2012文科数学小题狂练十

2012 年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分50 分）1．（5 分）（ 2012?湖北）已知会合A{ x| x2﹣ 3x+2=0，x∈ R } ，B={ x| 0＜x＜5，x ∈N } ，则知足条件 A? C? B 的会合 C 的个数为（）A．1B．2C．3D．4【剖析】先求出会合 A， B 由 A? C? B 可得知足条件的会合 C 有{ 1， 2， } ， { 1，2，3} ，{ 1，2，4} ，{ 1，2，3，4} ，可求【解答】解：由题意可得， A={ 1，2} ， B={ 1， 2， 3， 4} ，∵A? C? B，∴知足条件的会合 C 有{ 1，2} ，{ 1，2，3} ， { 1，2，4} ，{ 1，2，3，4} 共 4 个，应选： D．2．（5 分）（2012?湖北）容量为 20 的样本数据，分组后的频数以下表分组[ 10，20） [ 20，30） [ 30， 40） [ 40，50） [ 50，60） [ 60， 70）频数234542则样本数据落在区间 [ 10，40]的频次为（）A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65【剖析】先求出样本数据落在区间[ 10，40] 频数，而后利用频次等于频数除以样本容量求出频次即可．【解答】解：由频次散布表知：样本在 [ 10， 40] 上的频数为 2+3+4=9，故样本在 [ 10，40] 上的频次为 9÷ 20=0.45．应选： B．3．（ 5 分）（2012?湖北）函数（f x）=xcos2x在区间 [ 0，2π] 上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5【剖析】考虑到函数y=cos2x 的零点必定也是函数f（x）的零点，故在区间[ 0，2π] 上 y=cos2x的零点有 4 个．函数 y=x的零点有 0，故在区间 [ 0，2π] 上y=xcos2x 的零点有 5 个．【解答】解：∵ y=cos2x在[ 0，2π] 上有 4 个零点分别为，，，函数 y=x 的零点有 0∴函数 f（x）=xcos2x在区间 [ 0，2π] 上有 5 个零点．分别为 0，，，，应选： D．4（．5 分）（2012?湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否认是（）A．随意一个有理数，它的平方是有理数B．随意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【剖析】依据特称命题“? x∈A，p（A）”的否认是“? x∈A，非 p（A）”，联合已知中命题，即可获得答案．【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题而特称命题的否认是全称命题，则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否认是随意一个无理数，它的平方不是有理数应选： B．5．（5 分）（2012?湖北）过点 P（1， 1）的直线，将圆形地区 { （x，y）| x2+y2≤4} 分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A．x+y﹣2=0B．y﹣ 1=0C．x﹣y=0D．x+3y﹣4=0【剖析】法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积=2α，要求面积差的最大值，即求α的最小值，依据直线与圆订交的性质可知，只要当 OP⊥AB 时，α最小，可求．法二：要使直线将圆形地区分红两部分的面积之差最大，一定使过点 P 的圆的弦长达到最小，因此需该直线与直线OP 垂直即可．由此能求出直线的方程．【解答】解法一：设过点P（1，1）的直线与圆分别交于点A，B，且圆被 AB 所分的两部分的面积分别为S1，S2且 S1≤S2劣弧所对的圆心角∠ AOB=α，则﹣ S△AOB=2α﹣S△AOB，S2=4π﹣ 2α+S△AOB（0＜α≤π）∴要求面积差的最大值，即求α的最小值，依据直线与圆订交的性质可知，只需当 OP⊥ AB时，α最小此时 K AB=﹣1，直线 AB 的方程为 y﹣1=﹣（ x﹣1）即 x+y﹣ 2=0应选 A解法二：要使直线将圆形地区分红两部分的面积之差最大，一定使过点 P 的圆的弦长达到最小，因此需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点 P（1，1），则 K OP=1，故所求直线的斜率为﹣ 1．又所求直线过点P（1，1），由点斜式得，所求直线的方程为 y﹣1=﹣（ x﹣ 1），即． x+y﹣2=0应选： A．6．（5 分）（2012?湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数 y=f（x）的图象如图所示，则 y=﹣f（2﹣ x）的图象为（）A．B．C．D．【剖析】由（ 0，2）上的函数 y=f（x）的图象可求 f（x），从而可求 y=﹣ f（2﹣x），依据一次函数的性质，联合选项可可判断，＜【解答】解：由（ 0， 2）上的函数 y=f（x）的图象可知 f（ x） =当 0＜2﹣x＜ 1 即 1＜ x＜2 时， f（ 2﹣ x）=2﹣x当1≤2﹣x＜ 2 即 0＜ x≤1 时， f（ 2﹣ x）=1，＜∴ y=﹣f（ 2﹣ x）=，依据一次函数的性质，联合选项可知，选项，＜＜B正确应选： B．7．（5 分）（2012?湖北）定义在（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞）上的函数 f（ x），假如对于随意给定的等比数列 { a n} ，{ f（a n）} 还是等比数列，则称 f（ x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞）上的以下函数：① f（x）=x2；② f（ x）=2x；③ f（x） =；④ f （x）=ln| x|．则此中是“保等比数列函数”的f （x）的序为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【剖析】依据新定义，联合等比数列性质，一一加以判断，即可获得结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（ a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（ a n+1），故正确；④ f（a n） f（a n+2） =ln| a n| ln| a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；应选： C．8．（5 分）（2012?湖北）设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且 A＞B＞ C，3b=20acosA，则 sinA：sinB：sinC 为（）A．4：3：2B．5：6：7C．5：4：3D．6：5：4【剖析】由题意可得三边即a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得cosA=，再由 3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，依据sinA：sinB：sinC=a： b： c，求得结果．【解答】解：因为 a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞ C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得cosA===，又 3b=20acosA，可得cosA==．故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得sinA： sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣ 1）：（ a﹣ 2） =6：5：4，应选： D．+，则“abc=1是”“9．（5 分）（2012?湖北）设 a，b，c，∈R”的（）A．充足条件但不是必需条件B．必需条件但不是充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要的条件【剖析】由 abc=1，推出，代入不等式的左侧，证明不等式成立．利用特别值判断不等式成立，推不出abc=1，获得结果．【解答】解：因为 abc=1，因此，则==≤ a+b+c．当 a=3，b=2，c=1 时，明显成立，可是abc=6≠1，因此设 a， b， c，∈ R+，则“abc=1是”“”的充足条件但不是必需条件．应选： A．10．（ 5 分）（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB内随机取一点，则此点取自暗影部分的概率是（）A．B．C．D．2【剖析】求出暗影部分的面积即可，连结OC，把下边的暗影部分均匀分红了部分，而后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么暗影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形 OAB的面积为，连结 OC，把下边的暗影部分均匀分红了 2 部分，而后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则暗影部分的面积为：﹣，∴此点取自暗影部分的概率是．应选： C．二、填空题：本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题的地点上答错地点，书写不清，含糊其词均不得分．11．（5 分）（2012?湖北）一支田径运动队有男运动员56 人，女运动员 42 人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8 人，则抽取的女运动员有6人．【剖析】设出抽到女运动员的人数，依据分层抽样的特点列出方程可求出抽到女运动员的人数．【解答】解：设抽到女运动员的人数为n 则=解得 n=6故答案为： 612．（ 5 分）（2012?湖北）若=a+bi（ a， b 为实数， i 为虚数单位），则 a+b= 3．【剖析】由==，知=a+bi，故，因此，由此能求出 a+b．【解答】解：===，∵=a+bi，∴，∴，解得 a=0， b=3，∴a+b=3．故答案为： 3．13．（ 5 分）（2012?湖北）已知向量=（1，0）， =（1，1），则（Ⅰ）与 2 + 同向的单位向量的坐标表示为（，）；（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为．【剖析】（ I）由已知可求 2 + ，从而可求 | 2 + | ，而与 2 + 同向的单位向量，再利用坐标表示即可（ II）设﹣3与向量夹角θ，由已知可求，|，，||，代入向量的夹角公式 cosθ=【解答】解：（I）∵=（ 1，0），可求=（1，1）∴2 + =（2，0）+（1，1）=（3，1），| 2 + | =∴与 2 + 同向的单位向量的坐标表示=，（II）设﹣3 与向量夹角θ∵=（1，0）， =（1，1），∴，，，，∴﹣，| =，|| =1= 2 |则 cosθ===故答案为：，；14．（ 5 分）（2012?湖北）若变量 x，y 知足拘束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是2．【剖析】先作出不等式组表示的平面地区，因为z=2x+3y，则可得y=，则表示直线 2x+3y﹣z=0在 y 轴上的截距，当 z 最小时，截距最小，联合图形可求 z 的最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，以下图作直线 L：2x+3y=0，因为 z=2x+3y，则可得 y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在 y 轴上的截距，当z 最小时，截距最小联合图形可知，当直线 2x+3y ﹣z=0 平移到点 B 时， z 最小由可得 B （1，0），此时 Z=2故答案为： 215．（ 5 分）（2012?湖北）已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为 12π ．【剖析】由题意三视图可知， 几何体是有 3 个圆柱体构成的几何体， 利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为 1 的圆柱与一个底面半径为 1，高为 4 的圆柱构成的几何体， 因此几何体的条件为 V=2×22π×1+12π×π．4=12故答案为： 12π．16．（ 5 分）（2012?湖北）如所示的程序框，运转相的程序，出的果 s= 9 ．【剖析】用列法，通循程直接得出S与 n 的，获得 n=3 退出循，即可．【解答】解：循前， S=1， a=3，第 1 次判断后循， n=2，s=4，a=5，第 2 次判断并循 n=3，s=9， a=7，第 3 次判断退出循，出S=9．故答案： 9．17．（ 5 分）（2012?湖北）古希腊达哥拉斯学派的数学家常在沙上边画点或用小石子表示数．他研究如所示的三角形数：将三角形数 1，3，6，10，⋯数列 { a n} ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的序成一个新数列{ b n} ，能够推：（Ⅰ） b2012是数列 { a n} 中的第5030 ；（Ⅱ） b2k﹣1=．（用k表示）【剖析】（Ⅰ）由条件及可得出a n+1=a n+（n+1），由此推式能够得出数列{ a n} 的通， a n= n（n+1），由此可列出三角形数 1，3，6，10，15，21，28， 36，45，55， 66，78，91，105， 120，⋯，从而可出可被 5 整除的三角形数每五个数中出两个，，的后两个数可被 5 整除，由此律即可求出即每五个数分一b2012在数列 { a n} 中的地点；（ II）由（ I）中的即可得出b2k﹣1═（ 5k 1）（5k 1+1） =．【解答】解：（I）由条件能够出a n+1=a n+（ n+1），故 a n=（a n a n﹣1）+（ a n ﹣1a n﹣ 2）+⋯+（a2 a1）+a1=n+（n 1）+⋯+2+1= n（n+1）由此知，三角数挨次1，3，6，10，15，21，28，36，45， 55，66，78，91，105，120，⋯由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出两个，即每五个数分一，的后两个数可被 5 整除，因为 b2012是第 2012 个可被 5 整除的数，故它出在数列{ a n } 按五个一段分的第1006 的最后一个数，由此知， b2012是数列 { a n} 中的第 1006×5=5030 个数故答案 5030（II）因为 2k 1 是奇数，由（ I）知，第 2k 1 个被 5 整除的数出在第 k 倒数第二个，故它是数列 { a n} 中的第 k× 5 1=5k 1 ，因此 b2k﹣1═（ 5k 1）（5k 1+1）=故答案三、解答：本大共 5 小，共 65 分．解答写出文字明、明程或演算步．18．（ 12 分）（ 2012?湖北）函数 f （x） =sin2ωx+2sin ω x?cos ωx cos2ωx+λ（x ∈R）的象对于直x=π 称，此中ω，λ 常数，且ω∈（， 1）．（ 1）求函数 f（ x）的最小正周期；（ 2）若y=f（x）的象点，，求函数f（x）的域．【剖析】（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin （ωx+φ） +k 型函数，再利用函数的对称性和ω 的范围，计算ω 的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（ 2）先将已知点的坐标代入函数分析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f （x）的值域．【解答】解： f（x） =sin2ωxωx?cos ωx﹣2ωxλ+2 sin cos += sin2 ωx﹣cos2 ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象对于直线x=π对称，∴ 2πω﹣ = +kπ， k∈z∴ω=+ ，又ω∈（，1）令 k=1 时，ω=切合要求∴函数 f（x）的最小正周期为=（2）∵ f（） =0∴2sin（2× × ﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（ x﹣）﹣故函数 f（x）的取值范围为 [ ﹣2﹣，2﹣]19．（ 12 分）（2012?湖北）某个实心零零件的形状是以下图的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．（ 1）证明：直线BD⊥平面11ACC；2A2（2）现需要对该零零件表面进行防腐办理，已知 AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工办理费为 0.20 元，需加工办理费多少元？【剖析】（1）依题意易证AC⊥B1D1， AA2⊥B1D1，由线面垂直的判断定理可证直线 B1D1⊥平面 ACC2A2；（2）需计算上边四棱柱 ABCD﹣ A2B2C2D2的表面积（除掉下底面的面积） S1，四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD的表面积（除掉下底面的面积） S2即可．【解答】解：（1）∵四棱柱 ABCD﹣ A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB， AA2⊥AD，又 AB∩AD=A，∴AA2⊥平面 ABCD．连结 BD，∵BD? 平面 ABCD，∴AA2⊥BD，又底面 ABCD是正方形，∴AC⊥BD，依据棱台的定义可知， BD 与 B1D1共面，又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，且平面 BB1D1D∩平面 ABCD=BD，平面 BB1D1D∩平面 A1B1C1D1=B1D1，∴B1D1∥BD，于是由 AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得 AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又 AA2∩AC=A，∴B1D1⊥平面 ACC2A2；（2）∵四棱柱 ABCD﹣A2B2 C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，∴ S1=S四棱柱下底面 +S四棱柱侧面=+4AB?AA2=102+4×10×30=1300（cm2）又∵四棱台 A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，∴S2=S四棱柱下底面 +S四棱台侧面=+4×（AB+A1 1）?h等腰梯形的高=202+4×（10+20）?=1120（cm2），于是心零零件的表面S=S+S =1300+1120=2420（ cm2），1 2故所需加工理0.2S=0.2×2420=484 元．20．（13 分）（ 2012?湖北）已知等差数列 { a n} 前三的和 3，前三的8．（1）求等差数列 { a n } 的通公式；（2）若 a2， a3，a1成等比数列，求数列 {| a n|} 的前 n 和．【剖析】（I）等差数列的公差d，由意可得，，解方程可求 a1，d，而可求通（ II）由（I）的通可求足条件 a2，a3，a1成等比的通 a n，n| =| 3n=3n 7| a，，，依据等差数列的乞降公式可求7| =，【解答】解：（I）等差数列的公差 d， a2=a1+d， a3=a1+2d 由意可得，解得或由等差数列的通公式可得，a n=2 3（n 1）= 3n+5 或 a n= 4+3（ n 1）=3n 7（ II）当 a n= 3n+5 ， a2，a3， a1分 1， 4，2 不可等比当 a n=3n 7 ， a2，a3， a1分 1，2， 4 成等比数列，足条件，，故 | a n| =| 3n7| =，数列 {| a n|} 的前 n 和 S n当 n=1 ， S1=4，当 n=2 ， S2=5当 n≥3 ， S n=| a1|+| a2|+ ⋯+| a n | =5+（ 3× 3 7） +（3×4 7）+⋯+（3n 7）=5+=，当n=2，足此式，综上可得，21．（ 14 分）（2012?湖北）设 A 是单位圆 x2+y2=1 上的随意一点， l 是过点 A 与x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且知足丨 DM 丨=m 丨 DA 丨（ m＞ 0，且 m≠ 1）．当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C．（I）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为什么种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点，此中 P 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，能否存在 m ，使得对随意的 k＞0，都有 PQ⊥PH？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明原因．【剖析】（I）设 M（ x，y），A（x0，y0），依据丨 DM 丨=m 丨 DA 丨，确立坐标之间的关系 x0=x，| y0| = | y| ，利用点 A 在圆上运动即得所求曲线 C 的方程；根据 m∈（ 0，1）∪（ 1，+∞），分类议论，可确立焦点坐标；（Ⅱ） ? x1∈（ 0，1），设 P（ x1，y1），H（x2，y2），则 Q（﹣ x1，﹣ y1），N（0，y1），利用 P，H 两点在椭圆 C 上，可得，从而可得可得．利用 Q，N，H 三点共线，及PQ⊥ PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图 1，设 M （x，y），A（x0，y0）∵丨 DM 丨 =m 丨 DA 丨，∴ x=x0，| y| =m| y0|∴ x0，0| = | y| ①=x| y∵点 A 在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线 C 的方程为＞，∵ m∈（ 0，1）∪（ 1， +∞），∴ 0＜ m＜1 时，曲线 C是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（，），，m＞ 1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（，），，（Ⅱ）如图 2、3，? x1∈（ 0，1），设 P（x1， y1）， H（ x2，y2），则 Q（﹣ x1，﹣y1），N（0，y1），∵ P， H 两点在椭圆 C 上，∴①﹣②可得③∵ Q，N，H 三点共线，∴ k QN=k QH，∴∴k PQ?k PH=∵PQ⊥PH，∴ k PQ?k PH=﹣1∴∵ m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对随意k＞0，都有PQ⊥PH22．（ 14 分）（ 2012?湖北）设函数f （x）=ax n（ 1﹣ x）+b（x＞0）， n 为正整数，a，b 为常数，曲线 y=f（x）在（ 1， f（1））处的切线方程为 x+y=1（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求函数 f （x）的最大值；（Ⅲ）证明： f（x）＜．【剖析】（Ⅰ）由题意曲线y=f（ x）在（ 1，f（ 1））处的切线方程为x+y=1，故可依据导数的几何意义与切点处的函数值成立对于参数的方程求出两参数的值；n n ﹣1（﹣x），利用导数（Ⅱ）因为 f （x）=x（1﹣x），可求 f ′（x）=（n+1） x研究函数的单一性，即可求出函数的最大值；（Ⅲ）联合（Ⅱ），欲证（f x）＜．因为函数（f x）的最大值（f）（=n﹣））（1=，故此不等式证明问题可转变为证明＜，对此不等式两边求以 e 为底的对数发现，可结构函数φ（t）=lnt﹣1+，借助函数的最值协助证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）因为 f（1）=b，由点（ 1， b）在 x+y=1 上，可得 1+b=1，即b=0．因为 f ′（x）=anx n﹣1﹣ a（n+1） x n，因此 f ′（1）=﹣a．又因为切线 x+y=1 的斜率为﹣ 1，因此﹣ a=﹣ 1，即 a=1，故 a=1，b=0．n n﹣ 1﹣x），（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f （x） =x （ 1﹣ x），则有 f ′（ x） =（ n+1）x （令 f ′（ x） =0，解得 x=在（ 0，）上，导数为正，故函数f（ x）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数 f （x）是减函数；故函数（f x）在（0，+∞）上的最大值为（f）=（n）=，）（1﹣（Ⅲ）令φ（t） =lnt﹣1+ ，则φ′（t）= ﹣=（t ＞0）在（ 0，1）上，φ′（t）＜ 0，故φ（t ）单一减；在（ 1，+∞），φ′（t ）＞ 0，故φ（t）单一增；故φ（t ）在（0，+∞）上的最小值为φ（1）=0，因此φ（t ）＞ 0（t ＞1）则 lnt ＞ 1﹣，（t ＞1），令 t=1+ ，得 ln（1+ ）＞，即ln（1+）n+1＞lne因此（ 1+ ）n+1＞e，即由（Ⅱ）知， f（x）≤＜＜，故所证不等式成立．。

2012年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}3．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]4．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣9．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离10．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y12．（5分）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．14．（4分）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．15．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18．（12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19．（12分）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC ⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．20．（12分）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．21．（13分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD 有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．22．（13分）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2012年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2012•山东）若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．3．（5分）（2012•山东）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．4．（5分）（2012•山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．5．（5分）（2012•山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx 的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题．故选C．6．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．（5分）（2012•山东）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的P，Q值，不满足条件P≤Q，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有n=0，0≤1，P=1，Q=3，n=1；n=1，1≤3，P=1+4=5，Q=7，n=2；n=2，5≤7，P=5+16=21，Q=15，n=3；n=3，21≤15不成立，输出，n=3；故选：C8．（5分）（2012•山东）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（）A．2﹣B．0 C．﹣1 D．﹣1﹣【分析】通过x的范围，求出的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：因为函数，所以∈，所以，所以函数的最大值与最小值之和为．故选A．9．（5分）（2012•山东）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．10．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解答】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．11．（5分）（2012•山东）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．12．（5分）（2012•山东）设函数，g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．x1+x2＞0，y1+y2＞0 B．x1+x2＞0，y1+y2＜0C．x1+x2＜0，y1+y2＞0 D．x1+x2＜0，y1+y2＜0【分析】构造函数设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x1，x2．利用函数与导数知识求解．【解答】解：设F（x）=x3﹣bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2．由F'（x）=0得x=0或．这样，必须且只须F（0）=0或，因为F（0）=1，故必有由此得．不妨设x1＜x2，则．所以，比较系数得，故.，由此知，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A﹣DED1的体积为．【分析】将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，进行等体积转化V A﹣DED1=V E﹣ADD1后体积易求【解答】解：将三棱锥A﹣DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则V A﹣DED1=V E﹣ADD1，其中S△ADD1=S A1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1，故．故答案为：14．（4分）（2012•山东）如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5，21.5），[21.5，22.5），[22.5，23.5），[23.5，24.5），[24.5，25.5），[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为9．【分析】由频率分布直方图，先求出平均气温低于22.5℃的频率，不低于25.5℃的频率，利用频数=频率×样本容量求解．【解答】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：9．15．（4分）（2012•山东）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．【分析】设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2012•山东）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．18．（12分）（2012•山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，所以概率为．19．（12分）（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．【分析】（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，所以BD⊥平面OCE．所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE=DE．（II）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND∥BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，∴DM∥平面BEC证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，∴AB=AF，又AB=AD，∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，∴DM∥平面BEC20．（12分）（2012•山东）已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m．求数列{b m}的前m项和S m．【分析】（I）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a1，d，从而可求通项（II）由（I）及已知可得，则可得，可证{b m}是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I）由已知得：解得a1=7，d=7，所以通项公式为a n=7+（n﹣1）•7=7n．（II）由，得n≤72m﹣1，即．∵=49∴{b m}是公比为49的等比数列，∴．21．（13分）（2012•山东）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD 有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m ≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．【解答】解：（I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．（II），由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．。

绝密＊启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2。

问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动。

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A=｛x|x2－x－2<0},B=｛x｜－1<x<1}，则(A）A错误!B （B）B错误!A （C）A=B （D）A∩B=（2)复数z＝错误!的共轭复数是（A）2+i （B)2－i （C)－1+i （D）－1－i3、在一组样本数据（x1，y1），(x2,y2）,…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点(x i,y i)(i=1，2，…，n)都在直线y=错误!x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1 (B）0 （C）错误!（D)1（4）设F1、F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的左、右焦点，P为直线x=错误!上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（)（A）错误!（B）错误!（C）错误!（D）错误!5、已知正三角形ABC的顶点A(1，1）,B（1，3),顶点C在第一象限，若点（x,y)在△ABC内部,则z=－x+y的取值范围是（A）(1－3，2) （B）（0,2) (C)(错误!－1，2) （D）(0，1+错误!)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2)和实数a1,a2，…，a N，输出A，B,则（A)A+B为a1,a2，…，a N的和（B）错误!为a1，a2,…，a N的算术平均数(C）A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数(D）A和B分别是a1，a2，…,a N中最小的数和最大的数（7）如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（A)6（B）9（C）12（D）18(8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为错误!,则此球的体积为(A ）6π （B)4错误!π （C ）4错误!π （D ）6错误!π（9）已知ω>0，0〈φ〈π，直线x =π4和x =5π4是函数f （x ）=sin(ωx +φ）图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）错误! （B ）错误! （C)错误! （D ）错误!（10)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，｜AB ｜=43，则C 的实轴长为（A ） 2 (B ）2错误! （C ）4 （D ）8(11）当0<x ≤错误!时，4x <log a x ，则a 的取值范围是(A ）(0，错误!) （B ）(错误!，1） （C ）（1，错误!） （D ）(错误!,2)（12）数列{a n }满足a n +1＋（－1)n a n ＝2n －1，则｛a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 (D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

海南省2012届高三数学文科仿真模拟卷10第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知复数12122,2,,z m i z i z z =+=+若为纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-42．命题：“2,cos 2cos x R x x ∀∈≤”的否定为 （ ）A ．2,cos 2cos x R x x ∀∈> B ．2,cos 2cos x R x x ∃∈>C ．2,cos 2cos x R x x ∀∈<D ．2,cos 2cos x R x x ∃∈≤3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 其前n 项和，且24936,a a S =-则等于 （ ） A ．25 B ．27 C ．50 D ．544．根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数分别 为 （ ） A ．12.5，12.5 B ．13，12.5 C ．12.5，13 D ．14，12.55．已知函数24()2,()log ,()log xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点依次为a ，b ，c ，则（ ） A ．a<b<cB ．c<b<aC ．a<c<bD ．b<a<c6．已知M 是曲线21ln 1(1)2y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞7．已知cos 21,tan 2tan )4a a aa π=++则的值为（ ）A ．-8B ．8C ．18-D ．188．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）， 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ） A ．8π+ B ．283π+C ．12π+D ．2123π+9．如图所示程序框图，若输出的结果y 的值为1，则输入的 x 的值的集合为 （ ） A ．{3} B ．{2，3} C ．{1,32}D ．1{,2,3}210．已知数列21{}(2,)n n n n a a a a n n N --⋅=>∈满足，且122,3a a ==，则2011a =（ ）A ．13B ．23C ．2D ．311．函数32231(0)()(0)x x x x f x aex ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[-2，2]上的最大值为2，则a 的范围是（ ）A ．22,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．22[0,]eC ．(],0-∞D ．22,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．已知动点P 在直线220x y +-=上，动点Q 在直线240x y ++=上，线段PQ 中点00(,)M x y 满足不等式0000232x y y x ⎧≤+⎪⎨⎪≤-+⎩，则2200x y +的取值范围是 （ ）A．5⎣ B ．1,345⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,105⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[10，34]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

数学文科试题（2012.12）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

14.设}{}2,1{2a N M ==，，则”“1=a 是”“M N ⊆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2、下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A.xx f 1)(=B.x x f -=)(C.x x x f 22)(-=-D.x x f tan )(-= 3.椭圆191622=+y x 的焦距为A.10B.5C.7D.72 （1）函数x x x f ln )1()(+=的零点有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个（2）已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3（3）已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比数列中项为22，则1172a a +的最小值A.16B.8C. 22D.4（4）在平面直角坐标系xOy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.33B.32C.3D.1（5）已知命题x x x p 32),0,(:<-∞∈∃；命题6)(,23+-=∈∀x x x f R x q ：的极大值为6.则下面选项中真命题是A.)()q p ⌝∧⌝（ B.)()q p ⌝∨⌝（ C.)(q p ⌝∨ D.p q ∧ （6）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x xy ，则y x z 3-=的最小值为A.-2B.-4C.-6D.-8（7）已知椭圆：)20(14222<<=+b by x ，左右焦点分别为21F F ，，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是 A.1 B.2 C.23D.3 （8）已知等差数列{}n a 的公差为d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若211,d b d a ==，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 的值可以是A.71 B.-71 C.21 D.21- （9）定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新驻点”，若函数1)(),1ln()(,)(3-=++=x x x x h x x g ϕ的“新驻点”分别为γβα，，，则γβα，，的大小关系为A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>> 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

时杨中学2012届高三数学小题训练0101．复数z=12i+,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 3克的苹果数约占苹果总数的 ％．4．若点P （1,1）到直线2sin cos =+αy αx 的距离为d ，则d 的最大值是 ．5．函数762)(23+-=x x x f 的单调减区间是 ．6．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =7．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 . 8．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为 ． 9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ． 10．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+，2AC i m j =+，则实数=m ．11．已知函数22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上 ．12．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m∥β，n∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m ，那么m∥n；其中所有正确命题的序号是 ．练习十答案1 2．－2 3．30 4．2＋ 2 5．[0，2] 6 7．5)1()2(22=-++y x 8．12 9．4 10．0或－2 11．x =0 12．②④。

2012年高考文科数学真题汇编之10概 率一、单项选择题1.【2012高考湖北文10】如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.B.. C.D.10. 【答案】C【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4， 则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①, 而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影. 由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.2.【2012高考辽宁文11】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 :(A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)20x x ->，解得210x <<。

又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23，故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。

2012高考文科数学模拟试卷1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-= M C U =}7,5{，则a 的值为（ ）A ．2或8-B ．8-或－2C ．－2或8D ．2或82．复数4312ii++的实部是 （ ） A ．-2B ．2C ．3D ．43．已知53)sin(=+απ，且α第四象限的角，那么)2cos(πα-的值是 （ ） A ． 54 B ．－54 C ．±54 D ．534．在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S-=，则2008S 的值等于（ ） A ．2007- B ．2008- C ．2007 D ．20085．1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设a ，b ，c 是空间三条直线，βα,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A ．当βαβα//,,则若时⊥⊥c cB ．当βαβα⊥⊥⊥则若时,,b bC ．当b a c b a c b ⊥⊥⊂则若内在射影时在是且时,,,αα D ．当c b c c b //,//,,则若时且ααα⊄⊂7．阅读右图的程序框图。

若输入m = 4，n = 6，则输出a 、i 分别等于（ ）A ．12，2B ．12,3C ．24，3D ．24，28．函数a x x x x f +--=93)(23的图像经过四个象限的充要条件 （ ）A ．0>aB ． 0<aC ． 3010<<-aD ． 275<<-a 9、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm10、 点P 是双曲线1422=-y x 的右支上一点，M 、N 分别是圆22)5(y x ++=1和圆1)5(22=+-y x 上的点，则|PM |－|PN |的最大值是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题纸上)11、不等式211x x -≤+的解集为 .12．若函数2()ln 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点,那么实数a 的取值范围是 .13 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则A 、B 为焦点，过点C 的椭圆的离心率14、如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是15、设平面内有n 条直线（3n ≥），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。

2012届新课标版高考临考大练兵（文19）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21M x R x =∈≤，{}12N x x =∈-<<R ，则MN = （ ）A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[]1,1-D ． [)1,2-2、复数()1Z i i =+的虚部为 （ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3. 若若1cos ,,032παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则tan α= （ ） A ．－42 B ．42 C ．－22 D ．224. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 （ ） A ．12x x =，12s s < B ．12x x =， 12s s > C ．12x x >， 12s s > D ．12x x =， 12s s = 5． 右图的程序框图，输出的结果是( )A. y=⎩⎨⎧<-≥0,10,1x xB. y=⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0,10,00,1x x xC. y=⎩⎨⎧≤->0,10,1x xD. y=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0,10,00,1x x x6． “1=a ”是“直线01=-+y ax 与直线01=+-y ax 垂直”的 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该几何体的俯视图可以是 （ ）8. 根据表格中的数据，可以判定函数()ln 2f x x x =-+有一个零点所在的区间为()*,1k k k N +∈，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．在下列三个命题中（1命题“存在x R ∈，02>-x x ”的否定是：“任意x R ∈，20x x -<”；（2）命题:[0,1],1xp x e ∈≥任意， 命题2:,10,q x R x x ∈++<存在 则p q 或为真; （3）若a = —1则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点。

北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}20|{},1|{<<=≤=x x B x x A ，则=B AA ．}2|{<x xB ． }20|{<<x xC ．}10|{≤<x xD ．}21|{<≤x x2．复数=--1)1(i iA ．B ．i -C ．D ．1-3．已知等差数列{}n a 中，11a =-，22a =，则 =+54a aA ．3B ．8C ．14D ．194．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 5．若a ＝(a +2,－5)，b ＝(a －2,－53)，则“a ＝1”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0=C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =7．函数23cos 3cos sin )(2-+=x x x x f 的一个单调递减区间是A ．]32,3[ππ-B ．]127,12[ππ-C ．]127,12[ππD ．2[,]63ππ-8．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：0,2≥∈∀x R x 的否定是 ．10．函数xx f 2)(=的最小值为 ；图象的对称轴方程为 ． 11．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界），则这个不等式组是 ．甲班 乙班 2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 98 8 3 2 16 2 5 8 8 15 912．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ；甲、乙两班平均身高较高的班级为 ． 13．已知双曲线)0(12222>=-b by x的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，则=b ；若点),3(0y P 在双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ． 14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：时间油耗（升/100公里）可继续行驶距离（公里）10：00 9.5 300 11：00 9.6220注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗=，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离=，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗=．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内 （填上所有正确判断的序号）．① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知51sin ,0,,tan 523⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭πααβ． （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求()tan 2+αβ的值．16．（本小题共14分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆都是边长为2的等边三角形，2AB =，,O D分别是,AB PB 的中点．（Ⅰ）求证：OD ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：PO ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积． 17．（本小题满分13分）某网站就观众对2012年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：喜爱程度 喜欢 一般 不喜欢 人数560240200（Ⅰ）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n 的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n 的值为多少？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数)0(1ln 2)(2≠--=a x a x x f ． （Ⅰ）当2=a 时，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的极值．19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay bx 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）对于集合},,,,{321n a a a a A =，猜测)1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有多少个； （Ⅲ）若集合}2,,8,4,2{nA =，试求)(A l ．参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. R x ∈∃，02<x 10.；0=x 11. ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.022,1,0y x y x12. 169；乙班 13. 2；0 14. ② ③ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵5sin ,0,,52⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭παα ∴ 2125cos 1sin 155=-=-=αα. ---------------------4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CADBABCB∴5sin 15tan cos 2255===ααα. -----------6分（Ⅱ） ∵1tan 3=β, ∴22tan tan 21tan βββ=- ---------------------------8分2123113⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭34=. ----------------------------10分 ∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ132413124+=-⨯2=. -----------------------------------13分 16．（本小题共14分）解：（Ⅰ）,O D 分别为,AB PB 的中点，∴OD ∥PA又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PACOD ∴∥平面PAC ．------------------------------------5分（Ⅱ）如图，连结OC2AC CB ==，O 为AB 中点，2AB =,OC ∴⊥AB ，1OC =． 同理, PO ⊥AB ，1PO =． 又2PC =,2222PC OC PO ∴=+=,90POC ∴∠=．PO ∴⊥OC ．PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,PO ∴⊥平面ABC ．---------------------------------------10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP 垂直平面ABC∴OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP =11112113323P ABC ABC V S OP -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=．-------------------14分17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）采用分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为:1000n则不喜爱小品观众应抽取20051000n ⨯=人25.n ∴=-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人，设女性观众为12,a a ，男性观众为123,,b b b则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223121323(,),(,),(,),(,),(,),a b a b b b b b b b ---8分其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能： 1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223(,),(,),a b a b所以从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，至少有一名为女性观众的概率为710---------13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当2=a 时，1ln 4)(2--=x x x f ，0)1(=f又xx xx x f )2(242)(2-=-=' ，2)1('-=f所以)1(20--=-x y即)(x f 在1=x 处的切线方程为022=-+y x ----------------------------5分 （II ）因为)0(1ln 2)(2≠--=a x a x x f所以xa x xa x x f )(222)(2-=-='（x>0）---------------6分（1）当0<a 时，因为0>x ，且,02>-a x 所以0)(>'x f 对0>x 恒成立， 所以)(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f 无极值---------8分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，解得12,x a x a ==-（舍）-------------10分所以当0x >时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表： x),0(a a (,)a +∞)(x f '-0 +)(x f极小值--------12分所以当a x =时，)(x f 取得极小值，且1ln )(--=a a a x f 极小值．综上，当0<a 时，函数)(x f 在),0(+∞上无极值；当0>a 时，函数)(x f 在a x =处取得极小值1ln )(--=a a a x f 极小值． -------------------------------13分 19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay bx 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ） ac e ==22，12122=+ab，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴14222=+yx． -----------------------------------------5分（Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2YD A∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----②222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离，∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b )22,22(-∈时，ABD ∆的面积最大，最大值为2． ------------------------------------14分 20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）对于集合},,,,{321n a a a a A =，猜测)1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有多少个； （Ⅲ）若集合}2,,8,4,2{nA =，试求)(A l ．解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+ 得6)(=Q l .---------------------------------------5分 （Ⅱ）对于集合},,,,{321n a a a a A =，)1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有2)1(-n n 个．因为在集合A 的n 个元素中任取一个元素，共有n 种，再从余下的1-n 个元素中任取- 11 -一个元素，共有1-n 种．把取出的元素两两作和共有)1(-n n 个，考虑到n j i ≤<≤1，及j i i j a a a a +=+等情况，所以对于集合},,,,{321n a a a a A =，)1(n j i a a j i ≤<≤+的值最多有2)1(-n n 个．----------------------------------------------9分（注：本问只要回答正确，就得本问的满分。