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第七章习题解答和解析1. 试述数据库设计过程。
答：这里只概要列出数据库设计过程的六个阶段:(1) 需求分析;(2) 概念结构设计;(3) 逻辑结构设计;(4) 数据库物理设计;(5) 数据库实施;(6) 数据库运行和维护。
这是一个完整的实际数据库及其应用系统的设计过程。
不仅包括设计数据库本身,还包括数据库的实施、运行和维护。
设计一个完善的数据库应用系统往往是上述六个阶段的不断反复。
解析：希望读者能够认真阅读《概论》7.1 的内容,了解并掌握数据库设计过程。
2.试述数据库设计过程中结构设计部分形成的数据库模式。
答：数据库结构设计的不同阶段形成数据库的各级模式,即:(1) 在概念设计阶段形成独立于机器特点,独立于各个 DB MS 产品的概念模式,在本篇中就是 E-R 图;(2) 在逻辑设计阶段将 E-R 图转换成具体的数据库产品支持的数据模型,如关系模型,形成数据库逻辑模式,然后在基本表的基础上再建立必要的视图(View),形成数据的外模式;(3) 在物理设计阶段,根据 DB MS 特点和处理的需要,进行物理存储安排,建立索引,形成数据库内模式。
读者可以参考《概论》上图7.4。
图中概念模式是面向用户和设计人员的,属于概念模型的层次;逻辑模式、外模式、内模式是 DBMS 支持的模式,属于数据模型的层次,可以在 DBMS 中加以描述和存储。
3.需求分析阶段的设计目标是什么 ? 调查的内容是什么 ?答需求分析阶段的设计目标是通过详细调查现实世界要处理的对象(组织、部门、企业等),充分了解原系统(手工系统或计算机系统)工作概况,明确用户的各种需求,然后在此基础上确定新系统的功能。
调查的内容是“数据”和“处理”,即获得用户对数据库的如下要求:(1) 信息要求,指用户需要从数据库中获得信息的内容与性质,由信息要求可以导出数据要求,即在数据库中需要存储哪些数据;(2) 处理要求,指用户要完成什么处理功能,对处理的响应时间有什么要求,处理方式是批处理还是联机处理;(3) 安全性与完整性要求。
【优化方案】2021年高考数学总复习 第七章第6课时知能演练+轻松闯关 文创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日1．(2021·调研)点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的间隔 是( )A.62B.32C. 3D ．2c ＝2，a ＝1，∴b ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)． 将y ＝12代入可求P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的间隔 为 －522＋122＝62. 2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1是左焦点，O 是坐标原点，假设双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，那么此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1，＋∞)C ．(1,3)D ．[2，＋∞)解析：选D.由|PO |＝|PF 1|得点P 的横坐标x 1＝－c2，因为P 在双曲线的左支上，所以－c2≤－a ，即e ＝c a≥2.应选D.3．(2021·高考卷)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或者λ＝－4.一、选择题1．(2021·高考卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，那么a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得aa >0，∴a ＝2. 2．M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，那么动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支D ．一条射线解析：选C.∵|PM |－|PN |＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM |＞|PN |，∴点P 的轨迹为双曲线的右支． 3．(2021·质检)假设k ∈R ，那么方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或者k ＞－2D ．k ＞－2⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.4．(2021·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的间隔 为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，那么双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.5．双曲线的焦点分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，假设双曲线上存在一点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝8，那么此双曲线的HY 方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 264－y 236＝1 D.x 24－y 23＝1 x 轴上，由|PF 1|－|PF 2|＝8得a ＝4，又c ＝5，从而b 2＝c 2－a2x 216－y 29＝1.应选A. 二、填空题6．(2021·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有一样的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为________．解析：椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有一样的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.答案：x 24－y 23＝17．过点P (－2,0)的双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1有一样的焦点，那么双曲线C 的渐近线方程是________．解析：由题意，双曲线C 的焦点在x 轴上且为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，∴c ＝4. 又双曲线过点P (－2,0)，∴a ＝2. ∴b ＝c 2－a 2＝23，∴其渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 答案：3x ±y ＝08．双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，那么PA 1→·PF 2→的最小值为________．解析：设P (x 0，y 0)，由题意知x 0≥1，且A 1(－1,0)，F 2(2,0)，那么PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－x 0－2，由P 在双曲线x 2－y 23＝1上得x 20－y 203＝1，所以y 20＝3x 20－3，所以PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－182－164－5(x 0≥1)，故当x 0＝1时，(PA 1→·PF 2→)min ＝－2.答案：－2 三、解答题9．椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有一样焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的间隔 为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10.如下图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|， 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23，∴双曲线的方程为：3x 22－y22＝1.11．(探究选做)中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，务实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12m 2＋1－3k 2＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2，由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1，② 将②代入①，得m 2－4m ＞0， ∴m ＜0或者m ＞4， 又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)， 即m ＞－14.∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。
[方法点拨] (1)带电粒子在匀强电场中做直线运动时，一般用牛顿第二定律与运动学公式结合处理或用动能定理处理．(2)在匀强电场中做类平抛运动时一般从分解的角度处理．(3)注意带电粒子重力能否忽略．
1．电子束焊接机中的电场线如图1中虚线所示．K 为阴极，A 为阳极，两极之间的距离为d ，在两极之间加上高压U ，有一电子在K 极由静止被加速．不考虑电子重力，元电荷为e ，则下列说法正确的是( )
图1
A ．A 、K 之间的电场强度为U d
B ．电子到达A 极板时的动能大于eU
C ．由K 到A 电子的电势能减小了eU
D ．由K 沿直线到A 电势逐渐减小
2．(多选)(2017·四川资阳4月模拟)如图2所示，质量相同的两个带电粒子M 、N 以相同的速度同时沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中，M 从两极板正中央射入，N 从下极板边缘处射入，它们最后打在同一点．不计带电粒子重力和带电粒子间的相互作用，则从开始射入到打在上极板的过程中( )
图2
A ．它们运动的时间t N ＝t M
B ．它们电势能减少量之比ΔE M ∶ΔE N ＝1∶2
C ．它们的动能增加量之比ΔE k M ∶ΔE k N ＝1∶2
D ．它们所带的电荷量之比q M ∶q N ＝1∶2
3．(2017·山东师范大学附中第三次模拟)如图3所示，有一带电粒子贴着A 板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U 1时，带电粒子沿轨迹①从两板正中间飞出；当偏转电压为U 2时，带电粒子沿轨迹②落到B 板中间．设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次的电压之比为( )
图3
A ．U 1∶U 2＝1∶8
B ．U 1∶U 2＝1∶4
C ．U 1∶U 2＝1∶2
D ．U 1∶U 2＝1∶1
4．(2017·广东汕头质量检测)一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两个比荷(即粒子的电荷量与质量之比)不同的带正电的粒子a 和b ，从电容器边缘的P 点(如图4)以相同的水平速度射入两平行板之间．测得a 和b 与电容器的撞击点到入射点之间的水平距离之比为1∶2.若不计重力，则a 和b 的比荷之比是( )
图4
A ．4∶1
B ．2∶1
C ．1∶1
D ．1∶2
5．(2017·安徽马鞍山第一次模拟)如图5所示，虚线表示匀强电场的等势线，间距均为d ，一质量为m 、电荷量大小为q 的粒子(不计重力)，从A 点以与等势线成θ角的速度v 0射入，到达B 点时，速度方向恰与等势线平行，则( )
图5
A ．粒子一定带正电
B ．电场中A 点的电势一定高于B 点电势
C ．匀强电场的电场强度大小为m v 02sin 2θ4qd
D ．粒子在A 点具有的电势能大于在B 点具有的电势能
6．(2018·河南省八校第二次测评)如图6，半径为R 的圆环处在匀强电场E 中，圆环平面与电场方向平行，直径ab 与电场线垂直；一带电粒子以速度v 0从a 点沿ab 方向射入电场，
粒子打在圆环上的c 点；已知c 点与ab 的距离为R
2
，不计粒子重力，求带电粒子的比荷.
图6
7.(2018·四川泸州一检)如图7所示，竖直平行正对放置的带电金属板A 、B ，B 板中心的小孔正好位于平面直角坐标系xOy 的O 点；y 轴沿竖直方向；在x >0的区域内存在沿y 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E ＝4
3×103 V /m ；比荷为1.0×105 C/kg 的带正电的粒子P
从A 板中心O ′处静止释放，其运动轨迹恰好经过M (3，1)点；粒子P 的重力不计，试求：
图7
(1)金属板A 、B 之间的电势差U AB ；
(2)若在粒子P 经过O 点的同时，在y 轴右侧匀强电场中某点由静止释放另一带电微粒Q ，使P 、Q 恰能运动中相碰；假设Q 的质量是P 的2倍、带电情况与P 相同；Q 的重力及P 、Q 之间的相互作用力均忽略不计；求粒子Q 所有释放点的集合．
8．(2017·湖北孝感第一次统考)在xOy 直角坐标系中，三个边长都为2 m 的正方形如图8所示排列，第Ⅰ象限正方形区域ABOC 中有水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E 0，在第Ⅱ象限正方形COED 的对角线CE 左侧CED 区域内有竖直向下的匀强电场，三角形OEC 区域内无电场，正方形DENM 区域内无电场．现有一带电荷量为＋q 、质量为m 的带电粒子(重力不计)从AB 边上的A 点由静止释放，恰好能通过E 点．
图8
(1)求CED 区域内的匀强电场的电场强度的大小E 1；
(2)保持(1)问中电场强度不变，若在正方形ABOC 中某些点静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有粒子都经过E 点，则释放点的坐标值x 、y 间应满足什么关系；
(3)若CDE 区域内的电场强度大小变为E 2＝4
3E 0，方向不变，其他条件都不变，则在正方形
区域ABOC 中某些点静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有粒子都经过N 点，则释放点的坐标值x 、y 间又应满足什么关系．
答案精析
1．C [A 、K 之间的电场为非匀强电场，A 、K 之间的电场强度不是U
d ，选项A 错误；由动
能定理，电子到达A 极板时的动能E k ＝eU ，选项B 错误；电子由K 到A 的过程电场力做正功，电子的电势能减小了eU ，选项C 正确；沿电场线方向电势降低，则由K 沿直线到A 电势逐渐升高，选项D 错误．] 2．AD
3．A [据题意，粒子在偏转电场中做类平抛运动，即粒子在水平方向做匀速直线运动，则：x ＝v t ，在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，则：y ＝12at 2＝qUx 2
2md v 2，偏转电压为U ＝
2mdy v 2qx 2，则偏转电压之比为：U 1U 2＝y 1x 22y 2x 12＝y 1y 2·(x 2x 1)2＝1
8，故A 选项正确．] 4．A 5.C 6．见解析
解析 沿ab 方向与电场强度方向建立xOy 直角坐标系，设粒子从a 到c 所需时间为t ，则：x ＝v 0t y ＝12
at 2 由牛顿第二定律得qE ＝ma 由题意可知：y ＝12R ；x ＝(1＋3
2
)R
联立解得：q m ＝4(7－43)v 0
2
ER
7．(1)1 000 V (2)y ＝1
6
x 2，其中x >0
解析 (1)设粒子P 的质量为m 、带电荷量为q ，从O 点进入匀强电场时的速度大小为v 0；由题意可知，粒子P 在y 轴右侧匀强电场中做类平抛运动；设从O 点运动到M (3，1)点所用时间为t 0，由类平抛运动可得：x ＝v 0t 0，y ＝qE
2m t 02
解得：v 0＝2×104 m/s
在金属板A 、B 之间，由动能定理：qU AB ＝1
2m v 02
解得：U AB ＝1 000 V
(2)设P 、Q 在右侧电场中运动的加速度分别为a 1、a 2；Q 粒子从N (x ，y )点释放后，经时间t 与粒子P 相碰；由牛顿运动定律及类平抛运动的规律和几何关系可得 对于P ：Eq ＝ma 1 对于Q ：Eq ＝2ma 2 x ＝v 0t 12a 1t 2＝y ＋12
a 2t 2 解得：y ＝1
6
x 2，其中x >0
即粒子Q 释放点N (x ，y )坐标满足的方程为 y ＝1
6
x 2，其中x >0 8．(1)4E 0 (2)y ＝x (3)y ＝3x －4
解析 (1)设带电粒子出第Ⅰ象限电场时的速度为v ，在第Ⅰ象限电场中加速运动时，根据动能定理得E 0qL ＝1
2m v 2，其中L ＝2 m ．要使带电粒子通过E 点，在第Ⅱ象限电场中偏转时，
竖直方向位移为y 0，设水平方向位移为x 0，则y 0＝12·E 1q m (x 0
v )2，因∠CEO ＝45°，即x 0＝y 0＝2 m ，
解得E 1＝4E 0.
(2)设释放点的坐标为(x ，y )，带电粒子出第Ⅰ象限电场时的速度为v 1，在第Ⅰ象限电场中加速运动时，根据动能定理得E 0qx ＝1
2m v 12，要使带电粒子过E 点，在第Ⅱ象限电场中偏转时，
竖直方向位移为y ，水平方向位移也为y ，则y ＝12·E 1q m (y
v 1
)2，解得y ＝x .
(3)如图所示为其中一条轨迹图，带电粒子从DE 出电场时与DE 交于Q .进入CDE 区域的电场后，初速度延长线与DE 交于G ，出电场时速度的反向延长线与初速度延长线交于P 点，设在第Ⅰ象限释放点的坐标为(x ，y )．
由图可知，在CDE 区域中带电粒子的水平位移为y ，设偏转位移为y ′，则y ′＝12·E 2q m (y
v 2)2，
而y ′y －y ′＝GP NE ，其中GP ＝y 2，
NE ＝2 m ，
在第Ⅰ象限加速过程中，E 0qx ＝1
2m v 22，解得y ＝3x －4.。
