三角形与四边形-1

认识三角形和平行四边形（第一课时）教学内容：教材第19-20页的内容。

教学目标：1、使学生认识三角形和平行四边形，知道图形名称，并且能够辨认和识别这些图形。

2、通过折、拼等方法，使学生感受到图形间的联系。

3、通过培养学生的观察能力和动手操作能力。

4、感受这些图形在生活中的应用。

重点难点：知道三角形和平行四边形的名称，能够正确地辨认和识别三角形和平行四边形。

教学准备：长方形、正方形、圆及三角形的纸各一张，纸若干张，小棒，以及相关实物。

教学过程：一、学前准备。

1、复习旧知。

T：同学们，上节课我们都认识了哪些图形呀，你们能说出它们的名字吗？（教师出示图片，学生回答。

）这些图片都有什么共同的特征呢？（都是平面图形。

）2、动手折。

老师给每人分发一张同样大小的长方形纸，然后教学生从这个长方形纸上裁下一个正方形。

请同学们拿这张正方形的纸然后提问。

T：你能把这张正方形的纸对折成一样的两部分吗？生1：可以这样对折，把正方形纸折成两个相等的长方形。

生2：我可以这样折，也能得到两个相等的部分。

3、导入新知。

T：同学们，后面这个同学**折的方法很特别，对折后得到了一个新的图形，你知道这个图形的名称吗？（三角形）对，这就是我们今天要认识的一个新图形——三角形。

（教师板书：三角形。

）二、探究新知。

1、认识三角形。

老师把对折后的三角形的形状画在黑板上，说明这就是三角形。

T：在我们的日常生活中，常常会见到形状是三角形的物体。

请小朋友们仔细想一想，观察一下，都有哪些？教师引导学生发现，然后用实物演示三角板、流动红旗、红领巾等物体，引导说一说它们的形状，同事对学生进行爱国主义、热爱班集体、为班集体争光以及遵守交通规则的教育。

2、认识平行四边形。

出示：T：你们知道这两个图形的名字吗？（三角形）现在请同学们把这两个完全一样的三角形拼成一个新的图像，请你动手试一试。

看看哪个小朋友最聪明，动手能力最强！生1：我可以拼成一个大三角形。

生2：我可以拼成一个正方形。

三角形和四边形的认识与证明第五单元平面图形及其位置关系三角形和四边形的认识与证明Ⅰ.考点透视一.平面图形及其位置关系1.直线.射线与线段的区别与联系2.角(角的两种定义.角的分类.角的度量以及余角.补角的概念和性质)3.相交线与平行线(1)相交线(对顶角的概念及其性质.垂线的概念及其性质)(2)平行线(平行线的性质与判定)例1.如图,在正方形网格中,∠α.∠β.∠γ的大小关系是( )A.α_gt;β_gt;γB.α=β_gt;γC.α_lt;β=γD.α=β=γ二.三角形的认识与证明1.三角形(三角形的有关概念.三角形的分类.三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)3.角平分线与线段的垂直平分线(定义.性质与判定)例2.下列说法:①等边三角形有三条对称轴;②在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC 不是直角三角形;③等腰三角形的一边长为4,另一边长9,则它的周长为17或22;④一个三角形中至少有两个锐角.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.四边形的认识与证明1.平行四边形(平行四边形的定义.性质与判定)2.特殊的平行四边形(1)矩形(定义.性质与判定)(2)菱形(定义.性质与判定)(3)正方形(定义.性质与判定)3.梯形(等腰梯形的定义.性质与判定)4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质( )A.四边都相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角(2)下列命题中假命题的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.B.两条对角线相等的四边形是矩形.C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形(3)检查一个门框是矩形的方法是( )A.测量两条对角线是否相等B.测量有三个角是直角C.测量两条对角线是否互相平分D.测量两条对角线是否互相垂直(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形(5)菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于()A.60°B.90°C.120°D.150°(6)矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E.F是AC的三等分点,则△BEF的面积是( )A.8B.12C.16D.24Ⅱ.中考演练一.选择题(每小题4分,共40分)1.如图,已知直线AB.CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于( )A.30°B.35°C.20°D.40°(第1题图) (第3题图)(第5题图)2.以长为13cm.10cm.5cm.7cm的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )A.1B.2个C.3个D.4个3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠A,且AN⊥BN于点N,AB=10,AC=16,则MN等于( )A.2B.2.5C.3D.3.54.以下不能构成三角形三边长的数组是()A.(1,,2)B.(,,)C.(3,4,5)D.(32,42,52)5.如图,在RtΔABC中,AF是斜边上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为( )A. B. C. D.6.顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连结所得四边形四边的中点得到的图形是 ()A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形7.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是A.B.C.D.8.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D.C分别落在D′.C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )A．50° B．55°C．60° D．65°(第8题图)(第9题图)(第11题图)9.如图,矩形ABCD中,AB=CD=_,AD=BC=y,把它折叠起来,使顶点A与C重合,则折痕PQ的长度为( )A. B. C. D.10.如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺,那么至少需要( )A.三个正三角形,两个正方形B.两个正三角形,三个正方形C.两个正三角形,两个正方形D.三个正三角形,三个正方形二.填空题(每小题4分,共40分)11.如图,点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是.12.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长,面积是 .13.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60_ordm;,则矩形的两邻边分别长和 .14.已知:□ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,添加适当的条件(1)使它成为菱形.条件:.(2)使它成为矩形.条件:.(3)使它成为正方形.条件: .15.四边形ABCD的两条对角线AC.BD互相垂直,ABCD是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形ABCD的周长为,面积等于.三.(每小题8分,共16分)16.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.17.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,DE⊥BC于E,AE＝BE,BF⊥AE于F,线段BF与图中的哪一条线段相等.先写出你的猜想,再加以证明.猜想:BF＝.证明:四.(每小题9分,共18分)18.如图△ABC中,∠B=2∠A, AB=2BC.求证:∠C=90°.19.已知:△ABC中AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)探究:当M位于BC的什么位置时,四边形AQMP是菱形?并说明你的理由.(2)当△ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形?五.(每小题10分,共20分)20.在矩形ABCD中,AB=16,BC=8.将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE交AB于点F,求AF的长.21.如图,AB.CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F.G.H分别是DE.BE.AC的中点.求证:(1)AF⊥DE;(2)FH=GH.六.(本题满分12分)22.我们知道,一个平行四边形总可以剪开儿拼成一个矩形(如图1所示),一个梯形可以剪开拼成一个矩形(如图2所示),一个矩形可以剪开拼成一个三角形(如图3所示).图1图2图3那么任意一个四边形呢?你也可以将它剪开而拼成各种各样的图形. (1)请你仿上用图示的方法把它剪开而拼成平行四边形.矩形.三角形;(2)想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么运动变换?七.(本题满分12分)23.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为〝勾三.股四.弦五〞.(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(4分)(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾.股.弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(4分,除已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现,并能正确证明,将酌情另加1_3分)(3)继续观察4,3,5;6,8,10;,8,15,17;……,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m_gt;4)的代数式来表示他们的股和弦.(4分)八.(本题满分12分)24.四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察.乐于探索,我们还会发现更多的结论.(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图①),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图①).求证:S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.(2)在三角形中(如图②),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.。

2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形一．选择题（共15小题）1．（2021•宜宾）若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82．（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若AB =√13，EF ＝1，则GM 的长为（ ）A ．2√25B ．2√23C ．3√24D ．4√253．（2021•乐山）如图，已知直线l 1、l 2、l 3两两相交，且l 1⊥l 3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°4．（2021•自贡）如图，A （8，0），C （﹣2，0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）5．（2021•广元）下列命题中，真命题是（）A．2x﹣1=1 2xB．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当﹣1＜x＜5时，y＜06．（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1 7．（2021•南充）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 8．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3√6，则AD的长为（）A．√6B．2√3C．√3+1D．2√3−1 9．（2021•眉山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①∠BDE ＝∠EFC ；②ED ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④点E 运动的路程是2√3，其中正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④10．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（ ）A ．32B ．√3C ．2D ．52 11．（2021•资阳）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分12．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ）A ．BE ＝DFB ．∠BAE ＝∠DAFC ．AE ＝AD D ．∠AEB ＝∠AFD13．（2021•泸州）下列命题是真命题的是（ ）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形14．（2021•自贡）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（）A．72°B．36°C．74°D．88°15．（2021•泸州）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）A．61°B．109°C．119°D．122°二．填空题（共9小题）16．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．17．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．18．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．19．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是．20．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD 上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF 交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD=√2BF；④S△AEF 为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有（填入正确的序号即可）．21．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是．22．（2021•南充）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为．23．（2021•凉山州）菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于．24．（2021•泸州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是．三．解答题（共12小题）25．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．26．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．27．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2√10，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+√3，求sin∠BCD的值．28．（2021•乐山）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC ＝∠OCB．29．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB 于E，若DE＝BE．（1）求证：DA＝DC；（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．30．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD ＝CE．31．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC＝CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．32．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．33．（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE=1 3．（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．34．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√5，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．35．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF 与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．36．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB=√13，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．过点M作MN⊥FC于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，∵tan∠FCB=BFCF=23=NMCN=a2−a，解得：a=4 5．∴GM=√GN2+NM2=√(45)2+(45)2=4√25．故选：D．3．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．4．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．5．【解答】解：A、∵2x﹣1=2 x，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴选项B不符合题意；C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，理由如下：在矩形ABCD中，连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=12BD，同理，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形，∴选项C 不符合题意；D 、∵抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣5的开口向上，与x 轴的两个交点为（﹣1，0）、（5，0）， ∴当﹣1＜x ＜5时，y ＜0，∴选项D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135:45＝3:1．故选：D ．7．【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，又∵∠DOC ＝∠BOA ，∴选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确，故选：A ．8．【解答】解：如图，连结BD ，作DH ⊥AB ,垂足为H ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD,AD∥BC,∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3√6，∴DE=√6,设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH=12∠ADB＝30°,∴AD＝2x,DH=√3x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,∴（√3x）²+(2﹣x)²＝(√6)²,解得：x=1+√32(负值舍去），∴AD＝2x＝1+√3，故选：C．9．【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ，∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ，∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°，∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°，∵∠EFC +∠AFD +∠DFE ＝180°，∴∠EFC +∠AFD ＝180°﹣∠DFE ＝120°，∴∠ADF ＝∠EFC ，∴∠BDE ＝∠EFC ，故结论①正确；②如图，连接OE ，在△DAF 和△DOE 中，{AD =OD ∠ADF =∠ODE DF =DE，∴△DAF ≌△DOE (SAS )，∴∠DOE ＝∠DAF ＝60°，∵∠COD ＝180°﹣∠AOD ＝120°，∴∠COE ＝∠COD ﹣∠DOE ＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE ＝∠DOE ，在△ODE 和△OCE 中，{OD =OC ∠DOE =∠COE OE =OE，∴△ODE ≌△OCE (SAS )，∴ED ＝EC ，∠OCE ＝∠ODE ，故结论②正确；③∵∠ODE ＝∠ADF ，∴∠ADF ＝∠OCE ，即∠ADF ＝∠ECF ，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2√3，∴点E运动的路程是2√3，故结论④正确；故选：D．10．【解答】解：设AC交BD于O，如图：∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD=12AD＝1，OA=√AD2−OA2=√3，∴AC＝2OA＝2√3，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE=12AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF=12CP，∴PE﹣PF=12AP−12CP=12（AP﹣CP）=12AC，∴PE﹣PF=√3，故选：B．11．【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题；D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故错误，是假命题．（∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，∴S△ADE：S△ABC＝1:4，∴S△ADE：S四边形DECB＝1：3．）故选：B．12．【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；故选：C．13．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；故选：B．14．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴每个内角为180°﹣360°÷5＝108°，∵AB＝BC，∴∠BCA ＝∠BAC ＝36°，∴∠ACD ＝∠BCD ﹣∠BCA ＝108°﹣36°＝72°，故选：A ．15．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠D ＝58°，∴∠BAD ＝122°，∠B ＝∠D ＝58°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝61°，∴∠AEC ＝∠B +∠BAE ＝119°，故选：C ．二．填空题（共9小题）16．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ACB ＝60°，在△ABE 和△ACF 中，{AB =AC ∠BAC =∠ACB AE =CF，∴△ABE ≌△ACF （SAS ），∴∠ABE ＝∠CAF ，∴∠BPF ＝∠P AB +∠ABP ＝∠CAP +∠BAP ＝60°，∴∠APB ＝120°，如图，过点A ，点P ，点B 作⊙O ，连接CO ，PO ，∴点P 在AB̂上运动， ∵AO ＝OP ＝OB ，∴∠OAP＝∠OP A，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OP A﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO=ACCO=√32，CO＝2AO，∴CO＝4√3，∴AO＝2√3，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝4√3−2√3=2√3，故答案为2√3．17．【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC=12AB＝2，当点P在线段AB上时，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，则PC＝BC cos30°＝2×√32=√3；当点P（P′）在AB的延长线上时，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，则△P′BC为的等腰三角形则BP′＝BC＝2，（2）当∠ABC＝30°时，同理可得，PC＝2；故答案为2或√3．18．【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．19．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．∴△ABD的周长是12．故答案为：12．20．【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AT＝TF，∴BT＝AT＝TF＝PT，∴A，B，F，P四点共圆，∴∠P AF＝∠PBF＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴P A＝PF，故①正确，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ABM＝180°，∴C，B，M共线，∵∠EAF＝45°，∴∠MAF＝∠F AB+∠BAM＝∠F AB+∠DAE＝45°，∴∠F AE＝∠F AM，在△F AM和△F AE中，{FA =FA ∠FAM =∠FAE AM =AE，∴△F AM ≌△F AE （SAS ），∴FM ＝EF ，∵FM ＝BF +BM ＝BF +DE ，∴EF ＝DE +BF ，故②正确，连接PC ，过点P 作PG ⊥CF 于G ，过点P 作PW ⊥CD 于W ，则四边形PGCW 是矩形， 在△PBA 和PCB 中，{PB =PB ∠PBA =∠PBC BA =BC，∴△PBA ≌△PBC （SAS ），∴P A ＝PC ，∵PF ＝P A ，∴PF ＝PC ，∵PG ⊥CF ，∴FG ＝GC ，∵PB =√2BG ，PD =√2PW =√2CG =√2FG ，∴PB ﹣PD =√2（BG ﹣FG ）=√2BF ，故③正确，∵△AEF ≌△AMF ，∴S △AEF ＝S △AMF =12FM •AB ，∵FM 的长度是变化的，∴△AEF 的面积不是定值，故④错误，∵A ，B ，F ，P 四点共圆，∴∠APG ＝∠AFB ，∵△AFE ≌△AFM ，∴∠AFE ＝∠AFB ，∴∠APG ＝∠AFE ，∵∠P AG ＝∠EAF ，∴△P AG ∽△F AE ，∴S △APGS △AFE =（PA AF ）2＝（√2PA ）2=12， ∴S 四边形PEFG ＝S △APG ，故⑤正确，故答案为：①②③⑤．21．【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10，∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠CBD ＝30°，∵PE ⊥BC ， ∴PE =12PB ， ∴MP +12PB ＝PM +PE ，∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，∵AM ＝3，∴MC ＝7，∵sin ∠ACB =ME MC =√32，∴ME =7√32，∴MP +12PB 的最小值为7√32， 故答案为7√32． 22．【解答】解：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∵F 为BE 的中点，AF ＝3，∴BE ＝2AF ＝6．∵G ，H 分别为BC ，EC 的中点，∴GH =12BE ＝3，故答案为3．23．【解答】解：由题意得，菱形的面积=12×AC •BD =12×10×24＝120，则AO ＝5，BO ＝12，则AB =√AO 2+BO 2=13，设菱形的高为h ，则菱形的面积＝BC •h ＝13h ＝120，解得h =12013，故答案为12013．24．【解答】解：作FM ⊥AB 于点M ，作GN ⊥AB 于点N ，如右图所示，∵正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，且CF ＝3DF ， ∴BE ＝2，MF ＝4，BM ＝CF ＝3，∵GN ⊥AB ，FM ⊥AB ，∴GN ∥FM ，∴△BNG ∽△BMF ，∴BN NG =BM MF =34， 设BN ＝3x ，则NG ＝4x ，AN ＝4﹣3x ，∵GN ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴△ANG ∽△ABE ，∴AN AB =NG BE ， 即4−3x 4=4x 2， 解得x =411，∴GN ＝4x =1611，∴△AGF 的面积是：AB⋅MF 2−AB⋅GN 2=4×42−4×16112=5611， 故答案为：5611．三．解答题（共12小题）25．【解答】证明：∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠AOC ﹣∠AOD ＝∠BOD ﹣∠AOD ，即∠COD ＝∠AOB ，在△AOB 和△COD 中，{OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD，∴△AOB ≌△COD （SAS ）．26．【解答】证明：∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE +∠F AC ＝90°，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°，∴∠BAE +∠EBA ＝90°，∴∠EBA ＝∠F AC ,在△ACF 和△BAE 中，{∠AFC =∠BEA ∠FAC =∠EBA AC =BA ,∴△ACF ≌△BAE (AAS ),∴AF ＝BE ．27．【解答】解：（1）∵∠EAC +∠CAD ＝∠EAD ＝90°，∠BAD +∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，BD ＝CE ，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝45°+45°＝90°，∴BD ＝CE 且BD ⊥CE ；（2）延长BD 和CE 交于点H ，由（1）知BD ⊥CE ，即∠H ＝90°，CE ＝BD ＝2，而∠ADH ＝90°，∠DAE ＝90°，故四边形ADHE 为矩形，而AD ＝AE ，故四边形ADHE 为正方形，在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=√AB 2−CE 2=√(2√10)2−22=6＝DH ＝EH ＝AD ， 则BH ＝BD +DH ＝2+6＝8，CH ＝HE ﹣CE ＝6﹣2＝4，在Rt △BCH 中，tan ∠CBH =CH BH =48=12，在Rt △BDF 中，DF ＝BD tan ∠CBH ＝2×12=1，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，由作图知，△ADE为等腰直角三角形，设CE＝BD＝x，在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC=√2AB=√2⋅√6=2√3，则CH=12BC，BH＝BC cos30°＝3，则DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+√3，则DE2＝2AD2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2+（√3+x）2＝2×（4+√3），解得x＝2−√3（舍去）或1，即BD＝x＝1，过点D作DN⊥BC于点N，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2√3，BD＝1，则ND=12BD=12，BN＝BD cos30°=√32，则CN＝CB﹣BN＝2√3−√32=3√32，∴CD=√CN2+DN2=√7，则sin∠BCD=DNCD=12√7=√714．28．【解答】证明：在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．29．【解答】（1）证明：作DG ⊥BD ，交BC 的延长线于点G ，如右图所示， ∵DE ⊥AB ，∠B ＝90°，DG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠B ＝∠BGD ＝90°，∴四边形DEBG 是矩形，又∵DE ＝BE ，∴四边形DEBG 是正方形，∴DG ＝BE ，∠EDG ＝90°，∴DG ＝DE ，∠EDC +∠CDG ＝90°，∵∠ADC ＝90°，∴∠EDC +∠ADE ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△ADE 和△CDG 中，{∠ADE =∠CDG DE =DG ∠AED =∠CGD，∴△ADE ≌△CDG （ASA ），∴DA ＝DC ；（2）∵∠ADE ＝30°，AD ＝6，∠DEA ＝90°，∴AE ＝3，DE =√AD 2−AE 2=√62−32=3√3，由（1）知，△ADE ≌△CDG ，四边形DEBG 是正方形，∴DG ＝DE ＝3√3，AE ＝CG ＝3，BE ＝DG ＝BG ＝3√3，∴BC ＝BG ﹣CG ＝3√3−3，AE ＝AE +BE ＝3+3√3，∵FG ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴FE ∥CB ，∴△AEF ∽△ABC ，∴AE AB =EF BC ， 即3+3√3=3√3−3，解得EF ＝6﹣3√3，∴DF ＝DE ﹣EF ＝3√3−（6﹣3√3）＝3√3−6+3√3=6√3−6， 即DF 的长是6√3−6．30．【解答】证明：在△ABE 与△ACD 中{∠A =∠A AB =AC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．31．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AD ＝BC ，∴∠D ＝∠FCE ；∵E 为DC 中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 与△FCE 中，{∠D =∠FCE ED =EC ∠AED =∠FEC，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AD ＝CF ，∴BC ＝CF ．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝DC ，∴△ABG ∽△CEG ，∴AB EC =BG EG ，S △ABGS △CEG =(AB EC )2，∵DE ＝CE ，∴AB ＝2CE ，∴BG EG =2，S △ABGS △CEG =4，∵△GEC 的面积为2，∴S △BGC ＝2S △CEG ＝4，S △ABG ＝4S △CEG ＝8，∴S △ABC ＝S △BGC +S △ABG ＝4+8＝12，∴平行四边形ABCD 的面积＝2S △ABC ＝24．32．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC +∠CBE ＝180°，∠ADC +∠CDF ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△CDF 和△CBE 中，{CD =CB ∠CDF =∠CBE DF =BE，∴△CDF ≌△CBE （SAS ），∴CE ＝CF ．33．【解答】解:(1)过点E 作EM ⊥AC 于点M ,∴∠AME ＝∠EMC ＝90°,∵四边形ABCD 是边长为1的正方形,DE =13,∴∠CAD ＝45°,AE ＝AD ﹣DE ＝1−13=23,∴EM ＝AM ＝AE •sin ∠CAD =23×√22=√23,AC =√2, ∴CM ＝AC ﹣AM =√2−√23=2√23,∴tan ∠ACE =EM CM =√232√23=12；(2)∵GH ⊥AD ,AB ⊥AD ,∴GH ∥AB ,∴△DHG ∽△DAF ,∴HG AF=DH DA , ∴y x =1−y 1,∴y ＝x ﹣xy ,∴y =x x+1(0＜x ≤1)；(3)当∠ADF ＝∠ACE 时,EG ⊥AC ,理由如下:∵tan ∠ADF ＝tan ∠ACE =12,∴AF AD =x 1=12, ∴x =12,y =13,∴HA ＝GH =13,∴EH ＝AD ﹣DE ﹣AH =13,∴EG =√GH 2+EH 2=√(13)2+(13)2=√23,∴EG ＝EM ,又∵EM ⊥AC ,∴点G 与点M 重合,∴EG ⊥AC ．34．【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG 是正方形， ∴∠DCE ＝90°，CD ＝CE ；∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠BCE ＝90°﹣∠BCD ，在△ACD 和△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．（2）如图1，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，则∠AHM ＝∠DHM ＝90°． ∵∠DCG ＝90°，CD ＝CG ，∴∠CDG ＝∠CGD ＝45°，∴∠ADC ＝90°，∴∠MDH ＝90°﹣45°＝45°，∴MH ＝DH •tan45°＝DH ；∵CD ＝DG •sin45°＝2×√22=√2，AC ＝2√5，∴AD =√(2√5)2−(√2)2=3√2，∴MH AH =CD AD =tan ∠CAD =√23√2=13， ∴AH ＝3MH ＝3DH ，∴3DH +DH ＝3√2；∴MH ＝DH =3√24，∵MH AM =CDAC =sin ∠CAD =√22√5=√10， ∴AM =√10MH =√10×3√24=3√52． （3）如图3，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在点A 和点E 之间． ∵CD ＝CE ＝CF ，∠DCE ＝∠ECF ＝90°，∴∠CDE ＝∠CED ＝∠CEF ＝∠CFE ＝45°；由△ACD ≌△BCE ，得∠BEC ＝∠ADC ＝135°，∴∠BEC +∠CEF ＝180°，∴点B 、E 、F 在同一条直线上，∴∠AEB ＝90°，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且DE ＝2，AD ＝BE ，∴（AD +2）2+AD 2＝（2√5）2+（2√5）2， 解得AD =√19−1或AD =−√19−1（不符合题意，舍去）；如图4，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在AE 的延长线上． ∵∠BCF ＝∠ACE ＝90°﹣∠ACF ，BC ＝AC ，CF ＝CE ，∴△BCF ≌△ACE （SAS ），∴∠BFC ＝∠AEC ，∵∠CFE＝∠CED＝45°，∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，∴点B、F、E在同一条直线上；∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵AE2+BE2＝AB2，∴（AD﹣2）2+AD2＝（2√5）2+（2√5）2，解得AD=√19+1或AD=√19−1（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为√19−1或√19+1．35．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，BE ∥DF ，∴∠E ＝∠F ，在△AOE 和△COF 中，{∠E =∠F∠AOE =∠COF OA =OC，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下： 如图：连结BF ，DE ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．36．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF＝BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF．。

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：四课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容同步知识梳理1、围成三角形的条件：较短两条边长度的和一定大于第三条边。

2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

3、三角形具有稳定性(也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变) ，生活中很多物体利用了这样的特性。

如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。

4、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。

(两个内角的和大于第三个内角。

)5、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

(两个内角的和等于第三个内角。

两个锐角的和是90 度。

两条直角边互为底和高。

)6、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

(两个内角的和小于第三个内角。

)7、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是 180 度。

(锐角三角形的三条高都在三角形内;直角三角形有两条高落在两条直角边上;钝角三角形有两条高在三角形外) 。

8、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。

9、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条对称轴(跟底边高正好重合。

)三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等(每（2）∠1=28°，∠2=62°，求∠3的度数。

2.如下图，已知AB=BC ，求∠1，∠2，∠3。

3.一根铁丝可以围成一个边长为3厘米的正方形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？4.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？专题精讲110°A13BC5、王爷爷家的屋顶是一个等腰三角形（如图），求顶角的度数。

北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识图形》单元测试1（附答案）一、我会填。

(每题2分C:\1648552018(1).png共20分)1．( )个角都是锐角的三角形是锐角三角形C:\1648552018(1).png( )个角是钝角的三角形是钝角三角形。

2．三角形具有( )性C:\1648552018(1).png而四边形不具有( )性。

3．当平行四边形的一个角是直角时C:\1648552018(1).png它就变成了( )形或( )形。

4．等腰三角形的顶角是90°C:\1648552018(1).png它的一个底角是( )C:\1648552018(1).png这个三角形又叫做( )三角形。

5．一个平行四边形可以分成两个完全相同的三角形C:\1648552018(1).png或( )或( )。

6．三角形的内角和是( )C:\1648552018(1).png三角形任意两边的和( )第三边。

7．一个三角形中最少有( )个锐角；一个三角形中最多有( )个锐角。

8．一个三角形两条边是5厘米和3厘米C:\1648552018(1).png第三边有可能是( )厘米(取整厘米)。

9．正方形、长方形、平行四边形、直角梯形中C:\1648552018(1).png不是轴对称图形的是( )和( )。

10．一个直角三角形的一个锐角的度数是另一个锐角的2倍C:\1648552018(1).png这两个锐角分别是( )和( )。

二、我会辨。

(对的打“√”C:\1648552018(1).png错的打“×”)(5分) 1．平行四边形的两组对边分别平行C:\1648552018(1).png并且长度相等。

( )2．一个三角形中最多有一个角是直角或钝角。

( ) 3．用一张长方形纸能剪出两个梯形。

( ) 4．所有等边三角形都是等腰三角形C:\1648552018(1).png所有等腰三角形都是等边三角形。

小学四年级三角形和四边形图形与几何专题(附答案)图形与几何专题一、填空题1、三角形的内角和是180°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是128°。

2、长5厘米，8厘米，13厘米的三根小棒不能围成一个三角形。

3、三角形具有三边性。

4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是90°，这是一个直角三角形。

5、按角的大小，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。

6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=80°，它是锐角三角形。

7、有两组对边平行的四边形是平行四边形。

8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是60°、90°。

9、长方形正方形是特殊的四边形。

10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是90度。

11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是钝角三角形，另一个角是95度。

12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是27厘米。

13、数一数下图中有5个角。

二、判断题1、√2、√3、×4、√5、×6、×7、√8、×9、×10、√11、√12、√三、选择题1、A2、C3、B4、A5、1个。

一、数学题6、一条红领巾，它的顶角是100°，它的一个底角是多少度？答：80度7、把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是多少度？答：60度8、一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选哪个？答：90厘米9、下面说法，正确的是：答：等腰三角形都是锐角三角形。

10、如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是哪种三角形？答：等腰直角三角形11、直角三角形的内角和是锐角三角形的内角和的哪个关系？答：小于12、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是哪个？答：5cm、6cm、7cm二、画图题4、我是小画家。

数字的三角形与四边形数字在数学中起着重要的作用，不仅可以用于计算，还可以用来构建各种几何图形。

其中，数字的三角形和四边形是最基本和常见的几何图形之一。

本文将重点探讨数字的三角形和四边形的形成规律和性质。

一、数字的三角形数字的三角形是由数字按照特定的规律排列而成的几何图形。

常见的数字三角形是由自然数构成的，其中每一行的数字是从1开始递增的。

以下是一个例子：12 34 5 67 8 9 10从上述例子中可以看出，数字三角形的每一行都是从1开始，递增地添加数字。

此外，每一行的数字个数也是递增的，第n行有n个数字。

数字的三角形具有许多有趣的性质。

首先，我们可以观察到每一行的数字之和都是一个三角数。

所谓三角数，是指可以形成一个等边三角形的点的个数。

例如，第一行只有一个数字1，所以数字之和是1，是一个三角数；第二行有2个数字2和3，数字之和为5，也是一个三角数。

此外，数字的三角形还具有对称性，即每一行的数字从中间一列开始呈对称排列。

二、数字的四边形数字的四边形是由数字按照特定的规律排列而成的几何图形。

常见的数字四边形是由自然数构成的，其中每一行的数字是从1开始递增的。

以下是一个例子：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16从上述例子中可以看出，数字四边形的每一行都是从1开始，递增地添加数字。

同样地，每一行的数字个数相等，且每一列的数字个数也相等。

数字的四边形同样有许多有趣的性质。

首先，我们可以观察到每一行的数字之和都是一个平方数。

所谓平方数，是指可以形成一个正方形的点的个数。

例如，第一行有4个数字1、2、3、4，数字之和为10，是一个平方数；第二行同样也有4个数字，数字之和为26，也是一个平方数。

此外，数字的四边形也具有对称性，每一行和每一列的数字都呈对称排列。

综上所述，数字的三角形和四边形在数学中具有重要的意义。

通过观察它们的排列规律和性质，不仅可以深入理解数字的特点，还可以为解决更复杂的几何问题奠定基础。

三角形与四边形的计算在数学中，三角形和四边形是常见的几何形状。

它们在几何学和应用数学中都有广泛的应用。

本文将探讨三角形和四边形的计算方法。

一、三角形的计算方法三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。

我们可以通过已知的边长或角度来计算三角形的其他属性。

1. 周长三角形的周长等于三条边的长度之和。

假设三角形的三条边分别为a、b、c，则周长P等于P = a + b + c。

2. 面积三角形的面积可以使用海伦公式或高度和底边长度的乘积来计算。

- 使用海伦公式计算面积，假设三角形的三条边分别为a、b、c，周长为P。

海伦公式为：面积S = √(P/2 × (P/2 - a) × (P/2 - b) × (P/2 - c))。

- 使用高度和底边长度计算面积，假设三角形的底边长度为b，高度为h。

面积 S = (1/2) × b × h。

3. 角度根据三角形的边长，我们可以使用余弦定理和正弦定理来计算角度。

- 余弦定理：假设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。

则根据余弦定理，有：a² = b² + c² - 2bc × cosA，b² = a² + c² - 2ac × cosB，c² = a² + b² - 2ab × cosC。

- 正弦定理：假设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。

则根据正弦定理，有：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

二、四边形的计算方法四边形是由四条边和四个角组成的多边形。

我们可以通过已知的边长或角度来计算四边形的其他属性。

1. 周长四边形的周长等于四条边的长度之和。

假设四边形的四条边分别为a、b、c、d，则周长P等于P = a + b + c + d。

2. 面积对于不规则四边形，可以使用海伦公式计算面积。

认识三角形和平行四边形1. 三角形的定义和性质1.1 三角形的定义三角形是由三条线段所围成的图形，其中三条线段被称为三角形的边，相交的点被称为三角形的顶点。

三角形是平面几何中最简单的多边形之一。

1.2 三角形的分类根据三角形边的长度和角的大小，三角形可以被分为以下几种类型： - 等边三角形：三条边的长度都相等。

- 等腰三角形：两条边的长度相等。

- 直角三角形：有一个内角是直角（90度）。

- 钝角三角形：三个内角中最大的一个大于90度。

- 锐角三角形：三个内角都小于90度。

1.3 三角形的性质三角形有许多有趣的性质，下面列举其中的一些： - 三角形的三个内角之和为180度。

- 三角形的外角等于其对应的两个内角的和。

- 等边三角形的三个内角都是60度。

- 等腰三角形的两个内角相等。

- 直角三角形的两条边满足勾股定理：a2+b2=c2，其中c为斜边的长度。

2. 平行四边形的定义和性质2.1 平行四边形的定义平行四边形是一个具有两组平行边的四边形。

它的相邻边相等且对角线互相平分。

2.2 平行四边形的性质平行四边形具有一些重要的性质，如下所示： - 对边相等：平行四边形的对边长度相等。

- 对角线平分：平行四边形的对角线相互平分，即对角线的交点是对角线的中点。

- 同位角相等：由平行四边形的两组平行边所夹的内角对应的角是相等的。

- 全等条件：若平行四边形的一组对边和一组对角线分别相等，则两个平行四边形全等。

3. 三角形和平行四边形的应用3.1 三角形的应用三角形广泛应用于各个领域，如： - 建筑工程：在建筑设计中，计算三角形的角度和边长是十分重要的，以确保建筑物的结构稳定。

- 地理测量：在地理测量中，使用三角形测量法来测量远距离或不可到达区域的长度和角度。

- 三角学：三角学是一个研究三角形和其它几何形状相互关系的数学分支，广泛应用于数学和工程学科中。

3.2 平行四边形的应用平行四边形也有许多应用，如： - 建筑设计：平行四边形常常用于建筑设计中的空间规划或者地面铺设等方面。

第2单元认识三角形和四边形本单元属于“空间与图形”范畴的知识系列。

在此之前,学生已经学习了角,初步认识了角,初步认识了三角形,但对三角形的分类、三边关系、三角形的内角和等却未曾探索,本单元将引导学生对以上内容进行探索。

首先,教材安排了从不同角度将多边形分类的活动,让学生对多边形有所了解。

其次,教材重点安排了关于三角形知识的学习内容,三角形是平面图形中最简单也是最基本的多边形,它是学习几何的重要基础,三角形的分类是在学生学习了直角、钝角和锐角的基础上学习的,让学生在已有知识的基础上,学会按不同的方法给三角形分类,并知道它们之间的关系,同时了解它们的特征。

再次,教材通过有趣的动态情境,引出对三角形的内角和的探究,并通过动手试验验证三角形的内角和是180度,也通过动手试验探究出三角形三边的关系。

最后,通过让学生对四边形进行分类,使学生了解平行四边形和梯形。

对于以上四部分内容,教材都安排了相应的练习,旨在培养学生分析比较、抽象概括的能力,提高学生解决实际问题的能力,并渗透集合的数学思想、发展空间观念。

1.经历量、摆、拼等直观操作活动,认识三角形、平行四边形和梯形的特征,以及它们之间的联系,进一步发展空间观念。

2.了解三角形、四边形的分类情况,探索三角形三边之间的关系和三角形的内角和,在亲历探索发现的过程中,体验数学思考与探究的乐趣,激发数学学习的兴趣。

3.体会不同的分类标准在图形分类活动中的意义,感受量、摆、拼等直观操作活动在探索图形性质中的作用。

在分析、整理、测量、猜想、验证、归纳等数学活动中,积极思考,提出一些简单的猜想,进一步发展空间观念。

有利于提高学生的动手能力,增强创新意识,而且能进一步激发学生对“空间与图形”的兴趣,对学生理解、掌握、描述现实空间,获得解决实际问题的方法有着重要的价值。

1.体验克服困难、解决问题的过程,相信自己能够主动有效地学习,主动参与数学学习活动。

2.在学习过程中,培养学生乐于思考、积极探索的良好品质。

三角形与四边形三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角。

三角形的内角和等于180°．三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。

图9.1.3图9.1.4 图9.1.5第一个三角形中，三个内角均为锐角； 第二个三角形中，有一个内角是直角； 第三个三角形中，有一个内角是钝角. 三角形可以按角来分类： 所有内角都是锐角――锐角三角形； 有一个内角是直角――直角三角形； 有一个内角是钝角――钝角三角形； 第一个三角形的三边互不相等； 第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等.三角形可以按边来分类：把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.三角形的三条中线、三条角平分线、三条高________；直角三角形： 钝角三角形：呢？图9.1.8 图9.1.9角形的外角性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和等于360°如图9.1.11，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC =70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.图9.1.11三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边. 三角形的任何两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性1. 已知△ABC 是等腰三角形.（1） 如果它的两条边长的长分别为8cm 和3cm,那么它的周长是多少？（2） 如果它的周长为18cm ，一条边的长为4cm ，那么腰长是多少？2. 按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

三角形与四边形在几何学中，三角形和四边形是两个基本的多边形形状。

它们都有各自独特的特征和性质。

本文将探讨三角形和四边形的定义、性质以及它们的区别。

1. 三角形三角形是一个有三条边和三个角的多边形。

它的定义有两种方式：按边来定义，或按角来定义。

按边来定义，三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每个线段的终点是下一条线段的起点。

按角来定义，三角形是由三个角组成的闭合图形，其中每个角的边是下一个角的边。

三角形的两个重要性质是：内角和为180度，且任意两条边之和大于第三条边。

2. 四边形四边形是一个有四条边和四个角的多边形。

它的定义是由四条线段组成的闭合图形，其中每个线段的终点是下一条线段的起点。

四边形的重要性质包括：内角和为360度，对角线相交于一点，相邻角互补（和为180度）。

3. 三角形与四边形的区别尽管三角形和四边形都是多边形，它们有一些重要的区别。

首先，三角形有三条边和三个角，而四边形有四条边和四个角。

这是它们形状上的最明显区别。

其次，三角形的内角和为180度，而四边形的内角和为360度。

这意味着四边形的角度总和比三角形大很多。

另外，三角形和四边形的特性和应用也有所不同。

三角形的性质包括三边关系（例如等边三角形、等腰三角形），三角函数以及三角形定理（如勾股定理、正弦定理、余弦定理）。

而四边形的性质包括平行四边形、矩形、菱形和梯形等。

此外，三角形在实际生活中广泛应用，例如在建筑、测量和航海导航等领域。

四边形则常见于几何图形的分类和测量中。

综上所述，尽管三角形和四边形都是多边形，但它们在形状、性质和应用上有着显著的不同。

通过深入了解它们的定义和特性，我们可以更好地理解和应用这两种多边形形状。

三角形的内接四边形性质与判定在几何学中，内接四边形是指可以被一个三角形的三个顶点和一个边上的点包围的四边形。

本文将探讨内接四边形的性质以及如何判定一个四边形是否为三角形的内接四边形。

一、三角形的内接四边形性质1. 内心：内接四边形的对角线交点是三角形的内心。

内心是四边形的圆心，可以通过四个顶点的垂直平分线的交点求得。

2. 对角线互相垂直：内接四边形的对角线是相互垂直的。

即，连接两组对边中的任意两条边时，所得的直线是垂直的。

3. 相反边互补：内接四边形的对边上的两个内角的和等于180度。

换句话说，相对的两对内角分别互为补角。

4. 垂心：内接四边形的对角线交点同样也是四边形的垂心。

垂心是四边形的外接圆心。

二、判定一个四边形是否为三角形的内接四边形1. 判定条件一：四边形的两对相对边互补，则该四边形是一个三角形的内接四边形。

2. 判定条件二：经过四边形的四个内角的垂直平分线交于一点，则该四边形是一个三角形的内接四边形。

三、例题解析现有一个三角形ABC，其中AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，我们将通过计算判定这个四边形是否为内接四边形。

首先，我们可以求得这个三角形的内心O坐标。

利用内切圆的性质，可以得到O点坐标为(1,1)。

接下来，我们将计算四边形ABCO的对角线是否相互垂直。

通过计算AB和CO的斜率，可以发现两条直线互相垂直。

所以，条件一满足。

然后，我们需要判断四边形ABCO的对边上的两个内角是否互为补角。

通过计算得到∠ABC=90度，∠BOC=45度，∠AOB=45度，∠AOC=90度，两组内角互为补角。

所以，条件一同样满足。

综上所述，四边形ABCO是三角形ABC的内接四边形。

四、总结在几何学中，三角形的内接四边形是一个有趣而重要的概念。

通过了解内接四边形的性质和判定条件，我们可以进一步理解三角形的特性。

希望本文能够帮助读者更好地理解三角形内接四边形的性质与判定。

三年级上册数学一课一练-4.21三角形和四边形一、单选题1.三角形的一条底上有（）条高。

A. 4B. 3C. 无数 D. 12.下面（）中三根小棒能围成三角形．A. 4cm、5cm、6cmB. 1cm、2cm、3cmC. 3cm、4cm、8cm3.任何一个三角形，至少有（）A. 1个锐角B. 2个锐角C. 3个锐角4.一个三角形两条边的长度分别是8厘米和9厘米，它的周长可能是（）厘米．A. 5B. 27C. 34D.18二、判断题5.用4cm、6cm和10cm的小棒能摆成一个三角形。

6.“任意一个四边形的内角和都是360°”，这句话是对的。

7.由3条线段组成的图形是三角形．（判断对错）8.一个三角形的三条边分别是2厘米、6厘米、9厘米．三、填空题9.三角形有________个角，________条边。

10.折一折，填一填。

折出了2个________形。

折出了2个________形。

折出了________个________形。

折出了________个________形。

11.哪些是四边形？将序号填在横线上。

________12.三角形有________个角，________条边。

四、解答题13.将下面三点用直线首尾相连看得到什么图形？图形中有多少个角？14.下列事物中哪些地方是三角形的?试着把它们画出来．房屋太阳能热水器照相机架五、应用题15.做一个三角形的木框，已经选了两根长分别是18分米和12分米的木条。

第三根至少要多长呢？最多是多长？（木条的长度是整数）参考答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：三角形的一条底上有1条高。

故答案为：D【分析】三角形的一个顶点到对应的底边上的垂线段就是三角形的高，三角形的一条底上有1条高。

2.【答案】A【解析】【解答】解：A、4+5＞6，所以三条线段能围成三角形；B、1+2=3，所以三条线段不能围成三角形；C、3+4＜8，所以三条线段不能围成三角形；故选：A．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．3.【答案】B【解析】【解答】解：任何三角形，最多有3个锐角，至少有2个锐角.故答案为：B【分析】三角形的内角和是180°，三角形最多有3个锐角；如果三角形有一个角是直角或钝角，那么另外两个角一定是锐角.4.【答案】B【解析】【解答】9﹣8＜第三边＜9+8，所以1＜第三边＜17，即第三边在1厘米～17厘米之间（不包括1厘米和17厘米），周长最短是：2+8+9=19（厘米），周长最长是：16+9+8=33（厘米），结合选项可知：27厘米符合题意；答：它的周长可能是27厘米。

认识三角形和平行四边形的关系三角形是几何学中基本的图形之一，而平行四边形则是一种特殊的四边形。

在几何学中，我们可以发现三角形和平行四边形之间存在着一些有趣的关系。

本文将探讨三角形和平行四边形之间的几个重要关系。

一、三角形与平行四边形的定义首先，我们来了解一下三角形和平行四边形的定义。

在几何学中，三角形是由三条边和三个角组成的多边形。

根据三角形的边长和角度大小，我们可以将三角形分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

而平行四边形则是具有两对相对边平行的四边形。

平行四边形的特点是对角线互相平分，且对边相等。

其中，矩形是一种特殊的平行四边形，它的所有角均为直角。

二、三角形与平行四边形的关系1. 平行四边形的对角线在平行四边形中，对角线互相平分且相等。

因此，在一个平行四边形中，连接两个相对顶点的直线即为对角线。

这两条对角线相交于一个点，且对角线的长度相等。

2. 三角形与平行四边形的内部关系在一个平行四边形中，我们可以找到许多三角形。

首先，由平行四边形的两对相对边，可以得到两个具有相等边长的三角形。

这是因为平行线之间的距离是相等的。

另外，平行四边形的对角线可以将平行四边形分割为两个三角形。

这两个三角形的面积之和等于平行四边形的面积。

3. 三角形与平行四边形的外部关系三角形和平行四边形之间还存在一些外部关系。

例如，如果在平行四边形的一边上选择一个点，连接该点与该边相邻的两个顶点，就会得到一个三角形。

在这个三角形中，我们可以观察到以下规律：三角形的面积等于平行四边形的面积的一半。

三、应用实例了解三角形和平行四边形的关系，在解决几何题目时很有帮助。

下面，我们通过一些具体的例子来应用这些关系。

例1：求解平行四边形的面积已知平行四边形的底边长为a，高为h，我们可以应用三角形的面积公式，将平行四边形分为两个三角形。

根据面积等于底乘以高的一半，所以平行四边形的面积为1/2 * a * h。

例2：证明两个三角形相似若我们需要证明两个三角形相似，且其中一个三角形是另一个三角形的一部分，我们可以利用平行四边形的特性。

专题25 三角形和四边形1.三角形三角形的意义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形。

三角形的分类。

（1）按角来分。

名称 锐角三角形直角三角形钝角三角形图形特征三个角都是锐角 有一个角是直角 有一个角是钝角（2）按边来分。

名称 不等边三角形等腰三角形图形特征三条边都不相等有两条边相等三条边都相等（1）三角形不容易变形，具有稳定性。

（2）三角形的内角和是180°。

（3）三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

[提示]一个三角形中至少有两个锐角；任何三角形都有3条高。

2.四边形 四边形的分类。

名称 基本图形特征共同点 长方形两组对边分别平行且相等，四个角都是直角。

都是由四条线段围成的对边平行且相等的图形，对角相等。

正方形四条边都相等，四个角都是直角。

知识梳理平行四边形两组对边分别平行且相等。

梯形一般梯形边长短不一，角各不相等。

都是只有一组对边平行的四边形。

等腰梯形 两腰相等，两底角相等。

直角梯形一腰与两底的夹角都是90°。

四边形的周长和面积。

名称 图形 字母意义 特征周长公式 面积公式 正方形a-边长四条边都相等,四个角都是直角C = 4aS = a 2长方形a-长 b-宽 两组对边分别相等,四个角都是直角C = (a +b )×2S = ab平行四边形a-底 h-高两组对边分别平行且相等\ S = ah三角形a-底h-高两边之和大于第三边,三个内 \ S = 12ah梯形a-上底 b-下底 h-高只有一组对边平行 \S = 12(a +b )h【例1】下列各图形中，三角形的个数各是多少？【点拨分析】 因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形（以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形）、所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。

由前面数段段的方法可以求出三角形的总个数。

【答 案】图（1）中有三角形1+2＝3（个）。

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：四课
时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学
科教师：
授课
T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型
授课
日期
时段
教学内容
同步知识梳理
1、围成三角形的条件：较短两条边长度的和一定大于第三条边。

2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角
形的底。

3、三角形具有稳定性(也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个
三角形的形状和大小都不会改变) ，生活中很多物体利用了这样的特性。

如：
人字梁、斜拉桥、自行车车架。

4.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？
5、王爷爷家的屋顶是一个等腰三角形（如图），求顶角的度数。

40
专题精讲
1、学校买了10把椅子和8张办公桌，椅子每把45元，办公桌每张110元，买椅子和桌子共用去多少元？
2、修路队修一条路，甲队每天修55米，修了20天，乙队每天修48米，修了25天，这样正好把这条路修完，这条路共有多少米？
3、一把椅子65元，比一张桌子便宜70元，买4桌子共要多少元？
5、小明看一本故事书，计划每天看30页，12天看完，实际看了15天，实际平均每天看了多少页？
6、一个修路队修一条公路，6小时修了270米，照这样计算，修900米路需要几小时？
能力培养
1、一列火车3小时行了216千米，一辆汽车5小时行了180千米，火车的速度是汽车的多少倍？
2、一辆货车3小时行了174千米，照这样计算，它12小时行了多少千米？。

相似三角形与平行四边形的关系相似三角形与平行四边形是几何学中两个重要的概念。

它们在形状、性质和关系上都有着密切的联系。

本文将介绍相似三角形和平行四边形的定义以及它们之间的关系。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形指的是具有相同形状但可能有不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，对应边成比例。

具体表述为：对于三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC与DEF相似。

相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 如果两个角分别相等，则剩余的一个角也相等，即如果∠A=∠D，∠B=∠E，则∠C=∠F。

3. 相似三角形的周长之比等于相应边长之比。

相似三角形在实际应用中有重要意义，例如在地图测绘、建筑设计以及几何推理中经常会用到相似三角形的性质。

二、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

平行四边形的性质包括以下几点：1. 对边互相平行，即AB∥CD，AD∥BC。

2. 对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

3. 相邻内角互补，即∠A+∠B=180°。

三、相似三角形与平行四边形的关系相似三角形与平行四边形之间存在紧密的关系。

下面将介绍两者之间的几个重要关系：1. 平行四边形的对角线引出相似三角形。

平行四边形的两条对角线可以将平行四边形分成四个三角形。

这四个三角形中，两对共对角线的三角形是相似三角形。

具体来说，对角线AC与对角线BD引出的三角形ABC与ABD相似，对角线AB与对角线CD引出的三角形ABC与ACD相似。

2. 相似三角形的比例关系引出平行四边形。

设有两个相似三角形ABC和DEF，且有AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么可以得到四边形AFBE为平行四边形。

通常情况下，这个四边形称为"纵比例四边形"。

此外，可以通过逆向推理得到其他平行四边形。