【综合型考题】高三易错考题汇编【辅导考交大、复旦名牌大学讲义设计】

2022年上海交大附属中学高三政治测试题含解析一、选择题（共28小题，每小题2分，共56分。

在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 每逢中秋节，月饼和月饼包装都会成为人们议论的一个热点话题。

安徽的一位网友称：“我们小区的面包店老板介绍，有的一块月饼最多值5块钱，可单卖一个包装盒就40块”，如此月饼包装令人咋舌。

广大网友呼吁国家尽快出台《限制商品过度包装条例》，公众发出此类呼声是因为（）A、好的包装决定商品的价值和价格B、质量好的商品有利于实现其价值C、企业生产的直接目的是为了满足消费者的需要D、消费者购买商品是为了获得其使用价值参考答案：D2. 图1描述的是2009年1—6月某奶制品的市场价格走势，下列对该图理解正确的是①该商品很可能出现供过于求的现象②生产者可能会缩小该商品生产规模③该商品的互补商品需求量会有所增加④该商品的替代商品需求量会有所增加A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③参考答案：B3. 夸美纽斯说：“凡是在知识上有进展而在道德上没有进展的人，那便不是进步而是退步。

”这说明( )A.知识比道德更重要 B．加强知识与道德修养是无止境的C.知识修养的根本意义在于道德修养 D．知识与道德两者相互联系缺一不可参考答案：D解析:本题引用名言，考查知识文化修养与思想道德修养的辩证关系。

4. 免疫系统，是人体和动物健康“防线”，用以抵御细菌和其他微生物。

随着免疫系统疾病的增加，科学家加强了对此项目的研究。

2011年诺贝尔奖评审委员会认定，美法3名科学家“发现免疫系统激活的关键原理，革命性地改变我们大家对免疫系统的理解”。

免疫系统研究的新成果说明（）A.科学家的兴趣是推进免疫系统认识发展的直接动力B.认识的发展根源于社会或专业部门的奖励机制C.实践的需要是推进免疫系统认识的根本动力D.严密的逻辑和长期的研究能确保科研成果的如期成功参考答案：C5. 上海市自2011年1月28日起开展对部分个人住房征收房产税试点。

高考数学常错题集2019-7-9我国的高考经历了艰难的历程，在这些历程中，出现了许许多多成功、优秀的试题，这在国家公布的“评价报告”、“分析报告、“试题分析”等文中已祥有阐述阐述，同时各地的期刊也不时发表许多专家对优秀试题的领悟与见解，这些都对中学教学及考试起了不可忽视的作用另一方面，对于命题者而言，纵观高考试题，可以发现，每换一帮人命题，总有一些“重蹈历史覆辙”的不尽人意的试题，这说明仅仅知晓什么样的试题优秀而去照着这个方向模拟、研究是不够的，还必须知道“有哪些经验教训”；同时由于教师职业正在由单纯的教书向教书育人及身兼研究者进行转化，因此对于中学教师及应试的考生而言，考的内容重在把握命题的“度”，不考的内容也需要一清二楚，而这些又得通过一定的教训及得出的一些经验来启示因此，笔者对历年高考试题进行了分析，搜集而成高考数学败题集高考数学试题随着国家政策的调整几度沉浮，而试题的成败又取决于考后的评价，就评价而言，高考试题走过了越来越受社会关注、越来越受社会评价影响的轨迹：原来的高考试题，社会关注评价比较少，因而试题评价形式以批评与自我批评为主，这一情况延续到1983年，虽然因为文化大革命而中断了些年；之后的1984――1993年，试题评价有了社会人员的参议，但仍然以国家公布的为主；1994年后，由于社会评价的参议，许多评价指标进行了量化（如：难度、标准分、区分度、信度等），又随着社会参与评价幅度的增大， 1999年，国家将评价报告改成“分析报告”，2002年定下“自主招生”的政策；2003年，高考试题进入以省市为主的自主招生阶段，并逐步向“高校自主招生”转移，相应的评价中心也在逐步向参加高考的高中转移，其中的师生逐步成为评价的主角，而这些评价无疑也会影响今后命题方向，同时更直接的影响着平时教学的检测方向及力度 这样，我们就更有必要对高考试题中的败题加以留意总结了一、1983年前的高考数学败题【说明】这一阶段高考数学试题评价是以批评与自我批评为主，因此，我们也就国家公布的没有提及优秀的试题来说明（1951一、13．）系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个 【评析】该题根据实系数复数方程虚数根成对出现得到的结论，但这一结论在当时并没有在大范围的教材中出现（1952二、1 ）解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0可得原方程的四根为：.231,231,2,64321i x i x x x --=+-==-= 【评析】该题分解因式的技巧性过强，多数学生不能完成，竞赛性质太浓1963―5．根据对数表求10123.28-的值解：3670.110128.23lg 10128.23lg 101⨯-=-=-570.8,9330.0lg 9330.1390670.011390670.138________===-+=-=x x .10570.8570.81028.23139139101---⨯=⨯=∴ 【评析】对数值中的139符号，当时是否应该、有必要引入中学还在讨论当中，高考就出现了这样符号 结论：研究及有争议的内容不能在试题中出现1965附加题（1）已知,,a b c 为实数，证明,,a b c 均为正数的充要条件是 000a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程320x px qx r +++=的三根,,αβγ都是实数，证明,,αβγ是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知,0,0,0>>>c b a所以立即可得0>++c b a ，0>++ca bc ab ，.0>abc下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程023=+++r qx px x 的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有,0,0,0>=->++=>++=-abc r ca bc ab q c b a p此即.0,0,0<><r q p 由此即可知三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由0>abc 可知，方程无零根，故.0,0,0>>>c b a（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是.0,0,0<><r q p 于是问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843-> 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有.,,βαγαγβγβα>+>+>+于是.0,0,0>-+>-+>-+βαγαγβγβα由此可得))()((βαγαγβγβα-+-+-+84)842(]8)(4)(2[)2)(2)(2()2)(2)(2(33323>+-=-+--=αβγ+αβ+γα+βγ+γ+β+α+-=γ+β+α+-=γ--β--α--=r pq p r pq p p p p p p p p p p p即r pq p 843-> 条件的充分性：若r pq p 843->，则,0843>+-r pq p .0))()((,0])()[(,0)()()(,0))(()()(,08])(2)()][([,08)222)((,08))((4)(22222223222223>+--+++->--++->---+++->-+--+++->--++--++>----++++>-+++++++-γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβγβααγβγβγβαγβαααβγαγβαγβγβααβγγβαγαβγαβγβααβγγαβγαβγβαγβα此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有.0))((>+--+γβαγβα如果,0,0<+-<-+γβαγβα两式相加得02<a ，即0<α，此与0>α相矛盾 故有,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα此即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ此即γβα,,可作为一个三角形的三条边综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p 【评析】这个试题以附加题形式出现，难度较大，但也不能大到无一人（甚至参加国际数学竞赛的学生）能作上程度 结论：试题不能无线拔高（1977北京文4）不查表求sin1050的值 解：.462)4530sin(75sin 105sin +=︒+︒=︒=︒ 【评析】当时，并没有要求记特殊角三角函数值，所以题虽然不难，但会的人不多（1977年福建理科2（2）题）证明：22cos sin 290().2cos sin 22tg θθθθθ-︒-=+ .)290(tg )90cos(1)90cos(1sin 1sin 1)sin 1(cos 2)sin 1(cos 2:2右边左边证=θ-︒=θ-︒+θ-︒-=θ+θ-=θ+θθ-θ= （1977年河北试题第3题）．证明：sin 2111.1cos2sin 222tg αααα+=+++ 证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边 （1977年上海理科第1（4）题）求证：sin()cos()244cos2sin()cos().44ππθθππθθθ+++=--.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin )4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π= 【评析】这些该题本身不难，但三角证明题几地都出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度 结论：三角证明一般不作为证明题出现（1977年福建理科第3题）在半径为R 的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n 个正六边形的周长之和S n;（2）所有这些正六边形的周长之和S解：如图，半径为R 的圆内接正六边形的周长为6R ，设C 为AB 的中点，连结OC ，OB ，则OC ⊥AB ∴OC=CD=.2360sin R R =︒⋅ 第二个正六边形的周长.236⋅=R 同理可得,)23(62⋅=R 第四第三个正六边形的周长个正六边形的周长,)23(63⋅=R ………… 于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：6R ，.236⋅R ,)23(62⋅R ,)23(63⋅R …,)23(61-⋅n R … BE D O①前n 个正六边形周长的和12)23(6)23(62366-⋅++⋅+⋅+=n n R R R R S ])23()23(231[612-++++=n R .])23(1)[32(12231)23(16R R n n -+=--⋅= ②所有这些正六边形周长的和.)32(1232122316R R RS +=-=-=【评析】从题本身上看，该题是一个好题，但是其答案在全国引起争议——归纳出的结论到底是否要证明是等比数列？即使不证明也要体现有等比数列的过程 从该题对以后影响是，出现了用式子表达等比、等差数列热潮（1977年福建文科第4题）．求抛物线29y x =和圆2236x y +=在第一象限的交点处的切线方程解：解方程组⎩⎨⎧=+=)2(36)1(9222 y x x y （1）代入（2）得,03692=-+x x x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得33=y （仅取正值）， ∴在第一象限的交点为（33,3）从抛物线x y 92=得.29=p∴过点（33,3）的抛物线的切线方程是.09323),3(2933=+-+=y x x y 即 过点（33,3）的圆的切线方程是,36333=+y x 即.0123=-+y x【评析】该题的问题是表述不清：有人认为只求抛物线的切线方程，也有人认为只求圆的切线方程，答案倒认为是求圆和抛物线的方程（1977年黑龙江第2题第（1）问）．计算下列各题：解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时【评析】该题引发了分段表示法的争论，结论，如果是分段出现的，结果一般用分段函数形式给出（1977年江苏第1（5）题）把直角坐标方程22(3)9x y -+=化为极坐标方程解：原方程可展开为θ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x【评析】该题从一般情况下考虑（直角坐标系的原点为极点，x 轴为极轴且长度单位不变），但没有交代清楚一般情况下，以致于该题出现的情况是：一般的学生答的好，程度很高的如参加竞赛的学生反倒没有答好！属于交代不明出现的失误（1977年上海理科第6题）已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为4-P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k 【评析】该题解答有误，应该加上条件(x≠±4，相应曲线为以（±）为焦点、以8为长轴的椭圆，去掉长轴的两个端点)结论：说明轨迹、图形的问题要保证惟一及等价（1979年文科理科第四题）叙述并证明勾股定理 证：略【评析】这个题当时答案是用坐标法的距离公式证明的，但是距离公式是由勾股定理推导出的，因而形成“因为A……所以A”的循环论证错误，而得出一般用拼图法得到；拼图法能否算作证明还在争论中，但当年多数省市按错对待 结论：数形结合的方法得到的结论不能以证明题的形式出现（1980年理科第八题）已知0＜α＜π，证明：2sin 2ctgαα≤并讨论α为何值时等号成立 解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα 而 2sinαsin2α=4sinαcos 2α=4(1-cos 2α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα所以问题又化为证明不等式 (1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0（1+cosα)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cosα-21=0 即α=600【评析】这些该题本身不难，但三角证明题出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度 另一方面，这一答案给出的分析法证明格式也不对，一般分析法证明题格式“要证A ，只要证B”形式，B 是A 的充分不必要条件即可，而不是由A 导出B（1982年文科第七题）已知定点A ，B 且AB=2a ，如果动点P 到点A 的距离和到点B 的距离之比为2∶1，求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：选取AB 所在直线为横轴，从A 到B 为正方向，以AB 中点O 为原点，过O 作AB 的垂线为纵轴，则A 为（-a ，0），B 为（a ，0），设P为（x,y) .033103],)[(4)(.2)()(,1222222222222=++-∴+-=++∴=+-++∴=a y ax x y a x y a x ya x y a x PB PA 因为x 2,y 2两项的系数相等，且缺xy 项，所以轨迹的图形是圆（1983年文科第九题）如图，已知两条直线L 1:2x-3y+2=0,L 2:3x-2y+3=0 有一动圆（圆心和半径都在变动）与L 1，L 2都相交，并且L 1，L 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M解：设圆心M 的坐标为(x,y)，圆的半径为r ，点M 到L 1，L 2的距离分别为d 1,d 2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有.5.)224(,)226(2212222222221=-=+=+d d r d r d 得根据点到直线的距离公式，得.16565)1(.651225)13323(13232(,13|323|,13|232|22222221=-+=-++=+--+-+-=+-=y x y x x y x y x y x d y x d 即化简得得方程代入上式轨迹是双曲线【评析】答案说法有误：说圆应为以…为圆心，以…为为半径的圆,说双曲线说明以…为焦点…为实轴长的双曲线二、1984――1993年高考数学败题【说明】这段时间，考试的目的是考察中学数学的基础知识、基本技能，命题的人员以中学教师为主，为减少败题的出现机率，采取了科研测试方法（科研测试题从1988年暂停,1992年恢复），因此，这一阶段的败题多是不复合教学大纲的试题（1984年理二2）函数20.5log (44)x x ++在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2【评析】该题用到了复合函数单调性，但这一内容在当时教学大纲中明确不要求（1984年理五）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程()log 1d cx xx +=- Y L 1MO X在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c≠0，可得.12c dx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =【评析】该题即从两个层次考查了等价转化，中间又涉及了分类讨论，难度比较大，是一个考查能力的试题，与当时考查“双基”要求不符；结论：考查数学思想从深度及广度同时考查时，不能在某一思想上究得太深（1984年理六2）求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程解：因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即【评析】该题在当时一改习惯于教材上直接法求轨迹方程的步骤，被认为是对教学大纲的偏执理解，没有考查基础知识与基本技能，所以当作一种研究性的材料还可以，并最终诞生了相关点法的应用 至于到了考查能力时，它则又成为一道好题，那是十年之后的事情了！（1984年理七）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，cos 4cos 3A bB a ==，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++= α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72【评析】该题是对知识的大综合，对于学生而言难度较大，而且就1984E O ＇ P （x,y) XO C （0，0） A （8，0）年的高考试题，解答题基本上是题题设防、题题堡垒，从整体上脱离了中学教学的实际（1984年文五）把22411sin 2sin cos 4αβα---化成三角函数的积的形式(要求结果最简）)-)sin(sin( )2sin 2sin 2()2cos 2(2cos)cos )(cos cos (cos cos cos )cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2sin 41)sin 1(:2222224222422βαβ+α=α-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α-β=α+αα-β=α-αα-β=α-α-β-=原式解【评析】当时三角式最简没有明确什么什么样算最简，这一名次的提出具有超前性，对于文科生更感不易，但它引领了一个各种化简结果最简的研究方向 结论：研究方向不能替代仅仅那么一点时间高考试题！（1985年全国文科第四题）证明三角恒等式424232sin sin 25cos cos3cos 2(1cos )4x x x x x x ++-=+证：x x x x x x x cos )cos 3cos 4(cos 5cos sin 3sin 224224--++=左边x x x x x 24224cos 3cos cos sin 3sin 2+++=右边=+=++=+++=x x x x x x x x x 222222222cos 22cos 3cos sin 2cos 3)cos )(sin cos sin 2(【评析】三角证明题不宜作为大题考查，这是几年前的经验，该题重蹈了历史覆辙 1988年的文科数学试题第三题是“证明α-α=αcos 3cos 43cos 3”，1989年全国理科19文、科20题“证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=-”继续重蹈历史覆辙！ （1986年理文科一（6）题）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 答案D【评析】该题仅仅说了甲是乙的充分条件，没有说是否必要，因此该题的叙述不严格 这一不足，在以后命题中加以了改进，并渗透到平时教学中（1988年全国理科、文科一14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）（A ）233197C C 种 （B ）233231973197C C C C +种（C ）55200197C C -种 （D ）5142003197C C C -种 答案B【评析】该题不难，但是用符号而不用数值表示过多的限制了考试的思维，当年引起专家争议随后的再实验，用事实说明了“这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！”（1989年全国理22、文23）已知,1a ,0a ≠>试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解【评析】该题从题本身而言是一个好题，但是该题在当年许多学校已经练习过，作为高考试题，照搬原题是不适当的（1989年上海14）两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同的坐法种数为（ ）A,C 58C 38 B,153288P C C C,5388P C D,38P答案：D【评析】该题是对1988年全国214题的延续再实验，事实说明 “排列组合问题结果这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！而且这种命题从方式上也限制了学生的思维”（1990年全国理科第9题、文科11题）设全集I={(x,y)|x,y ∈R },集合M={(x,y)|312y x -=-, x 、y ∈R },N={(x,y)|y≠x+1, x 、y ∈R }，那么M N ⋃＝（ ）A, ∅ B,{(2,3)} C,(2,3) D,{(x,y)|y=x+1} 【答案】B【评析】该题基本上照搬了1986年上海理科第20题：若全集U={(x,y)|x 、y ∈R },A={(x,y)|123=--x y , x 、y ∈R },B={(x,y)|y=x+1, x 、y ∈R },则U A∩B是（ ）A,U AB,B C,∅ D,{(2,3)}，高考试题照搬应该不是件好事（1991年全国理23题） 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离．∵ BD ⊥AC ， ∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ，∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． 作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离．∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC=2， ∴ AC=42，HO=2，HC=32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG=()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．∴ OK=111122222=⨯=⋅HG GC HO ． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． 【评析】该题作辅助线太多，难度过大，是历年立体几何题少见的难度；但它的出现，将中学教学的“距离”引向以点面距为核心的研究上，就当年而言，此题与考查双基的思想不符（1991年全国理科25题）已知n 为自然数，实数a>1，解关于x 的不等式log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1n -log n a x>1(2)3n--log a (x 2－a)解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n(－2)n －1·na a ax log log =[1－2＋4＋…＋(－2)n－1]log a x =3)2(1n--log a x 故原不等式可化为3)2(1n--log a x>3)2(1n--log a (x 2－a)． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于 log a x>log a (x 2－a)． ②因为a>1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411ax a a x 因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ，所以，不等式②的解集为{x|a <x<2411a++}． 当n 为偶数时，3)2(1n--<0，不等式①等价于log a x>log a (x 2－a)． ③因为a>1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax 因为，，a aa a =>++<+-24241102411 所以，不等式③的解集为{x|x>2411a++}． 综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}； 当n 为偶数时，原不等式的解集是{x|2411ax ++>} 【评析】该题照搬了当年湖北黄冈、河北辛集中学及北京海淀区的模拟试题，包括数值都没有变化（1991年三南高考数学第24题）设函数f(x)=x2+x+1的定义域是[n,n+1]2（n是自然数），那么在f(x)的值域中共有_____________个整数【答案】2n+2【评析】这是当年希望杯数学竞赛的一道数学试题，在高考中出现而且仍然以填空题出现，有照抄之嫌（1992年三南第14题）设数列{a n}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2……a30=230,那么a3a6a9…a30=（）A,210B,220C,216D,215【答】B【评析】该题运算量比较大，也是希望杯竞赛中一个非常类似的题，在还没有将运算能力当作一种能力考查时，出此题显然违背了考查“双基”的初衷三、1994――－2002年高考数学败题【说明】该阶段，高考内容上以《考试说明》为准绳，目的逐步变化成“为大学选拔新生服务的选拔性能力考试”，命题的人员也逐步变化为以高校为主，出台了许多量化指标，该阶段的败题，主要体现为预估难度（考试说明的规定难度）与实际难度（实际分数）不符，这一原因现在多数专家认为是高校教师不了解中学教学的实际所致（1994年全国理文23题）如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC 1为面的二面角α的度数．【解答】(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C交BC 1于E ，则B 1E=EC ．连结DE ．在△AB 1C中，∵AD=DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角．设AC=1，则DC=21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中，DF=DC·sinC=43，CF=DC·cosC=41．取BC 中点G ．∵EB=EC ，∴EG ⊥BC ．在Rt △BEF 中，EF 2=BF·GF ，又BF=BC －FC=43，GF=41，∴EF 2=43·41，即EF=43．∴tg ∠DEF=14343==EF DF ．∴∠DEF=45°．故二面角α为45°．【评析】该题作辅助线太多，难度过大；与当年的大环境有关：一、当年出台《考试说明》，明确数学高考考查的第一能力是计算能力；二、当年形成了立体几何的研究热潮但一次性将能力拔高到这种程度，是考生难于适应的 结果出现与《考试说明》要求不符的实际情况（1994年上海18）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排列一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A,4545P P ∙ B,33P ∙ 4545P P ∙ C,13C ∙4545P P ∙ D,22P ∙4545P P ∙【答】D【评析】这种排列组合用符号表示的试题在全国1988年已经有了不宜出的结论，它再次重蹈了历史覆辙（1996年全国理22、文23）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1． (Ⅰ)求证：BE=EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG ，④ ∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ，⑤ ∵ ∴111122FG AA BB ==，即111,2BE BB BE EB ==故【解答】①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1， ②∵面ABC ⊥侧面AC 1，③∵BE ∥侧面AC 1 ④∵BE ∥AA 1， ⑤∵AF=FC ， (Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ．∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==， ∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A ∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°【评析】以这种填空题形式出现，过多地限制了学生思维，出现了实际结果与预估难度非常大的反差立体几何试题这样出不当；通过该题，也使近年立体几何的研究开始了降温同时也使不少专家反省：高考试题与研究热点及竞赛试题还是当有区别的同时，也确定了从1997年开始高考试题的进行量化评价（1997年全国理15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( ) (A) 150种 (B) 147种(C) 144种 (D) 141种【解答】D【评析】该题无论从直接还是间接思路，都要进行三级分类讨论，体现为试题很难 难度为0 18，按照当年《考试说明》，难度低于0 2的，应该算作废题 结论：考查单一的知识与思想，层数不能超过三级（1997年全国理24）设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1a ． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x<f (x)<x 1； II ．设函数f(x)的图像关于直线x=x 0对称，证明x 0<12x 【解析】证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a>0，得F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)>0，即x<f(x)． )](1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=- 因为a x x x 1021<<<<所以x 1－x>0，1+a(x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0．得 x 1－f(x)>0．由此得f(x)<x 1．(Ⅱ)依题意知a b x 20-= 因为x 1，x 2是方程f(x)－x=0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x+c=0的根．∴ab x x 121--=+， a ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-= 因为ax 2<1，所以22110x a ax x =<【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚 实际难度为0 09,也属于废题（1997年全国理25）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．【解析】解法一:设圆的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b│， │a│．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P(a ，b)到直线x －2y=0的距离为52ba d -=，所以5d 2=│a －2b│2 =a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2) =2b 2－a 2=1，当且仅当a=b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 解法二:同解法一，得52ba d -=∴db a 52±=-得2225544d bd b a +±=①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得 01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r 2=2．由b a 2-=1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚 实际难度为0 20,属于废题 通过1997年高考数学试题，专家们得出这样结论：竞赛试题要对某一知识应用中强调技巧，高考试题不能过多地偏重于技巧（1999年全国文理16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）【解答】12【评析】该题的愿意是选垄并种播，但是题目没有明确叙述清楚，而只是笼统的说有多少种选法（1999年全国文理23，广东20）右图为一台冷轧机的示意图 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出Ⅰ 输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ Ⅱ 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）【解答】Ⅰ 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10n r a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-n r a 01即().10a r n β≤- 由于(),0,010>>-a r n β对比上式两端取对数，得().lg 1lg 0a r n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r a n --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a --β的整数对轧辊Ⅱ 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅k r a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅k r a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r 即.8.016004-⋅=k k L 由此得(),20003mm L =(),25002mm L =()mm L 31251=填表如下轧锟序号k 1 2 3 4。

高三二轮复习学生易错题分析江阴市长泾中学高三物理备课组1、如图质量为M ，倾角为α的楔形物A 放在水平地面上。

质量为m 的B 物体从楔形物的光滑斜面上由静止释放，在B 物体加速下滑过程中，A 物体保持静止。

地面受到的压力多大？【错解分析】错解：以A ，B 整体为研究对象。

受力如图2－23，因为A 物体静止，所以N=G=（M ＋m ）g 。

由于A ，B 的加速度不同，所以不能将二者视为同一物体。

忽视了这一点就会造成错解。

【正确解答】分别以A ，B 物体为研究对象。

A ，B 物体受力分别如图2－24a ，2－24b 。

根据牛顿第二定律列运动方程，A 物体静止，加速度为零。

x ：N l sin α-f=0 ① y ：N-Mg-N l cos α=0 ②B 物体下滑的加速度为a ，x ：mgsin α=ma ③ y ：N l -mgcos α=0 ④由式①，②，③，④解得N=Mg ＋mgcos α根据牛顿第三定律地面受到的压力为Mg 十mgcos α。

【小结】 在解决物体运动问题时，在选取研究对象时，若要将几个物体视为一个整体做为研究对象，应该注意这几个物体必须有相同的加速度。

2、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。

A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2。

它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0。

设A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1，m 2，R 与v 0应满足关系式是。

【错解分析】错解：依题意可知在A 球通过最低点时，圆管给A 球向上的弹力N 1为向心力，则有 R v m N 2011= B 球在最高点时，圆管对它的作用力N 2为m 2的向心力，方向向下，则有Rv m N 2122= 因为m 2由最高点到最低点机械能守恒，则有：202212221212v m v m gR m =+21N N = 由上述方程可得：12204m m gR m v -= 错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。

上海高考数学易错总结归纳高考是每位学子都必须经历的一场考试，而数学作为其中的一门科目，在许多考生眼中颇具挑战性。

上海地区的高考数学试卷也以其难度相对较高而著称。

在准备高考数学时，掌握易错知识点和题目的解题技巧成为考生们必不可少的任务。

本文将对上海高考数学易错题目进行总结归纳，并提供解题技巧，帮助考生们更好地备考。

一、函数与方程在数学的函数与方程部分，常见的易错题主要包括解方程、函数的性质以及图像的性质等方面。

1. 解方程解方程作为高中数学的基本知识点，也是数学高考试卷中的常见题型。

常见的易错点包括变量的变换不当、方程两边运算错误和未检查解的合法性等。

为避免这些错误，考生需要牢记以下几点：- 对于含有绝对值的方程，需分段讨论，并分别解方程，最后检查解的合法性。

- 在方程的两边进行运算时，应小心不要遗漏项或运算错误。

- 解得的解应代入原方程进行检验。

2. 函数的性质函数的性质也是考试中常见的易错点。

在考察函数的单调性、最值等问题时，考生需要注意以下几点：- 单调性：当考察函数的单调性时，需要注意函数的定义域、导数变号以及函数值大小等问题。

- 最值：求函数的最值时，要考虑函数的定义域，并使用导数或者其他方法求出最值点。

3. 图像的性质在考察函数图像时，考生需要了解不同函数图像的性质，包括对称性、渐近线、拐点等。

常见易错点包括对图像的性质理解不准确以及计算错误等。

为避免这些错误，考生需要掌握以下几点：- 对称性：掌握正、偶函数的对称性，以及对称轴的计算方法。

- 渐近线：了解水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等的计算方法。

- 拐点：掌握拐点的概念，以及计算拐点的方法。

二、解析几何在解析几何部分，常见的易错题主要包括坐标计算、距离计算、平面与直线的交点计算等。

1. 坐标计算坐标计算是解析几何中的常见题目，包括线段中点坐标、圆心坐标等。

为避免坐标计算的错误，考生需要牢记以下几点：- 坐标关系：掌握两点坐标关系的计算方法，包括两点间的距离、中点坐标等。

[高三数学]上海高考数学易错题讲义第一部分集合1.在集合运算中一定要分清代表元的含义.基准1、未知集p?{y|y?x,x?r},q?{y|y?2x,x?r}，谋p?q.【分析：集合p、q分别表示函数y?x2与y?2x在定义域r上的值域，所以p?[0,??)， q?(0,??)，p?q?(0,??).】例2、设a集合1ayy?2，x?r?x?1??，b?xy?x?1，x?r??，则b?___________.【分析：子集p、q分别则表示函数y?x2与y?2x在定义域r上的值域，所以p?[0,??)，q?(0,??)，p?q?(0,??).】2.对于空集?的探讨不要遗漏.例3、若a?{x|x2?a},b?{x|x?2}且a?b??，求a的取值范围.【分析：子集a有可能就是空集.当a?0时，a??，此时a?b??设立；当a?0时，a?(?a,a)，若a?b??，则a?2，有0?a?4.综上知，a?4.注意：在集合运算时必须特别注意学会转变a?b?a?a?b等.】例4、已知集合a?xx2?3x?2?0，x?r，b?xx2?mx?2?0，x?r，a则m的取值范围是_________.【分析：ab?b?b?a，表明b中的求解一定就是a中的求解或者就是难解】例5、【2021年秋季理科】a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合m和n，那么“b?b，a1b1c1??”是“m=n”的a2b2c2（）a．充分非必要条件.c．充要条件b．必要非充分条件.d．既非充份又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解】【答案：d】3.区间端点的权衡探讨.例6、【长宁区(文)】已知集合a?xlog2x?2,b?(??,a)，若a?b则实数a的取值范围是_________【答案：?4,】基准7、【闵行2021一模第12题】未知条件p:x?1?2；条件q:x?a，若p就是q的充份不必要条件，则a的值域范围就是．【答案：?1,】br?例8、【2021年上海秋季高考】已知集合a??x|x?1且a??，b??x|x?a?，则实数a的值域范围就是______________________.【答案：a?1】x?k?0，x?r?，且a基准9、若子集a?xx2?2x?8?0，x?r，b??x?x?k?1?，b，则实数k的值域范围就是_______.【答案：(??,?4](1,??)】4.充份必要条件的推论36a例10、【2021年春季高考】若a1,a2,a3均为单位向量，则1??3,3??是a1?a2?a33,6的（）ａ．充分不必要条件ｂ．必要不充分条件ｃ．充份必要条件ｄ．既不充份又不必要条件【答案：b】基准11、【松江区15】设a,b?r，则“a?b?2且ab?1”就是“a?1且b?1”的a．充份不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分又不必要条件【答案：b】基准12、【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题就是……（）（a）“直线a、b就是异面直线”的必要不充分条件就是“直线a、b不平行”；（b）直线“a?b”的充份不必要条件就是“a旋转轴b所在的平面”；（c）两直线“a//b”的充要条件就是“直线a、b与同一平面?阿芒塔角成正比”；（d）“直线a//平面?”的必要不充分条件就是“直线a平行于平面?内的一条直线”．【答案：c】第二部分不等式1.求解分式不等式时特别注意等价变形例1、不等式x?1?0的边值问题就是_______________．x?4【答案：(?4,?1]】例2、不等式2?x?2的边值问题就是_______________．x?4【答案：(?4,?2]】例3、【2021学年青浦区一模第11题)设函数f(x)的定义域为[?4,4]，其图像如下图，那么不等式f(x)?0的解集为____________.sinxy-4-2o14x【答案：[?4,??)[?2,0)[1,?)4】2.特别注意对不等式最低次项系数的探讨（是不是为0，推论正负号）例1、若关于x的不等式kx2?kx?2?0的解集为r，则实数k的取值范围是___________.【答案：{x|?8?x?0}】基准2、【2021年徐汇区一模第21题】已知关于x的不等式(kx?k?4)(x?4)?0，其中k?r。

高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。

解析：集合A 化简得{}3,5A =，由AB B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。

有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=求r 的取值范围。

上海市复旦大学附属中学2023届高三毕业考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是（）.A ．110B ．120C ．130D ．14014．“()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（）A ．0a b <<B ．1a b <<C ．2a b <<D ．1b a<<15．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体1111ABCD A B C D -，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（）A ．1AB ，AC ，1AD 的长度B ．AC ，1B D ，1AC 的长度C ．1B C ，1A D ，1B D 的长度D ．1AC ，BD ，1CC 的长度16．设关于x 、y 的表达式22(,)cos cos cos()F x y x y xy =+-，当x 、y 取遍所有实数时，(,)F x y （）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值三、解答题(1)求证：平面AMB //平面(2)若MC ⊥CB ，求证：BC 19．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费元）对年销售量y （单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近发费i x 和年销售量i y （i =统计量的值.xy μ()621ii x x =-∑()621ii yy=-∑()61ii μμ=-∑12.52223.5157.516800 4.5表中ln i i x μ=，6116i i μμ==∑.(1)根据散点图判断 y a bx =+ 与 ln y cd x =+ 哪一个更适宜作为年研发费型；（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x (3)已知这种产品的年利润0.5z y x =-，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z 的预报值最大？附：对于一组数据()11,w v ，(2w vw αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 β20．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线:22l y kx pk p =-+与抛物线只有一个公共点，求实数(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点证明：||||||||||||AD EF DB DE FC BF ==．21．设()y f x =是定义域为R 的函数，如果对任意的()()()21212,x x x f x f x ∈≠-<R (1)若1221(),()sin 1f x f x x x ==+，明理由;(参考公式:0x >时，sin (2)若函数()y f x =是“平缓函数”意的1x 、2x ∈R ，均有()1f x -(3)设()y g x =为定义在R 上函数数”.现定义数列{}n x 满足:10,x =()|(0)|,1n A g n g x A ≤-.参考答案：5．594【分析】由题意先求得【详解】由题意得2m -由方差的计算公式可知：故答案为：5946．6【分析】根据题意结合对数运算求解【详解】由题意可得：故答案为：6.7．1-【分析】二项展开式中通过赋值法求解即可【详解】令0x =，得0a 所以20221222022222a a a ++++16．D【分析】根据2cos x ，2cos y ，据余弦函数取值特点，取不到端点值，用换元方法证明，进而得出答案【详解】由2cos x ，[]2cos 0,1y ∈同时，由于π是无理数，因此当()cos 1xy ¹-，故两端均不能取得等号补充证明：二元表达式2cos cos x +从而该式无最值.①取πx =，πy n =（*n ∈N ），则对任意0ε>，由抽屉原理，存在再考虑*k ∈N ，使得1k k d d <<+则n kN =时，π21π2N k kN d 轾犏+-<犏臌()(22cos cos cos 2cos πx y xy d +-Î+②取π2x =，ππ2y n =+（*n ∈N ）4∴2()sin sin()42g BOx παα=∠=+=2()cos cos()(cos 42f BOx παα=∠=+=∴()()2cos fg ααα+=，而sin α∴222k k αππ<<π+，N k ∈时，(f α222k k ππαππ+<<+，N k ∈时，。

高考易错知识点归纳高考易错知识点归纳六、解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。

45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。

49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达。

(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。

)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。

(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制。

(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行)。

55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七、立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法)。

57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处见59.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大。

第一部分 集合1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义.例1、 已知集{|},{|2,}x P y y x R Q y y x R ==∈==∈，求Q P I .【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P I .】例2、 设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ，，{}B x y x ==∈R ，则A B =I ___________.【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P I .】2. 对于空集∅的讨论不要遗漏.例3、 若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A I ，求a 的取值范围.【分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A I 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A I ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔=I 等.】例4、 已知集合{}2320A x x x x =-+=∈R ，，{}220B x x mx x =-+=∈R ，，A B B =I ，则m 的取值范围是_________.【分析：A B B B A =⇒⊆I ，说明B 中的解一定是A 中的解或者是无解】例5、 【2003年秋季理科】a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解】 【答案：D 】3. 区间端点的取舍讨论.例6、 【长宁区(文)】已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是_________ 【答案：()4,+∞】例7、 【闵行2011一模第12题】已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ． 【答案：[)1,+∞】例8、 【2009年上海秋季高考】已知集合{}|1A x x =<，{}|B x x a =>，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 【答案：1a ≤】例9、 若集合{}2280A x x x x =+-≥∈R ，，01x kB xx x k ⎧⎫-=≤∈⎨⎬--⎩⎭R ，，且A B ≠∅I ，则实数k 的取值范围是_______. 【答案：(,4](1,)-∞-+∞U 】4. 充分必要条件的判断例10、 【2010年春季高考】若123,,a a a r r r 均为单位向量，则133a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r是123a a a ++=r r r的 （ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件【答案：B 】例11、 【松江区15】设,a b R ∈，则“2a b +>且1ab >”是“1a >且1b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案：B 】例12、 【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题是……（ ） （A ）“直线a 、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”； （B ）直线“b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”；（C ）两直线“a //b ”的充要条件是“直线a 、b 与同一平面α所成角相等”； （D ）“直线a //平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”． 【答案：C 】第二部分 不等式1. 解分式不等式时注意等价变形 例1、 不等式104x x +≥+的解集是_______________． 【答案：(4,1]--】 例2、 不等式224xx -≥+的解集是_______________． 【答案：(4,2]--】例3、 【2008学年青浦区一模第11题) 设函数()f x 的定义域为[4,4]-，其图像如下图，那么不等式()0sin f x x≤的解集为____________.【答案：{}[4,)[2,0)[1,)4ππ---U U U 】2. 注意对不等式最高次项系数的讨论（是不是为0，判断正负号）例1、 若关于x 的不等式220kx kx --≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是___________. 【答案：{|80}x x -≤≤】例2、 【2011年徐汇区一模第21题】已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。