【配套K12】江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考填空题分项练8 圆锥曲线

高考填空题仿真练11．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∩(∁U B)＝________.答案　∅解析　∵集合U＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,4}，∴∁U B＝{2}，∵A＝{1,3}，∴A∩(∁U B)＝∅.2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别为________．答案　3，－2解析　∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，∴a＝3，b＝－2.3．某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了270人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在40～50分钟的人数为________．答案　81解析　由频率分布直方图可知，睡前看手机在40～50分钟的频率为1－(0.010＋0.037＋0.023)×10＝0.3，故睡前看手机在40～50分钟的人数为270×0.3＝81.4．执行如图所示的伪代码，可知输出S的值为________．I←2答案　36解析　根据算法语句可知，I的取值依次为2,4,6,8，…，2 016，2 018，当I的取值为2 018时，结束程序，所以输出的S＝2×2 018－4 000＝36.5．(2018·南京多校联考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝(32)Error!则f＝________.答案　1解析　∵周期为2，(32)(－12)(－12)∴f＝f＝－4×2＋2＝1.6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．答案　25解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝＝.1025257．已知角α，β满足tan αtan β＝－4，cos(α＋β)＝，则cos(α－β)＝________.13答案　－15解析　方法一　设cos(α－β)＝x ，即cos αcos β＋sin αsin β＝x .①又cos(α＋β)＝，即cos αcos β－sin αsin β＝.②1313由①②得cos αcos β＝＋，sin αsin β＝－，16x 2x 216所以tan αtan β＝＝－4，解得x ＝－.x 2－16x 2＋1615方法二　由tan αtan β＝－4，得sin αsin β＝－4cos αcos β，①由cos(α＋β)＝，得cos αcos β－sin αsin β＝.②1313由①②得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，115415所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.158．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心x 2a 2y 2b 2率的取值范围是__________．答案　[3，＋∞)解析　依题意可知双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，b a 与抛物线方程联立消去y ，得x 2±x ＋2＝0.b a∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，即b 2≥8a 2，b 2a 2∴c ＝≥3a ，∴e ＝≥3.a 2＋b 2c a 9．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是11＋x 2____________．答案　(13，1)解析　f (x )＝ln(1＋|x |)－的定义域为R 且为偶函数．当x >0时，y ＝f (x )为增函数，11＋x 2所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，即x 2>(2x －1)2，解得<x <1.1310．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若AB ＝2，BC ＝3，PA ＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为________．答案　29π解析　把三棱锥P －ABC 放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为＝，22＋32＋4229所以三棱锥外接球的半径为，292所以外接球的表面积为4π×2＝29π.(292)11．已知函数f (x )＝x 2－4x 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，若曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则3x 1－2x 2的最大值是________．答案　2－6解析　由题意得f ′(x )＝2x －4，因为曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，所以x 1≠2，x 2≠2，(2x 1－4)·(2x 2－4)＝－1.又x 1<x 2，所以2x 1－4<0,2x 2－4>0，x 1＝＋2，－14x 2－8则3x 1－2x 2＝3×－2x 2＝－2x 2－＋6(－14x 2－8＋2)34x 2－8＝－＋2[12(4x 2－8)＋34x 2－8]≤－2＋2＝2－，12(4x 2－8)·34x 2－86当且仅当(4x 2－8)＝>0时，上式取等号，因此3x 1－2x 2的最大值为2－.1234x 2－8612．(2018·苏锡常镇四市调研)如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则·的取值范围为________．OP → OQ →答案　[－1,1]2解析　以点O 为坐标原点，以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．则A (1,0)，B (0,1)，直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，设P (cos α，sin α)，Q (x 0，y 0)，(0≤α≤π2)所以PQ 的中点坐标为，(x 0＋cos α2，y 0＋sin α2)由题意得Error!所以x 0＝1－sin α，y 0＝1－cos α，所以·＝cos α(1－sin α)＋sin α(1－cos α)OP → OQ →＝sin α＋cos α－2sin αcos α，设t ＝sin α＋cos α＝sin ，t ∈[1，]，2(α＋π4)2所以sin αcos α＝，t 2－12所以·＝1－t 2＋t ，t ∈[1，]．OP → OQ →2设f (t )＝1－t 2＋t ，t ∈[1，]，2所以当t ＝1时函数f (t )取最大值1，当t ＝时函数f (t )取最小值－1.2213．(2018·南京多校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋4＝c 2，ab ＝24，则的最小值是________．sin C tan 2A sin 2B 答案　32＋42解析　∵a 2＋b 2＋4＝c 2，ab ＝4，2∴cos C ＝＝＝－，a 2＋b 2－c 22ab －422×422∵C ∈(0，π)，∴C ＝，B ＝－A ，sin 2B ＝sin 2＝cos 2A ，3π4π4(π4－A )∴tan 2A sin 2B ＝tan 2A cos 2A＝3－≤3－2，(2cos 2A ＋1cos 2A )2∴＝≥＝，当且仅当2cos 2A ＝，sin C tan 2A sin 2B 22tan 2A cos 2A 223－2232＋421cos 2A 即cos 2A ＝，满足A ∈时等号成立．22(0，π4)14．在正项等比数列{a n }中，若a 1，a 3,2a 2成等差数列，则＝________.12a 5a3答案　3＋22解析　由于a 1，a 3,2a 2成等差数列，12所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0，解得q ＝＋1或q ＝1－(舍去)．22故＝q 2＝3＋2.a 5a 32。

2019年江苏省高考数学模拟试卷(8)(含附加,详细答案)2019年高考模拟试卷（8）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合 $A=\{2,\log_2 a\}$，若 $3\in A$，$B=\{1,3\}$，则实数 $a$ 的值为______。

2.已知复数 $z$ 满足$z\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则复数 $z-\mathrm{i}$ 的模为______。

3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为______。

4.工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数），则该组数据的方差$s^2$ 的值为______。

5.根据上图所示的伪代码，可知输出的结果 $S$ 为______。

第4题）1872212SI 2WhileI≤4I I+1S S+IEndWhilePrintS第5题）x y≥1。

6.设实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases}x+y\leq 1,\\x+2y\geq 1,\end{cases}$ 则 $3x+2y$ 的最大值为______。

7.若“$\exists x\in\left[\frac{1}{2},2\right]$，使得 $2x^2-\lambda x+1<0$ 成立”是假命题，则实数 $\lambda$ 的取值范围是______。

8.设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\neq 0$），其前$n$ 项和为 $S_n$。

若 $a_4$，$2S_{12}=S_2+10$，则 $d$ 的值为______。

9.若抛物线 $x=4y$ 的焦点到双曲线 $x^2/2-y^2/3=1\(a>0,b>0)$ 的渐近线距离等于 $1$，则双曲线的离心率为______。

高考填空题仿真练21．(2018·如皋调研)集合A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，若A ∪B ＝{1,2,3}，则实数a 的值为________． 答案 0解析 ∵A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，且A ∪B ＝{1,2,3}， ∴a 2＋2＝2，a ＝0，即实数a 的值为0.2．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3解析 由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.3．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝________. 答案265解析 因为2＋3＋7＋8＋a5＝5，所以a ＝5，所以s 2＝15[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝265.4．执行如图所示的流程图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 的值为________．答案256解析log32>4不成立，执行第一次循环，a＝22＝4；log34>4不成立，执行第二次循环，a＝42＝16；log316>4＝log334＝log381不成立，执行第三次循环，a＝162＝256；log3256>4＝log381成立，跳出循环，输出的a的值为256.5．已知一元二次不等式f(x)>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，则f(lg x)<0的解集为________．答案(10,100)解析因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以一元二次不等式f(x)<0的解集为(1,2)，由f(lg x)<0可得1<lg x<2，从而解得10<x<100，所以不等式f(lg x)<0的解集为(10,100)．6．已知四边形ABCD是半径为2的圆的内接正方形，若在圆的内部随机取一点P，则点P落在正方形ABCD内部的概率为________．答案2π解析由已知可得，正方形边长为22，再利用几何概型概率计算公式可得概率为(22)2π×22＝2π.7．函数f(x)＝sin x cos x＋32cos 2x的最小正周期为________．答案π解析由f(x)＝sin x cos x＋32cos 2x＝12sin 2x＋32cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3，得f(x)的最小正周期为π.8．已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于x 轴的弦的长为a 2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________． 答案52解析 将x ＝c 代入椭圆方程，得c 2a ＋y 2b ＝1，即y 2b ＝b 2a ，解得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2.设双曲线的焦距为2c ′，则c ′2＝a 2＋b 2＝5b 2. 所以其离心率为e ＝c ′a ＝5b 2b ＝52. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.若f (x )恰有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 当a ≥1时，要使f (x )恰有两个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2； 当a <1时，要使f (x )恰有两个零点，需满足a <1≤2a,21－a >0， 解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 10．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．答案 8 3解析 依题意可知，截面△BC 1D 是等腰直角三角形，其面积为6，可知BD ＝C 1D ＝23，设AB ＝a ，AD ＝h ，在Rt△ABD 与Rt△BCC 1中，由勾股定理，得⎩⎨⎧a 2＋h 2＝(23)2，a 2＋4h 2＝(26)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，h ＝2，所以V＝S△ABC·2h＝34a2·2h＝34×8×4＝8 3.11．(2018·江苏盐城中学模拟)已知函数f(x)＝x2＋(1－a)x－a，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，则实数a的取值范围是________．答案[－3,22－3]解析由f(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x－a)(x＋1)<0，当a＝－1时，f(x)＝(x＋1)2<0无解，适合题意；当a>－1时，f(x)<0的解为－1<x<a，此时f(f(x))<0的解集为空集只需f(x)≥a恒成立，即x2＋(1－a)x－2a≥0恒成立，所以只需Δ＝a2＋6a＋1≤0，解得－1<a≤22－3；当a<－1时，f(x)<0的解为a<x<－1，此时f(f(x))<0的解集为空集只需f(x)≥－1恒成立，即x2＋(1－a)x－a＋1≥0恒成立，所以只需Δ＝a2＋2a－3≤0，解得－3≤a<－1.综上知－3≤a≤22－3.12．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．答案π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0，得cos A ＝35，则A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝45.由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.13．(2018·江苏泰州中学月考)已知点A (－3,0)和圆O: x 2＋y 2＝9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是线段AB 的三等分点，点P (异于点A ，B )是圆O 上的动点，PD ⊥AB 交AB 于点D ，PE →＝λED→(λ>0)，直线PA 与BE 交于点C ，则当λ＝________时，CM ＋CN 为定值． 答案 18解析 由题意可得B (3,0)，M (－1,0)，N (1,0)， 设P (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 则点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，11＋λy 0， 故PA 的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，BE 的方程为y ＝11＋λy 0x 0－3(x －3)，联立方程组可得y 2＝y 20(1＋λ)(x 20－9)(x 2－9)，把y 20＝9－x 20代入化简，可得x 29＋y 291＋λ＝1， 故点C 在以AB 为长轴的椭圆上．当M ，N 为此椭圆的焦点时，CM ＋CN 为定值2a ＝6， 此时a ＝3，c ＝1，b ＝91＋λ， 由a 2－b 2＝c 2，可得9－91＋λ＝1，求得λ＝18.14.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP →·BP →的最小值为________．答案 1解析 以点C 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆C ：x 2＋y 2＝1，于是可设点P (cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)． 又因为△ABC 是边长为23的等边三角形， 所以A (－3，－3)，B (3，－3)， 所以AP →＝(cos θ＋3，sin θ＋3)， BP →＝(cos θ－3，sin θ＋3)，所以AP →·BP →＝cos 2θ－3＋sin 2θ＋6sin θ＋9＝7＋6sin θ， 所以当sin θ＝－1时，AP →·BP →取得最小值1.。

)⎢ 江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(八)数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：1．{2，3} 2． 3． 80 4． (-∞，- 1) (1，+∞)25． 496． 37． 2 33 8．49． π610．211． - 5 212． (0 ， 2)13． ⎡ 7 ，+∞⎣ 414． 3 4二、解答题：15．（1） f (x ) =3 sin 2x - (1 + cos 2x ) = 2sin(2x - π) -1 ，…………………………………………4 分6因为 x ∈ ⎡0 ，π ⎤ ，所以 2x - π ∈ ⎡- π , 5π ⎤ ，所以sin(2x - π) ∈ ⎡- 1 ，1⎤ ，……………………6 分⎣⎢ 2 ⎥⎦6 ⎢⎣ 6 6 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 从而 f (x ) 的最大值为 1． ………………………………………………………………………8 分（2）因为 tan α= 2 ，所以 f (α) =2 3 sin αcos α- 2 c os 2α sin 2 α+ cos 2 α…………………………………10 分= 2 3 tan α- 2 tan 2α+1……………………………………………………………………12 分 = 10 ．………………………………………………………………………………14 分 1316．（1）设 AC 与 BD 交于点O ．因为四边形 ABCD 是菱形，所以O 是 AC 中点， EQ因为在矩形 ACQP 中， E 是 PQ 的中点， P所以 PE = OC 且 PE // OC ，………………2 分 F 所以四边形 POCE 是平行四边形，DC所以 EC // PO ．……………………………4 分O因为 EC ⊄ 平面 PBD ， PO ⊂ 平面 PBD ， AB所以 EC ∥平面 PBD ．……………………6 分（2）因为平面 ACQP ⊥ 平面 ABCD ，平面 ACQP 平面 ABCD = AC ， BD ⊂ 平面 ABCD ， BD ⊥ AC ，所以 BD ⊥ 平面 ACQP ．因为 PO ⊂ 平面 ACQP ，所以 BD ⊥ PO ．………………………………………………………8 分连接 AQ ，OF ，在矩形 ACQP 中， O 是 AC 中点， AC = 2AP ，由平面几何知识，利用三角形相似，可证 AQ ⊥ PO ．………………………………………10 分因为 F 是CQ 的中点， O 是 AC 中点，所以OF // AQ ，所以OF ⊥ PO ．因为 BD OF = O ， BD ，OF ⊂ 平面 BDF ，所以 PO ⊥ 平面 BDF ，………………………12 分107 10 21 x 2 + y 2 + xy 2xy + xy xy ⎩ + = 因为 PO ⊂ 平面 PBD ，所以平面 FBD ⊥ 平面 PBD ． ………………………………………14 分17．（1）在△AEF 中，由余弦定理，有 EF 2 = AE 2 + AF 2 - 2AE ⋅ AF ⋅ cos ∠EAF= 400 + 100 - 400 cos120 = 700 ，所以 EF = 10 ．…………………………………………………………………………………2 分设扇形花卉景观的半径为 r ，200 ⨯ 由 EF ⋅ r = AE ⋅ AF ⋅ sin ∠EAF ，得 r = 2 10 = 7 ，……………………………………4 分所以扇形花卉景观的面积为 1 πr 2 = 100 π ．……………………………………………………6 分3 7（2）设 AB = x m ， AD = y m ，则 BD = ，所以8 = 3xy ，……………………………………………………………………9 分2因 为 x 2 + y 2 + xy ≥ = 3 ⋅ ，所 以 3 xy ≥8 3 ⋅ 2 ，即 xy ≥256 ，……………………………………………………………12 分当且仅当 x = y = 16 时， xy 取最大值为 256．所以平行四边形 ABCD 面积的最小值为128答：（1）扇形花卉景观的面积为100 π m 2 ；7．………………………………………………13 分（2）平行四边形绿地 ABCD 占地面积的最小值为12818．（1）由3x + 4 y - 3 = 0 ，令 y = 0 ，得 x = 1，m 2 ．…………………………14 分所以 F (1，0) ，所以 a 2 - b 2 = 1①，…………………………………………………………………1 分由 ⎧3x + 4 y - 3 = 0，得所 A (3 - 4m , m ) .………………………………………………………3 分 ⎨y = m ，3 所以 B ( 4m - 3 , m ) ，因为点 B 到直线 AF 的距离为 6，3 5 所以 | 4m - 3 + 4m - 3 | = 6 ，解得 m = 3 或 m = 0 （舍）5 5 2所以 B (1，3) ，代入椭圆 C 得 1 + 9 = 1② ………………………………………………5 分2 a 2 4b 2联立①②解得 a 2 = 4，b 2= 3 .x 2 y 2所以椭圆 C 的方程为 4 31………………………………………………………………7 分7 3 x 2 + y 2 + xy xy 3 37 7 ⎨ ⎩⎩ )⎢ )⎢ ， （2）因为 AB = 4OF ， F (c ，0) ，所以 A (-2c , m ) ，令 P (x 0 , y 0 ) ， ……………………………8 分⎧x = ( 3 - 2)c ，因为 AF = n AP ，所以⎪ 0 n1 …………………………………………………………9 分⎪ y 0 = (1 - n )m⎧ 4c 2 + m 2 =⎪ a 2 b 2 1，由 A ，P 都在椭圆 C 上，得 ⎨ c 23 m 2 1 ………………………………11 分⎧m 2 = (1- 4e 2 )b 2，⎪ ⎪ ( ⎩ a 2 - 2)2 + n b 2 (1- )2 = 1 n 解得 ⎨ 5e 2 +1………………………………………………………………………13 分 ⎪⎩n = 4e 2 + 2 ， 2 3 ⎧(1- 4e 2)b 2> 0，⎪ ⎧ 1< e < 1， ⎪ 2因为 ≤ n ≤ ，所以 ⎨ 2 5e 2 +1 3 解得 ⎨ ，…………………………15 分 3 4 ⎪⎩ 3 ≤ 4e 2 + 2 ≤ 4 ，⎪ 7 ≤ e ≤ 1 ⎩⎪ 7 2所以 ≤ e < 172所求椭圆 C 的离心率的取值范围为[ 1) 7 2…………………………………………………16 分19．（1）① 因为 f '(x ) = a (1 + 1) ，所以切线斜率为 2a ，x由切点为(1，a ) ，所以切线方程为 y - a = 2a (x - 1) ，即 y = 2ax - a ．…………………………2 分⎧ y = 2ax - a ， 2联立 ⎨ y = x 2，消去 y 得， x - 2ax + a = 0 ， 由题意， ∆ = 4a 2 - 4a = 0 ，所以 a = 1．…………………………………………………………4 分 ② 由 x + ln x = mx ，得 m = 1 + ln x ，设t (x ) = 1 + ln x ， x ∈ ⎡1，+ ∞ )，xx⎢⎣ e则“方程 f (x ) = mx 在区间 ⎡1，+ ∞ 内有唯一实数解”⎣ e等价于“直线 y = m 与函数t (x ) 图象在 ⎡1，+ ∞ 上有唯一交点”．……………………………6 分 ⎣ e因为t '(x ) = 1 - ln x ，令t '(x ) = 0 ，得 x = e ∈ ⎡1，+ ∞ )，x 2列表如下：⎢⎣ ex1e(1，e )e e (e ，+ ∞)⎪1 2 n n n + m n m n + m n m………………………………………………8 分由于t (1) = 1 - e ， t (e) = 1 + 1 ，且当 x ∈ (e ，+ ∞) 时， t (x ) > 1 ，e e所以 m 的取值范围是 m = 1 + 1 或1 - e ≤m ≤1． ………………………………………………10 分e（2）不妨设1≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，因为0 < a < 1 ，所以函数 f (x ) 在[1，2]单调递增，即 f (x 1 ) < f (x 2 ) ．又 g (x ) = x 2 在[1，2]也单调递增，所以g (x ) < g (x ) ， 所以不等式 f (x 1 ) - f (x 2 ) < g (x 1 ) - g (x 2 ) 即为 f (x 2 ) - f (x 1 ) < g (x 2 ) - g (x 1 ) ，即 f (x 2 ) - g (x 2 ) < f (x 1 ) - g (x 1 ) ，…………………………………………………………………12 分设 F (x ) = f (x ) - g (x ) ，即 F (x ) = a (x + ln x ) - x 2 ， 则 F (x 2 ) < F (x 1 ) ，所以函数 F (x ) 在[1，2]上单调递减．所以 F '(x ) = ax + a - 2x 2 ≤0 恒成立，即 a ≤ 2x 2 在 x ∈[1，2]上恒成立．……………………14 分x2x 2'2x 2x + 1 4x (x +1) - 2x 2 2x 2 + 4x设u (x ) =x + 1 ， x ∈[1，2]，由于u (x ) = x + 1= (x + 1)2=(x + 1)2≥0 ，所以u (x ) 在[1，2]上单调递增，所以u (x ) 的最小值为u (1) = 1 ，所以只需要 a ≤1，从而，当0 < a < 1 时，原命题成立．………………………………………16 分20．（1）若 a = 2n - 1，则 S = n 2 ，所以(n - m )S = (n - m )(n + m ) 2，而(n + m )(S - S ) = (n + m )(n 2 - m 2) = (n + m ) 2(n - m ) ，所以(n - m )S = (n + m )(S - S ) 对任意的m ，n ∈ N * 均成立，即数列{a n } 是“好”数列；………………………………………………………………………2 分若b n = 2n -1，取 n = 2，m = 1，则(n - m )Sn +m = S 3 = 7 ，(n + m )(S n - S m ) = 3b 2 = 6 ，此时(n - m )S n + m ≠ (n + m )(S n - S m ) ，即数列{b n }不是“好”数列．……………………………4 分（2）因为数列{c n }为“好”数列，取 m = 1，则n n -1 n +1n⎢ = ，3 (n -1)S n +1 = (n + 1)(S n - S 1 ) ，即 2S n = (n -1)a n +1 + (n + 1)a 1 恒成立． 当 n ≥2 ，有 2S n -1 = (n - 2)a n + na 1 ，两式相减，得 2a n = (n -1)a n +1 - (n - 2)a n + a 1 （ n ≥2 ），即 na n = (n - 1)a n +1 + a 1 （ n ≥2 ），所以(n -1)a n -1 = (n - 2)a n + a 1 （ n ≥3 ），所以 na n - (n - 1)a n -1 = (n - 1)a n +1 - (n - 2)a n ，即(2n - 2)a n = (n -1)a n -1 + (n -1)a n +1 ，即 2a n = a n -1 + a n +1 （ n ≥3 ），当 n = 2 时，有 2S 2 = a 3 + 3a 1 ，即 2a 2 = a 3 + a 1 ， 所以 2a = a + a 对任意 n ≥2 ， n ∈ N * 恒成立， 所以数列{c n }是等差数列．………………………………………………………………………8 分设数列{c n }的公差为 d ，① 若 c= 2017 ，则c + 2015d = 2017 ，即 d =2017 - c 1， 2016 12015因为数列{c }的各项均为不等的正整数，所以 d ∈ N * ，所以 d = 1， c 1 = 2 ，所以c n = n + 1．………………………………………………………12 分② 若c 1 = p ，则 c n = dn + p - d ，由c ，c ，c 成等比数列，得 c 2 =c c ，所以(ds + p - d )2 = p (dt + p - d ) ，1sts1 t即( p - d )(2ds + p - d - p ) + d (ds 2 - pt ) = 0化简得， p (t + 1 - 2s ) = d (s -1) 2 ，即 d = t + 1 - 2s p ．……………………………………14 分(s -1)2因为 p 是任意给定正整数，要使 d ∈ N * ，必须 t + 1 - 2s ∈ N * ，(s -1)2不妨设 k = t + 1 - 2s ，由于 s 是任意给定正整数，(s -1)2所以t = k (s - 1)2 + 2s - 1≥(s - 1)2 + 2s - 1 = s 2 ．……………………………………………16 分数学Ⅱ(附加题) 参考答案与评分标准21 A ．由题意， Aα = 3α ，即 ⎡ab 2⎤ ⎡1⎤ ⎡1⎤ 4⎥ ⎢1⎥ ⎢1⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 -1 + 2 - 2 225 2x -15 5 5⎢ ⎥ ⎨ 6 ⎝⎭ ⎩⎧a + 2 = 3，所以 ⎨b + 4 = 3 解得 a = 1，b = -1，所以 A = ⎡ 1 2⎤ ．………………………………………4 分 -1 4 ⎩ ， ⎣ ⎦ 设l 上一点 P (x ，y ) 在 A 的作用下得到直线l ' 上一点 P '(x '，y ') ， ⎡ 1 2⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x '⎤ ⎧x ' = x + 2y ， 则 ⎢-1 4⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y '⎥ ，即 ⎨ y ' = -x + 4y⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩⎧x = 1 (2x ' - y ')， 所以 ⎪ 3 1……………………………………………………………………………8 分 ⎪ y = (x ' + y ')， ⎩ 代入直线l : 2x - y - 3 = 0 ，得7x ' - 5 y ' -18 = 0 ，即直线l ' 的方程为7x - 5 y -18 = 0 .……………………………………………………………10 分 21 B ．由ρcos (θ- π )= 2 ，得 2 ρcos θ+ 2 ρsin θ= 2 ，4 2 2所以直线l 直角坐标方程为 x + y - 2 = 0 ． ………………………………………………4 分由ρ= 4sin θ- 2 cos θ，得ρ2 = 4ρsin θ- 2ρcos θ，所以圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 + 2x - 4y = 0 ，即(x + 1)2+ ( y - 2)2= 5 ．……………8 分所以圆心到直线的距离 d == 2 -2 < ，2所以直线l 与圆C 相交． ……………………………………………………………………10 分 21 C ．因为 x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以由柯西不等式得， ⎡( y + 2z ) + (z + 2x )+ (x + 2 y )⎤ ⎛ x 2 + y+ z 2⎫ + + 22 ≥ (x y z ) . …………………5 分⎣ ⎦ y + 2z z + 2x x + 2 y ⎪又因为 x + y + z = 1，x2y2z2(x + y + z )21所以y + 2z + z + 2x + x + 2 y ≥ ( y + 2z ) + (z + 2x ) + (x + 2 y ) = 3 ，当且仅当y + 2z = z + 2x = x + 2 y时取等号．………………………………………………10 分 x y z22．（1）由 y 2 = 2x - 1 得，当 y ≥ 0 时， y = y ' =， ……………………………2 分曲线C 在点 A (3, 5) 处切线的斜率 k = 1，所以曲线C 在点 A (3, 5) 处的切线方程为 y - =1(x - 3) ，即 x - 5y + 2 = 0 ．………………………………………………………………………4 分 （2）由于直线l 的斜率一定存在，所以设过原点O 的直线l 的方程为 y = kx ，⎧ y = kx , 由⎨ y 2= 2x - 1, 2x - 1得k 2 x2 - 2x + 1 = 0 ，⎩n +1 ∑ ∑n +m2 k ⎧⎪4 - 4k 2 > 0,⎪设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x , y ) ， 则⎨k ≠ 0,⎪ 2 ………………………………6 分⎧x = x 1 + x 2 = 1 ,⎪x 1 + x 2 = k 2 ,⎪2 ⎪ 所以y = kx = 1 ,…………………………………………………………………8 分⎨⎪⎪0 < k 2< 1, ⎪⎩所以消去 k 得 y 2 = x (x > 1) ．所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y 2 = x (x > 1) ．…………………………………10 分23．（1）当 m = 1时，P (n ，1) = ∑ (-1)k C k 1 = 1 ∑n(-1)k C k +1 = 1 ，……………………………………………2 分 k =0n1 + k n + 1 k =0 n +1 n + 1 又Q (n ，1) = C 1 = n +1 ，显然 P (n ，1) ⋅ Q (n ，1) = 1 . ………………………………………………4 分P (n∑nk k m n -1 k k k -1 m n m （2） ，m ) = k =0 (-1) C n m + k = 1 + k =1(-1) (C n -1 + C n -1 ) m + k + (-1) m + kn -1= 1 +(-1)k C k m + ∑n(-1)k Ck -1 mk =1 n -1 m + k k =1 n -1m + k= P (n -1, m ) + ∑ k =1(-1)k C k -1 mn -1m + k= P (n -1, m ) +m nn k =0(-1)k C kmnm + k= P (n -1, m ) + mP (n , m )n即 P (n ，m ) = nm + nP (n -1，m ) ，……………………………………………………………………8 分由累乘，易求得P (n ，m ) = n !m !(n + m )! P (0，m ) = 1 n n +m又Q (n ，m ) = C n，所以 P (n ，m ) ⋅Q (n ，m ) =1 ．………………………………………………10 分 n n∑ C k ，。

高考填空题分项练1 三角函数与解三角形1．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx (ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝________. 答案 －12解析 T ＝2π|－ω|＝4π，∴|ω|＝12. 又ω<0，∴ω＝－12. 2.1－3tan 75°3＋tan 75°的值为________． 答案 －1解析 原式＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan (60°＋75°)＝1tan 135°＝－1tan 45°＝－1. 3．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝________. 答案 1＋6210解析 因为cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210. 4．若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )＝________.答案 ±22解析 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1， 所以A ＋B ＝k π＋34π，k ∈Z ，所以cos(A ＋B )＝±22. 5．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x <π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值为________． 答案22 解析 f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2×(－3)＋3π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 6．(2018·南通模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ<2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2 018)的值为________．答案 2解析 ∵34T ＝11－2＝9，∴T ＝12，ω＝π6， ∵当x ＝2时，π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又φ∈[0,2π)，∴φ＝π6， 又∵f (0)＝A sin π6＝1⇒A ＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6，∴f (2 018)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫336π＋π3＋π6＝2. 7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为________． 答案 －13解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2， ∴π4＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 8．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________. 答案 54 解析 由正弦定理，得sin A a ＝sin B b， 又∵a ＝52b ，A ＝2B ， ∴sin 2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54. 9．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1在区间(0，π)内的零点是________． 答案 7π12解析 函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的零点， 即方程2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1的解， 也就是方程cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12的解，∴x －π4＝2k π±π3(k ∈Z )， 即x ＝2k π＋7π12或x ＝2k π－π12(k ∈Z )， ∴在区间(0，π)内的零点是x ＝7π12. 10．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，将a ，b ，c 用“<”号连接起来为________．答案 a <c <b解析 a ＝12cos 6°－32sin 6° ＝sin 30°cos 6°－cos 30°·sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°1－tan 213°＝tan 26°， c ＝1－cos 50°2＝sin 225°＝sin 25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26°，0<cos 26°<1， ∴tan 26°>sin 26°.又∵当0°<x <90°时，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b .11．(2018·江苏省南通市通州区监测)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得到的图象关于原点对称，则φ的最小值为________． 答案 π12解析 因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)－π6， 所以2φ－π6＝k π(k ∈Z )， ∴φ＝π12＋k π2(k ∈Z )， 因为φ>0，所以φmin ＝π12.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案 539解析 根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 13．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________． 答案 2 2解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x， 将其代入上式，得 S △ABC ＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝ 128－(x 2－12)216. 由三角形三边关系，有⎩⎨⎧ 2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2， 故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.14．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ，若在区间(0，π)上存在3个不同的实数x ，使得f (x )＝1成立，则满足条件的正整数ω的值为________． 答案 3解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，设t ＝ωx ＋π3，那么当x ∈(0，π)时，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，ωπ＋π3，f (x )＝1可转化为方程2sin t ＝1，作出y ＝sin t 的图象(图略)， 可知要使在区间(0，π)上存在3个不同的实数x ，使得f (x )＝1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝12成立，需满足2π＋5π6<ωπ＋π3≤4π＋π6，解得52<ω≤236，又ω∈N *，从而ω＝3.。

(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5，n ＝1，－1，n≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，n ＝1，0，n≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 错误!·44t －5＋…－(－1)r C 错误!·44t －4－r ＋…－C 错误!·4， ∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n ≥4n n .(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ≥4. 显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C0n ＋C1n 2n ＋C2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋Cn n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C0n ＋C1n 2n ＋C2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n >4. 综上所述，当n ≥2时，a n ≥4n n .3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立， ∴a ≥12－x. 又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数， ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f(k)的解析式；(2)记S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，P n＝n2＋n－1(n∈N*)，试比较S n与P n的大小．解(1)∵log2x＋log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)，∴错误!解得2k－1≤x≤2k，∴f(k)＝2k－2k－1＋1＝2k－1＋1.(2)∵S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，∴S n－P n＝2n－n2.当n＝1时，S1－P1＝2－1＝1>0；当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，S n－P n>0.证明如下：①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n＝P n；当n＝3时，S n<P n.。

高考填空题分项练8 圆锥曲线1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．答案 4解析 2x 2－y 2＝8可变形为错误!－错误!＝1，则a 2＝4，a ＝2,2a ＝4。

故实轴长为4。

2．已知双曲线C :错误!－错误!＝1 （a 〉0，b >0)的焦距为10，点P (1，2）在C 的渐近线上，则C 的方程为__________．答案 错误!－错误!＝1解析 由题意,得双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，且c ＝5。

因为点P （1,2)在C 的渐近线上，所以b ＝2a ，所以a 2＝5，b 2＝20.所以C 的方程为错误!－错误!＝1.3．（2018·全国大联考江苏卷）过双曲线C :错误!－错误!＝1（b 〉0)的左焦点F 1作直线l 与双曲线C 的左支交于M ,N 两点．当l ⊥x 轴时，MN ＝3,则右焦点F 2到双曲线C 的渐近线的距离是________．答案 错误!解析 由题意，设双曲线C 的左焦点为F 1(－c ，0)(c >0)，则c 2＝b 2＋4.当l ⊥x 轴时，将直线l 的方程x ＝－c 代入双曲线方程,化简得y 2＝错误!,即y ＝±错误!，再由MN ＝b 2＝3，可得c ＝错误!，从而右焦点F 2（错误!，0)到双曲线C 的渐近线错误!x ±2y ＝0的距离d ＝错误!＝错误!.4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．答案错误!解析不妨设椭圆方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0),则有错误!即错误!①÷②得e＝错误!.5．已知椭圆错误!＋错误!＝1内有两点A（1,3），B（3，0),P为椭圆上一点，则PA＋PB的最大值为________．答案15解析由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B′,由椭圆的定义可知PB＝2a－PB′＝10－PB′，则PA＋PB＝10＋（PA－PB′)，则(PA－PB′)max＝AB′＝错误!＝5,据此可得PA＋PB的最大值为10＋5＝15。

(五)函数与导数(A)1．(2018·宿迁期末)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2a x ＋a 2(a >0，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)若存在x ∈[1,2]，使得4＋mf (x )－2x ＋1≥0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－21＋a 2＝0，可得a ＝2. 经检验a ＝2符合题意．(2)由(1)可得f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1， ∴函数f (x )在R 上单调递增，又2x ＋1>1，∴－2<－22x ＋1<0， ∴－2<2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x＋1<2. ∴函数f (x )的值域为(－2,2)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－12x ＋1>0. 由题意知，存在x ∈[1,2]，使得mf (x )＝2m ·2x －12x ＋1≥2x ＋1－4成立，即存在x ∈[1,2]，使得m ≥(2x ＋1)(2x －2)2x －1成立． 令t ＝2x －1(1≤t ≤3)，则有m ≥(t ＋2)(t －1)t ＝t －2t＋1， ∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2t ＋1min ＝0. ∴m ≥0.故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．2．已知函数f (x )＝a e x x＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e. (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1， ① 00e x a x ＋x 0>0， ②0e x a (x 0－1)＋x 20x 20＝0， ③ 由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ， 设h (x )＝－x 2e ，则h ′(x )＝x (x －2)e ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2. 又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x <a e≤－e ，∴a e x＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0. ∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*) 又H (x 0)＝0e xa (x 0－1)＋x 20＝0， ∴0e x a x 0＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．3．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求f (x 1)＋f (x 2)的取值范围；(3)若不等式f (x )≥ax －a 4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ＋54，故f (1)＝34， 且f ′(x )＝x －1＋1x，故f ′(1)＝1， 所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －34＝x －1， 即4x －4y －1＝0.(2)由f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，x >0， 可得f ′(x )＝ax －a ＋1x ＝ax 2－ax ＋1x， 因为函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，所以x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个正根，即ax 2－ax ＋1＝0的两个正根为x 1，x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4a >0，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >4，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a ，所以f (x 1)＋f (x 2)＝12ax 21－ax 1＋ln x 1＋54a ＋12ax 22－ax 2＋ln x 2＋54a ＝12a [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a (x 1＋x 2)＋ln(x 1x 2)＋52a ＝2a －ln a －1，令g (a )＝2a －ln a －1，a >4，故g ′(a )＝2－1a>0，g (a )在(4，＋∞)上单调递增， 所以g (a )>g (4)＝7－ln 4，故f (x 1)＋f (x 2)的取值范围是(7－ln 4，＋∞)．(3)由题意知，f (x )≥ax －a 4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立， 即2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ≥0对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立． 令h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ，x >1，则h ′(x )＝2x ＋2ax －4a ＝2·ax 2－2ax ＋1x， ①若a ＝0，当x >1时，h (x )＝2ln x >0，故a ＝0符合题意；②若a >0，(ⅰ)若4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1，则h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，h (x )>h (1)＝0，故0<a ≤1符合题意；(ⅱ)若4a 2－4a >0，即a >1，令h ′(x )＝0， 得x 1＝1－a 2－a a<1(舍去)， x 2＝1＋a 2－a a>1， 当x ∈(1，x 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，x 2)上单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(x 2，＋∞)上单调递增， 所以存在x ＝x 2>1，使得h (x 2)<h (1)＝0，与题意矛盾，所以a >1不符合题意．③若a <0，令h ′(x )＝0，得x 0＝1－a 2－a a ＝1＋ 1－1a>1. 当x ∈(1，x 0)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递减．首先证明：4－2a>x 0. 要证4－2a>x 0， 即要证4－2a >1－a 2－a a， 只要证2－3a >a 2－a ，因为a <0，所以(2－3a )2－(a 2－a )2＝8a 2－11a ＋4>0，故2－3a >a 2－a ，所以4－2a>x 0. 其次证明，当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立， 令t (x )＝ln x －x ＋32a ，x >1，则t ′(x )＝1x－1<0， 故t (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以t (x )<t (1)＝32a －1<0，则ln x －x ＋32a <0， 所以当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立， 所以当x >4－2a 时，h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a <2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a ＋ax 2－4ax ＋3a ， 即h (x )<ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2a <0，与题意矛盾，故a <0不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．。

(一)几何证明选讲1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值．解 连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ， 所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB )＝12(180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°.2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长．解 因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝233， 所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433.3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE .求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB .证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线．(2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE＝3，即CD ＝3DE .设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ， 在Rt△CDE 中，由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ， 由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ，CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ，则AE ＝2EB .4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ，求证：(1)PF FD ＝PDDC；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ， 则△BDF 是等腰直角三角形， 于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°， 故∠DPC ＝45°.又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ， 所以PF FD ＝PD DC.①(2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ， 知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FPDF .故由①得EP DE ＝PD DC，②由∠EPD ＝∠EDC ，结合②得，△EPD ∽△EDC ， 从而△EPD 也是等腰三角形．于是，∠PED ＝∠EPD ＝∠EDC ，所以PE ∥BC .(二)矩阵与变换1．(2018·南京模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001.若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程． 解 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201，设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，因为P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上， 所以x 0－y 0＋2＝0.①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 201 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y .②将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.2．已知曲线C ：y 2＝12x ，C 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程． 解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y .令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 4．(2018·扬州模拟)已知x ，y ∈R ，若点M (1,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35， 即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 132 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2.(三)坐标系与参数方程1．(2018·南京六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t(t 为参数)．求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 曲线C 的直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1， 直线l 的普通方程是x ＋2y －3＝0， 圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|2－3|12＋22＝55， 所以直线l 被曲线C 截得的弦长为 212－⎝⎛⎭⎪⎫552＝455. 2．(2018·江苏南京外国语学校月考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.若直线l 与圆C 有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围．解 圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0. 因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，直线l 与圆C 有两个不同的公共点，所以d ＝|m －2|2<2，解得2－22<m <2＋22，即实数m 的取值范围是(2－22，2＋22)．3．(2018·江苏南京师大附中模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2.直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x .圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1.所以AB ＝2.4．(2018·江苏泰州中学月考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点． (1)求点P 的直角坐标；(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程； (3)求△PAB 的面枳S ，解 (1)设点P 的直角坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos π2＝0，y ＝2sin π2＝2，∴点P 的直角坐标为()0，2.(2)将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρcos θ－ρsin θ＝1， 得x －y ＝1，∴曲线C 的直角坐标方程为x －y －1＝0.消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α 中的参数α，得(x －1)2＋y 2＝1，∴曲线D 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(3)因为直线C ：x －y －1＝0过圆D ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心， ∴AB 为圆D 的直径， ∴AB ＝2.又点P (0,2)到直线C ：x －y －1＝0的距离为d ＝32＝322，∴S △PAB ＝12AB ·d ＝12×2×322＝322.(四)不等式选讲1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝2，求证：x ＋y ≥2xy . 证明 ∵x >0，y >0，∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2， 即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0. ∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1. ∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立， 当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y ≥2xy .2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27. 证明 由算术－几何平均不等式可得 2＋a ＝1＋1＋a ≥33a ， 2＋b ＝1＋1＋b ≥33b ， 2＋c ＝1＋1＋c ≥33c . 不等式两边分别相乘可得，(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥33a ×33b ×33c ＝273abc ＝27， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b ＝m ，求1a ＋1b的最小值，并求出此时a ，b 的值．解 依题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －5，x <－3，x ＋13，－3≤x ≤2，5x ＋5，x >2，当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，故1a ＋1b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ()4a ＋25b ＝110⎝⎛⎭⎪⎫29＋25b a ＋4a b ≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋225b a ·4a b ＝4910， 当且仅当25b a ＝4ab时等号成立，此时a ＝57，b ＝27.4．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解 ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立， ∴f (x )min >a 2－3，又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |>a 2－3， 即|a |2－2|a |－3<0， 解得－1<|a |<3. ∴－3<a <3.(五)空间向量与立体几何1．(2018·盐城模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥平面AMN ； (2)求二面角B －AN －M 的余弦值．(1)证明 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．又∵PA ＝AD ＝2， ∴P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)．∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)． ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0， ∴PC ⊥AM .设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，求得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. ∵PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴AN ⊥PC .又AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂平面AMN ， ∴PC ⊥平面AMN .(2)解 设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0，令z ＝－1，∴n ＝(0,2，－1)．∵PC →＝(2,2，－2)是平面AMN 的法向量， ∴cos〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n ||PC →|＝155.由图知二面角B －AN －M 为钝二面角， ∴二面角B －AN －M 的余弦值为－155. 2.如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)，∴co s 〈EB →，AC →〉＝－25，又异面直线所成的角为锐角或直角， ∴异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值的绝对值为23，∴sin θ＝53， 即二面角A －BE －C 的正弦值为53. 3.三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)． 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265，sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.4.如图，在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小． 解 连结OB ，由题意得OS ，OB ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.所以O (0,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，S (0,0,3)，B (3,0,0)．(1)设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，连结OD ，则OD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0,3λ)， 所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故当SD DB ＝12时，CD ⊥AB .(2)平面ACB 的法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，得⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取z ＝1，则n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋3×0＋1×112＋12＋(3)2＝15， 显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为55. (六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作抛物线的两条弦AB ，CD ，设直线AC 与BD 的交点为P ，直线AC ，BD 分别与y 轴交于M ，N 两点．(1)求证：点P 恒在抛物线的准线上； (2)求证：四边形PMFN 是平行四边形．证明 (1)由题意知F (1,0)，不妨设A (a 2,2a )，D (b 2,2b )，a >0，b <0，B (x B ，y B )． 直线AB 的方程为2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，得ay 2＋2(1－a 2)y －4a ＝0， 由2ay B ＝－4，得y B ＝－2a，代入抛物线方程y 2＝4x ， 得x B ＝1a 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，－2a ，同理得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2，－2b ，则直线AC 的方程为y ＝2b ab －1x －2aab －1， 直线BD 的方程为y ＝2a ab －1x －2bab －1， 则M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a ab －1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b ab －1. 联立直线AC ，BD 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2b ab －1x －2aab －1，y ＝2a ab －1x －2bab －1，可得点P 的横坐标为定值－1， 即点P 恒在抛物线的准线上．(2)因为k FN ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b ab －11－0＝2b ab －1＝k AC ，k FM ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ab －11－0＝2a ab －1＝k BD ，所以四边形PMFN 是平行四边形．2.如图，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1,2＝4k ±16k 2－162，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0,1)．3.如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使PQ →＝12QM →，且PR →·PM →＝0.(1)求动点M 的轨迹C 1；(2)圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点(0,1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点(从左到右)，交C 2于B ，C 两点(从左到右)，求证：AB →·CD →为定值．(1)解 方法一 设M (x ，y )，P (x 1,0)，Q (0，y 2)， 则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R (0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1(x －x 1)＋(－3)y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简得x 2＝4y .所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． 方法二 设M (x ，y )．由PQ →＝12QM →，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y . 所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(2)证明 由题意，得AB →·CD →＝AB ·CD ，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F . 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1. 同理CD ＝y 2.直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1,2＝4k ±16k 2＋162，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4， 所以AB →·CD →＝AB ·CD ＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－4k 2＋4k 2＋1＝1， 所以AB →·CD →为定值1.4.如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，T (－1,0)，当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)， 此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾， 所以可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1,2＝2k 2＋4±(2k 2＋4)2－4k 42k 2， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①故y 21y 22＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理，得k 2＝4，所以k ＝±2. (2)因为y 1>0， 所以tan∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1， 当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时取等号，因为点A 在第一象限， 所以∠ATF 的最大值为π4.(七)计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中， 令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导， 得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160.2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项． (1)若d ＝3，试判断⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．(1)解 因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝3n －2. 假设⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，T r ＋1＝C r mx m －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝32C m r rm x -，于是m －32r ＝0.设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝32r ，即r ＝2n －43，这与r ∈N 矛盾．所以假设不成立，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中不含常数项．(2)证明 由题设知a n ＝1＋(n －1)d ， 设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －32r ＝0的r 无自然数解，即r ＝2d 3(n －1)＋23∉N .当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝2d 3(n －1)＋23＝2k (n －1)＋23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．3．已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式． (1)解 因为T r ＋1＝C r n2n －rx 2r ，当r2＝3时，r ＝6，故x 3项的系数为C 6n 2n －6＝14，解得n ＝7.(2)证明 由二项式定理可知， (2＋3)n＝C 0n 2n(3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝p ＋3q ＝p 2＋3q 2，p ，q ∈N *， 而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n＝1， ∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1，∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *. 4．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1)求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2)化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn . 解 (1)①k C kn －n C k －1n －1＝k ×n ！k ！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝0. ②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1 ＝k 2×n ！k ！(n －k )！－n (n －1)×(n －2)！(k －2)！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －2)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －2)！(n －k )！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0.(2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C kn ＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C kn ＝[n (n －1)C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C kn ＝n (n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C kn .故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n (n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n (C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn )＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n－1－n )＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(八)随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2n C 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23，P (X ＝2)＝3×69×8＝14， P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114，P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以取球次数X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎪⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤54.又0≤P 2≤1，∴34≤P 2≤1.3．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个． (1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)． 解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3， 所以P (A )＝31－(7＋3)31＝2131.(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 则P (ξ＝0)＝C 2C 15＋C 2C 25＋C 2C 35＋C 2C 45C 231＝110465＝2293， P (ξ＝1)＝C 15C 25＋C 25C 35＋C 35C 45＋C 45C 55C 231＝205465＝4193， P (ξ＝2)＝C 15C 35＋C 25C 45＋C 35C 55C 231＝110465＝2293，P (ξ＝3)＝C 15C 45＋C 25C 55C 231＝35465＝793， P (ξ＝4)＝C 15C 55C 231＝5465＝193，所以ξ的概率分布为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×2293＋1×4193＋2×2293＋3×793＋4×193＝11093.4．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝6C 37＝635.(2)由题意知，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个． 因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. (九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)． (1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数． (1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n . ∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1. 下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立； 设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ， ∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)， 其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r＋…－C 4t －54(t －1)·4，∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立． 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明 原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n n≥4.显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4.综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n.3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数． (1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1. (1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数， ∴f ′(x )＝－12－x ＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，∴a ≥12－x.又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数，∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1. 当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立． 假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ， ∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1， 即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立． 下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0， ∴a n <a n ＋1. 综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n ) ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0； 当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0； 当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0； 当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0； 当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0； 当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0. 猜想：当n ≥5时，S n －P n >0. 证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0.②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时，S k －P k ＝2k －k 2>0. 当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2＝2·2k－k 2－2k －1＝2(2k－k 2)＋k 2－2k －1 ＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1 ＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0. ∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立．由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立，即S n >P n 成立．由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ；当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ；当n ＝3时，S n <P n .。

高考填空题仿真练41．(2018·南京模拟)集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－4＝0}，则A∪B＝________.答案{－3，－2,2}解析由题意得A＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3,2}，B＝{x|(x＋2)(x－2)＝0}＝{－2,2}，所以A∪B＝{－3，－2,2}．2．已知复数z＝(1＋i)(2－i)(i为虚数单位)，则z＝________.答案3－i解析∵z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，∴z＝3－i.3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示.则7个剩余分数的方差为________．36答案787＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91 解析由题意知＝91，7解得x＝4.1所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－791)2]11 36＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.7 74．(2018·江苏高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S为________．1答案72解析初始条件，i＝1，S＝；74 第一次循环，S＝，i＝2；71 第二次循环，S＝，i＝3；72 第三次循环，S＝，i＝4；74 第四次循环，S＝，i＝5；71 1第五次循环，S＝，此时i＝5<5不成立，输出S＝.7 71(1＋＋的定义域为________．5．函数y＝lnx) 1－x2答案(0,1]解析根据题意可知，Error!⇒Error!⇒0<x≤1，故定义域为(0,1]．6．现有红桃J，Q，K和黑桃J，Q，K共6张牌，从这6张牌中随机抽取2张，则抽取的2张牌中1张为红桃，1张为黑桃的概率为________．3答案5解析红桃J，Q，K分别记为J1，Q1，K1，黑桃J，Q，K分别记为J2，Q2，K2.由题意知，从6 张牌中随机抽取2张的基本事件共有15种，即(J1，Q1)，(J1，K1)，(J1，J2)，(J1，Q2)，(J1，K2)，(Q1，K1)，(Q1，J2)，(Q1，Q2)，(Q1，K2)，(K1，J2)，(K1，Q2)，(K1，K2)，(J2，Q2)，(J2，K2)，(Q2，K2)，其中抽取的2张牌中1张为红桃，1张为黑桃的基本事件共有9种，即(J1，J2)，(J1，Q2)，(J1，K2)，(Q1，J2)，(Q1，Q2)，(Q1，K2)，(K1，J2)，(K1，Q2)，(K1，K2)，29 3 故所求概率为 ＝ . 15 51 π 7．已知 sin 2α＝ ，则 cos 2＝________. 3(α－ 4) 2 答案 3π1＋cos (2α－ 2) π解析 cos 2(α－ 4)＝21＋sin 2α 2 ＝ ＝ . 2 38．已知圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线 x ＋y ＝0所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．答案 相交解析 圆的标准方程为 M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，则圆心为(0，a )，半径 R ＝a ，a 圆心到直线 x ＋y ＝0的距离 d ＝ ，2∵圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线 x ＋y ＝0所得线段的长度是 2 2，a 2 ∴2 a 2－ ＝2 2，即 a 2＝4，a ＝2(舍负)，2则圆心为 M (0,2)，半径 R ＝2，圆 N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为 N (1,1)，半径 r ＝1，则 MN ＝ 2，∵R ＋r ＝3，R －r ＝1，∴R －r <MN <R ＋r ，即两个圆相交．x 2 y 2 9.如图，若 C 是椭圆 ＋ ＝1(a >b >0)上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点和上 a 2 b 2顶点，F 是椭圆的右焦点，且 OC ＝OF ，AB ∥OC ，则该椭圆的离心率为________．答案 63解析 方法一 设 C (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则Error!解得Error!a 2c 2b 2c 2a 2＋b 2 a 2＋b 2 代入椭圆方程得 ＋ ＝1， a 2 b 23整理得2c2＝a2＋b2.又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2，2 6∴e2＝，又0<e<1，故e＝.3 3方法二过点C作x轴的垂线，垂足为D，则△AOB∽△ODC，故可设Error!其中k>0，由题意得Error!6又a2＝b2＋c2，故Error!故e＝.31 x＋y10．若正实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋的最小值是________．x＋y z答案 3解析由题意知，x，y，z>0，且满足x＋y＋z＝1.1 x＋y x＋y＋z x＋y z x＋y则＋＝＋＝1＋＋x＋y z x＋y z x＋y zz x＋y≥2·＋1＝3，x＋y z1 当且仅当z＝x＋y＝时，取等号．21 x＋y∴＋的最小值是3.x＋y z11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2＝b2＋c2－bc，D是BC边上任意→→→→→一点(D与B，C不重合)，且|BD|2＋|AB|2－|AD|2＝BD·BC，则角C＝________.π答案3b2＋c2－a2 1解析由余弦定理可得cos∠BAC＝＝，2bc 2π∵∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC＝，3→→→→→由|BD|2＋|AB|2－|AD|2＝BD·BC可得，→→→→→→→→→2BD·BA＝BD·BC，2BD·BA＝BD·(BA＋AC)，→→→即DB·(AB＋AC)＝0，π∴△ABC为正三角形，∴C＝.31 t 12．若曲线y＝a ln x与曲线y＝x2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则＝2e s4________.e答案2ea解析曲线y＝a ln x的导数为y′＝，xa在P(s，t)处的斜率为k＝.s1 x曲线y＝x2的导数为y′＝，2e es在P(s，t)处的斜率为k＝.e1 a s由曲线y＝a ln x(a≠0)与曲线y＝x2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，可得＝，2e s e s2并且t＝＝a ln s，2e1得ln s＝，∴s2＝e.21 t e则a＝1，∴t＝，s＝e，即＝.2 s2e13．已知实数x，y满足x＋2y＋3＝xy，且对任意的实数x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．21 5答案(－∞，10 ]解析因为x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，1所以x＋y－3>0，所以不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0可转化为(x＋y－3)＋x＋y－3 ≥a.1令t＝x＋y－3，t>0，则f(t)＝t＋≥a，且函数f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增．t方法一等式x＋2y＋3＝xy可化为(x－2)(y－1)＝5，令m＝x－2，n＝y－1，则m>0，n>0，且mn＝5，则t＝m＋n≥2mn＝2 5，当且仅当m＝n，即x＝y＋1，即x＝2＋5，y＝1＋5时等号成立，1 21 5故f(t)≥f(2 5)＝2 5＋＝，2 51021 5所以a≤.105方法二x＋2y＋3＝xy可化为y＝1＋(x>2)，x－255故直线x＋y－3－t＝0与函数y＝1＋(x>2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，x－2－5此时y′＝＝－1，得x＝2＋5，y＝1＋5，此时，t＝2 5，x－2 2数形结合可知当t≥25时，符合题意，1 21 5故f(t)≥f(2 5)＝2 5＋＝，2 5 1021 5所以a≤.1014．已知两个正数a，b可按规则c＝ab＋a＋b扩充为一个新数c，在a，b，c三数中取两个较大的数，按上规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作．若p>q>0，经过六次操作后扩充所得的数为(q＋1)m(p＋1)n－1(m，n为正整数)，则m＋n的值为________．答案21解析因为p>q>0，所以第一次得c1＝pq＋p＋q＝(q＋1)(p＋1)－1，因为c1>p>q，所以第二次得c2＝(c1＋1)(p＋1)－1＝(pq＋p＋q)p＋p＋(pq＋p＋q)＝(p＋1)2(q＋1)－1，所得新数大于任意旧数，所以第三次得c3＝(c2＋1)(c1＋1)－1＝(p＋1)3(q＋1)2－1，第四次得c4＝(c3＋1)(c2＋1)－1＝(p＋1)5(q＋1)3－1，…，故经过六次扩充，所得数为(p＋1)13(q＋1)8－1，∴m＝8，n＝13，∴m＋n＝21.6。