【精品】2017年江苏省南京市鼓楼区高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)

2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．3．双曲线﹣=1的实轴长为．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有条公切线．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为．12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是6π．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，圆的半径为：3．圆的周长为：6π．故答案为：6π【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7 ．【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．3．双曲线﹣=1的实轴长为 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程﹣=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线方程﹣=1中，∵a2=9，∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是x+．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，则过的圆x2+y2=4的切线方程为，即x+．故答案为：x+．【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 2 条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|=，∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，∴公切线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为y2=﹣4x或x2=y ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程．【解答】解：由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），可得4=﹣m或1=2n，解得m=﹣4或n=，则抛物线的方程为y2=﹣4x或x2=y．故答案为：y2=﹣4x或x2=y．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是1＜k＜3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接由题意可得5﹣k＞k﹣1＞0求得k的范围得答案．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴5﹣k＞k﹣1＞0，∴1＜k＜3．故答案为：1＜k＜3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合法；直线与圆；不等式．【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，∴k=1，圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心的横坐标为=，圆心坐标（，）在直线x+y=0上，∴m=﹣1，即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）D（2，﹣2）的斜率，由图象知，OD的斜率最小，此时z=﹣1，BD的斜率最大，此时B（﹣1，0），则z==，即﹣1≤≤，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得： ++2≥0，为任意实数；由②得： +3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是x2﹣y2=1 ．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B的坐标，进而可得线段AB的中点M的坐标，消去a，即可得到结论．【解答】解：设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B（，﹣﹣1），设M（x，y），则x=（a+），y=（a﹣），消去a，可得x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出B的坐标是关键．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出半径，即可求出圆C的方程．（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l 的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，r=2，∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1当l的斜率不存在时，l：x=3成立，若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，得=1，解得k=﹣，∴l：12x+5y﹣31=0．综上，直线l的方程为x=3或12x+5y﹣31=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为，目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x+12y=t，当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点B（20，24）时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max=7×20+12×24=428（万元）．【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x，只需证明f（x）有解即可；（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1•x2，带入弦长公式得到关于a得函数．求此函数的最值．【解答】解：（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x=﹣x2+（a﹣2）x+，则△=（a﹣2）2+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．∴抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x相交．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1=a﹣2，x1•x2=﹣．∴|AB|===．∵a∈（1，4），∴2≤（a﹣2）2+2＜6．∴≤|AB|＜．【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；（2）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k==﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）设P（x，y），由|PM|=|PN|，可得=•，化简可得，x2+（y+5）2=12，即为P的轨迹为圆心（0，﹣5），半径为2的圆．据题意：两个圆相交：|﹣2|＜＜+2，解得﹣57﹣20＜a＜﹣57+20，且﹣57+20＜3，则实数a的取值范围是（﹣57﹣20，﹣57+20）．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意得，从而解椭圆的方程；（2）由题意作图辅助，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），设直线PN：y=kx﹣8k，从而联立化简可得（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，从而可得x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），从而可得=，从而化简d=+x1===2．【解答】解：（1）由题意得，，解得，a=4，c=2，故b=2；故椭圆的方程为+=1；（2）证明：由题意作图象右图，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx﹣8k，联立方程得，，化简可得，（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，故x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），则=，即，d=+x1=+x1====2；故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．。

高二数学(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n∑i =1n(x i－x-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位．．．．．．置上．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数1z在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ▲ ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：则他射击1次，至少命中9环的概率为 ▲ ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ▲ ．(第5题)(第3题) (第4题)S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S5060708090速度(km/h)0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ▲ ． 11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ． 12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)=▲ .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )； 那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ▲ ．14．设函数f (x ) = 12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）（第9题）(1)上表中①②位置的数据分别是多少？(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )=ln x x． (1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值；(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．13 9．510．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分 事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立，所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1， 直线AN 方程：y =－7分 9分12分15分 16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx 2．令f ' (x )＝1－ln xx 2＝0，则x =e ．当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立．令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立.……………………………………………………………………………………………8分若a >2，则当x ∈(2a，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意.故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln m m = ln n n，即m n =n m ．。

江苏省南京市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共17分)1. （1分）若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个为________．2. （1分）(2017·西安模拟) 已知直线a、b和平面α、β，下列命题中假命题的是________（只填序号）．①若a∥b，则a平行于经过b的任何平面；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥α，b∥β，且α⊥β，则a⊥b；④若α∩β=a，且b∥α，则b∥a．3. （1分） (2016高二上·云龙期中) 已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是________ cm2 ．4. （1分） (2019高一下·武宁期末) 已知，，，且，，，，．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则实数的取值范围是________．5. （1分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为________ ．6. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 直线l过点(1,4)，且在两坐标轴上的截距的乘积是18，则直线l 的方程为________．7. （2分） (2018高二上·衢州期中) 圆 :关于直线与直线都对称，则＝________，若原点在圆外，则的取值范围是________．8. （1分）要制作一个容器为4m3 ，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________ （单位：元）9. （1分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA= AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G 点且与直线PM垂直的直线有________条．10. （1分）(2017·山东) 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．11. （1分） (2016高二上·宝应期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为________．12. （1分） (2018高一下·衡阳期末) 已知长方体内接于球，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为________．13. （1分）(2018·南宁模拟) 已知圆：与轴负半轴的交点为，为直线上一点，过作圆的切线，切点为，若，则的最大值为________.14. （3分）若经过点的直线与圆相切，则圆心坐标是________；半径为________；切线在轴上的截距是________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （10分）已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a ， b的值．（1）l1⊥l2，且l1过点(1,1)；（2）l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.16. （5分）正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？17. （5分） (2016高二上·苏州期中) 已知正方形的中心为直线x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交点，一条边所在的直线方程是x+3y﹣5=0，求其他三边所在直线的方程．18. （10分） (2017高一上·舒兰期末) 在如图所示的几何体中，是的中点，．（1）已知，，求证：平面；（2）已知分别是和的中点，求证：平面．19. （10分） (2016高一下·兰州期中) 运行如图的程序，如果输入的m，n的值分别是24和15，记录输出的i和m的值．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（i﹣4，m），圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上．（1）若圆C的半径为1，且圆心C在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使∠OMA=90°，求圆C的半径r的最小值．20. （5分）在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin=（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．参考答案一、填空题 (共14题；共17分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、13、答案：略14-1、二、解答题 (共6题；共45分) 15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。

高二数学(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n∑i =1n(x i－x-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数1z在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ▲ ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：环的概率为 ▲ ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ▲ ．(第5题)(第4题)S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S507090速度(km/h)0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ▲ ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)=▲ .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )；那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ▲ ．14．设函数f (x ) = 12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）（第9题）(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率． 18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )= ln xx．(1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值； (2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n=n m，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．139．5 10．I ≤10或I<11或I ≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分 所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分 所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列． 证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立，所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1，7分 9分12分－12．……………………………………………………15分 ，－12 )．………………………………………………………16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx2． 令f ' (x )＝1－ln xx2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立． 令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－ax x，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分 若a >2，则当x ∈(2a，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln mm=ln nn，即m n=n m．【…、￥。

2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为．2．命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的焦点坐标是．4．过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是．5．已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．9．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为．10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是．11．圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是．12．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m的方程．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．己知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=R2，由圆经过点（2，2）得R2=2，从而所求方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．2．命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．双曲线﹣=1的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．【解答】解：双曲线﹣=1的a2=4，b2=5，c==3，可得双曲线的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．故答案为：（﹣3，0），（3，0）．【点评】本题考查双曲线的焦点坐标，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4．过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是y2=2x．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求．【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px，将点（2，﹣2）代入可得p=1，故抛物线的标准方程为y2=2x；故答案为：y2=2x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．5．已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，b=4，c==3，∴准线方程为：y=±．∴点P到下准线的距离=﹣4=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】点在直线上方，点的坐标代入方程，有﹣4﹣3t+6＜0，求出t的取值范围．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞【点评】本题考查点与直线的位置关系，是基础题．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合充分必要条件的定义，分别对充分性，必要性进行判断即可．【解答】解：“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】F1F2是PF1和PF2的等差中项，可得2F1F2=PF1+PF2，再利用椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵F1F2是PF1和PF2的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，∴2×2c=2a，解得=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2015•河南一模）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先画出不等式组（a为常数）表示的平面区域，再由三角形面积公式即可解得．【解答】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0=×（2a+4）×（a+2）=9，所以S△ABC解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．【点评】本题主要考查如何画出二元一次不等式组表示的平面区域．10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是或．【考点】双曲线的简单性质．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线的焦点在x轴时，由渐近线方程可得b=2a，离心率e===，当双曲线的焦点在y轴时，可得a=2b，同理即可求得焦点在y上的双曲线的离心率．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得b=2a，可得离心率e====，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得a=2b，可得离心率e====，∴双曲线的离心率为：或．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线，和分类讨论的思想，属中档题．11．圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是k＜﹣29或k＞41．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d﹣r求出最小值，可得不等式，即可得出结论．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=25，∴圆心（2，﹣3），半径r=5，∵圆心到直线3x+4y+k=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最小值=﹣5＞2，∴k＜﹣29或k＞41．故答案为k＜﹣29或k＞41．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，根据题意得出d+r为距离的最大值，d﹣r为距离的最小值是解本题的关键．12．（2009•天心区校级模拟）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．13．（2016•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．【点评】本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是37．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得t2+at+b+++b=﹣3，t+=m，|m|≥2，得到﹣2b=m2+am+1，代入到a2+4b2，构造函数f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，利用二次函数的性质得到f（a）min=（m2+1）（4m2+1），再令m2=n≥4，构造函数f（n）=（n+1）（4n+1）=4n2+5n+1，根据函数的单调性即可求出最小值．【解答】解：∵存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，∴t2+at+b+++b=﹣3，设t+=m，|m|≥2，∴m2+am+2b+1=0∴﹣2b=m2+am+1，∴a2+4b2=a2+（m2+am+1）2=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，设f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，其对称轴为a=m，∴f（a）min=（1+m2）m2+2m2（m2+1）+（m2+1）2=（m2+1）（4m2+1），设m2=n≥4，则f（n）=（n+1）（4n+1）=4n2+5n+1，当n≥4时，函数f（n）为增函数，∴f（n）min=4×4+4×5+1=37∴a2+4b2≤37故答案为：37【点评】本题考查了“换元法”、基本不等式的性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，解得实数k的取值范围；（2）若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，求两个命题为真时k的范围的交集，可得答案．【解答】解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，即≤，解得：k∈[﹣2，2]，（2）若命题q：“方程﹣=1表示双曲线”是真命题．则（k﹣2）k＞0，解得：k∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，故k∈[﹣2，0）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，双曲线的定义，复合命题等知识点，难度中档．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．【考点】圆的一般方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）利用中点公式求得AB的中点的坐标，即为圆心坐标，半径为的值，可得圆的标准方程．（2）圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据CA=CB 求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的方程．【解答】解：（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的圆心为（2，﹣3）、半径为=，故它的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=40．（2）由圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据圆过两点A （2，0），B （0，﹣4），可得CA=CB，即=，∴a=3，圆心为（3，﹣3）、半径为CA==，故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=10．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P（﹣1，2）且与圆C相切的直线l的方程；（2）通过弦长|AB|=2，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．【解答】解：（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x+1），…（1分）则=2 …（2分）解得，k1=0，k2=，…（3分）故所求的切线方程为y=2或4x﹣3y﹣10=0．…（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=﹣1，l与圆的两个交点坐标为（﹣1，）和（﹣1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；…（7分）当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x+1），…（8分）即kx﹣y+k+2=0，设圆心到此直线的距离为d，则2=2，∴d=1，…（9分）∴1=，∴k=﹣，…（10分）此时直线方程为3x+4y+5=0，…（11分）综上所述，所求直线方程为3x﹣+y+5=0或x=﹣1．…（12分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，考查计算能力，注意直线的斜率不存在的情况．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．己知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用双曲线的定义进行判断；（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）为巨响为生点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意能求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．【解答】解：（1）设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=﹣x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|﹣|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线如图，（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2﹣a2=10202﹣6802=5×3402故双曲线方程为﹣=1用y=﹣x代入上式，得x=±680，∵|PB|＞|PA|，∴x=﹣680，y=680，故PO=680m答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，数形结合效果很好．19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意列关于a，c的方程组，求解得a，c的值，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．设出直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k，则直线l的方程可求；（2）求出圆N的方程，设出P的坐标，由PB=3PA求得P的轨迹，联立两圆的方程可得P的坐标．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1．由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），联立，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．由△=256k2﹣16（3+4k2）=0，解得k=（k＞0）．∴直线l的方程为y=，即x﹣2y+4=0；（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），由题意可得，，得m=1．则半径r=，∴圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5．①设P（x，y），则由PB=3PA，得，化简得：2x2+2y2﹣2x﹣9y+5=0．②联立①②解得：P（）或P（）．【点评】本题主要考查了直线与椭圆方程．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直线AC的方程易求，从而可得P点坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，从而△ABP的面积可求；（2）设P（m，﹣2）（m≠0），求得PM的斜率，联立直线PM和椭圆方程，可得M的坐标，利用直线PB与BM斜率之积为﹣1可证；（3）点B关于直线y=﹣2的对称点B′可求，连AB′与y=﹣2的交点即为P，求得AB'的长，即为PA+PB 的长，由椭圆定义和离心率公式，可得最大值．【解答】解：（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=，b=1，c=，即有B（0，1），C（0，﹣1），A（，0），直线PM即PC：﹣y=1，即为x﹣y﹣=0，由y=﹣2，代入上式可得x=﹣，P（﹣，﹣2）到直线BA：x+y﹣=0的距离为d==2，=BA•d=•2•2=2；即有S△ABP（2）证明：设P（m，﹣2）（m≠0），k PM==﹣，PM：y=﹣x﹣1，代入椭圆方程可得（3+m2）x2+6mx=0，解得M（﹣，），k PB==﹣，k BM==，则k PB k BM=﹣1，即PB⊥BM，即有△MBP为直角三角形；（3）设B关于直线y=﹣2的对称点为B'，由B（0，1），可得B'（0，﹣5），连接AB'，交直线y=﹣2即为P，则P到A，B的距离之和最小，且为|AB'|==2，|AB|==2，由2＞2，可知以A，B为焦点的椭圆经过P，此时椭圆的离心率取得最大，且为e===．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆联立，以及点关于直线对称的求法，两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请把答案直接写在答题纸的指定位置上）1．命题“∃x ∈R ，x 2＞9”的否定是 ．2．“x ＞1”是“x 2＞1”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3．函数f （x ）＝x 2在区间[1，1.1]上的平均变化率是 ． 4．已知函数f （x ）＝2e x ﹣x 的导数为'()f x ，则'(0)f 的值是 ．5．已知直线l 1：ax +4y +4＝0，l 2：x +ay +2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值是 ． 6．已知点A （1，2），B （3，4），若直线x +ky +5＝0与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．7．若x ，y 满足约束条件，则z ＝x ﹣y 的最小值是 ．8．已知双曲线x 2﹣y 2＝k 的一个焦点是抛物线y 2＝16x 的焦点，则k 的值是 ． 9．若圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2﹣16x +m ＝0相外切，则实数m 的值是 ．10．若经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为2a，则该椭圆的离心率为 ． 11．已知椭圆222214x y a a +=-的左、右焦点分别为F 1、F 2，若在椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积是2，则a 2的值是 ．12．已知圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4的圆心为C ，点P ，Q 在圆上，若△CPQ 的面积是，则C 到直线PQ 的距离为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，0），B （4，0），若直线x ﹣y +m ＝0上存在唯一的点P 使得PB ＝2P A ，则m 的值是 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线﹣t 2y 2＝1（t ∈[2，3]）的右焦点为F ，过F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为H ，则△OFH 面积的取值范围为 ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分。

2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B=．2．数据2，3，4，7，9的平均数为．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为．组号分组频数1[53，61）52[61，69）143[69，77）254[77，85）115[85，93）55．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．8．“a＞b”是“lna＞lnb”的条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x ﹣1）恒成立，则整数m的最大值为．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．17．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3}．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}2．数据2，3，4，7，9的平均数为5．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数的定义直接求解．【解答】解：数据2，3，4，7，9的平均数为：=（2+3+4+7+9）=5．故答案为：5．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是12．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论．【解答】解：总体的个数是75人，要抽一个20人的样本，则每个个体被抽到的概率是=，女员工应选取的人数（75﹣30）×=12人，故答案为：12．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为0.6．组号分组频数1[53，61）52[61，69）143[69，77）254[77，85）115[85，93）5【考点】B7：频率分布表．【分析】根据频率的定义即可求出．【解答】解：样本数据落在区间[69，85]的频数为25+11=36，样本容量为5+14+25+11+5=60则样本数据落在区间[69，85）的频率为=0.6，故答案为：0.65．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5+…+10值．由于：S=1+2+3+4+5+…+10=55，故输出的S值为55．故答案为：55；6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为 2.8．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，由先进可能事件概率计算公式得，由此能求出估计阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为S，∵矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，∴，解得S=2.8．∴估计阴影部分的面积为2.8．故答案为：2.8．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果【解答】解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．8．“a＞b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“lna＞lnb”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“lna＞lnb”．即可判断出关系．【解答】解：由“lna＞lnb”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“lna＞lnb”．∴a＞b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为{﹣5，5}．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，讨论x的取值，根据函数解析式求出对应x的取值集合．【解答】解：根据流程图的作用知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=﹣x=5，解得：x=﹣5；当x≥0时，y=x2﹣4x=5，解得：x=5或x=﹣1（舍去）综上，输入的x值为﹣5或5，即{﹣5，5}．故答案为：{﹣5，5}．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为6．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=126时满足条件，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件S≥100，执行循环体，n=2，S=2+4=6不满足条件S≥100，执行循环体，n=3，S=6+8=14不满足条件S≥100，执行循环体，n=4，S=14+16=30不满足条件S≥100，执行循环体，n=5，S=30+32=62不满足条件S≥100，执行循环体，n=6，S=62+64=126满足条件S≥100，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是②④（请把所有真命题的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①举例即可；②通过等价命题逆否命题判断；③不等式的性质判断即可；④由充分条件，必要条件的定义判断．【解答】解：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数，显然错误：比如﹣和；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，其逆否命题为：；a，b都小于1，则a+b＜2，显然成立，故正确；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；只有当a＞0时成立，故错误；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”能推出“a+b+c=0”，反之也可以，故是充要条件，故正确．故答案为②④．12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，解出即可．【解答】解：把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，所以a=，b=1，2=4，解得，m=，符合题意．故答案为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为（（e+），+∞）．【考点】3T：函数的值；2I：特称命题．【分析】通过构造函数f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），并求导可知f （x）min=f（1）=e+﹣2k，进而问题转化为解不等式e+﹣2k＜0，计算即得结论．【解答】解：由题意，记f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），则f′（x）=e x﹣e﹣x+3k（x2﹣1），当x≥1时f′（x）＞0，即函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时f（x）min=f（1）=e+﹣2k，由于存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，所以e+﹣2k＜0，解得：k＞（e+），故答案为：（（e+），+∞）．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x ﹣1）恒成立，则整数m的最大值为4．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于m（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=x﹣2，x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，亦即m＜=+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为m＜+2对任意x＞1恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）=1﹣=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，r（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，所以lnx0=x0﹣2．所以[p（x）]min=p（x0）==x0﹣1+2∈（4，5），所以m＜[p（x）]min=x0﹣1+2∈（4，5）故整数m的最大值是4．故答案为：4．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）由频率分布直方图求出质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率，由此能求出在抽查的样本中一级产品共有多少件．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（a+2.5a+4a+0.525+0.35）×0.5=1，解得a=0.15．（2）质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，由频率分布直方图得质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率为（4×0.15+0.525）×0.5=0.5625，∴在抽查的样本中一级产品共有：0.5625×80=45件．16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数N=6×6=36，由关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，得△=m2﹣4n2＞0，由此利用列举法能求出关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率．（2）利用列举法求出实数不是整数包含的基本事件的个数，由此能求出实数不是整数的概率．【解答】解：（1）m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数，基本事件总数N=6×6=36，∵关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，∴△=m2﹣4n2＞0，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根包含的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6个，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率=．（2）实数不是整数包含的基本事件（m，n）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，4），（6，5），共22个，∴实数不是整数的概率p2=．17．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假．（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．即可得出．【解答】解：命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，是真命题．（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，∴￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．∴，或k=0，1＞0；且△=4k2﹣4≥0，解得k≥1．∴实数k的取值范围是[1，+∞）．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），运用半圆的面积和矩形的面积，即可所求透光面积S的解析式，由二次函数的最值求法，即可得到所求r；（2）由r=1，分别求出窗子的半圆部分的造价和窗子的矩形部分的造价，求和，即可判断是否够用．【解答】解：（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），窗子的透光面积为S=πr2+（10﹣2r﹣πr）•2r=（﹣2﹣π）r2+10r，（0＜r＜），当r=﹣=（米），S有最大值；（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为π•12•300=150π（元），窗子的矩形部分的造价为2•（10﹣2﹣π）•100=800﹣100π（元），可得总造价为150π+800﹣100π=800+50π＞900，则r=1时，900元的造价不够用．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据向量的坐标运算，即可求得x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，根据单调性，即可求得A和B的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）由2x1+x2=3b，代入椭圆方程，由0＜x2＜b，即可求得3c2＜2a2，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆方程：mx2+ny2=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：点M坐标为（3，0），则=（x2﹣3，y2），=（x1﹣3，y1），由，则=﹣2，则x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，由等腰梯形与椭圆的对称性，则y2﹣y1=3，x2=1，∴x1=4，y1=﹣1，y2=2，∴A（4，﹣1），B（1，2），，解得：，∴椭圆的标准方程：；（2）由2x1+x2=3b，，，消去y1，4x12﹣x22=3a2，∴2x1﹣x2=，2x2=3b﹣，由0＜x2＜b，则0＜3b2﹣a2＜2b2，∴a2＜2a2，3c2＜2a2，∴e=，则0＜e＜，∴椭圆的离心率e的取值范围（0，）．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出a的值，从而求出函数h（x）的表达式，求出h（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣2x﹣1=，令f′（x）＞0，即（2x﹣1）（x+1）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，即（2x﹣1）（x+1）＞0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）的最大值是f（）=﹣ln2﹣；（2）g（x）=af（x）+ax2﹣3=alnx﹣ax﹣3，g′（x）=﹣a，g′（2）==1⇔a=﹣2，∴g（x）=﹣2lnx+2x﹣3，g′（x）=2﹣，故h（x）=x3+（2+）x2﹣2x，∴h′（x）=3x2+（4+m）x﹣2，∵函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数，∴函数h（x）在区间（t，4）上总存在零点，又∵函数h′（x）是开口向上的二次函数，且h′（0）=﹣2＜0，∴，由h′（t）＜0⇔m＜﹣3t﹣4，令H（t）=﹣3t﹣4，则H′（t）=﹣﹣3＜0，所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）min=H（2）=﹣9；由h′（4）=48+4（4+m）﹣2＞0，解得：m＞﹣；综上得：﹣＜m＜﹣9，所以当m在（﹣，﹣9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数．2017年6月15日。

高二第一学期期中测试数学试题（文科）参考公式：回归直线方程a x by ˆˆ+=∧，其中∑∑==∧--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221，x b y aˆˆ-= 一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设,a b 为非零实数,若a b <,0c ≠ 则下列不等式成立的是A. ac bc <B. 22a b < C. 22ac bc < D. a c b c -<+ 2．要完成下列两项调查：宜采用的抽样方法依次为①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.A ．①随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4．一组数据的平均数是2 .8 ，方差是3 .6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A ．57.2 ，3.6B ．57.2 ，56.4C ．62.8 ，63.6D ．62.8 ，3.65．当1x >时，关于函数 下列叙述正确的是A.函数()f x 有最小值2B.函数()f x 有最大值2C.函数()f x 有最小值3D.函数()f x 有最大值3 6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90% , 则甲、乙二人下成和棋的概率为A. 50%B. 30%C. 10%D. 60% 7．如右图所示的程序框图输出的结果是S ＝120 ，则判断框内应填写的条件是A. i ≤5？B. i>5？C. i ≤6？D. i>6？,11)(-+=x x x f354555658．已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是 A. 1.230.08y x ∧=+ Ｂ． 1.235y x ∧=+ Ｃ． 1.234y x ∧=+ Ｄ．0.08 1.23y x ∧=+9．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若 A=2B ，则cosB 等于A. B. C. D.10．ABCD 为长方形，AB=2 ，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 A ．4π B ． 14π- C ． 8π D ．18π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共20分）11．把5进制数4301（5）化为十进制数：4301（5）= 。

南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学2017.01满分为160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上 1．命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ． 2．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程是 ．3．已知复数a ＋2i1－i为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值是 ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ．6．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ≤0，y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ． 9．观察下列等式：(sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；…… 依此规律，当n ∈N *时，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π 2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π 2n ＋1)－2＝ ．10．若“∃x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．若在x ＝－3处函数f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ． 12．有下列命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件； ③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件． 其中所有真命题的序号是 ．13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为(－2c ，0)．若椭圆E上存在点P ，使得PM ＝2PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －t )2，x ≤t ，14x ，x ＞t ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)，C (2，－4)． (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．（本题满分14分）已知复数z 1＝m －2i ，复数z 2＝1－n i ，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数．(1)若m ＝1，n ＝－1，求|z 1＋z 2|的值； (2)若z 1＝(z 2)2，求m ，n 的值．17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．A BC FD E（第18题图）Oθ19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 32，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3AM →＝MB →，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且点C 在x 轴上方． (1)求椭圆E 的方程； (2)若BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线BC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f (x )＝ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)已知e 为自然对数的底数，存在x ∈[1e ，e]，使得f (x )＝1成立，求a 的取值范围；(3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x )成立，求a 的取值范围．xAB y CM O (第19题图)D南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准 2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a |≠|b |，则a ≠b 2．y ＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．4n (n ＋1)3 10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④13．[33，22] 14．(3，4) 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）解：（1）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 中点D 的坐标为（6，0）， ………………2分所以AD 的斜率为k ＝8－07－6＝8， ……………… 5分所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －0＝8(x －6)，即8x －y －48＝0． ……………… 7分 （2）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 所在直线的斜率为k ＝4－(－4)10－2＝1，…… 9分所以BC 边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分 所以BC 边上的高所在直线的方程为y －8＝－(x －7)，即x ＋y －15＝0． ………………………… 14分 16．（本题满分14分） 解：（1） 当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ，所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， ………………4分 所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝5． ………………6分 （2）若z 1＝(z 2)2，则m －2i ＝(1－n i)2，所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ， ……………10分所以⎩⎨⎧m ＝1－n 2，－2＝－2n ， ………………12分解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1． ………………14分17．（本题满分14分） 解：（1）过点(2，－1)且与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －3＝0，……2分由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x －y －3＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2．所以圆心M 的坐标为(1，－2)， ………………4分 所以圆M 的半径为r ＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2， ………………6分 所以圆M 的方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2． ………………7分 （2）因为直线l 被圆M 截得的弦长为6， 所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝2－(62)2＝22， ……………9分 若直线l 的斜率不存在，则l 为x ＝0，此时，圆心M 到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由d ＝|k ＋2|k 2＋(－1)2＝22， ………………11分整理得k 2＋8k ＋7＝0，解得k ＝－1或－7， ………………13分 所以直线l 的方程为x ＋y ＝0或7x ＋y ＝0． ………………14分 18．（本题满分16分） 解：（1）作AH ⊥CF 于H ，则OH ＝cos θ，AB ＝2OH ＝2cos θ，AH ＝sin θ， ……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×12(AB ＋CF )×AH ＝(2cos θ＋2)sin θ＝2(cos θ＋1)sin θ，θ∈(0，π2)． ………………6分（2）f ′(θ)＝2[－sin θsin θ＋(cos θ＋1)cos θ]＝2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝2(2cos θ－1)(cos θ＋1)． ………………10分 令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cos θ＝12，即θ＝π3， ……………………12分当θ∈(0，π3)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(π3，π2)上单调递减， …………14分所以当θ＝π3时，f (θ)取最大值f (π3)＝2(cos π3＋1)sin π3＝323． …………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分） 解：（1）因为3AM →＝MB →，所以3(－1＋a ，0)＝(a ＋1，0)，解得a ＝2． ………………2分又因为c a ＝ 32，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………4分（2）方法1设点C 的坐标为(x 0，y 0)，y 0＞0,则CM →＝(－1－x 0，－y 0)，CB →＝(2－x 0，－y 0)．因为BC ⊥CD ，所以(－1－x 0)( 2－x 0)＋y 02＝0． ① ……………6分 又因为x 024＋y 02＝1， ②联立①②，解得x 0＝－23，y 0＝223， ………………8分所以k ＝223－23＋1＝22． ………………10分方法2因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，且BC ⊥CD ，所以BC 的方程为y ＝－1k (x －2)， ………………6分联立方程组，可得点C 的坐标为(2－k 21＋k 2，3k1＋k 2)， ………………8分 代入椭圆方程，得(2－k 21＋k 2)24＋(3k 1＋k 2)2＝1，解得k ＝±22．又因为点C 在x 轴上方，所以3k1＋k 2＞0，所以k ＞0，所以k ＝2 2 ………………10分 （3）方法1因为直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2， …………………12分所以k 1k 2＝k 2(x 1＋1) (x 2＋1) (x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1 x 2＋x 1＋x 2＋1)x 1 x 2－2 (x 1＋x 2)＋4 …………………14分＝k 2(4k 2－4 1＋4k 2－8k 2 1＋4k 2＋1) 4k 2－4 1＋4k 2＋2×8k21＋4k 2＋4＝－3k 236k 2＝－112， 所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法2因为直线BC 的方程为y ＝k 1(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 2＝1，得C (8k 12－2 1＋4k 12，－4k 1 1＋4k 12)， ………………12分 同理D (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 21＋4k 22)， 由于C ，M ，D 三点共线，故MC →，MD →共线，又MC →＝(8k 12－2 1＋4k 12＋1，－4k 1 1＋4k 12)＝(12k 12－1 1＋4k 12，－4k 1 1＋4k 12)， MD →＝(8k 22－2 1＋4k 22＋1，－4k 2 1＋4k 22)＝(12k 22－1 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)， 所以12k 12－1 1＋4k 12×－4k 2 1＋4k 22＝－4k 1 1＋4k 12×12k 22－1 1＋4k 22， ……………14分化简得12k 12k 2－k 2＝12k 1k 22－k 1，即(12k 1k 2＋1)(k 1－k 2)＝0，由于k 1≠k 2，否则C ，D 两点重合，于是12k 1k 2＋1＝0，即k 1k 2＝－112，所以k 1k 2为定值． ……………16分 方法3设C (x 0,y 0)，则CD ：y ＝y 0x 0+1(x +1)(－2＜x 0＜2且x 0≠－1)，由⎩⎨⎧y ＝y 0x 0+1(x +1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得[(x 0＋1)2＋4y 02]x 2＋8y 02x ＋4y 02－4(x 0＋1)2＝0. ………………12分 又因为x 024＋y 02＝1，所以得D (－8－5x 05＋2x 0，－3y 05＋2x 0)， ………………14分所以k 1k 2＝y 0x 0－2·－3y 05＋2x 0－8－5x 05＋2x 0－2＝－3y 02(x 0－2)(－9x 0－18)＝y 023(x 02－4)＝1－x 0243(x 02－4)＝－112， 所以k 1k 2为定值． ………………16分 20．（本题满分16分） 解：（1）a ＝1时，f (x )＝x －ln x , 则f '(x )＝1－1x ＝x －1x，令f '(x )＝0，则x ＝1． ……………………2分当0＜x ＜1时，f '(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1时，f '(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分 所以当x ＝1时，f (x )取到最小值，最小值为1． …………………4分 （2）因为 f (x )＝1，所以ax －ln x ＝1，即a ＝1x ＋ln xx ， ………………6分设g (x )＝1x ＋ln x x ，x ∈[1e，e]，则g '(x )＝－ln x x 2，令g '(x )＝0，得x ＝1．当1e ＜x ＜1时，g '(x )＞0，所以g (x )在(1e，1)上单调递增； 当1＜x ＜e 时，g '(x )＜0，所以g (x )在(1，e)上单调递减； ………………8分 因为g (1)＝1，g (1e)＝0，g (e)＝2e ，所以函数g (x )的值域是[0，1]，所以a 的取值范围是[0，1]． ……………………10分 （3）对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x )成立，则ax －ln x ≥a x ＋ln x ，即a (x －1x)－2ln x ≥0．令h (x )＝a (x －1x )－2ln x ，则h '(x )＝a (1＋1x 2)－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2，①当a ≥1时，ax 2－2x ＋a ＝a (x －1a )2＋a 2－1a≥0，所以h '(x )≥0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以x ∈[1，＋∞)时，恒有h (x )≥h (1)＝0成立，所以a ≥1满足条件． ………………12分 ②当0＜a ＜1时，有1a ＞1，若x ∈[1，1a ]，则ax 2－2x ＋a ＜0，此时h '(x )＝ax 2－2x ＋ax 2＜0，所以h (x )在[1，1a ]上单调递减，所以h (1a)＜h (1)＝0，即存在x ＝1a＞1，使得h (x )＜0，所以0＜a ＜1不满足条件．……………14分③当a ≤0时，因为x ≥1，所以h '(x )＝ax 2－2x ＋ax 2＜0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，所以a ≤0不满足条件．综上， a 的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。

高二(上)期中试题数学(文科)注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上)1．过点(2，－2)，(－2，6)的直线方程是．2．命题“∃x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0”的否定是．3．圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1和圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的位置关系是．4．直线x＋2y－2＝0与2x＋a y－2a＝0垂直，则a的值是．5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是．6．若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．8．椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积是．9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为23，一条准线方程为y＝－1，则其渐近线方程为．10．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2，2)的圆的方程是．11．若“(x－a)(x－a－1)＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．12．直线y＝x＋b与曲线x＋1－y2＝0恰有一个公共点，则b的取值范围是．13．曲线(x－1)2＋y2＝22(2－x) 的焦点是双曲线C的焦点，点(3，－2393)在C上，则C的方程是．14．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝4过坐标原点，则a＋b的最大值是．二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分8分)写出命题“若直线l 的斜率为－1，则直线l 在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？16．(本小题满分9分)某企业计划生产A ，B 两种产品．已知生产每吨A 产品需3名工人，耗电4 kW ，可获利润7万元；生产每吨B 产品需10名工人，耗电5 kW ，可获利润12万元，设分别生产A ，B 两种产品x 吨，y 吨时，获得的利润为z 万元．(1)用x ，y 表示z 的关系式是 ；(2)该企业有工人300名，供电局只能供电200 kW ，求x ，y 分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？17．(本小题满分10分)已知直线l ：2x ＋y ＋4＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0．(1)直线m 与直线l 平行，且与圆C 相切，求m 的方程；(2)设直线l 和圆C 的两个交点分别为A ，B ，求过A ，B 的圆中面积最小的圆的方程．18．(本小题满分10分)设直线l 的方程是x ＋my ＋23＝0，圆O 的方程是x 2 ＋y 2＝r 2 (r >0)．(1)当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点，求r 的取值范围；(2)r ＝4时，求直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围．19．(本小题满分10分)已知双曲线C 1：x 2a 2－8y 2＝1(a ＞0)的离心率是2，抛物线C 2：y 2＝2px 的准线过C 1的左焦点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，4)是C 2上三点，且CA ⊥CB ，证明：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．20．(本小题满分11分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心是O ，左，右顶点分别是A ，B ，点A 到右焦点的距离为3，离心率为12，P 是椭圆上与A ，B 不重合的任意一点．(1) 求椭圆方程；(2)设Q (0，－m )(m ＞0)是y 轴上定点，若当P 点在椭圆上运动时PQ 最大值是 5 ，求m 的值．高二(上)期中试题数 学(文科)参考答案一、填空题(每小题3分，共42分)1．2x ＋y －2＝02．∀x ∈[－1，1]，x 2－3x ＋1≥03．相交4．－15．y 2＝2x 或x 2＝－2y6．(23，＋∞)7．充分不必要8．249．y ＝±33 x10．x 2＋(y ＋1)2=13 11． 1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．{b |－1≤b <1，或b = 2 }13．3x 2－32 y 2＝114．2 2二、解答题(本大题有6小题，共58分)15．逆命题若直线l 在两坐标轴上截距相等，则直线l 的斜率为－1；该命题是假命题；……3分否命题若直线l 的斜率不为－1，则直线l 在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题； (6)分逆否命题若直线l分(说明，对一个得3分，对两个得16．(1)z ＝7x ＋12 y ；……2分(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10 y ≤300，4 x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10 y ＝300，4 x ＋5y ＝200，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝24．记点A (20，24)．(作出可行域)如右图，当斜率为－ 712的直线经过点A (20，24)时，在y 轴上的截距最大． ……8分此时，z 取得最大值，为428(万元)．所以，x ，y 分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．……………………………9分17．(1)易得直线l 的斜率为－2，圆C 的圆心为点(－1，2)，半径为2． (2)分设直线m 的方程为2x ＋y ＋k ＝0，由|k |5＝2，解得k ＝±25．所以m 的方程为2x ＋y ±25＝0．………………………………………5分 (2)由⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，可得两交点的坐标分别为(－115，25)， (－3，2)．……………7分过A ，B 且面积最小的圆即以线段AB 为直径的圆，其方程为(x ＋135) 2＋(y －65) 2＝45．…………10分18．(1)直线l 过定点(－2 3 ，０)，当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点等价于点(－2 3 ，０)在圆O 内或在圆O 上， (2)分所以r 的取值范围是[2 3 ，＋∞)；………………………………………………………………………5分(其他解法，类比赋分，如231＋m 2 ≤r 恒成立，等) (2)设坐标为(－2 3 ，０) 的点为点A ，分) 分分设AC 的斜率为k ，则直线AC 的方程是y －4＝k (x －8)，x ＝y 22代入并整理，得ky 2－2y ＋8－8k ＝0，方程的两根是4和2k －4，所以y 1＝2k －4，x 1＝2(2k －1)2k 2， A 点的坐标是（2(2k －1)2k 2，2k －4）， 同理可得B 点的坐标（2(2＋k )2，－2k －4）， ………………………………………………7分直线AB 的斜率K AB ＝（2k －4）－（－2k －4） 2(2k －1)2k 2－2(2＋k )2＝－k k 2＋4k －1， 直线AB 的方程是y －(－2k －4)＝－k k 2＋4k －1[x －2(2＋k )2]， 即y ＝－k k 2＋4k －1(x －10)－4， ......................................................9分 直线AB 过定点，定点坐标是（10，－4）． (10)分(第二类解法)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在C 2上，所以x 1＝y 122，x 2＝y 222．显然，y 1≠4， y 2≠4，y 1＋y 2≠0．因为CA ⊥CB ，所以(y 122－所以(y 1＋4)(y 2＋4)＝－4分直线AB 的方程是y －y 1解法一 直线AB－4， ………………………………………………9分 (10，－4)． ………………………………10分y 12(－y －4)＋y 1(2x －10)＋8 x ＋20 y ＝0．............8． 所以直线AB 过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． (10)分解法三 由(*)式得y 2＝－4y 1＋20y 1＋4． 可得⎩⎨⎧y 1＝－6，y 2＝－2． 进而得A (18，－6)，B (2，－2)，进而得直线AB ：x ＋4y ＋6＝0．(其它方程类比赋分) (7)分由(*)式得还可得⎩⎨⎧y 1＝－3，y 2＝－8．进而得A (92，－3) ，B (32，－8) ，进而得另一直线AB ：2x ＋11y ＋24＝0． (8)分由⎩⎨⎧x ＋4y ＋6＝0，2x ＋11y ＋24＝0， 得⎩⎨⎧x =10，y ＝－4．因为⎩⎨⎧x =10，y ＝－4 适合直线AB 的方程(y ＋y 1y 2y 1＋y 2)， ..........................................9分 所以直线AB 过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． (10)分20．(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3， c a ＝12， 解得 ⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1． 所以，所求方程为x 2 ＋ y 2=1．………………………………………………………………………4分)2＋4m 2＋4，………………………………………………………6分，令2m 2＋1 = 5 ，得m =12 ； (8)m ＋ 3 = 5 ，得m = 5 － 3 (舍去)；…………………1分。

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请把答案直接写在答题纸的指定位置上）1.命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是_____．【答案】【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是：，故答案为．2.“x＞1”是“x2＞1”的_____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】化简不等式，直接利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得或，“”能推出“”“”不能推出“”，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.函数f（x）＝x2在区间[1，1.1]上的平均变化率是_____．【答案】2.1【解析】【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值,再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.【详解】，该函数在区间上的平均变化率为，故答案为.【点睛】本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.4.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是_____．【答案】1【解析】【分析】先求出导函数,再将代入计算即可.【详解】因为函数所以导函数为,则，故答案为1.【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式和导数值的求解方法，属于基础题.5.已知直线l1：ax+4y+4＝0，l2：x+ay+2＝0，若l1∥l2，则a的值是_____．【答案】【解析】【分析】由利用两条直线平行斜率相等,列方程可求得的值.【详解】直线，时，不满足条件，，由，可得，求得，故答案为-2 .【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.6.已知点A（1，2），B（3，4），若直线x+ky+5＝0与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由直线经过定点，利用，结合斜率公式，解不等式即可得结果.【详解】因为直线经过定点，，直线与线段有公共点，，解得，故答案为.【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式及其应用，考查了直线过定点问题，属于基础题.7.若x，y满足约束条件，则的最大值是.【答案】0【解析】约束条件的可行域如图所示，即△ABC部分，目标函数过A（0,O3）时值最大，最大值为1-1=0.【考点】线性规划.8.已知双曲线x2﹣y2＝k的一个焦点是抛物线y2＝16x的焦点，则k的值是_____．【答案】8【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标为，从而可得，利用得到结果.【详解】抛物线的焦点坐标为，故双曲线的焦点在轴，即，且，双曲线的标准方程为，故，解得，故答案为8 .【点睛】本题主要考查的知识点是双曲线的方程与性质以及拋物线的方程与性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.9.若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣16x+m＝0相外切，则实数m的值是_____．【答案】28【解析】【分析】利用圆心距等于两圆半径之和列方程求解即可.【详解】化为，所以的圆心为，半径，圆心距，解得，故答案为28 .【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.10.若经过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，则该椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】【分析】由，结合过焦点垂直于轴的弦长为，建立方程，然后求出椭圆的离心率.【详解】因为过椭圆的焦点垂直于轴的弦长为，由，，又，，所以椭圆的离心率为，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质，椭圆离心率的求法，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解．11.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，若在椭圆上存在点P使得，且△PF1F2的面积是2，则a2的值是_____．【答案】6【解析】【分析】由椭圆定义知，由，可知，利用的面积为2可得，结合可得.【详解】根据椭圆定义知，由，得为直角三角形，，又的面积为2，，则，，可得，由可得即，，故答案为6.【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆的几何性质，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为C，点P，Q在圆上，若△CPQ的面积是，则C 到直线PQ的距离为_____．【答案】1或【解析】【分析】设到直线的距离为，根据圆的弦长公式，利用三角形面积公式可得，结合可得的值.【详解】根据题意，设到直线的距离为，圆的半径，若的面积是，则，即，解可得或，故答案为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式的应用，属于基础题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13.在平面直角坐标系xoy中，已知点，,若直线x-y+m=0上存在点P，使得2PA=PB,则实数m的取值范围为____．【答案】【解析】设P(x,y), 由2PA=PB，得，化简得，所以即直线与圆有交点。

一、选择题1．(0分)[ID ：13027]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．(0分)[ID ：13008]为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.154．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<5．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n6．(0分)[ID ：12985]某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件7．(0分)[ID ：12976]已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ）A ．16πB ．4π C ．34- D ．14π-8．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．569．(0分)[ID ：12964]已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，10 10．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，911．(0分)[ID：12962]如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.12．(0分)[ID：12951]若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．k>8？B．k≤8？C．k<8？D．k=9？13．(0分)[ID：12940]在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A．127B．128C．128.5D．12914．(0分)[ID：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4B．5C．6D．715．(0分)[ID：12948]6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．15二、填空题16．(0分)[ID：13100]为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．17．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.18．(0分)[ID ：13085]已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．19．(0分)[ID ：13077]以下四个命题错误的序号为_______ (1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.20．(0分)[ID ：13074]某商家观察发现某种商品的销售量x 与气温y 呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：已知该回归直线方程为ˆˆ1.02yx a =+，则实数ˆa =__________． 21．(0分)[ID ：13064]根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．22．(0分)[ID ：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .23．(0分)[ID ：13040]已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；24．(0分)[ID ：13030]已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________． 25．(0分)[ID ：13029]从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13209]光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？27．(0分)[ID ：13202](1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率；(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.28．(0分)[ID ：13166]我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组频数频率[)0,1025[)10,200.19[)20,3050[)30,400.23[)40,500.18[)50,605（1）分别求出n，,a b的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的（3）从样本中年用水量在[]跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）. 29．(0分)[ID：13163]某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（1）A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？（2）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表一表二①先确定,x y 再补全下列频率分布直方图（用阴影部分表示）.②就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）③分别估计A 类工人生产能力的平均数和中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.30．(0分)[ID ：13227]某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．A 11．D 12．A 13．D 14．A 15．C二、填空题16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为5217．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种18．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图19．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关20．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回21．6【解析】因为所以输出22．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图23．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意24．-029【解析】所以残差是25．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214aa a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．B解析：B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．5．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.6．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58yx =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解. 【详解】分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分224ABCD S =⨯=，214144ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影由几何测度的古典概型，14ABCD S P S π==-阴影 故选：D 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.10．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．11．D解析：D【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为S =20，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论． 【详解】由题意可知输出结果为S =20， 第1次循环，S =11，K =9， 第2次循环，S =20，K =8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k >8． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．13．D解析：D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．14．A解析：A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.15．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.二、填空题16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52 解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．17．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．18．【解析】【分析】有实根则由根的判别式大于零可得之间的关系利用面积型概率求解【详解】关于x 的方程有实根则故答案为【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目根据题意求出判别式大于零的情况满足条件然后结合图 解析：14【解析】 【分析】有实根则由根的判别式大于零，可得a 、b 之间的关系，利用面积型概率求解 【详解】11a -≤≤，11b -≤≤，224u S ∴=⨯=，关于x 的方程220x ax b ++=有实根2240a b ∴->，()()220a b a b +->121112q S ∴=⨯⨯⨯=则14p =故答案为14【点睛】本题是一道关于几何概型问题的题目，根据题意求出判别式大于零的情况满足条件，然后结合图像求出面积即可得到结果，较为基础19．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..20．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回 解析： 2.4-【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得 2.4a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程.详解：由表格数据可得，1015202530205x ++++==，813172428185y ++++==，∴样本中心点坐标为()20,18，代入 1.0ˆ2ˆya =+，可得ˆ 2.4a =-，故答案为 2.4-. 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于简单题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =22．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图 解析：4【解析】试题分析：由程序框图，第一次循环时，1,1k S ==，第二次循环时，22,112k S ==+=，第三次循环时，23,226k S ==+=，第四次循环时，24,63156k S ==+=>，退出循环，输出4k =．考点：程序框图．23．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围24．-029【解析】所以残差是解析：-0.29【解析】0.8516082.71ˆ53.29y=⨯-= ,所以残差是5353.290.29.-=- 25．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是 解析：45【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：,,,,,,,,,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ，其中不同的有８种，故概率是84105P == 。

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请把答案直接写在答题纸的指定位置上）1.命题“∃x＜3，x2＞9”的否定是_____．【答案】【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是：，故答案为．2.“x＞1”是“x2＞1”的_____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】化简不等式，直接利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得或，“”能推出“”“”不能推出“”，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为充分不必要.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.函数f（x）＝x2在区间[1，1.1]上的平均变化率是_____．【答案】2.1【解析】【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值,再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.【详解】，该函数在区间上的平均变化率为，故答案为.【点睛】本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.4.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是_____．【答案】1【解析】【分析】先求出导函数,再将代入计算即可.【详解】因为函数所以导函数为,则，故答案为1.【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式和导数值的求解方法，属于基础题.5.已知直线l1：ax+4y+4＝0，l2：x+ay+2＝0，若l1∥l2，则a的值是_____．【答案】【解析】【分析】由利用两条直线平行斜率相等,列方程可求得的值.【详解】直线，时，不满足条件，，由，可得，求得，故答案为-2 .【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.6.已知点A（1，2），B（3，4），若直线x+ky+5＝0与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由直线经过定点，利用，结合斜率公式，解不等式即可得结果.【详解】因为直线经过定点，，直线与线段有公共点，，解得，故答案为.【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式及其应用，考查了直线过定点问题，属于基础题.7.若x，y满足约束条件，则的最大值是.【答案】0【解析】约束条件的可行域如图所示，即△ABC部分，目标函数过A（0,O3）时值最大，最大值为1-1=0.【考点】线性规划.8.已知双曲线x2﹣y2＝k的一个焦点是抛物线y2＝16x的焦点，则k的值是_____．【答案】8【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标为，从而可得，利用得到结果.【详解】抛物线的焦点坐标为，故双曲线的焦点在轴，即，且，双曲线的标准方程为，故，解得，故答案为8 .【点睛】本题主要考查的知识点是双曲线的方程与性质以及拋物线的方程与性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.9.若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣16x+m＝0相外切，则实数m的值是_____．【答案】28【解析】【分析】利用圆心距等于两圆半径之和列方程求解即可.【详解】化为，所以的圆心为，半径，圆心距，解得，故答案为28 .【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.10.若经过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，则该椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】【分析】由，结合过焦点垂直于轴的弦长为，建立方程，然后求出椭圆的离心率.【详解】因为过椭圆的焦点垂直于轴的弦长为，由，，又，，所以椭圆的离心率为，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质，椭圆离心率的求法，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解．11.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，若在椭圆上存在点P使得，且△PF1F2的面积是2，则a2的值是_____．【答案】6【解析】【分析】由椭圆定义知，由，可知，利用的面积为2可得，结合可得.【详解】根据椭圆定义知，由，得为直角三角形，，又的面积为2，，则，，可得，由可得即，，故答案为6.【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆的几何性质，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为C，点P，Q在圆上，若△CPQ的面积是，则C 到直线PQ的距离为_____．【答案】1或【解析】【分析】设到直线的距离为，根据圆的弦长公式，利用三角形面积公式可得，结合可得的值.【详解】根据题意，设到直线的距离为，圆的半径，若的面积是，则，即，解可得或，故答案为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式的应用，属于基础题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.13.在平面直角坐标系xoy中，已知点，,若直线x-y+m=0上存在点P，使得2PA=PB,则实数m的取值范围为____．【答案】【解析】设P(x,y), 由2PA=PB，得，化简得，所以即直线与圆有交点。

江苏省南京市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2015高二上·永昌期末) 设命题p：∃x∈N，x3＜3x ，则¬p为（）A . ∀x∈N，x3＜3xB . ∃x∈N，x3≥3xC . ∀x∈N，x3≥3xD . ∃x∈N，x3=3x2. （1分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+ ≥2，命题q：∃x0∈R，sinx0+cosx0=，则下列判断正确的是（）A . p是假命题B . q是真命题C . （￢q）是真命题D . （￢p）∧q是真命题3. （1分） (2018高二上·广州期中) 已知命题 , ；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .4. （1分）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （1分）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .6. （1分） (2019高二上·长治月考) 过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点恰好为点，则所在直线方程是（）A .B .C .D .7. （1分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升1米后，水面的宽度是（）A . 1米B . 2米C . 2米8. （1分） (2019高二上·温州期末) 抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .9. （1分）设函数f(x)在x0处可导，则（）A . f′(x0)B . 2C . 2f′(x0)D . －2f′(x0)10. （1分） (2017高二下·大名期中) 函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）B . （0，1）∪（1，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D . （﹣1，0）∪（1，+∞）11. （1分）(2017·河西模拟) 曲线y=2lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离为（）A .B . 2D . 212. （1分）已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·黄陵期末) “p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件.14. （1分）已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x ，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________15. （1分） (2018高三上·重庆期末) 已知为双曲线与圆的一个公共点，分别为双曲线的左右焦点，设，若，则双曲线的离心率的取值范围是________。

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是______．2.“x＞1”是“x2＞1”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3.函数f（x）=x2在区间[1，1.1]上的平均变化率是______．4.已知函数f（x）=2e x-x的导数为f′（x），则f′（0）的值是______．5.已知直线l1：ax+4y+4=0，l2：x+ay+2=0，若l1∥l2，则a的值是______．6.已知点A（1，2），B（3，4），若直线x+ky+5=0与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是______．7.（理科）若x，y满足约束条件x≥0x+2y≥32x+y≤3，则z=x-y的最小值是______．8.已知双曲线x2-y2=k的一个焦点是抛物线y2=16x的焦点，则k的值是______．9.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-16x+m=0相外切，则实数m的值是______．10.若经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为a2，则该椭圆的离心率为______．11.已知椭圆x2a +y2a−4=1的左、右焦点分别为F1、F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a2的值是______．12.已知圆（x-3）2+（y-4）2=4的圆心为C，点P，Q在圆上，若△CPQ的面积是3，则C到直线PQ的距离为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（4，0），若直线x-y+m=0上存在唯一的点P使得PB=2PA，则m的值是______．14.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2ln t-t2y2=1（t∈[2，3]）的右焦点为F，过F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为H，则△OFH面积的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知p：方程x2m−1+y2m−4=1表示双曲线，q：x2m+2+y26−m=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若“p且q”是真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-2x+1与圆O：x2+y2=r2（r＞0）交于M，N两点，且MN=455．（1）求M，N的坐标；（2）求过O，M，N三点的圆的方程．17.已知点A（12，-1），B（2，1），函数f（x）=log2x．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；（2）曲线y=f（x）（12≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．18.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）（a是正常数），抛物线y=px2的焦点是（0，1），P是抛物线上的动点．（1）求抛物线的方程；（2）若PA的最小值是23，求a的值．19.设f（x）=（1-m）ln x+m2x2+nx（m，n是常数）．（1）若m=0，且f（x）在（1，2）上单调递减，求n的取值范围；（2）若m＞0，且n=-1，求f（x）的单调区间．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）离心率是12，焦点到相应准线的距离是3．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x=4交于点P，Q．①求证：AP，AQ斜率的积是定值；②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点．答案和解析1.【答案】∀x∈R，x2≤9【解析】解：命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是命题“∀x∈R，x2≤9”，故答案为：∀x∈R，x2≤9．由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题．2.【答案】充分不必要【解析】解：由x2＞1得x＞1或x＜-1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．3.【答案】2.1【解析】解：∵f（x）=x2，∴f（1）=1，f（1.1）=1.21，∴该函数在区间[1，1.1]上的平均变化率为=2.1故答案为：2.1利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间[1，1.1]上的平均变化率．本题考查函数在区间上的平均变化率，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】1【解析】解：函数f（x）=2e x-x的导数为f′（x）=2e x-1，则f′（0）=2-1=1，故答案为：1先求导，再代值计算即可．本题考查了基本导数公式和导数值的求法，属于基础题5.【答案】-2【解析】解：∵直线l1：ax+4y+4=0，l2：x+ay+2=0，若l1∥l2，则a=0时，不满足条件，∴a≠0，且=≠，求得a=-2，故答案为：-2．由题意利用两条直线平行的性质，求得a的值．本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．6.【答案】[-3，-2]【解析】解：直线x+ky+5=0经过定点P（-5，0），∴k PA==，k PB==．∵直线x+ky+5=0与线段AB有公共点，∴≤-≤，解得：-3≤k≤-2．故答案为：[-3，-2]．直线x+ky+5=0经过定点P（-5，0），可得k PA≤-≤k PB．本题考查了直线的斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】-3【解析】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x-y整理得到y=x-z，要求z=x-y的最小值即是求直线y=x-z的纵截距的最大值，当平移直线x-y=0经过点A（0，3）时，x-y最小，且最小值为：-3，则目标函数z=x-y的最小值为-3．故答案为：-3．先根据条件画出可行域，设z=x-y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x-y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8.【答案】8【解析】解：抛物线y2=16x的焦点坐标为（4，0）故双曲线x2-y2=k的焦点在x轴，即k＞0，双曲线x2-y2=k的标准方程为：，故2k=16，解得：k=8，故答案为：8．由已知可靠是双曲线x2-y2=k的焦点在x轴，且c=4，进而得到答案．本题考查的知识点双曲线的性质，抛物线的性质，难度不大，属于基础题．9.【答案】28【解析】解：x2+y2-16x+m=0的圆心为（8，0），半径r=，∴圆心距：8=2+，解得：m=28，故答案为：28．两圆外切等价于圆心距等于两圆半径之和．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属基础题．10.【答案】32【解析】解：因为过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，所以，又b2=a2-c2，所以3a2=4c2，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．椭圆的通经等于过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，建立方程，然后求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的基本性质，椭圆离心率的求法，考查计算能力．11.【答案】6【解析】解：根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴（|PF1|）2+（|PF2|）2=（2c）2，又∵△PF1F2的面积为2，∴•|PF1|•|PF2|=2，则|PF1|•|PF2|=4，∴（2a）2=（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|）2+（|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=4c2+8，即b2=a2-c2=2，则a2-4=2，∴a2=6，故答案为：6．通过椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，由PF1⊥PF2，可知（|PF1|）2+（|PF2|）2=（2c）2，利用△PF1F2的面积为2可得•|PF1|•|PF2|=2，则（2a）2=（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|）2+（|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|，代入计算即可．本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．12.【答案】1或3【解析】解：根据题意，设C到直线PQ的距离为d，圆（x-3）2+（y-4）2=4的半径r=2，若△CPQ的面积是，则S=×d×2=，即d×=，解可得：d=1或；故答案为：1或．根据题意，设C到直线PQ的距离为d，分析圆的半径，由直线与圆相交的性质可得S=×d×2=，变形解可得d的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意利用勾股定理分析，属于基础题．13.【答案】±22【解析】解：设P（x，y），则由PB=2PA得=2，化简得：x2+y2=4，依题意得，直线x-y+m=0与圆x2+y2=4有唯一交点，即相切．所以=2，解得m=±2故答案为先求出点P的轨迹方程为圆：x2+y2=4，然后问题转化为直线x-y+m=0与圆相切．本题考查了两点间的距离．属中档题．14.【答案】[ln24，12e]【解析】解：在双曲线-t2y2=1中a2=ln2t，b2=，∴c2=a2+b2=ln2t+，a=lnt，b=∴右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x，∴|FH|==，∴|OH|=a=lnt，∴△OFH 面积S=f （t ）=，t ∈[2，3]，∴f′（t ）=，令f′（t ）=0，解得t=e ，当t ∈[2，e]时，f′（t ）＞0，函数f （t ）单调递增， 当t ∈（e ，3]时，f′（t ）＜0，函数f （t ）单调递减，∴f （t ）max =f （e ）=，∵f （2）=，f （3）=，∴f （2）-f （3）=-==＜0，∴f （t ）min =f （2）=，故△OFH 面积的取值范围为[，]故答案为：[，]根据双曲线的简单性质和渐近线方程，以及点到直线的距离公式求出|FH|═，|OH|=a=lnt ，表示出三角形的面积，构造函数，利用导数求出函数的最值． 本题考查了双曲线的简单性质和导数和函数的最值的关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题15.【答案】解：（1）命题p ：方程x 2m−1+y2m−4=1表示双曲线， 则（m -1）（m -4）＜0，解得1＜m ＜4； 命题q ：x 2m +2+y 26−m =1表示焦点在x 轴上的椭圆， 则m +2＞6-m ＞0，解得2＜m ＜6；若“p 且q ”是真命题，则 2<m <61<m <4，解得2＜m ＜6，∴实数m 的取值范围是2＜m ＜6；（2）若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题， 则p 、q 一真一假；当p 真q 假时， m ≤2或m ≥61<m <4， 解得1＜m ≤2；当p 假q 真时， 2<m <6m≤1或m≥4，解得4≤m ＜6；综上，实数m 的取值范围是1＜m ≤2或4≤m ＜6． 【解析】（1）求出命题p 、q 为真命题时m 的取值范围，再根据“p 且q”是真命题求出m 的取值范围；（2）当“p 且q”是假命题，“p 或q”是真命题时，p 、q 一真一假，由此求出m 的取值范围．本题考查了椭圆与双曲线的定义与应用问题，也考查了复合命题的真假性问题，是中档题．16.【答案】解：（1）根据题意，圆O ：x 2+y 2=r 2的圆心为（0，0），圆心O 到直线y =-2x +1的距离d =4+1= 55，又由|MN |=4 55，则2× r 2−d 2= r 2−15=4 55，解可得r =1；则圆的方程为x 2+y 2=1，联立 y =−2x +1x 2+y 2=1，解可得 y =1x =0或 x =45y =−35，即M 、N 的坐标为（0，1）或（45，-35）；（2）由（1）的结论，M 、N 的坐标为（0，1）或（45，-35）； 设过O ，M ，N 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则有 F =01+E =0(45)2+(−35)2+45×D −35×E +F =0， 解可得：F =0，E =-1，D =-2，则要求圆的方程为x 2+y 2-2x -y =0． 【解析】（1）根据题意，求出圆x 2+y 2=r 2的圆心到直线y=-2x+1的距离d ，又由|MN|=，结合直线与圆的位置关系可得2×==，解可得r 的值，即可得圆O 的方程，联立直线与圆的方程，解可得M 、N 的坐标，（2）根据题意，设过O ，M ，N 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则有，解可得D 、E 、F 的值，代入圆的方程即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质以及弦长的计算，属于综合题．17.【答案】解：（1）设切点为（m，log2m），函数f（x）=log2x导数为f′（x）=1xln2，由题意可得1mln2=log2mm，解得m=e，则切线方程为y=ex：（2）A（12，-1），B（2，1）的斜率为k AB=43，设P（n，log2n），假设存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，可得1nln2=43，可得n=34ln2，12＜34ln2＜2，则曲线y=f（x）（12≤x≤2）上存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，且P的横坐标为34ln2．【解析】（1）设切点为（m，log2m），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算可得所求方程；（2）设P（n，log2n），求得导数可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，可得P的横坐标．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线的斜率和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵抛物线y=px2的焦点是（0，1），∴14p =1，p=14．∴抛物线的方程为：y=14x2．（2）设P（x，y），y≥0．x2=4yPA2=x2+（y-a）2=[y-（a-2）]2+4a-4．PA max=4a−4，a≥2 a，a＜2，∵PA的最小值是23，a的值为4．【解析】（1）可得，p=．即可得抛物线的方程．（2）设P（x，y），y≥0．x2=4y，PA2=x2+（y-a）2=[y-（a-2）]2+4a-4．PA max=，即可得a的值．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了分段函数的运用，训练了分段函数最值得求法，是中档题．19.【答案】解：（1）m=0时，f（x）=ln x+nx，f′（x）=1x+n，∵f（x）在（1，2）递减，故x∈（1，2）时1x+n≤0成立，故n≤-1x在x∈（1，2）时成立，故n的范围是（-∞，-1]；（2）∵m＞0，n=-1，∴f（x）=（1-m）ln x+m2x2-x，f′（x）=mx （x-1）（x-1−mm），其中x＞0，①当m≥1时，1−mm＜0，在区间（0，1]上，f′（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x0在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②当12＜m＜1时，0＜1−mm＜1，在区间（0，1−mm）和（1，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（1−mm，1）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1−mm ），（1，+∞）递增，在（1−mm，1）递减，③当m=12时，1−mm=1，在区间（0，+∞）上，f′（x）≥0，（仅在x=1时，f′（x）=0），故f（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，④当0＜m＜12时，1−mm＞1，在区间（0，1）和（1−mm ，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（1，1−mm）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）和（1−mm ，+∞）递增，在（1，1−mm）递减．【解析】（1）代入m 的值，求出函数的导数，得到n≤-在x ∈（1，2）时成立，求出n 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.【答案】解：（1）设椭圆的焦距为2c （c ＞0），由题意可得ca =12，所以，a =2c ，因为椭圆的焦点到相应准线的距离为a 2c−c =(2c )2c−c =3c =3，得c =1，所以，a =2c =2，b = a 2−c 2= 3， 因此，椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）①设动圆的圆心坐标为（4，t ），则圆的方程为（x -4）2+（y -t ）2=t 2+9， 设点P （x P ，y P ）、Q （x Q ，y Q ），令x =4，可得y P y Q =-9，则AP 、AQ 的斜率之积为y P 6×y Q 6=−936=−14（定值）；②设直线MN 的方程为x =my +t ，设点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）＜将直线MN 的方程代入椭圆方程并化简得（3m 2+4）y 2+6tmy +3t 2-12=0， 由韦达定理可得y 1+y 2=−6mt3m +4，y 1y 2=3t 2−123m 2+4，因为A 、M 、P 三点共线，则AM ∥AP， 由于AM =(x 1+2，y 1)=(my 1+t +2，y 1)，AP =(6，y P )， 所以6y 1=（my 1+t +2）y P ，则y P =6y 1my 1+(t +2)，同理可得y Q =6y 2my2+(t +2)，由y P y Q =36y 1y 2[my 1+(t +2)][my 2+(t +2)]=36y 1y 2m 2y 1y 2+m (t +2)(y 1+y 2)+(t +2)2=36(3t 2−12)3m 2+4m 2(3t 2−12)2−6m 2t (t +2)2+(t +2)2=36(3t 2−12)4(t +2)=27(t−2)t +2=−3，解得t =1，因此，直线MN 过定点（1，0）． 【解析】（1）由椭圆的离心率得到a=2c ，结合焦点到相应准线的距离可求出c 的值，进而求出a 、b 的值，即可得出椭圆的方程；（2）①设动圆圆心坐标为（4，t ），进而写出动圆的方程，将直线x=4的方程代入圆的方程，得出点P 、Q 两点的纵坐标之积，再利用斜率公式可得出AP 、AQ 的斜率之积为定值；②设直线MN的方程为x=my+t，将直线MN的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由P、Q两点的纵坐标之积为-9，结合韦达定理计算出t=1，从而得出直线MN过定点（1，0）．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查计算能力与推理能力，属于难题．。