北京市海淀区重点中学2014年春学期高三一模 数学试卷(理科,有答案)

2014北京市海淀区高三（一模）数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）3．（5分）下列函数f（x）图象中，满足f（）＞f（3）＞f（2）的只可能是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的普通方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y=0 D．x+y﹣2=05．（5分）在数列{a n}中，“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种7．（5分）某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．10．（5分）函数y=x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于．11．（5分）如图，AB切圆O于B，AB=，AC=1，则AO的长为．12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切，则m= ．13．（5分）如图，已知△ABC中，∠BAD=30°，∠CAD=45°，AB=3，AC=2，则= ．14．（5分）已知向量序列：，，，…，，…满足如下条件：||=4||=2，2•=﹣1且﹣=（n=2，3，4，…）．若•=0，则k= ；||，||，||，…，||，…中第项最小．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sin xcos x，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g （t）．（Ⅰ）求g（0）的值；（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[﹣，]上的取值范围．16．（13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．19．（14分）已知A，B是椭圆C：2x2+3y2=9上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，B两点关于x轴对称，且△MAB为等边三角形时，求AB的长；（Ⅱ）当A，B两点不关于x轴对称时，证明：△MAB不可能为等边三角形．20．（13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A （n）：A1，A2，A3，…，A n与B（n）：B1，B2，B3，…，B n，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i+1⊥B i B i+1，其中i=1，2，3，…，n﹣1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．（Ⅰ）求A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列B（3）；（Ⅱ）判断A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）是否存在正交点列B（4）？并说明理由；（Ⅲ）∀n≥5，n∈N，是否都存在无正交点列的有序整点列A（n）？并证明你的结论．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．2．【解答】∵z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，∴复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（2，0）．故选：D．3．【解答】由所给的不等式可得，函数是先减后增型的，故排除A，B，由于C的图象关于x=1对称，左减右增，有f（）=f（）＜f（3），故排除CD图象在（0，1）上递减且递减较快，在（1，+∞）递增，递增较慢，可能满足f（）＞f（3）＞f（2），故选D．4．【解答】将直线l的参数方程为（t为参数），利用代入法，化成普通方程为x﹣y﹣2=0．故选：A．5．【解答】若“{a n}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，a n=2a n﹣1，成立．当a n=0，n=1，2，3，4，…时满足a n=2a n﹣1，n=2，3，4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【解答】记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，6．21212112；共5种摆法，故选B7．【解答】∵原价是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次，故答案选：C．8．【解答】设点B（x，ln（x+1）），则点A，B的中点的坐标是（，），由于此点在曲线M：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即两函数y=ln（x+1）与y=的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数y=ln（x+1）与y=的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，所以a=1故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】由三视图知：几何体为三棱柱，且三棱柱的高为8，底面三角形的一条边长为6，该边上的高为4，∴几何体的体积V=×6×4×8=96．故答案为：96．10．【解答】由方程组，解得，x1=0，x2=1．故所求图形的面积为S=（ x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=．故答案为：．11．【解答】设圆的半径为r，则∵AB切圆O于B，∴AB2=AC•（AC+2r），∵AB=，AC=1，∴3=1+2r，∴r=1，∴AO=AC+1=2．故答案为：2．12．【解答】抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，圆x2+y2+mx﹣=0的圆心O（﹣，0），半径r=，∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切，∴圆心O（﹣，0）到准线为x=﹣1的距离d=r，∴d=|﹣1|=，解得m=，故答案为：．13．【解答】过C作CE∥AB，与AD的延长线相交于E，则∠AEC=30°．在△AEC中，∵∠CAD=45°，∴，∴CE=2，∵CE∥AB，AB=3，∴===．故答案为：．14．【解答】∵﹣=，∴=+（k﹣1），又∵||=4||=2，2•=﹣1∴||=2，||=，•=∴•=•[+（k﹣1）]=+（k﹣1）•=22+（k﹣1）（）=0，解得k=9∴=[+（k﹣1）]2=+（k﹣1）2+2（k﹣1）•=22+（k﹣1）2﹣（k﹣1）=（k﹣3）2+3，故当k=3时，上式取最小值，即||最小，故答案为：9；3三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=2sin xcos x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴g（t）在上的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．【解答】（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：=（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）=36，众数为33．（2分）（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a=34时，X=136元，当a＞35时，X=35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，（4分）P（X=136）=，P（X=147）=，P（X=154）=，P（X=189）=，P（X=203）=，X的分布列为：X 136 147 154 189 203P（9分）=．（11分）（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元，乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元．（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD．（3分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，（4分）不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1．由图1条件计算得，，，EF=，则，．∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量为=（0，0，）．（6分）设平面ADC的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得=（﹣1，，1）．（8分）∴cos＜＞==，∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为．（9分）（Ⅲ）解：设，其中λ∈[0，1]．∵，∴，其中λ∈[0，1]，（10分）∴，（11分）由，即，（12分）解得，（13分）∴在线段AF上存在点M，使，且．（14分）18．【解答】（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a ≠0，g'（x ）=a （e ax﹣1），由g'（x ）=0得x=0，g'（x ），g （x ）的情况如下： x （﹣∞，0）0 （0，+∞） g'（x ）﹣ 0 + g （x ） ↘ 极小值 ↗ 所以g （x ）的最小值为g （0）=1﹣b ，所以实数b 的取值范围是b ＜1；综上，实数b 的取值范围是b ＜1．法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y=ax+b 的上方，等价于∀x ，a ∈R ，都有e ax ＞ax+b ，即∀x ，a ∈R ，b ＜e ax ﹣ax 恒成立，令t=ax ，则等价于∀t ∈R ，b ＜e t ﹣t 恒成立，令g （t ）=e t ﹣t ，则 g'（t ）=e t ﹣1，由g'（t ）=0得t=0，g'（t ），g （t ）的情况如下： t （﹣∞，0）0 （0，+∞） g'（t ）﹣ 0 + g （t ） ↘极小值 ↗所以 g （t ）=e t ﹣t 的最小值为g （0）=1，实数b 的取值范围是b ＜1．19．【解答】（Ⅰ）解：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为△ABM 为等边三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点A （x 0，y 0）在椭圆上， 所以 消去y 0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得到 ，解得x 0=2或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当x0=2时，；当时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），则，且x1∈[﹣，]，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设B（x2，y2），同理可得，且x2∈[﹣，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为在[﹣，]上单调所以，有x1=x2⇔|MA|=|MB|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为A，B不关于x轴对称，所以x1≠x2．所以|MA|≠|MB|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以△ABM不可能为等边三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．【解答】（Ⅰ）设点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列是B1，B2，B3，由正交点列的定义可知B1（0，2），B3（5，2），设B2（x，y），，，由正交点列的定义可知，，即，解得所以点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列是B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）．（3分）（Ⅱ）由题可得，设点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，则可设，λ1，λ2，λ3∈Z因为A1与B1，A4与B4相同，所以有因为λ1，λ2，λ3∈Z，方程（2）显然不成立，所以有序整点列A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∀n≥5，n∈N，都存在整点列A（n）无正交点列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∀n≥5，n∈N，设，其中a i，b i是一对互质整数，i=1，2，3…，n﹣1若有序整点列B1，B2，B3，…B n是点列A1，A2，A3，…A n正交点列，则，则有①当n为偶数时，取A1（0，0），．由于B1，B2，B3，…B n是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，…，n﹣1．等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，…A n无正交点列；②当n为奇数时，取A1（0，0），a1=3，b1=2，，由于B1，B2，B3，…B n是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，…，n﹣1．等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，…A n无正交点列．综上所述，∀n≥5，n∈N，都不存在无正交点列的有序整数点列A（n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.B3.C4.C5.A6.D7. C8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 1 10. 方案三11. 35,712. ③,2()817f x x x=-+13. 15214.π[0,)2{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2不扣分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.解：（Ⅰ）ππππ()sin sin()6663f=-----------------------------------1分ππsin sin()66=-----------------------------------2分ππsin sin66=+---------------------------------3分π2sin16==---------------------------------4分（Ⅱ）1()sin sin22f x x x x=-+---------------------------------6分1sin2x x=+sin()3xπ=+--------------------------------8分因为ππ22x-≤≤所以ππ5π636x-≤+≤--------------------------------10分所以1πsin()123x -≤+≤ --------------------------------12分所以()f x 的取值范围是1[,1]2- --------------------------------13分16.解：(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A55()10.45100P A =-= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机 ，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则7()0.710P M == --------------------------------13分 17.解：（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 （Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A EEF E =所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面所以1BD A F ⊥ ------------------------9分（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BDBCD BD =平面平面,EF BD ⊥,EF CBD ⊂平面，所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥，因为1A B DM ⊥，CDDM D =，所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，这与1A BD ∠为锐角矛盾所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分18.解：(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分令'()0f x =，得 1ex =------------------------------------3分 '()f x 与()f x 的情况如下：分所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1(,)e+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1：设1()ln g x x x=+，0x > ------------------------------------7分 22111'()x g x x x x-=-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下：所以()(1)1g x g ≥=，即 1ln 1x x+≥在0x >时恒成立， ----------------------10分 所以，当1k ≤时，1ln x k x+≥， 所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. ------------------------13分 证明2：令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分令'()0g x =，得1e k x -= -----------------------------------9分'()g x 与()g x 的情况如下：分()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分当1k ≤时，1e 1k -≤，所以11e 0k --≥故()0g x ≥ -----------------------------12分 即当1k ≤时，()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解：（Ⅰ）证明：因为,A B 在椭圆上，所以2211222224,2 4.x y x y ②①ìï+=ïíï+=ïî -----------------------------------1分 因为,A B 关于点(1,0)M 对称，所以12122,0x x y y +=+=， --------------------------------2分将21212,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③，由①和③消1y 解得11x =， ------------------------------------------4分 所以 121x x ==. ------------------------------------------5分 （Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，(0,A B -，可得AB MA ==∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分当直线AB 存在斜率时，显然斜率不为0.设直线AB ：3y kx =+，AB 中点为00(,)N x y ，联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)12140k x kx +++=， ------------------7分2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-由0∆>，得到274k >① -----------------------------------8分 又1221212kx x k -+=+, 1221412x x k⋅=+ 所以0002263,31212k x y kx k k -==+=++， 所以 2263(,)1212k N k k-++ -------------------------------------------10分 假设∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， 又因为(1,0)M ，所以1MNk k ⨯=-， 即2231216112k k kk +⨯=---+， ---------------------11分 化简 22310k k ++=，解得1=-k 或12k =----------------12分 这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解：（Ⅰ）有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.-------------------------1分理由如下：由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-，，, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ，.所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分 （Ⅱ）证明 ：由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,与与A B A B 相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②因为λλλ∈123，，Z ，方程②不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分 （Ⅲ）存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分当5n =时，设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ，由441i+1=11+==∑∑i i i i i A AB B得44=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①②取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==- 由于12345,,,,B B B B B 是整点列，所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。

此为过程稿，请以纸质版为准！ 海淀区九年级第二学期期中测评数学试卷答案及评分参考2014．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：0(3π)-++︒60tan 211()3-=13+-…………………………………………………………………4分 =4 ……………………………………………………………………………5分14. 解：49132. 2x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩， ①②由①，得3x >-, ……………………………………………………………………2分由②，得1x <, ……………………………………………………………………4分 ∴原不等式组的解集为31x -<<. …………………………………………………5分15. 解： 2(3)(3)(23)x x x +++-22=69239x x x x ++++- 2=39.x x + ……………………………………………………………………………3分2340,x x +-= 23 4.x x ∴+=∴原式()233x x =+=34=12.⨯ ………………………………………………………5分16. 证明：∵∠EAB =90º，EDCBA∴∠EAD+∠CAB =90º. ∵∠ACB =90º， ∴∠B+∠CAB =90º.∴∠B =∠EAD . ……………………………………………………………………1分 ∵ED ⊥AC ， ∴∠EDA =90º.∴∠EDA =∠ACB . ………………………………………………………………2分 在△ACB 和△EDA 中， ,,,B EAD BC AD ACB EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△EDA ． ……………………………………………………………4分 ∴AB=AE ． …………………………………………………………………………5分17. 解：设原计划每年建造保障性住房x 万套. ………………………………………1分根据题意可得:80802(125%)x x-=+ ． ……………………………………………2分 解方程，得 8x =. …………………………………………………………………3分 经检验:8x =是原方程的解，且符合题意． ………………………………………4分答：原计划每年建造保障性住房8万套． ……………………………………………5分18．解：（1）∵B (1)m ,在2(0)y x x=>的图象上， ∴2m =.∴B (2, 1)． …………………………………………………………………………1分 ∵B (2, 1)在直线y ax a =-（a 为常数）上， ∴12,a a =-∴ 1.a = ……………………………………………………………………………2分 ∴一次函数的解析式为 1.y x =- …………………………………………………3分 （2）P 点的坐标为（0，1）或（0，3）． ……………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BD =3∴1cos ,2BC ABC AC AB AB ∠==,90903060BAC ABC ∠=-∠=-=.∴14,42cos 2BC AB AC ABC ====⨯=∠. …………………………1分∵△ACD 为等边三角形，∴2AD CD AC ===,60DAC ∠=. 过点D 作DE AC ⊥于E ， 则sin 2sin603DE AD DAC =∠=⨯=∴ABC ACD ABCD S S S =+△△四边形1122AC BC AC DE=⋅+⋅112222=⨯⨯⨯= ………………………………………3分 （2）过点D 作DF AB ⊥于F .∵180180606060DAF BAC DAC ∠=-∠-∠=--=, ∴sin 2sin603DF AD DAF =⋅∠==cos 2cos601AF AD DAF =⋅∠==. ………………………………………4分∴415BF AB AF =+=+=． ∵DF AB ⊥，∴在Rt BDF △中，22222528BD DF BF =+=+=.∴BD = …………………………………………………………………5分20． 解：（1）20.0%； ……………………………………………………………………1分（2）8365; ……………………………………………………………………………2分………………………………………………3分（3）9%，2016． …………………………………………………………………………5分53106229 69007703 总额/亿元 年份北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图836521． 解：（1）连接,OD AD .∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=. 又∵AB AC =，∴D 为BC 的中点. 又∵O 为AB 的中点， ∴OD //AC .∵DF ⊥AC ， ∴DF ⊥OD .又∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 为⊙O 的切线．………………………………………………………………2分 （2）∵DF ⊥AC ，9CF =,∴cos CFC CD =. ∴3915cos 5CF CD C ==÷=.…………………3分 ∵90ADB ∠=， ∴90ADC ∠=. ∴cos CDC AC =. ∴31525cos 5CD AC C ==÷=. . ……………………………………………………4分 连接BE .∵AB 是⊙O 的直径，∴90AEB ∠=. 又∵DF ⊥AC ， ∴DF //BE .∴1CF CDEF BD ==. ∴9EF CF ==.∴25997AE AC EF CF =--=--=． ……………………………………5分22． 解：①6；………………………………………………………………………………1分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分（1） ……………………………………………………………………3分 （2）4+4sin α． ………………………………………………………………5分5五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23． 解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则22=()4=()m n mn m n ∆+--. ………………………………………………………1分∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点，∴(0,)A n ，且0n >. 又0m <，∴0m n -<. ∴2=()0m n ∆->.∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点．………………………………………2分（2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,nx x m==．由（1）得0nm<，故B 的坐标为（1，0）. ………………………………………3分 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n .则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+.再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--． …………………………………4分 （3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点， ∴2(1)1q mp m p =-++.∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -. ∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上.∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+； ……………………………5分 结合图象可知：(124)2m -+≤，解得：12m ≥-，………………………………………………………………………6分∴m 的取值范围为102m -≤<．……………………………………………………7分24．解：（1）30°；……………………………… ………………………………………1分 （2）如图作等边△AFC ，连结DF 、BF ．∴AF=FC=AC ， ∠F AC=∠AFC=60°. ∵∠BAC =100°，AB=AC ，∴∠ABC =∠BCA =40°. ∵∠ACD =20°，∴∠DCB=20°. ∴∠DCB=∠FCB=20°. ① ∵AC=CD ，AC=FC ， ∴DC=FC . ②2∵BC=BC ，③∴由①②③，得 △DCB ≌△FCB ，∴DB=BF ， ∠DBC=∠FBC. ∵∠BAC =100°， ∠F AC=60°，∴∠BAF =40°. ∵∠ACD =20°，AC=CD ，∴∠CAD=80°. ∴∠DAF=20°. ∴∠BAD=∠F AD=20°. ④ ∵AB=AC ， AC=AF ， ∴AB= AF . ⑤ ∵AD= AD ，⑥∴由④⑤⑥，得 △DAB ≌△DAF . ∴FD= BD . ∴FD= BD=FB .∴∠DBF=60°. ∴∠CBD=30°. ………………………………………………………………………4分 （3）120m α=︒-, α=60° 或 240m α=︒- . ……………………………7分 25. 解：（1）①（-2，-4）; ……………………………………………………………1分②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2） .……………3分（2）±1； ……………………………………………………………………………5分 （3）设B （a ，b ）.∵B 的“属派生点”是A ，∴A （a -b +）. ………………6分∵点A 还在反比例函数y =的图象上，∴a b +()∴212b ()=.∵0b >∴b =∴b +∴B 在直线y =+上．…………………7分过Q 作y =+的垂线Q B 1,垂足为B 1，∵(Q ，且线段BQ 最短， ∴1B 即为所求的B 点，∴易求得3(2B .…………………………………………………………8分注：其他解法请参照给分.7。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.D3.D4. A5.B6. B7.C8. B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.9610.1611.212.3413.32414.9；3 (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15．解： （Ⅰ）π()sin3f x x = ---------------------------2分(1)(0)(0)1f fg -=------------------------------3分π3sinsin 03=-=.-------------------------------5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-------------------------------6分πππsincos cos sin sin 33333t t t ππ=+- ------------------------------7分1π3πsin 233t t =-------------------------------8分ππsin()33t =--------------------------------10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，------------------------------11分所以π1sin()[1,]332t π-∈-，-----------------------------12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2------------------------------13分16.解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}X 的分布列为：X136147154189203P110310 210 310110--------------------------------------9分{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655==165.5()10元--------------------------------------11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD .--------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ---------------------------4分不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，3AE =23BC =3BF =则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),3),((3,2,0)3E D B AF C --------5分 (3,1,0),(0,1,3)DC AD ==.由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA . -----------------------------------6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,30.x y y z +=-=⎪⎩ 令1z =，则3,1y x ==，所以3,1)=-n .------------------------------------8分平面DCB 的法向量为EA 所以5cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ， 所以二面角A DC B --5------------------------------9分（Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈.由于3(3)3AF =， yzxE CA 1D F所以3(3)3AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈ --------------------------10分所以3,0,(1)33EM EA AM λ⎛=+=- ⎝--------------------------11分由0EM ⋅=n ，即3303λλ=-(1-）---------------------------12分解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =.-------------14分 18．解（Ⅰ）e axy a '=，-----------------------------------2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=.----------------------------------4分解得1m =，2a =-----------------------------------5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e 0axax b -->恒成立，--------------------------------------6分令()e axg x ax b =--，----------------------------------------7分①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <；----------------------------------------8分②若0a ≠,()(e 1)axg x a '=-，由'()0g x =得0x =， ----------------------------------------9分'(),g x 的情况如下：x0∞（-,）0 ∞（0,+）'()g x -+()g x极小值-----------------------------------------11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-，-------------------------------------------12分所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <．--------------------------------------13分法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有eaxax b >+，即∀x ,a ∈R ，e ax b ax <-恒成立， -------------------------------------------6分令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e tb t <-恒成立，令()e t g t t =-，则()e 1tg t '=-，-----------------------------------------7分由'()0g t =得0t =， ----------------------------------------9分'(),(g t g t 的情况如下：t 0∞（-,）0 ∞（0,+）'()g t -+()g t极小值-----------------------------------------11分所以()e tg t t =-的最小值为(0)1g =， ------------------------------------------12分实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------------13分19．解：（Ⅰ）设00(,)A x y ,00(,)-B x y ，---------------------------------------1分因为∆ABM 为等边三角形，所以003||1|=-y x . ---------------------------------2分又点00(,)A x y 在椭圆上，所以0022003|||1|,3239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，-----------------------------------------3分得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，----------------------------------4分当02=x 时，23||3=AB ； 当043=-x 时，143||9=AB .-----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，------------------6分由0∆>得到222960--<m k ① ----------------------------7分所以122623+=-+kmx x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k ， ----------------------------8分所以2232(,)2323-++km mN k k ，又(1,0)M如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， --------------------------9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，------------------------------10分化简2320k km ++=，②------------------------------11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，-------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以222221111121||(1)(1)3(3)133MA x y x x x =-+=-+-=-+----------------8分 设22(,)B x y ，同理可得221||(3)13MB x =-+2[3,3]x ∈- -----------------9分因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =， ---------------------------------11分因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠， ---------------------------------13分所以∆ABM 不可能为等边三角形. ---------------------------------14分20.解：（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ，1223(,2)(5,2)=-=--B B x y B B x y ，，由正交点列的定义可知12120A A B B ⋅=,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩解得25=⎧⎨=⎩x y 所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分 （Ⅱ）由题可得122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ，,λλλ∈123，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为λλλ∈123，，Z ，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列；---------------8分（Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,,n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ，则有11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数.由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =-.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列；②当n 为奇数时，取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数, 由于123,,,n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =-.等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。

一．基础题组
1.【北京市朝阳区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】若
12
()d0
x mx x
+=⎰，则
实数m的值为( )
A．
1
3
-B．
2
3
-C．1-D．2-
2.【北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学试题（理科）】1
0(21)d
x x
+=
⎰___________.
3.【北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）】若dx
x
a⎰=202，dx
x
b⎰=203，dx x
c⎰=20sin，则c b a,,从小到大的顺序为.
4.【北京市丰台区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】曲线
1
()
f x x
x
=+在
1
2
x=处的
切线方程是______，在x=x0处的切线与直线y x
=和y轴围成三角形的面积为。

5.【北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学试题（理科）】如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<与函数1y x =+的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式；
（II ）求函数()f t 的最大值.。

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）2014.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。

数学（理）答案及评分参考一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15（10）11）3 （12）2π3（13）13；4（14）11,,A B D 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分0x 的值是53. (5)分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-. ………………7分所以1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =--………………8分1πsin πsin π2x x x =--3ππsin ππ)23x x x =-=+. ………………10分 因为11[,]23x ∈-，所以ππ2ππ633x -≤+≤.所以当ππ03x +=，即13x =-时，()g x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值2-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分 因为321105a b +++=， 所以15b =. ………………8分 所以113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分 （Ⅲ）2212s s =. (13)分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C 平面11BB C C ，所以1ABB C . ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，CBC 1B 1A 1A所以 1B C 平面1ABC . (4)分 因为1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC .………………5分（Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： (6)分取BC 的中点G ，连接,GE GA . 因为 E 是1B C 的中点， 所以GE ∥1BB ，且GE 112BB . 因为 F 是1AA 的中点， 所以AF112AA . 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB .所以 GE ∥AF ，且GEAF .所以 四边形GEFA 为平行四边形.所以 EF ∥GA . ………………8分 因为 EF平面ABC ，GA平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分（Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB .由（Ⅰ）可知：AB平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B . 在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以(0,C -，1(0,1C .GFECB C 1B 1A 1A设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即(,,1)(2,0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分所以1113((0,3,2cos ,CBCB CB ⋅⋅<>===⋅n n n . 所以二面角1B AC C --的余弦值为7.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,a b ==. 所以椭圆M 的短轴长为………………2分 因为1c ==， 所以12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y+=. (7)分因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++………………9分20013504x x =++>，………………11分 所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上. (13)分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+21212(1)()1m y y m y y =++++22296(1)13434m m m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分因为cos (1,0)CA CB C CA CB⋅=∈-⋅，所以π(,π)2C ∠∈. ………………11分所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分因为()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立， 所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分 当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-， 得0x =.所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为 2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为24(,)a a T ∈，所以42(,)0T d a a =.所以4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]n T i T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T m l a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知，12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为()1T l f n <-，所以存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅. 则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.所以(,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=. ………………14分。

数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值（D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科一、 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.以下函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，假设tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，假设//OB AC ，则实数m 的值为( C ) A. 2-B. 12-C.12D. 25.假设a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的〔B 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是〔B 〕 A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩假设11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为〔D 〕 A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在以下给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中，正确结论的个数为〔C 〕 A. 0个个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每题5分，共30分。

2014北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210..211. ab c 12..2π3,π613..214. 4；6(31)n 三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A 和332ABCS 可得133sin6022bc , ---------------------------2分所以6bc，--------------------------------------3分又32,bc 所以2,3bc . ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ,60A ,由余弦定理2222cos a bc bc A 可得------------------------------------7分2222367a ，即7a . ------------------------------------9分由正弦定理sin sin ab AB 可得------------------------------------11分72sin sin60B，------------------------------------12分所以21sin 7B.------------------------------------13分16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x ------------------------------------2分3cos4sin4xx ------------------------------------4分π2sin(4)3x ------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x ，所以ππ4π4333x -----------------------------------10分所以3πsin(4)123x -----------------------------------12分所以π32sin(4)23x ，-----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[3,2]. ------------------------------------14分17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t -------------------------------------1分所以APH 的面积为1()(11)1,1112f t t t t . ---------------------4分（II ）解法 1. 111'()1(11)2221f t t t t 3(3)41t t -------------------------------------7分由'()0f t 得3t ，-------------------------------------8分函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：t (1,3) 3 (3,11)'()f t + 0()f t ↗极大值↘-----------------------------------12分所以当3t 时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法 2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t 设2()(11)(1),111g t t t t ，-------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t .-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表：t (1,3) 3 (3,11)'()g t + 0()g t ↗极大值↘------------------------------------11分所以当3t 时，函数()g t 取得最大值，-----------------------------------12分所以当3t 时，函数()f t 取得最大值1(3)82g .------------------------------------13分18.解：（I ）由②可得2112a a ，3122a a -------------------------------2分由①可得12a . -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a ，------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n na . ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n nn b a ，易得1{4},{2}n n 分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n .--13分19.解：（I ）因为1a，2()42ln f x x x x , 所以2242'()(0)x x f x x x,------------------------------1分(1)3f ，'(1)0f ,------------------------------3分所以切线方程为3y. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x , ----------------------------5分由'()0f x 得12,1x a x , ------------------------------6分当01a 时，在(0,)x a 或(1,)x 时'()0f x ，在(,1)x a 时'()0f x , 所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)，单调减区间是(,1)a ；---------------7分当1a时，在(0,)x 时'()0f x ，所以()f x 的单调增区间是(0,)；-----8分当1a 时，在(0,1)x 或(,)x a 时'()0f x ，在(1,)x a 时'()0f x .所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a ，单调减区间是(1,)a . ---------------10分(III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分即有(1)12(1)0f a 且2(e)e 2(1)e 20f a a ,解得2e 2e 2e 2a . ---------------------14分20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a ,2312,(2)3k k k k a a a a ；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a ,21(1)3k k a a ,31(1)13k ka a ；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a ,3123k k a a ；所以3123k ka a ，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a ，则3k k a a ”. 因为*k a N ，所以31k k a a .所以数列{}n a 中必存在某一项3m a （否则会与上述结论矛盾！）若3m a ,则121,2m m a a ；若2m a ,则123,1m m a a ,若1m a ,则122,3m m a a , 由递推关系易得{1,2,3}A .---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. 由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a 时，总有3nn a a 成立，其中,1,2,n m m m . 下面考虑当12014a a 时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b 或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b ，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b 最小，需使2112nn n b b b ，所以，满足3nn b b 最小的数列{}n b 中，34b 或7，且33332k k b b ，所以33(1)13(1)kk b b ，所以数列3{1}k b 是首项为41或71的公比为3的等比数列，所以131(41)3k kb 或131(71)3k k b ，即331k k b 或3231k k b ，因为67320143，所以，当2014a 时，k 的最大值是6，所以118a b ，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2014.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)1((2)f >的只可能是A BC D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为 线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点 的个数为a ，则 A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______. 10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 11.如图，AB 切圆O 于B ，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=________. 14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t .（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33[,]22-上的取值范围. 16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、10天的数据，制表如下：35件以内（含35AB D俯视图主视图侧视图件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1) 处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(Ⅱ)对任意实数a ， 曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点， 点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

一、选择题：1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 ( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 ( ) A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是( )【解析】4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为( )A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( ) A. 4种 B.5种C.6种D.9种考点：枚举法计数7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A.1 B.2 C.3D.48.已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则( ) A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10.函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B ，3AB =，1AC =，则AO 的长为_______．考点：切割线定理12.已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.【解析】。

2014年北京市各区高三一模试题题型汇编—函数与导数(理科) 1 (2014年东城一模理科)2 (2014年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2014年西城一模理科)如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是________.4 (2014年海淀一模理科)下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是（）．A B C D5 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线D CP1:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >6 (2014年海淀一模理科)函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于______．7 (2014年朝阳一模理科) 已知集合1{|()1}2x A x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}{|0}x x x x ><UD ．∅8 (2014年朝阳一模理科)已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④9 (2014年丰台一模理科)已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是)（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > 10 (2014年丰台一模理科) “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件11 (2014年石景山一模理科)下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =12 (2014年石景山一模理科)若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为________．13 (2014年顺义一模理科)已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）（A ）()0,1（B ）()1,+∞ （C ）51,3⎛⎤⎥⎝⎦（D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭14 (2014年延庆一模理科)对于函数x e x f axln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是()A ．1=a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x B ．2=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)41,0(0∈x C ．21=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D ．0<a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x 15 (2014年东城一模理科)16 (2014年西城一模理科)已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.17 (2014年海淀一模理科) 已知曲线:e axC y =．（Ⅰ）若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；（Ⅱ）对任意实数a ，曲线C 总在直线l ：y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围．18 (2014年朝阳一模理科)已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．19 (2014年丰台一模理科)已知曲线()xf x ax e =-(0)a ≠.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围. 20 (2014年石景山一模理科)设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明：切点的横坐标为1．21 (2014年顺义一模理科)已知函数21()ln 2f x ax x x =-+（,0a R a ∈≠） （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[)1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，求a 的取值范围21()()ln 2g x f x ax ax x x ax =-=-+-定义域(0,)+∞ 在区间[)1,+∞上，函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，22 (2014年延庆一模理科)已知函数b ax x x f +-=3)(3，),(R b a ∈． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为023=-+a y ax ，且)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点，求a 的取值范围．12D3_○2,○34 D5 B61 6_7A）8C9(C 10(A) 11C12_22 y x=-13C 14C 1516（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >… 2分所以 (1)1f '=，又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ………… 4分 （Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+， 令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h … 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立， 所以 1e≥a . …… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e [1].…………… 13分 17解（Ⅰ）e ax y a '=，——————————————————2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=—4分 解得1m =，2a =—————————————————5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ，a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ，a ∈R ，e 0ax ax b -->恒成立，————6分 令()e ax g x ax b =--，————————————————————7分 ①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <；————8分 ②若0a ≠，()(e 1)ax g x a '=-，由'()0g x =得0x =，———————9分'(),()g x g x 的情况如下：————————————————————————11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-，—————————————————————12分 所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <．——————13分 法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ，a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ，a ∈R ，e ax b ax <-恒成立，——————6分 令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e t b t <-恒成立，令()e t g t t =-，则()e 1t g t '=-，—7分 由'()0g t =得0t =，———————————9分'(),()g t g t 的情况如下：——————————————————————11分所以()e t g t t =-的最小值为(0)1g =， ————————————12分 实数b 的取值范围是1b <．————————————————————13分 18解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()f x ax x '=-21ax x-=． （Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分（Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减， 所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <，即211ea <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =．…………………………13分19解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分（Ⅱ）（1）当a>0时，令()0f x '=，则ln x a =.因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 20解：（Ⅰ）1a =时，2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝，…………………………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，，增区间1()2+∞，．…………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x+-≤对任意(01]x ∈，恒成立，…………5分12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立，令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤，……7分 易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-．1a ∴≤-．…………………8分 （Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根．…11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分 2122解：（Ⅰ）a x x f 33)(2-='，………………1分（1）当0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，……2分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x ±=；令0)(>'x f ，得a x -<或a x >令0)(<'x f ，得a x a <<-∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数，在],[a a -上是减函数．…………5 分（Ⅱ）∵a f 3)0(-='，b f =)0(，∴曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为ax b y 3-=-，即03=-+b y ax ，∴a b 2=，∴a ax x x f 23)(3+-=………………7 分由（Ⅰ）知，（1）当0≤a 时，)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增，所以题设成立………………8 分 （2）当0>a 时，)(x f 在a x -=处达到极大值，在a x =处达到极小值，此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f ， 即：02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a 即：023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a ………………11 分 解得：10<<a ………………12 分由（1）（2）可知a 的取值范围是)1,(-∞．………………13分。

北京市海淀区2014年初三一模试题 数学 2014．5一、选择题 1．13-的绝对值是A ． 3-B ． 3C ． 13- D ． 132． 据教育部通报，2014年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为1720000． 数字1720000用科学记数法表示为A ．517.210⨯B ．61.7210⨯C ．51.7210⨯D ．70.17210⨯ 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D4．一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为A ．23B ．12C ．13D ．165．如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB=8，OC =3，则⊙O 的半径长为 A ．3 C ．4 D ．56．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x 与方差2s ：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．如图，在ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED=150°，则∠A 的大小为 A ．150° B ．130° C ．120°D ．100°8．如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：24xy x -= ．10．已知关于x的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．11．如图，矩形台球桌ABCD 的尺寸为2.7m ⨯1.6m ，位于AB 中点处的台球E 沿直线向BC 边上的点F 运动，经BC 边反弹后恰好落入点D 处的袋子中，则BF 的长度为 m.12．在一次数学游戏中，老师在AB C 、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a ，0b ，0c ，记为0G =（0a ，0b ，0c ）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为n G =（n a ，n b ，n c ）．E DCBA F EDCB A 1.6m2.7m（1）若0G =（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；（2）小明发现：若0G =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G =________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：0(3π)-++︒60tan211()3--14． 解不等式组：49132.2x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩，15． 已知2340x x +-=，求代数式2(3)(3)(23)x x x +++-的值．16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE ⊥AC 于D ， ∠EAB =90º． 求证：AB=AE ．17．列方程（组）解应用题：某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年建造保障性住房多少万套？EDCB A18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax a =-（a 为常数）的图象与y 轴相交于点A ，与函数2(0)y x x=>的图象相交于点B (m ，1)． （1）求点B 的坐标及一次函数的解析式；（2）若点P 在y 轴上，且△PAB 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BC=，以AC 为边在△ABC 的外部作等边△ACD ，连接BD ． （1）求四边形ABCD 的面积； （2）求BD 的长．20． 社会消费品通常按类别分为：吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品，其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据．为了了解北京市居民近几年的生活水平，小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分：5310622969007703总额/亿元年份吃类商品8.7%64.1%7.2%用类商品穿类商品烧类商品北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图 北京市2013年各类社会消费品零售总额分布统计图A BCD（1）北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为；（2）北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元，那么当年的社会消费品零售总额约为亿元；请补全条形统计图，并标明相应的数据．．．．．．．；（3）小红根据条形统计图中的数据，绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表（如下表），其中2013年的年增长率为（精确到1%）；请你估算，如果按照2013年的年增长率持续增长，当年社会消费品零售总额超过10000亿元时，最早要到年（填写年份）．北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DF⊥AC 于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若3cos5C=，CF=9，求AE的长．22．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）.请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；（2）如图4，若∠ABC 的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．25． 对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P '的坐标为（ba k+，ka b +）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点P '为点P 的“k 属派生点”．DCBAABC例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+42，214⨯+），即P'（3，6）．（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P'的坐标为____________；②若点P的“k属派生点”P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为____________；（3）如图, 点Q的坐标为（0，点A在函数y=0x<）的图象上，且点A是点B的“，当线段B Q最短时，求B点坐标．海淀区九年级第二学期一模试题数学试卷答案及评分参考2014．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：0(3π)-++︒60tan 211()3-=13+-…………………………………………………………………4分 =4. ……………………………………………………………………………5分14. 解：49132. 2x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩， ①②由①，得3x >-, ……………………………………………………………………2分由②，得1x <, ……………………………………………………………………4分∴原不等式组的解集为31x -<<. …………………………………………………5分15. 解： 2(3)(3)(23)x x x +++-22=69239x x x x ++++- 2=39.x x + ……………………………………………………………………………3分2340,x x +-=23 4.x x ∴+=∴原式()233x x =+=34=12.⨯ ………………………………………………………5分16. 证明：∵∠EAB =90º， ∴∠EAD+∠CAB =90º.∵∠ACB =90º， ∴∠B+∠CAB =90º.∴∠B =∠EAD . ……………………………………………………………………1分 ∵ED ⊥AC ，EDCBA∴∠EDA =90º.∴∠EDA =∠ACB . ………………………………………………………………2分 在△ACB 和△EDA 中， ,,,B EAD BC AD ACB EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△EDA ． ……………………………………………………………4分 ∴AB=AE ． …………………………………………………………………………5分17. 解：设原计划每年建造保障性住房x 万套. ………………………………………1分根据题意可得:80802(125%)x x-=+ ． ……………………………………………2分 解方程，得 8x =. …………………………………………………………………3分 经检验:8x =是原方程的解，且符合题意． ………………………………………4分答：原计划每年建造保障性住房8万套． ……………………………………………5分18．解：（1）∵B (1)m ,在2(0)y x x=>的图象上， ∴2m =.∴B (2, 1)． …………………………………………………………………………1分 ∵B (2, 1)在直线y ax a =-（a 为常数）上， ∴12,a a =-∴ 1.a = ……………………………………………………………………………2分 ∴一次函数的解析式为 1.y x =- …………………………………………………3分 （2）P 点的坐标为（0，1）或（0，3）． ……………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BD =∴1cos ,2BC ABC AC AB AB ∠==,90903060BAC ABC ∠=-∠=-=. ∴14,42cos 2BC AB AC ABC ====⨯=∠. …………………………1分∵△ACD 为等边三角形，∴2AD CD AC ===,60DAC ∠=. 过点D 作DE AC ⊥于E ， 则sin 2sin603DE AD DAC =∠=⨯=∴ABC ACD ABCD S S S =+△△四边形1122AC BC AC DE =⋅+⋅112222=⨯⨯⨯= ………………………………………3分 （2）过点D 作DF AB ⊥于F . ∵180180606060DAF BAC DAC ∠=-∠-∠=--=,∴sin 2sin603DF AD DAF =⋅∠==cos 2cos601AF AD DAF =⋅∠==. ………………………………………4分∴415BF AB AF =+=+=．∵DF AB ⊥，∴在Rt BDF △中，22222528BD DF BF =+=+=.∴BD = …………………………………………………………………5分20． 解：（1）20.0%； ……………………………………………………………………1分（2）8365; ……………………………………………………………………………2分 ………………………………………………3分（3）9%，2016． …………………………………………………………………………5分21． 解：（1）连接,OD AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=.又∵AB AC =，∴D 为BC 的中点.又∵O 为AB 的中点，5310 6229 6900 7703 总额/亿元年份 北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图 8365∴OD //AC .∵DF⊥AC ，∴DF ⊥OD . 又∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 为⊙O 的切线．………………………………………………………………2分（2）∵DF ⊥AC ，9CF =, ∴cos CF C CD=. ∴3915cos 5CF CD C ==÷=.…………………3分 ∵90ADB ∠=，∴90ADC ∠=. ∴cos CD C AC=. ∴31525cos 5CD AC C ==÷=. . ……………………………………………………4分 连接BE .∵AB 是⊙O 的直径，∴90AEB ∠=.又∵DF⊥AC ，∴DF //BE . ∴1CF CD EF BD==. ∴9EF CF ==.∴25997AE AC EF CF =--=--=． ……………………………………5分22． 解：①6；………………………………………………………………………………1分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分（1） ……………………………………………………………………3分（2）4+4sin α． ………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23． 解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则22=()4=()m n mn m n ∆+--. ………………………………………………………1分 ∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点，∴(0,)A n ，且0n >.又0m <，∴0m n -<.∴2=()0m n ∆->.∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点．………………………………………2分（2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,n x x m ==． 由（1）得0n m<，故B 的坐标为（1，0）. ………………………………………3分 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n .则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+.再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--． …………………………………4分（3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，∴2(1)1q mp m p =-++.∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -.∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上.∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+； ……………………………5分 结合图象可知：(124)2m -+≤， 解得：12m ≥-，………………………………………………………………………6分 ∴m 的取值范围为102m -≤<．……………………………………………………7分 24．解：（1）30°；……………………………… ………………………………………1分 （2）如图作等边△AFC ，连结DF 、BF ．∴AF=FC=AC ， ∠F AC=∠AFC=60°. ∵∠BAC =100°，AB=AC ，∴∠ABC =∠BCA =40°. ∵∠ACD =20°，∴∠DCB=20°. ∴∠DCB=∠FCB=20°. ①∵AC=CD ，AC=FC ，∴DC=FC . ②∵BC=BC ，③∴由①②③，得 △DCB ≌△FCB ，∴DB=BF ， ∠DBC=∠FBC.∵∠BAC =100°， ∠F AC=60°，∴∠BAF =40°. ∵∠ACD =20°，AC=CD ，∴∠CAD=80°. ∴∠DAF=20°. ∴∠BAD=∠F AD=20°. ④ ∵AB=AC ， AC=AF ，∴AB= AF . ⑤2∵AD= AD ，⑥∴由④⑤⑥，得 △DAB ≌△DAF .∴FD= BD .∴FD= BD=FB .∴∠DBF=60°. ∴∠CBD=30°. ………………………………………………………………………4分 （3）120m α=︒-, α=60° 或 240m α=︒- . ……………………………7分 25. 解：（1）①（-2，-4）; ……………………………………………………………1分②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2） .……………3分（2）±1； ……………………………………………………………………………5分 （3）设B （a ，b ）.∵B 的“A ，∴A （a ，b +）. ………………6分∵点A 还在反比例函数y =∴a b -+()∴212b ()=.∵0b >∴b =∴b =+.∴B 在直线y +上．…………………7分过Q 作y +的垂线Q B 1,垂足为B 1，∵(0,Q ，且线段BQ 最短，∴1B 即为所求的B 点，∴易求得3(2B .…………………………………………………………8分注：其他解法请参照给分.。