2018年福建省龙岩市六校联考高二上学期数学期中试卷与解析(理科)

2017-2018学年福建省龙岩市“武平、连城、漳平二中”三校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1．（5分）命题“存在实数x，使x＞2”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞2 B．不存在实数x，使x≤2C．存在实数x，使x≤2 D．对任意实数x，都有x≤22．（5分）数列1，，，，的一个通项公式a n是（）A．B．C．D．3．（5分）已知△ABC中，a=b=1，c=，则此三角形的最大内角的度数是（）A．60°B．120°C．90°D．135°4．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a9=38，则a2+a4+a6+a8=（）A．20 B．38 C．64 D．765．（5分）数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N*），则a4等于（）A．11 B．15 C．17 D．206．（5分）若b＜0＜a，d＜c＜0，则（）A．ac＞bd B．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d7．（5分）设命题p：x﹣2＞0，命题q：x2﹣2x＞0，则命题p是命题q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）不等式ax2+bx＞﹣2的解集为，则a+b=（）A．﹣10 B．10 C．14 D．﹣149．（5分）若x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．510．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．111．（5分）由a1=1，a n+1=给出的数列{a n}的第54项为（）A． B． C．160 D．12．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）不等式（x+3）2＜4的解集是（用集合表示）14．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=8，c=6，则△ABC的面积等于．15．（5分）设等比数列{a n}中，a3是a1，a2的等差中项，则数列的公比为．16．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a2=﹣8，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣．（1）求角B；（2）若A=75°，b=4，求边c．19．（10分）在△ABC中，已知2sinA=sinB+sinC，a2=b•c，试判断△ABC的形状．20．（12分）解关于x的不等式（x﹣1）（x+a）≥0．21．（12分）如图，AMN是某花园的一角，为方便游玩，现拟在边角线AM上找一点B，修一条长为20米的观光道路BC，C在边角线AN上．（1）若AC=14，求AB的值；（2）现保洁需要，在AMN内的一点D添置垃圾箱及修条通道BD、DC，由于美化要求∠BDC=120°，求通道BD+DC的最大路径．22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=4，公比q=4的等比数列，设b n+2=3log4a n （n∈N），数列{c n}满足c n=a n•b n．+（1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n．2017-2018学年福建省龙岩市“武平、连城、漳平二中”三校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共计60分）1．（5分）命题“存在实数x，使x＞2”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞2 B．不存在实数x，使x≤2C．存在实数x，使x≤2 D．对任意实数x，都有x≤2【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在实数x，使x＞2”的否定是对任意实数x，都有x≤2，故选：D．2．（5分）数列1，，，，的一个通项公式a n是（）A．B．C．D．【解答】解：将原数列写成：，，，，．每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，∴数列1，，，，的一个通项公式a n是．故选：B．3．（5分）已知△ABC中，a=b=1，c=，则此三角形的最大内角的度数是（）A．60°B．120°C．90°D．135°【解答】解：△ABC中，a=b=1，c=，则：利用余弦定理：，由于：0＜C＜π，则：C=120°，故选：B．4．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a9=38，则a2+a4+a6+a8=（）A．20 B．38 C．64 D．76【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a9=38=a2+a8=a4+a6，∴a2+a4+a6+a8=76．故选：D．5．（5分）数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N*），则a4等于（）A．11 B．15 C．17 D．20【解答】解：a4=S4﹣S3=（2×16﹣3×4）﹣（2×9﹣3×3）=11．故选：A．6．（5分）若b＜0＜a，d＜c＜0，则（）A．ac＞bd B．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d【解答】解：A：由b＜0＜a，d＜c＜0可知，bd＞0，ac＜0，则bd＞ac，故A 不正确B：由d＜c＜0可知，又b＜0＜a∴∴，故B不正确C：∵b＜a，d＜c∴a+c＞b+d，故C正确D∵d＜c∴﹣d＞﹣c，又a＞b∴a﹣d＞b﹣c，故D不正确故选：C．7．（5分）设命题p：x﹣2＞0，命题q：x2﹣2x＞0，则命题p是命题q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：x﹣2＞0，解得：x＞2，命题q：x2﹣2x＞0，解得：x＞2或x＜0，则命题p是命题q 的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）不等式ax2+bx＞﹣2的解集为，则a+b=（）A．﹣10 B．10 C．14 D．﹣14【解答】解：不等式ax2+bx＞﹣2的解集为，则﹣，是方程ax2+bx+2=0的解，则﹣+=﹣．﹣=，解得；a=﹣12，b=﹣2，则a+b=﹣14，故选：D．9．（5分）若x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．5【解答】解：x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由解得A（1，2）此时z=3×1+2=5．故选：D．10．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．11．（5分）由a1=1，a n+1=给出的数列{a n}的第54项为（）A． B． C．160 D．【解答】解：根据题意，若a n=，则=+3，+1即﹣=3，又由a1=1，则=1，则数列{}是以=1为首项，公差为3的等差数列，则=1+3（n﹣1）=3n﹣2，则a n=，则数列{a n}的第54项a54==，故选：B．12．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）不等式（x+3）2＜4的解集是{x|﹣5＜x＜﹣1} （用集合表示）【解答】解：∵不等式（x+3）2＜1可化为﹣2＜x+3＜2，两边都减去3，得﹣5＜x＜﹣1，∴该不等式的解集为{x|﹣5＜x＜﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x＜﹣1}．14．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=8，c=6，则△ABC的面积等于12．【解答】解：知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则：A+C=2B，解得：B=60°，由于：边a=8，c=6，所以：=，故答案为：15．（5分）设等比数列{a n}中，a3是a1，a2的等差中项，则数列的公比为或1．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则：a2=a1q，，由a3是a1，a2的等差中项，得：2a3=a1+a2，即，因为a1≠0，所以2q2﹣q﹣1=0，解得：或q=1．故答案为或1．16．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是[﹣2，+∞）．【解答】解：x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，+∞）成立，⇔a≥对于一切x∈（0，+∞）成立，⇔a≥﹣x﹣对于一切x∈（0，+∞）成立，∵y′=﹣1+=，令y′＞0，解得：x＜1，令y′＜0，解得：x＞1，∴y=﹣x﹣在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1时，y最大，最大值是﹣2，∴a≥﹣2．故答案为：[﹣2，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a2=﹣8，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a2=﹣8a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12…（6分）（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8所以﹣8q=﹣24即q=3所以{b n}的前n项和公式为…（12分）18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣．（1）求角B；（2）若A=75°，b=4，求边c．【解答】解：（1）∵a2+c2﹣ac=b2．∴由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accos B．故cos B=，因此B=45°…（6分）（2）∵A+B+C=180°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，故c=b×=4×=2…（12分）19．（10分）在△ABC中，已知2sinA=sinB+sinC，a2=b•c，试判断△ABC的形状．【解答】解：由正弦定理得，2a=b+c，又a2=b•c，∴4a2=（b+c）2，∴4bc=（b+c）2，即（b﹣c）2=0，∴b=c．又2a=b+c得2a=2b，∴a=b，即a=b=c．∴△ABC为等边三角形．20．（12分）解关于x的不等式（x﹣1）（x+a）≥0．【解答】解：方程（x﹣1）（x+a）=0的根x=1，x=﹣a…（2分）（1）若﹣a＜1，即a＞﹣1，则x≤﹣a或x≥1；…（5分）（2）若﹣a＞1，即a＜﹣1，则x≤1或x≥﹣a；…（8分）（3）若﹣a=1，即a=﹣1，则x∈R…（11分）综上，当a＞﹣1时，原不等式解集为{x|x≤﹣a或x≥1}；当a＜﹣1时，原不等式解集为{x|x≤1或x≥﹣a}；当a=﹣1时，原不等式解集为R…（12分）21．（12分）如图，AMN是某花园的一角，为方便游玩，现拟在边角线AM上找一点B，修一条长为20米的观光道路BC，C在边角线AN上．（1）若AC=14，求AB的值；（2）现保洁需要，在AMN内的一点D添置垃圾箱及修条通道BD、DC，由于美化要求∠BDC=120°，求通道BD+DC的最大路径．【解答】解：（1）设AB=x，BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA得：x2﹣7x﹣8=0，解得x=8或x=﹣1，∴AB=8米（6分）（2）400=BD2+DC2+BD•DC=（BD+DC）2﹣BD•DC，（8分）（10分）∴，∴（11分）所以BD+DC的最大路径是米．（12分）22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=4，公比q=4的等比数列，设b n+2=3log4a n ），数列{c n}满足c n=a n•b n．（n∈N+（1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由题意知，a n=4n（n∈N+），∵b n=3log4a n﹣2，b1=3log4a1﹣2=1，﹣b n=3log4a n+1﹣3log4a n=3log4=3log4q=3，∴b n+1∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．（6分）（2）解：由（1）知，a n=4n，b n=3n﹣2（n∈N+），∴c n=（3n﹣2）×4n（n∈N+），∴S n=1×4+4×42+7×43+…+（3n﹣5）×4n﹣1+（3n﹣2）×4n；于是4S n=1×42+4×43+7×44+…+（3n﹣5）×4n+（3n﹣2）×4n+1，（8分）两式相减得﹣3S n=4+3（42+43+…+4n）﹣（3n﹣2）×4n+1=﹣12+4n+1﹣（3n﹣2）×4n+1∴S n=4+（n﹣1）4n+1（n∈N+）．（12分）。

福建省龙岩高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·河北开学考) 已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（）A . 1＜a＜5B . 1＜a＜7C .D .2. （2分） (2018高二上·六安月考) 已知“ ，”的否定是（）A . ，，B . ，，C . ，，D . ，，3. （2分） (2016高一下·义乌期末) 已知数列{an}中满足a1=15， =2，则的最小值为（）A . 10B . 2 ﹣1C . 9D .4. （2分） (2016高二上·宝安期中) 已知a1=1，an=n（an+1﹣an），则数列{an}的通项公式an=（）A . 2n﹣1B . （）n﹣1C . n2D . n5. （2分） (2016高二上·杭州期中) 已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A . ﹣a＞﹣bB . a+c＜b+cC . （﹣a）2＞（﹣b）2D .6. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则（）A .B . 4C .D . 57. （2分）设等差数列的前n项和为,若,且,则当取得最大值时,n的值是（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分）设x，y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为（）A . 4B . 2C .D . 19. （2分） (2016高二上·高青期中) 等差数列{an}中，a5=15，则a3+a4+a7+a6的值为（）A . 30B . 45C . 60D . 12010. （2分）等比数列{an}的各项均为正数，且a2a9=9，数列{bn}满足bn=log3an ，则数列{bn}前10项和为（）A . 10B . 12C . 8D . 2+log3511. （2分） (2016高二下·金堂开学考) 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：①直线A1B与B1C所成的角为60°；②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为．其中，正确结论的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个12. （2分）设等差数列的前项和为，若，则等于（）A . 180B . 90C . 72D . 100二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在△ABC中，角A，B，C成等差数列，对边分别为a，b，c，且3ac+b2=25，则边b的最小值为________．14. （1分） (2018高二上·万州期末) 若的一个顶点是，的角平分线方程分别为，则边所在的直线方程为________15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知函数，则关于的不等式的解集为________．16. （1分）(2017·榆林模拟) 设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1a2=35，a1a3=45，则S10=________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2017高一下·双鸭山期末) 在中，求的值。

福建省龙岩数学高二理数期中联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二上·安吉期中) 命题“如果 x≥a2+b2 ， 那么 x≥2ab”的逆否命题是（ ）A . 如果 x＜a2+b2 ， 那么 x＜2abB . 如果 x≥2ab，那么 x≥a2+b2C . 如果 x＜2ab，那么 x＜a2+b2D . 如果 x≥a2+b2 ， 那么 x＜2ab2. （2 分） (2017·长春模拟) 据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数 X（单位：万）服从正态分 布 X～N（6，0.82），则日接送人数在 6 万到 6.8 万之间的概率为（ ）（P（|X﹣μ|＜σ）=0.6826，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.9544，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.9974）A . 0.6826B . 0.9544C . 0.9974D . 0.34133. （2 分） 若 m∈R，则“m=1”是“∣m∣=1”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2 分） (2016 高二下·长安期中) （ x﹣2y）5 的展开式中 x2y3 的系数是（ ）A . ﹣20第 1 页 共 10 页B . ﹣5 C.5 D . 20 5. （2 分） (2017·惠东模拟) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A . 月接待游客量逐月增加 B . 年接待游客量逐年增加 C . 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D . 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳6. （2 分） (2015 高一下·普宁期中) 设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|=|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A . 3x±4y=0B . 3x±5y=0C . 4x±3y=0D . 5x±4y=07. （2 分） (2017·广元模拟) 现用随机模拟方法近似计算积分第 2 页 共 10 页dx，先产生两组（每组 1000 个）在区间[0，2]上的均匀随机数 x1 ， x2 ， x3 ， …，x1000 和 y1 ， y2 ， y3 ， …，y1000 ， 由此得到 1000个点（xi ， yi）（i=1，2，…，1000），再数出其中满足 + ≤1（i=1，2，…，1000）的点数 400，那么由随机模拟方法可得积分dx 的近似值为（ ）A . 1.4B . 1.6C . 1.8D . 2.08. （2 分） 下面对相关系数 r 描述正确的是（ ）A . r＞0 表两个变量负相关B . r＞1 表两个变量正相关C . r 只能大于零D . |r|越接近于零，两个变量相关关系越弱9. （2 分） (2017 高二上·太原期末) 已知 =（1，2，3）， =（2，1，2），在直线 OP 上运动，则当取得最小值时，点 Q 的坐标为（ ）=（1，1，2），点 QA. B. C.D.10. （2 分） (2018 高二下·长春开学考) 已知抛物线 ：直线 与抛物线 交于 , 两点，，若，则A.第 3 页 共 10 页经过点，过焦点 的（）B.C.D.11. （2 分） (2016 高三上·沈阳期中) 把座位编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张电影票分给甲、乙、丙、丁 四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ）A . 240B . 144C . 196D . 28812. （2 分） 如果函数 （）的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是A. B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·山东模拟) 总体由编号为 01，02，…，29，30 的 30 个个体组成．利用下面的随机数表 选取 4 个个体．选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为________7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 748114. （1 分） (2018 高二下·孝感期中) 已知空间三点，，为邻边的平行四边形的面积为________．第 4 页 共 10 页，则以 ，15. （1 分） (2017·四川模拟) 某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．16. （1 分） 椭圆上的点到直线 x﹣y+6=0 的距离的最小值为________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （5 分） (2018 高二上·无锡期末) 已知，命题 { |方程表示焦点在 y 轴上的椭圆}，命题 取值范围．{ |方程表示双曲线}，若 命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数 的18. （10 分） 在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA= acosB． （Ⅰ）求角 B；（Ⅱ）若 b=2 ， 求 ac 的最大值． 19. （10 分） (2016 高一下·天津期末) 等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9 （1） 求{an}的通项公式；（2） 设，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．20. （10 分） (2018 高二下·聊城期中) 在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的 增加而提升.已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，其价格会随着日需求量的增加而上升，具体情形统计如下表 所示：参考公式及数据：对于一组数据，...，其回归直线，第 5 页 共 10 页的斜率和截距的最小二乘估计分别为其中：，（1） 根据上表中的数据进行判断，与回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）；哪一个更适合作为日供应量 与单价 之间的（2） 根据（1）的判断结果以及参考数据，建立 关于 的回归方程；（3） 该地区有 个酒店，其中 个酒店每日对蔬菜的需求量在以下， 个酒店对蔬菜的需求量在以上，从这 个酒店中任取 个进行调查，求恰有 个酒店对蔬菜需求量在以上的概率.21. （10 分） (2018 高一下·鹤岗期末) 如图 1，在直角梯形中，，，， 是 的中点， 是 与 的交点.将沿 折起到图 2 中的位置，得到四棱锥.（1） 证明： （2） 当平面平面；平面时，四棱锥的体积为，求 的值.22. （10 分） (2018·榆林模拟) 已知椭圆 ：， ，且线段与 轴的交点 恰为线段的中点，过点 为坐标原点．，左、右焦点分别为（1） 求椭圆 的离心率；（2） 与直线 方程．斜率相同的直线 与椭圆 相交于 、 两点，求当的面积最大时直线 的第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、18-1、19-1、 19-2、 20-1、第 8 页 共 10 页20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第 9 页 共 10 页第 10 页 共 10 页。

“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.若集合2{|230},{|0}A x x x B x x =--≤=≤则A B =A ．[1,0]-B. [1,0)-C. [1,1]-D. [1,)-+∞2.命题“2000,10x R x x ∃∈++>”的否定是A ．2,10x R x x ∀∈++≤ B. 2,10x R x x ∀∈++> C. 2000,10x R x x ∃∈++≤D. 200,10x R x x ∃∈++≥3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若34812,64a a S +==，则{}n a 的公差为 A ．1B. 2C. 3D. 44.若向量(2,0),(2,1),(,1)a b c x =-==满足条件3a b +与c 共线，则x 的值为 A ．2B. 2-C. 4D. 4-5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A c B a A b cos 2cos cos =+，则A =A ．6π B.56π C.3π D.23π 6.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ） A. 6里 B. 12里 C. 24里 D. 48里7.若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，32314log 2,log 5,2a b c ===，则()()(),,f a f b f c 满足A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c <<8.已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为9.设函数||1lg(1),1()3,1x x x f x x +->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是A. ()1,+∞B. (]1,10C. (]1,3D. (]0,310.已知2()sin cos f x x x x =+，将f （x ）的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到y =g （x ）的图象，则()4g π=A. 1+B. 2C. 1+D. 1 11.设过曲线()x f x e x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2sin g x xa x =-上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 A.(2,3]- B. (2,3)-C. [1,2]-D. (1,2)-12.已知数列{}n a 中， 11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，恒有2n n n n ka a S S =-成立，若99150S =，则k 的值是 A ．1B. 2C. 3D. 4第Ⅰ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考高二数学（理科）试题 (考试时间：120分钟 总分:150分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1。

答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号,第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答。

在试卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

已知实数c b a ,,,则以下正确的是（ )A.若b a >,则ba 11< B.若b a <,则22bc ac<C.若0,0>>>m a b ,则1>++>m a mb a bD.44≥+aa 2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是cb a ,,，75,60,4===C B a ，则b =（ ）A. 52 B 。

62 C 。

32D 。

3113。

中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之,问各得几何?”意思是:今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们猎获五只鹿,欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿共600斤，则不更和上造两人分得的鹿肉斤数为( ） A ．200 B ．240 C ．300D ．3404.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC 边上的中线2AD AB ==,则=∆ABC S ( )A ．3 B． C． D ．6 5。

福建省龙岩市上杭二中2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知中，，，，那么角A等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解析：由正弦定理得：，或故选：C．先根据正弦定理将题中所给数值代入求出的值，进而求出A，再由确定A、B的关系，进而可得答案．本题主要考查了正弦定理的应用属基础题正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．2.已知数列，3，9，15，，，，那么81是它的第几项A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】D【解析】解：由题意可知，令可得．故选：D．先根据已知项求出通项公式，即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．3.已知命题p：，；命题q：若，则，下列命题为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】B【解析】解：命题p：，，则命题p为真命题，则￢为假命题；取，，，但，则命题q是假命题，则￢是真命题．是假命题，￢是真命题，￢是假命题，￢￢是假命题．故选：B．由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢为假命题，命题q是假命题，则￢是真命题因此￢为真命题．本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．4.记为等差数列的前n项和若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】解：为等差数列的前n项和，，，，解得，，的公差为4．故选：C．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在中，，则一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】解：在中，，又由正弦定理得：，，，或，或．故是等腰三角形或直角三角形．故选：D．利用正弦定理与二倍角的正弦即可判断三角形的形状．本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦，考查转化与运算能力，属于中档题．6.若x，y满足，则的最大值为A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数经过可行域的A时，取得最大值，由，可得，目标函数的最大值为：．故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．7.设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立．，为非零向量，则“存在负数，使得”是”的充分不必要条件．故选：A．，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立即可判断出结论．本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得．故选：B．设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.洗衣服时，小懒说：“入水三分净”，即换水洗一次能去污问：要使污渍不高于原来的，至少要换水洗多少次？A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】解：洗衣服时，换水洗一次能去污．要使污渍不高于原来的，设至少要换水洗n次，则，．要使污渍不高于原来的，至少要换水洗4次．故选：C．要使污渍不高于原来的，设至少要换水洗n次，列出不等式，能求出要使污渍不高于原来的，至少要换水洗的次数．本题考查等比数列的应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，可得：，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理可得：．故选：A．利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．11.已知不等式的解集为，则不等式的解集为A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】解：由不等式的解集为，得到，即方程的两个根分别为，2．由韦达定理：，代入所求不等式化简得：，即，解得：或则不等式的解集为或故选：B．根据已知不等式的解集利用韦达定理得到b、c与a的关系，代入所求不等式求出解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，确定出a，b，c的值是解本题的关键12.已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：以线段为直径的圆与直线相切，原点到直线的距离，化为：．椭圆C的离心率．故选：A．以线段为直径的圆与直线相切，可得原点到直线的距离，化简即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等比数列的前n项和为，若，，则______．【答案】70【解析】解：等比数列的前n项和为，，，，，成等比数列，，20，成等比数列，，解得．故答案为：70．由等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出．本题考查等比数列的前15项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若：：：7：8，角B的大小为______【答案】【解析】解：利用正弦定理化简已知等式得：a：b：：7：8，设，，，利用余弦定理得：，由于，．故答案为：．利用正弦定理化简已知等式得到三边之比，设出三边长，再利用余弦定理表示出，将设出的三边长代入求出的值，即可确定出B的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．15.若等差数列和等比数列满足，，则______．【答案】1【解析】解：等差数列和等比数列满足，，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：，，；，解得，．可得．故答案为：1．利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．16.等差数列的前n项和为，，，则______注：．【答案】【解析】解：等差数列的前n项和为，，，设等差数列的公差为d，则：，解得：，．所以：，则：，则：，．故答案为：．首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.p：；q：是q的什么条件？并说明理由．【答案】解：p是q的必要不充分条件，理由如下：必要性：，，，，则，又，，，，，则；不充分性：举例说明如，满足p：，但不满足q：．【解析】利用不等式的性质说明由；举例说明由q不能推p，再由充分必要条件的判定方法得结论．本题考查充分必要条件的判定，考查基本不等式的性质，是中档题．18.求函数的值域．【答案】解：当时，，即时，；当时，，即时，；，函数的值域为【解析】利用基本不等式的性质即可求解本题考查了函数值域的求法高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法要根据题意选择19.在中，，求的值；若，求的面积．【答案】解：，，由正弦定理可得，，则，，，又由可得，，．【解析】根据正弦定理即可求出答案，根据同角的三角函数的关系求出，再根据两角和正弦公式求出，根据面积公式计算即可．本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题20.求和化简：．【答案】解：．当时，；当时，；当，时，．综上，．【解析】由已知对x分类讨论，然后由等比数列前n项和公式求解．本题考查等比数列前n项和的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．21.已知为等比数列，，为等差数列的前n项和，，．求和的通项公式；设，求．【答案】解：设等比数列的公比为q为等比数列，，，公比，，分设等差数列的公差为d，为等差数列的前n项和，，，，分得：分分【解析】根据为等比数列，，，确定数列的公比，利用为等差数列的前n项和，，，可得数列的公差，从而可求和的通项公式；利用错位相减法可求数列的和．本题考查数列的通项，考查数列的求和，确定数列中的基本量，利用错位相减法求数列的和是关键．22.已知椭圆C：，四点，，，中恰有三点在椭圆C上．求C的方程；设直线l不经过点且与C相交于A，B两点若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．【答案】解：根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆C上，又的横坐标为1，椭圆必不过，，，三点在椭圆C上．把，代入椭圆C，得：，解得，，椭圆C的方程为．证明：当斜率不存在时，设l：，，，直线与直线的斜率的和为，，解得，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．当斜率存在时，设l：，，，，联立，整理，得，，，则，又，，此时，存在k，使得成立，直线l的方程为，当时，，过定点．【解析】根据椭圆的对称性，得到，，三点在椭圆C上把，代入椭圆C，求出，，由此能求出椭圆C的方程．当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：，，联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019学年第一学期半期考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列{}n a 的通项公式为)23()1(--=n a nn ，则{}n a 的第5项是（ ）A ．13B ．13-C ．15-D ．15 2．在ABC ∆中， 60=A , 75=B ,10=a ,则c 等于（ ） A ．25 B ．210 C ．65 D ．3610 3. 等比数列}{n a 的前n 项和,3t S n n +=则3t a +的值为（ ） A . 1 B. 1- C . 17 D. 18 4. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若cos()cos()22a Ab B ππ-=-， 则ABC ∆的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形 5.各项均为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若103=S ，306=S ，则=9S ( ) A ．50 B ．60 C ．70 D ．906. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化．．．．的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A ．6斤 B ．9斤 C ．9.5斤 D ．12斤7.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x ，则y x z 32-=的最小值为( )A ．2B ．1C ．0D ．1-8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 17a =-，315S =-，则n S 的最小值为（ ）A. 16-B. 4C. 4或5D. 169.已知正数,a b 的等差中项是12，且11,M a N b a b=+=+，则M N +的最小值是（ ） A ．3 B ． 4 C ．5 D ．610. 若不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为( )A ．)0,3(-B ．]0,3(-C ．]3,(--∞D ．),0()3,(+∞--∞11.如图，某景区欲在两山顶,A C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高1()AB km =，3()CD km =,在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30，山顶C 的仰角为60，150AEC ∠=, 则两山顶,A C 之间的距离为（ ）A ．()kmB ．()kmC ．()kmD ．()km12. ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，若3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为 ( )A ．1B ．43 D ．34第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知3a >，则43a a +- 的最小值为_______________．14.已知ABC ∆中，c =1a =，cos cos a B b A = ，则ABC ∆面积为_______ __. 15. 在数列{}n a 中，已知11a =， 111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则=2017S ________. 16．已知首项为2的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1222--=n n n S a S ．若12nn S m +≤ 恒成立，则实数m 的取值范围为__________ _____．三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）． 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若12a =， 且22a ，3a ，8成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设22n n n a b n n=+，求证：数列{}n b 的前n 项和1n T <．18．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≥的解集为{|1}x x x b ≤≥或． （1）求b a ,的值；（2）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +--<． 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B ；（2）若ABC ∆a c +=sin sin A C 的值． 20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，设角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B A C B A sin sin cos sin cos 222++= （1）求角C 的大小； （2）若3=c ，求ABC ∆周长的取值范围.21．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1*1211()2()22n n a a a n n N -++⋅⋅⋅+=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，123=n n S b b b b ++++，求1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．22．（本小题满分12分）某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13、7 14、4315、1007- 16、 34m ≥三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分） 17、解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，∵22a ，3a ，8成等差数列∴324a a =+ 即2224q q =+，……………………………（2分）即220q q --=，解得2q =或1q =-(舍去)，∴2q =.……………………………（4分） 所以{}n a 的通项为1222n n n a -=⋅=(n N *∈) ……………………………（5分）(2)由上知2nn a = ∵22nn n a b n n=+，∴21111(1)1n b n n n n n n ===-+++， ……………………………（7分） ∴123n n T b b b b =+++⋯+1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋯+-+111n =-+ ……………………………（9分）∴1101n T n -=-<+ ……………………………（10分） 即数列{}n b 的前n 项和为1n T <．18、解：（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2320ax x -+=的两根，……………………………（2分）由根与系数的关系有3121b ab a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩ ……………………………（6分）（2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(2)20x c x c +--<，即(2)()0x x c -+<． ……………………………（8分） 其对应方程的两根为122,x x c ==-①当2c ->即2c <-时，原不等式的解集为{|2}x x c <<-；……………………………（9分） ②当2c -<即2c >-时，原不等式的解集为{|2}x c x -<<；……………………………（10分） ③当2c -=即2c =-时，原不等式的解集为∅； ……………………………（11分） 综上所述：当2c <-时，原不等式的解集为{|2}x x c <<-；当2c >-时，原不等式的解集为{|2}x c x -<<； 当2c =-时，原不等式的解集为∅；……………………………（12分）19、解：（1）（法一）：在ABC ∆中，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ∴()2sin cos sin cos sin cos sin A B B C C B B C =+=+ ……………………………（2分） 又B C A π+=-，∴sin()sin()sin B C A A π+=-=， ∴2sin cos sin A B A = ……………………………（4分）sin 0≠A ∴1cos 2B = ……………………………（5分） 0π<<B ， 故3B π=……………………………（6分）（法二）由余弦定理得()222222222a c b a b c a c b ac ab+-+--⨯=⨯………………………（2分） ∴222a b c ac +-= ……………………………（3分）∴2221cos 22a cb B ac +-==, ……………………………（5分）0π<<B , 故3B π=． ……………………………（6分）（2）1sin ABC S ac B ac ∆===4ac =． ……………………………（7分）又a c +=∴由余弦定理得 B ac c a b cos 2222-+=2()3=12a c ac =+-∴b =……………………………（9分）又由正弦定理知sin sin sin a c b A C B == ……………………………（10分）∴4sin ,4sin a A c C == 即sin ,sin 44a c A C == ∴1sin sin 164ac A C ==……………………………（12分） 20、（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+……………………………（1分） 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=- ……………………………（2分） 由正弦定理得222a b c ab +-=- ……………………………（3分）由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===- …………………………… （4分） 又0C π<< ， 故23C π=…………………………… （5分） （2）（法一）：由上知23C π=， ∴由余弦定理有22222()21cos 222a b c a b ab c C ab ab +-+--===-，……………………………（6分）又c =2()3a b ab +-=， ……………………………（7分）又∵2a b+≥∴2()2a b ab +≤，(当且仅当a b =时取等号) ……………………………（8分） ∴22()3()2a b a b ++-≤ ， 即23()120a b +-≤ 解得02a b <+≤，(当且仅当a b =时取等号) ……………………………（10分）又∵三角形两边之和大于第三边,即a b c +>=2a b <+≤ ……………………………（11分）∴2a b c ++∈ ……………………………（12分）所以ABC ∆的周长的范围为2（法二）由正弦定理知sin sin sin a b c A B C ===∴2sin ,2sin a A b B ==, ……………………………（6分） 又3B AC A ππ=--=-则ABC ∆的周长2sin 2sin L a b c A B =++=+2sin 2sin()3A A π=+-+sin A A =2sin()3A π=+…………………………（8分）∵03A π<< ∴2333A πππ<+< sin()13A π<+≤ ……………………………（10分）∴2sin()23A π<++≤所以ABC ∆的周长的范围为2.……………………………（12分）21、解：（1）由11211()222n n a a a n -++⋅⋅⋅+=………① 当2n ≥时，212111()2(1)22n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-………② ……………………………（2分）①–②得11()22n n a -=即2n n a = (2)n ≥ ……………………………（3分）当1n =时，12a = 也满足上式 ……………………………（4分）∴2n n a = *()n N ∈ ……………………………（5分） (2)由(1)得, 12log 2n n n n b a a n =⋅=-⋅, ……………………………（6分）所以1231122232(1)22n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ………①∴23412122232(1)22n n n S n n +-=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ………② ……………………………（7分）①－②，得2341222222n n n S n +=+++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅- ……………………………（9分）依题意1250n n S n ++⋅>，即12250n +-> 即1252n +>成立， ……………………………（10分） 又当4n ≤时, 15223252n +≤=<,当5n ≥时, 16226452n +≥=>. ……………………………（11分） 故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ……………………………（12分）22、解：（1）设第n 年开始获利，获利为y 万元，由题意知，n 年共收益30n 万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n 年的总费用为2(1)122n n n n -⨯+⨯=． ……………………………（2分） ∴获利为23081(3)(27)y n n n n =--=--- ……………………………（4分） 由0y >即(3)(27)0n n --< 解得327n << ……………………………（5分）∵n ∈N *，∴n ＝4时，即第4年开始获利． ……………………………（6分）∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短，∴方案一较合算．……………………………（12分）。

拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−2<x <4}，B ={−2,1，2，4}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {−1,4}C. {−1,2}D. {2,4} 【答案】A【解析】解：集合A ={x|−2<x <4}，B ={−2,1，2，4}，则A ∩B ={1,2}． 故选：A ．直接利用交集的定义求解即可．本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．2. “sinα=12“是“α=30∘”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当α=150∘，满足sinα=12，但α=30∘不成立． 若α=30∘，满足sinα=12，∴“sinα=12“是“α=30∘”的必要不充分条件．故选：B ．根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3. 复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ)，θ∈(0,π2)的对应点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ)=−cosθ−isinθ，复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ)，θ∈(0,π2)的对应点(−cosθ,−sinθ)在第三象限． 故选：C ．利用诱导公式化简，求出复数z 对应点的坐标即可得到结果． 本题考查诱导公式以及复数的几何意义，是基础题．4. 将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π12个单位，得到函数y =g(x)的图象，则它的一个对称中心是( )A. (π24,0)B. (−π6,0)C. (π6,0)D. (π12,0)【答案】D第2页，共11页【解析】解：函数y =sin2x 的图象向右平移π12个单位，则函数变为y =sin[2(x −π12)]=sin(2x −π6)；考察选项不难发现：当x =π12时，sin(2×π12−π6)=0； ∴(π12,0)就是函数的一个对称中心坐标．故选：D ．由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可． 本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．5. 在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=( )A. 58B. 88C. 143D. 176 【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16， ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16， ∴S 11=11(a 1 +a 11)2=88，故选：B ．根据等差数列的定义和性质得a 1+a 11=a 4+a 8=16，再由S 11=11(a 1 +a 11)2运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题．6. 已知角θ的终边经过点P(x,3)(x <0)且cosθ=√1010x ，则x 等于( )A. −1B. −13C. −3D. −2√23【答案】A【解析】解：已知角α的终边经过点P(x,3)(x <0)所以OP =√x 2+9， 由三角函数的定义可知：cosθ=√1010x =√x 2+9，x <0解得x =−1． 故选：A ．求出OP 的距离，直接利用三角函数的定义，求出cosθ，列出方程，即可求出x 的值． 本题是基础题，考查三角函数的定义的应用，考查计算能力．7. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈[0,+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致 又∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |) ∴向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选：B ．先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，确定AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致，再由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)可得到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)，可得答案． 本题主要考查向量的线性运算和几何意义.属中档题．8. 设偶函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90∘，KL =1，则f(16)的值为( )A. −√34B. −14C. −12D. √34【答案】D【解析】解：因为f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90∘，KL =1， 所以A =12，T =2，因为T =2πω，所以ω=π，函数是偶函数，0<φ<π，所以φ=π2， ∴函数的解析式为：f(x)=12sin(πx +π2)， 所以f(16)=12sin(π6+π2)=√34．故选：D ．通过函数的图象，利用KL 以及∠KML =90∘求出求出A ，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f(16)的值．本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．9. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 一定是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B第4页，共11页【解析】解：∵(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选：B ．利用向量的运算法则将等式中的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．10. 正项等比数列{a n }中的a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 5a 6=( ) A. 1 B. 2 C. √2 D. −1【答案】B【解析】解：∵f(x)=13x 3−4x 2+6x −3，f′(x)=x 2−8x +6， a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点， ∴a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根， ∴a 1⋅a 11=6．∴log √6a 5a 6=log √6(a 1a 11)=log √66=2． 故选：B ．f′(x)=x 2−8x +6，a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，可得a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 函数f(x)=xx 2+a 的图象可能是( )A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】解：f(x)=xx 2+a ，可取a =0，f(x)=xx 2=1x ，故(4)正确； ∴f′(x)=a−x 2(x 2+a)2，拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！当a <0时，函数f′(x)<0恒成立，x 2+a =0，解得x =±√−a故函数f(x)在(−∞,−√−a)，(−√−a,√−a)，(√−a,+∞)上单调递减，故(3)正确； 取a >0，f′(x)=0，解得x =±√a ，当f′(x)>0，即x ∈(−√a,√a)时，函数单调递增，当f′(x)<0，即x ∈(−∞,−√a)，(√a,+∞)时，函数单调递减，故(2)正确 函数f(x)=xx 2+a 的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选：C ．分别令a =0，a >0，a <0，根据导数和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．12. 设函数是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A. (−2,0)∪(0,2) B. (−∞,−2)∪(2,+∞) C. (−2,0)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)∪(0,2) 【答案】D【解析】解：根据题意，设g(x)=lnx ⋅f(x)，(x >0)， 其导数g′(x)=(lnx)′f(x)+lnxf′(x)=1x f(x)+lnxf′(x)， 又由当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，即lnx ⋅f′(x)<−1x f(x)， 则有g′(x)=1x f(x)+lnxf′(x)<0，即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，又由g(1)=ln1⋅f(x)=0，则在区间(0,1)上，g(x)=lnx ⋅f(x)>0，又由lnx <0，则f(x)<0， 在区间(1,+∞)上，g(x)=lnx ⋅f(x)<0，又由lnx >0，则f(x)<0， 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上，f(x)<0，而x =1时，g(1)=ln1⋅f(x)=0，故f(x)也可小于0，又由f(x)为奇函数，则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0， (x 2−4)f(x)>0⇒{f(x)>0x 2−4>0或{f(x)<0x 2−4<0，解可得：x <−2或0<x <2，则x 的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：D ．根据题意，设g(x)=lnx ⋅f(x)，(x >0)，对g(x)求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x)在(0,+∞)上为减函数，分析g(x)的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+∞)上，都有f(x)<0，结合函数的奇偶性可得在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0，进而将不等式变形转化，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6，则2a ⃗ −b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为______． 【答案】1【解析】解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6，∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2|a ⃗ |2−a ⃗ ⋅b ⃗ =2×22−2×6×12=2，∴2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为(2a⃗ −b⃗)⋅a⃗|a⃗ |=22=1．故答案为：1．由已知求出(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗，然后代入投影概念得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．14.已知tanα=2，则cos2α+sin2α=______．【答案】1【解析】解：∵tanα=2，∴cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα1+tan2α=1+2×21+22=1．故答案为：1．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．15.递增数列{a n}满足2a n=a n−1+a n+1，(n∈N∗,n>1)，其前n项和为S n，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=______．【答案】35【解析】解：∵2a n=a n−1+a n+1，(n∈N∗,n>1)，∴数列{a n}为等差数列，又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，又a4a6=(a5−d)(a5+d)=9−d2=8，∴d2=1，解得：d=1或d=−1(舍去)∴a n=a5+(n−5)×1=3+(n−5)=n−2．∴a1=−1，∴S10=10a1+10×92=35．故答案为：35．由2a n=a n−1+a n+1，(n∈N∗,n>1)，知列{a n}为等差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前10项和S10．本题考查数列的求和，判断出数列{a n}为等差数列，并求得a n=2n−1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．16.对函数f(x)=2sin(12x+π6)−1 (x∈R)，有下列说法：①f(x)的周期为4π，值域为[−3,1]；②f(x)的图象关于直线x=2π3对称；③f(x)的图象关于点(−π3,0)对称；④f(x)在(−π,2π3)上单调递增；⑤将f(x)的图象向左平移π3个单位，即得到函数y=2cos12x−1的图象．其中正确的是______.(填上所有正确说法的序号)．【答案】①②④第6页，共11页拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！【解析】解：对函数f(x)=2sin(12x +π6)−1 (x ∈R)，他的周期为2π12=4π，值域为[−3,1]，故①正确． 当x =2π3时，f(x)=1，为最大值，故f(x)的图象关于直线x =2π3对称，故②正确．当x =−π3时，f(x)=−1，不是函数的最值，故故f(x)的图象不关于直线x =2π3对称，故③错误． 在(−π,2π3)上，12x +π6∈(−π3,π2)，故f(x)=2sin(12x +π6)单调递增，故f(x)在(−π,2π3)上单调递增，故④正确．将f(x)的图象向左平移π3个单位，即可得到函数y =2sin[12(x +π3)+π6]=2sin(12x +π3)的图象，故⑤错误，故答案为：①②④．由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos2A =−13，c =√3,sinA =√6sinC ．(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．【答案】解：(1)∵cos2A =1−2sin 2A =−13，且 0<A <π， ∴sinA =√63． ∵c =√3,sinA =√6sinC ，由正弦定理asinA =csinC ，得a =√6⋅c =√6×√3=3√2． (2)由sinA =√63,0<A <π2得cosA =√33．由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得b 2−2b −15=0． 解得b =5或b =−3(舍负)． ∴S △ABC =12bcsinA =5√22． 【解析】(1)由二倍角余弦公式求出sinA 的值，再由正弦定理即可求出a 的值； (2)由sinA 的值求出cosA 的值，再由余弦定理即可求出b 的值及△ABC 的面积．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．18. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=4．(Ⅰ)计算：|4a ⃗ −2b ⃗ |；(Ⅱ)当k 为何值时，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b⃗ )．【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为120∘，且|a⃗|=2，|b⃗ |=4．∴由已知得，a⃗⋅b⃗ =2×4×(−12)=−4．∵|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4+2×(−4)+16=12，∴|a⃗+b⃗ |=2√3．∵|4a⃗−2b⃗ |2=16a⃗2−16a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=16×4−16×(−4)+4×16=192，∴|4a⃗−2b⃗ |=8√3．(Ⅱ)∵(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ )，∴(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0，∴k a⃗2+(2k−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0，即16k−16(2k−1)−2×64=0，∴k=−7．即k=−7时，a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直．【解析】(Ⅰ)求出a⃗⋅b⃗ =2×4×(−12)=−4.由此能求出|4a⃗−2b⃗ |．(Ⅱ)由(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ )，得(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0，由此能求出k=−7时，a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直．本题考查向理的模的求法，考查满足向量垂直的实数值的求法，考查向量的娄量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(1)求函数f(x)的递增区间；(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．【答案】解：(1)f(x)=sin2x+√3sinxcosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x−π6)+12…(2分)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2解得kπ−π6≤x≤kπ+π3…(5分)f(x)的递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)…(6分)(2)∵0≤x≤π2，∴−π6≤2x−π6≤5π6…(8分)∴−12≤sin(2x−π6)≤1，∴0≤sin(2x−π6)+12≤32…(10分)∴f(x)的值域是[0,32]…(12分)【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简，然后通过正弦函数的单调增区间求解即可．(2)求出相位的范围，利用正弦函数的有界性，求解函数的值域即可．本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．20.已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=12(1−a n)．(1)求数列{a n}的通项公式并证明S n<12；第8页，共11页拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！(2)设函数f(x)=log 13x ，b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n )，若T n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n.求T n ．【答案】解：(1)当n ≥2时，S n−1=12(1−a n−1)，a n =S n −S n−1，∴a n =12(1−a n )−12(1−a n−1)=−12a n +12a n−1，整理得：2a n =−a n +a n−1，∴a n a n−1=13， 当n =1时，S 1=a 1=12(1−a 1)，解得：a 1=13，∴数列{a n }是首项a 1=13，公比为13的等比数列， ∴a n =13×(13)n−1=(13)n ，证明：由等比数列前n 项公式可知：S n =13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ]，∵1−(13)n <1，∴12[1−(13)n ]<12， ∴S n <12．(2)∵f(x)=log 13x ，∴b n =log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a n =log 13(a 1a 2…a n )=log 13(13)1+2+⋯+n ，=1+2+⋯+n =n(1+n)2．∵1b n=2n(1+n)=2(1n−1n+1)，∴T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2nn+1，∴T n =2nn+1．【解析】(1)由当n ≥2时，S n−1=12(1−a n−1)，a n =S n −S n−1，整理得：2a n =−a n +a n−1，a nan−1=13，当n =1时，a 1=13，数列{a n }是首项a 1=13，公比为13的等比数列，即可求得a n =13×(13)n−1=(13)n ，由等比数列前n 项和公式可知：S n =13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ]，由1−(13)n <1，则12[1−(13)n ]<12，即可证明S n <12；(2)b n =log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a n =log 13(a 1a 2…a n )=log 13(13)1+2+⋯+n =1+2+第10页，共11页⋯+n =n(1+n)2，则1b n=2n(1+n)=2(1n −1n+1)，采用“裂项法”即可求得T n ．本题考查等比数列前n 项和公式的应用，求等差数数列的前n 项和，考查“裂项法”求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题．21. 已知函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若 f(x)≤0恒成立，式确定实数k 的取值范围． 【答案】解：(1)∵函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1， ∴f′(x)=1x−1−k ，(x >1)，∴当k ≤0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增；当k >0时，令1x−1−k >0，则1<x <1+1k ，∴函数f(x)在区间(1,1+1k )上单调递增； 令1x−1−k <0，则x >1+1k ，∴函数f(x)在区间(1+1k ,+∞)上单调递减．综上，当k ≤0时，函数f(x)单调递增区间为(1,+∞)；当k >0时，函数f(x)单调递增区间为(1,1+1k )，单调递减区间为(1+1k ,+∞)． (2)由(1)知：当k >0时，函数f(x)的最大值为：f(1+1k )=ln 1k =−lnk ．∵f(x)≤0恒成立，∴−lnk <0， ∴k >1．【解析】本题(1)先求出函数的导函数，利用导函数值的正负，研究函数的单调性，注意要分类研究；(2)要使 f(x)≤0恒成立，就要求函数的最大值小于0，利用(1)的结论，得到求出函数最大值，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论．本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=1+tcosα(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位)，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=6sinθ． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若点P(1,2)，设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求|PA|+|PB|的最小值． 【答案】解：(Ⅰ)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ， 化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ， 即x 2+(y −3)2=9．(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2+2(cosα−sinα)t −7=0．由△=(2cosα−2sinα)2+4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以{t 1⋅t 2=−7t 1+t 1=−2(cosα−sinα)，又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2 =√4(cosα−sinα)2+28=√32−4sin2α≥√32−4=2√7． 所以|PA|+|PB|的最小值为2√7．拼搏的你，背影很美！【解析】(I)利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；(II)先根据(I)得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．努力的你，未来可期！。