25,30的产品有3（件），设编号分别为a 、b 、c ，在[)30,35的产品有4（件），编号分别为A 、B 、C 、D ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在[)25,40的有()3000.030.040.0345156⨯++⨯=（件）.（2）由题可知，按分层抽样抽取的7件产品中，在[)25,30的产品有0.03730.030.04⨯=+（件），设编号分别为a 、b 、c在[)30,35的产品有0.04740.030.04⨯=+（件），编号分别为A 、B 、C 、D ，则在7件产品中随机抽取2件，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b c 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),c A 、(),c B 、(),c C 、(),c D 、(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),B C 、(),B D 、(),C D ，共有21个基本事件，其中事件“抽到的2件产品在[)25,30和[)30,35两组中各有1件”所包含的基本事件有：(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),c A 、(),c B 、(),c C 、(),c D ，共12个基本事件，故所求概率为124217P ==.19．某种植户要倚靠院墙建一个高3m 的长方体温室用于育苗，至多有54m 2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为x y ，，如图所示．(1)写出：x y ，满足的关系式；(2)求温室体积的最大值．【正确答案】(1)()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<(2)354m 【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<.（2）首先利用基本不等式即可得到36x y +≥=0t =>，得到2540t +-≤，再解不等式即可得到答案.【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为xy ，3面墙壁所用材料的面积为36x y +，所以()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<．（2）因为36x y +≥=2x y =时取等号，所以3654xy xy x y +≤++≤0t =>，则2540t +-≤，解得0t <≤18xy ≤，当且仅当6x =，3y =时取等号，所以温室体积354V xy =≤，则温室体积的最大值为354m ．20．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ＋＝，()00f ≠.(1)求()0f 的值；(2)若()13f =，*n ∈N ，求满足()2023f n ＜的n 的最大值．【正确答案】(1)1；(2)6.【分析】（1）令0x y ==，代入即可得出()01f =；（2）令x n =，*n ∈N ，1y =代入可得，()()13f n f n =＋.依次求解，即可得出()2679f =，()87217f =，进而得出答案.【详解】（1）令0x y ==，由已知可得()()200f f＝，解得()01f =或()00f =（舍去）.所以，()01f =.（2）令x n =，*n ∈N ，1y =，则由已知可得，()()()()113f n f n f f n =＋＝.显然()0f n >，所以()()()13f n f n f n =>＋.所以，()()2319f f ==，()()33272f f ==，()()14383f f ==，()()354324f f ==，()()965372f f ==，()()7763218f f ==.所以，满足()2023f n ＜的n 的最大值为6.21．已知集合A 满足以下条件：①1A ∈；②若a A ∈A .(1)求证：集合A 至少有3个元素；(2)若集合R M A =ð，写出属于集合M 的两个元素，并说明理由.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由已知条件可得，1A ∈时，有2A -2A ∈，所以集合A 至少有3个元素（2无意义时，可得3A ∉，3A -∉，故属于集合M 的两个元素是33-.【详解】（1）证明：由1A ∈(2A =-∈，)22A -+=∈，1,A =∈ ，周而复始，故由题意易得集合A 至少有3个元素.（2）当a =A ；=a =，即当a =A =，故A .故属于集合M 的两个元素是33-.22．已知函数()22f x x ax =-，()3g x ax a =+-，R a ∈．(1)若对R x ∀∈，()()0f x g x +>，求a 的取值范围；(2)若对R x ∀∈，()0f x >或()0g x >，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()6,2-(2)(),3-∞【分析】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；（2）根据a 的取值分情况讨论即可求解.【详解】（1）由题意可得()()230f x g x x ax a +=-+->恒成立，则()()24130a a ∆=--⨯⨯-<即()()2412620a a a a +-=+-<，解得62a -<<，故a 的取值范围为()6,2-.（2）当0a =时，()2f x x =，()30g x =>，符合题意；当a<0时，由()220f x x ax =->，解得2x a <或0x >，故当20a x ≤≤时，()30g x ax a =+->恒成立，而()g x 在R 上为减函数，故只需()030g a =->，而由a<0，得30a ->，故a<0符合题意；当0a >时，由()220f x x ax =->，解得0x <或2x a >，故当02x a ≤≤时，()30g x ax a =+->恒成立，而()g x 在R 上为增函数，故只需()030g a =->，解得0<<3a ，综上a 的取值范围是(),3-∞．。