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不动点和压缩影射的原理及其应用
摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。
关键词：不动点压缩影射递推数列应用
自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。
而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。
今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。
不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。
而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。
然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。
建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。
1 不动点和压缩映像定义及原理
定义1 设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*
则称x *是T的一个不动点。
定义2 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c ，0<c<1,使得对所有的x ,yX ,p(Tx ,Ty）<=c p(x ,y) ,则T是压缩映射。
（几何上的意思就是点x和y 经过T映射后，它们的像的距离缩小了，没有超过p(x，y）的c倍
(c<1).[]1。
第41卷第6期2023年12月沈阳师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l.41N o.6D e c.2023文章编号:16735862(2023)06056206b-度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理关洪岩,勾金泽(沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034)摘要:不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分,在处理许多非线性问题时起着十分关键的作用㊂B a n a c h压缩映像原理是不动点理论研究中的热点问题之一,近年来经过学者们的深入研究,该定理在许多方面得到了拓展,取得了大量优秀的成果㊂在b-度量空间的框架下,首次考虑了积分型压缩映射的不动点问题㊂首先,在该类空间中提出了一类新的积分型压缩的概念,并根据映射对的包含关系构造出一个序列,再利用反证法和压缩条件证明了此序列是该空间中的一个柯西列;其次,通过该空间的完备性和映射对的弱相容性,证明了该空间中积分型压缩映射对的公共不动点的存在性及唯一性;最后,给出一个具体例子说明了该结果的有效性㊂关键词:不动点;b-度量空间;压缩映射;积分型;柯西列中图分类号:O177.91文献标志码:Ad o i:10.3969/j.i s s n.16735862.2023.06.013C o m m o n f i x e d p o i n t t h e o r e m s f o r a c l a s s o f c o n t r a c t i v em a p p i n g s o f i n t e g r a l t y p e i n b-m e t r i c s p a c e sG U A N H o n g y a n,G O UJ i n z e(C o l l e g e o fM a t h e m a t i c s a n dS y s t e m sS c i e n c e,S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y,S h e n y a n g110034,C h i n a)A b s t r a c t:F i x e d p o i n t t h e o r y i s a n i m p o r t a n t p a r t o f n o n l i n e a r f u n c t i o n a l a n a l y s i s a n d p l a y s ak e yr o l e,w h i l eB a n a c hc o n t r a c t i o n m a p p i n gp r i n c i p l e i so n eo f t h eh o t i s s u e s i nt h er e s e a r c ho f f i x e dp o i n t t h e o r y.I nr e c e n t y e a r s,t h r o u g hc o n t i n u o u s i n-d e p t hr e s e a r c hb y s c h o l a r s,t h i sr e s u l th a sb e e ne x p a n d e d i nd i f f e r e n t a s p ec t s a n dh a s a c h i e v e dm a n y e x c e l l e n t r e s u l t s.I n t h e f r a m e w o r ko f b-m e t r i c s p a c e s,a f i x e d p o i n t p r o b l e m o f c o n t r a c t i v em a p p i n g o f i n t e g r a l t y p e i sc o n s i d e r e df o r t h ef i r s t t i m e.F i r s t,w e i n t r o d u c ean e wc l a s so fc o n t r a c t i v e m a p p i ng o f i n t e g r a l t y p e.S e c o n d,w ec o n s t r u c t a s e q u e n c e a c c o rd i n g t o t he i n c l u s i o n r e l a t i o n of t h em a p p i ng s a n d p r o v e th a t t h e s e q u e n c ei sC a u c h y b y t h e m a t h e m a t i c a li n d u c t i o n a n d t h e c o n t r a c t i o n c o n d i t i o n s.T h e e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f t h ec o mm o nf i x e d p o i n to fa p a i ro f t h ec o n t r a c t i v e m a p p i n g so f i n t e g r a l t y p ea r ep r o v e db y t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e s p a c e a n d t h ew e a kc o m p a t i b i l i t y o f t h em a p p i n g s i n t h i s s p a c e.F i n a l l y,a c o n c r e t e e x a m p l e i s g i v e n t o p r o v e t h e v a l i d i t y o f t h e r e s u l t.K e y w o r d s:f i x e d p o i n t;b-m e t r i c s p a c e s;c o n t r a c t i v em a p p i n g;i n t e g r a l t y p e;C a u c h y s e q u e n c e 1922年,B a n a c h[1]在度量空间上提出了著名的压缩映像原理㊂随后,该结果被广泛地应用在数学中的诸多领域,很多学者通过改变空间或压缩条件得到更多的不动点结论㊂1993年,C z e r w i k[2]首次改变了度量空间的第3个条件得到了b-度量空间的概念并给出与压缩映像原理相对应的结果㊂在度量空间中,通过改变压缩条件,B r a n c i a r i[3]在2002年首次提出了积分型压缩的概念并证明了该类型压缩映射不动点的存在性及唯一性㊂2003年,R h o a d e s[4]推广了B r a n c i a r i的定理㊂基于R h o a d e s的结论,收稿日期:20230704基金项目:辽宁省教育厅基本科研项目(J Y T M S2*******)㊂作者简介:关洪岩(1980 ),男(满族),辽宁葫芦岛人,沈阳师范大学副教授,博士㊂2009年,M o r a d i 和O m i d [5]得到了一类新的积分型映射具有不动点的条件㊂受L i 等[6]的启发,本文在b -度量空间中引入一类新的积分型压缩条件,证明了积分型压缩映射对公共不动点的存在性及唯一性,并给出一个例子证明了结论的有效性㊂1 基础知识本文假设ℝ+=[0,+ɕ),ℕ代表正整数的集合,ℕ0=ℕɣ{0}㊂令ξ1=ξ|ξ:ℝ+ңℝ+勒贝格可积,在ℝ+每个紧子集上可求和,且对每个δ>0有ʏδξ(t )d t >{}0,ξ2={τ|τ:[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)为连续函数}㊂定义1[2] 设X 是一个非空集合,称映射d :X ˑX ң[0,+ɕ)为b -度量,当且仅当对所有的x ,y ,z ɪX ,d 满足下面的条件:1)d (x ,y )=0⇔x =y ;2)d (x ,y )=d (y ,x );3)d (x ,y )ɤs [d (x ,z )+d (z ,y )],其中s ȡ1是一个常数㊂一般地称(X ,d )为带有系数s ȡ1的b -度量空间㊂定义2[7] 设(X ,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间㊂设α:X ˑX ң[0,+ɕ),Q ,T :X ңX ,p ȡ2为一个已知实数㊂如果对任意的ξ,ηɪX ,由α(T ξ,T η)ȡs p 可得到α(Q ξ,Q η)ȡs p ,那么称映射Q 是T -αs p -可容许的㊂定义3[8] 设Q 和T 是定义在非空集合X 上的2个映射㊂如果对某一ξɪX ,有v =Q ξ=T ξ,那么称v 为Q 和T 的重合值,称ξ为Q 和T 的重合点㊂一般地,令C (Q ,T )代表Q 和T 重合点的集合㊂定义4[8] 设Q 和T 是定义在非空集合X 上的2个映射㊂若Q 和T 在重合点处可交换,则称Q 和T 是弱相容映射,即对每个ξɪC (Q ,T ),有Q T ξ=T Q ξ㊂定义5[9] 设(X ,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间,那么X 中的序列{x n }被称为1)b -收敛当且仅当存在x ɪX ,当n ң+ɕ时有d (x n ,x )ң0;2)柯西列当且仅当n ,m ң+ɕ时有d (x n ,x m )ң0㊂通常,一个b -度量空间称为是完备的是指该空间中的每个柯西列都是b -收敛的㊂引理1[10] 设(X ,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间,{x n }和{y n }分别b-收敛于x ,y ,那么1s2d (x ,y )ɤl i m n ң+ɕi n f d (x n ,y n )ɤl i m n ң+ɕs u p d (x n ,y n )ɤs 2d (x ,y )特别地,如果x =y ,则有l i m n ң+ɕd (x n ,y n )=0㊂此外,对每一个z ɪX 有1sd (x ,z )ɤl i m n ң+ɕi n f d (x n ,z )ɤl i m n ң+ɕs u p d (x n ,z )ɤs d (x ,z ) 引理2[11]设ϕɪξ1,{r n }n ɪℕ是一个非负数列,a 是一个非负常数㊂如果l i m n ң+ɕr n =a ,那么l i mn ң+ɕʏr n0ϕ(t )d t =ʏa0ϕ(t )d t 引理3[11] 设ϕɪξ1,{r n }n ɪℕ是一个非负数列,那么l i mn ң+ɕʏr nϕ(t )d t =0当且仅当l i m n ң+ɕr n =0㊂2 主要成果引理4 设ϕɪξ1,{r n }n ɪℕ为一个非负数列㊂如果l i ms u p n ң+ɕr n =a ,那么ʏa0ϕ(t )d t ɤl i ms u p n ң+ɕʏr n 0ϕ(t )d t 如果l i mi n f r n =a ,那么l i mi n f n ң+ɕʏr nϕ(t )d t ɤʏa 0ϕ(t )d t 365第6期 关洪岩,等:b -度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理证明 因为l i ms u p n ң+ɕr n =a ,所以存在{r n }的子列{r n k }满足l i m n ң+ɕr n k=a ㊂根据引理2有ʏa 0ϕ(t )d t =l i m k ң+ɕʏr nkϕ(t )d t ɤl i ms u p n ң+ɕʏr nϕ(t )d t 类似地,可以证明另一个不等式㊂定理 设(췍,d )是一个带有系数s ȡ1的b -度量空间,I ,J :췍ң췍满足I (췍)⊆J (췍)㊂设α:췍ˑ췍ң[0,+ɕ),p ȡ3是一个已知常数㊂如果1)I 是J -αsp -可容许的;2)存在p 0ɪ췍满足α(J p 0,I p0)ȡs p ;3)α满足传递性,即对于ξ,η,ζɪ췍有α(ξ,η)ȡs p 且α(η,ζ)ȡs p ⇒α(ξ,ζ)ȡs p ;4)当n ң+ɕ时,如果췍中的列{p n }满足J p n ңJ p ,那么对于n ɪℕ,有α(J p n ,J p )ȡs p ;5)对于p ,q ɪC (I ,J ),有α(J p ,J q )ȡs p 和α(J q ,J p )ȡs p ;6)存在映射ϕɪξ1,满足对任意的u ,v ɪ췍,有ψʏα(J u ,J v )d (I u ,I v )ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(u ,v)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(u ,v)0ϕ(t )d ()t (1)其中Δ1(u ,v )=m a x d (J u ,J v ),d (J v ,I v ),d (J u ,I v )+d (J v ,I u )2s ,d (J u ,I u )d (I u ,I v )1+d (J u ,J v {})Δ2(u ,v )=m i n {d (J u ,I u ),d (J u ,I v ),d (J v ,I u )}L ȡ0,ψ,φ,θɪξ2满足对于每个t >0有φ(t )<ψ(t ),θ(t )>0,φ(0)=ψ(0)=θ(0)=0,且ψ是递增的;7)I 和J 是弱相容的,J (췍)是闭的㊂那么,I 和J 有唯一公共不动点㊂证明 根据条件2),存在p 0ɪ췍使得α(Jp 0,I p 0)ȡs p ㊂结合条件I (췍)⊆J (췍),对任意的n ɪℕ0,定义췍中的列{p n }和{q n }如下:q n =I p n =J p n +1㊂如果对某个n ,有q n =q n +1,则q n =q n +1=I p n +1=J p n +1,即I 和J 有重合值㊂接下来假设对任意的n ɪℕ有q n ʂq n +1㊂根据式(1)得到α(J p 0,I p 0)ȡs p ⇒α(J p 0,J p 1)ȡspα(I p 0,I p 1)ȡs p ⇒α(J p 1,J p 2)ȡspα(I p 1,I p 2)ȡs p ⇒α(J p 2,J p 3)ȡsp 因此,对n ɪℕ,有α(I p n ,I p n +1)=α(q n -1,q n )ȡs p ㊂根据式(1),令u =p n ,v =p n +1,有ψʏα(J p n ,J p n +1)d (I p n ,I p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t (2)其中Δ1(p n ,p n +1)={m a x d (J p n ,J p n +1),d (J p n +1,I p n +1),d (J p n ,I p n +1)+d (J p n +1,I p n )2s,d (J p n ,I p n )d (I p n ,I p n +1)1+d (J p n ,J p n +1})=m a x {d (q n -1,q n ),d (q n ,q n +1)}Δ2(p n ,pn +1)=m i n {d (J p n ,I p n ),d (J p n ,I p n +1),d (J p n +1,I p n )}(3) 假设对某个n ɪℕ,有d (q n +1,q n )ȡd (q n -1,q n )㊂根据式(2)和式(3),有Δ1(p n ,p n +1)=d (q n,q n +1),所以ψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t <ψʏs p d (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t ɤψʏα(J p n ,J p n +1)d (I p n ,I p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t <ψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t 矛盾㊂于是d (q n -1,q n )>d (q n ,q n +1)(4) 根据式(4),{d (q n ,q n +1)}是一个递减数列,所以存在一个实数r ȡ0满足l i m n ң+ɕd (q n ,qn +1)=r ㊂465沈阳师范大学学报(自然科学版) 第41卷根据式(2)~式(4)可得ψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t <ψʏs p d (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t ɤψʏα(J p n ,J p n +1)d (I p n ,I p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n ,p n +1)0ϕ(t )d ()t ɤφʏd (q n -1,q n )0ϕ(t )d ()t (5)假设r >0,根据ψ和φ的连续性㊁式(5)和引理2,取n ң+ɕ的极限,可得ψʏr0ϕ(t )d ()t =l i m n ң+ɕψʏd (q n ,q n +1)0ϕ(t )d ()t ɤl i m n ң+ɕφʏd (q n -1,q n )0ϕ(t )d ()t =φʏr 0ϕ(t )d ()t 矛盾,因而r =0㊂这意味着l i m n ң+ɕd (q n ,qn +1)=0㊂接下来证明{q n }是一个柯西列㊂假设不是,则存在ε>0,选择{q n }的子列{q n (k )}和{q m (k )},满足n (k )>m (k )>k ,则εɤd (q m (k ),q n (k )),d (q m (k ),q n (k )-1)<ε(6)且n (k )是满足上述要求的最小指标㊂根据三角不等式和式(6),有εɤd (q m (k ),q n (k ))ɤs (d (q m (k ),q n (k )-1)+d (q n (k )-1,q n (k )))<s ε+s d (q n (k )-1,q n (k ))(7)在式(7)中令k ң+ɕ,有εɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k ),q n (k ))ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k ),q n (k ))ɤsε(8)类似地,有εs2ɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k )-1)ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k )-1)ɤs 3εεsɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k ))ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k )-1,q n (k ))ɤs 2εεsɤl i mi n f k ң+ɕd (q m (k ),q n (k )-1)ɤl i ms u p k ң+ɕd (q m (k ),q n (k )-1)ɤs 2ε 根据Δ1(u ,v )和Δ2(u ,v )的定义有Δ1(p m (k ),p n (k ))={m a x d (J p n (k ),J p n (k )),d (J p n (k ),I p n (k )),d (J p m (k ),I p n (k ))+d (J p n (k ),I p m (k ))2s ,d (J p m (k ),I p m (k ))d (I p m (k ),I p n (k ))1+d (J p m (k ),J p n (k )})={m a x d (q m (k )-1,q n (k )-1),d (q n (k )-1,q n (k )),d (q m (k )-1,q n (k ))+d (q n (k )-1,q m (k ))2s ,d (q m (k )-1,q m (k ))d (q m (k ),q n (k ))1+d (q m (k )-1,q n (k )-1})Δ2(p m (k ),p n (k ))={m i n d (J p m (k ),I p m (k )),d (J p m (k ),I p n (k )),d (J p n (k ),I p m (k )})={m i n d (q m (k )-1,q m (k )),d (q m (k )-1,q n (k )),d (q n (k )-1,q m (k )})(9)在式(9)两端取k ң+ɕ的下极限,有l i mi n f k ң+ɕΔ1(p m (k ),p n (k ))ɤm a x s 3ε,0,s 2ε+s 2ε2s,{}0=s 3εl i mi n f k ң+ɕΔ2(p m (k ),pn (k ))ɤm i n {0,s 2ε,s 2ε}=0 根据α的传递性,有α(J p m (k ),J p n (k ))ȡs p ㊂在式(1)中取u =p m (k ),v =p n (k ),可得ψʏs 3ε0ϕ(t )d ()t <l i mi n f k ң+ɕψʏs p d (q m (k ),q n (k))0ϕ(t )d ()t ɤl i mi n f k ң+ɕψʏα(J p m (k ),J p n (k ))d (I p m (k ),I p n (k ))0ϕ(t )d ()t ɤl i mi n f k ң+ɕφʏΔ1(p m (k ),p n (k ))0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p m (k ),p n (k ))0ϕ(t )d ()t ɤφʏs 3ε0ϕ(t )d ()t <ψʏs 3ε0ϕ(t )d ()t 565第6期 关洪岩,等:b -度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理矛盾,因而可知{qn }是柯西列㊂因为J (췍)是闭的,所以存在e ɪJ (췍)满足l i m n ң+ɕq n =li m n ң+ɕJ p n +1=e =l i m n ң+ɕI p n 因为e ɪJ (췍),选择一点q ɪ췍满足J (q )=e ㊂接下来证明J q =I q ㊂假设J q ʂI q ,取u =p n +1,v=q ,有Δ1(p n +1,q )={m a x d (J p n +1,J q ),d (J q ,I q ),d (J p n +1,I q )+d (J q ,I p n +1)2s,d (J p n +1,I p n +1)d (I p n +1,I q )1+d (J p n +1,J q })={m a x d (q n ,e ),d (e ,I q ),d (q n ,I q )+d (e ,q n +1)2s ,d (q n ,q n +1)d (q n +1,I q )1+d (qn ,e })Δ2(p n +1,q )=m i n {d (J p n +1,I p n +1),d (J p n +1,I q ),d (J q ,I p n +1)}=m i n {d (q n ,q n +1),d (q n ,I q ),d (e ,q n +1)}(10)当n ң+ɕ时,由式(10)可得l i m n ң+ɕΔ1(p n +1,q )ɤm a x 0,s d (e ,I q ),d (e ,I q )2,{}0=s d (e ,I q )l i m n ң+ɕΔ2(p n +1,q )ɤm i n {0,s d (e ,I q ),0}=0 根据式(5)㊁式(10)㊁引理1和引理3,在式(1)中取u =p n +1,v =q 可得ψʏs d (I q ,e )0ϕ(t )d ()t <ψʏs 3㊃1s d (I q ,e )0ϕ(t )d ()t ɤl i ms u p n ң+ɕψʏs p d (I p n +1,I q )0ϕ(t )d ()t ɤl i ms u p n ң+ɕψʏα(J p n +1,J q )d (I p n +1,I q )0ϕ(t )d ()t ɤl i ms u p n ң+ɕφʏΔ1(p n +1,q )0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(p n +1,q )0ϕ(t )d ()t ɤφʏs d (e ,I q )0ϕ(t )d ()t <ψʏs d (e ,I q )0ϕ(t )d ()t 矛盾,所以J q =I q ,即J q =I q =e (11)因此,q 是I 和J 的重合点㊂接下来证明I 和J 存在公共不动点㊂根据式(11)及I 和J 是弱相容的,有I e =I J q =J I q =Je 现在考虑Δ1(q ,e )=m a x d (J q ,J e ),d (J e ,I e ),d (J q ,I e )+d (J e ,I q )2s ,d (J q ,I q )d (I q ,I e )1+d (J q ,J e {})=d (e ,J e )Δ2(q ,e )=m i n {d (J q ,I q ),d (J q ,I e ),d (J e ,I q )}=0(12)在式(1)中取u =q ,v =e ,应用式(12)有ψʏd (e ,J e )ϕ(t )d ()t <ψʏα(J q ,J e )d (J q ,J e )0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(q ,e)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(q ,e)0ϕ(t )d ()t ɤφʏd (e ,J e )ϕ(t )d ()t <ψʏd (e ,J e )0ϕ(t )d ()t 这是不可能的,因而J e =I e =e ㊂这意味着e 是I 和J 的一个公共不动点㊂最后证明公共不动点的唯一性㊂假设r 和z 是I 和J 的2个公共不动点且r ʂz ,那么Δ1(r ,z )=m a x d (J r ,J z ),d (J z ,I z ),d (J r ,I z )+d (J r ,I r )2s ,d (J r ,I r )d (I r ,I z )1+d (J r ,J z {})=m a x d (r ,z ),0,d (r ,z )+d (z ,r )2s,{}0=d (r ,z )Δ2(r ,z )=m i n {d (J r ,I r ),d (J r ,I z ),d (J z ,I r )}=m i n {0,d (r ,z ),d (z ,r )}=0665沈阳师范大学学报(自然科学版) 第41卷根据式(5)有ψʏd (r ,z )0ϕ(t )d ()t <ψʏα(J r ,J z )d (I r ,I z )0ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(r ,z)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(r ,z)0ϕ(t )d ()t <φʏd (r ,z )ϕ(t )d ()t <ψʏd (r ,z )ϕ(t )d ()t 矛盾,所以r =z ,即I 和J 的公共不动点是唯一的㊂例 设췍=[0,1],d (x ,y )=(x -y )2㊂容易证明(췍,d )是一个带有系数2的完备b -度量空间㊂对于任意的x ,y ɪ췍,定义映射I ,J :췍ң췍,I x =15x +45,J x =2x-1;定义α:췍ˑ췍ң[0,+ɕ),α(x ,y )=s 3;定义φ,ψ,θ:[0,+ɕ)ң[0,+ɕ),φ(t )=l n (1+t ),ψ(t )=t ,θ(t )=e t -1㊂显然,当t >0时,φ(t )<ψ(t ),θ(t )>0,且满足φ(1)=ψ(1)=θ(1)=1㊂I (1)=J (1)=1,I J (1)=J I (1)=1,ψ递增且I (췍)⊆J (췍)㊂通过计算容易证得当L ȡ0时,有ψʏα(J u ,J v )d (I u ,I v )ϕ(t )d ()t ɤφʏΔ1(u ,v)0ϕ(t )d ()t +L θʏΔ2(u ,v)0ϕ(t )d ()t 于是定理所有条件均成立,故I ,J 有唯一的公共不动点㊂显然0是I 和J 的公共不动点㊂参考文献:[1]B A N A C H S .S u r l e s o p ér a t i o n sd a n s l e se n s e m b l e sa b s t r a i t se t l e u ra p p l i c a t i o na u xéq u a t i o n s i n t ég r a l e s [J ].F u n d M a t h ,1922,3:5157.[2]C Z E RW I 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2—距离空间中压缩与膨胀型映射的几个不动点定理
在距离空间中，压缩映射和膨胀映射是两种重要的映射类型。
在压缩映射中，距离变化的程度小于1，而在膨胀映射中，距
离变化的程度大于1。
下面将介绍几个与压缩与膨胀型映射的
不动点定理。
1. 压缩映射原理（Banach不动点定理）：在完备的距离空间中，满足压缩映射条件的映射必定存在唯一的不动点。
压缩映射条件是指存在一个常数0≤k<1，使得对于任意的x、y∈X，
有d(f(x),f(y))≤k·d(x,y)。
这个定理具有广泛的应用，可以用于
解方程、求极限等问题。
2. 收缩映射原理：在完备的距离空间中，满足收缩映射条件的映射必定存在唯一的不动点。
收缩映射条件是指存在一个常数k，使得对于任意的x、y∈X，有d(f(x),f(y))≤k·d(x,y)，其中
k>1。
压缩映射可以看作是收缩映射的一种特殊情况。
3. 膨胀映射原理：在完备的距离空间中，满足膨胀映射条件的映射可能存在多个或无不动点。
膨胀映射条件是指存在一个常数k，使得对于任意的x、y∈X，有d(f(x),f(y))≥k·d(x,y)，其
中k>1。
膨胀映射的不动点可能是唯一的，也可能存在多个。
这些不动点定理为我们研究距离空间中的映射提供了基本工具，可以帮助我们求解方程、寻找极限、构造迭代过程等。
不动点定理在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳数学科学学院 数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师 官厅摘 要 本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用. 关键词 不动点;压缩映射原理;方程.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩.半个多世纪以来,其影响可以说遍及整个数学.函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()f x 的取值过程中,如果有0x 使00(),f x x =就称0x 为()f x 的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:1）代数意义:若方程()f x x =有实数根0x ,则()y f x =有不动点0x . 2）几何意义:若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ,则0x 为()y f x =的不动点.压缩映射原理是最简单的不动点定理,它不但证明了不动点的存在性与唯一性,同时还提供了求不动点的方法-迭代法.就是说,在完备度量空间中,T 是一个压缩映射,从任意选取的一个"初始值"0x 出发,逐次作点列1(1,2,),n n x Tx n -==这个点列必然收敛到方程Tx x =的解.因此这种方法叫做逐次逼近法.压缩映射原理在线性代数方程组,微分方程,积分方程等方面都有广泛的应用.1相关定义及定理 1.1不动点的定义[1]设X 为一非空集,:T X X →是一个映射,如果有*,x X ∈使得**,Tx x =则称*x 为映射T 的一个不动点.1.2压缩映射的定义[2]设X 是度量空间,:T X X →是一个映射,如果存在一个数α,01,α<<使得对所有的,,(,)(,),x y X d Tx Ty d x y α∈≤则称T 是压缩映射,α称为压缩常数.注 压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后,它们像的距离缩短了,不超过(,)d x y 的α倍(1).α<1.3压缩映射原理[2]设X 是完备度量空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点(就是说,方程Tx x =有且只有一个解).证明 设0x 是X 中任意一点.21021010,,,,.n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -=====我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列.事实上,21111212(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m d x x d Tx Tx d x x d Tx Tx d x x ααα+------=≤=≤ 10(,).m d x x α≤≤由三点不等式,当n m >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101011()(,)(,).1n mm m n md x x d x x αααααα-+--≤+++=⋅-因01,α<<所以11,n mα--<于是得到01(,)(,)().1mm n d x x d x x n m αα≤>-所以当,m n →∞→∞时,(,)0,m n d x x →即点列{}n x 是X 中柯西点列,由X 完备,存在,x X ∈使(),m x x m →→∞又由三点不等式和条件(,)(,),d Tx Ty d x y α≤我们有1(,)(,)(,)(,)(,).m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+这个不等式右端当m →∞时趋于0,所以(,)0,d x Tx =即.x Tx =下面证唯一性.如果又有~,x X ∈使得~~,T x x =则由条件得~~~(,)(,)(,).d x x d Tx T x d x x α=≤因01,α<<所以必有~(,)0,d x x =即~.x x =2压缩映射原理在代数方程方面的应用 2.1压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用例1[1] 在n 维实向量空间n R 中,n R 是一个完备度量空间,我们定义距离1(,)max ,i i i nd x y ξη≤≤=-其中1212(,,,),(,,,).n n x y ξξξηηη==我们在n R 中讨论下列线性代数方程组1ni ij j i j a b ξξ=-=∑ 1,2,,.i n = (1)在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解 首先将(1)式写成下列向量形式:.X AX B =+其中12(,,,);T n X ξξξ=();ij n n A a ⨯=12(,,,).T n B b b b =令,TX AX B =+则(1)式可以写成.TX X =于是求方程组(1)的唯一解的问题就化为T 是否有唯一的不动点的问题.显然T 是n n R R →的一个映射.下面来讨论当()ij a 满足什么条件时,T 是一个压缩映射.任取12112212,,(,,,),(,,,).n T T n n X X R X X ξξξηηη∈==于是121212(,)(,)(,)d TX TX d AX B AX B d AX AX =++=1111max()max nnij jj ij j j i ni nj j a a ξηξη≤≤≤≤===-≤-∑∑1211111max max (max )(,).n nij j j ij i nj ni nj j a a d X X ξη≤≤≤≤≤≤==≤-=∑∑由此可见,当11,nij j a α=≤<∑对一切i 成立时,T 是n R 上的一个压缩映射.于是T 满足压缩映射原理的条件,从而T 有唯一的不动点****12(,,,),n X ξξξ=而*X 就是方程组(1)的唯一解.2.2压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例2 证明Kepler 方程sin x x a ε=+存在唯一解,其中,a ε为已知常数,0 1.ε<<证明 1R 空间是完备度量空间,在其上定义距离(,).d x y x y =- 作映射sin ,Tx x a ε=+则有.Tx x =显然T 是11R R →的映射,且1,,x y R ∀∈有(,)sin sin sin sin cos ,d Tx Ty Tx Ty x y x y x y x y εεεεξε=-=-=-≤-≤-ξ在,x y 之间,令.αε=则0 1.α<<有(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知T 存在唯一不动点,即Kepler 方程存在唯一的解.3压缩映射原理在积分方程方面的应用例3[1] 设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,且存在常数,M 使得(,).baK s t dt M ≤<+∞⎰则当1Mλ<时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2)存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记.M αλ=则 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()a s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰max ()()a s bM s s λϕψ≤≤≤-(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈例3'[3]设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,令(,)[,][,]max(,),s t a b a b M k s t ∈⨯=<+∞则在1()M b a λ<-时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2) 存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记().M b a αλ=- 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()baa s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰()max ()()a s bM b a s s λϕψ≤≤≤--(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈4压缩映射原理在微分方程方面的应用4.1压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例4[2]设(,)f t x 是矩形00{(,)|,}D t x t t a x x b =-≤-≤上的二元函数,设(,),(,),f t x M t x D ≤∈又(,)f t x 在D 上关于x 满足利普希茨()Lipschitz 条件,即存在常数L ,使得对任意的(,),(,),t x t y D ∈有(,)(,)f t x f t y L x y -≤- (3)那么方程(,)dxf t x dt=在区间00[,]J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =得连续函数解,其中1min{,,}.b a M L β<证明 设00[,]C t t ββ-+表示区间00[,]J t t ββ=-+上的连续函数全体按距离(,)max ()()t Jd x y x t y t ∈=-所成的完备度量空间.又令C 表示00[,]C t t ββ-+中满足条件0()()x t x M t J β-≤∈得连续函数全体所成的子空间,且C 是闭子空间.则C 也是完备度量空间.令00()()(,())tt Tx t x f t x t dt =+⎰ (4)则T 是C 到C 中的映射.因为,M b β<所以若,x C ∈那么当00[,]t t t ββ∈-+时,(,()).t x t D ∈又因为(,)f t x 是D 上的二元连续函数,所以(4)式右端积分有意义.又对一切000,()()(,()),tt t J Tx t x f t x t dt M t t M β∈-=≤-≤⎰所以有当,x C ∈.Tx C ∈下面证T 是压缩映射.由条件(3),对C 中任意两点x 和y ,有 0(,)max ()()()()max[(,)(,)]tt t Jt Jd Tx Ty Tx t Ty t f t x f t y dt ∈∈=--⎰0max ()()(,).a t bt t L x t y t L d x y β≤≤≤-⋅-≤令,L αβ=则01,α<<且(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是C 上的压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的,x C ∈使得.Tx x =即00()(,()).tt x t x f t x t dt =+⎰且00().x t x =两边对t 求导,即得()(,()).dx t f t x t dt =这说明()x t 是方程(,)dxf t x dt=满足初值条件 00()x t x =的解.4.2压缩映射原理证明n 阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形式:111()()()n n n n n d y d y a x a x y F x dx dx--+++= (5)方程的初值条件记为:(1)000101(),(),,()n n y x c y x c y x c --'=== (6)有如下结论:例5[4] （n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性）设()(1,2,,)i a x i n =和()F x 均于区间I 上连续,则对任一0x I ∈和任意n 个常数011,,,,n c c c -方程(5)恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件(6)的解.注 有时,映射T 不满足压缩映射原理的条件,但T 的某次幂却满足这些条件,于是,可把压缩映射原理推广到下面的情形:推论 设(,)X d 是完备度量空间,:,T X X →如果存在自然数,,n 使得对所有,,(,)(,).n n x y X d T x T y d x y α∈≤其中01,α≤<则T 有唯一的不动点.下面对定理进行证明:证明 对n 阶线性微分方程(5)(6)作如下变化:设(),n n d yx dxϕ=则0111()n x n n x d y t dt c dxϕ---=+⎰0002121022[()]()()n x u x x n n n n n x x x t d yt dt c du c dt t du c x x c dx ϕϕ------=++=+-+⎰⎰⎰⎰102()()()xn n x x t t dt c x x c ϕ--=-+-+⎰00310233[()()()]n x u n n n n x x d yx t t dt c x x c du c dx ϕ-----=-+-++⎰⎰ 0221020311()()()()2!2!x n n n x x t t dt c x x c x x c ϕ---=-+-+-+⎰01121020100111()()()()()(1)!(1)!(2)!x n n n n n x y x t t dt c x x c x x c x x c n n n ϕ-----=-+-+-++-+---⎰代入原方程得:121212()()n n n n n d y d yx F x a a a y dx dxϕ----=----整理后得到积分方程:()(,)()()xx x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ (7)其中2112311(,)[()()()]2!(1)!n n k x t a a x t a x t a x t n -=-+-+-++--21121023102031()()[()][()()]2!n n n n n n f x F x a c a c x x c a c x x c x x c ------=---+--+-+ 1101001[()()](1)!n n n a c x x c x x c n -----++-+-此方程为第二类Volterra 积分方程,显然(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续.并且方程(7)与方程(5)(6)等价. 下面考虑积分方程 ()(,)()()xax k x t t dt f x ϕϕ=+⎰[,]t a b ∈(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续,()[,].f x C a b ∈设,sup (,),a x t bk x t M ≤≤=<+∞考虑映射:[,][,]T C a b C a b →()(,)()()xaT x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ [,]C a b ϕ∀∈则 1221()()(,)(()())xaT x T x k x t x x dt ϕϕϕϕ-=-⎰21sup ()()()a x bM x x x a ϕϕ≤≤≤-- 12()((),())M x a d x x ϕϕ≤- 归纳的,若11111212()()()(,)(1)!n n n n x a T x T x M d n ϕϕϕϕ------≤-则 1212()()(,)(()())xn n n n aT x T x k x t T t T t dt ϕϕϕϕ-=-⎰1121()(,)!x nn a M t a dt d n ϕϕ-≤-⎰ 12()(,)!nnx a Md n ϕϕ-≤ 由此得到对于任何自然数n 有:121212()(,)sup (,)!nnnnnna x bb a d T T T T M d n ϕϕϕϕϕϕ≤≤-=-≤由于()0(),!n nb a Mn n -→→∞于是对于充分大的,n 总可使()0 1.!nn b a M n -≤< 因此对于充分大的,n nT 满足推论中压缩映射原理的条件,所以方程(7)有唯一解.由方程的等价性可知,n 阶线性微分方程(5)(6)有唯一解.5压缩映射原理证明隐函数存在定理例6[2]设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<+∞中处处连续,且处处有关于y 的偏导数'(,).y f x y 如果还存在常数m 和M 满足'0(,),,y m f x y M m M <≤≤< 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ= 作为解:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈证明 在完备度量空间[,]C a b 中作映射T ,使对任意的函数[,],C a b ϕ∈有1()()()(,()).T x x f x x Mϕϕϕ=-按照题中条件,(,)f x y 是连续的,故()()T x ϕ也连 续,即[,].T C a b ϕ∈所以T 是[,]C a b 到自身的映射.下面证T 是压缩映射. 任取12,[,],C a b ϕϕ∈根据微分中值定理,存在01,θ<<满足21212111()()()()()()((,())(,()))T x T x x x f x x f x x M Mϕϕϕϕϕϕ-=---'21121211()()[,()(()())](()())y x x f x x x x x x Mϕϕϕθϕϕϕϕ=--+-⋅-21()()(1).m x x Mϕϕ≤--由于01,m M <<所以令1,mMα=-则有01,α<<且 2121()()()()(()().T x T x x x ϕϕαϕϕ-≤-按[,]C a b 中距离的定义可知2121(,)(,).d T T d ϕϕαϕϕ≤因此T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知,存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足,T ϕϕ=即1()()(,()),x x f x x Mϕϕϕ≡-这就是说:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈ 根据压缩映射原理,若取00(x)=y ϕ作为初始函数,通过迭代111()()(,()),1,2,n n n x x f x x n Mϕϕϕ--=-=得到的函数列{()}n x ϕ将一致收敛于隐函数()y x ϕ=.参考文献:]1[大华.应用泛函简明教程.华中科技大学.2003.]2[程其襄,奠宙,国强,善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础.高等教育,2010. [3]秀芹.非线性分析中的几类不动点定理及其应用.东北大学.2008. [4]汪斌.n 阶线性微分方程解的存在与唯一性.华中师大学.2007.。
不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：（1）。
0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。
),(),(x y y x ρρ=；（3）。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。
Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用——摘要本文进一步揭示了Banach空间压缩映像原理与完备性的关系,对压缩映像原理与不动点的相关理论做了详细地阐述，并对Banach 空间中压缩映像原理与不动点原理的应用做了详细的举例说明。
——关键词Banach空间压缩原理完备性不动点——引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽像的结果。
不动点定理实际上是算子方程Tx x的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
——正文⒈Banach空间压缩映像定理及其应用随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。
几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。
但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。
而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。
例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach空间压缩映像定理。
定义（压缩映像）设T是度量空间X到X中的映像，如果对都有（是常数）则称T 是X上的一个压缩映像。
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用一、引言在数学中，不动点定理和Banach压缩映像定理是两个非常重要的定理。
不动点定理是一个基本定理，它能够帮助我们证明很多问题。
而Banach压缩映像定理则是一个实用定理，它能够帮助我们求解很多实际问题。
本文将重点讨论这两个定理的应用。
二、不动点定理不动点定理（Fixed point theorem）是数学中一种基本的定理，也是一个非常重要的定理。
它的实质是给定一个运算，能够保证这个运算至少有一个不变点。
例如，在一维空间中，一条直线与 x 轴的交点就是一个不动点。
不动点定理的常用形式有 Banach定理，Brouwer定理和Kakutani定理等。
这三种定理都是确保在一定条件下，给定一个映射，必定存在一个不动点。
其中，Banach定理是应用最广泛的一种不动点定理。
三、Banach压缩映像定理Banach压缩映像定理（Banach contraction mapping theorem）是应用最广泛的不动点定理之一。
它是一种强化的不动点定理，能够给出一个更加精确的结论。
该定理的实质是，给定一个映射，如果它能够将任意两个点映射到更靠近一起的两个点，那么这个映射一定存在不动点。
具体来说，设 (X,d) 是一个非空完备度量空间，f:X → X是一个压缩映像，即存在常数0≤s<1，使得对于任意x,y∈ X，有：$d(f(x),f(y))≤s\times d(x,y)$则 f 存在唯一的不动点 z，即 f(z)=z。
在实际中，Banach压缩映像定理被广泛应用于求解非线性方程组的根。
例如，对于一个形如 f(x)=0 的方程组，可以通过适当的转化，将它表示成 g(x)=x 的形式，然后应用Banach压缩映像定理求解。
此外，Banach压缩映像定理还在优化算法、控制论等领域得到广泛应用。
四、应用举例下面我们通过两个具体的例子来说明不动点定理和Banach压缩映像定理的应用。
一类广义压缩条件下自映象的不动点定理
1一般的定义
广义压缩条件下自映象的不动点定理可以简单地解释为：在特定的条件下，特定的变换将使一个集合的映象与自身保持一致，而这个集合就是不动点。
在数学上，自映象的不动点定理是指在特定情况下，当将一个集合中的每个元素进行一定变换后，其映象中仍然包含集合中的一组元素，而这一组元素可以通过进行另一种变换实现自我保持一致性。
2广义压缩条件下自映象的不动点定理
在数学上，当一个映象受到一般广义压缩条件的作用时，这种叫做广义压缩条件下自映象的不动点定理的结论就出现了。
其定义如下：当映象受到广义压缩作用时，当映象中的一组元素前后经过变换时，其中的一些元素可以经过另一个变换保持原样不变,即不动点.
在自映象的不动点定理中，变换仅仅处理从本集合到映象集合的结构，而并不改变它中的比例因子，也不改变它的空间复杂度。
因此，在满足一定的广义压缩条件的情况下，通过这种变换只保留集合中原有的特定不动点，相当于使集合的结构保持不变，从而可以实现特定的压缩操作。
3应用
广义压缩条件下自映象的不动点定理找到了在数学理论中的重要应用。
例如，可以使用它来发展关于图论强连通性，定比和平面几何等诸多大型计算问题的算法，改善许多现有的压缩算法，更高效地解决大量理论模式中存在的问题。
而且，这种定理甚至被拿来应用在物理模型仿真和密码技术中，具有重要的意义。
4结论
广义压缩条件下自映象的不动点定理是一种重要的数学理论，非常有益于我们深入研究各种数学理论模型，从而更有效地获得更多的理论成果。
它能够有效解决数学中的大量复杂算法问题，更好地展现出其特殊的数学特征和有用的数学结构，为数学理论的发展提供非常有价值的贡献。
