23.2 中心对称(1)(含答案)-

1．如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于点O 成中心对称，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．点A 与点A ¢是对称点B ．BO B O ¢=C ．ACB C A B ¢¢¢Ð=ÐD ．A ABC B C ¢¢¢≌△△2．关于成中心对称的两个图形，下列说法中正确的是（ ）①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心必在对应点的连线上A ．①③B ．③④C ．①④D ．①③④3．图形A 关于直线1l 轴对称后得到图形B ，图形B 关于2l ，轴对称后得到图形C ，如果12l l ^，那么图形A 与图形C 之间的关系是（ ）A ．轴对称B ．中心对称C ．重合D ．以上都不对4．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 是网格线交点，ABC V 与DEF V 关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）A ．点GB ．点HC ．点ID ．点J5．如图，ABC V 中，90ABC Ð=°，60CAB Ð=°，4AC =．作出ABC V 共于点A 成中心对称的AB C ¢¢△，其中点B 对应点为B ¢，点C 对应点为C ¢，则四边形CB C B ¢¢的面积是（ ）A ．128B ．C ．64D ．6．如图，在数轴上，A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，A 2，A 3关于点P 对称，A 3，A 4关于点O 对称，A 4，A 5关于点P 对称…依此规律，则点A 14表示的数是（ ）A ．21B ．﹣21C ．25D ．﹣257．如图是由5个边长为1，且一个内角为60°的小菱形拼成的图形，P 是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）A B C D 8．ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于原点O 成中心对称，点A ，B ，C 的对称点分别是A ¢，B ¢，C ¢．若3AB =，1AC =，则B C ¢¢的取值范围是 ．9．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的对称中心都是点O ，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．10．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，若BOC V 与B O C ¢¢V 关于点C 成中心对称，2AC =，5AB ¢=，则菱形ABCD 的边长是 ．11．如图，在76´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，请你按要求画出图形．(1)在图甲中作出111A B C △，使111A B C △和ABC V 关于点D 成中心对称；(2)在图乙中分别找两个格点2C 、2D ，使得以A 、B 、2C 、2D 为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为ABC V 面积的4倍．12．如图，在边长为1个单位长度的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，已知点O 和ABC V 的顶点均在格点上．(1)ABC V 和A B C ¢¢¢V 关于点O 中心对称，请画出A B C ¢¢¢V ；(2)将点A ¢向左平移n 个单位长度后得到点D ，当n 的值为______时，四边形ABCD 是平行四边形，且平行四边形ABCD 的周长为______；(3)将A B ¢¢向左平移3个单位长度，交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段MN 的长度为______．1．C【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于点O 成中心对称，∴点A 与点A ¢是对称点，BO B O ¢=，A ABC B C ¢¢¢≌△△，ACB A B C ¢¢¢Ð=Ð，∴结论ACB C A B ¢¢¢Ð=Ð错误．故选：C ．2．C【分析】①成中心对称的图形全等，进行判断即可；②成中心对称的图形全等，进行判断即可；③对称中心不一定在图形上；④根据中心对称是旋转180°，进行判断即可．【详解】解：①成中心对称的图形全等，因此一定形状相同；故①正确；②成中心对称的图形全等，因此大小一定相等；故②错误；③对称中心不一定在图形上；故③错误；④成中心对称，是旋转180°，因此对称中心必在对应点的连线上；故④正确；综上正确的为：①④；故选C ．【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，是解题的关键．3．B【分析】本题考查了轴对称和中心对称变化，画出示意图即可得出答案．【详解】解：如图，图形A 与图形C 之间的关系是中心对称．故选B ．4．C【分析】如图，连接BE ，CF ，根据交点的位置可得答案．【详解】解：如图，连接BE ，CF ，根据交点的位置可得：对称中心为I ，故选C【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．5．D【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得2AC =，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形CB C B ¢¢是平行四边形，继而即可求解．【详解】解：如图所示，∵ABC V 中，90ABC Ð=°，60CAB Ð=°，4AC =．∴30ABC Ð=°,28AB AC ==,∴B C =∵作出ABC V 共于点A 成中心对称的AB C ¢¢△，∴AB AB ¢=,AC AC ¢=，∴四边形CB C B ¢¢是平行四边形，∴四边形CB C B ¢¢的面积为8BC CC ¢´==故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形CB C B ¢¢是平行四边形是解题的关键．6．D【分析】求出A 1，A 2、 A3、A 4、A 5、A 6，A 7点的坐标，找出其中的规律即可．【详解】解：A 1，P 两点表示的数分别是1，2，A 1，A 2关于点O 对称，∴A 2表示的数是﹣1，∵A 2，A 3关于点P 对称，∴A 3表示的数是145+=，∵A 3，A 4关于点O 对称，∴A 4表示的数是﹣5，∵A 4，A 5关于点P 对称，∴A 5表示的数是1449++=，∵A 5，A 6关于点O 对称，∴A 6表示的数是﹣9，∵A 6，A 7关于点P 对称，∴A 7表示的数是144413+++=……∴关于P 点对称的点表示的数是2114+=+n A n ，关于O 点对称的点表示的数是()2214+=-+n A n ，∴点A 14表示当=6n 时，()1425=-A ，故选：D ．【点睛】本题考查数轴，要掌握用数轴上的点表示有理数，本题的关键是找出：2114+=+n A n ，()2214+=-+n A n ．7．B【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得QF AP =，利用勾股定理即可求得．【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O ，作直线OP ，交CB 延长线于点A ，交最左侧菱形对边分别于点,Q N ，交最右侧上方菱形一边于点F ，过点P 作PG CD ^，垂足为G ，Q 菱形是中心对称图形，\经过P 、O 的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由中心对称图形可知,MNP EFP MNO BQO ≌≌V V V V ，BQ MN \=，MP AC ∥Q ，A MPN \Ð=Ð，18060120ABQ PMN Ð=Ð=°-°=°Q ，\MNP BQA ≌V V ，\MNP BQA EFP ≌≌V V V ，∴,1AQ PF AB PE ===，∴QF AP =，Q 9030CPG PCD Ð=°-Ð=°，1122CG CP \==，PG \==\AP ==∴QF =，故选：B ．8．24B C ¢¢<<【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．根据成中心对称的两个图形对应线段长相等可知3A B AB ¢¢==，1A C AC ¢¢==，然后利用三角形三边关系求解即可．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于原点O 成中心对称，点A ，B ，C 的对称点分别是A ¢，B ¢，C ¢∴3A B AB ¢¢==，1A C AC ¢¢==∴BC ¢¢的取值范围为：3113B C ¢¢-<<+，即24B C ¢¢<<．故答案为：24B C ¢¢<<．9．1.25【分析】本题考查了中心对称，连接AF ，BG ，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一．【详解】连接AF ，BG ，Q 正方形的边长分别为3和2，\面积分别为9和4，Q 正方形ABCD 和正方形EFGH 的对称中心都是点O ，()194 1.254S \=-=阴影．故答案为：1.25．10【分析】连接AB ¢，根据菱形的性质、旋转的性质，得到1OA OC O C OB OC ¢===^，，O B O C BC B C ¢¢¢¢^=、，根据5AB ¢=，利用勾股定理计算O B ¢¢，再次利用勾股定理计算B C ¢即可．【详解】解：连接AB ¢，如图：∵四边形ABCD 是菱形，BOC V 与B O C ¢¢V 关于点C 成中心对称，2AC =，∴1OA OC O C ¢===，OB OC ^，BC B C ¢=，∴O B O C ¢¢¢⊥，213O A AC O C ¢¢=+=+=，∵5AB ¢=，∴4O B ¢¢===，∴B C ¢===∴BC B C ¢==即菱形A ABCD．【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．11．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用数形结合的思想，求出平行四边形22ABC D 为的面积为10，只要作出高为2的平行四边形即可．【详解】（1）如图甲中，111A B C △即为所求；（2）在图乙中，平行四边形22ABC D 即为所求．【点睛】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，学会用数形结合的解决问题．12．(1)见解析(2)：2，6(3)12【分析】本题考查了中心对称作图，平移性质，平行四边形性质和判定，三角形中位线性质，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想解决问题．（1）将A 、B 、C 按中心对称性质找出它的对应点A ¢、B ¢、C ¢，再顺次连接A ¢、B ¢、C ¢，即得到A B C ¢¢¢V ．（2）根据平行四边形的判定，得到点A ¢向左平移的单位长度，再利用图形和平行四边形公式得到平行四边形ABCD 的周长即可；（3）根据题意画出线段MN ，证明四边形AB CN ¢是平行四边形，得到AM CM =，利用三角形中位线性质进而得到12MN AB =，即可解题．【详解】（1）解：所作A B C ¢¢¢V 如图所示：（2）解：如图，将点A ¢向左平移2个单位长度后得到点D ，四边形ABCD 是平行四边形，且平行四边形ABCD 的周长为：()1226+´=，故答案为：2，6．（3）解：根据题意画出线段MN ，由题易知，AB NC ¢∥，AB NC ¢=，\四边形AB CN ¢是平行四边形，AM CM \=，BN CN =Q ，1122MN AB \==．故答案为：12．。

人教版九年级数学23.2 中心对称一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，如果甲、乙两图关于点O对称，那么乙图中不符合题意的一块是()2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3. 如图所示的图案中，是中心对称图形的是()4. 若点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴的对称点是点C，则点C的坐标是()A．(3，2) B．(－3，2)C．(3，－2) D．(－2，3)5. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形菱形OA′B′C′，再作菱形OA′B′C′关于点O的中心对称图形菱形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是()图25－K－1A．(2，－1) B．(1，－2)C．(－2，1) D．(－2，－1)6. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O47. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H8. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点9. 如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()A ．S 1＜S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＝S 2D ．不确定10. 2020·河北模拟如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，32)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )A ．(1010，3)B ．(2020，32)C ．(2016，0)D ．(1010，32)二、填空题（本大题共8道小题）11. 王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称．如果王老师家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．12. 点P (1,2)关于原点的对称点P ′的坐标为__________．13. 若点A (x ＋3，2y ＋1)与点A ′(y －5，1)关于原点对称，则点A 的坐标是________．14. 若将等腰直角三角形AOB 按图所示的方式放置，OB ＝2，则点A 关于原点对称的点的坐标为________．15. 如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2.若以AC 的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′＝________．16. 在平面直角坐标系中，若点A(x＋1，2y＋1)与点A′(y－2，x)关于原点O对称，则代数式x2－y2的值为________．17. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．18. 如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为____________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.20. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．21. 如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF ＝CE.求证：DF＝BE.22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1.(2)作出点A关于x轴的对称点A′.若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．人教版九年级数学23.2 中心对称-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] .2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] ∵点C的坐标为(2，1)，∴点C′的坐标为(－2，1)，∴点C″的坐标为(2，－1)．故选A.6. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.7. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.8. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．9. 【答案】C[解析] ∵P是半圆AC的中点，∴半圆关于直线OP对称，且点D，E关于圆心O对称，因而S1，S2在直径AC上面的部分面积相等．∵OD＝OE，∴CD＝AE.∵△CDB的底边CD与△AEB的底边AE相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S 1＝S 2.10. 【答案】A二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】4 [解析] ∵王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称， ∴王老师、杨老师两家到学校的距离相等． ∵王老师家距学校2千米， ∴他们两家相距4千米． 故答案为4.12. 【答案】(－1，－2)13. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．14. 【答案】(－1，－1)[解析] 如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D.∵△AOB 是等腰直角三角形，OB ＝2，∴OD ＝AD ＝1，∴A(1，1)，∴点A 关于原点对称的点的坐标为(－1，－1)．15. 【答案】25 [解析] ∵△ABC 绕AC 的中点O 旋转了180°，∴OB ＝OB′，∴BB′＝2OB. 又∵OC ＝OA ＝12AC ＝1，BC ＝2，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋22＝5， ∴BB′＝2OB ＝2 5.16. 【答案】5[解析] ∵点A (x ＋1，2y ＋1)与点A ′(y －2，x )关于原点O 对称，∴⎩⎨⎧x ＋1＋y －2＝0，2y ＋1＋x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2. 故x 2－y 2＝9－4＝5. 故答案为5.17. 【答案】(0，1)18. 【答案】(－a ，－b ＋2)[解析] 如图，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点A′作A′D′⊥y 轴于点D′，则△ACD ≌△A′CD′，∴A′D′＝AD ＝a ，CD′＝CD ＝－b ＋1，∴OD′＝－b ＋2，∴点A′的坐标为(－a ，－b ＋2)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1如图所示．(2)平移后的△A 2B 2C 2如图所示，其中点B 2的坐标为(0，－2)，点C 2的坐标为(－2，－1)．(3)△A 1B 1C 1 (1，－1)20. 【答案】解：(1)∵点D 和点D 1是对称点， ∴对称中心是线段DD 1的中点， ∴对称中心的坐标是(0，52)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B 1(2，1)，C 1(2，3)．21. 【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO.∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ， 即FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎩⎨⎧FO ＝EO ，∠FOD ＝∠EOB ，DO ＝BO ，∴△FOD ≌△EOB(SAS)， ∴DF ＝BE.22. 【答案】【思维教练】要作△ABC 关于点O 的中心对称图形，可先分别求出点A ，B ，C 关于点O 中心对称点，再顺次连接即可；(2)先作出点A′，再根据点A′在ΔA 1B 1C 1，从而得出平移距离a 满足A′A 1<a <A′D(其中点D 是A′A 1与B 1C 1的交点)． 解：(1)如解图，△A 1B 1C 1就是所求作的图形：(2分) (2)A′如图所示；(4分)a 的取值范围是4＜a ＜6.(6分)。

中心对称23．2.1中心对称1．下面的每组数中，两个数字成中心对称的是()A B C D2．如图23-2-5，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，有下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图23-2-6，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，AB＝2，则阴影部分的面积之和为____．4．如图23-2-7，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，作出它们的对称中心O.图23-2-75．如图23-2-8所示，已知△ABC和点O.(1)在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称；(2)点A，B，C，A′，B′，C′能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来．图23-2-86．如图23-2-9所示，已知AD是△ABC的中线．(1)画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形；(2)若AB＝6 cm，AC＝4 cm，则AD的长度范围是_ _．图23-2-97．如图23-2-10，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0,4)，(0,3)，(0,2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．图23-2-10参考答案【分层作业】1．D 2.D3.64.略5.(1)略(2)▱ABA′B′，▱BCB′C′，▱ACA′C′.6.(1)略(2)1cm<AD<5cm.7.(1)对称中心的坐标是(0,2.5)．(2)顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2,4)，(－2,2)，(2,1)，(2,3)．。

23.2：中心对称（填空题专练）1．已知点A(m ，-1)与点B(3，n)关于原点对称，则m+n=____【答案】-2【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可直接得到m =-3，n =1进而得到答案．【解答】点A(m ，-1)与点B(3，n )关于原点对称，∴m =-3，n =1，∴m +n =-2，故答案为：-2．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．在平面直角坐标系中，点 P 2(m ，n )与1(P 关于原点成中心对称，则m n +=__________．【答案】-【解析】利用直角坐标系中点(),P x y 关于原点对称点()',P x y --可得.【解答】∵点()2,P m n 与(1P 关于原点对称，∴(m n m n =-+=-=- .【点评】本题考查直角坐标系中坐标关于原点对称的知识点，掌握坐标关于原点对称是解题的关键.3（b+4）2＝0，那么点（a ，b ）关于原点对称点的坐标是_____．【答案】（﹣3，4）【解析】先根据二次根式，平方的非负性求出,a b 的值，然后根据关于原点对称的两点的坐标特征求解即可．【解答】（b +4）2＝0∴3040a b -=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩∴点坐标为(3,4)-其关于原点对称的点的坐标为：()3,4-故答案为：()3,4-．【点评】本题考查了二次根式，平方的非负性，及关于原点对称的点坐标的特征，熟知以上内容是解题的关键．4．已知点()2,3P -，则点P 关于原点对称的点的坐标是________．【答案】()2,3-【解析】根据坐标系中的点关于原点对称的坐标特征作答即可.【解答】点P 关于原点对称的点, 横坐标和纵坐标分别与点P 的横坐标和纵坐标互为相反数, 故该点的坐标为(2,-3).故本题正确答案为(2,-3).【点评】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点.注意:关于原点对称的点,横纵坐标分别互为相反数.5．绕一定点旋转180后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．如图，小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个180<的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：________．【答案】60或120【解析】作出六边形的一边的两个顶点到中心的连线,则这两条线与这一边组成的三角形是等边三角形,那么只要六边形绕着它的中心旋转60o 或120o ,也可以使它与原来的正六边形重合.【解答】解:根据分析可知:只要六边形绕着它的中心旋转60o 或120o ,也可以使它与原来的正六边形重合.【点评】本题考查了旋转对称图形的概念和性质.6．已知点A （2a ﹣3b ，﹣1）与点A′（﹣2，3a+2b ）关于坐标原点对称，则5a ﹣b ＝_____．【答案】3【解析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得方程组,根据解方程组的性质，可得5a-b 的值.【解答】解:由点A(2a-3b,-1)与点A'(-2,3a+2b)关于坐标原点对称,得：2a-3b=2{3a+2b=1①②，①+②得5a-b=3 故答案为:3.【点评】本题主要考查关于原点对称的点的性质及二元一次方程组的性质.7．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，称为一次变换，已知点A 的坐标为(1,0)-，则点A 经过连续2020次这样的变换得到的点2020A 的坐标是________．【答案】(1,0)【解析】先按题目要求求得点A (1,0)-绕原点逆时针旋转45︒，再作出旋转后的点关于原点的对称点22⎝⎭，如此变换八次后，发现其坐标回到原处，故此变换规律是八次一循环，据次解题即可. 【解答】解：第一次变换后的坐标为22⎝⎭，第二次变换后的坐标为()0,1-，第三次变换后的坐标为⎛ ⎝⎭，第四次变换后的坐标为(1,0)，第五次变换后的坐标为⎛ ⎝⎭，第六次变换后的坐标为()0,1，第七次变换后的坐标为⎝⎭，第八次变换后的坐标为(1,0)-，因为202082524÷=，所以把点A 经过连续2020次这样的变换得到的点2020A 的坐标是(1,0)．故答案为(1,0)【点评】本题考查直角坐标系点的变换特征，其中涉及旋转、关于原点的对称等变换，掌握这些变换特征、点在坐标系中的特征、发现坐标变换规律是解题关键.8．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距__________公里．【答案】4【解析】根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案．【解答】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里．故答案为4．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据已知得出小明、小辉两家到学校距离相等是解决问题的关键．9．如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，则这两个图形一定关于这一点成____对称.【答案】中心【解析】利用中心对称的定义求解．【解答】解：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被这一点平分，则这两个图形一定关于这一点成中心对称．故答案为：中心．【点评】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．10．在平面直角坐标系中，若点(),P a b 的坐标满足0a b =≠，则称点P 为“对等点”．已知一个二次函数22y x mx m =+-的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_________． 【答案】12【解析】设这两个“对等点”的坐标为(),a a 和(),a a --，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为(),a a 和(),a a --，代入22y x mx m =+-得2222a am m a a am m a ⎧+-=⎨--=-⎩， 两式相减得24a am =， 解得12m =， 故答案为：12．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数以及关于原点对称的点的坐标，图象上点的坐标适合解析式． 11．已知点M （a ，b ）与点N （-2，3）关于原点中心对称，则M 点的坐标为___________．【答案】（2，-3）．【解析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即可求得．【解答】∵点M （a ，b ）与点N （-2，3）关于原点中心对称∴a=2，b=-3则M 点的坐标为（2，-3）故答案为：（2，-3）【点评】解题关键是理解并掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反．12．若点(),7A m 与点4,B n 关于原点成中心对称，则m n +=______．【答案】-3【解析】利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值进而得出答案．【解答】∵点(),7A m 与点4,B n 关于原点对称，∴m ＝4，n ＝﹣7，∴()473m n +=+-=-故答案为：﹣3．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．13．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合．已知8AB AC cm ==，将MED 绕点()A M 逆时针旋转60后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________2cm （结果精确到0.1 1.73≈）．【答案】20.3【解析】设BC,AD交于点G,过交点G作GFLAC与AC交于点F,根据AC=8,就可求出GF的长,从而求解. 【解答】解：如图设BC、AD交于点G,过交点G作GF⊥AC与AC交于点F,设FC=x,则GF=FC=x,旋转角为60o,即可得∠FAG=60o，∴AF=GFcot∠3所以3则x=3所以S AGC=12⨯8⨯(32.故答案为:20.3.【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:1定点-旋转中心;2旋转方向;3旋转角度.14．在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为_____．【答案】5【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．【解答】解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，∴12=021=0x yy x++-⎧⎨++⎩，解得：=3=2xy⎧⎨-⎩，故x2﹣y2＝9﹣4＝5．故答案为5．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．15．直角坐标系中，直线y ＝2x+3关于原点对称的解析式为_____．【答案】y ＝2x ﹣3【解析】若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即k 值不变；与y 轴的交点关于原点对称，即b 值互为相反数．【解答】解：直线y ＝2x+3关于原点对称的解析式为y ＝2x ﹣3，故答案为：y ＝2x ﹣3．【点评】本题考查一次函数，能够数形结合来分析此类型的题，根据图形，发现k 和b 值之间的关系． 16．如图：△ABO 与△CDO 关于点O 成中心对称，则AO=________，BO=_____.【答案】CO ； DO【解析】依据△ABO 和△CDO 关于点O 成中心对称，即可得到△ABO ≌△CDO ，进而得到结果．【解答】∵△ABO 和△CDO 关于点O 成中心对称，∴△ABO ≌△CDO ，∴AO=CO ，BO ＝DO ，故答案为：CO ；DO ．【点评】本题主要考查了中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．17．已知点()M 2m 1,m 1+-与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，则m 的取值范围是________． 【答案】1m 12-<<. 【解析】根据N 点所在现象确定M 所在象限，再根据第四象限内点的坐标符号可得关于m 的不等式组，解不等式组即可得答案.【解答】∵点M （2m+1，m-1）与点N 关于原点对称，若点N 在第二象限，∴M 在第四象限，∴21010m m +>⎧⎨-<⎩， 解得：1m 12-<<， 故答案为1m 12-<<． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．18．已知点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程12x x a+=-的解是________．【答案】3x = 【解析】根据题意可知点(12,2)P a a --关于原点的对称点为(21,2)a a --，由此列出不等式组，求出a 的取值范围，并根据已知条件确定a 的值，将a 的值代入分式方程即可求解．【解答】∵点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，点(12,2)P a a --关于原点的对称点为(21,2)a a --，∴21020a a ->⎧⎨->⎩，解得122a <<， ∵a 为整数，∴1a =，把1a =代入分式方程12x x a +=-中，得121x x +=-， 整理得122x x +=-，解得3x =经检验，x=3是分式方程的解，故答案为：3x =．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系、解分式方程，还涉及到一元一次不等式组，理解题意确定参数a 的值是解题关键．19．观察图1和图2，请回答下列问题：（1）请简述由图1变成图2的形成过程：________．（2）若3AD =，4DB =，则ADE 和BDF 面积的和为________．【答案】图1中的''A DE 绕点D 顺时针旋转90得到图2； 6．【解析】(1)根据旋转的性质,可得答案;(2)根据旋转的性质,可得∠EDF=∠ADA'=90°,AD=A'D=3,根据三角形的面积公式，可得答案.【解答】解:四边形DECF 为正方形,∴∠EDF=90°,DE=DF, ∴DA'绕点D 顺时针旋转90度到DA 的位置,∴DF'绕点D 逆时针旋转90度到DE 位置,∴图1中的△A'DE'绕点D 顺时针旋转90°得到图2;(2)由旋转的性质,旋转角∠EDF=∠ADA'=90°,AD=A'D=3,∴∠A'DB=180°-∠ADA'=180°-90°=90°,∴ ADE S +BDF S ='A DB S =12A'D ⨯BD=12⨯3⨯4=6. 【点评】本题主要考查旋转的性质及三角形的面积计算.20．旋转对称图形______________（填“一定是”、“一定不是”或“不一定是”）中心对称图形；中心对称图形________（填“一定是”、“一定不是”或“不一定是”）旋转对称图形.【答案】不一定是； 一定是【解析】根据中心对称的定义及旋转对称的定义：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；即可得出答案．【解答】旋转对称图形不一定是中心对称图形，中心对称图形一定是旋转对称图形．故答案为：不一定是；一定是【点评】本题考查了中心对称图形及旋转对称图形的知识，解答本题的关键是理解两者的定义． 21．在平面直角坐标系中，将点A （﹣2，3）向右平移a 个单位长度，再向下平移b 个单位长度，平移后对应的点为A′，且点A 和A′关于原点对称，则a+b=_____．【答案】10【解析】先确定A′，然后再确定a ，b ，最后求和即可.【解答】解：∵A 和A′关于原点对称∴A′的坐标为（2，-3）∴将点A （﹣2，3）向右平移a 个单位长度，再向下平移b 个单位长度即：a=4，b=6∴a+b=10故答案为10.【点评】本题主要考查了平移，通过平移规律确定a 、b 的值是解题关键.22．如图,若四边形ABCD 与四边形CEFG 成中心对称,则它们的对称中心是__,点A 的对称点是__,点E 的对称点是__.BD ∥__且BD=__.连接点A,F 的线段经过__,且被C 点__,△ABD ≌__.【答案】点C 点F 点D EG EG 点C 平分 △FGE【解析】结合图形，然后根据中心对称的定义以及中心对称的性质分别填空即可．【解答】四边形ABCD 与四边形CEFG 成中心对称，则它们的对称中心是C ，点A 的对称点是F ，E 的对称点是D ．BD ∥EG 且BD=EG ．连接A ，F 的线段经过C ，且被C 点平分，△ABD ≌△FGE ．故答案为点C 、点F 、点D 、EG 、EG 、点C 、平分、△FGE ．【点评】本题考查了中心对称的定义以及中心对称的性质，准确识图，找准对应点是解题的关键． 23．直角坐标系中，已知A （3，2），作点A 关于y 轴对称点A 1，点A 1关于原点对称点A 2，点A 2关于x 轴对称点A 3，A 3关于y 轴对称点A 4，……，按此规律，则点A 2019的坐标为_____．【答案】（3，2）．【解析】根据题目已知条件，写出A 1、A 2、A 3的坐标，找出规律，即可解决问题．【解答】解：作点A 关于y 轴的对称点为A 1，是（﹣3，2）；作点A 1关于原点的对称点为A 2，是（3，﹣2）；作点A 2关于x 轴的对称点为A 3，是（3，2）．显然此为一循环，按此规律，2019÷3＝673， 则点A 2019的坐标是（3，2），故答案为：（3，2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．24．在平面直角坐标系中，点(2,4)-关于原点对称的点的坐标为______．【答案】(2,4)-【解析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．【解答】点(2,4)-关于原点对称的点的坐标为(2,4)-，故答案为：(2,4)-．【点评】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数．25．如图所示，AOD △和COB △关于点O 中心对称，60AOD ︒∠=，90ADO ︒∠=，12BD =，点P 是AO 上一动点，点Q 是OC 上一动点（P ，Q 不与端点重合），且AP OQ =，连接BQ ，DP ，则DP BQ +的最小值是______．【答案】12【解析】先证明四边形ABCD 是平行四边形，得到,,A O C 共线与,,B O D 共线，再利用30与直角三角形的性质得到12,BD OA OC === 证明12,PQ OA ==作DK ∥AC ，使得DK=PQ=12，连接BK 交AC 于Q ，则四边形DPQK 为平行四边形，得到DP+BQ=KQ+BQ=BK 的值最小，再证明BDK 是等边三角形，从而可得答案．【解答】解：如图，AOD 和COB △关于点O 中心对称，,,OD OB OA OC ∴==∴ 四边形ABCD 是平行四边形，60AOD ︒∠=，90ADO ︒∠=，30,DAO ∴∠=︒ 1,2OD OA ∴= 同理：1,2OB OC = ()1112,22BD OD OB OA OC AC OA ∴=+=+=== AP OQ =,AP PO PO OQ ∴+=+∴ PQ=OA=12，作DK ∥AC ，使得DK=PQ=12，连接BK 交AC 于Q ，则四边形DPQK 为平行四边形，,DP QK ∴=此时DP+BQ=KQ+BQ=BK 的值最小，//,DK AC60,KDB AOD ∴∠=∠=︒12,DK BD ==BDK ∴是等边三角形，12,BK BD ∴==∴DP+BQ 的最小值为12．故答案为：12．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．【答案】72；【解析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【解答】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ， 在△AOC 和△FOB 中， AOC FOB AO FO ACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×272故答案为【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．。

23.2 中心对称第1课时（一）基本训练，巩固旧知1.如图，以点O 为中心，把△OAB 旋转180°.2.如图，以点O 为中心，画出点P 关于点O 的对称点P ′.3.如图，以点O 为中心，画出与线段AB 关于点O 对称的线段A ′B ′.4.如图，以点O 为中心，画出与△ABC 关于点O 对称的△A ′B ′C ′.A B O .O P .AB .OO .CA B第2课时1.填空： (1)把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心 ，这个点叫做 中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的 点. (2)中心对称的性质有：中心对称的两个图形是 图形；中心对称的两个图形，对称点所连线段都 对称中心，而且被对称中心所 .2.画出下面图形关于点O 对称的图形：3.下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O 标出对称中心.4.下列汽车标志中，哪些是中心对称图形？.第3课时O.（一）基本训练，巩固旧知1.如图，(1)画出点A关于x轴的对称点A′；(2)画出点B关于x轴的对称点B′；(3)画出点C关于y轴的对称点C′；(4)画出点A关于y轴的对称点D′.2.填空：(1)点A(-2，1)关于x轴的对称点为A′( ， )；(2)点B(0，-3）关于x轴的对称点为B′( ， )；(3)点C(-4，-2）关于y轴的对称点为C′( ， )；(4)点D(5，0）关于y轴的对称点为D′( ， ).3.探究题如图，A(3，2)，B(-3，2)， C(3，0)，(1)在直角坐标系中，画出点A ，B ，C 关于原点的对称点A ′，B ′，C ′； (2)点A(3，2)关于原点的对称点为A ′( ， )，点B(-3，2)关于原点的对称点为B ′( ， )，点C(3，0)关于原点的对称点为C ′( ， )；(3)你发现点P(x ，y)关于原点的对称点P ′( ， ).4.填空： (1)点A(8，-6)关于原点的对称点是A ′( ， )；(2)点B(0，5)关于原点的对称点是B ′( ， )； (3)点C( ， )关于原点的对称点是C ′(4，7)；(4)点D( ， )关于原点的对称点是D ′(0，0).。

23.2中心对称23．2.1中心对称关键问答①中心对称和旋转之间有什么关系？②怎样确定成中心对称的两个图形的对称中心？1．①如图23－2－1，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，有下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．其中正确的有()图23－2－1A．1个B．2个C．3个D．4个2.②如图23－2－2，△ABE与△DCF成中心对称，则对称中心是__________．图23－2－23．如图23－2－3，画出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′.图23－2－3命题点1利用中心对称性质求值[热度：87%]4．③如图23－2－4，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长度为()图23－2－4A．2 B．3 C．4 D．1.5解题突破③识别对称线段是利用中心对称的性质求线段长的基础．5．如图23－2－5，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF，当四边形ABFE为矩形时，∠ACB的度数为()图23－2－5A．90°B．30°C．60°D．45°6.④2017·乐山如图23－2－6，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A 的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为________．图23－2－6方法点拨④通过中心对称，可以把分散的图形集中起来，从而将不规则的图形转化为规则的图形，进而依据有关公式、图形性质等解决问题．也就是说，中心对称可以起到“化零为整”的作用．命题点2对称中心的确定[热度：82%]7．⑤如图23－2－7，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()图23－2－7A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点方法点拨⑤确定对称中心的步骤：(1)找一对对称点(或两对对称点)；(2)连接对称点；(3)这一对对称点所连线段的中点(两对对称点连线的交点)就是对称中心．8.如图23－2－8，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点成中心对称，则点B 的对称点是()图23－2－8A．点E B．点F C．点G D．点H9．如图23－2－9，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．图23－2－9命题点3作成中心对称的图形[热度：85%]10．如图23－2－10，已知△ABC和点O.⑥(1)在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称；(2)点A，B，C，A′，B′，C′能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来．图23－2－10方法点拨⑥(1)作已知图形关于某个点的对称图形，可转化成作已知图形的关键点(通常是顶点)关于某个点的对称点；(2)作点A关于已知点B对称的点的方法是连接AB，并延长AB到点A′，使A′B＝AB，则点A′就是点A关于点B的对称点.11．如图23－2－11，已知AD是△ABC的中线．(1)画出以点D为对称中心与△ABD成中心对称的三角形；(2)画出以点B为对称中心与(1)中所作三角形成中心对称的三角形；(3)问题(2)中所作三角形可以看作是由△ABD作怎样的变换得到的？图23－2－1112.如图23－2－12，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，请说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O成中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形？请说明理由．图23－2－1213．在如图23－2－13所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此继续下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()图23－2－13A．(4n－1，3) B．(2n－1，3) C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)14.⑦如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M 叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图23－2－14，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，且这些对称中心依次循环，已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2018的坐标为________．图23－2－14解题突破⑦分别写出点P1，P2，P3，…中前几个点的坐标，通过观察可发现这些点的坐标出现循环且与序号有关系.典题讲评与答案详析1．D2．BC(或AD)的中点3．解：如图，△A′B′C′即为所求．4．A[解析] ∵ED是△ABC的中位线，BC＝4，∴ED＝2.又∵△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称，∴E′D′＝ED＝2.5．C[解析] ∵△ABC与△FEC关于点C成中心对称，∴AC＝CF，BC＝CE，∴四边形ABFE是平行四边形．∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AF＝BE，∴▱ABFE为矩形．6．6[解析] 如图，过点A′作A′B′⊥a，垂足为B′，由题意可知，①与②关于点O中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A′B′OD的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.7．D[解析] 因为P，O是对称点，因此PO的中点是对称中心．8．D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B 和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.9．[导学号：04402157]解：(1)∵正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，∴D，D1是对应点，∴DD1的中点是对称中心．∵D(0，2)，D1(0，3)，∴对称中心的坐标为(0，2.5)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3)．10．解：(1)△A′B′C′如图所示．(2)根据中心对称的性质，可得AC綊A′C′，AB綊A′B′，BC綊B′C′，故有3个平行四边形，分别为▱ABA′B′，▱BCB′C′，▱CA′C′A.11．解：(1)如图所示，△ECD是所求的三角形．(2)如图所示，△E′C′D′是所求的三角形．(3)△E′C′D′可以看作是由△ABD沿DB方向平移2BD的长得到的．12．解：(1)△BEC是等腰三角形．理由：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE.∵∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴△BEC是等腰三角形．(2)画图如图所示．四边形BCFE是菱形．理由：如图，∵△FCE与△BEC关于CE的中点O 成中心对称，∴OB＝OF，OE＝OC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BC＝BE，∴▱BCFE是菱形．13．[导学号：04402159]C[解析] ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴点A1的坐标为(1，3)，点B1的坐标为(2，0)．∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∴点A2的坐标是(3，－3)．∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∴点A3的坐标是(5，3)．∵△B4A4B3与△B2A3B3关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∴点A4的坐标是(7，－3)，∴点A n的横坐标是2n－1，A2n＋1的横坐标是2(2n＋1)－1＝4n＋1.∵当n为奇数时，A n的纵坐标是3，当n为偶数时，A n的纵坐标是－3，∴顶点A2n＋1的纵坐标是3，∴△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是(4n＋1，3)．14．[导学号：04402160](1，－1)[解析] 由题意可得点P2(1，－1)，P3(－1，3)，P4(1，－3)，P5(1，3)，P6(－1，－1)，P7(1，1)，可知6个点一个循环，2018÷6＝336……2，故点P2018的坐标与点P2的坐标相同，为(1，－1)．【关键问答】①中心对称是特殊的旋转，即旋转角为180°的旋转，中心对称具有特殊性，旋转具有一般性．②一对对称点连线的中点或两对对称点连线的交点即为对称中心．。

人教版九年级数学上册第23章23.2中心对称导学案（含答案）23．2.1中心对称1、教学目标1．了解中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念．2．掌握中心对称的基本性质．2、情景导入自学教材P64～66内容．知识提要中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(centralsymmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点．自学反馈如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．3、例题讲解例如图，已知△ABC和点O，画△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．【解答】图略．探索：因为点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．同样，点O也是线段BB′和CC′的中点．归纳：中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．【跟踪训练1】教材第66页练习1、2【跟踪训练2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为4．4、巩固训练1．下列说法错误的是(C)A．全等的两个图形不一定成中心对称B．中心对称的两个图形一定是全等图形C．能够完全重合的两个图形中心对称D．中心对称是指两个图形之间的位置关系2．下列选项中的左右两个图形成中心对称的是(B)3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是(D)A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形有4对．5、课堂小结1．中心对称及对称中心的概念．2．关于中心对称的两个图形的性质.23.2.2 中心对称图形1、教学目标1．掌握中心对称图形的定义．2．准确判断某图形是否为中心对称图形．2、预习反馈自学课本P66～67.思考什么样的图形是中心对称图形．知识探究中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．自学反馈1．中心对称图形与中心对称有哪些区别与联系．区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称．联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，那么它们是中心对称图形；如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形，那么它们成中心对称．2．将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．【点拨】这里相当于问哪一张扑克牌是中心对称图形．3、例题讲解例我们已学过许多几何图形，下列几何图形中，哪些是中心对称图形？对称中心是什么？(出示课件图片)①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥线段；⑦角．【解答】线段的对称中心为线段中点、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称中心都是对角线交点．【跟踪训练1】下列图形中，是中心对称图形的为(B)【点拨】怎样判断不常见几何图形是否为中心对称图形的妙法：将书本转180°，即倒过来后，看图形是否与原来一样．【跟踪训练2】说一说：在生活中你还见过哪些中心对称图形？学生思考、举例、回答问题，教师展示图片、归纳总结．【跟踪训练3】想一想：你学过的几何图形具有怎样的对称性？【点拨】边数为奇数的正多边形只是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．4、巩固训练1．观察下列图形，是中心对称图形的是(B)2．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(B)3．下列图形：①等边三角形；②菱形；③函数y＝kx＋b的图象；④函数y＝ax2(a≠0)的图象．其中是中心对称图形的有②③(填序号)．4．设计师：如果公园里的草坪是下面的形状，你能否只修一条笔直的小路就将这块草坪分成面积相等的两部分？解：略．【点拨】由两个中心对称图形构成的图形，过两个对称中心的直线，把这个图形分成的两部分面积相等．5、课堂小结1．中心对称图形的定义．2．怎样准确判断某图形是否为中心对称图形.。

23.2：中心对称（解答题专练）1．下图是一个风车图案的一部分，风车图案是一个关于点O的中心对称图形，请你把它补全．【答案】详见解析.【解析】易得旋转中心是O，旋转角度为45°，旋转方向顺时针，按此作图即可．【解答】如图，【点评】旋转作图的关键是得到旋转中心，旋转方向．2．华丰木器加工厂需加工一批矩形木门，为了安装的需要，在木门的中心要钻一个小孔，假如你是工人师傅，你应该如何确定小孔的位置．【答案】两对角线的交点即为小孔的位置【解析】矩形的两条对角线可以看作是两对对应点的连线，中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段，都过对称中心，且被对称中心平分，而矩形的两条对角线互相平分，故两条对角线的交点，必为对称中心．【解答】解：只要画出矩形木门的两条对角线，两对角线的交点即为小孔的位置（•如答图所示的O点）．【点评】本题考查了中心对称及矩形的性质，难度不大，熟练掌握矩形是中心对称图形，其对角线的交点是对称中心是解答本题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出点C在旋转过程中经过的路径长是多少？【答案】（1）画图见解析，A1（－2，－2）；（2）画图见解析，5 2π【解析】【解析】根据题意画出相应的三角形, 确定出所求点坐标和弧长即可.【解答】解: (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示, 此时A1的坐标为(-2,2);(2) 画出△ABC绕点B逆时针旋转90后得到的△A2B2C2,易得5此时C点旋转过程中经过的路程l为：l=9025360oo）5.【点评】本题主要考查图形的轴对称、尺规作图和弧长公式.4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2坐标；（3）请画出△ABC绕O逆时针旋转90°后的△A3B3C3；并写出点A3、B3、C3坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析，A2（﹣1，﹣1）、B2（﹣4，﹣2）、C2（﹣3，﹣4）；（3）见解析，A3（﹣1，1）、B3（﹣2，4）、C3（﹣4，3）．【解析】（1）利用平移的性质得出对应点的位置进而得出答案（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案（3）利用旋转的性质得出旋转后的点的坐标进而得出答案【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（﹣1，﹣1）、B2（﹣4，﹣2）、C2（﹣3，﹣4）；（3）如图，△A3B3C3即为所求，A3（﹣1，1）、B3（﹣2，4）、C3（﹣4，3）．【点评】本题主要考查了二次函数平移旋转等图形变换的基本性质，掌握前后变换规律是解题关键5．如图，ABC与ADE关于点A成中心对称．（1）点A，B，C的对应点分别是什么？（2）点C，A，E的位置关系是怎样？（3）指出图中相等的线段和相等的角．【答案】（1）点A ，B ，C 的对应点分别是点A ，D ，E ；（2）点C ，A ，E 在同一条直线上；（3）AB AD =，AC AE =，BC DE =，B D ∠=∠，C E ∠=∠，BAC DAE ∠=∠．【解析】（1）根据两个图形成中心对称即可得出答案；（2）根据两个图形成中心对称即可得出答案；（3）分别找到成中心对称的两个图形对应的线段和对应角即可得出答案．【解答】（1）∵ABC 与ADE 是成中心对称的两个图形，∴点A ，B ，C 的对应点分别是点A ，D ，E ．（2）根据中心对称的性质，可知点C ，A ，E 在同一条直线上．（3）AB AD =，AC AE =，BC DE =，B D ∠=∠，C E ∠=∠，BAC DAE ∠=∠．【点评】本题主要考查两个图形成中心对称，掌握中心对称的性质是解题的关键．6．画出如图所示的四边形ABCD 关于点O 成中心对称的四边形A B C D ''''．【答案】如图所示，四边形A B C D ''''即为所求；见解析．【解析】根据旋转的性质即可画出四边形ABCD 关于点O 成中心对称的四边形A B C D ''''．【解答】如图所示，四边形A B C D ''''即为所求：．【点评】本题考查了作图−旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．7．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，且点B 的坐标为（4，2）．（1）画出OAB 关于点O 成中心对称的11OA B ，并写出点B 1的坐标；（2）求出以点B 1为顶点，并经过点B 的二次函数关系式.【答案】（1）图见解析，点()142B --，；（2）()214216y x =+-. 【解析】(1) 先由条件求出A 点的坐标, 再根据中心对称的性质求出1A 、 1B 的坐标, 最后顺次连接1OA 、1OB , △OAB 关于点O 成中心对称的△11OA B 就画好了,可求出B 1点坐标.(2) 根据 (1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.【解答】（1）如图，点()142B --，.（2）设二次函数的关系式是()242y a x =+-，把（4，2）代入上式得()22442a =+-，116a ∴=， 即二次函数关系式是()214216y x =+-. 【点评】本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.8．如图，△ABC 的三个顶点和点O 都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．【答案】解：（1）所画△A1B1C1如图所示．（2）所画△A2B2C2如图所示．【解析】（1）图形的整体平移就是点的平移，找到图形中几个关键的点，也就是A,B,C点，依次的依照题目的要求平移得到对应的点，然后连接得到的点从而得到对应的图形；（2）在已知对称中心的前提下找到对应的对称图形，关键还是找点的对称点，找法是连接点与对称中心O 点并延长相等的距离即为对称点的位置，最后将对称点依次连接得到关于O点成中心对称的图形。