八年级数学下册小专题1等腰三角形的分类讨论习题课件新版北师大版

第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.能说出证明三角形全等的几种方法,学会证明的基本步骤 和书写格式.
2.会证明等腰三角形的有关性质定理及其推论. 3.灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明.
2
前面我们已经学习了如果两个三角形满足条件SSS,SAS,ASA, 那么这两个三角形全等;若满足条件AAS, SSA,AAA,这两个三角形还会全等吗?
解:∵AB=AC,BD=CD, ∴AD平分∠BAC,AD⊥BC. ∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=70°. ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.
5
1.全等三角形的判定方法共有四种,分别是___S_S_S__,__S_A_S___, __A_S_A___,___A_A_S___.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_相__等__,对应角_相__等__. 3.等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)“三线合一”.
6
3
1.如图,点A,D,C在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.
求证:BC=DE.
证明:∵AB∥EC, ∴∠A=∠DCE. 在△ABC 和△CDE 中, ∠B = ∠EDC, ∠A = ∠DCE, AC = CE,
∴△ABC≌△CDE（AAS）. ∴BC=DE.
4
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°且AD=AE, 求∠CDE的度数.

D
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上

新北师版初中数学八年级下册
导入新课
1、回忆等腰三角形的性质: （1）、等腰三角形的两腰相等. （2）、等腰三角形的两个底角相等. (在同一个三角形中,等边对等角) （3）、等腰三角形三线合一 （顶角的平分线、底边上的中线、和底边上的高）
2、填空： （1）如图,在△ABC中,AB=AC,外角∠ACD=100º,
A 则∠ B=_8_0__度，∠A=_2_0__度
（2）如图，房屋的顶角∠BAC=100º， B
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
则∠B=__4_0_度、∠C=__4_0_度、
A
∠BAD=__5_0_度、∠CAD=__5_0_度.
BD=__D_C_、AD平分∠_B_A_C__. B
D
CD
C
知识新授
像这种先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明 命题的结论一定成立. 这种证明方法称 为反证法 用反证法证明： 一个三角形中不能有两个角是直角.
例2、已知：△ABC. 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设 ∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
∠B=∠C ( 已知 )Байду номын сангаас
∠BDA= ∠CDA=90° AD=AD ( 公共边 )
B DC
∴ △ BAD≌ △ CAD(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
知识归纳
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简述为
“等角对等边”）
注意：是在同一个三角形中.
A
应用格式:
在△ABC中，
2、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， E
∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC.

【当堂检测】
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
证明：(2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC.
图②
五、课堂总结
等腰三角形的性质： 性质1： 等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”. 性质2： 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,即等腰三角形的角平分线、底边上的 中线和底边上的高互相重合.
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC ，∴∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴△ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴∠B＝∠C.
A 12
B
D
C
四、典型例题
已知：△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C .
A
B
C
D
结论： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
三、概念剖析
（二）等腰三角形的性质定理
性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.简称“三线合一”.
思考：如图，△ABC是一个等腰三角形，AD底边上的高线，∠BAC=40°，
BC=6，则∠B的度数为？BD的长为多少？
A
根据等腰三角形的“三线合一”性质可得： ∠B=70°,BD=3.
【当堂检测】
5.已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°, 过屋顶A的立柱AD⊥BC , 屋椽AB=AC.
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
解：在△ABC中，∵AB=AC，
A
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵∠BAC=100 °，

直线AD翻折.。
A
..
B
D
C
二、学习性质
操作：在剪好的等腰△ABC中，画出顶角的平分线AD，将△ABD沿
直线AD翻折.。
A
通过操作，猜想：
A
. . （1）∠B=∠C.
（2）BD=CD.
？
（3）∠ADB=∠ADC=90º.
B
D
C
B
D （B）C
三、学习性质
在△ABC中，AB=AC，通过实验操作说明∠B=∠C．
D
C
等腰三角形的性质：
三、学习性质
（简称为“等边对等角”）
等腰三角形的两个底角相等
A
前提!
在△ABC中
因为 AB=AC(已知)，
所以 ∠C=∠B（等边对等角）．
B
C
三、学习性质
回顾刚才说明∠B=∠C的过程． 猜想成立吗?
解：过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（．A2D）是BD顶=C角D∠. BAC
A
1）在△ABC中，如果AB=AC，∠1=∠2（已知）
..
那么BD=CD，且AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）
2）在前△A提BC!中，如果AB=AC，AD⊥BC（已知）
12
那么∠1=∠2 , 且BD=CD（ 等腰三角形的三线合一）
3）在△ABC中，如果AB=AC，BD=CD（已知）
那么 ∠1=∠2, 且AD⊥BC （ 等腰三角形的三线合一)
A
AB=AC AD是AD△是AB△CA的BC角的平中分线线
AD⊥BC
12
B
C
D
如果已知等腰三角形及顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高三线之一，可考虑用“等腰三角 形三线合一”的性质来说明，而不用三角形全等 说明，以简化说理过程.

形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练

导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD. 又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB. ∴CE＝BD.
解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中 线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证 明你的结论吗？
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已 知 ： 如 图 ,在 △ ABC中 ， AB=AC, BD和 CE是 △ABC的角平分线. 求证：BD = CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ 1= 1 ABC , 2= 1 ACB.
2
2
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
总结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利 用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都 等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来 进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解 决．

课堂小结 本节课学习了什么知识？
1. 通过折纸活动获得三个定理，均进行了证明，为今 后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论根据.
2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明 的必要性.
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
作业设计
习题1.1第1、6题
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果_同__位__角___相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及_其__夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
4.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB = AC，AD ⟂BC，垂足为D，求∠BAD的度数.
A
证明：在△ABC中，∠BAC=108°，AB = AC
∴ ∠B=∠C=（180°-108°）÷2= 36°
∵AD ⟂BC（已知）
B
D
C
∴∠BAD=180°-36°-90°=54°（三角形内角和定理）
3.已知:如图，点B，E，C，F在同一条直线上， AB= DE,AC=DF，BE=CF. 求证:∠A=∠D.
证明：（1）在△ABD中， ∵ AC⊥BD且AC=BC=CD ∴C为BD的中点，AC为BD边上的高 ∴AC为∠BAD的角平分线（三线合一） ∴∠B=∠BAC，∠D=∠DAC ∴ ∠B=∠D （等量代换） ∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形
如图，先自己折纸视察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相补偿不足.

北师版
第一章 三角形的证明
专题训练(二) 等腰三角形中的分类讨论
1．等腰三角形的周长为5 cm，A其中一边长为1 cm， 则该等腰三角形的底边长为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
2．若等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为( ) C
A．25 B．25或32 C．32 D．19
10．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分， 求这个三角形的三边长．
解：如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝BD.设 AB＝x，BC＝y. (1)当 AC＋AD＝15，
BD＋BC＝12 时，则x2x2＋＋xy＝＝1125，，解得xy＝＝71；0，
(2)当 AC＋AD＝12，BD＋BC＝15 时，则x2x2＋＋xy＝＝1152，，解得xy＝＝181，.
(2)如图②所示，∵BD⊥AC，∠DBA＝50°， ∴∠BAC＝90°＋50°＝140°，
则∠ABC＝∠C＝12×(180°－140°)＝20°， 即△ABC 的三个内角分别为 140°，20°，20°. 综上所述， △ABC 的三个内角的度数分别为 40°，70°，70°或 140°，20°，20°
12．如图，在一张长为8 cm，宽为6 cm的长方形纸片上， 现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的 一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的
边上)．则剪下的等腰三角形的面积为___22_5_或__5__6_或___1的高与另一腰的夹角为50°， 求△ABC的三个内角的度数．
解：分两种情况：(1)如图①所示，∵BD⊥AC， ∴∠ABD＋∠A＝90°.又∵∠ABD＝50°， ∴∠A＝90°－50°＝40°， 则∠ABC＝∠C＝12×(180°－40°)＝70°， 即△ABC 的三个内角分别为 40°，70°，70°