第56讲 圆的方程

第56课 圆的方程(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修2P111练习4改编)方程x 2+y 2-6x =0表示的圆的圆心坐标是 ，半径是 . 【答案】(3，0) 3【解析】原方程转化为(x -3)2+y 2=9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2.(必修2P111练习3(1)改编)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是 .【答案】(x -1)2+(y -2)2=25【解析】圆心-35-1522++⎛⎫⎪⎝⎭，，即(1，2)，直径，所以圆的方程是(x -1)2+(y -2)2=25.3.(必修2P102习题8改编)方程x表示的曲线是 .【答案】右半圆 【解析】方程x(x +1)22，x +1≥0，此方程化简为(x +1)2+y 2=1，x ≥-1.此方程表示以点(-1，0)为圆心、1为半径的半圆，位于直线x =-1的右侧.4.(必修2P100习题7改编)已知点P(1，1)在圆C ：x 2+y 2-ax +2ay -4=0的内部，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，2)【解析】因为点P 在圆内，所以1+1-a +2a -4<0，所以a <2.1.以(a，b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.2.圆的方程的一般形式是x2+y2+D x+E y+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为--22D E⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为3.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.4.(1)设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r.若点P在圆上，则d=r；若点P在圆外，则d>r；若点P在圆内，则d<r.(2)设点P(m，n)，圆C：f(x，y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=x2+y2+D x+E y+F=0(r>0，D2+E2-4F>0)，则：点P在圆C外⇔f(m，n)>0；点P在圆C上⇔f(m，n)=0；点P在圆C内⇔f(m，n)<0.【要点导学】要点导学各个击破求圆的方程例1 一个圆经过A(3，-2)，B(2，1)两点，求分别满足下列条件的圆的方程.(1)圆心在直线x-2y-3=0上；(2)在两坐标轴上的四个截距之和为2.【思维引导】在解决圆的方程问题时，不仅可以利用待定系数法，还可以利用几何法，即利用圆的有关性质来寻求圆的方程中的几个基本量，从而求出圆的方程.根据具体的条件合理选择方法.【解答】(1)方法一：设所求的圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.由已知，得222222-2-30(3-)(-2-)(2-)(1-)a b a b r a b r =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，，，解得21-15a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，即所求圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=5.方法二：由圆的几何性质知，圆心在线段AB 的垂直平分线x -3y -4=0上，与方程x -2y -3=0联立可得圆心坐标为C(1，-1)，半径为故所求圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=5.(2)方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0(D 2+E 2-4F>0)，由圆过点A(3，-2)，B(2，1)，得133-20520.D E F D E F ++=⎧⎨+++=⎩，由x =0，得y 2+E y +F=0，y 1+y 2=-E.由y =0，得x 2+D x +F=0，x 1+x 2=-D.由题意知x 1+x 2+y 1+y 2=-D-E=2，解得D=-72，E=32，F=12.故所求圆的方程为x 2+y 2-72x +32y +12=0.方法二：设圆心为(a ，b )，圆与x 轴分别交于(x 1，0)，(x 2，0)，与y 轴分别交于(0，y 1)，(0，y 2)，则根据题意知x 1+x 2+y 1+y 2=2，所以122x x ++122y y +=1，a =122x x +，b =122y y +， 所以a +b =1.又因为点(a ，b )在线段AB 的中垂线上，所以a -3b -4=0，联立1-3-40a b a b +=⎧⎨=⎩，，解得743-4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以圆心为73-44⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径r=4，所以所求圆的方程为27-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+234y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5016， 即x 2+y 2-72x +32y +12=0.【精要点评】求圆的方程时，要根据已知条件选择合适的形式，一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都是确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.另外，充分利用圆的几何性质，也可以求得圆的方程中的三个参数.常用的性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.变式1 求过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的位置关系.【解答】方法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.因为圆心在y=0上，故b=0.所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2.因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以2222 (1-)16(3-)4a ra r⎧+=⎨+=⎩，，解得a=-1，r2=20.所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2，4)到圆心C(-1，0)的距离dr.所以点P在圆外.方法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上.因为k AB=4-21-3=-1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y-3=x-2，即x-y+1=0.又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为C(-1，0).所以半径r故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2，4)到圆心C(-1，0)的距离dr，所以点P 在圆外.变式2 如图(1)，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 分别为切点)，使得，若以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴建立平面直角坐标，求点P 所在的圆的方程.(变式2(1))【解答】建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则O 1(-2，0)，O 2(2，0).(变式2(2))由已知， 得PM 2=2PN 2.因为两圆的半径均为1，所以P 21O -1=2(P 22O -1).设P(x ，y )，则(x +2)2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]， 即(x -6)2+y 2=33，所以点P 所在圆的方程为(x -6)2+y 2=33(或x 2+y 2-12x +3=0).与圆有关的最值问题例2 若实数x ，y 满足x 2+y 2+2x -4y +1=0，求下列各式的最大值和最小值.(1)-4yx ；(2)3x -4y ； (3)x 2+y 2.【思维引导】(1)和(2)中，设所求式等于某参数，再将其转化为直线方程，利用直线与圆的位置关系求解，(3)是原点到圆上点的距离的平方问题，可用两点间距离公式求解.【解答】(1)方法一：令-4yx =k ，则kx -y -4k =0.因为x ，y 满足x 2+y 2+2x -4y +1=0，所以圆心(-1，2)到直线kx -y -4k =0的距离不大于圆的半径2，即≤2，解得-2021≤k ≤0，所以-4y x 的最大值为0，最小值为-2021. 方法二：令-4yx =k ，则y =k (x -4)代入圆的方程，整理得(1+k 2)x 2+(2-4k -8k 2)x +16k 2+16k +1=0， 因为上述方程有实数根，所以Δ=(2-4k -8k 2)2-4(1+k 2)·(16k 2+16k +1)≥0，化简整理得21k 2+20k ≤0，解得-2021≤k ≤0， 所以-4y x 的最大值为0，最小值为-2021.(2)方法一：设3x -4y =k ，则3x -4y -k =0，圆心(-1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，≤2， 解得-21≤k ≤-1，所以3x -4y 的最大值为-1，最小值为-21. 方法二：设k =3x -4y ，即y=4x-4，代入圆的方程，整理得25x2-(16+6k)x+k2+16k+16=0，因为上述方程有实根，所以Δ=(-16-6k)2-4·25(k2+16k+16)≥0，化简整理得k2+22k+21≤0，解得-21≤k≤-1，所以3x-4y的最大值为-1，最小值为-21.(3)方法一：先求出原点与圆心之间的距离dx2+y2的最大值为22方法二：由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为-12cos22sinxyαα=+⎧⎨=+⎩，，α∈[0，2π)，所以x2+y2=(-1+2cos α)2+(2+2sin α)2=9+8sin α-4cos α=9+4sin(α+φ)，其中tan α=-1 2，所以x2+y2即x2+y2的最大值为【精要点评】本题的每一小题都给出了不同的解法，希望读者仔细研读，比较优劣，选择自己容易把握的方法.涉及圆的最值的问题主要有三种类型：(1)斜率型：--y bx a=k，其本质是动直线的斜率变化问题，可用例题中第(1)题的两种方法求解.(2)截距型：ax+by=t，其本质是动直线的截距变化问题，可用例题中第(2)题的两种方法求解.(3)距离型：(x-a)2+(y-b)2=s，其本质是定点到圆上的点的距离问题，可用例题中第(3)题的两种方法求解.变式设点P(x，y)为圆x2+y2=1上任一点，求下列两个式子的取值范围.(1)1x+；(2)x2+y2-2x+6y+1.【思维引导】(1)将u=-21yx+变形为y-2=u(x+1)，则该直线与圆x2+y2=1恒有公共点；(2)将圆的方程通过三角代换变成三角式代入求出表达式，利用参数求出范围.【解答】(1)方法一：由u=-21yx+得，y-2=u(x+1)，此直线与圆x2+y2=1有公共点，故圆心(0，0)到直线的距离d≤1，≤1，解得u≤-3 4，所以-21yx+的取值范围是3--4∞⎛⎤⎥⎝⎦，.方法二：由22-2(1)1y u xx y=+⎧⎨+=⎩，消去y后得(u2+1)x2+(2u2+4u)x+(u2+4u+3)=0，此方程有实数根，故Δ=(2u2+4u)2-4(u2+1)(u2+4u+3)≥0，解得u≤-3 4，所以-21yx+的取值范围是3--4∞⎛⎤⎥⎝⎦，.(2)将圆的方程x2+y2=1通过三角代换，变为cossinxyθθ=⎧⎨=⎩，，θ∈[0，2π)，所以x2+y2-2x+6y-1=1-2cos θ+6sin θ+1=2+6sin θ-2cos θsin(θ+φ)1tan-3ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭其中，所以x2+y2-2x+6y-1的取值范围是，].与圆有关的实际问题例3 有一种大型商品在A ，B 两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍.已知A ，B 两地的距离为10 km ，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准：包括运费和价格的总费用较低.求A ，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.【思维引导】建立适当的坐标系，设出符合某种条件的点，从而表示出这一点与A 和B 两点的距离与费用，如果到A 地购买比到B 地购买总费用低，则有价格+A 地运费≤价格+B 地的运费.(例3)【解答】以A ，B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.因为AB=10，所以A(-5 ，0)，B(5 ，0).设某地P 的坐标为(x ，y )，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/km ，B 地的运费为a 元/km.因为P 地居民购物总费用满足条件： 价格+A 地运费≤价格+B 地的运费， 即3因为a >0， 所以化简整理得2254x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+y 2≤2154⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以以点25-04⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心、154为半径的圆是两地购货的分界线.圆内的居民从A 地购物便宜；圆外的居民从B 地购物便宜；圆上的居民从A ，B 两地购物的总费用相等，因此可随意从A ，B 两地之一购物.【精要点评】本题的关键是建立坐标系，引入坐标研究曲线的形状，这也是解析几何的最基本的思想.每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍转化为几何条件即为PA=3PB ，动点的轨迹是一个圆.变式 如图(1)是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20 m ，拱高OP=4 m ，每隔4 m 需用一支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度.(精确到0.01 m(变式(1))【解答】建立如图(2)所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0，由于圆心在y 轴上，所以D=0，方程即为x 2+y 2+E y+F=0.(变式(2))因为P ，B 都在圆上，由题意知其坐标分别为(0，4)，(10，0)，所以22440100E F F ⎧++=⎨+=⎩，，解得F=-100，E=21. 所以这个圆的方程是x 2+y 2+21y -100=0.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆的方程，得(-2)2+y 2+21y -100=0，即y 2+21y -96=0. 因为P 2的纵坐标y >0，故应取正值，所以y=≈3.86(m ).所以支柱A 2P 2的高度约为3.86 m .1.(2015·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 . 【答案】(x -1)2+(y -1)2=2【解析】由题意可得圆的半径为r(x -1)2+(y -1)2=2.2.若点P(1在圆x 2+y 2-2ax=0的内部，则实数a 的取值范围是 .【答案】12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】由点P 在圆的内部，得1+3-2a -6a <0，解得a >12.3.若直线l ：ax +by +4=0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2+y 2+8x +2y +1=0，则ab 的最大值为 . 【答案】1【解析】圆C 的圆心坐标为(-4，-1)，则有-4a -b +4=0，即4a +b =4.所以ab =14(4ab )≤21442a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭=14×242⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，当且仅当a =12，b =2时取等号.4.若实数x ，y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，则1yx +的最大值为 ，最小值为 .【答案】2-2【解析】因为1y x +=-0-(-1)y x ，所以1yx +表示过点P(-1，0)与圆(x -2)2+y 2=3上的点(x ，y )的直线的斜率.如图，由图象知1yx +的最大值和最小值分别是过点P 与圆相切的直线PA ，PB 的斜率，k PA =CA PA==，k PB =-CB PB，故1yx +的最大值为，最小值为-.(第4题)趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第111~112页.【检测与评估】第56课圆的方程一、填空题1.与圆(x+2)2+y2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为.2.若直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=0 的周长，则实数b的值为.3.若点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是.4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为.5.(2015·全国卷改编)已知△ABC顶点的坐标分别为A(1，0)，B(0)，C(2)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为.6.已知实数x，y满足(x-2)2+(y+1)2=1，则2x-y的最大值与最小值的和为.7.若方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围为.8.已知点P(a ，b )关于直线l 的对称点为P'(b +1，a -1)，那么圆C ：x 2+y 2-6x -2y =0关于直线l 对称的圆C'的方程为 .二、 解答题9.已知△ABC 顶点的坐标分别为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，求△ABC 外接圆的方程.10.若方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程.11.如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO=43.(1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大?(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2的圆弧，那么圆C 的方程为 .13.已知点P(x，y)是圆x2+(y-1)2=1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x+y+m≥0，则实数m的取值范围是.【检测与评估答案】第56课圆的方程1.(x-2)2+y2=5【解析】圆心(-2，0)关于原点(0，0)的对称点为(2，0)，所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.2.-5【解析】圆心坐标为(4，-1)，由直线y=x+b平分圆，知-1=4+b，所以b=-5.3.(-1，1)【解析】因为点(1，1)在圆的内部，所以(1-a)2+(1+a)2<4，解得-1<a<1，即实数a 的取值范围是(-1，1).4.x2+(y-2)2=1【解析】设圆的方程为x2+(y-b)2=1，此圆过点(1，2)，所以12+(2-b)2=1，解得b=2，故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.5.【解析】△ABC外接圆圆心在直线BC的垂直平分线上，即在直线x=1上，设圆心D(1，b)，由DA=DB，得⇒b=，所以圆心到原点的距离3.6.10【解析】令b=2x-y，则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数，当直线2x-y=b与圆相切时，b取得最值.1，解得b=52x-y的最大值为55-10.7.1-17⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即有4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解得-17<m<1.8.(x-2)2+(y-2)2=10【解析】圆C：(x-3)2+(y-1)2=10，令a=3，b=1，可得C'(2，2).圆C'的半径与圆C，所以圆C'的方程为(x-2)2+(y-2)2=10.9.方法一：设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由题意得20 42200 FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，，，解得-86DEF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.方法二：根据圆的性质，可知△ABC外接圆的圆心一定在三边垂直平分线的交点处，易得AB的垂直平分线的方程为y-12=--21x⎛⎫⎪⎝⎭，①BC的垂直平分线的方程为y-32=-35-2x⎛⎫⎪⎝⎭. ②联立①②得139x yx y+=⎧⎨+=⎩，，解得4-3xy=⎧⎨=⎩，，故所求圆的圆心为P(4，-3)，半径r=OP=5，所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.10.因为方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆，所以a≠0.所以方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0可以写成x2+y2-4(-1)aa x+4a y=0.因为D2+E2-4F=2216(-22)a aa+>0恒成立，所以a≠0时，方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆.设圆的半径为r ，则r 2=224(-22)a a a +=22114-12a ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当1a =12即，a=2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.11. (1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A (0，60)，C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO=-43.又因为 AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC =-0-170b a =-43，k AB =-60-0b a =34，解得a=80，b=120，所以150.因此新桥BC 的长是150 m.(第11题)(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM=d m(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为y=-43(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离为r ，即680-35d. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以-80-(60-)80r d r d ≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆面积最大，所以当OM=10 m时，圆形保护区的面积最大.12.x2+2y⎛±⎝⎭=43【解析】由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3.设圆心(0，b)，半径为r，则r sin π3=1，r cosπ3=|b|，解得，|b|=3，即b=±3.故圆的方程为x2+2y⎛±⎝⎭=43.13.1，+∞)【解析】令x=cos θ，y=1+sin θ，则m≥-x-y=-1-(sin θ+cos θ)=-1-π4θ⎛⎫+⎪⎝⎭对任意的θ∈R恒成立，所以m1.。

圆的方程的知识点总结一、圆的标准方程圆的标准方程是圆心在原点(0,0)、半径为r的圆的方程。

它可以表示为：x^2 + y^2 = r^2其中，(x,y)是圆上的任意点，r是圆的半径。

这个方程可以用来描述一个圆的几何形状和位置。

当圆心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方式将圆心移到原点，然后再应用标准方程。

这样，任意圆的方程都可以被化简为标准方程的形式。

二、圆的一般方程圆的一般方程是一个更一般的表示方法，它可以描述任意圆的方程，即圆心不一定在原点，半径也不一定为正值。

一般方程的形式如下：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

通过这个方程，我们可以描述圆的任何位置和大小。

三、圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式表示的圆的方程。

一个圆的参数方程可以表示为：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t是一个参数，取值范围一般是[0,2π]。

通过不同的参数取值，我们可以得到圆上的所有点。

参数方程的形式在一些数学和物理问题中有一定的应用价值。

四、圆的性质1.圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的任意一条线段，它的长度是圆的半径的两倍。

而圆的周长则是圆周的长度，可以通过以下公式计算：C = 2πr其中，r是圆的半径，C是圆的周长。

2.圆的面积圆的面积是圆内部的所有点的集合，可以利用下面的公式来计算：A = πr^2其中，r是圆的半径，A是圆的面积。

这个公式也可以通过积分的方式来推导。

3.切线对于给定的圆和一点P在圆上，我们可以找到一条直线，它通过点P且与圆相切。

切线的斜率可以通过圆心和点P的连线来确定。

这个性质在解决与圆有关的问题时有很大的帮助。

五、圆的应用圆在日常生活和工程中有着广泛的应用，下面是一些例子：1. 圆的几何构造：利用圆的性质可以进行各种几何构造，例如正多边形的内切圆和外接圆、切线的构造等。

2. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学问题是一个常见的问题，如圆周运动、圆形轨道的运动等。

《学圆与方程圆的一般方程》xx年xx月xx日•圆的定义与性质•圆的一般方程的表达式•学圆的方程解法•圆的一般方程的几何意义目•圆的一般方程的应用•学习圆的方程和一般方程的感受和收获录01圆的定义与性质圆定义为平面上到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。

圆是一种几何图形，具有旋转对称性。

圆的定义圆的内部具有紧致性和均匀性。

圆上任意两点间的最短距离为直径。

圆是所有平面图形中最特殊的，因为它是一个连续的、封闭的曲线。

圆的基本性质圆的一般方程圆的一般方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

通过确定D、E、F的值，可以描述不同圆的位置和大小。

当D²+E²-4F>0时，方程表示一个圆；当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点；当D²+E²-4F<0时，方程表示一个椭圆。

02圆的一般方程的表达式圆的一般方程的表达式$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$圆的一般方程的表达式，其中D、E、F为常数，表示在直角坐标系中，圆心在$( - \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$，半径为$\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$。

圆心坐标和半径根据圆的一般方程表达式，可以计算出圆的圆心坐标$( - \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$和半径$\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$。

将标准方程中的$x^{2}+y^{2}$提取出来得到$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，其中D、E、F为常数。

将标准方程中的圆心坐标$(x_{0},y_{0})$和半径$r$代入一般方程中得到$x^{2}+y^{2}+(x_{0}+D)x+(y_{0}+E)y+F=0$，化简得到一般方程。

圆的一般方程的表达式推导普遍性圆的一般方程可以表示任意位置的圆，不仅仅局限于平面直角坐标系中的圆。