九年级数学导学案：2209一元二次方程的实际应用(二)

一元二次方程应用导学设计九年级数学教案【学习目标】：1、会分析实际问题中的等量关系，并能够用一元二次方程解决实际问题2、经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在3、通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模式，培养在生活中发现问题，解决问题的能力【学习重点】：列一元二次方程解“动态”问题．【学习难点】：理解“动态”中的变化过程，寻找正确的等量关系一、课前预习问题1、一根长4m的绳子。

（1）能否围成面积是1m2的矩形？分析：如果设这根绳子围成的矩形的长是xm，那么矩形的宽是__________。

根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，可以列出方程求解。

解：（2）能否围成面积是1.2 m2的矩形？（3）这根铁丝围成的矩形中，面积最大的是多少？●二、典型例题1、学校生物课外活动小组要在兔舍外面开辟一个面积为20平方米的长方形活动场地.它的一边靠墙,其余三边利用长13m的旧围栏.已知兔舍墙面宽6m,问围成长方形的长和宽各是多少?2、如图，在矩形abcd中，ab=6 cm，bc=12 cm，点p从点a沿边ab向点b 以1cm/s的速度移动；同时，点q从点b沿边bc向点c以2cm/s的速度移动，问几秒后△pbq的面积等于8 cm2？●三、反思与小结●四、课堂检测1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。

框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？2、如图，a、b、c、d为矩形的四个顶点，ab=16cm，bc=6cm，动点p、q 分别从点a、c出发，点p以3cm/s的速度向点b移动，一直到达b为止；点q 以2cm/s的速度向点d移动。

经过多长时间p、q两点之间的距离是10cm？3、如图，在rt△abc中，ab=bc=12cm，点d从点a开始沿边ab以2cm/s 的速度向点b移动，移动过程中始终保持de∥bc，df∥ac，问点d出发几秒后四边形dfce的面积为20cm2？五、课后作业1、一根长22cm的铁丝。

新人教版九年级数学上册第9课时一元二次方程的应用（2）学案一、学习目标1．会利用一元二次方程解答数字问题2．会利用一元二次方程解答营销问题；3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾 1. 用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：（1）审题找等量关系；（2）设元列方程；（3）求解并检验；（4）写出答案．2. 数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字×10+个位数字；三位数表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．四、典例探究1．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（2014秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法：（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．练1 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣12．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润. 用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（2015春•寿县校级月考）如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q 分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题. 解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4（2015春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题．五、课后小测一、选择题1．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9 B．﹣9和﹣5 C．5和﹣5或﹣9和9 D．5和9或﹣9和﹣52．（2014•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.23. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44 B．45 C．46 D．47．二、填空题4．（2014秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（2015•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（2015春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（2015春•汕头校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=53，x2=4.因为x为整数，所以x=53不符合题意，x=4.10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．【例3】【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP 和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ=×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4．【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=AC ﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．课后小测答案：一、选择题1．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得 x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x （20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得 x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得 x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=Q C×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。

一元二次方程的应用组名：姓名：一、学习目标：1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题；2、提高分析问题和解决问题的能力；二、预习检测1、说一说菱形有哪些性质。

2、已知一个菱形的两条对角线的长分别为6cm、cm，这个菱形的边长为，面积为。

3、列方程解应用题的一般步骤有：审、设、找、列、解、。

三、自主学习1、一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm.、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如下图所示。

菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，且菱形的面积是护窗正面矩形面积的1/5。

（1）求菱形的两条对角线长。

（2）求组成菱形的每一根铁条的长度。

解题思路：菱形的面积与对角线的关系是：如果设菱形竖直方向的对角线长x cm，则水平方向的对角线长 Cm,根据题意可列出方程：解此方程得：检验解的合理性：。

作答：。

（2）菱形的边长的计算：在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检验所求得的解是否。

2、如图，一块长和宽分别是40cm,28cm的矩形铁皮，在它的四角分别截去四个完全一样的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使得它的底面积为364cm3,本题中的等量关系是：若设截去的小正方形边长为x cm，则底面长 cm，宽 cm。

于是可以列出方程解此方程得：检验解的合理性：。

作答：。

四、合作探究1、用长8m 的铝材做一个日字型窗框，高和宽各为多少米时窗户的透光面积为38 m 2？2、小湖村的一块矩形水稻田的长为50m ，宽为30m ，在田中有一横两纵的等宽田埂，如图所示，这块田的种植面积为1445.5m 2，求田埂的宽。

五、课堂检测1、一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。

若两个正方形的面积和等于160cm 2，则这两个正方形的边长分别是多少？2、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。

框子各边多长时，框子的面积是600 cm 2？能制成面积是800 cm 2的矩形框子吗？3、在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2？P QC B A D。

2019-2020学年九年级数学上册 一元二次方程的应用（第2课时）导学案（新版）新人教版【学习目标】 通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

【学习过程】一. 同学们，人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在22—24℃之间，而这种气温与人的正常体温正呈现微妙之处：人的正常体温37℃与0.618的乘积为22.8℃，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢处于最佳状态。

同学们想知道0.618的来历和作用吗？二、问题探究一如图2-8,某海军基地位于点A 处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B 的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向.一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1) 小岛D 和小岛F 相距多少海里?(2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）三、反馈练习一某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶 200m 需要多长时间?四、问题探究二如图,在一块长92m,宽60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽. A B D CE F五、反馈练习二将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长.六、问题探究三：你还有哪些问题需要解决？七、.盘点提升（完善知识树）自我评价同伴评价学科长评价为什么是0.618。

2019-2020学年九年级数学上册 用一元二次方程解决问题导学案2苏科版课 型：新授课学习目标：1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法。

2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

学习重点：列一元二次方程解“数字问题”和“平均增长率”学习过程：1、情境创设：某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？分析：如果设平均每月增长的百分率是x ，那么7月份的利润是 元，8月份的利润是 元。

解：2、【思考与探索】某企业成立3年来，累计向国家上缴利税208万元，其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均增长的百分率。

3、练习（1）、某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A 、9% B 、10％ C 、11％ D 、12％（2）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是 （ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=（3）某工厂的年产量两年翻一番，求平均年增长率x 的方程为__________________。

（4）、某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t ，4月份达到7200t,平均每月增长的百分率是多少？（5）某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率。

（6）、某厂生产电视机，每台成本3000元，连续两次降低成本后，每台成本仅为1920元，问平均每次降低成本百分之几？（7）两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。

（8）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，平均每年的增长率是多少？（9）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.①求A市投资“改水工程”的年平均增长率；②从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？。

第10课时第1章第4节用一元二次方程解决问题(2)［学习目标］1. 经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；2.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养数学应用能力；3.能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高自身逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．［活动方案］活动一用一元二次方程解决与商品销售相关的问题1．回顾旧知：列一元二次方程解决问题的一般步骤有哪些？2.阅读课本P25中问题3的内容，并完成问题：问题3 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施。

假设在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。

如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？思考1：如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？思考2：你是如何解这个方程的？方程的解都符合题意吗？请写出完整的解题过程。

思考3：某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元。

经市场预测，定价为50元时，可销售200个；定价每增加2元，销售量就减少20个。

如果商店进货后全部销售完，赚了2000元，问该商店进了多少个小家电？定价是多少？活动二用一元二次方程解决与收费相关的问题阅读课本P26中问题4的内容，并完成问题：问题4 龙湾风景区的旅游信息：旅游人数收费标准不超过30人人均收费800元超过30人每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？思考4：如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？如何确定参加这次旅游的人数的范围？思考5：你是如何解这个方程的？方程的解都符合题意吗？请写出完整的解题过程。

变题：问题4中，该公司又组织第二批员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元。

求该公司第二批参加旅游的员工人数。

应用一元二次方程〔2〕教课目的：1.成立方程模型来解决生活中的经济问题，总结运用列方程解决实质问题的一般步骤．2．经过列方程解应用题，进一步提高剖析问题、解决问题的能力．教课要点：找出相等关系恰当设未知数教课难点：理清题中的数目关系教课过程一、知识链接1、什么是进价、销售价、收益？说出它们三者的关系，收益=，收益率=，总收益=每件的收益×2、回想列方程解应用题的一般步骤。

二、自主研究，展现点评例题：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研说明：当销售价为2900元时，均匀每日能售出8台，而当销售价每降低50元时，均匀每日就能多售出4台，商场要想使这类冰箱的销售收益均匀每日抵达5000元，每台冰箱的订价应为多少元?研究一剖析：(1).题中“当销售价每降低50元时，均匀每日就能多售出4台，〞试着剖析一下这句话的意思，(2).假如每台冰箱降价x元，那么均匀每日便可多售出台，每台冰箱的订价应为元、(3).降价前每台进货价为2500元，销售价为2900元，每台销售收益元，降价后每台销售收益元，降价前均匀每日可售出8台，降价后均匀每日可售出台，(4).经过列表理清数目关系每日的销售量/台每台的销售收益/元每日总销售收益/元降价前降价后〔5).题中冰箱的销售收益均匀每日抵达5000元，本题的等量关系是由此可获得的方程是〔6〕教师帮着学生解方程问：总结列一元二次解决实质问题的一般步骤是什么?其要点是什么？研究二：〔1〕不解方程经过题意，你能猜想出每台冰箱的订价范围吗？〔2〕你能猜出降价的范围吗？〔3〕本题是求订价，我们可否先求出降价，再找订价？〔4〕设每台冰箱降价x元，试剖析下表：每日的销售量/台每台的销售收益/元每日总销售收益/元降价前降价后〔5〕列出方程研究三：本题中会降几个50元？可否先求出降了几个50元，再求出每台冰箱的订价？三、讲堂总结：由学生写反省并沟通四、讲堂检测课本55页做一做及随堂练习五：增补习题1、黄冈百货商铺服装柜销售发现：“宝乐〞牌童装均匀每日可售出20件，每件盈余40元；为了迎接“六一〞国际少儿节，商场决定采纳适合的降价举措，扩大销售量，增添盈余．经市场检查发现，假如每件童装每降价1元，那么均匀每日便可多售出2件，要想均匀每日在销售这类童装上盈余1200元，那么每件童装应降价多少元?2、某水果批发商场经销一种高档水果，假如每千克盈余10元，那么每日可售出500千克．经市场检查发现，在进货价不变的情况下，假定每千克涨价1元，那么日销售量将减少20千克．现该商场要保证每日盈余6000元，同时又要顾客获得优惠，那么每千克应涨价多少元？2、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾景色区旅行，推出了以下收费标准：假如人数超出25人，每增添1人，假如人数不超出25人，人均人均旅行花费降低20元，但人均旅旅行花费为1000元．游花费不得低于700元．某单位组织职工去天水湾景色区旅行，共支付给春秋旅行社旅行花费27000 元．请问该单位此次共有多少职工去天水湾景色区旅行？教课反省：应用一元二次方程〔2〕学习目标： 1.成立方程模型来解决生活中的经济问题，总结运用列方程解决实质问题的一般步骤．2．经过列方程解应用题，进一步提升剖析问题、解决问题的能力．学习要点：找出相等关系适合设未知数学习难点：理清题中的数目关系学习过程一、知识链接1、什么是进价、销售价、收益？说出它们三者的关系，收益=，收益率=，总收益=每件的收益×2、回想列方程解应用题的一般步骤。

第 21 章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（ 1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．? 根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法， ? 导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解 ax 2+bx+c=0（ a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件： b2-4ac>0 ， b2-4ac=0 ， b2-4ac<0 ．（5）通过复习八年级上册《整式》的第 5 节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（ 6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，? 并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18 课时，具体分配如下：21 ．1一元二次方程 2 课时21． 2 降次──解一元二次方程9 课时21．3实际问题与一元二次方程 3 课时教学活动、习题课、小结4课时第 1 课时一元二次方程（1）1、使学生了解一元二次方程的意义。

人教版九年级数学上第21章一元二次方程实际问题与一元二次方程(导学案）导学案【学习目的】1.学会剖析实践效果中的相等关系，树立正确的数学模型处置实践效果。

2.熟练掌握应用一元二次方程处置传达效果等基本数学效果的详细步骤。

【学习重难点】重点：树立数学模型处置有关传达的实践效果。

难点：寻觅等量关系。

【学习进程】【探求活动一】温习回忆引入新知效果：回想所学内容，说出列一元一次方程解运用题的步骤？①审题②设出未知数③找等量关系④列方程⑤解方程⑥答思索：运用一元二次方程处置实践效果与列一元一次方程解运用题的步骤能否一样？有什么相反点和不同点？【探求活动二】类比归结生成新知学法指点：请阅读课本19页内容，回答以下效果。

效果：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一团体传染了几团体?思绪点拨：〔1〕此题中的数量关系是什么？〔2〕设每轮传染中平均一团体传染了x团体,那么第二轮的传染源有人，有人被传染,第二轮后共有人患了流感。

〔3〕如何了解经过两轮传染后共有121人患了流感？解:变式：假设依照这样的传染速度，三轮传染后有多少团体患流感？小结：〝传达效果〞的基本特征是：以相反速度逐轮传达，处置此类效果的关键步骤是：明白每轮传达中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。

【探求活动三】典例解析运用新知例 1.某种植物的主干长出假定干数目的支干,每个支干又长出异样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?思绪点拨：〔1〕此题中的数量关系是什么？〔2〕设每个支干长出x个小分支，那么主干支长出个支干，主干、支干和小分支的总数为。

解：例2.一个小组假定干人，新年互送贺卡，假定全组共送贺卡72张，那么这个小组共有多少人？思绪点拨：〔1〕此题中的数量关系是什么？〔2〕设这个小组共有x人，那么每人送贺卡张，全组共送贺卡张。

解：【课堂小结】本节课你学到了哪些知识？谈谈你的收获和体会。

21.1 、一元二次方程（1）学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

教学过程：一、自学引言部分，走进一元二次方程分析：设下部高x 米，则可列方程：去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知：自学课本 2 页问题 1、问题 2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题 1 可列方程：整理得②问题 2 可列方程：整理得③1、一个正方形的面积的 2 倍等于 50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是 150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义：展示反馈： 1 、判断下列方程是否为一元二次方程。

(7)关于 x的方程 mx 23x 2 0,(8)关于 y的方程( a21) y2(2a 1) y 5 a 0【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：,其中是二次项，是一次项，是常数项，是二次项系数，是一次项系数。

3、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的 _______________的值。

自主探究：1、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（ 1）4x281（） 3x( x 1) 5( x 2)22、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（ 1）2x( x1)4( x1)±1±2；（ 2）x22x 8 0± ，±24【巩固练习】教材第4页练习 2归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？达标测评1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）2x 1230 （）（）2y 5 0( ) x22 2x3(3) ax2bx c 0（） (4) 4x217 0 ()x2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（ 1） 3x2－ x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－ x x－2)=0（）x x－1)=3(x＋5)－4.3 (4 2(3、把方程mx2nx mx nx2q p (m n0)化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。