【配套K12】江苏省射阳县高中数学 第2章 平面向量 2.1 平面向量的概念及其表示活动单 苏教版必修4

2.1 平面向量的实际背景及基本概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB→|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．3．向量的有关概念123n )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC →|＝ ．3 [三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形，所以|BC →|＝22－12＝ 3.]4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 (填序号)． (1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →；(3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD →＝BC →，OB →≠OD →， AC →≠BD →，AO →＝OC →.]向量的有关概念 【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ．③ [①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD→必须在同一直线上．]向量的表示及应用写出 个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： ①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)12 [可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →.](2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC→如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米.相等向量和共线向量 1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向；(2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向；(4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．本例条件不变，写出与向量BC →相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC →相等的向量有AO →，OD →，FE →.2．本例条件不变，写出与向量BC →长度相等的共线向量．[解] 与BC →长度相等的共线向量有：CB →，OD →，DO →，AO →，OA →，FE →，EF →.3．在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤D [由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是 ．④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如图所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。

2．1 向量的实际意义和基本概念一、复习引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、讲解新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00注意与0②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.探究：1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为，需要学生注意的是：的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2.向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的.3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.4．向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段三、例题讲解题型一向量概念理解例1.下列说法正确的是（）A.向量可以比较大小B.坐标平面内的x轴和y轴都是向量C.向量就有有向线段D.体积、面积和时间都不是向量练习. 下列个量中不是向量的是（）A. 浮力B.风速C. 位移D. 密度题型二向量的几何表示例2.如图，B是线段AC上的一点，分别以不同的点为起点和终点，可以写成多少个向量。

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1 向量的概念及表示一览众山小诱学导入位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，而用射线表示方向，它研究的是如何由一点的位置确定另一点的位置。

如图2—1-1，如何由A点确定B点的位置？图2-1—1一种常用的方法是，以A点为参照点，用B点与A点之间的方向和距离确定B点的位置.如B点在A点东偏南45°的15千米处。

这样,在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们将要研究的向量。

问题:在现实生活和科学实验中，你能列出向量的几个例子吗？导入点拨：由上面材料可知，向量既有大小又有方向.则只要是具有方向和大小的量都是向量，比如物理中的力、加速度等它们既有大小又有方向，都是向量.温故知新1.有向线段是怎样定义的？什么是有向线段的数量？答:规定了方向(即规定了起点和终点）的线段叫有向线段.若有向线段AB在有向直线l上或和有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。

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有向线段有哪些要素？答:有向线段有三要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.3.根据你所学，哪些物理量只有大小而无方向？答：质量、长度、路程、功、功率等。

向量的概念及其表示【学习目标】1.了解向量的实际背景；理解向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量等概念.3. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别【重难点】重点: 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点: 准确理解向量的有关概念；平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【预习案】 看书P59—60，弄懂下列概念1、书P58实例, 位移和距离有什么不同?；2、你能举出一些不仅有大小, 而且有方向的量么?比如？；3、这些量有何共同特征？；4、向量的概念：；5、根据以前所学知识，你认为可用哪些方法表示向量呢？；6、向量有数的属性，类比特殊的数，你想到了哪几种特殊向量？零向量：；单位向量：；7.类比数与数之间的特殊关系，你想到了向量与向量之间有哪几种特殊关系？相等向量：；相反向量：；8.向量也有形的属性，类比线段与线段的特殊位置关系，你想到了向量与向量之间有什么样的特殊关系?平行向量：；共线向量：；9、实数可以比较大小，向量能吗？为什么? ；10、直线平行与向量平行有区别吗？如果有，你认为区别在那里？【探究案】探究一：判断下列命题的真假, 并说明理由.（以讨论为主）(1)平行向量一定方向相同 （ ）； (2)共线向量一定相等（ ）；(3)起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量（ ）；(4)不相等的向量一定不平行（ ）； (5)向量的模是一个正实数（ ）；(6)两个相反向量必是共线向量( ) （7）单位向量都相等（ ）(8)若两个单位向量互相平行, 则这两个单位向量相等（ ）（9）向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上（ ）（10）任一向量与它的相反向量不相等. ( )（11）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.( )（12）a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线( )（13）向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量（ ）（14）有相同起点的两个非零向量不平行. （ ） （15）若a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c ( ）探究二：已知O 为正六边形ABCDEF 的中心, 在图中所标出的向量中:(1)试找出与FE 共线的向量; ；(2)确定与相等的向量; ； (3)与相等吗? ；探究三：在如图的4×5方格纸中有一个向量, 分别以图中的格点为起点和终点作向量, 其中与相等的向量有多少个? 与长度相等的共线向量有多少个? (除外)CA。

数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。

2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。

3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。

4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。

5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。

6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。

7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。

8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。

9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。

10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。

11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。

12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。

13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。

14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。

15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。

这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。

2019-2020年高中数学第二章平面向量第1课时2.1向量的概念及表示教案苏教版必修4【教学目标】一、知识与技能1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。

二、过程与方法（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。

（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.三、情感、态度与价值观（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。

（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；2．向量的几何表示【教学过程】一、问题情境：问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。

问题3、上述的物理量中有什么区别吗？二、新课讲解：（一）概念辨析：（1）向量的定义：（2）向量的表示：（3）向量的大小及表示（4）零向量：（5）单位向量：（二）向量的关系：问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？（1）平行向量（2）相等向量（3）相反向量说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；（2）零向量与零向量相等，记作；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

问题5：1.向量能否平移？2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？二、例题分析：例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC向量相等么？例2、判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）课时小结：（1） 向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；（2） 数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。