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北师大版八年级数学下册第4章《因式分解》单元测试题一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）2．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（）A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣253．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．﹣9a2D．1﹣a44．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的个数是（）（1）x2﹣4；（2）x2+6x+9；（3）4x4﹣2x2+；（4）x2+4xy+2y2A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x6．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（）A．5，﹣14B．﹣5，14C．5，14D．﹣5，﹣14 7．如果（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，那么m是（）A．7B．﹣7C．1D．﹣18．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．把多项式m3﹣81m分解因式的结果是．10．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝．11．分解因式：a2﹣9b2+2a﹣6b＝．12．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为．13．已知a、b满足a+b＝5，ab2+a2b＝10，则ab的值是．14．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是．15．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是．三．解答题（共7小题，满分48分）16．把下列多项式分解因式：（1）x3﹣9x；（2）2a2+4ab+2b217．分解因式（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+4918．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．21．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题【阅读材料】对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．【解决问题】（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．22．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）则图③可以解释为等式：．（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝．（拼图图形画在方框内）（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：①xy＝；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝其中正确的关系式为．（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．参考答案一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1﹣x）（1+x）．故选：C．2．解：多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．故选：B．3．解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故选：A．4．解：（1）x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意；（2）x2+6x+9，符合完全平方公式；故此选项符合题意．（3）4x4﹣2x2+符合完全平方公式；故此选项符合题意；（4）x2+4xy+2y2不符合完全平方公式；故此选项不符合题意．故选：B．5．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意．D、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：C．6．解：∵将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），∴m＝﹣7+2＝﹣5，n＝﹣7×2＝﹣14，故选：D．7．解：∵（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，∴（x+4）（x﹣3）＝x2﹣mx﹣12＝x2+x﹣12，故﹣m＝1，解得：m＝﹣1．故选：D．8．解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．解：m3﹣81m＝m（m2﹣81）＝m（m+9）（m﹣9）．故答案为：m（m+9）（m﹣9）．10．解：m4﹣2m2＝m2（m2﹣2）＝m2（m+）（m﹣）．故答案为：m2（m+）（m﹣）．11．解：a2﹣9b2+2a﹣6b，＝（a2﹣9b2）+（2a﹣6b），＝（a+3b）（a﹣3b）+2（a﹣3b），＝（a﹣3b）（a+3b+2）．12．解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m＝±2，故答案为：±2．13．解：∵ab2+a2b＝10，∴ab（b+a）＝10，∵a+b＝5，∴ab＝2，故答案为：2．14．解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7＝x+x2﹣7＝1﹣7＝﹣6故答案为：﹣6．15．解：原式＝（216+1）（216﹣1）＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1）＝（216+1）（28+1）×17×15．则这两个数是15和17．故答案是：15和17．三．解答题（共7小题）16．解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）；（2）2a2+4ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．17．解：（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）＝3a2（x+y）[（x+y）2﹣9a2]＝3a2（x+y）（x+y﹣3a）（x+y+3a）；（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49＝（x2﹣9﹣7）2＝（x2﹣16）2＝（x+4）2（x﹣4）2．18．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝，ab＝﹣，∴原式＝ab（a+b）2＝﹣×（）2＝﹣3，即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣3．19．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．20．解：（1）∵x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3，∴3﹣a＝2，a＝1；故答案为：1；（2）设x3+2x+3＝（x+1）（x2+ax+3）＝x3+（a+1）x2+（a+3）x+3，a+1＝0，解得a＝﹣1，多项式的另一因式是x2﹣x+3．21．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x＝0，x＝1，即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5；（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，用上述方法可求得：a＝4，b＝4，所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）＝（x+1）（x+2）2．22．解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）拼图如图⑤所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；故答案为：（3a+b）（a+2b）；（3）∵m2﹣n2＝4xy∴①正确；∵x+y＝m∴②正确；∵x+y＝m，x﹣y＝n∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，∴③正确；∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；∴④正确．故答案为：①②③④．（4）剪拼图形如图⑥、⑦；把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），∴S阴影（梯形）＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∵图⑥中的S阴影＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．。
北师大版八年级下册第4 章《因式分解》单元测试卷满分： 100 分姓名： ___________班级： ___________学号： ___________成绩： ____________一．选择题（共 8 小题，满分 24 分）1．多项式 ① x 2 +8y 2， ② x 2 ﹣ 4y 2， ③ ﹣ x 2+1， ④ ﹣ x 2﹣ y 2中能用平方差公式分解因式的有（ ）A ．①②B ．②③C ． ③④D ． ①④2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．m （a+b ）＝ ma+mbB ． ma+mb+1＝ m （ a+b ）+1C ．（a+3）（a ﹣ 2）＝ a 2+a ﹣ 6D ． x 2﹣ 1＝（ x+1）（ x ﹣ 1）3．分解因式 a 4﹣ 2a 2b 2+b 4的结果是（ ）A ．a 2（ a 2﹣ 2b 2） +b 4B ．（ a ﹣ b ）2C ．（a ﹣ b ）4D ．（ a+b ） 2（ a ﹣ b ）24．若△ ABC 的三边长为a ，b ，c 满足 a 2+b 2+c 2+50 ＝ 6a+8b+10c ，则△ ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．若 x 2﹣ ax ﹣ 1 可以分解为（ x ﹣2）（ x+b ），那么 a+b 的值为（） A ．﹣1B ．1C ．﹣ 2D ． 22的值（）6． a 是有理数，则多项式﹣ a +a ﹣ A ．一定是正数B ．一定是负数C ．不可能是正数D ．不可能是负数 7．（﹣ 2）100+（﹣ 2） 101的结果是（）A ．2100B ．﹣ 2100C ．﹣ 2D ． 2 8．已知 a ﹣ b ＝ 5，且 c ﹣ b ＝ 10，则 a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac 等于（） A ．105B ．100C ． 75D ． 50二．填空题（共 8 小题，满分 24 分）9．分解因式： 32．a +2a +a ＝10．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 ．11．在实数范围内分解因式 ： x 5﹣ 4x ＝．12．如果代数式 x 2+mx+9＝（ ax+b ） 2，那么 m 的值为．13．若 3x 2﹣mx+n 进行因式分解的结果为（ 3x+2）（ x ﹣ 1），则 mn ＝．14．若长方形的长为 a ，宽为 b ，周长为 16，面积为22的值为 ．15，则 a b+ab 15．已知 a 2+a ﹣ 3＝ 0，则 a 3+3 a 2﹣a+4 的值为．16．化简： a+1+a （ a+1） +a （a+1） 2 + +a （ a+1）99＝．三．解答题（共 6 小题，满分 52 分）17．因式分解：（ 1）﹣ 2ax 2+8ay 2；（ 2） 4m 2﹣ n 2+6n ﹣ 9．18．利用因式分解计算： 22 ﹣315 2．999 +999+68519．若已知 x+y ＝ 3， xy ＝1，试求（ 1）（x ﹣ y ） 2的值（ 2） x 3 y+xy 3 的值．20．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么．例：把多项式 am+an+bm+bn 分解因式解法 1： am+an+bm+bn ＝（ am+an ）+（bm+bn ）＝ a （ m+n ）+b （m+n ）＝（ m+n ）（a+b ）解法 2： am+an+bm+bn ＝（ am+bm ）+（ an+bn ）＝ m （ a+b ） +n （ a+b ）＝（ a+b ）（m+n ）根据你的发现，把下面的多项式分解因式：（ 1）mx ﹣ my+nx ﹣ ny ；（ 2） 2a+4b ﹣ 3ma ﹣ 6mb ．21．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．∵（ x+4）（ x+2）＝ x 2+6 x+8∴ x 2+6x+8＝（ x+4）（ x+2）由此可见 x 2+6x+8 是可以因式分解成（ x+4）（ x+2）的，爱研究问题的小明同学经过认真思考，找到了 x 2+6x+8 的因式分解方法如下：x 2+6x+8 ＝ x 2+6x+32﹣ 32+8 ＝（ x+3） 2﹣ 1＝（ x+3+1 ）（ x+3﹣ 1）＝（ x+4）（ x+2）根据你对以上内容的理解，解答下列问题：（ 1）小明同学在对 2 进行因式分解的过程中，在2 的后面加 2，其目的是构 x +6x+8 x +6x 3成完全平方式，请在下面两个多项式的后面分别加上适当的数，使这成为完全平方式，并将添加后的多项式写成平方的形式．① x 2+4x+ ＝（ ）2；② x 2﹣ 8x+＝（）2（ 2）请模仿小明的方法，尝试对多项式x 2+10x ﹣ 24 进行因式分解．22．材料阅读：若一个整数能表示成 2 2a +b （ a 、 b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为 13＝32+22，所以 13 是“完美数” ；22 2 222也是“完美数”．再如：因为 a +2ab+2b ＝（ a+b ） +b （ a 、b 是正整数），所以 a +2ab+2 b（ 1）请你写出一个大于 20 小于 30 的“完美数” ，并判断 53 是否为“完美数” ；（ 2）试判断（ x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）（x 、 y 是正整数）是否为“完美数” ，并说明理由．参考答案一．选择题1．【解答】解： ② x 2﹣ 4y 2， ③ ﹣ x 2+1 能用平方差公式分解因式，故选： B ．2．【解答】解： A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、右边不是整式的积的形式，实际上本题不能分解，错误；C 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；D 、是平方差公式，分解正确．故选： D ．3．【解答】解： a 4﹣ 2a 2b 2+b 4，＝（ a 2﹣b 2） 2，＝（ a+b ） 2（ a ﹣b ） 2．故选： D ．4．【解答】解：已知等式整理得：（ a 2﹣ 6a+9） +（ b 2﹣8b+16） +（c 2﹣ 10c+25）＝ 0，即（ a222﹣ 3） +（ b ﹣ 4） +（ c ﹣ 5） ＝ 0，∴ a ﹣ 3＝ 0， b ﹣4＝ 0， c ﹣5＝ 0，解得： a ＝ 3， b ＝ 4， c ＝ 5，∵ 32+42＝52，∴△ ABC 为直角三角形，故选： B ．5．【解答】解： （ x ﹣ 2）（ x+b ）＝ x 2+（﹣ 2+b ） x ﹣ 2b ，∵ x 2﹣ ax ﹣ 1 可以分解为（ x ﹣2）（ x+b ），∴﹣ a ＝﹣ 2+b ，﹣ 2b ＝﹣ 1，∴ a ＝ ， b ＝ ，∴ a+b ＝2，故选： D ．6．【解答】解：∵﹣ a 2+a ﹣ ＝﹣（ a ﹣ ） 2，∴多项式﹣ a 2+a ﹣ 的值不可能是正数．故选： C ．7．【解答】解： （﹣ 2） 100101 100 100+（﹣ 2） ＝（﹣ 2） ×（ 1﹣ 2）＝﹣ 2 ．故选： B ．8．【解答】解：∵ a ﹣ b ＝ 5，c ﹣b ＝ 10∴ a ﹣ c ＝﹣ 5a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ bc ﹣ ac ＝ [（ a ﹣ b ）2+（ b ﹣ c ）2+（ a ﹣ c ）2]＝ × [52+（﹣ 10）2+（﹣ 5）2]＝75故选： C ． 二．填空题9．【解答】解： a 3+2a 2+a ＝ a （ a 2+2a+1 ） ＝ a （ a+1） 2，故答案为： a （ a+1）210．【解答】解：由题意可得： am+bm+cm ＝ m （ a+b+c ）． 故答案为： am+bm+cm ＝m （a+b+c ）．11．【解答】解：原式＝ x （ x 4﹣ 4）＝ x （ x 2+2）（x 2﹣ 2）＝ x （x 2+2）（ x+ ）（ x ﹣ ），故答案为： x （ x 2+2）（ x+ ）（ x ﹣ ）12．【解答】解：已知等式整理得：x 2+mx+9＝（ ax+b ） 2，可得 m ＝± 2× 3× 1，则 m ＝± 6．故答案为：± 6．213．【解答】解：∵（ 3x+2 ）（ x ﹣1）＝ 3x ﹣x ﹣2，∴ 3x 2﹣ mx+n ＝3x 2﹣ x ﹣ 2，∴ m ＝ 1， n ＝﹣ 2，∴ mn ＝﹣ 2，故答案为：﹣ 2．14．【解答】解：由题意得： a+b ＝ 8， ab ＝ 15，则原式＝ ab （ a+b ）＝ 120，故答案为： 12015．【解答】解：∵ a 2+a ﹣ 3＝ 0，∴ a 2＝ 3﹣ a ，∴ a 3＝ a?a 2＝ a （ 3﹣ a ）＝ 3a ﹣ a 2＝ 3a ﹣（ 3﹣ a ）＝ 4a ﹣3，32∴ a +3a ﹣ a+4＝ 4a ﹣ 3+3（ 3﹣ a ）﹣ a+4＝ 10．故答案为 10．16．【解答】解：原式＝（ a+1） [1+ a+a （ a+1） +a （ a+1） 2+ +a （ a+1 ）98]＝（ a+1） 2[1+ a+a （a+1） +a （a+1） 2+ +a （ a+1 ）97]＝（ a+1） 3[1+ a+a （a+1） +a （a+1） 2+ +a （ a+1 ）96]＝＝（ a+1） 100．100故答案为：（ a+1） ．2217．【解答】解： （ 1）原式＝﹣ 2a （ x ﹣4y ）（ 2）原式＝ 4m 2﹣（ n 2﹣ 6n+9）＝ 4m 2﹣（ n ﹣3）2＝（ 2m+n ﹣3）（ 2m ﹣ n+3 ）．18．【解答】解： 9992+999+685 2﹣ 3152＝ 999×（ 999+1） +（ 685﹣ 315）×（ 685+315）＝ 999× 1000+370× 1000＝ 999000+370000＝ 1369000．19．【解答】解： （ 1）∵ x+y ＝ 3，xy ＝ 1；∴（ x ﹣y ） 2＝（ x+y ）2﹣ 4xy ＝ 9﹣ 4＝ 5；（ 2）∵ x+y ＝ 3， xy ＝ 1，∴ x 3y+xy 3＝ xy[（ x+y ） 2﹣ 2xy] ＝ 9﹣2＝ 7．20．【解答】解（ 1）原式＝ m （ x ﹣ y ）+n （ x ﹣ y ）＝（ x ﹣y ）（ m+n ）；（ 2）原式＝ 2（a+2 b ）﹣ 3m （a+2b ）＝（ a+2b ）（ 2﹣3m ）．21．【解答】解： （ 1） ① x 2+4x+22＝（ x+2） 2；故答案为： 22， x+2；② x 2﹣ 8x+16＝（ x ﹣ 4） 2故答案为： 42， x ﹣ 4；（ 2） x 2+10x ﹣ 24＝ x 2+10x+52﹣ 52﹣ 24＝（ x+5） 2﹣ 49＝（ x+12）（ x ﹣ 2）．2 222．【解答】解： （ 1） 25＝ 4 +3，∵ 53＝49+4 ＝ 72+22，∴ 53 是“完美数” ；（ 2）（x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）是“完美数” ，22 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2理由：∵（ x +9 y ）（? 4y +x ）＝ 4x y +36y +x +9x y ＝ 13x y +36y +x ＝（ 6y +x ） +x y ，∴（ x 2+9y 2）（? 4y 2+x 2）是“完美数” ．。
北师大版数学八年级下册第4章因式分解单元试卷含答案一．选择题（共8小题）1．下列等式中，右边的变形是分解因式的是（）A．a（a﹣b）＝a2﹣abB．a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1C．（a+1）（a+2）+＝（a+）2D．ab2﹣a2b＝a（b2﹣ab）2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（）A．m2﹣mn+n2B．x2+4x﹣4 C．x2﹣4x+4 D．4x2﹣4x+4 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+94．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 5．下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（）A．9x2+3xy2B．a2+2ab﹣b2C．﹣x2+25y2D．x2﹣x+6．a、b、c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝7，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣7 C．1 D．1或77．已知a2+b2＝，则a b＝（）A．﹣1 B．27 C．9 D．38．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形二．填空题（共10小题）9．分解因式：8x2﹣8xy+2y2＝．10．多项式x3+x2，x2+2x+1，x2﹣1的公因式是．11．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．12．已知a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝1，求的值．13．分解因式：（a+b）（a﹣2b）+b2的结果是．14．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）•（x+n），则m+n＝．15．已知2x2﹣3x﹣1＝0，则4x4﹣12x3+15x2﹣9x＝．16．运用因式分解简便计算2×2022+4×202×98+2×982＝．（要求：写出运算过程）17．设，则代数式3a3+12a2﹣6a﹣12的值为．18．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是．三．解答题（共4小题）19．因式分解（1）﹣3x2+6xy﹣3y2．（2）（m2n2+4）2﹣16m2n2．（3）a2+2bc﹣b2﹣c2．20．已知a+b＝5，ab＝6，求多项式a3b+2a2b2+ab3的值．21．已知ab2＝6，求ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值．22．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2+b2﹣4a+4＝0，则a＝．b＝．（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求x y的值．（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC 的周长．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：A、a（a﹣b）＝a2﹣ab，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；B、a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、（a+1）（a+2）+＝（a+）2，符合因式分解的定义，故此选项正确；D、ab2﹣a2b＝ab（b﹣a），故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：A、m2﹣mn+n2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；B、x2+4x﹣4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；C、x2﹣4x+4能用完全平方公式分解因式；D、4x2﹣4x+4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点．故选：C．3．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．4．【解答】解：根据题意得：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，则a＝﹣2，b＝﹣3，故选：A．5．【解答】解：A、9x2+3xy2＝3x（3x+y2），故能因式分解，不合题意；B、a2+2ab﹣b2，无法因式分解，符合题意；C、﹣x2+25y2＝（5y+x）（5y﹣x），故能因式分解，不合题意；D、x2﹣x+＝（x﹣）2，故能因式分解，不合题意；故选：B．6．【解答】解：根据已知a2﹣ab﹣ac+bc＝7，即a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝7，（a﹣b）（a﹣c）＝7，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a﹣c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a﹣c＝1或a﹣c＝7故选：D．7．【解答】解：∵a2+b2＝，∴（a2﹣a+）+（b2+6b+9）＝0，∴（a﹣）2+（b+3）2＝0，∵（a﹣）2≥0，（b+3）2≥0，∴a＝，b＝﹣3，∴a b＝（）﹣3＝27，故选：B．8．【解答】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．二．填空题（共10小题）9．【解答】解：原式＝2（4x2﹣4xy+y2）＝2（2x﹣y）2．故答案为：2（2x﹣y）2．10．【解答】解：∵x3+x2＝x（x2+x），x2+2x+1＝（x+1）2，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴多项式x3+x2，x2+2x+1，x2﹣1的公因式是：x+1．故答案为：x+1．11．【解答】解：∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b＝＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70，故答案为：70．12．【解答】解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝a2﹣a﹣a2+b＝1，∴a﹣b＝﹣1，则原式＝（a2+b2﹣2ab）＝（a﹣b）2＝．故答案为：．13．【解答】解：（a+b）（a﹣2b）+b2＝a2﹣ab﹣2b2+b2＝a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2故答案为：（a﹣b）214．【解答】解：∵（x+5）（x+n）＝x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5＝x2+（n+5）x+5n∴，∴，∴m+n＝6+1＝7．故答案是：7．15．【解答】解：∵2x2﹣3x﹣1＝0，∴2x2﹣3x＝1，4x4﹣12x3+15x2﹣9x＝2x2（2x2﹣3x）﹣6x3+15x2﹣9x＝﹣6x3+17x2﹣9x＝﹣3x（2x2﹣3x）+8x2﹣9x＝8x2﹣12x＝4（2x2﹣3x）＝4；故答案为4．16．【解答】解：2×2022+4×202×98+2×982＝2（2022+2×202×98+982）＝2（202+98）2＝2×3002＝2×90000＝180000．故答案为：18000017．【解答】解：∵a＝﹣1，即a+1＝，∴3a3+12a2﹣6a﹣12＝3（a3+4a2﹣2a﹣4）＝3（a3+a2+3a2+3a﹣5a﹣5+1）＝3[a2（a+1）+3a（a+1）﹣5（a+1）+1]＝3×[（﹣1）2×+3（﹣1）×﹣5+1]＝3（8﹣14+21﹣3﹣5+1）＝3×8＝24．故答案为：2418．【解答】解：首先用分割法来计算，即a2+2ab+b2；再用整体计算即为（a+b）2．因此a2+2ab+b2＝（a+b）2．三．解答题（共4小题）19．【解答】解：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2＝﹣3（x2﹣2xy+y2）＝﹣3（x﹣y）2；（2）（m2n2+4）2﹣16m2n2＝[m2n2+4+4mn][m2n2+4﹣4mn]＝（mn+2）2（mn﹣2）2；（3）a2+2bc﹣b2﹣c2＝a2﹣（b2﹣2bc+c2）＝a2﹣（b﹣c）2＝[a+（b﹣c）][a﹣（b﹣c）]＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．20．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝6，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝6×52＝6×25＝150．21．【解答】解：∵ab2＝6，∴ab（a2b5﹣ab3﹣b）＝ab2（a2b4﹣ab2﹣1）＝6×（62﹣6﹣1）＝6×29＝174．22．【解答】解：（1）已知等式整理得：（a﹣2）2+b2＝0，解得：a＝2，b＝0；故答案为：2；0；（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0，即（x﹣y）2+（y+3）2＝0，则x﹣y＝0，y+3＝0，解得：x＝y＝﹣3，∴x y＝（﹣3）﹣3＝﹣；（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，则a﹣1＝0，b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，则△ABC的周长为1+3+3＝7．。
4 因式分解》《第章一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（）322 Dax=y b=bCyxay=Axxy Bab=ab）﹣（）﹣．（﹣+．﹣﹣﹣﹣（）﹣）））．．﹣（+（﹣（32m1m1m1m1）后，余下的部分是（）提取公因式（﹣）+（．把多项式（﹣+﹣）（）Am1 B2m C2Dm2++．．．．223y5axyx310a因式分解时，应提取的公因式是（）﹣）．把（）（++222y5ax yD C5xyA5a Bx））（+）．（．+．（．+22abab24）因式分解的结果是（﹣）﹣﹣．将多项式）（（22 Cab2a1 Daaab Bb2aa2a1Ab2）+（﹣））．（）（﹣（）（﹣）（+﹣（））﹣﹣．．．（5．下列因式分解正确的是（）22pq=2pqAmnmnmnm=mnmn1 B6pq3pq+）（+）﹣）（．﹣（）﹣（（+﹣+）（）+﹣．）（（﹣1）﹣22=xy2xyyx3y3x2 yx3xDC3yxx2y=yx）﹣++）（）+）（．（（﹣））++）﹣（（﹣+）（（．﹣二、填空题286x4x2．把多项式（﹣）+﹣因式分解开始出现错误的一步是2…A4xx=28）﹣（）解：原式﹣（﹣2…B=x4x22）（（﹣）﹣﹣…Cx242=x）﹣+﹣）（（…D2x=x2．））（+（﹣223yxxxy7xy；（ + ）+．﹣）的公因式是（+2m8ynn24xm．）（）的公因式是（﹣+）（﹣2=x3x83．+）﹣（．分解因式：（+）=mnpmn9nqnqp．（﹣）（﹣）﹣（﹣）（﹣）．因式分解：a3x13x73x73x212x10xba、），其中）（）（）（﹣﹣）﹣（﹣﹣）可分解因式为（++．已知（3b=ba．均为整数，则+三、解答题11．将下列各式因式分解：33432a10ab15abbab；（﹣）（））（﹣﹣2aabbba2ba）；++（（﹣）（﹣﹣（））33a4b7a8b11a12b8b7a）；﹣﹣﹣（））（+﹣（）（）（4xbcdydbccbd．（﹣）﹣（﹣++﹣）﹣）﹣（23x3y3y12xy27yx的值．．若），﹣﹣满足，求）（（﹣13．先阅读下面的材料，再因式分解：amanbmbna；把它的后两要把多项式++因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出+bamnbmnamnbmn），++（（+））．这时，由于项分成一组，并提出+，从而得至（（++）mnmnmnabamanbmbn=+．+因此有）（+又有因式（+++），于是可提公因式（）+），从而得到（amanbmbn=amnbmn=mnab）．这种因式分解的方法叫做分（（+++）+（++））（）（+（）+组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．请用上面材料中提供的方法因式分解：2bacbc1ab：+（）﹣﹣2mnmxnx2m；（﹣）﹣+22xy2y43xy．（﹣）﹣+14x的取值范围：．求使不等式成立的322x31xx10x．）（（+﹣）≥）﹣（﹣﹣21x1x115xxx）．阅读题：因式分解：）++++（（+21xx11xxx=）（）++（++解：原式）（+=1x1xxx1）++）[（+]（+=1x1xx1x）（+]）+（++）[（21x1x=）+（）+（3x=1．（）+1）本题提取公因式几次？（n1x…x112xxx，需提公因式多少次？结果是什么？+（））若将题目改为+（+（++）+16xyxxyyyx=12xy的值．、．已知，都是自然数，且有（﹣）﹣（﹣），求4 因式分解》《第章参考答案与试题解析一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（）322 Daxyb y=bCxa=aAxy=xy Bb=ab）﹣（）．（﹣﹣+﹣．﹣）﹣﹣（）﹣））．．﹣（+（﹣（3【考点】完全平方公式；去括号与添括号．ABCD、利用立方、、利用完全平方公式计算即可；都是利用添括号法则进行变形，【分析】差公式计算即可．Axy=xy），﹣【解答】解：+、∵﹣﹣（故此选项错误；Bab=ab），+﹣、∵﹣﹣（故此选项错误；2222yxyxx=y=2xyC，﹣﹣））+、∵（（﹣故此选项正确；33223bb=ab3a3abDa，）+﹣、∵（﹣﹣33223a=b3a3abbab，﹣（﹣﹣）+33abab，≠（∴（）﹣﹣）故此选项错误．C．故选【点评】本题主要考查完全平方公式、添括号法则，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公222“”b“ab”=a2ab号，括到式：（号，括到括号里各项都变号，括号前是±．括号前是）++±﹣括号里各项不变号．2m1m1m1m1）后，余下的部分是（）提取公因式（）（﹣﹣）+（）﹣．把多项式（+Am1 B2m C2Dm2+．．．+．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】压轴题．m1）后，得出余下的部分．【分析】先提取公因式（﹣m1m1m1），（+）（﹣﹣）+【解答】解：（=m1m11），（﹣）（++=m1m2）．﹣+）（（D．故选m11．【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意提取公因式后还剩﹣223y5axy310ax因式分解时，应提取的公因式是（）﹣．把）（（）++222yxD5x y5a CyA5a Bx）（．+．．（++））．（【考点】公因式．【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．2322y5a10axxy5axy）因式分解时，公因式是+﹣）【解答】解：（（（++）D故选【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．2b224aba）（（﹣﹣）﹣．将多项式）因式分解的结果是（221 Bb2 Cab2aaaaabaa21 DbA2）+﹣）（）（．（﹣﹣+）（）（﹣）﹣））．．（（．（﹣【考点】因式分解﹣提公因式法．ab2）进而得出即可．（【分析】找出公因式直接提取﹣22b2aab））﹣【解答】解：（（﹣﹣=ab21a）．（﹣+）（C．故选：【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．5．下列因式分解正确的是（）22pq=2pqAmnmnmnm=mnmn1 B6pq3pq++）（）（﹣+））（．（+﹣．）﹣）（﹣（）（﹣+（﹣1）﹣22=xy2xyyxyxyxy=x3y3x2 3xD3Cyx2）﹣+）（）（﹣+）（（（﹣+））+）﹣（+．（（﹣．）+【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】把每一个整式都因式分解，比较结果得出答案即可．1n=1mmnnmmmmAmnnn=mn），故﹣（）+﹣﹣）（﹣）（）（【解答】解：、（+﹣）﹣（原选项正确；216Bp3q3ppqpq2=2q），故原选项错误；）（、（+﹣）﹣（++）（+22xyC32y=yx3yx3x），故原选项错误；、（﹣）+（﹣）（﹣）（﹣﹣2y=2xyxxyxy3xD），故原选项错误．）++（、）﹣（（）（+﹣A．故选：【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．二、填空题24x8x2C6 +）﹣．把多项式（因式分解开始出现错误的一步是﹣24x82…A=x））﹣解：原式﹣（﹣（24x2…B=x2）﹣）（﹣﹣（=x2x24…C））（+（﹣﹣=x2x2…D．﹣+）（（）【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】利用提取公因式法一步步因式分解，逐一对比进行判定，得出答案即可．24x8…Ax2）﹣（【解答】解：原式═（）﹣﹣24x2=x2…B）（（﹣﹣）﹣=x2x24…C）（﹣﹣﹣）（=x2x6…D．）（（）﹣﹣C．通过对比可以发现因式分解开始出现错误的一步是C．故答案为：【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．2322yyxxyxxx7xy ++）的公因式是+ （；+．﹣（）（）24mmn4xmn8yn2） +）（﹣﹣（（））（．﹣的公因式是【考点】公因式．【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．2322yxxy1xyyxxx；【解答】解：（+）﹣（）（）+）的公因式是++（24mmnn24xmn8y）．））（（﹣的公因式是）+（﹣﹣（2yxxm4n．（故答案为：（）﹣+）【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．2x3=x28x3x3） +）（）﹣（．+）（ ++．分解因式：（【考点】因式分解﹣提公因式法．x3）提出即可得出答案．【分析】本题考查提公因式法分解因式．将原式的公因式（﹣2x3x3），【解答】解：（+）﹣（+=x3x31），（++﹣）（=x2x3）．）（（++【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．9nmnpqnnmpq=2nmnpq））（﹣．因式分解：﹣（﹣﹣））（）（﹣）﹣．（﹣（【考点】因式分解﹣提公因式法．nmnpq），进而提取公因式得出即可．（）（﹣【分析】首先得出公因式为﹣nmnpqnnmpq）﹣﹣）（﹣﹣）﹣【解答】解：）（（（=nmnpqnmnpq）﹣﹣﹣）+）（（（﹣）（=2nmnpq）．﹣﹣（）（2nmnpq）．﹣故答案为：﹣（）（【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．102x213x73x7x133xaxba、）（）可分解因式为（﹣+）﹣（+﹣），其中）（）（﹣．已知（﹣ba3b=31．均为整数，则﹣+【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】压轴题．3x7aba3b的值．，再合并同类项即可得到的值，进而可算出、【分析】首先提取公因式+﹣2x213x73x7x13），【解答】解：（）﹣（﹣﹣）（﹣﹣）（=3x72x21x13），﹣（+﹣﹣）（=3x7x8）﹣﹣（）（=3xaxb），）（（++a=7b=8，，则﹣﹣a3b=724=31，+﹣﹣故﹣31．故答案为：﹣【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．三、解答题11．将下列各式因式分解：33432aabbb10a5a1b；（﹣（（））﹣）﹣2aabbb2aba）；（）（﹣）+（﹣）+（﹣33a4b7a8b11a12b8b7a）；）（）+（）（（﹣﹣）（﹣﹣4xbcdydbccbd．）﹣（﹣+﹣﹣+）﹣（（）﹣【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】均直接提取公因式即可因式分解．33432abbab10a15ab）（﹣）﹣﹣）【解答】解：（（3222abb=5aabab）（）（﹣﹣﹣2aabb2baba）﹣（））++（﹣（﹣）（=ababab））（+（﹣﹣﹣2b=2a；（）﹣33a4b7a8b11a12b8b7a）﹣）（﹣﹣）（）（+）（﹣（=7a8b3a4b11a12b）（﹣﹣+）（﹣=87a8bba）﹣﹣（）（4xbcdydbccbd+（﹣）（）﹣+（﹣﹣）﹣﹣=bcdxy1）．++﹣﹣（）（【点评】考查了因式分解的知识，解题的关键是仔细观察题目，并确定公因式．23x3yy27yx3y12x的值．﹣满足，求（﹣﹣（．若），）【考点】因式分解的应用；解二元一次方程组．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．23x27yx3y3y，（（﹣））﹣﹣【解答】解：233y2x3yx=7y，﹣﹣））+（（27y23yx3y=x）][+（﹣﹣（），22xyx3y=），﹣）+（（26=6=1．当时，原式×【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．13．先阅读下面的材料，再因式分解：amanbmbna；把它的后两+++因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出要把多项式bamnbmnamnbmn），+（+）+（）．这时，由于+（+）+（，从而得至项分成一组，并提出mnmnmnabamanbmbn=++）．），从而得到（因此有+（）又有因式（++），于是可提公因式（++amanbmbn=amnbmn=mnab）．这种因式分解的方法叫做分（+）（）+（（++）+（+++））（组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．请用上面材料中提供的方法因式分解：2bbcabac1：﹣）﹣（+2mnmxmnx2；+﹣（﹣）22xy2yxy43．+﹣（﹣）【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】阅读型．1）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可；【分析】（2）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可；（3）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可．（2=abcbcb=abacbcbabbc1）；+（﹣﹣﹣）﹣（﹣﹣（）+【解答】解：（）（）2mnmxnx=mmnxmn=mnm2mx）；+）﹣）（（（﹣+）（﹣）（﹣﹣﹣22xy2y3xy4﹣）（﹣+=xyy22y2）﹣（）+（﹣=y2xy2）．（）（﹣+【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组进而提取公因式是解题关键．14x的取值范围：．求使不等式成立的322x30x1xx1．﹣（﹣﹣））≥（）（﹣+【考点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式．22x3x1x2x），进一步利用提取公因式法以及非负数）+（因式分解为（【分析】首先把﹣﹣﹣的性质，探讨得出答案即可．322x31xx1x））（【解答】解：（﹣﹣﹣）﹣（+32x1x=12x）（﹣））﹣﹣（（﹣2x1=x1）；（（﹣+）2322x3x011xx1x，﹣）≥+因（﹣）是非负数，要使（﹣）﹣（﹣）（x10即可，只要+≥x1．即≥﹣【点评】此题考查提取公因式法因式分解，结合非负数的性质来探讨不等式的解法．21x1x151xxx）．阅读题：因式分解：）+++（++（21x1x1xxx=）））++（++解：原式（（+=1x1xxx1）+++）[（+]（=1x1xx1x）+（）[（+]（）++21xx=1））（++（3x=1．（）+1）本题提取公因式几次？（n1x1…x21xxx，需提公因式多少次？结果是什么？（+）若将题目改为++++）（+（）【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】阅读型．1）根据题目提供的解答过程，数出提取的公因式的次数即可；【分析】（2）根据总结的规律写出来即可．（1）共提取了两次公因式；【解答】解：（nn1+1n1xx21xxx1…x．（））将题目改为）+，需提公因式+（+++）++次，结果是（（【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是从题目提供的材料确定提取的公因式的次数．16xyxxyyyx=12xy的值．（．已知，求，都是自然数，且有﹣（、﹣））﹣【考点】因式分解﹣提公因式法．xy12的分解，对应【分析】首先把等号右边的整式因式分解，得出关于的整式的乘法算式，、得出答案即可．xxyyyx））﹣【解答】解：﹣（（﹣=xyxy）；）（（+﹣xy12=112=26=34；都是自然数，又××因为，×4242=26符合条件；﹣）×（×+）经验证（x=4y=2．所以，【点评】此题考查提取公因式因式分解，进一步利用题目中的条件限制分析探讨得出答案．。
第四章因式分解一、选择题1.下列因式分解结果正确的是（）A. x2+3x+2=x（x+3）+2B. 4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D. a2﹣2a+1=（a+1）22.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 8a2b3=2a2•4b3D. x2-4=（x+2）（x-2）3.若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4.把多项式x2﹣x分解因式，得到的因式是（）A. 只有xB. x2和xC. x2和﹣xD. x和x﹣15.计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C. ﹣ D. 3×6.下列多项式能因式分解的是（）A. B. C. D.7.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1C. x2﹣4y2=（x﹣2y）2D. 2x2+4x+2=2（x+1）28.在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A. x（x4﹣64）B. x（x2+8）（x2﹣8）C. x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D. x（x+2）3（x﹣2）9.分解因式得正确结果为（）A. a2b（a2﹣6a+9）B. a2b（a﹣3）（a+3）C. b(a2﹣3)2D. a2b（a﹣3)210.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 50二、填空题11.分解因式：a3﹣ab2=________．12.分解因式：m2﹣16=________．13.分解因式x2-8x+16=________14. 分解因式：x2﹣9= ________.15.分解因式：a2﹣16=________.16.已知一个长方形的面积是a2﹣b2（a＞b），其中长边为a+b，则短边长是________ ．17.分解因式：x2y﹣4xy+4y=________．18. 分解因式：9x3﹣18x2+9x=________19.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=________20.分解因式：9a﹣a3=________ ．三、解答题21.因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）22.化简求值：当a=2005时，求﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005的值．23.阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．请你说明这个等式的正确性．参考答案一、选择题C D D D D C D C D C二、填空题11.a（a+b）（a﹣b）12.（m+4）（m-4）13.（x-4）214.（x+3）（x﹣3）15.（a+4）（a﹣4）16.解：（a2﹣b2）÷（a+b）=（a+b）（a﹣b）÷（a+b）=a﹣b．故答案为a﹣b．17.y（x﹣2）218.9x（x﹣1）219.1820.a（3+a）（3﹣a）三、解答题21.解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．22.解：﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a（a3﹣2a2﹣3a）+2005=﹣3a2（a2﹣2a﹣3）+3a2（a2﹣2a﹣3）+2005=2005．23.（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）（2）解：m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，因为（m+3）2≥0，所以代数式m2+6m+13的最小值是4（3）解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]。
第4章因式分解一．选择题（共10小题）1．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）C．am﹣a＝a（m﹣1）D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣12．下面四个多项式中，能进行因式分解的是（）A．x2+y2B．x2﹣y C．x2﹣1 D．x2+x+13．若a+b＝3，ab＝﹣2，则代数式a2b+ab2的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．64．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）A．a2+2ax+4x2B．﹣a2﹣4ax+4x2C．x2+4+4x D．﹣1+4x25．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a3﹣ac2﹣ab2＝0，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6．已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则x+y＝（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．若a2+2b2+5c2＝4bc﹣2ab+2c﹣1，则a﹣b+c的值是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．28．若x2+mx+12分解因式得（x﹣2）（x﹣6），则m＝（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．49．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 10．如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二．填空题（共5小题）11．将3a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）分解因式，应提取的公因式是．12．若m﹣n＝3，mn＝﹣2，则4m2n﹣4mn2+1的值为．13．分解因式：25（x+y）2﹣4（x﹣y）2＝．14．若x2﹣3x﹣10＝（x+a）（x+b），则a＝，b＝．15．在实数范围内分解因式﹣4+x4的结果是．三．解答题（共5小题）16．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）17．简便计算：1.992+1.99×0.01．18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是．19．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图3给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片，图1是由图3提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）请写出图2中所表示的数学等式：；（2）和用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2的值为；（3）①请按要求利用所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为2a2+3ab+b2，并将所拼出的图形画在的方框中；②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+3ab+b2分解因式，即2a2+3ab+b2＝．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A不是多项式转化成几个整式积形式，故A不是因式分解；B没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不是因式分解；Cam﹣a＝a（m﹣1），故C是因式分解；D是整式的乘法，故D不是因式分解；故选：C．2．解：A、x2+y2不能进行因式分解，故本选项错误；B、x2﹣y不能进行因式分解，故本选项错误；C、x2﹣1能利用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；D、x2+x+1不能进行因式分解，故本选项错误．故选：C．3．解：∵a+b＝3，ab＝﹣2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6．故选：C．4．解：x2+4+4x＝（x+2）2，故选：C．5．解：∵a、b、c是△ABC的三边，∴a≠0，b≠0，c≠0，又a3﹣ac2﹣ab2＝0，∴a（a2﹣c2﹣b2）＝0，则a2﹣c2﹣b2＝0，即a2＝b2+c2，∴△ABC一定是直角三角形．故选：C．6．解：∵x2+y2+2x﹣6y+10＝0，∴x2+2x+1+y2﹣6y+9＝0即：（x+1）2+（y﹣3）2＝0解得：x＝﹣1，y＝3∴x+y＝﹣1+3＝2，故选：A．7．解：∵a2+2b2+5c2＝4bc﹣2ab+2c﹣1，∴a2+2b2+5c2﹣4bc+2ab﹣2c+1＝0，∴（a+b）2+（b﹣2c）2+（c﹣1）2＝0，∴a+b＝0，b﹣2c＝0，c﹣1＝0∴a＝﹣2，b＝2，c＝1，∴a﹣b+c＝﹣3．故选：A．8．解：由题意可知：x2+mx+12＝（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12＝x2﹣8x+12∴m＝﹣8故选：A．9．解：∵x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3），∴a＝1﹣3＝﹣2，b＝﹣3×1＝﹣3，故选：B．10．解：∵a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c∴a2+b2+c2+338﹣10a﹣24b﹣26c＝0可化为（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13．∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：原式＝3a（x﹣y）+6b（x﹣y）＝3（x﹣y）（a+2b），故答案为：3（x﹣y）（a+2b）12．解：∵m﹣n＝3，mn＝﹣2，∴原式＝4mn（m﹣n）+1＝﹣24+1＝﹣23，故答案为：﹣2313．解：原式＝[5（x+y）﹣2（x﹣y）][5（x+y）+2（x﹣y）]＝（3x+7y）（7x+3y），故答案为：（3x+7y）（7x+3y）14．解：∵（x+a）（x+b），＝x2+（a+b）x+ab，＝x2﹣3x﹣10，∴a+b＝﹣3，ab＝﹣10，解得a＝2，b＝﹣5或a＝﹣5，b＝2．故答案为：2或﹣5，﹣5或2．15．解：﹣4+x4＝x4﹣22＝（x2+2）（x2﹣2）＝（x2+2）（x+）（x﹣）．故答案是：（x2+2）（x+）（x﹣）．三．解答题（共5小题）16．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．17．解：1.992+1.99×0.01＝1.99×（1.99+0.01）＝3.98．18．解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为：提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）（1+x）＝（1+x）4，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法3次，结果是：（x+1）4．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为：（x+1）n+1．19．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是三角形△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，∴a﹣b＝0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．20．（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝112﹣2×38，＝45；（3）①如图所示，②如上图所示的矩形面积＝（2a+b）（a+b），它是由2个边长为a的正方形、3个边长分别为a、b的长方形、1个边长为b的小正方形组成，所以面积为2a2+3ab+b2，则2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b），故答案为：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．。
第四章《因式分解》检测题一．选择题（共12小题）1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣252．多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）23．把多项式（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）提取公因式（x﹣1）后，余下的部分是（）A．（x+1） B．（x﹣1） C．x D．（x+2）4．下列多项式的分解因式，正确的是（）A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz）B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2）C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）5．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣86．计算（﹣2）+2等于（）A．2B．﹣2 C．﹣2 D．27．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）8．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2 C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2 9．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）10．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣1511．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣412．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0 B．总是奇数C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数二．填空题（共6小题）13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是（填上序号）．14．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式．15．若a=49，b=109，则ab﹣9a的值为．16．在实数范围内分解因式：x5﹣4x=．17．设a=8582﹣1，b=8562+1713，c=14292﹣11422，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是＜＜．18．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，则△ABC是三角形．三．解答题（共10小题）19．把下列各式分解因式：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．(3)（x﹣1）（x﹣3）+1．(4)（x2+4）2﹣16x2．(5) x2+y2+2xy﹣1．（6）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37（实数范围内）．20．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．21．先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×=0，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．23．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与解析一．选择题1．【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；故选：B．2．【分析】分别将多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找他们的公因式．解：∵4x2﹣4=4（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．3．【分析】原式变形后，提取公因式即可得到所求结果．解：原式=（x+1）（x﹣1）+（x﹣1）=（x﹣1）（x+2），则余下的部分是（x+2），故选D4．【分析】A选项中提取公因式3xy；B选项提公因式3y；C选项提公因式﹣x，注意符号的变化；D提公因式b．解：A、12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy），故此选项错误；B、3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2），故此选项正确；C、﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z），故此选项错误；D、a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1），故此选项错误；故选：B．5．【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．故选：A．6．【分析】直接提取公因式法分解因式求出答案．解：（﹣2）+2=﹣2+2=2×（﹣2+1）=﹣2．故选：C．7．【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断；D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；B、原式=（x+1）2，错误；C、原式=3m（x﹣2y），错误；D、原式=2（x+2），正确，故选D8．【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．9．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．10．【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．11．【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A12．【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，设n=2k﹣1（k为整数），则==k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选C．二．填空题13．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；④x4﹣1平方差公式，故④正确；⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；⑥m2﹣mn+n2完全平方公式，故⑥正确；故答案为：②③④⑤⑥．14．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．15．【分析】原式提取公因式a后，将a与b的值代入计算即可求出值．解：当a=49，b=109时，原式=a（b﹣9）=49×100=4900，故答案为：4900．16．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式=x（x4﹣4）=x（x2+2）（x2﹣2）=x（x2+2）（x+）（x﹣），故答案为：x（x2+2）（x+）（x﹣）17．【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行变形，把其中一个因数化为857，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．解：∵a=8582﹣1=（858+1）（858﹣1）=857×859，b=8562+1713=8562+856×2+1=（856+1）2=8572，c=14292﹣11422=（1429+1142）（1429﹣1142）=2571×287=857×3×287=857×861，∴b＜a＜c，故答案为：b、a、c．18．【分析】先把原式化为完全平方的形式再求解．解：∵原式=a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0，a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，∴a﹣b=0且b﹣c=0，即a=b且b=c，∴a=b=c．故△ABC是等边三角形．故答案为：等边．三．解答题19．（1）【分析】直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式得出答案；解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]=2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）【分析】直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．解：﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．(3)【分析】首先利用多项式乘法计算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后变形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可．解：原式=x2﹣4x+3+1，=x2﹣4x+4，=（x﹣2）2．(4)【分析】利用公式法因式分解．解：（x2+4）2﹣16x2，=（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）=（x+2）2•（x﹣2）2．(5)【分析】将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式得出即可．解：x2+y2+2xy﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y﹣1）（x+y+1）．(6)【分析】将x2y2看作一个整体，然后进行因式分解．解：（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37=（x2y2）2﹣4x2y2+16=（x2y24）2=（xy+2）2（xy﹣2）2．20．【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=（x﹣2）2+（y+3）2=0，∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3，则原式=（x﹣3y）2=112=121．21．【分析】（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；（2）根据平方差公式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．解：（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．22．【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），取x=1，得1+m+n﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．23.【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．解：x3﹣x2﹣x+1=x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）2（x+1）4x3﹣4x2﹣x+1=4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）24.【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1=（x2﹣2x+1）2=（x﹣1）4．。
第4章因式分解一．选择题（共10小题）1．下列因式分解正确的是（）A．x2+xy+x＝x（x+y）B．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）C．a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1D．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）2．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x3﹣2x﹣1；④m2﹣m+；⑤4x4﹣x3+．A．1个B．2个C．3个D．4个3．计算9992+999的结果是（）A．999999B．999000C．99999D．999004．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（）A．a2﹣1B．a2+4C．a2+2a+1D．a2﹣4a﹣45．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4B．5C．6D．86．若多项式mx2﹣可分解因式为（3x+）（3x﹣），则m、n的值为（）A．m＝3，n＝5B．m＝﹣3，n＝5C．m＝9，n＝25D．m＝﹣9，n＝﹣25 7．已知20102021﹣20102019＝2010x×2009×2011，那么x的值为（）A．2018B．2019C．2020D．20218．二次三项式x2﹣mx﹣12（m是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m的所有可能值有（）个．A．4B．5C．6D．89．若m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+2019的值为（）A．2020B．2019C．2021D．201810．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1B．4C．11D．12二．填空题（共5小题）11．因式分解：27a3﹣3a＝．12．若xy＝﹣2019，则（）2﹣（）2＝．13．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．14．若将（2x）n﹣81分解成（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），则n的值是．15．如果a﹣3b﹣2＝0，那么：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝．三．解答题（共4小题）16．分解因式（1）4x2﹣9y2（2）x2﹣y2+2y﹣117．已知a﹣b＝3，ab＝4（1）求a+b（2）a2+6ab+b2的值．18．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝画出拼图．19．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a 代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．参考答案一．选择题（共10小题）1．D．2．C．3．B．4．A．5．C．6．C．7．B．8．C．9．A．10．C．二．填空题（共5小题）11．3a（3a+1）（3a﹣1）12．2019．13．9．14．4．15．2．三．解答题（共4小题）16．解：（1）原式＝（2x﹣3y）（2x+3y）；（2）原式＝x2﹣（y2﹣2y+1）＝x2﹣（y﹣1）2＝（x+y﹣1）（x﹣y+1）．17．解：（1）∵a﹣b＝3，ab＝4，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝9+16＝25，∴a+b＝5或﹣5；（2）由（1）可知a+b＝5或﹣5，∴a2+6ab+b2＝（a+b）2+4ab＝25+16＝41．18．解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；故答案为：2，3．（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），故答案为：（a+2b）•（a+b）．（4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），如图，故答案为：（a+2b）（a+3b）．19．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，分别令x＝0，x＝1，即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a＝4，b＝4，（8分）所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），（9分）＝（x+1）（x+2）2．（10分）。
第四章因式分解单元测试(时间：40分钟满分：100分）一、选择题(每小题3分，共30分）1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．(3－x）(3＋x）＝9－x2B．m4－n4＝(m2＋n2）(m＋n）(m－n）C．(y＋1）(y－3）＝－(3－y）(y＋1）D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz）＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是（）A．x2－xy B．x2＋xyC．x2－y2D．x2＋y23．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a(4a2－4a＋1）B．8a2(a－1）C．2a(2a＋1）2D．2a(2a－1）24．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（）A．a2－1 B．a2＋aC．a2＋a－2 D．(a＋2）2－2(a＋2）＋15．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是（）A．4x2－4x＋1＝(2x－1）2B．x3－x＝x(x2－1）C．x2y－xy2＝xy(x－y）D．x2－y2＝(x＋y）(x－y）6．若x2＋ax－24＝(x＋2）(x－12），则a的值为（）A．－10 B．±10 C．14 D．－147．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是（）A．x2＋2x＝x(x＋2）B．x2－2x＋1＝(x－1）2C．x2＋2x＋1＝(x＋1）2D．x2＋3x＋2＝(x＋2）(x＋1）8．已知a－b＝1，则a2－b2－2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．09．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5）2－9都能（ ）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被m －1整除D ．被2m －1整除 10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，8二、填空题(每小题3分，共15分）11．因式分解：2m 3－8m ＝ ．12．若二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是 ．13．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝ ． 14．计算：1.222×9－1.332×4＝ ．15．两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成(x ＋1）(x ＋9）；乙因看错了常数项而分解成(x －2）(x －4），则将原多项式因式分解后的正确结果应该是 ．三、解答题(共55分）16．(16分）因式分解：(1）3m 2n －12mn ＋12n ； (2）n 2(m －2）－n(2－m ）；(3）(a ＋b ）3－4(a ＋b ）； (4）8(x 2－2y 2）－x(7x ＋y ）＋xy.17．(8分）不解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y(x －3y ）2－2(3y －x ）3的值．18．(9分）商贸大楼共有四层，第一层有商品(a＋b）2种，第二层有商品a(a＋b）种，第三层有商品b(a＋b）种，第四层有商品(b＋a）2种．若a＋b＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？19．(10分）阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．20．(12分）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a＞b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式．【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b(a＞b）的小正方体后余下的部分(如图3）再切割拼成一个几何体(如图4）．图3中的几何体的体积为，图4中的几何体的体积为，根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为：．(结果写成整式的积形式）【知识运用】(1）因式分解：8x3－1；(2）已知a－b＝4，ab＝3，求a3－b3的值．参考答案：一、选择题(每小题3分，共30分）1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(B）A．(3－x）(3＋x）＝9－x2B．m4－n4＝(m2＋n2）(m＋n）(m－n）C．(y＋1）(y－3）＝－(3－y）(y＋1）D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz）＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是(C）A．x2－xy B．x2＋xyC．x2－y2D．x2＋y23．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(D）A．2a(4a2－4a＋1）B．8a2(a－1）C．2a(2a＋1）2D．2a(2a－1）24．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是(C）A．a2－1 B．a2＋aC．a2＋a－2 D．(a＋2）2－2(a＋2）＋15．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是(B）A．4x2－4x＋1＝(2x－1）2B．x3－x＝x(x2－1）C．x2y－xy2＝xy(x－y）D．x2－y2＝(x＋y）(x－y）6．若x2＋ax－24＝(x＋2）(x－12），则a的值为(A）A．－10 B．±10 C．14 D．－147．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是(D）A．x2＋2x＝x(x＋2）B ．x 2－2x ＋1＝(x －1）2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1）2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2）(x ＋1）8．已知a －b ＝1，则a 2－b 2－2b 的值为(C ）A ．4B ．3C ．1D ．09．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5）2－9都能(A ）A ．被8整除B ．被m 整除C ．被m －1整除D ．被2m －1整除 10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(B ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，8二、填空题(每小题3分，共15分）11．因式分解：2m 3－8m ＝2m(m ＋2）(m －2）．12．若二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是±6．13．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝1． 14．计算：1.222×9－1.332×4＝6.32．15．两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成(x ＋1）(x ＋9）；乙因看错了常数项而分解成(x －2）(x －4），则将原多项式因式分解后的正确结果应该是(x －3）2．三、解答题(共55分）16．(16分）因式分解：(1）3m 2n －12mn ＋12n ；解：原式＝3n(m 2－4m ＋4）＝3n(m －2）2.(2）n 2(m －2）－n(2－m ）；解：原式＝n 2(m －2）＋n(m －2）＝n(n ＋1）(m －2）．(3）(a ＋b ）3－4(a ＋b ）；解：原式＝(a ＋b ）[(a ＋b ）2－4]＝(a ＋b ）(a ＋b ＋2）(a ＋b －2）．(4）8(x 2－2y 2）－x(7x ＋y ）＋xy.解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y ）(x －4y ）．17．(8分）不解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y(x －3y ）2－2(3y －x ）3的值． 解：原式＝(x －3y ）2[7y ＋2(x －3y ）]＝(x －3y ）2(2x ＋y ）．∵⎩⎨⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，∴原式＝12×6＝6.18．(9分）商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b ）2种，第二层有商品a(a ＋b ）种，第三层有商品b(a ＋b ）种，第四层有商品(b ＋a ）2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？解：(a ＋b ）2＋a(a ＋b ）＋b(a ＋b ）＋(b ＋a ）2＝2(a ＋b ）2＋(a ＋b ）(a ＋b ）＝2(a ＋b ）2＋(a ＋b ）2＝3(a ＋b ）2.因为a ＋b ＝10，所以3(a ＋b ）2＝300.答：这座商贸大楼共有商品300种．19．(10分）阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状． 解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，①∴c 2(a 2－b 2）＝(a 2＋b 2）(a 2－b 2）．②∴c 2＝a 2＋b 2.③∴△ABC 为直角三角形．问：(1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③；(2）写出该题正确的解法．解：正确的解法如下：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，∴c 2(a 2－b 2）＝(a 2＋b 2）(a 2－b 2）．∴c2(a2－b2）－(a2＋b2）(a2－b2）＝0.∴(a2－b2）[c2－(a2＋b2）]＝0.分三种情况讨论：①当a2－b2＝0，c2－(a2＋b2）≠0时，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②当a2－b2≠0，c2－(a2＋b2）＝0时，则c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形；③当a2－b2＝0，且c2－(a2＋b2）＝0时，则a＝b，c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰直角三角形．综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．20．(12分）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a＞b），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式a2－b2＝(a＋b）(a－b）．【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b(a＞b）的小正方体后余下的部分(如图3）再切割拼成一个几何体(如图4）．图3中的几何体的体积为a3－b3，图4中的几何体的体积为a2(a－b）＋ab(a－b）＋b2(a－b），根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为：a3－b3＝(a－b）(a2＋ab＋b2）．(结果写成整式的积形式）【知识运用】(1）因式分解：8x3－1；(2）已知a－b＝4，ab＝3，求a3－b3的值．解：(1）8x3－1＝(2x）3－1＝(2x－1）(4x2＋2x＋1）．(2）∵a－b＝4，ab＝3，∴a2＋b2＝(a－b）2＋2ab＝16＋6＝22.∴a3－b3＝(a－b）(a2＋ab＋b2）＝4×(22＋3）＝100.。
