007-第7课时函数的奇偶性和单调性

高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。

根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。

奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。

2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。

3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。

二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。

如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。

2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。

3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。

4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。

三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。

通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。

我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。

高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。

因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。

函数单调性与奇偶性在我们学习数学的旅程中，函数的单调性和奇偶性是两个非常重要的概念。

它们就像是函数世界里的“性格特征”，帮助我们更好地理解和描述函数的行为。

让我们先来聊聊函数的单调性。

简单来说，单调性就是函数值随着自变量的变化而呈现出的一种规律。

如果一个函数在某个区间内，当自变量增大时，函数值也随之增大，那我们就说这个函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果自变量增大时，函数值反而减小，那这个函数在这个区间上就是单调递减的。

比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是单调递增的。

当 x 从 1 增加到 2 时，y 就从 3 增加到 5。

再看反比例函数 y ＝ 1/x ，在 x ＞ 0 这个区间上，它是单调递减的。

因为当 x 从 1 增大到 2 时，y 从 1 减小到 1/2 。

那么，怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些方法啦。

最常见的就是定义法。

我们假设在给定的区间内有两个自变量 x1 和x2 ，且 x1 ＜ x2 ，然后比较 f(x1) 和 f(x2) 的大小。

如果 f(x1) ＜ f(x2) ，那函数就是单调递增的；如果 f(x1) ＞ f(x2) ，那就是单调递减的。

除了定义法，还有导数法。

对于一些比较复杂的函数，我们可以通过求导来判断单调性。

导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。

接下来，咱们再说说函数的奇偶性。

奇偶性就像是函数的“对称美”。

如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那它就是奇函数。

比如说，偶函数就像我们熟悉的二次函数 y ＝ x²，当 x 取 2 和－2 时，y 都等于 4 。

奇函数的典型例子是 y ＝ x³，当 x 取 2 时，y 等于 8 ；当 x 取－2 时，y 等于－8 ，正好是相反数。

那怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？首先要看函数的定义域是否关于原点对称。

函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性是数学中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和分析函数的特征和行为。

本文将介绍函数的奇偶性和单调性的基本概念，并探讨二者之间的关系。

一、函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性是指函数在对称轴上的性质。

一个函数可以是奇函数或偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数。

1. 奇函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

简单来说，奇函数的特点是关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

奇函数的典型例子是正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等：- sin(-x) = -sin(x)- tan(-x) = -tan(x)2. 偶函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

简单来说，偶函数的特点是关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

偶函数的典型例子是余弦函数cos(x)和双曲余弦函数cosh(x)等：- cos(-x) = cos(x)- cosh(-x) = cosh(x)3. 既不是奇函数也不是偶函数对于一些函数，既不满足奇函数的特性，也不满足偶函数的特性，此时我们称该函数为既不是奇函数也不是偶函数。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值变化趋势。

一个函数可以是单调递增的、单调递减的，或者既不是单调递增也不是单调递减。

1. 单调递增如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递增的。

单调递增函数的典型例子是线性函数y = kx (k > 0)和指数函数y = a^x (a > 1)等。

2. 单调递减如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递减的。

单调递减函数的典型例子是线性函数y = kx (k < 0)和指数函数y = a^x (0 < a < 1)等。

数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。

函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。

本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。

二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。

2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。

（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。

3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。

（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。

（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。

4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。

（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。

（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。

三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。

（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。

2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。

若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。

（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。

一轮复习知识点一、函数（二）函数性质——单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性1.定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果取区间M 中任意两个值12,x x ，改变210x x x =->，则当21()()0y f x f x =->时，就称()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x =-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。

2.单调性：如果某个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。

3.判断函数单调性的方法（1）定义法121212121.,,2.()()3..()()5.x x x x y f x f x y y f x f x <⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩在区间上任取且计算将变成因式乘除形式，便于判断符号4判断的正负下结论（2）元素分析法（3）求导（4）图像法（5）复合函数[][]1.()()()2.()()()f x g x f g x f x g x f g x ⎧⎪⎨⎪⎩与单调性相同，单调增与单调性相反，单调减 （6）函数加减：公共定义域内，()()f x g x 与的单调性+=+=-=-=⎧⎨⎩增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数二、奇偶性1.定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x gx -=，则这个函数叫做偶函数。

2.奇偶性图像性质汇总 奇偶性共同点 定义式 图像 0x = 单调性 奇函数定义域关于原点对称 ()()f x f x -=- 关于原点对称 (0)0f = 对应区间单调性一致 偶函数 ()()g x g x -=关于y 轴对称 对应 区间单调性相反3.判断函数奇偶性的方法（1）定义法：奇函数：()()f x f x -=- ()()0f x f x -+= ()1()f x f x -=-偶函数：()()g x g x -= ()()0g x g x --=()1()f x f x -=（2）图象法（3）性质法①偶+偶=偶 偶-偶=偶偶*偶=偶 偶/偶=偶②奇+奇=奇 奇-奇=奇奇*奇=偶 奇/奇=偶③奇*偶=奇 奇/偶=奇④()[()]F x f g x = ()()()()()()f x g x x f x g x x f x g x x ⎧⎪⎨⎪⎩为偶，为偶，F()为偶为奇，为奇，F()为奇为偶，为奇，F()为偶三、周期性1.定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内每一个值，都有()()f x T f x +=，那么，()f x 叫做周期函数，T 叫做()f x 的周期。

函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）;为偶函数为奇函数;(1)在原点有定义(2)奇函数任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一(3)个偶函数之和（奇）（偶）即.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)称为:时有区间,上任意两个值,若(1)定义.为称时有上增函数,上减函数若,(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲的函数是奇函数已知定义域为1【例】.求的值Ⅰ);(求的恒成立),若对任意的,不等式(Ⅱ.取值范围是奇函数，所以=0解析：（Ⅰ）因为，即）知（-1（1）= -f又由 f（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，，即：整理得上式对一切均成立，从而判别式在处取得极值－设函数2,】【例2试用的单调区间.和,表示并求而解：依题意有解得故。

从而或，得令。

处取得极值，由于在，即。

故时，，即（1）；若，则当时，；2）当；当时，（的单调增区间为；从而单调减区间为，即若，同上可得，为；单调减区区的单调增间间为都有,若对所有的】3(理),设函数【例.的取值范围求实数成立,的单调性讨论函数(文)（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－aa－1－1， ex0(x)g令′＝，解得＝(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．a－1 (ii)当a＞1时，对于0＜x＜e－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，a－1－1)是减函数，ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当，所以对＝00＜x＜ea＞1 又g(0)时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x a－1－1，＝ea－1a－1当x＞e－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，a－1－1≤0．由此得ag(0)≥0都有g(x)≥充要条件为e≤1，所以要对所有x 即a的取值范围是（－∞，1]．）解：设，（文则∵，∴，，，则时，为增函数当为减函数，则当时，为常量，无单调性当时，其中为常数,)】(理.已知函数4【例讨论函数,若)的单调性;(Ⅰ.试证=4,:若)(Ⅱ,且时，上的奇函数，当已知为定义在，文().求的表达式（理）∴（文）解：∵为奇函数，当时，∵∴为奇函数∴∴三.巩固练习是上的减函数,那么 1.已知的取( )值范围是D. B.A. C.,,时,是周期为2的奇函数设 2.当已知( )则D. A. C.B.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )D.A. C.B.(0,)成立,则 4.的取值范围是若不等式对于一切2 C.- D.-3A.0 B. –是上的任意函数,则下列叙述正确的是 5.( )设A.是奇函数B.是奇函数C. D.是偶函数是偶函数则上的奇函数的值已知定义在 6.,满足( )为A.－1B.0C.1D.2且）的图象关（7.的图象与函数已知函数若在区间,于直线对称记上.是增函数,则实数的取值范围是( )D. C. B. A.上是理)如果函数8.(在区间( )的取值范围是,那么实数增函数. ＡＣ.ＤＢ ..上可导的任意函数,则必有9.,对于若满足( )B.C. A.D.,则10.( )已知D. B.A. C.若为奇函数,则已知函数, 11. .当. 已知函数上的偶函数是定义在12.时,时,,则当 .且,则方程13.上的以3为周期的偶函数,是定义在=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.2又在区间上单调递减的是下列函数既是奇函数14.,( )D. A.C.B.则该函数在上是, 15.( )若函数A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值在区间内单调递增16.,若函数( )则的取值范围是D. C. B.A.且的图象关于直线是定义在设上的奇函数17.,______.,对称则,,18.设函数上满足在只有,7］上且在闭区间［0，.试判断函数的奇偶性;(Ⅰ)=0在闭区间［-2005,2005Ⅱ)试求方程］上的根的个数,并(.证明你的结论函数理),已知19. (设;(2)在取得最小值？证明你的结论为何值时当(1),[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.的图象与为偶函数且定义域为的图(文),已知,,时当象关于直线为实常数对称,,.且若的最大值为的单调区间;(2)求的解析式;(3)求(1).求12,已知函数的图象过点（0,220.）,且在点.处的切线方程为求函数求函数的单调区间.的解析式(1);(2)在区间（－已知向量若函数21..求的取值范围1,1）上是增函数,若,已知函数,,.且理22. ()存在单调递减区间,求的取值范围.已知函数)(文在区间上是减.求实数的值且在区间上是增函数,函数,巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11.4 13. B 14. D 15. A 12. -x-xa= 16. B 17. 0得函数f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)的对称轴为: 18 .解由, ,不是奇函数从而知函数由,又的周期为从而知函数 ,故函数是非奇非偶函数;由 (II)又 (II)从而可知函数,和[-10,0]上均有有两个解故f(x)在[0,10]在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,.个解上有 802所以函数在[-2005,2005]）对函数解：（I 19. (求导数得理)从而+2(1－)－2+2(1得［－)－2=0 ］令=0解得+ 0－ +0递减递增极小值极大值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )=f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

一、函数的奇偶性奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数；()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数.性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;(2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分)(3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分)(4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数⇔()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 图像关于原点对称； 函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 图像关于y 轴对称.(6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D = 则在D 上有:(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++ 为奇函数⇔偶次项系数全为0； 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++ 为偶函数⇔奇次项系数全为0. 二、函数的单调性单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间.性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式：①()()()121200f x f x x x -><⇔-在D 上单调递增(递减);②()()()()121200x x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦()f x 在D 上单调递增(递减).(3)若()f x 在R 上单调递增,则()()f a f b a b >⇔>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦在D 上是增(减)函数.(5)单调性与奇偶性:若奇函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递增(减);若偶函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递减(增);(6)复合函数单调性:两个单调函数()f x 与()g x 复合,不论复合结果是()f g x ⎡⎤⎣⎦还是()g f x ⎡⎤⎣⎦,有如下性质:若()f x 与()g x 单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若()f x 与()g x 单调性相反,一个增一个减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”.单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上是增（减）函数.例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上是减函数.事实上,若取1211x x =-<=,有(1)11(1)f f -=-<<.一、函数的奇偶性题型一 判断并证明函数的奇偶性 方法:(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式; (2)图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性. 说明：(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用;(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称; (3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可;(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数. 例1.判断下列函数的奇偶性:(1)x xx x f ++=1)(2； (2)()(1f x x =-(2)()0f x = (4) ()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f(5)()2212-+-=x x x f(6)已知函数)(x f 满足:),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++,且0)0(≠f ,则函数)(x f 的奇偶性为________.题型二 利用奇偶性求函数式或函数值 例2.完成下列各题:1.设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数,又当0>x 时2()23f x x x =--,试求)(x f 的解析式.3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x <≤时,()f x x =,求(7.5)f 的值.4.设()f x 在R 上是偶函数,在区间(,0)-∞上递增,且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+,求a 的取值范围.5.已知函数53()4f x ax bx =++,若(2)0f -=,求(2)f 的值.6.若函数()f x 是偶函数,则=--+)211()21(f f ________. 7.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且()()11f xg x x +=-,试求()()f x g x 与的表达式.题型三 逆用函数奇偶性求参数的值例3.1.若函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数,求实数,m n 的值。

第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数），区间D 为函数y =f (x )的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 （2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。

（3）设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在区间M 上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。

概括起来，即“同增异减II 号” （4）简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x xI∈，当12xx <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。

(ⅱ))()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x x x->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x xx-<-或1212)[()()]0f f x xx x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

函数的奇偶性周期性和单调性一：知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数. 2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ） 〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数. 4．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论 5．函数单调性及周期性的定义6．判断单调性的常用方法：①定义法 ②两个增函数的和仍为增函数，两个减函数的和仍为减函数 ③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性 ④互为反函数的两个函数有相同的单调性 ⑤如果)(x f 在区间D 上是增函数，那么)(x f 在区间D 的任一子区间上是增函数 ⑥)]([y x g f =的单调性判断. 7．单调区间的误区：函数在区间（a ，b ），（c ，d ）上单调不能说该函数 在)d ,c ()b ,a (⋃上单调 二：例题讲解例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·xx -+11；（3）f （x ）=2|2|12-+-x x； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x例2． 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）例3．（1） 函数f (x ) = log 3(x 2-2x -8)的单调减区间为__________。

函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性就如同两颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

它们不仅是函数性质的重要组成部分，更是解决数学问题、理解数学世界的有力工具。

让我们先来聊聊函数的单调性。

单调性，简单来说，就是函数值随着自变量的变化而呈现出的一种上升或下降的趋势。

想象一下，你在爬山，山势逐渐升高，这就好比是一个单调递增的函数；而如果是下山，山势逐渐降低，那就是单调递减的函数。

比如，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是单调递增的。

当 x 增大时，y 的值也跟着增大。

我们可以通过计算斜率来判断一次函数的单调性。

斜率为正，函数单调递增；斜率为负，函数单调递减。

再看二次函数 y ＝ x²，它在 x ＜ 0 时单调递减，在 x ＞ 0 时单调递增。

这是因为在 x ＜ 0 时，x 越大，x²的值越小；在 x ＞ 0 时，x 越大，x²的值越大。

函数单调性的判断方法有很多，常见的有定义法、导数法等。

定义法就是通过比较函数在区间内任意两个自变量对应的函数值的大小来判断单调性。

假设函数 f(x)在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调递增的；如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调递减的。

导数法呢，对于可导函数，如果其导数在某个区间内大于零，则函数在该区间单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间单调递减。

函数单调性有着广泛的应用。

比如在求函数的最值问题中，通过判断函数的单调性，我们可以找到函数的最大值或最小值。

在解决不等式问题时，利用函数单调性可以将复杂的不等式转化为简单的形式。

说完单调性，咱们再来说说奇偶性。

奇偶性就像是函数的“性格特征”，它反映了函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。

如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性描述的是函数在定义域内的变化趋势。

一个函数可以是递增的（增函数），也可以是递减的（减函数），也可以是既递增又递减的。

1.1 递增函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≤ f(x2)，那么这个函数就是递增函数。

简单来说，递增函数的值随着定义域内的值的增加而增加。

1.2 递减函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≥ f(x2)，那么这个函数就是递减函数。

简单来说，递减函数的值随着定义域内的值的增加而减少。

1.3 严格递增和严格递减函数当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是严格递增函数。

当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) > f(x2)，那么这个函数就是严格递减函数。

性质1：若f(x)在(a, b)内单调递增，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。

即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)。

性质2：若f(x)在(a, b)内单调递减，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。

即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)。

性质3：若区间(a, b)上的函数单调递增，则它在(a, b)上的任意一个开区间内也单调递增。

2. 函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性描述的是函数的对称性质。

一个函数可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以是既奇又偶的。

2.1 奇函数如果一个函数f(x)满足对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。