新教材高一数学——第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(作业设计)

二次函数与一元二次方程、不等式教学设计课题名称二次函数与一元二次方程、不等式姓名学校年级教材版本人教版A版一、教学目标1.使学生能够运用一元二次方程以及二次函数图像、性质解决实际问题。

2.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。

3.激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

二、教学重难点重点：一元二次不等式的应用。

难点：一元二次方程的根的情况与二次函数图像与x轴的位置关系的联系，数形结合的运用。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程一、导入（复习导入）师生活动复习解一元二次不等式步骤：1、a变正，（二次项系数化为正数）2、判别式。

（利用一元二次方程，求出判别式的值）3、求根。

（根据判别式情况求出一元二次方程的根）4、画草图。

（利用二次函数绘制图像）5、求解集。

（根据数形结合的思想求不等式解集）复习上节课所学内容，检测学生学习情况。

二、新指探究利用一元二次不等式求解实际问题。

【例1】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下关系：y=−2y2+220y若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用整条流水线生产x辆摩托车，根据题意得：−2y2+220y>6000移项整理，得：y2−110y+3000<0对于方程y2−110y+3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根y1=50，y2=60画出二次函数y=y2−110y+3000的图像（图2.3-6），结合图象得不等式y2−110y+3000<0的解集为{y|50<y<60}，从而原不等式的解集为：{y|50<y<60}。

第1课时二次函数与一元二次方程、不等式冏课前自主预习・__________________________________ __ _ _______ E］学习目标-M BM I a^^Bi !^^B I1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法.E］要点梳理1.一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2 + bx+ c>0或ax2 + bx + c<0,其中a, b, c均为常数，a乒0.2.二次函数的零点一般地，对于二次函数y= ax2 + bx+ c,我们把使ax2 + bx+ c= 0的实数x叫做二次函数y= ax2+ bx+ c的零点.温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标.(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间.（2）对于二次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解.思考诊断I IBM1.二次方程x2— x-6 = 0的根与二次函数y= x2— x-6的零点有怎样的关系？［答案］方程x2— x— 6= 0的判别式△ = 1 — 4 - 1 • （— 6） = 25>0,可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x1 = —2, x = 3.所以二次函数有两个零点：x1=—2, x2= 3.所以二次方程的根就是二次函数的零点2.画出二次函数y = x2—x —6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2— x—6>0及x2— x — 6<0的解集吗？［答案］二次函数y = x2— x- 6的图象如图，观察函数图象可知：当x<—2,或x>3时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x2—x — 6>0的解集为{x|x<—2或x>3};当一2<x<3 时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x2—x- 6<0;所以，不等式x2—x —6<0的解集是{x| — 2<x<3}3.判断正误(正确的打“挪，错误的打“X”)(1)mX —5x<0是一元二次不等式.( )(2)若a>0,则一元二次不等式ax2 +1>0无解.( )(3)若一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的两根为x i, X2(x i<X2)，则一元二次不等式ax2 + bx + c<0 的解集为{x| x i<x<x2}.( )⑷ 不等式x2—2x+ 3>0的解集为R.( )［答案］(1) X (2) X (3) X (4) V题型一一元二次不等式的解法【典例1】解不等式：(1)2 x2-3x- 2>0;(2)— 3x2 + 6x— 2>0;一、 2 ，一(3)4 x — 4x + 1V 0;…2⑷ x — 2x+ 2>0.［思路导引］先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.2 1［解］(1)万程2x — 3x— 2= 0 的解是XI=—x2= 2.因为函数是开口向上的抛物线, 所以不等式的解集是x x <— 2或x >2⑵不等式可化为3x 2— 6x+ 2<0.-2x + 2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为 R解一元二次不等式的一般步骤(1) 通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2) 计算对应方程的判别式；⑶求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.［针对训练］1.解下列不等式：因为3x 2- 6x + 2= 0的判别式 △ = 36-4X 3X 2= 12>0,所以方程23x — 6x + 2= 0 的解是 xi = 1 —季,x2= 1 + 半.因为函数y = 3x 2— 6x + 2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是x1-奈x <1 + 乎212⑶方程4x — 4x+ 1 = 0的解是x1 = x2=板，函数y= 4x — 4x+ 1是开口向上的抛物线,1所以原不等式的解集是x x = 2... 2 2 2(4)因为x — 2x+ 2= 0的判别式 △ <0,所以万程x — 2x + 2= 0无解.又因为函数y = x，八 2 . _ 一(1)—x + 7x>6;(2)(2 —x)( x + 3)<0;2(3)4(2 x — 2x+ 1)>x(4 —x).［解］(1)原不等式可化为x2- 7x+ 6<0.解方程x2—7x + 6= 0 得，xi= 1, x2= 6.结合二次函数y= x2—7x + 6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}.⑵ 原不等式可化为(x — 2)( x + 3)>0.方程(x— 2)( x + 3) = 0两根为2和一3.结合二次函数y= (x —2)( x + 3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<—3或x>2}.⑶ 由原不等式得8x2—8x+4>4x — x2...•原不等式等价于9x2 - 12x+ 4>0.......2―一 (2)解方程9x — 12x + 4= 0,碍X I = x2 =—.3…，― 2 2结合二次函数y= 9x—12x+ 4的图象知，原不等式的解集为x x乒三3 题型二三个“二次”关系的应用【典例2】已知关于x的不等式x2+ ax+ b<0的解集为｛x|1<x<2｝,求关于x的不等式bx2 + ax+ 1>0 的解集.［思路导引］由x2 + ax+ b<0的解集为｛x|1<x<2｝，可知1,2是方程x2+ ax + b= 0的两根，可求出a, b的值，从而得解.［解］x2+ ax+ b<0 的解集为｛x|1<x<2｝,... 1,2 是x2+ ax+ b= 0 的两根.—a = 1 + 2, a= — 3,由韦达定理有得b= 1x 2, b= 2,代入所求不等式bx2 + ax+1>0,得2x2— 3x + 1>0.,-2 - ___ 1,、.由2x — 3x + 1>0? (2x — 1)( x —1)>0? x<2或x>1.•■- bx2 + ax+ 1>0 的解集为x x<2或x>1(1)一元二次不等式ax2 + bx+ c>0(a乒0)的解集的端点值是一元二次方程ax2 + bx+ c = 0的根，也是函数y= ax2 + bx+ c的图象与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y = ax2 + bx+ c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2+ bx+ c>0的x ........ .__ , , …、…、… 一. …. 2 ……、的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax + bx+ c<0的x的值构成的，二者之间相互依存、相互转化.［针对训练］2.不等式ax 2+ bx+ 2>0的解集是x | — 1<x <1，贝U a- b 的值为()23A. 14 B . — 14 C . 10 D . — 10［解析］不等式ax 2+ bx+ 2>0的解集是x | 一 ；<x <3，可得一2, 3是一元二次方程 ax 2+ bx +2=0的两个实数根，.1.1 b 1,1 2 ..—2+ 3=—a -2x 3=a解得 a=— 12, b=— 2,a-b=- 12-( -2) =— 10,所以D 选项是正确的.［答案］D题型三含参数的一元二次不等式的解法【典例3】 解关于x 的不等式x 2— ax — 2a 2<0(a£ F).［思路导引］ 先求出方程x 2— ax — 2a 2 = 0的两根x 1 = 2a, x2= — a,再通过比较2a 与一 a 的大小写出不等式的解集.［解］原不等式转化为(x — 2a )( x+ a )<0，对应的一元二次方程的根为 a .① 当2a >— a,即a >0时，不等式的解集为 {x | — a <x <2a }； ② 当2a=— a,即a= 0时，原不等式化为 x 2<0,无解；③ 当2a <一 a,即a <0时，不等式的解集为 {x |2 a <x <— a }.；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x < — a }.解含参数的一元二次不等式时(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;(2) 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 △进行讨论；(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.［针对训练］3.解关于x 的不等式ax 2—(a+ 1)x+ 1<0.［解］①当a= 0时，原不等式即为一x+ 1<0,解得x >1.x1= 2a, x2=—综上所述，当a >0时，原不等式的解集为 {x | — a <x <2a }；当a= 0时，原不等式的解集②当a<0时，原不等式化为x-- （x— 1）>0，解得a1x<-或x>1.a③当a>0时，原不等式化为x—1（x- 1）<0.a若a= 1,即1时，不等式无解；a若a>1,即1<1时，解得1<x<1;a a若0<a<1,即->1 时，解得1<x<1.a a1 ,、综上，当a<0时，不等式的解集为x xy或x>1 ；a当a = 0时，不等式的解集为{x| x>1}；…―,…、,1当0<a< 1时，不等式的解集为x 1<XL；a当a= 1时，不等式的解集为？；1当a>1时，不等式的解集为x a<x<1 .课堂归纳小结1.解一元二次不等式的一般步骤是：（1）化为标准形式；（2）确定判别式△= b2—4ac的符号；（3）若0,则求出该不等式对应的二次方程的根；若△ <0,则对应的二次方程无根；（4）联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，1 .不等式一x2—5x + 6<0的解集为（）A. {x|xA6 或x< - 1}B. {x| — K x<6}C. {x| — 6< x< 1}D. {x|xv— 6 或x> 1}［解析］由一x2—5x + 6V0 得x2 + 5x — 6>0,即（x + 6）（ x— 1） >0,•■- x>l 或x< — 6.则可立即写出不等式的解集（在两根之内或两根之外）.2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用.3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对的讨论.［答案］D2.一元二次方程ax2 + bx+ c = 0的根为2, —1,则当a<0时，不等式ax2+ bx+ c>0 的解集为( )A. {x|x<—1 或x>2}B. {x|xv—1 或x>2}C. {x| — 1<x<2}D. {x| — 1< x< 2}［解析］结合二次函数y= ax2 + bx+ c(a<0)的图象可得{x| -1< x<2},故选D.［答案］D3.若不等式ax2 + 8ax + 21<0的解集是{x| — 7<x<- 1},那么a的值是( )A. 1 B . 2C. 3 D . 4221 ［解析］由题可知一7和一1为ax + 8ax+ 21 = 0的两个根，.••一7X ( — 1) = —, a= 3.［答案］C4.不等式x2— 4x+ 5AO的解集为 .［解析］I，△ = ( — 4) 2 — 4X 5= — 4<0, 不等式x2- 4x + 5>0的解集为R.［答案］R5.当a>- 1时，关于x的不等式x2 + (a- 1)x-a>0的解集是.［解析］原不等式可化为(x+ a)( x — 1)>0 ,方程(x+ a)( x — 1) = 0的两根为一a, 1,.• a>-1,•■- - a<1,故不等式的解集为{x|x<—a或x>1}.［答案］{x|x<—a 或x>1}课后作业(十三)复习巩固一、选择题1.已知集合岬{x| —4<x<2} , N= {x|x2—x-6<0}，则"N=( )A. {x| — 4<x<3} B . {x| —4<x<- 2}C. {x| — 2<x<2} D . {x|2<x<3}［解析］由题意得N= {x| x2- x-6<0} = {x| — 2<x<3},所以"N= {x| — 2<x<2},选C.［答案］C2.已知集合M= {x| x2 — 3x— 28V 0}, N^ {x| x2—x — 6>0}，贝U " N为( )A. {x| - 4< x<—2 或3<xv 7}B. （x | — 4<x< - 2 或 3< x <7}C. （x | x< — 2 或 x >3}D. {x |x <— 2 或 x>3}2［解析］岷{x | x — 3x — 28V 0} = {x | — 4< x< 7}, N^ {x | x 3— x — 6>0} = {x | x < — 2 或 x >3},W 4 {x | — 4< x <- 2 或 3<x< 7}. ［答案］A 3.不等式x 2— px-q <0的解集是{x |2< x <3}，则不等式qx 2— px-1>0的解是（）［答案］5.若不等式ax 2— x-c >0的解集为{x | — 2<x <1},则函数B. x - ；<x<-!2 311C. x -<x<-D.{x | x <2或x >3 }［解析］易知方程x 2— px — q= 0的两个根是2,3.2+ 3 = p, p= 5, 由根与系数的关系得解得2x 3= — q,q= — 6,不等式 qx 2— px — 1>0 为—6x 2— 5x — 1>0,11解碍—5<x <一［答案］B4.若 0<a <1,不等式（a —x ） x —1 >0 a的解集是（1A. x a <x <一aB.1_<x <aa1C. x x >a 或x<-aD.1 x <a 或xk a［解析］ 不等式（a — x ） x —l >0 化为（x — a ） x —- a r<0, 一、， ,, 1…… 因为 0<a <1,故a <-,解集是 ay= ax 2— x — c 的图象为（）C D［解析］因为不等式的解集为{x| — 2<x<1},所以a<0,排除G D;又与坐标轴交点的横坐标为一2,1 ,故选B.［答案］B二、填空题6.设集合A= {x|( x — 1) 2<3x + 7, x€ F},则集合An Z中有个元素.［解析］由(x — 1)2<3x + 7,解得一1<x<6,即A= {x| —1<x<6}，则An Z= {0,1,2,3,4,5} ,故AD Z共有6个元素.［答案］67.方程x2+(nv 3)x +咛0的两根都是负数，贝U m的取值范围为 .2△ = mv 3 — 4m^ 0,［解析］x〔 + x2= 3 —m<0,xx = m>0,m>9.［答案］{mm^ 9}8.若关于x的不等式ax2— 6x + a2>0的解集为{x|1<x<n}，则a=,m^［解析］可知1, m是方程ax2—6x + a2= 0的两个根，且a<0,61 + m^- a=— 3 a= 2••- a解得或(舍去).m^- 3 m^21 x m^ a［答案］一3 —3三、解答题9.解不等式：0V x2— x-2< 4.［解］原不等式等价于{x2— x— 2> 0, x2— x — 2< 4.2解x -x— 2>0,得x<- 1 或x>2;解X2—x-2<4,得—2V x< 3.所以原不等式的解集为{x|xV— 1或x>2} A { x| — 2< x< 3} = {x| — 2< x< — 1或2< x< 3}.10.解关于x的不等式x2—3ax- 18a2>0.［解］将x2—3ax- 18a2>0 变形得(x-6a)( x+ 3a)>0 ,方程(x- 6a)( x+ 3a) = 0 的两根为6a, —3a,所以当a>0时，6a>- 3a,原不等式的解集为｛x|x< —3a或x>6a｝；当a = 0时，6a=— 3a= 0,原不等式的解集为｛x|x丰0｝;当a<0时，6a<—3a,原不等式的解集为｛x|x<6a或x> —3a}. 综合运用11.不等式mx— ax—1>0(m>0)的解集可能是( ). —1 A. X I x<- 1 或x>-4 B. RC. x| - 1<x<33 2D. ?［解析］因为△ = a2 + 4m>0,所以函数y= mx- ax—1的图象与x轴有两个交点，又m>0, 所以原不等式的解集不可能是 B C、D,故选A.［答案］A12.关于x的不等式ax— b>0的解集是(1 , +°°),则关于x的不等式(ax+ b)( x—3)>0的解集是( )A.{x| x<- 1 或x>3 }B. {x| —1<x<3}C. {x|1<x<3}D. {x| x<1 或x>3}［解析］由题意，知a>0,且1是ax— b= 0的根，所以a = b>0,所以(ax+ b)( x—3)= a(x+ 1)( x — 3)>0 ,所以x<- 1或x>3,因此原不等式的解集为｛x| x<—1或x>3｝.［答案］A13.关于x的不等式x2— 2ax- 8a2<0(a>0)的解集为{X|X I<X<X2}，且x2 —X I = 15,则a=( )5 A.27 B.215C H 15D.E［解析］由条件知XI,x2为方程x2— 2ax- 8a2= 0 的两根，贝U XI + x2= 2a, xx=— 8a2.2 2 2 2 2 2 5由(x2 —X I) = ( XI + X2)—4X I x2 = (2 a) — 4x ( —8a ) = 36a = 15 ,解得a= ~.［答案］A14.已知 A= {x |x 2— 3x+2<0}, B= {x |x 2— (a+ 1)x + a<0},若 A B,贝U a 的取值范 围是.匚一・ 一 _ _2 _ -一［解析］ A= {x | x — 3x + 2< 0} = {x |1 < x< 2}; 当 avi 时，B= {x | a<x< 1}, A B 不成立； 当 a >1 时，B= {x |1 < x<a},若 A B,须 a >2.［答案］a >215 .若不等式ax 2 + bx + c >0的解集为{x | — 3<x <4},求不等式bx 2 + 2ax — c — 3b <0的解， .__2…， ，、 - __ - 一 一 、 一一2［解］ 因为不等式ax + bx+ c >0的解集为{x | — 3<x <4}，所以a <0,且—3,4是方程ax+ bx + c= 0的两根.c , b —3 + 4= — —, a 由根与系数的关系，得一 .c —3X4= 一，a所以不等式bx 2 + 2ax — c — 3b <0,2即为—ax + 2ax+15 a <0. 因为一a >0,两边同除以一a,所以 x 2— 2x- 15<0，令 x 2— 2x- 15= 0,则△ = 64>0，且XI =— 3,x 2 = 5是方程的两个根，故所求的不等式的解集为 {x | — 3<x <5}.1x a <x <一 a所以b= — a,c= — 12a,。

学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。

教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。

通过定义辨析，引导学生熟练掌握一元二次不等式特征，提高学生数学抽象的核心素养.】(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.当x ＜2 或x ＞10时，图像在x 轴上方，y ＞０，即x 2-12x+20>0；当2<x ＜10时，y <０，即x 2-12x+20<0；故一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0的解集是{x|2＜x ＜10}.求解一元二次不等式x 2－12x ＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a <0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．一元二次不等式的解法】先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.21225600.2 3.56x x x x y x x -+=∆>===-+解：对于方程，因为，所以它有两个实数根解得，画出二次函数的图象，如下图，256{|}023.x x x x x -+><>结合图象得不等式的解集为，或2122961001.3961x x x x y x x -+=∆====-+解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得画出二次函数的图象，如下图，29610{|}1.3x x x x -+>≠结合图象得不等式的解集为22230.80230.x x x x -+<∆=-<∴-+=解：不等式可化为，方程无实数根223y x x =-+∅画出二次函数因此，原不等式的解集为。

二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。

3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。

【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。

类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察。

研探。

二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。

2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。

高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ? ?预习小测 自我检验1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4<0；②x 2＋mx －1>0；③ax 2＋4x －7>0；④x 2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x (2－x )>0的解集为________． 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x －2)<0，∴0<x <2. 3．不等式4x 2－9<0的解集是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.4．已知一元二次不等式ax 2＋2x －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a <－1}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋4a <0，∴a <－1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式：(2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b 2－4ac ；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0；解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为?.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512.所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a.①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为?；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练3 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集；(2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0?⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，①当0<a <1时，a <1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) C ．?答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得a ＝4，b ＝－3；所以b a＝(－3)4＝81.故选B. 3．不等式x 2－2x >0的解集是( ) A ．{x |x ≥2或x ≤0} B ．{x |x >2或x <0} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2－2x >0，即x (x －2)>0， 得x >2或x <0，故选B.4．不等式x 2－3x －10<0的解集是________． 答案 {x |－2<x <5}解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2,5，故x 2－3x －10<0的解集为{x |－2<x <5}． 5．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________________． 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0，又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( )A ．5B ．－5C ．－25D ．10答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根，∴－1＋3＝b 5，－3＝c 5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是() A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B.6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________．答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2.7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________．答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2，则m 的取值范围是________．答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，1m <2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B .(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3，∴A ＝{x |－1<x <3}．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2. ∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0，∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3. ∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32. ∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－25x＋5>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．① B．② C．③ D．④答案C解析①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( ) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}答案B解析根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．13．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．答案2≤a<3解析若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，∴a＝2满足条件，若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得2<a<3，综上有a的取值范围是2≤a<3.14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.15．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a －1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32. 16．已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.解 ∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为?；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。

必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。

从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。

同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。

学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。

教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。

①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。

思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。

一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。

教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。

2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。

3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。

二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。

难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。

提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。

这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。

明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。

2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。

一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。

一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。

强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。

二次函数与一元二次方程、不等式教案新人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式【素养目标】1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理) 6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．二次函数与一元二次方程、不等式一、必备知识·探新知基础知识知识点1：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.一元二次不等式的一般形式是：_________________________或_________________________.知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系思考2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ0的解集为R.( )(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x10的解集为∅.(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x11或x0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－30.[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．【对点练习】❶不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.题型二三个“二次”的关系例题2：已知不等式ax2－bx＋20.[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4[归纳提升] 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a0)，一根(Δ＝0)，无根(Δx2，x1＝x2，x10.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.[对应学生用书P24]知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx ＋c＜0.[微思考]不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅[微体验]1．不等式(1－x )(3＋x )＞0的解集是( ) A ．{x |－3＜x ＜1} B ．{x |x ＜－3或x ＞1} C ．{x |－1＜x ＜3}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}A [不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1.] 2．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是________．解析 由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}．答案 {x |x ＞5或x ＜－1}3．不等式－3x 2＋5x －4＞0的解集为________.解析 原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅.答案 ∅4．二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________．解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.答案 a ＜－1[对应学生用书P 25]探究一 一元二次不等式的解法求不等式4x 2－4x ＋1＞0的解集．解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. [变式探究] 将本例不等式变为：－x 2＋2x －3＞0，求解此不等式的解集． 解 不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 方程x 2－2x ＋3＝0无实数解， 而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集是∅. [方法总结]解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． 第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． 第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．[跟踪训练1] 求下列一元二次不等式的解集． (1)x 2－5x ＞6；(2)－x 2＋7x ＞6. 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}． 探究二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．解 由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2. ∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. [方法总结]应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．[跟踪训练2] 已知不等式ax 2－bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值． 解 方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三 一元二次不等式的实际应用问题某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解 设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)， 则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0， 即(x －600)(x －100)≥0，解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]． [方法总结]一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．[跟踪训练3] 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问谁超速行驶应负主要责任．解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲 ＞12， 解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10. 解得x 乙＜－50或x 乙＞40.由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km /h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．[对应学生用书P 26]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)与ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0与ax 2＋bx ＋c ＜0的二次项系数a ＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．课时作业(十) 二次函数与一元二次方程、不等式[见课时作业(十)P 145]1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13A [变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [通解：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 优解：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}．] 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}D [由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.]4．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x | x ＜－2或x ＞1}D ．{x |－1＜x ＜2}B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故不等式的解集是{x |－2＜x ＜1}．]5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由条件知25x －y ＝25x －3 000－20x ＋0.1x 2＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，即x 2＋50x －30 000≥0. ∴(x ＋200)(x －150)≥0. 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．]6．不等式ax 2＋bx ＋12＞0的解集为{x |－3＜x ＜2}，则a －b ＝________.解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－3＋2＝－b a ，－3×2＝12a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a －b ＝0. 答案 07．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．解析 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.答案 (－∞， 1]8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________． 解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0＜m ≤1.答案 0＜m ≤19．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．10．关于x 的不等式mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 ①若m ＝0，则问题等价于－6＜0对x ∈R 恒成立，显然成立．②若m ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，(－m )2－4m (m －6)＜0.解得m ＜0.综上所述，所求m 的取值范围是m ≤0.1．不等式mx 2－ax －1＞0(m ＞0)的解集可能是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13＜x ＜32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m ＞0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m ＞0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ．]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＜0x 2－3x ＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜10＜x ＜3，∴0＜x ＜1.] 3．设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0的解集为________． 解析 因为a ＜－1，所以a (x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，所以1a＞a ，所以x ＞1a或x ＜a .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 或x ＞1a 4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为________．解析 日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }5．解关于x 的不等式(a ∈R )：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为 (x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．6．(拓广探索)某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2.从函数观点看一元二次不等式。

经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。

能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。

3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

二、教学重难点1.判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。

三、教学过程从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。

可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。

通过梳理初中数学的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。

1.一元二次不等式的概念1.1创设情境，引发思考二次函数与一元二次方程、不等式在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好地解决相关问题对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢? 问题1：【数学情境】园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的20m,则这个矩形的边长为多少米？矩形区域的面积要大于2【设计意图】通过实际问题，让学生感受“求不等式”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.同时引发学生思考.1.2探究典例，形成概念问题2： 【数学情境】在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？【活动预设】通过图象解决不等式求解问题，分析二次函数与一元二次函数不等式之间的关系【设计意图】从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。

二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。

【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次不等式的解法：（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q 时，若（x－p）（x－q）>0，则x>q或x<p；若（x－p）（x－q）<0，则p<x<q．有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0表示二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0，图象在x 轴的上方；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．含参数一元二次不等式求解步骤（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向； （2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数； （3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 解不等式应用题的四步骤：（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． （2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． （3）求：解不等式． （4）答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 三、学业达标1．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-2．如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），△AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知R x ∈，则“202x >-”是“24x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充要条件D ．必要不充分条件4．不等式()()5326x x +-≥的解集是（ ）A ．{5xx -∣或32x ⎫⎬⎭ B ．352x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣C ．{1xx ∣或92x ⎫-⎬⎭D ．912xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣ 5．若命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．((),22,-∞-+∞B ．-⎡⎣C ．(),22,⎡-∞-+∞⎣D ．(-6．设函数22()223f x x ax a a =++-+，若对于任意的x ∈R ，不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a ≥B ．2a ≤C ．322a <≤D ．32a ≤7．若不等式()()20ax x b --≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．0a >，12ab =B ． 0a >，2ab =C ．0a >，2a b =D ．0a >，2b a =8．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭。

《二次函数与一元二次方程、不等式习题课》教学设计教学重点：一元二次不等式的解及应用．教学难点：一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者之间的关系．PPT 课件．一、复习回顾问题1：二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系是怎样的？请你默写． 师生活动：学生默写，之后互批答．案略．设计意图：通过默写复习基本知识，师生掌握学情，为后续学习扫清障碍。

二、典例分析1．一元二次不等式的解法例1 求不等式()()032>--x x 的解集．问题1：这个不等式和一元二次不等式有什么关系？如何求解？师生活动：师生一起分析，将(x -2)(x -3)＞0展开后，是一元二次不等式，画出二次函数()()32652--=+-=x x x x y 的图象，结合图象得不等式()()032>--x x 的解集{}32|><x x x 或．追问1：你能总结()()0>--b x a x 或()()0<--b x a x ，其中a ＜b 的解集吗？ 师生活动：学生自己总结反思，写出结论．A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<m x m x 1| B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<m x m x 1| C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>m x m x x 或1| D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><m x m x x 或1| 设计意图：考查学生对含参一元二次不等式解法的掌握情况．2．已知一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为{}32|<<x x ，则不等式02<++a bx cx 解集为_____．设计意图：考查学生对一元二次不等式逆向问题求解方法的掌握．3．若集合{}φ=<+-=02|2ax x x A ，则实数a 的取值范围是___________． 设计意图：本题考查了一元二不等式的解法、集合包含关系判断及应用．4．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围_______．设计意图：考查一元二次不等式的解集与判别式的关系，以及分类讨论思想和计算能力．5．关于x 的不等式()221x ax <-恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是_________． 设计意图：此题考查含参的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，及对分类讨论掌握情况．参考答案：1．解：因为10<<m ，所以m m 11<<，不等式()01<⎪⎭⎫ ⎝⎛--m x m x 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<m x m x 1|． 2．解：已知不等式可知0<a ，且2和3是方程02=++c bx ax 的两根，由根与系的关系可知，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=-3232ac a b ，解得a c a b 6,5=-=，所以不等式02<++a bx cx 可以化为0562<+-a ax ax ，因为0<a ，不等式01562>+-x x ，解得⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2131|x x x 或． 3．解：集合{}φ=<+-=02|2ax x x A ，则不等式022<+-ax x 无解，所以()02142≤⨯⨯--=∆a ，解得2222≤≤-x ，所以实数a 的取值范围是[]2222，-． 4．解：①当042=-a ，即2±=a ．当2=a 时，不等式01)2()4(22≥--+-x a x a 化为01≥-，其解集为空集，因此2=a 满足题意；当2-=a 时，不等式01)2()4(22≥--+-x a x a 化为014≥--x ，即41-≤x ，其解集不为空集，因此2-=a 不满足题意，应舍去． ②当042≠-a ，即2±≠a 时．因为关于x 的不等式01)2()4(22≥--+-a x a 的解集为空集， 所以⎩⎨⎧<∆<-0042a ，解得265<<-a ． 综上可得：a 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛-2,65． 5．解：由题()221x ax <-恰有2个整数解， 即[][]01)1(1)1(0)1(22<---+⇔<--x a x a x ax 恰有2个整数解， 所以0)1)(1(>-+a a ，即11-<>a a 或．当1>a 时，不等式解为1111-<<+a x a ， 因为)21,0(11∈+a ，恰有两个整数解，即：1，2，所以33122,3112-≤<-≤-<a a a ，解得：2334<≤a ； 当1-<a 时，不等式解为1111-<<+a x a ， 所以)0,21(11-∈-a ，恰有两个整数解，即：-1，-2， 所以)1(31)1(2,2113+-≤<+--<+≤-a a a ，解得：3423-≤<-a ， 综上所述：34232334-≤<-<≤a a 或．。

《一元二次不等式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应达到以下目标：1. 熟练掌握一元二次不等式的解法；2. 能够应用一元二次不等式解决实际问题；3. 培养数学思维能力和解决问题的能力。

二、作业内容1. 基础练习：（1）请写出几个一元二次不等式，并求出它们的解集；（2）请总结一元二次不等式的解法，包括因式分解和求根公式等；（3）请运用一元二次不等式解决一些实际问题，如“某商场的销售额不高于250万元，不低于200万元，求销售额的取值范围”。

2. 提高练习：（1）求一元二次不等式(x+3)(x-5) > 0的解集；（2）请讨论一元二次不等式ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的解集与对应的一元二次方程根的关系；（3）已知不等式(x-m)(x-1) > 0对一切x都成立，求实数m 的取值范围。

三、作业要求1. 独立完成：请学生独立完成作业，不要抄袭；2. 认真思考：请学生认真思考问题，寻求解题思路；3. 逐步提高：请学生逐步提高解题难度，培养数学思维能力。

四、作业评价1. 请学生自我评价：本次作业完成情况，包括正确率、解题速度和解题方法等；2. 教师评价：对学生的作业进行批改，对优秀作业进行展示，对普遍错误进行集中讲解；3. 反馈交流：与学生交流作业中存在的问题和不足，提出改进意见和建议。

五、作业反馈通过作业反馈，可以了解学生对一元二次不等式的掌握情况，发现教学中存在的问题和不足，从而不断改进教学方法和手段，提高教学质量。

同时，学生也可以通过反馈了解自己的不足之处，有针对性地进行学习和提高。

总之，本次作业旨在帮助学生掌握一元二次不等式的解法，提高数学思维能力和解决问题的能力。

通过独立完成作业、认真思考和逐步提高，学生可以更好地掌握数学知识，为以后的数学学习和实际应用打下坚实的基础。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固一元二次不等式的解法；2. 强化学生对一元二次不等式解集的理解和应用；3. 提高解决实际问题的能力。

二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）学习目标：1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，会判断一元二次函数；2.借助二次函数的图像，会解一元二次不等式. 学习重点：解一元二次不等式 . 学习难点：三个二次的关系 【学习过程】知识点1 一元二次不等式的概念问题1.园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米?（1）与一元一次不等式类比（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1），说出这个不等式的特点.（2）类比一元一次不等式， 给这个不等式起个名；类比一元一次不等式一般形式写出这类不等式的一般形式. 对点练习1.给出下列不等式(,,a b c ∈R )：①230x y +>；②22ax >；③3340x x -+≤；④2340x y -≥； ⑤20ax bx c ++<；⑥22(1)10a x +->；⑦230x x ++<．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) （3）画出二次函数y ＝x2－12x ＋20的图象，并在图像上任取一点p （x ，y ），移动点P ，观察随点P 的移动，并说出它的纵坐标符号变化情况.（4）从上面画图过程中发现一元二次方程x2－12x ＋20=0的实数根就是二次函数y ＝x2－12x ＋20图像上纵坐标为0的点的横坐标，这个结论可以推广到一般吗？ 知识点2 二次函数的零点阅读教材51页第一段，说出什么是二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的零点；二次函数y ＝x2－12x ＋20零点是什么？对点练习2.已知二次函数y =−x 2+3x +4的零点为 ．（5）观察二次函数y ＝x2－12x ＋20零点将x 轴分成三段，说出每一段对应函数图像有什么特征？函数值有什么特征？（6）观察从函数y ＝x2－12x ＋20图像写出不等式 x2－12x ＋20＜0 的解集. 知识点3 解一元二次不等式的步骤（7）根据上述过程总结出解不等式 x 2－12x ＋20＜0的步骤. 知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系例（1）x 2－5x ＋6＞0 （2）9a 2－6a ＋1＞0 （3） m 2－6m ＋10＜0 （4）－k 2＋2k －3＜0 例2.若x 2﹣（a +1）x +b ＜0的解集是{x |﹣5＜x ＜2}，则a +b 等于（ ） A ．﹣14 B ．﹣6 C ．6 D ．14巩固练习：1. 求下列不等式的解集：（1）()()230x x +->； （2）23710x x -≤； （3）2440x x +-<； （4）2104x x -+<； （5）223x x -+≤-； （6）2340x x -+>. 2. 当自变量x 在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0? (1)2362y x x =-+; (2)225y x =-;(3) 2610y x x =++; (4)231212y x x =-+-. 3.x 是什么实数时,下列各式有意义?(1)√x 2−4x +9; (2)√−2x 2+12x −18.。

《一元二次不等式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握一元二次不等式的基本概念及其解法；2. 能够运用一元二次不等式解决实际问题；3. 培养数学思维能力和解决问题的能力。

二、作业内容1. 基础练习：（1）请列举几个一元二次不等式实例，并尝试解出其解集。

（2）请说明一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系。

（3）请用数轴标根法或因式分解法解一个一元二次不等式，并总结其解法。

2. 提升练习：（1）请根据实际问题设计一个一元二次不等式，并尝试求解。

（2）请比较几个不同类型的一元二次不等式的解集，分析其规律。

（3）请用公式法解一个一元二次不等式，并与数轴标根法或因式分解法进行比较。

3. 探究练习：尝试总结一元二次不等式的解法及其适用范围，并与同学们进行讨论和交流。

三、作业要求1. 独立完成作业：请同学们在规定时间内独立完成作业，不要参考任何其他资料或与他人讨论；2. 认真书写：请同学们在作业中认真书写，包括正确使用数学符号和表述清楚解题过程；3. 按时提交：请同学们在规定时间内提交作业，以便老师及时批改和反馈。

四、作业评价1. 批改方式：老师将采用批改和抽查相结合的方式，对同学们的作业进行批改；2. 评价标准：作业完成情况、解题思路的正确性和完整性、运用数学方法的能力等都是评价的重要标准；3. 反馈内容：老师将根据评价标准，对同学们的作业进行反馈，包括指出错误、给出解题建议和鼓励优秀表现；4. 使用工具：同学们可以使用教科书、笔记本、铅笔等工具进行作业和提交；5. 提醒事项：请同学们注意作业提交的时间和要求，确保按时提交作业并认真对待作业中的每一个问题。

五、作业反馈希望同学们认真对待本次作业，通过完成作业进一步理解和掌握一元二次不等式的基本概念和解法，提高运用数学方法解决实际问题的能力。

同时，也欢迎同学们在完成作业过程中遇到问题时及时与老师沟通交流，以便更好地理解和掌握相关知识。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固一元二次不等式的解法；2. 掌握二次函数与一元二次不等式之间的关系；3. 提高解决实际问题的能力。

作业设计作业涉及教科书版本： r人教版高一年级必修一：作业涉及单元、章节（或主题、任务）：第二章第三节二次函数与一元二次方程、不等式作业设计团队教师姓名（不超过 5 个）：单元、章节（或主题、任务）整体性作业设计思路说明（500 字以内）本单元的主要内容是一元二次不等式的定义，解法和应用，二次函数与一元二次方程，不等式的联系。

首先通过从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，体会一元二次不等式的实际意义，进而掌握一元二次不等式的定义；在由具体的二次函数，通过数形结合，分析对应一元二次不等式的解集和一元二次方程的根，由特殊到一般，从中找到二次函数与一元二次方程，不等式的联系，体会数学的整体性；再借助二次函数求解一元二次不等式，找到一元二次不等式的解法；最后用所学知识解决实际问题，让学生进一步感受一元二次不等式在实际生活中的应用，在求解过程中提升数学运算素养。

使用时段作业内容作业设计设计意图使用者预计时长预估难度系数课前基础性作业现打算围一个矩形花园，若花园的长度为20米，围成的矩形区域面积要大于24平方米，则这个矩形的边长为多少米？经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程同时明确一元二次不等式的定义和一般形式全体学生1分钟0.9发展性作业画出一元二次函数2310y x x=--的图像，观察二次函数图像，写出在x轴上方，在x轴上，在x轴下方的条件通过动手画二次函数图像观察并感受二次函数，二次不等式与一元二次方程三者间的关系，为课堂上学习二次不等式的解法做准备全体学生3分钟0.85课中基础性作业24b ac∆=-∆>0∆<0∆=2(a0)y ax bx c=++>的图像20(a0)ax bx c++=>的根20ax bx c++>的解集20ax bx c++<的解集将具体一元二次方程，一元二次不等式，一元二次函数间的联系推广至一般，并结合图像判断方程的根与不等式的解集之间的关系，体会数形结合和函数思想。