(整理)函数的奇偶性与单调性76929

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。

函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性是数学中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和分析函数的特征和行为。

本文将介绍函数的奇偶性和单调性的基本概念，并探讨二者之间的关系。

一、函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性是指函数在对称轴上的性质。

一个函数可以是奇函数或偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数。

1. 奇函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

简单来说，奇函数的特点是关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

奇函数的典型例子是正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等：- sin(-x) = -sin(x)- tan(-x) = -tan(x)2. 偶函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

简单来说，偶函数的特点是关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

偶函数的典型例子是余弦函数cos(x)和双曲余弦函数cosh(x)等：- cos(-x) = cos(x)- cosh(-x) = cosh(x)3. 既不是奇函数也不是偶函数对于一些函数，既不满足奇函数的特性，也不满足偶函数的特性，此时我们称该函数为既不是奇函数也不是偶函数。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值变化趋势。

一个函数可以是单调递增的、单调递减的，或者既不是单调递增也不是单调递减。

1. 单调递增如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递增的。

单调递增函数的典型例子是线性函数y = kx (k > 0)和指数函数y = a^x (a > 1)等。

2. 单调递减如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递减的。

单调递减函数的典型例子是线性函数y = kx (k < 0)和指数函数y = a^x (0 < a < 1)等。

函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则f(x)是奇函数。

3．简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式，则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-== 。

4． 奇偶函数图象的对称性(1)若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；(2)若)(x b f y +=是奇函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：（1） 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数，函数()x x f x a a -=- 是奇函数；（2）函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数；（3）函数1()log 1a x f x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数；（4）函数()log (a f x x = (0a > 且1)a ≠是奇函数。

〔一〕函数单调性 1.增函数、减函数如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域. 2、增、减函数的性质：增函数： 12x x <⇔12()()f x f x < 减函数： 12x x <⇔12()()f x f x < 式子的变形：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔[]ba x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x xf x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1)、取值： 设任意两个实数12,x x 有， 12,x x ∈D ，且12x x <；2)、作差：)()(21x f x f -；3)、变形：通常方法：因式分解；配方； 分母有理化； 4)、定号：即判断差)()(21x f x f -的正负；5)、下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性． 取值→作差→变形→定号→下结论例：证明函数 在R 上是增函数.xx x f +=3)(一些重要函数的单调性：1、一次函数的图象y=kx+b 的单调性：（1）当k>0时，函数在R 上是增函数 〔2〕当k<0时，函数在R 上是减函数 2、反比例函数的图象)0(≠=k xky 的单调性： 〔1〕当k>0时，函数在()()+∞∞-,0,0,上是减函数 〔2〕当k<0时，函数在()()+∞∞-,0,0,上是增函数 3、二次函数的图象)0(2≠++=a c bx ax y 的单调性〔1〕当a>0时，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数, 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上是增函数 〔2〕当a<0时，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上是减函数 例题：偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，那么满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值X 围是: ()变式：二次函数的根本性质例1、函数2()2f x x t x =-+在[1，2]上是单调递增函数，那么实数t的取值X 围是_________二、两个函数和差乘除单调性和复合函数的单调性1、如果函数f(x)在区间D 上是增〔减〕函数，函数g(x)在区间D 上是增(减)函数；函数F(x)=f(x)+g(x)在D 上为增(减)函数。

函数的单调性和奇偶性本节重难点本节的重点和难点都是对函数单调性和奇偶性的理解和应用重难点讲解1.函数的单调性如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．如果函数f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间．函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的．例如函数y＝1/x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但不能说它在整个定义域即（-∞，0）∪（0，+∞）因为当取x1＝-1，x2＝1时，对应的函数值为f （x1）＝-1，f（x2）＝1，显然有x1＜x2，但f（x1）＜f（x2），不满足减函数的定义．有些函数在整个定义域内具有单调性．例如函数y＝x就是这样．有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数．例如函数y=x2在（-∞，0）是减函数，在［０，+∞）上是增函数．中学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不包括端点都可以．函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图像能直观地显示函数的这个性质．在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的．求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．讨论函数y＝f［φ（x）］的单调性时要注意两点：（1）若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ（x）］为增函数；（2）若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ（x）］为减函数．若函数f（x），g（x）在给定的区间上具有单调性，利用增（减）函数的定义容易证得，在这个区间上：（1）函数f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性．（2）C＞0时，函数f（x）与C·f（x）具有相同的单调性；C＜0时，函数f（x）与C·f（x）具有相反的单调性．（3）若f（x）≠0，则函数f（x）与具有相反的单调性．（4）若函数f（x），g（x）都是增（减）函数，则f（x）+g（x）仍是增（减）函数．（5）若f（x）＞0，g（x）＞0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）也是增（减）函数；若f（x）＜0，g（x）＜0，且f（x）与g （x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）是减（增）函数．根据定义讨论（或证明）函数增减性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差化简、变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而证得函数的增减性．利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集．2．函数的奇偶性如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么f（x）叫做奇函数．如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝f（x），那么f（x）叫做偶函数．奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．如果函数f（x）是奇函数或是偶函数，那么就说函数f（x）具有奇偶性．函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数（既是奇函数又是偶函数），非奇非偶函数（既不是奇函数也不是偶函数）．函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质．由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称．所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性）．然后再判断f（-x）与f（x）的关系，从而确定其奇偶性．当f（-x）与f（x）之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论．函数的图像能够直观地反映函数的奇偶性．f（x）为奇函数的充要条件是函数f（x）的图像关于原点对称，f（x）为偶函数的充要条件是函数f（x）的图像关于y轴对称．奇函数和偶函数还具有以下性质：（1）两个奇函数的和（差）仍是奇函数，两个偶函数的和（差）仍是偶函数．（2）奇偶性相同的两个函数的积（商、分母不为零）为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积（商、分母不为零）为奇函数．（3）奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反．。

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

一函数增减性1单调性：1、定义：1212120,(,),,()()0x x a b x x f x f x <⎧∀∈<-⎨>⎩增函数减函数注：（1）单调区间用集合或者区间的形式描述；（2）一定范围例题1：（1）证明函数在上是增函数。

2()1x f x x -=+(1,)x ∈-+∞例题2：已知函数的定义域是，，且当时，)(x f ),0(+∞)()()(y f x f xy f +=1>x 0)(>x f （1）求的值；（2）证明：在定义域内是增函数；)1(f )(x f （3）解不等式0))21((≤+x x f 例题3：已知定义在上的函数是减函数，求满足不等式]4,1[)(x f 的实数a 的取值范围。

0)3()21(>---a f a f 组合函数增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减复合函数定义一般地，对于两个函数和，当函数的值域()是()u f y =()x g u =()x g u =Rg ∅≠Rg 的定义域的子集时，通过变量,可以表示成的函数，那么()u f y =Df u y x ()[]x g f y =称这个函数为函数和的复合函数，其中称为自变量,为中间变量,()u f y =()x g u =x u 为因变量。

y 增减性根据，的单调性决定。

()u f y =()x g u =即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 推导：令，则()x g t =()t f y =是增函数，越大，越大，即越大()x g x ()x g t 若是增函数，则越大，即越大 （同增）()t f ()t f y 若是减函数，则越小，即越小 （异减）()t f ()t f y 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指数、对数函数）； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将复合函数的定义域分段（每个常见函数在每段定义域上具有单调性）；(5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。

第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数），区间D 为函数y =f (x )的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 （2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。

（3）设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在区间M 上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。

概括起来，即“同增异减II 号” （4）简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性是两个极为重要的概念。

它们不仅在数学理论中占据着关键的地位，还在解决实际问题时发挥着巨大的作用。

首先，咱们来聊聊函数的单调性。

简单来说，单调性就是描述函数值随着自变量的变化而变化的趋势。

想象一下，你沿着一条笔直的道路行走，你的位置就好比是函数的自变量，而你行走的速度就像是函数值的变化。

如果你的速度一直保持增加，那就是单调递增；要是速度一直减少，那就是单调递减。

举个具体的例子，比如函数 f(x) ＝ x²，当 x 在区间（∞， 0) 时，函数值随着 x 的增大而减小，所以它在这个区间是单调递减的；而当 x 在区间（0, ＋∞）时，函数值随着 x 的增大而增大，这时候它就是单调递增的。

那么怎么来判断一个函数的单调性呢？通常有两种常见的方法，一种是利用定义，另一种是通过求导。

利用定义来判断单调性，就是设出定义域内的两个自变量的值 x₁和 x₂，然后比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小关系。

如果对于定义域内的任意两个自变量 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么函数就是单调递增的；反过来，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那就是单调递减的。

而对于学过导数的同学来说，求导就会更加方便快捷。

如果函数的导数大于零，那么函数在相应的区间就是单调递增的；导数小于零，就是单调递减的。

比如说函数 f(x) ＝ 2x³ 3x²＋ 1 ，对它求导得到 f'（x) ＝ 6x² 6x ，通过分析导数的正负，就能很容易地判断出函数的单调性。

函数的单调性在实际生活中也有很多应用。

比如在经济学中，成本函数的单调性可以帮助企业判断生产规模的变化对成本的影响，从而做出最优的生产决策。

接下来，咱们再谈谈函数的奇偶性。

奇偶性反映的是函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。

如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数。

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴ ),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴ )0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

函数的奇偶性与单调性1.函数的奇偶性的定义： 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, (1)都有f(-x)= ,那么称函数f(x)为奇函数;{或f(-x)+f(x)=0} (2)都有f(-x)= ,那么称函数f(x)为偶函数.{或f(-x)-f(x)=0}2.函数的奇偶性的性质：(1)奇、偶函数的定义域关于 对称; (2)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)= (3)奇函数的图象关于 对称; (4)偶函数的图象关于 对称. 3.函数单调性的定义：如果函数f(x)对区间D 内的任意,,当<时, (1)都有f()<f(),则称f(x)是区间D 上的 函数; (2)都有f()>f(),则称f(x)是区间D 上的 函数.1、下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D.2、下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增的是（ ）A. B. C. D.3、下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2x (0,)+∞1y x =+21y x =-+||1y x =+12xy =-4、 函数的递减区间是__________．5、 函数，设，则有（ ） A. B. C.D. 6、已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A.B. C. D.7、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）=+2x ，若f （）＞f （a ），则实数a 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B. （﹣2，1）C. （﹣1，2）D. （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）8当 时，，则的取值范围是（ ）9且满足对任意的实数成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.10、 函数 在上是增函数，则的范围是_____．2x 22a -12x x ≠a 12x x ≠a ()48，[)48，()1+∞，()18，。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x xI∈，当12xx <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。

(ⅱ))()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x x x->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x xx-<-或1212)[()()]0f f x xx x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性和周期性是函数的重要特征，能够帮助我们更好地理解和分析函数的行为。

在本文中，我们将探讨函数的奇偶性、单调性和周期性，并采用解析的方式进行说明。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数关于y轴或原点对称的性质。

具体来说，若对于定义域内任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)是偶函数；若对于定义域内任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数。

我们以常用的函数为例，来说明函数的奇偶性。

例如，f(x)=x²是一个偶函数，因为对于任意x，有f(-x)=(-x)²=x²=f(x)。

再如，g(x)=x³是一个奇函数，因为对于任意x，有g(-x)=(-x)³=-x³=-g(x)。

当然，还有其他类型的函数，如三角函数和指数函数，它们也具有偶函数和奇函数的性质。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

具体来说，若对于定义域内的任意x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)<f(x₂)，则称函数f(x)是递增函数；若对于定义域内的任意x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)>f(x₂)，则称函数f(x)是递减函数。

我们以常见的函数为例，来说明函数的单调性。

例如，f(x)=x²是一个递增函数，因为当x₁<x₂时，有x₁²<x₂²。

再例如，g(x)=x³是一个递增函数，因为当x₁<x₂时，有x₁³<x₂³。

当然，还有其他类型的函数，如指数函数和对数函数，也可以有递增和递减的性质。

三、函数的周期性函数的周期性是指函数在一定范围内的重复性。

具体来说，如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。

函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性就如同两颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

它们不仅是函数性质的重要组成部分，更是解决数学问题、理解数学世界的有力工具。

让我们先来聊聊函数的单调性。

单调性，简单来说，就是函数值随着自变量的变化而呈现出的一种上升或下降的趋势。

想象一下，你在爬山，山势逐渐升高，这就好比是一个单调递增的函数；而如果是下山，山势逐渐降低，那就是单调递减的函数。

比如，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是单调递增的。

当 x 增大时，y 的值也跟着增大。

我们可以通过计算斜率来判断一次函数的单调性。

斜率为正，函数单调递增；斜率为负，函数单调递减。

再看二次函数 y ＝ x²，它在 x ＜ 0 时单调递减，在 x ＞ 0 时单调递增。

这是因为在 x ＜ 0 时，x 越大，x²的值越小；在 x ＞ 0 时，x 越大，x²的值越大。

函数单调性的判断方法有很多，常见的有定义法、导数法等。

定义法就是通过比较函数在区间内任意两个自变量对应的函数值的大小来判断单调性。

假设函数 f(x)在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调递增的；如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单调递减的。

导数法呢，对于可导函数，如果其导数在某个区间内大于零，则函数在该区间单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间单调递减。

函数单调性有着广泛的应用。

比如在求函数的最值问题中，通过判断函数的单调性，我们可以找到函数的最大值或最小值。

在解决不等式问题时，利用函数单调性可以将复杂的不等式转化为简单的形式。

说完单调性，咱们再来说说奇偶性。

奇偶性就像是函数的“性格特征”，它反映了函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。

如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性描述的是函数在定义域内的变化趋势。

一个函数可以是递增的（增函数），也可以是递减的（减函数），也可以是既递增又递减的。

1.1 递增函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≤ f(x2)，那么这个函数就是递增函数。

简单来说，递增函数的值随着定义域内的值的增加而增加。

1.2 递减函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≥ f(x2)，那么这个函数就是递减函数。

简单来说，递减函数的值随着定义域内的值的增加而减少。

1.3 严格递增和严格递减函数当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是严格递增函数。

当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) > f(x2)，那么这个函数就是严格递减函数。

性质1：若f(x)在(a, b)内单调递增，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。

即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)。

性质2：若f(x)在(a, b)内单调递减，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。

即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)。

性质3：若区间(a, b)上的函数单调递增，则它在(a, b)上的任意一个开区间内也单调递增。

2. 函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性描述的是函数的对称性质。

一个函数可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以是既奇又偶的。

2.1 奇函数如果一个函数f(x)满足对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。

函数的单调性和奇偶性一、函数的单调性由于函数的两个变量x, y的一个对应，在对应法则确定的情况下，y能随着x的确定而确定.这个确定的规律中，最典型的两类是y随着x的增大而增大或y随着x的增大而减小，而函数的单调性就是讨论这样一些问题，用定义的形式概括以上两类问题，即:已知函数y=f(x),x∈(a,b)若在(a,b)上任取x1<x2，都有f(x1)<f(x2),称f(x)在(a,b)上是增函数,(a,b)为f(x)的增区间若在(a,b)上任取x1<x2,都有f(x1)>f(x2),称f(x)在(a,b)上是减函数,(a,b)为f(x)的减区间.增函数与减函数统称单调函数，函数的增区间和减区间统称单调区间.说明:1．函数的单调性都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就谈不上单调性，所以，表述单调性时，必须指出相应的区间.2．增（减）函数定义的实质是:在相应的区间上，较大的x值对应较大（小）的y值.例1．画出y=的图象，并说明它的单调区间.解:由左图，函数的单调递减区间为(-∞, 0)和(0, +∞).点评:如图，函数y=在(0, +∞)是减函数，在(-∞, 0)内也是减函数，但不可说函数y=在(-∞, 0)∪(0, +∞)内是减函数，更不能说在（-∞，+∞）内是减函数.∵当x1=-1, x2=1时,f(x1)=-1, f(x2)=1此时x1<x2, f(x1)<f(x2)，不符合减函数的定义.可见，对函数单调性的描述一定要讲清区间.例2．对于函数y=x3, (1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之.解:由图像知:y=x3的单调增区间为（-∞，+∞）.证明:显然y=x3的定义域为（-∞，+∞）,在R内任取x1和x2, 使x1<x2,f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1·x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵(x1+x2)2≥0, x22≥0，且(x1+x2)2与x22至多一个为0，∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.点评:1．从图象上观察函数的单调性固然形象，也必须掌握，但这不够，函数单调性的讨论还必须会用定义来证明.2．此题f(x1)-f(x2)的正负的讨论，易犯以下错误:∵x1<x2, ∴x13<x23, ∴f(x1)-f(x2)<0,这种做法其实已经用了函数y=x3在R上是增函数的结论，所以它是不可取的，而实现这种判断还得靠实数的一些基本性质.3．用定义证明函数的增减性的一般步骤是:(1)设x1,x2是给定区间的任意两个自变量的值，且x1<x2.(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形.（有时也用作商法）(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而得出判断，（作商时判断与1的大小关系）.例3．已知函数y=-x2+2x+1, x∈(-3,a).(1)当a=0时，求函数的值域；(2)若函数在(-3,a]内为增函数，求a的取值范围.解:(1)当a=0时，x∈(-3,a],∵y=-(x-1)2+2∴(-3,0]是函数y=-x2+2x+1的单调增区间，∴函数在(-3,0]内的值域为(f(-3),f(0)]即:当a=0时，函数值域为（-14，1].(2)要使(-3,a]为增区间，∴a≤1,又∵区间(-3,a]中，a>-3,∴-3<a≤1.点评:函数的单调性反映的本质是函数随着自变量x的变化情况，所以运用函数单调性能解决很多函数求值域及相关问题.（2）的求解易忽视区间(-3,a]中，a与-3的关系.二、函数的奇偶性1．要正确理解奇函数和偶函数的定义，它是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x是定义域中的一个数值，则-x也必然在定义域中，因此，函数y=f(x)是奇函数或偶函数的必要条件是:定义域在数轴上所示区间关于原点对称.例:函数y=x2在(-∞,+∞)上是偶函数，但y=x2在[-1，2]就不是偶函数，更不是奇函数.2．判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，基本思路是:（1）先考察定义域是否关于原点对称.（2）根据定义考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x).或用等价命题判断:考察f(x)-f(-x)=0或f(x)+f(-x)=0,若f(x)≠0，考察=±1是否成立.例:判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3x4+(2)f(x)=(x-1)(3)f(x)=+(4)f(x)=+解:(1)∵函数定义域为{x|x∈R,且x≠0}f(-x)=3·(-x)4+=3x4+=f(x),∴f(x)=3x4+是偶函数.(2)由≥0解得-1≤x≤1,又∵1-x≠0, ∴x=1,∴函数定义域为x∈[-1,1),不关于原点对称，∴f(x)=(x-1)为非奇非偶函数.点评:这个题看起来表示很麻烦，所以同学容易失去，将其化简成f(x)=-=-,忽略了原定义域就会误判断为偶函数.(3)f(x)=+定义域为x=1,∴函数为f(x)=0(x=1)，定义域不关于原点对称，∴f(x)=+为非奇非偶函数.(4)f(x)=+定义域为x∈{±1}，∴函数变形为f(x)=0 (x=±1),∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.点评:（3），（4）两题看起来形式类似，但（3）定义域就不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，而（4）对{1，-1}中任意x，都有f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.3．奇偶性的应用例1．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=x(1+x3),那么当x∈(-∞,0]时，求f(x)的表达式.解:任取x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞),∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=-f(-x)=x(1-x3)，即:当x∈(-∞,0]时，f(x)的表达式为x(1-x3).点评:在求表达式时，要注意“问啥设啥”，直接在(-∞,0]内取x，可以明确问题的求解方向，不致于使关系混乱.（因为题目要求x∈(-∞,0] 时f(x)的表达式）例2．已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10,求f(2).解:观察函数，可知f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，令F(x)=f(x)+8,有F(-x)=-F(x)，∴F(2)=-F(-2)=-[f(-2)+8]=-(10+8)=-18F(2)=f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.点评:此题关键在于如何处理f(x)表达式中“-8”这个“尾巴”，去掉它就可以得到一个奇函数.因此可构造一个新的函数F(x)=f(x)+8，就能让这个问题利用奇函数的性质解决.小结:1．函数的单调性和奇偶性是函数最基本，最重要的两类性质，对这部分知识的灵活运用，首先建立在透彻理解单调性，奇偶性的概念上，对于其本质意义（即反映函数随自变量的变化情况）要更深的理解.2．对单调性，奇偶性的讨论离不开函数的图形，所以数形结合是讨论这两种基本性质的重要手段.课后习题:1．证明函数f(x)=x+在区间（0，1）内是减函数.证明:任取x1,x2∈(0,1), 使x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+=(x1-x2)·(1-)=(x1-x2)·∵x1<x2, ∴x1-x2<0,又∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,且x1·x2<1,∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)∴函数f(x)=x+在（0，1）内是减函数.2．y=x2-2ax+a2-1，x∈[0,1]，试问当a取哪些实数值时，恒有y>0.分析:这是闭区间[0，1]上定义的一个二次函数，欲使y>0,只有y min>0, 为此，考察抛物线的对称轴，顶点是最重要的.解:y=x2-2ax+a2-1的顶点坐标为(a, -1),∴在[0，1]上欲使y>0，必须使x=a[0, 1]，分两种情况:（1）当a<0时，f(x)在[0，1]是增函数，y min=f(0)=a2-1>0 a>1或a<-1.又∵a<0, ∴a<-1.（2）当a>1时，f(x)在[0，1]是减函数，y min=f(1)=1-2a+a2-1>0得a>2或a<0,又∵a>1, ∴a>2,综上，当a∈(-∞,-1)∪(2,+∞)恒有y>0.3．判断函数f(x)=的奇偶性.解:∵9-x2≥0,∴-3≤x≤3,∴7≥4+x≥1∴|4+x|=4+x, 且|4+x|≠x x∈R,∴f(x)=x∈[-3, 3]，任取x∈[-3,3], 都有f(-x)=f(x)即:函数f(x)=为偶函数.在线测试选择题1．奇函数y=f(x) (x∈R)的图象必过点（）A.（a, f(-a)）B.（-a, f(a)）C.（-a, -f(a)）D.（a , f()）2．若函数f(x)=x(n ∈N)，则f(x)是（ ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数3．若函数y=f(x)（f(x)≠0）的图象与函数y=-f(x)的图象关于原点对称，则y=-f(x) （ ）A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数C.既是奇函数也是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数 4．若f(x)=(m-1)x 2+2mx+3是偶函数，则f(x)在区间（-5，-2）上是（ ）A.增函数B.减函数C.不具有单调性D.单调性由m 的值确定5．已知函数y=f(x)是偶函数，x ∈R.当x<0时y 是增函数， 则当x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|时 （ ）A.f(-x 1)>f(-x 2)B.f(-x 1)<f(-x 2)C.-f(x 1)>f(-x 2)D.-f(x 1)<f(-x 2)答案与解析答案：1、C 2、A 3、B 4、A 5、A解析：1．解：当x=-a 时, y=f(-a)=-f(a)∴ (-a, -f(a)) 必在图象上.答案：C2．解：f(-x)=(-x)·=-f(x),∴f(x)是奇函数.答案：A3．解：函数y=f(x)任意取(x,y)，则关于原点的对成点是（-x,-y ）既（-x,-f(-x)）∵ y=-f(x)与y=f(x)图象关于原点对称，∴ -f(-x)=-f(x), ∴f(-x)=f(x)∴ y=-f(x)是偶函数.答案：B4．解：∵f(x)是偶函数可得m=0, ∴ f(x)=-x 2+3, 对称轴为x=0.∴ 在（-5，-2）上为增函数.答案：A5．解：∵x 1<0, x 2>0, 且|x 1|<|x 2|，∴ -x 2<x 1<0,∵在x<0时，y 是增函数，∴f(-x 2)<f(x 1)又∵是偶函数，∴f(x 1)=f(-x 1)>f(-x 2),∴ f(-x 1)>f(-x 2). 答案：A函数奇偶性、单调性应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，利用函数奇偶性解题，能加深对函数知识的理解和掌握，下面谈谈函数奇偶性在解题中的应用.一、求函数值例1. 已知这是利用函数的奇偶性求值的一种典型题目.二: 求函数表达式：的表达式.例3: 已知f(x+1)是偶函数，且当x≤1时，f(x)=x2+x，求x>1时，f(x)的表达式.分析：设F(x)=f(x+1)，由F(x)是偶函数，得f(1+x)=f(1-x)，从而f(x)图象关于直线x=1对称.下面利用对称性，作出x>1时f(x)的图象，就可得到f(x)的表达式.解：设F(x)=f(x+1),∵F(x)是偶函数，∴F(-x)=F(x)，即f(1-x)=f(1+x)，∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称，又x≤1时，f(x)=x2+x =(x+)2-因此，作图，由图可知在x>1时，f(x)=(x-)2-=x2-5x+6三、判断函数的奇偶性的奇偶性.例4:如果a>0, a不等于1，且G(x)是奇函数，试判定F(x)=G(x).（+）的奇偶性.解法1：∵G(x)是奇函数，则有G(-x)=-G(x).F(-x)=G(-x)(+)=-G(x)(+)=-G(x)(+1-)=-G(x)(-)=G(x)(+)=F(x).∴F(x)是偶函数.解法2：∵F(-x)+F(x)=G(-x)(+)+G(x)(+)=-G(x)(+)+G(x)(+)=G(x) (+)=G(x)·(+)=G(x)(+1)=2·G(x)(+)=2F(x),∴F(-x)=F(x).故F(x)是偶函数.函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.四: 利用单调性和增减性比较大小的大小.五: 利用单调性和增减性求范围例6：定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围.解：f(x)的定义域为(-1,1)，∴又因为f(x)为奇函数，由f(1-a)+f(1-a2)<0 f(1-a)<-f(1-a2)=f[-(1-a2)].而f(x)单调递减，∴1-a>-(1-a2) -2<a<1，综合起来，0<a<1.函数的周期性与图象变换理解周期函数的定义，并掌握通过周期性来研究函数的基本方法；掌握利用图象的几何变换而获得函数图象的基本方法.难点：对一般函数周期性的研究；在使用两种或两种以上几何变换时的次序问题.知识要点重点例题：一、函数的周期性1．定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T为周期函数f(x)的周期.2．由定义可以得到：（1）作为周期函数的定义域应是“无界”的，如(-∞,+∞)，或至少有一端是“无界”的，如：[0, +∞)，或(-∞,0].这是因为定义中的等式f(x+T)=f(x)，其中x是对于定义域D中的每一个x都有x+T∈D，则区间D一定是“无界”的才能得证在T≠0时x+T∈D.因此，y=sinx, 当x∈R或x∈[0,+∞)或x∈(-∞,0]时都是周期函数，而当x∈[0,10π]或x∈[0,100π]等都不能构成周期函数.（2）若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T≠0)，则T的非零整数倍即nT(n∈Z, n≠0)都是f(x)的周期.例1．若函数f(x)定义域为R，且满足f(x-1)=f(x+1)，求证：f(x)是周期函数.证明：∵f(x)的定义域为R，∴当x∈R时，x+1∈R,由已知f(x+1)=f(x-1)有f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)即f(x+2)=f(x)由周期函数的定义可知，y=f(x)是周期函数，且有一个周期是2.例2．设函数f(x)的最小正周期为1998，并且f(999+x)=f(999-x)对一切x∈R均成立，试判断f(x)的奇偶性.解：∵T=1998，∴f[(999+x)-1998]=f(999+x)=f(999-x)f(x-999)=f(999-x)f[-(999-x)]=f(999-x)，即：f(-x)=f(x)，∴f(x)是偶函数.例3．（96年全国高考题）设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x, 则f(7.5)=()A、0.5B、-0.5C、1.5D、-1.5解法1：由已知f(x+2)=-f(x)依次地把7.5逐步地降下去即f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=-[-f(3.5)]=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.故选B.解法2：∵f(x)定义域为(-∞,.+∞)∵x∈R, x+2∈R,∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)是以4为周期的函数，因此，8也是f(x)的一个周期，∴f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.二、函数图象的几何变换所谓图象的几何变换法，就是把常见函数图象与图象几何变换的知识结合起来而获得函数图象的一种重要的途径.函数图象的变换包括四种：平移变换、伸缩变换、对称变换以及绝对值变换.（一）平移变换由y=f(x)→y=f(x+a)+b，分为横向平移与纵向平移.1．横向平移：由y=f(x)→y=f(x+a)把y=f(x)的图象上各点沿x轴平移|a|个单位；当a>0时，向左平移；当a<0时向右移动.2．纵向平移：由y=f(x)→y=f(x)+b把y=f(x)的图象上各点沿y轴平移|b|个单位；当b>0时，向上移动；当b<0时，向下移动.（二）伸缩变换由y=f(x)→y=Af(ωx) (A>0,ω>0) 分为横向与纵向伸缩，其变换过程可表示为：y=f(x)y=f(ωx)y=Af(ωsx)例1．利用图象变换，作出y=的图象.解：∵y===1-，∴要得到y=1-的图象，需要把y=的图象经过以下的变换才能得到：y=y=y=y=-y=1-(图略).（三）对称变换包括关于x轴，y轴，原点，y=x直线对称.1．关于x轴对称：y=f(x)与y=-f(x)，其解析式的特征是：用-y代y，解析式能由一个变成另一个.2．关于y轴对称：y=f(x)与y=f(-x)，其解析式的特征是：用-x代x，解析式能一个变成另一个.3．关于原点对称：y=f(x)与y=-f(-x)，其解析式的特征是：用-x，-y分别代x，y，解析式能由一个变成另一个.4．关于直线y=x直线对称：y=f(x)与y=f-1(x)，其解析式的特征是：用x代y，用y代x，解析式能由一个变成另一个.（四）绝对值变换有两种：y=|f(x)|与y=f(|x|)1．由y=f(x)→y=|f(x)|由绝对值的意义有：y=|f(x)|=因此，几何变换的程序可以设计如下：(1)留住x轴上方的图象(2)翻折，将x轴下方的图象沿x轴对称上去(3)去掉x轴下方的图象2．由y=f(x)→y=f(|x|)由绝对值的意义有：y=f(|x|)=因此，可将这种几何变换设计为：(1)留住y轴右侧的图象(2)去掉y轴左侧的图象(3)翻折：将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧.例2．利用图象变换作出下列函数的图象.(1) y=(2)y=解：(1) y=的图象可以这样得到：y=y=y=.即：(2)y=y=y=y=即：注意：本题中的每题的几何变换中涉及到到了两种变换（平移与绝对值变换）的次序是一定，不能随意更换.例3．（97年全国高考题）将函数y=2x的图象（）A、先向左平移1个单位B、先向右平移1个单位C、先向上平移1个单位D、先向下平移1个单位再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象.分析与解答：这里函数y=log2(x+1)的图象不是函数y=2x的图象进行的指定平移变换的结果，依题意，这个平移变换的结果是函数y=log2(x+1)的反函数的图象，而函数y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1，于是，选D.。

函数的奇偶性与单调性一.知识总结1. 函数的奇偶性(首先定义域必须关于原点对称)⑴「二；二~ ;二为奇函数;「「「匸J为偶函数；(2) 奇函数/二 1 1；在原点有定义—'■111-(3) 任一个定义域关于原点对称的函数一； < 一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和(⑴二me”+ 了(力+/(7)即'’ 1 (奇) 1 (偶).2. 函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1) 定义：区间丄上任意两个值若 .，时有'■■! ' ' U,称「门为二上增函数若〔二时有 '' <'，称；二为二上减函数.(2) 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质)；④复合函数单调性判断法则.3•周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段•求周期的重要方法：①定义法；②公式法;③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b- x)=f(b+x),a 咖,T=2|a-b|..例题精讲(I )求厂的值；(H )若对任意的,不等式恒成立，求］的取值范围.解析：(I)因为；工是奇函数，所以.'""=0,5-1即.：■■ \ _1-2即：「一 Ji..'. 一—1丨丄"「丨…. 整理得 2护如＞ 1,因底数2儿故:-【例1】已知定义域为二的函数产匸是奇函数.又由 f (1) = -f(-1)知-，(u)由(I)知/w=1-2*又由题设条件得:2+2 二 二严一盂+1-- 二.上式对一切「一 ?'均成立，7△二4 + 12上 <0^k从而判别式?【例2］设函数/' ■ - I r "」在】.处取得极值—2,试用一表示‘和「并求的单调区间.解：依题意有「. 「I 而l + o+0+亡二一 2 ［a = c< <故\3 + 2a+b = 0解得［b = -2c-3从而」：' - ■■-F ：--；】'，-.|__2c + 3令；门，得】一或―:0由于J T 在—■处取得极值，2c + 3 彳故 2 ，即二0( 玄+外xe -DO , -------I孑丿时,(1)，即一 •一，则当(2)f （n<o ；当壮（1,血）时，/（x ）》o ；从而；：:’的单调增区间为2c+3 32c + 3单调减区间为-- 二.上式对一切「一 ?'均成立，7>1 2若」 ，即:■'-，同上可得,【例3 ](理)设函数：八 U ",若对所有的.--I ,都有 /⑴3曲成立,求实数A 的取值范围.(文)讨论函数的单调性(理)解法一：令 g(x) = (x + 1)1 n(x + 1) — ax ,对函数 g(x)求导数：g ' (x) = ln(x + 1) + 1 — a令 g ' (x) = 0,解得 x = e'T — 1,(i) 当 a < 1 时，对所有 x >0, g ' (x) >0,所以 g(x)在[0 ,+^)上是增函数，又g(0) = 0,所以对x >0,都有g(x) >g(0)，即当a < 1时，对于所 有 x >0,都有 f(x) >ax .(ii) 当 a > 1 时，对于 0v x v e a1 — 1, g ' (x) v 0,所以 g(x)在(0 ,e a _1— 1)是减函数，又 g(0) = 0,所以对 0v x v e a — J1,都有 g(x) v g(0)，即当 a > 1时，不是对所有的x >0,都有f(x) >ax 成立•综上，a 的取值范围是(—x, 1].解法二：令g(x) = (x + 1)ln(x + 1) — ax ，于是不等式f(x) > ax 成立即为g(x) > g(0)成立.,■二的单调增区间为]_2用单调减区间为一-对函数g(x)求导数：g' (x) = ln(x + 1) + 1 —a令g' (x) = 0,解得x= e —1,当x>e a—1— 1 时，g' (x) >0, g(x)为增函数，当一1 <x v e a—1—1, g' (x)v 0, g(x)为减函数，所以要对所有x >0都有g(x) >g(0)充要条件为e a—1—K 0.由此得a< 1,即a的取值范围是(一X, 1].(文)解：设-'1 ■' r i -,亠、吗吒_°估—乃)(1 + ®可)］皿-j^2)- ；一; - 二TZ.则1. -...-I -—■-'...可-可<0 , 0 , 1—》0 ,当< -11时，一打…—，则；二为增函数当疔汀时，则m为减函数当■时，< 1为常量，无单调性对函数g(x)求导数：g' (x) = ln(x + 1) + 1 —a令g' (x) = 0,解得x= e 【例4】(理)已知函数■'---,其中为常数.(I )若 ' ' 11,讨论函数；工的单调性；/(x)-ur(n)若,且x=4,试证:一6 5 X £/ .（文）已知」「为定义在二上的奇函数，当「■ I时，「—j ,求；二的表达式.（理）解匕（I）求导得=［屮+@+e a 因扌＞4（c-1）一故方斷（Q =唧:？十@ +耶+b+z 喑两根。

一、函数的奇偶性奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数；()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数.性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;(2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分)(3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分)(4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数⇔()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 图像关于原点对称； 函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 图像关于y 轴对称.(6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D = 则在D 上有:(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++ 为奇函数⇔偶次项系数全为0； 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++ 为偶函数⇔奇次项系数全为0. 二、函数的单调性单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间.性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式：①()()()121200f x f x x x -><⇔-在D 上单调递增(递减);②()()()()121200x x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦()f x 在D 上单调递增(递减).(3)若()f x 在R 上单调递增,则()()f a f b a b >⇔>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦在D 上是增(减)函数.(5)单调性与奇偶性:若奇函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递增(减);若偶函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递减(增);(6)复合函数单调性:两个单调函数()f x 与()g x 复合,不论复合结果是()f g x ⎡⎤⎣⎦还是()g f x ⎡⎤⎣⎦,有如下性质:若()f x 与()g x 单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若()f x 与()g x 单调性相反,一个增一个减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”.单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上是增（减）函数.例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上是减函数.事实上,若取1211x x =-<=,有(1)11(1)f f -=-<<.一、函数的奇偶性题型一 判断并证明函数的奇偶性 方法:(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式; (2)图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性. 说明：(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用;(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称; (3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可;(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数. 例1.判断下列函数的奇偶性:(1)x xx x f ++=1)(2； (2)()(1f x x =-(2)()0f x = (4) ()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f(5)()2212-+-=x x x f(6)已知函数)(x f 满足:),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++,且0)0(≠f ,则函数)(x f 的奇偶性为________.题型二 利用奇偶性求函数式或函数值 例2.完成下列各题:1.设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数,又当0>x 时2()23f x x x =--,试求)(x f 的解析式.3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x <≤时,()f x x =,求(7.5)f 的值.4.设()f x 在R 上是偶函数,在区间(,0)-∞上递增,且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+,求a 的取值范围.5.已知函数53()4f x ax bx =++,若(2)0f -=,求(2)f 的值.6.若函数()f x 是偶函数,则=--+)211()21(f f ________. 7.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且()()11f xg x x +=-,试求()()f x g x 与的表达式.题型三 逆用函数奇偶性求参数的值例3.1.若函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数,求实数,m n 的值。