河南省南阳市2020届高三下学期综合训练一数学(文)试卷word版

2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。

2019—2020学年南阳市秋期期末质量评估高三数学试卷（文）〔考试时刻120分钟，总分值150分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，中有一个是符合题目要求的．1. 全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，那么()U P Q 等于 A {}1 B {}1,4 C {}1,2 D {}2,32. 设p:2log 0;:10x q x <-<，那么p 是q 的A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件3. 假设奇函数f(x)的定义域为{||2|,0}x x a a a +-<>，那么a 的值为A 1B 2C 3D 44. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设359,5a a ==，那么95S S 的值是 A1 B-1 C12 D2 5.假设F 为抛物线24y x =的焦点，()()112233,,(,),,A x y B x y C x y 是抛物线上不同的三点，假设1233x x x ++=，那么||||||FA FB FC ++=A3 B4 C6 D86.向量a 与b 的夹角为θ，假设(2,1)a =且3(5,4)b a +=，那么 A 13B 10C 10D 457.平面上有A(-2,1),B(1,4)两点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，那么点C 的坐标为 A(-1,2) B(-1,2)或(-5,-2) C(0,3) D(-5,-2)8.正三棱柱111ABC A B C -中，假设二面角111A B C A --的大小为α，且tan 3α=，那么1AC 与平面11BB CC 所成的角的正弦值为A 2B 4C 5D 39.在等比数列{}n a 中，首项13a =，公比q=2，那么22212n a a a +++= A 14113n ++ B 121n +- C 3(41)n - D 14233n ++ 10.关于函数2sin (sin cos )y x x x =+，以下结论：①f(x)的最小正周期为π②3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，有最小值11+(,0)8π④将f(x)的图像按(,1)8a π=--平移，可得到函数2y x =的图像，其中正确的有A ②④B ①④C ③④D ①③④11.双曲线221169x y -=的右焦点为F ，点A(6,1)，M 是双曲线的右支上动点，那么4|MA|+||5MF 最小值为A 6B 215C 145D 165 12.定义在R 上的周期函数f(x)，其周期T=2，直线x=2是它的图像上的一条对称轴，且f(x)在[]3,2--上是减函数，假如A,B 是锐角三角形的两个内角，那么Af(sinA)>f(cosB) Bf(sinA)<f(cosB) Cf(sinA)>f(sinB) Df(cosA)>f(cosB)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共16分．请将答案填在横线上．13.设集合{}{},,,0,1M a b c N ==，映射:f M N →满足f(a)+f(b)=f(c)，那么映射:f M N →的个数为___________.14.一个三棱锥S ABC -的三条侧棱SA,SB,SC 两两垂直，且长度均为1，该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，那么那个球的表面积为__________.15.,,,l A B αβαβαβ⊥⋂=∈∈，AB 与,αβ所成角分不为,46ππ，假设|AB|=12，那么AB 与l 所成角的正弦值为__________.16给出以下命题①假设f(x)是奇函数，那么f(x-1)的图像关于A(1,0)对称②假设直线l 的倾斜角为α，那么其斜率为tan α③0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数2sin sin y x x=+的最小值是 ④假设函数223()log (236)f x x mx m =-+-+在区间[3,2)-上是减函数，那么43m -≤≤- ⑤函数25()3x f x x +=-，假设函数y=g(x)的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y=x 对称，那么g(4)=13其中正确命题序号是____________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角A,B,C 的对边分不为a,b,c ，且1cos 3A =（1） 求2sin cos 22B C A ++的值（2） 假设a =bc 的最大值18.设函数3215()3(0)33f x x ax ax a =---> （1） 假设a=1，求f(x)的单调区间和极值；（2） 假设方程f(x)=0有且只有一个解，求实数a 的取值范畴。

南阳市一中2020届第三次模拟考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.集合{}{}2|113,|230M x x N x x x =<+<=-->，则()()R R C M C N =A.[](]1,02,3- B. ()()1,02,3- C. ()[)1,02,3- D. ()1,3-2.i 为虚数单位，则201711i i ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭A.i -B. 1-C. iD.13.已知{}n a 为公差不为0的等差数列，满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为A. -2B. -3C. 2D. 34.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 328π+B.8323π+C. 8163π+ D. 168π+5.设实数,x y 满足约束条件02200y x x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若目标函数()0z mx y m =+>的最大值为6，则m 的值为A. 2B. 4C. 8D. 166.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()()2210y ax a x a =+++≠相切，则a 等于A. 7B. 8C. 9D. 107.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 118.已知函数()()[]()2cos 0,0,f x x ωϕωϕπ=->∈的部分图象如图所示，若3,22A B ππ⎛⎛ ⎝⎝，则函数()f x 的单调递增区间为 A. 32,2,44k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B. 372,2,44k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D. 37,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9.在区间[]1,3-上随机取一个数x ，若x 满足x m <的概率为0.75，则m = A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.使()2log 1x x -<+成立的实数的取值范围是A.(),1-∞B. (),0-∞C.()1,-+∞D.()1,0-11.三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为A.2 B. 6 C. 312.如图，在直角梯形ABCD 中，,//,2,1AB AD AB DC AB AD DC ⊥===,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为12，且点P 在图中阴影部分（包含边界）运动，若AP xAB yBC =+，其中,x y R ∈，则4x y -的最大值为A. 3+34-3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若单位向量12,e e 的夹角为3π，则向量122e e -与向量1e 的夹角为 .14.过点()2,3P 作圆()2211x y -+=的两条切线，与圆相切于,A B ，则直线AB 的方程为 .15.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>相交于,a b 两点，直线AB 恰好经过它们的公共焦点F,则双曲线的离心率为 . 16.已知函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos 15.25A AB AC =⋅= （1）求ABC ∆的面积； （2）若tan 2B =，求a 的值.18.（本题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格售出，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.（1）求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个n N ∈）的函数关系式；（2）求当天的利润不低于750元的概率.19.（本题满分12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=，且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90，得到图形（2），连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上. （1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y P a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且经过点2,33⎛ ⎝⎭（1）求椭圆P 的方程；（2）已知正方形ABCD 的顶点,A C 在椭圆P 上，顶点,B D 在直线7710x y -+=上，求该正方形ABCD 的面积.21.（本题满分12分）已知0a ≥，函数()()22.x f x x ax e =- （1）当x 为何值时，()f x 取得最小值？并证明你的结论； （2）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

河南省南阳市枣林中学2020年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （文）设函数，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A.x1＋x2>0，y1＋y2>0B.x1＋x2>0，y1＋y2<0C.x1＋x2<0，y1＋y2>0D.x1＋x2<0，y1＋y2<0参考答案：B2. 已知函数，且方程(x＞0)的根从小到大依次为a1，a2，a3，…，a n，则数列{a n}的前n项和S n=A. B.C. D.参考答案：D3. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两条切线互相垂直，则离心率为(A)(B) (C) (D)参考答案：【知识点】椭圆的简单性质．H5A 解析：椭圆的方程为：，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两条切线互相垂直，根据圆和椭圆的对称性求得∠OAB=45°，所以：，解得：，即椭圆的离心率，故选：A．【思路点拨】首先根据已知条件和圆与椭圆的对称性求出∠OAB=45°，进一步求出进一步求出椭圆的离心率的值．4. 按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（）A ．(20,25]B．(30,32] C．(28,57] D．(30,57]参考答案：C5. 已知中，，则为（）A．等腰三角形 B．的三角形C．等腰三角形或的三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C6. 过双曲线x2﹣=1（b＞0）的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若∠OFE=2∠EOF，则b=（）A．B．C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，∠OFE=2∠EOF=60°，双曲线的一条渐近线的斜率为，可得结论．【解答】解：由题意，∠OFE=2∠EOF=60°，∴双曲线的一条渐近线的斜率为，∴b=，故选D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．7. 已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（）A.3B.C.2D.参考答案：C，，函数的值域为，所以，且，即，所以。

大象联考2020年河南省普通高中高考质量测评（一）数学（文科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）参考公式：锥体的体积公式：1=3V Sh （其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()123z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先化简求出复数z ，然后可得到其在复平面所对应的点，即可得答案 【详解】复数()()()()31235511212125i i i i z i i i i +-+-====-++-，复数1z i =-对应点()1,1-，是第四象限的点， 故选：D.【点睛】此题考查复数的运算，复数与复平面内的点的对应关系，属于基础题2.已知集合{}2,3,5,7,8,9U =，{}2,3,5,8A =，{}2,5,7B =，则下列结论正确的是（ ） A. A B ⊆ B. B A ⊆C. {}2,5A B =ID. (){}7,9U A B =U ð【答案】C 【解析】 【分析】由已知可知集合A 中的元素不都全在集合B 中，且集合B 中的元素不都全在集合A 中，所以A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，而集合A 和集合B 的公共元素为2和5，从而可选出答案【详解】因为集合A 中含有元素3，集合B 中含有元素7，所以A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，故选项A ，B 错误；{}2,5A B =I ，选项C 正确；{}7,9U A =ð，所以(){}2,5,7,9U A B =U ð，选项D 错误. 故选：C.【点睛】此题考查集合间的关系，集合的运算，属于基础题3.已知单位向量,a b r r 满足,3a b π=r r ，若()a a tb ⊥-r r r ，则实数t 的值为（ ）A.12B. 1C. 2D.23【答案】C 【解析】 【分析】由两向量垂直，得其数量积等于零，列方程可求出t 的值【详解】因为()a a tb ⊥-r r r ，所以()0a a tb ⋅-=r r r，即()22cos ,a a tb a ta b a t a b a b ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r r r r 1102t -=，解得2t =，故选：C.【点睛】此题考查的是向量垂直、数量积的运算，属于基础题4.成语“运筹帷幄”的典故出自《史记•高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹，引申为策划.古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的算筹，其中1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空.那么2536用算筹可表示为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由条件发现其对应的规律即可【详解】由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式..2536的个位是6，用纵式；十位是3，用横式；百位是5，用纵式；千位是2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答案为，故选：B.【点睛】此题考查归纳推理的应用，属于基础题5.函数()21x xe ef x x--=-的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的定义域、判断奇偶性、取特殊值可选答案 【详解】由题知，函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()()()2211x x x x e e e e f x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除选项A ，B ，又因为()2222220123e e e ef ----==-<-，所以选项D 错误， 故选：C.【点睛】此题考查函数的图象的判断，函数的定义域、值域、奇偶性、特殊点的位置是判断函数图象的常用方法，属于中档题.6.已知2log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 7c =，则（ ）A. b c a <<B. a c b <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】由于2log 3a =， 22422log 7log 7log 7log 7log 42c ====，所以,a c 可以化成同底的对数比较大小，再与中间量1比较大小，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1比较大小，可得答案【详解】2log 31a =>，0.2113b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，22422log 7log 7log 7log 71log 42c ====>，因为37>，所以22log 3log 7a c =>=，故1a c b >>>，故选：A.【点睛】此题考查的是指数式、对数式比较大小，通常找中间量“0”，“1”比较大小，属于中档题. 7.总体由编号为01，02，03，…，29，30的30个个体构成，利用给出的某随机数表的第11行到第14行（见下表）随机抽取10个，如果选取第12行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选取的第4个的号码为（ ）A. 02B. 05C. 07D. 15【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得结论.【详解】根据随机数表的读法可知，一个数是一列，重复不计，依据题目规则，从76起，选取的数依次为：17，05，02，07，可得答案为07. 故选：C【点睛】此题考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题.8.已知函数()sin 3cos f x x x =，x ∈R ，先将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图像关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ） A.9π B.3π C. 518π D.23π 【答案】C 【解析】因()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的13后所得函数的解析式为()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()y g x =图像在y 轴左侧的第一条对称轴518x π=-，故至少向右平移518π个单位就可以得到关于y 轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和y 轴附近的对称轴或对称中心有关.9.已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ）A.49B.13C.25D.310【答案】B 【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为过1F 且斜率为3的直线与双曲线的一个交点，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A. 2B.1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】，所以此直线的倾斜角为30°，即1230PF F ∠=︒，再由21122PF F PF F ∠=∠，得2160PF F ∠=︒，从而得12PF F ∆为直角三角形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得,a c 的关系，从而可求出离心率.【详解】由题意，直线)y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为30°，21122PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，∴1290F PF ∠=︒，即12F P F P ⊥.∴21212PF F F c ==，∴112sin 60PF F F =︒=，根据双曲线定义有212PF PF c a -=-=，∴离心率1==c e a . 故选：B【点睛】此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.11.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的内切球的体积为（ ）A.2B.3C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】由平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再由棱长求出高，然后由体积公式计算即可.【详解】三棱锥P ABC -展开后为一等边三角形，设边长为a ，则sin aA=，所以a =∴三棱锥P ABC -棱长为P ABC -的高为设内切球的半径为r ，则1142333ABC ABC r S S ∆∆⨯⨯=⨯，所以32r =， ∴三棱锥P ABC -的内切球的体积为34332r ππ=， 故选：A.【点睛】此题考查锥体的体积，考查等体积的运用，属于基础题.12.比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A.33B.23C.6513D.53【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率.【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =-=-=， 所以5c e a ==， 故选：D.【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线2ln y a x x =-在点()1,1-处的切线方程为20x y --=，则a =_______.【答案】3 【解析】 【分析】先函数求导，然后将切点的横坐标1代入导函数中，使其值等于切线的斜率1，得到方程可求出a 的值. 【详解】因为2a y x x '=-，所以曲线在点()1,1-处的切线斜率2211ak a =-=-=，所以3a =. 故答案为：3【点睛】此题考查的是导数的几何意义,属于基础题.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若32n n S a =-，则n a =________.【答案】132n -骣琪琪桫【解析】 【分析】 由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n a .【详解】当1n =时，1132S a =-，即11a =； 当2n ≥时，32n n S a =-，①1132n n S a --=-，②①-②得133n n n a a a -=-，即132n n a a -=， 所以{}n a 是公比为32，首项为1的等比数列，故132n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：132n -骣琪琪桫【点睛】此题考查的是数列的前n 项和与通项间的关系,属于基础题. 15.已知θ为第四象限的角，sin cos 3θθ+=，则cos2θ=________.【解析】 【分析】给sin cos θθ+=两边平方先求出2sin cos θθ,然后利用完全平方公式求出cos sin θθ-,再利用公式22cos 2cos sin θθθ=-可得结果.【详解】∵sin cos θθ+=，两边平方得：11sin 23θ+=，∴2sin 23θ=-，∴()25sin cos 1sin 23θθθ-=-=， ∵θ为第四象限角，∴sin 0θ<，cos 0θ>，∴cos sin θθ-=∴()()cos 2cos sin cos sin θθθθθ=-+=故答案为：53【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.16.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ，如果将容器倒置，水面也恰好经过点P ，则下列四个命题： ①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半； ②若往容器内再注a 升水，则容器恰好能装满； ③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P ； ④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P . 其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）. 【答案】②③ 【解析】 【分析】若设图（1）水的高度2h ，几何体的高为1h ，则由已知得1253h h =，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，水占容器空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，当水面与四棱锥的一个侧面重合时，水的体积为2222252363b h b h >，由此得到正确的结论. 【详解】设图（1）水的高度2h ，几何体的高为1h ，底面边长为b ，图（1）中水的体积为2223b h ，图（2）中水的体积为()2221212b h b h b h h -=-， 所以()2221223b h b h h =-，所以1253h h =，故①错误；由题意知a 升水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可知③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2222252363b h b h >矛盾，故④不正确.故答案为②③. 故答案为：②③【点睛】此题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，属于难题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25a =，763S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =+（2）11646n -+ 【解析】 【分析】(1)由已知条件列出关于1,a d 的方程组,求出1,a d ,可得{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出的21n a n =+,可得数列{}n b 的通项公式,然后利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 是等差数列，由275,63a S =⎧⎨=⎩得115,72163.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =+. （2）由（1）知()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和12111111111235257279n n T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111111112212323557792123n n n n ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L111112323646n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查的是等差数列的基本量计算，裂项相消求和法，属于基础题. 18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）82⎛⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角，化简统一成角B 的三角函数，可求出的角B ；（2）由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2tan 2C c A a C C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，然后由角B 的值，可求出角C 的取值范围，从而得到a的取值范围，而4ABC S a ∆=，所以可求得ABC ∆面积的取值范围. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得sin cos 6a B a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 即sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tan B =又因为()0,B π∈，可得3B π=.（2）由题设及（1）知ABC ∆的面积ABC S ∆=.由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2C c A a C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+. 由于ABC ∆为锐角三角形，故02A π<<，02C <<π，由（1）知23A C π+=，所以62C ππ<<， 故122a <<，ABC S ∆<<因此ABC ∆面积的取值范围是33,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，属于基础题.19.已知多面体1111ABCD A B C D -，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，111AB BC CD AA CC =====，112BB =，12AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C（2）连接1A B ，求三棱锥111A B BC -的体积. 【答案】（1）见解析（2）324【解析】 【分析】（1）由已知可证得11//AC AC ，所以只需要证AC ⊥平面11CDD C 即可，由已知数据可证得CD AC ⊥，而1C C ⊥平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，所以可证得结论；（2）由已知可得1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===，由于三棱锥111A B BC -的体积计算比较困难，所以转化为求三棱锥1B ABC -体积.【详解】解：（1）连接AC ，由于11//AA CC 且11=AA CC ，所以四边形11ACC A 为平行四边形，所以11//AC AC . 又底面ABCD 为等腰梯形，12AB BC CD AD ===， 则60ADC ∠=︒，30DAC ACB BAC ∠=∠=∠=︒， 所以90DCA ∠=︒，即CD AC ⊥.因为1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以1C C AC ⊥，又1C C CD C =I ，所以AC ⊥平面11CDD C ，又因为11//AC AC ， 故11A C ⊥平面11CDD C .（2）法一：延长AB ，CD 交于点G ，连接1B G ，1C G .因为//AD BC ，12BC AD =，所以BC 为AGD ∆的中位线，所以AB BG =.又因为11//AA BB ，1112BB AA =，所以点1A ，1B ，G 在同一条直线上，且111A B B G =.同理可证点1D ，1C ，G 在同一条直线上，且111D C C G =.取CG 中点M ，连接BM .则11////BM AC AC ，BM ⊄平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，所以//BM 平面111A B C . 因此点B 到平面111A B C 的距离和点M 到平面111A B C 的距离相等. 由（1）知11A C ⊥平面11CDD C ，又11A C ⊂平面111A B C ， 所以平面111A B C ⊥平面11CDD C .又平面111A B C Ç平面111CDD C GD =，过点M 作1MH GD ⊥，则MH ⊥平面111A B C ， 即点M 到平面111A B C 的距离为24. 又11164A B C S ∆=， 所以111162334424A B BC V -=⨯⨯=.法二：因为11//AA BB ，1AA ⊄平面11B BC ，1BB ⊂平面11B BC ，所以1//AA 平面11B BC 所以到点1A 到平面11B BC 的距离等于点A 到平面11B BC 的距离，因为11//CC BB ，所以111B BC B BC S S =， 所以1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===.因为1AB BC CD ===，2AD =，所以120ABC ∠=︒，所以1112ABC S =⨯⨯=. 又1BB ⊥平面ABCD ，所以1BB 为高，所以11111132A B BC B ABC V V --===. 【点睛】此题考查了线面垂直的证明，利用等体积法求距离，属于中档题.20.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料： 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验；（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ； （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为iii 1n2i i 1()(-)()ˆv u nu u v u β==-=-∑∑，ˆ-ˆu ανβ= . 【答案】(1)1().3P A = (2)183077y x =-.(3)小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】分析：从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由所给数据求得11,24x y ==，由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =，从而可得结果；（Ⅲ）利用所求回归方程，当10x =时，当6x =时，分别求出对应的y 的值，即可判断所得线性回归方程是否理想. 详解：（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A == （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bx a =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 21.已知()()22ln f x x a x a x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[)0,+∞ 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后令导函数大于零，解集为增区间，导函数小于零,解集为减区间，而函数的定义域为(0,)+∞，所以要分情况讨论求解其单调区间；（2）要()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，只要22ln 10x x a x -++>对1x ∀>恒成立，然后构造函数，求此函数的最小值，只要最小值大于零即可求a 的取值范围.【详解】解：（1）()()()22222x a x aa f x x a x x-++'=-++=（0x >），令()()()()22221g x x a x a x a x =-++=--.①当0a ≤时，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；②当02a <<时，0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当2a =时，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增； ④当2a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 当02a <<时，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增；当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当2a >时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，即22ln 10x x a x -++>对1x ∀>恒成立. 令()22ln 1h x x x a x =-++，则()min 0h x >，又()112ln110h a =-++=.()22222a x x a h x x x x -+'=-+=，令()221122222t x x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭. ①当12a ≥时，()2220t x x x a =-+≥，()h x 单调递增， 所以当1x >时，()()10h x h >=，符合题意； ②当12a <时，设()2220t x x x a =-+=的两根为1x ，2x ，且12x x <， 则121x x =+，122a x x =. （ⅰ）若21>x ，则()21,x x ∈时()0t x <，()h x 单调递减；()2,x x ∈+∞时，()0t x >，()h x 单调递增.()()()2min 10h x h x h =<=，舍去；（ii ）若21x ≤，则()1,x ∈+∞时，()0t x >，()h x 单调递增； ()()min 10h x h >=，符合题意， 由()t x 的图象可知，若满足21x ≤，则()1220t a =-+≥，又12a <，即102a ≤<.综上，a 的取值范围为[)0,+∞.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，属于常规题.22.已知点A 在圆224x y +=上运动，动点M 满足以下条件：①以MA 为直径的圆过原点；②M e 过点A且与直线20y +=相切. （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点()0,1P ，()0,1Q -，过点P 的直线l 交E 于M ，N 两点，求证：PM QN QM PN =. 【答案】（1）24x y =（2）见解析 【解析】 分析】（1）由以MA 为直径的圆过原点可得，MO AO ⊥,若设(),M x y ，()00,A x y ，则000x x y y +=，再由Me 过点A 且与直线20y +=相切，得()()()222002x x y y y -+-=+，而点A 在圆224x y +=上，得 22004x y +=，三个方程消去00,x y ，可得到点M 的轨迹E 的方程；（2）要证：PM QN QM PN =，即证PM QMPN QN=，即证PQ 为MQN ∠的角平分线，而PQ 在y 轴上，所以只要证0QM QN k k +=，将QM QN k k ，用点()11,M x y ，()22,N x y 的坐标表示出来，即12212121121211QM QN y y x y x x y x k k x x x x ++++++=+=，下来只要直线方程和抛物线方程联立成方程组，再用根与系数的关系，代入上式即可证明.【详解】解：（1）设(),M x y ，()00,A x y ，根据已知可得：()()()002200222000,4,2,x x y y x y x x y y y ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪-+-=+⎪⎩整理得：24x y =，即E的方程为24x y =.（2）证明：易知直线l 的斜率一定存在.法一：设直线l 的方程为：1y kx =+，代入拋物线方程得：2440x kx --=. 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x k +=，124x x =-，221212144x x y y =⋅=.要证：PM QN QM PN =，即证PM QMPN QN=， 即证PQ 为MQN ∠的角平分线，因为PQ 在y 轴上，即证0QM QN k k +=，12212121121211QM QN y y x y x x y x k k x x x x ++++++=+= ()1212122288=04kx x x x k kx x ++-+==-，所以PM QN QM PN =法二：设直线l 的方程为：1y kx =+，代入抛物线方程得2440x kx --= 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x k +=，221212144x x y y =⋅=，所以221212144x x y y =⋅=，所以211y y =. 因为()0,1P 是拋物线的焦点，11PM y =+，21PN y =+，QM =QN =1111211111PM y y y y PN y y ++===++，QMQN=====1y =所以1PM QMy PN QN== 即PM QN QM PN =.【点睛】此题考查的是求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和运算能力，属于较难题.。

南阳市一中2020届第三次模拟考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.集合{}{}2|113,|230M x x N x x x =<+<=-->，则()()R R C M C N =A.[](]1,02,3- B. ()()1,02,3- C. ()[)1,02,3- D. ()1,3-2.i 为虚数单位，则201711i i ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭A.i -B. 1-C. iD.13.已知{}n a 为公差不为0的等差数列，满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为A. -2B. -3C. 2D. 34.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 328π+B.8323π+C. 8163π+ D. 168π+5.设实数,x y 满足约束条件02200y x x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若目标函数()0z mx y m =+>的最大值为6，则m 的值为A. 2B. 4C. 8D. 166.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()()2210y ax a x a =+++≠相切，则a 等于A. 7B. 8C. 9D. 107.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 118.已知函数()()[]()2cos 0,0,f x x ωϕωϕπ=->∈的部分图象如图所示，若3,22A B ππ⎛⎛ ⎝⎝，则函数()f x 的单调递增区间为 A. 32,2,44k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B. 372,2,44k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D. 37,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9.在区间[]1,3-上随机取一个数x ，若x 满足x m <的概率为0.75，则m = A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.使()2log 1x x -<+成立的实数的取值范围是A.(),1-∞B. (),0-∞C.()1,-+∞D.()1,0-11.三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为A.2 B. 6 C. 312.如图，在直角梯形ABCD 中，,//,2,1AB AD AB DC AB AD DC ⊥===,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为12，且点P 在图中阴影部分（包含边界）运动，若AP xAB yBC =+，其中,x y R ∈，则4x y -的最大值为A. 3+34-3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若单位向量12,e e 的夹角为3π，则向量122e e -与向量1e 的夹角为 .14.过点()2,3P 作圆()2211x y -+=的两条切线，与圆相切于,A B ，则直线AB 的方程为 .15.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>相交于,a b 两点，直线AB 恰好经过它们的公共焦点F,则双曲线的离心率为 . 16.已知函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos 15.25A AB AC =⋅= （1）求ABC ∆的面积； （2）若tan 2B =，求a 的值.18.（本题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格售出，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.（1）求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个n N ∈）的函数关系式；（2）求当天的利润不低于750元的概率.19.（本题满分12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=，且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90，得到图形（2），连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上. （1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y P a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且经过点2,33⎛ ⎝⎭（1）求椭圆P 的方程；（2）已知正方形ABCD 的顶点,A C 在椭圆P 上，顶点,B D 在直线7710x y -+=上，求该正方形ABCD 的面积.21.（本题满分12分）已知0a ≥，函数()()22.x f x x ax e =- （1）当x 为何值时，()f x 取得最小值？并证明你的结论； （2）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

河南省部分重点中学2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b2．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．从n 个正整数1,2,,n ⋅⋅⋅中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于7的概率为115,则n =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．74．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=，若ABC ∆的外接圆半径为233，则ABC ∆的周长的取值范围为（ ） A ．(]2,4B ．(]4,6 C ．()4,6D ．(]2,65．函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的值域为( ) A ．(0,2)B ．[0,)+∞C ．(2]-∞D ．(,0]-∞7．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A．223B．20C ．206+ D ．2010+8．若直线l：20(0,0)ax by a b-+=>>被圆222410x y x y++-+=截得的弦长为4，则当21a b+取最小值时直线l的斜率为（）A．2 B．12C．2D．229．如图所示，分别以点B和点D为圆心，以线段BD的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD内的概率为（）A．B．C．D．10．设12F F，分别是双曲线22yx19-=的左、右焦点.若点P在双曲线上，且12PF?PF0=u u u v u u u v，则12PF PF+=u u u v u u u v （）A10B．10C5D．511．已知向量ar，br满足2a=r，且()40a b aλλ+=>r r r，则当λ变化时，a b•r r的取值范围是（）A．(,0)-∞B．(,1)-∞-C．(0,)+∞D．(1,)-+∞12．若向量,a brr的夹角为120︒，1a=r，27a b-=rr，则=br（）A．12B．72 C．1D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河南省高三高考质量测评（一）数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足()123z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先化简求出复数z ，然后可得到其在复平面所对应的点，即可得答案 【详解】 复数()()()()31235511212125i i ii z i i i i +-+-====-++-，复数1z i =-对应点()1,1-，是第四象限的点， 故选：D. 【点睛】此题考查复数的运算，复数与复平面内的点的对应关系，属于基础题2．已知集合{}2,3,5,7,8,9U =，{}2,3,5,8A =，{}2,5,7B =，则下列结论正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．{}2,5A B =ID ．(){}7,9U A B =U ð【答案】C【解析】由已知可知集合A 中的元素不都全在集合B 中，且集合B 中的元素不都全在集合A 中，所以A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，而集合A 和集合B 的公共元素为2和5，从而可选出答案 【详解】因为集合A 中含有元素3，集合B 中含有元素7，所以A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，故选项A ，B 错误；{}2,5A B =I ，选项C 正确；{}7,9U A =ð，所以(){}2,5,7,9UA B =U ð，选项D 错误.故选：C. 【点睛】此题考查集合间的关系，集合的运算，属于基础题3．已知单位向量,a b r r 满足,3a b π=r r ，若()a a tb ⊥-r r r ，则实数t 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．233【答案】C【解析】由两向量垂直，得其数量积等于零，列方程可求出t 的值 【详解】因为()a a tb ⊥-r r r ，所以()0a a tb ⋅-=r r r，即()22cos ,a a tb a ta b a t a b a b ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r r r r 1102t -=，解得2t =，故选：C. 【点睛】此题考查的是向量垂直、数量积的运算，属于基础题4．成语“运筹帷幄”的典故出自《史记•高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹，引申为策划.古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的算筹，其中1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空.那么2536用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由条件发现其对应的规律即可 【详解】由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式..2536的个位是6，用纵式；十位是3，用横式；百位是5，用纵式；千位是2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答案为，故选：B. 【点睛】此题考查归纳推理的应用，属于基础题5．函数()21x xe ef x x--=-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】通过求函数的定义域、判断奇偶性、取特殊值可选答案 【详解】由题知，函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()()()2211x x x xe e e ef x f x xx -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除选项A ，B ，又因为()2222220123e e e ef ----==-<-，所以选项D 错误， 故选：C. 【点睛】此题考查函数的图象的判断，函数的定义域、值域、奇偶性、特殊点的位置是判断函数图象的常用方法，属于中档题.6．已知2log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 7c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A【解析】由于2log 3a =， 22422log 7log 7log 7log 7log 42c ====，所以,a c 可以化成同底的对数比较大小，再与中间量1比较大小，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1比较大小，可得答案【详解】2log 31a =>，0.2113b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，22422log 7log 7log 7log 71log 42c ====>，因为37>，所以22log 3log 7a c =>=，故1a c b >>>，故选：A. 【点睛】此题考查的是指数式、对数式比较大小，通常找中间量“0”，“1”比较大小，属于中档题. 7．总体由编号为01，02，03，…，29，30的30个个体构成，利用给出的某随机数表的第11行到第14行（见下表）随机抽取10个，如果选取第12行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选取的第4个的号码为（ ）A ．02B ．05C ．07D ．15【答案】C【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得结论. 【详解】根据随机数表的读法可知，一个数是一列，重复不计，依据题目规则，从76起，选取的数依次为：17，05，02，07，可得答案为07. 故选：C 【点睛】此题考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题. 8．已知函数()sin 3cos f x x x =，x ∈R ，先将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图像关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．9π B ．3π C ．518π D ．23π 【答案】C【解析】因()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的13后所得函数的解析式为()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()y g x =图像在y 轴左侧的第一条对称轴518x π=-，故至少向右平移518π个单位就可以得到关于y 轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和y 轴附近的对称轴或对称中心有关.9．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ）A ．49 B ．13 C ．25 D ．310【答案】B【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B. 【考点】1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P为过1F 321122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A ．2B 1C D【答案】B【解析】30°，即1230PF F ∠=︒，再由21122PF F PF F ∠=∠，得2160PF F ∠=︒，从而得12PF F ∆为直角三角形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得,a c 的关系，从而可求出离心率. 【详解】由题意，直线)y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为30°，21122PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，∴1290F PF ∠=︒，即12F P F P ⊥.∴21212PF F F c ==，∴112sin 60PF F F =︒，根据双曲线定义有212PF PF c a --=，∴离心率1==ce a.故选：B 【点睛】此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.11．已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的内切球的体积为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】由平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再由棱长求出高，然后由体积公式计算即可. 【详解】三棱锥P ABC -展开后为一等边三角形，设边长为a ，则sin aA=，所以a =∴三棱锥P ABC -棱长为P ABC -的高为设内切球的半径为r ，则11433ABC ABC r S S ∆∆⨯⨯=⨯2r =，∴三棱锥P ABC -的内切球的体积为3432r π=，故选：A. 【点睛】此题考查锥体的体积，考查等体积的运用，属于基础题.12．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．23C ．65 D ．5 【答案】D【解析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==，所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得c ==所以3c e a ==， 故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.二、填空题13．曲线2ln y a x x =-在点()1,1-处的切线方程为20x y --=，则a =_______. 【答案】3【解析】先函数求导，然后将切点的横坐标1代入导函数中，使其值等于切线的斜率1，得到方程可求出a 的值. 【详解】 因为2a y x x '=-，所以曲线在点()1,1-处的切线斜率2211a k a =-=-=，所以3a =. 故答案为：3 【点睛】此题考查的是导数的几何意义,属于基础题.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若32n n S a =-，则n a =________.【答案】132n -骣琪琪桫【解析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n a .【详解】当1n =时，1132S a =-，即11a =； 当2n ≥时，32n n S a =-，①1132n n S a --=-，②①-②得133n n n a a a -=-，即132n n a a -=， 所以{}n a 是公比为32，首项为1的等比数列，故132n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：132n -骣琪琪桫【点睛】此题考查的是数列的前n 项和与通项间的关系,属于基础题.15．已知θ为第四象限的角，sin cos θθ+=，则cos2θ=________.【解析】给sin cos θθ+=两边平方先求出2sin cos θθ,然后利用完全平方公式求出cos sin θθ-,再利用公式22cos 2cos sin θθθ=-可得结果. 【详解】∵sin cos 3θθ+=，两边平方得：11sin 23θ+=，∴2sin 23θ=-，∴()25sin cos 1sin 23θθθ-=-=，∵θ为第四象限角，∴sin 0θ<，cos 0θ>，∴cos sin 3θθ-=，∴()()cos 2cos sin cos sin 3θθθθθ=-+=.【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.16．一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ，如果将容器倒置，水面也恰好经过点P ，则下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；②若往容器内再注a 升水，则容器恰好能装满； ③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P ；④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P . 其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）. 【答案】②③【解析】若设图（1）水的高度2h ，几何体的高为1h ，则由已知得1253h h =，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，水占容器空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，当水面与四棱锥的一个侧面重合时，水的体积为2222252363b h b h >，由此得到正确的结论. 【详解】设图（1）水的高度2h ，几何体的高为1h ，底面边长为b ，图（1）中水的体积为2223b h ，图（2）中水的体积为()2221212b h b h b h h -=-， 所以()2221223b h b h h =-，所以1253h h =，故①错误；由题意知a 升水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可知③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2222252363b h b h >矛盾，故④不正确.故答案为②③. 故答案为：②③ 【点睛】此题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，属于难题.三、解答题17．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25a =，763S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =+（2）11646n -+ 【解析】(1)由已知条件列出关于1,a d 的方程组,求出1,a d ,可得{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出的21n a n =+,可得数列{}n b 的通项公式,然后利用裂项相消法求和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 是等差数列，由275,63a S =⎧⎨=⎩得115,72163.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得13,2,a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+. （2）由（1）知()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和12111111111235257279n n T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111111112212323557792123n n n n ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L111112323646n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查的是等差数列的基本量计算，裂项相消求和法，属于基础题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）⎝⎭【解析】（1）由正弦定理将边转化为角，化简统一成角B 的三角函数，可求出的角B ；（2）由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2C c A a C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，然后由角B 的值，可求出角C 的取值范围，从而得到a 的取值范围，而ABC S ∆=，所以可求得ABC ∆面积的取值范围. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得sin cos 6a B a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 即sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tan B =又因为()0,B π∈，可得3B π=.（2）由题设及（1）知ABC ∆的面积ABC S a ∆=.由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2tan 2C c A a C C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+. 由于ABC ∆为锐角三角形，故02A π<<，02C <<π，由（1）知23A C π+=，所以62C ππ<<，故122a <<，从而82ABC S ∆<<. 因此ABC ∆面积的取值范围是⎝⎭.【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，属于基础题.19．已知多面体1111ABCD A B C D -，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，111AB BC CD AA CC =====，112BB =，12AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C（2）连接1A B ，求三棱锥111A B BC -的体积. 【答案】（1）见解析（23【解析】（1）由已知可证得11//AC AC ，所以只需要证AC ⊥平面11CDD C 即可，由已知数据可证得CD AC ⊥，而1C C ⊥平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，所以可证得结论； （2）由已知可得1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===，由于三棱锥111A B BC -的体积计算比较困难，所以转化为求三棱锥1B ABC -体积. 【详解】解：（1）连接AC ，由于11//AA CC 且11=AA CC ，所以四边形11ACC A 为平行四边形，所以11//AC AC .又底面ABCD 为等腰梯形，12AB BC CD AD ===， 则60ADC ∠=︒，30DAC ACB BAC ∠=∠=∠=︒， 所以90DCA ∠=︒，即CD AC ⊥.因为1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以1C C AC ⊥，又1C C CD C =I ，所以AC ⊥平面11CDD C ， 又因为11//AC AC ， 故11A C ⊥平面11CDD C .（2）法一：延长AB ，CD 交于点G ，连接1B G ，1C G .因为//AD BC ，12BC AD =，所以BC 为AGD ∆的中位线，所以AB BG =.又因为11//AA BB ，1112BB AA =，所以点1A ，1B ，G 在同一条直线上，且111A B B G =.同理可证点1D ，1C ，G 在同一条直线上，且111D C C G =.取CG 中点M ，连接BM .则11////BM AC AC ，BM ⊄平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，所以//BM 平面111A B C . 因此点B 到平面111A B C 的距离和点M 到平面111A B C 的距离相等. 由（1）知11A C ⊥平面11CDD C ，又11A C ⊂平面111A B C ， 所以平面111A B C ⊥平面11CDD C .又平面111A B C Ç平面111CDD C GD =，过点M 作1MH GD ⊥，则MH ⊥平面111A B C ， 即点M 到平面111A B C 的距离为24. 又11164A B C S ∆=， 所以111162334A B BC V -=⨯⨯=.法二：因为11//AA BB ，1AA ⊄平面11B BC ，1BB ⊂平面11B BC ，所以1//AA 平面11B BC 所以到点1A 到平面11B BC 的距离等于点A 到平面11B BC 的距离， 因为11//CC BB ，所以111B BC B BC S S =， 所以1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===.因为1AB BC CD ===，2AD =，所以120ABC ∠=︒， 所以133112ABC S =⨯⨯=. 又1BB ⊥平面ABCD ，所以1BB 为高，所以11111134224A B BC B ABC V V --==⨯=. 【点睛】此题考查了线面垂直的证明，利用等体积法求距离，属于中档题.20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为iii 1n2i i 1()(-)()ˆv u nu u v u β==-=-∑∑，ˆ-ˆu ανβ= . 【答案】(1)1().3P A = (2)183077y x =-. (3)小组所得线性回归方程是理想的.【解析】分析：从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由所给数据求得11,24x y ==，由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =，从而可得结果；（Ⅲ）利用所求回归方程，当10x =时，当6x =时，分别求出对应的y 的值，即可判断所得线性回归方程是否理想.详解：（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A == （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n niiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bxa =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 21．已知()()22ln f x x a x a x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[)0,+∞【解析】（1）先对函数求导，然后令导函数大于零，解集为增区间，导函数小于零,解集为减区间，而函数的定义域为(0,)+∞，所以要分情况讨论求解其单调区间； （2）要()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，只要22ln 10x x a x -++>对1x ∀>恒成立，然后构造函数，求此函数的最小值，只要最小值大于零即可求a 的取值范围. 【详解】解：（1）()()()22222x a x aa f x x a x x-++'=-++=（0x >），令()()()()22221g x x a x a x a x =-++=--.①当0a ≤时，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；②当02a <<时，0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当2a =时，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增； ④当2a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 当02a <<时，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增；当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当2a >时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，即22ln 10x x a x -++>对1x ∀>恒成立. 令()22ln 1h x x x a x =-++，则()min 0h x >，又()112ln110h a =-++=.()22222a x x a h x x x x -+'=-+=，令()221122222t x x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭. ①当12a ≥时，()2220t x x x a =-+≥，()h x 单调递增， 所以当1x >时，()()10h x h >=，符合题意；②当12a <时，设()2220t x x x a =-+=的两根为1x ，2x ，且12x x <， 则121x x =+，122a x x =. （ⅰ）若21>x ，则()21,x x ∈时()0t x <，()h x 单调递减；()2,x x ∈+∞时，()0t x >，()h x 单调递增.()()()2min 10h x h x h =<=，舍去；（ii ）若21x ≤，则()1,x ∈+∞时，()0t x >，()h x 单调递增； ()()min 10h x h >=，符合题意，由()t x 的图象可知，若满足21x ≤，则()1220t a =-+≥，又12a <，即102a ≤<.综上，a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，属于常规题.22．已知点A 在圆224x y +=上运动，动点M 满足以下条件：①以MA 为直径的圆过原点；②M e 过点A 且与直线20y +=相切. （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点()0,1P ，()0,1Q -，过点P 的直线l 交E 于M ，N 两点，求证：PM QN QM PN =.【答案】（1）24x y =（2）见解析【解析】（1）由以MA 为直径的圆过原点可得，MO AO ⊥,若设(),M x y ，()00,A x y ，则000x x y y +=，再由M e 过点A 且与直线20y +=相切，得()()()222002x x y y y -+-=+，而点A 在圆224x y +=上，得 2204x y +=，三个方程消去00,x y ，可得到点M 的轨迹E 的方程； （2）要证：PM QN QM PN =，即证PM QM PNQN=，即证PQ 为MQN ∠的角平分线，而PQ 在y 轴上，所以只要证0QM QN k k +=，将QM QN k k ，用点()11,M x y ，()22,N x y 的坐标表示出来，即12212121121211QM QN y y x y x x y x k k x x x x ++++++=+=，下来只要直线方程和抛物线方程联立成方程组，再用根与系数的关系，代入上式即可证明.【详解】解：（1）设(),M x y ，()00,A x y ，根据已知可得：()()()002200222000,4,2,x x y y x y x x y y y ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪-+-=+⎪⎩整理得：24x y =，即E 的方程为24x y =. （2）证明：易知直线l 的斜率一定存在.法一：设直线l 的方程为：1y kx =+，代入拋物线方程得：2440x kx --=. 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x k +=，124x x =-，221212144x x y y =⋅=.要证：PM QN QM PN =，即证PM QM PNQN=，即证PQ 为MQN ∠的角平分线， 因为PQ 在y 轴上，即证0QM QN k k +=，12212121121211QM QN y y x y x x y x k k x x x x ++++++=+= ()1212122288=04kx x x x k kx x ++-+==-，所以PM QN QM PN =法二：设直线l 的方程为：1y kx =+，代入抛物线方程得2440x kx --= 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x k +=，221212144x x y y =⋅=，所以221212144x x y y =⋅=，所以211y y =.因为()0,1P 是拋物线的焦点，11PM y =+，21PN y =+，QM =，QN =1111211111PM y y y y PN y y ++===++，QMQN=====1y =所以1PM QMy PN QN== 即PM QN QM PN =. 【点睛】此题考查的是求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和运算能力，属于较难题.。

河南省南阳市西峡第一高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知关于x的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（）A. 至少有一个解B. 至多有一个解C. 至多有两个解D. 可能有无数个解参考答案：B【分析】根据平面向量基本定理可知，从而将方程整理为，由不共线可得，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：则方程可变为：即：不共线可知方程组可能无解，也可能有一个解方程至多有一个解本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.2. 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A. ①B. ②③C. ①②D. ①②③参考答案：C【分析】设圆柱的底面半径为，根据题意分别求得，，，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为，根据题意可得椭圆的短轴长为，即，长轴长为，即，在直角中，可得，即，又由，即，所以，又因为椭圆中，所以，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由，可得，又由球的半径为，即，在直角中，，由①可知，即，所以，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得，，所以椭圆的离心率为，所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.3. 已知，那么“”是“”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C若，则，即，所以成立。

河南省豫南九校2020届高三下学期第一次联考文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故.故选D.2. 复数 (为虚数单位），则（）A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】3. 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选：B4. 抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化为标准方程得，故焦点坐标为.故选B.5. 已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A. 1B.C.D. 0【答案】C【解析】事件与事件是对立事件，，故选：C．6. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B．7. 某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体在正方体内如下图所示，其表面积为8. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的的值为33，则输出的的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】，开始执行程序框图，，再执行一行，退出循环，输出，故选C.9. 直三棱拄的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，可得，由正弦定理，可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，易得此球的表面积为，故选B．10. 已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.，故选.11. 设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），即x＞0，则，........................故答案选A．12. 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在依题意，解得,因为直线：，故；设MN的中点为，则，.故选：D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足则的最大值为__________．【答案】1【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值为.14. 已知向量满足，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由，得，故在方向上的投影为.15. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为__________．【答案】8【解析】圆心为（2，﹣1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，则有（当且仅当时取等号）故答案为8．16. 下列结论：①若，则“”成立的一个充分不必要条件是“，且”；②存在，使得；③若函数的导函数是奇函数，则实数；④平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1的点的轨迹方程为.其中正确结论的序号为_________．(填写所有正确的结论序号）【答案】①②③【解析】①若，则“”成立的充要条件是故充分不必要条件是“，且”.故正确.②存在，使得,当a=1.1，x=1.21时，满足a x＜log a x，故∃a＞1，x＞0，使得a x＜log a x，故正确；③若函数的导函数是奇函数，故正确.④设P（x，y），由P到定点F（1，0）的距离为,P到y轴的距离为|x|，当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，列出等式：﹣|x|=1化简得y2=4x （x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．则动点P的轨迹方程为y2=4x或，故选项不正确.故答案为：①②③.点睛:这个题目考查的知识点比较多，重点总结平面解析求轨迹的问题，一般是求谁设谁的坐标，然后根据题目等式直接列出数学表达式，求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设正项等比数列，，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：：（1）根据等比数列的公式得到求得基本量，进而得到通项；（2）根据第一问得到，，故，裂项求和即可.解析：（1）设等比数列的公比为，由题意，得解得所以（2）由（1）得，∴，∴18. 如图，四棱锥中，侧面底面，,.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为2，求的面积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）直接利用线面垂直和面面垂直的性质求出结果．（2）利用等体积转化法求出结果．试题解析：（1）∵平面平面，平面平面，平面，且，∴平面.又∵平面，∴.又∵，，平面，∴平面.（2）取中点，连接.∵，∴.又∵平面，平面平面，平面平面，∴平面.∴为三棱锥的高，且.又∵，，∴.∴，得..又∵平面且平面，∴.∴.19. 某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年年该农产品的产量.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】(1) (2) 该地区2018年该农产品的产量估计值为7. 56万吨【解析】试题分析：根据题目中所给公式得到，，又，得，进而得到回归方程；（2）将t=7代入方程得到y值.解析：（1）由题，，，，所以，又，得，所以关于的线性回归方程为.（2）由（1）知，当时，，即该地区2018年该农产品的产量估计值为7. 56万吨.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过且与轴垂直的直线与椭圆在第一象限内的交点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，当时，求直线的方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由题意得，，∴.①∵，∴.②联立①②得a,b,c 即得椭圆的方程（2）设直线方程为：，点坐标为，点坐标为.联立得，根据韦达定理由弦长公式得，，又点到直线的距离，，解得k值，即得直线的方程.试题解析：(1)设，，则，∵，∴.①∵，∴.②联立①②得，，，.∴椭圆方程为.(2)显然直线斜率存在，设直线方程为：，点坐标为，点坐标为.联立方程组，得，令得，，∴，，由弦长公式得，，点到直线的距离，，解得.∴的方程为：.点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆的几何性质，考查了弦长公式，点到直线的距离，考查了计算能力，属于中档题.21. 设函数.（1）当时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.解析：由，当时，得.当时，，且当时，，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.即方程有两解，可得，所以.令，则，当时，，所以在上是减函数.当时，，所以在上是减函数.所以.又当时，；且有.数形结合易知：.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得的取值范围.【试题解析】解：（1）∵圆的极坐标方程为，∴，又∵，，∴，∴圆的普通方程为（2）设，故圆的方程，∴圆的圆心是，半径是2，将代入得，又∵直线过，圆的半径是2，∴，∴，即的取值范围是.23. 选修4-5：不等式选讲已知均为实数.（1）求证：；（2）若，求的最小值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为从而得证.（2）因为，所以.【试题解析】证明：（1）法一：，所以.法二：，所以.（2）证明：因为 (由柯西不等式得）所以，当且仅当即时，有最小值.。