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A 组 基础演练1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；③已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋x c ，若三个向量共面，则不能表示空间任意向量，故③不正确，综上可知三个命题中正确的个数为0，故选A. 答案：A2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案：A3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则()A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面解析：设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC . 答案：B4．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →， 所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →|＝12. 答案：C5．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2.∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，∵cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)． 答案：(1,1,1)6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c7．已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →， 则2x ＋3y ＋4z ＝________.解析：∵A 、B 、C 、D 四点共面，∴OA →＝mOB →＋nOC →＋pOD →，且m ＋n ＋p ＝1， 由已知得OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →， ∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1， ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.答案：－18．如图，在四棱锥M —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB 、AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．解析：∵BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →)＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)] ＝－12AB →＋12AD →＋12AM →， ∴BN →＝－12a ＋12b ＋12c ， |BN →|2＝BN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c 2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a ·b －2a ·c ＋2b ·c ) ＝174，∴|BN →|＝172，即BN 的长为172.答案：1729．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． 解：(1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(2)知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.B 组 能力突破1．已知A (9，－3,4)，B (9,2,1)两点，则与线段AB 平行的坐标平面是( )A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz解析：∵AB →＝(0,5，－3)， ∴线段AB 平行于yOz 平面． 答案：C2．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos〈OA →，BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32 D.22解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |＝－12|a ||b |＝0， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：A3．如图所示，已知二面角α－l －β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ. 答案：3－2cos θ4．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)解：∵AC ′→＝－a ＋c ， |AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
