江苏省南通市通州高中等五校2017-2018学年高三上学期第一次联考数学试卷 Word版含解析

2018年南通市高三第一次调研考试数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上． 3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k ) =C kn P k (1－P )n －k正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧=cl 21其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球= 43π3R ，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M ={y|y=x -2}，P ={y |y=x －1 }，那么M ∩P=A ．(1，+∞)B ．［1，+∞)C ．(0，+∞)D ．［0，+∞) 2．设3a =4,3b =12,3c =36，那么数列a ，b ，cＡ．是等差数列但不是等比数列 B ．是等比数列但不是等差数列Ｃ．既是等差数列也是等比数列 Ｄ．既不是等差数列也不是等比数列 3．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为A ．p+q －2p qB ．p+q －pqC ． p+qD ． pq 4．函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是A ．φ=2k π－π6 ，k ∈ZB ．φ=k π－π6 ，k ∈ZC ．φ=2k π－π3 ，k ∈ZD ．φ=k π－π3 ，k ∈Z.5．将棱长为3的正四面体的各棱长三等份，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E 为A ．16B ．17C ．18D ．196．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是A ．12 B ．1 C ．2 D ．927．已知向量=(2,1)， =(1,7)， =(5,1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．48．直线 x 4 + y 3 =1与椭圆 x 216 + y 29 =1相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使△P AB 的面积等于12．这样的点P 共有A ．1个B ．2个C 3个D ．4个9．函数y=f (x )与y=g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任何x ，有f (x )+f (－x )=0，g (x )·g (－x )=1，且当x ≠0时，g (x ) ≠1，则()F x ＝2f (x )g (x )－1＋()f xA ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数10．当x ∈［0,2］时，函数f (x )=ax 2+4(a －1)x －3在x=2时取得最大值，则a 的取值范围是 A ．[－21,+∞) B ．[0，+∞） C ．[1, +∞) D ．[32,+∞)11．已知直线ax+by+1=0中的a ，b 是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些条件的直线的共有A ．8条B ．11条C ．13条D ．16条 12．方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．02018年南通市高三第一次调研考试数 学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一个容量为300的样本，那么初中生应抽取 名． 14．不等式(x －2)x 2－2x －3 ≥0的解集是 ．15．若（1＋x ＋31x）10＝∑40i=1 a i x 10－i，则a 10＝ ．16．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行； ④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）当0＜x ≤π3 时，试求f (x )的值域．18．（本小题满分12分）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B在底面上的射影D落在BC上．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D恰为BC中点？（Ⅲ）若α = arccos 13，且AC=BC=AA1时,求二面角C1—AB—C的大小．C1ABCDA1B1得分评卷人20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c)．（Ⅰ）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)；（Ⅱ）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．21．(本题满分12分)已知正方形的外接圆方程为x2+y2－24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD 所在直线的方向向量为(3，1)．（Ⅰ）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；（Ⅱ）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．22．(本题满分14分)已知数列n 满足n a >0，且对一切n ∈N + ，有∑ni=1a 3i =S 2n，其中S n =∑ni=1a i ，（Ⅰ）求证：对一切n ∈N +，有a 2n +1 －a n+1=2S n ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：∑n k=1 ka 2k＜3．2018年南通市高三第一次调研考试数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．C ． 2．A 3．A 4．D 5．C 6． B 7．B 8．B 9．B 10．D 11．D 12．C 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．13．100 14. {x |x =－1或x ≥3}， 15. 2101 16.（2）、（4） 三、解答题：本大题共6小题；共74分．17．（Ⅰ）()f x = 3 sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx …………………… 2分=2ωx ＋12 (1+cos2ωx )=sin(2ωx+π6 )+ 12……………………… 4分∵ ω>0，∴T=π=2π2ω ，∴ω=1． ……………………… 6分（Ⅱ）由（1），得()f x =sin(2x+π6 ) + 12,∴0＜x ≤π3 , ∴π6 ＜2x+π6 ≤5π6 ． ………………………… 9分∴()f x ∈[1，32]． ………………………… 12分18． (Ⅰ)①P （A ）= C 15 ·2·A 28A 410 = 19． ……………………… 4分 ②()P B =C 15 ·2·A 28A 410 = 19． ……………………… 8分 (Ⅲ) P （AB ）= C 25 ·2·C 12·2 A 410 = 163 , ()()P A P B =181， ∴()()P A P B ≠()P AB ，故A 与B 是不独立的． ……………………… 8分 19. （Ⅰ）∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC 平面ABC ，∴ B 1D ⊥AC , 又AC ⊥BC ,BC ∩B 1D =D ．∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． ………………………… 3分(Ⅱ) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，要使AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知，只须B 1C ⊥BC 1， ………………………… 5 分 ∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形， 此时，BC=BB 1．又∵ B 1D ⊥BC , 要使D 为BC 中点，只须B 1C= B 1B ，即△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°． ………………………… 7分∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且使D 为BC 中点． ……………………… 8分 （Ⅲ）过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ．过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ．∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角． …………………… 10分 设AC=BC=AA 1=a ，在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos3，C 1E=322a ． 在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°．……………… 12分 解法二：（1）同解法一 ……………… 3分 （Ⅱ）要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →|， ∴11()0AC CB BC +=， ||||11B BC ⋅=0，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， …………………… 7分 ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点． …………………8分（Ⅲ）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，－34a ，322a ）， 平面ABC 的法向量n 1=（0，0，1），设平面ABC 1的法向量n 2=（x ，y ，z ）． 由⋅n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43y ＋2 2 3 z =0 . ∴n 2=（22，22，1）． ……………………10分 cos<n 1, n 2>＝112 +12+1 = 2 2 ， 故n 1 , n 2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．………………………12分20. （Ⅰ）∵ f (x )=(x －a )(x －b)(x －c )＝ｘ3－（a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x －abc ……………3 分f ′(x )=3 x 2－2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2－ (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2－ (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2－ (b+c )x ＋bc ]=(x －a )(x －b )＋(x －a )(x －c ) ＋(x －b )(x －c )．……………………………6分 （Ⅱ）∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2－2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立．∴△≤0, 4(a+b+c )2－12(ab+bc+ca ) ≤0，∴ (a －b )2＋(a －c ）2＋ (b －c )2≤0，∴ a=b=c ．∴ f (x )=(x －a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称． ………………………9分 证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x －a )3图像上的任意一点，y=(x －a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a －x ，－y )，∵(2a －x －a )3=(2a －x )3= －(x －2a )3=－y ，∴点P ′在函数f (x )=(x －a )3的图像上，即函数f (x )=(x －a )3关于点(a ，0)对称．…………………………………………………………12分21．(Ⅰ) 由（x －12）2+y 2=144－a (a <144),可知圆心M 的坐标为(12，0)， …………………………2分依题意，∠ABM=∠BAM=π4 ，k AB = 13 , MA 、MB 的斜率k 满足| k －13 1＋13k |=1, 解得AC k =2，BD k =－ 12． …………………………………4分 ∴所求BD 方程为x+2y －12=0，AC 方程为2x －y －24=0． ……………6分(Ⅱ) 设MB 、MA 的倾斜角分别为θ1，θ2，则tan θ1＝2，tan θ2＝－12，设圆半径为r ，则A （12＋,55r r ），B （12－5r，5）， ……9分 再设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于A ，B 两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧（5r ）2=2p (12－5r )（5r ）2=2p （12＋5） ∴ r=4 5 ，p=2．得抛物线方程为y 2＝4x 。

六校联盟2017-2018第一学期期中考试数学试卷拟卷人： 审核人一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{}01A =，，{}1,2B =，则A B ⋃= ▲ ．2.函数()()ln 31f x x =-的定义域是 ▲ ．3.已知幂函数()f x x α=的图象过点2⎛ ⎝⎭,那么α= ▲ ．4.某班共有40人，其中18人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ▲ ．5.函数()()()log 1301a f x x a a =++>≠，且的图象过定点P ，则P 点的坐标是 ▲ ．6.若集合{}240,A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为 ▲ ．7.不等式1()2x>的解集为 ▲ ．8.记方程250x x +-=的解为0x ，且)1,(0+∈k k x ，Z k ∈，则k = ▲ ． 9.函数1()x a f x x a++=+图象的对称中心横坐标为3，则a = ▲ ．10.已知函数()33f x x x =++- ，则函数()f x 的值域是 ▲ ．11.函数()()221f x x m x =+-+的两个零点分别在区间()()0,11,2和之内，则实数m 的取值范围为 ▲ ．12.已知函数()244,1,43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln ,g x x =那么函数()()y f x g x =-的零点个数为 ▲ ．13.设函数()y f x =是定义在[]1,1-上的偶函数，且()f x 在[]0,1上单调递减，若(1)()f a f a -<，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数()2,02,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩错误！未找到引用源。

2017-2018学年（上）高三学业质量监测数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1．已知复数z 满足 1i 2i z ，则复数z 的模为 ．2．已知集合 1,2A ， 2,1B a a ，若 1A B ，则实数a 的值为 ． 3．双曲线22163y x 的焦距为 ．4．某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x ，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ． 6．将3个球随机放入编号为1,2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子里都有球的概率为 ．7．设,a b R ，关于x 的不等式组00x ax b x的解集为 14x x ，则a b 的值为 ． 8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的体积为 ． 9．设等差数列 n a 的公差不为0，且1102a a ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则实数k 的值为 ．10．设函数 2cos f x x x R ，其中0 ， ，若528f， 0f ，且 f x 的周期大于 ，则 的值为 ．I 1 While I 100I I 2 S 2I 3 End While Print S11．若正实数,a b 满足32a b ，则3131a ab 的最小值为 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 222:3M x y a 0a ，点,02a A， 1,0B ，3,2C ，若圆M 上存在点P ，使得90BPC ，45PAB ，则a 的值为 ． 13．定义在R 上的函数 f x ，满足 44f x f x f x ，当 0,2x 时，2f x x x ，则函数 2log 1g x f x x 的零点个数为 ．14．已知向量,,a b c ，1 a ，2 b ，3 c ，对于任意的向量b ，都有 a b b c 则 a c 的最大值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，252sin cos 232A A．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的三个顶点都在单位圆上，且225b c ，求边,b c 的值．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABCD ，E 为线段AD 上一点，且AC BE ． （1）求证：PBE PAC 平面平面；（2）若90PCD ，求证：CD ∥平面PBE ．17．（本小题满分14分）如图，某小区内有两条互相垂直的道路1l 与2l ，平面直角坐标系xOy 的第一象限有一块空地OAB ，其边界OAB 是函数 y f x 的图象，前一段曲线OA是函数y 图象的一部分，后一段AB 是一条线段．测得A 到1l 的距离为8米，到2l 的距离为16米，OB 长为20米．（1）求函数 y f x 的解析式；（2） 现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB （其中PQ ，OB 为两底边）．问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积．AD在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b 0a b 的左、右焦点，过左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点．（1）若2MF 与x 轴垂直，且14MN F N，求椭圆C 的离心率； （2）设椭圆C 的左项点为A ，过点A 与直线l 平行的直线交椭圆C 于点P ，交y 轴于点Q ．求证：AP AQMN为定值．19． （本小题满分16分）己知函数 e 1x f x m x ，其中m R ，e 是自然对数的底数． （1）若直线22y x 是曲线 y f x 的一条切线，求m 的值； （2）讨论 f x 的单调性；（3）若 f x 在R 上有两个零点，求m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列 n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且112n n n S a a*n N ． （1）求证：数列 2n S 为等差数列；（2）从数列 2n S 中抽出k 个不同的项按一定次序组成新数列 k b ．① 若13b ，且12b b ，23b b ，31b b 成等差数列，求123b b b 的值；② 是否存在偶数k ，使得12b b ，23b b ，34b b ， ，1k k b b ，1k b b 成等差数列？ 若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．。

南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概 率为 ▲ ．5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ． 6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线 的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到（第16题）ABCODPE（第15题）相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；ABCDFEPMN（第18题）xyQOP（第17题）2（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过OA BEDC（第21-A 题）点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，BADC 1（第22题）A 1D 1B 1CQP且1(0)BQ BB λλ=≠． （1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．南通市2017届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π y = f (x )（第23题）yOxF AB PE2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则A B = ▲ ．【答案】{}135，，3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．【答案】3-4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为▲ ． 【答案】0.175． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．【答案】56． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．【答案】77． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 【答案】208． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．【答案】329． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 【答案】1322（第5题）ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ．12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ．【答案】(2)(2)-∞-+∞，，14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB ． （1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．【解】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅ ……………2分22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=． ………………………………………………………………………6分 （2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β===． …………………………………………8分因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，（第15题）因为α为锐角，所以12sin 13α===． ……………………10分所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，………………12分 ()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=． 所以点3356()6565B -，． …………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．【证明】（1）连结OE ，因为O 为平行四边形对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ． ……………………4分 又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA ∥平面BDE ． ……………………………………………………6分 （2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． …………………………10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PCPD P =，所以OE ⊥平面PCD ． …………………………………………………………12分 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值． 【解】（1）由题意得，c a =，21a c c-=， …………2分解得a =1c =，1b =．ABCD （第16题）ABCODPE（第17题）所以椭圆的方程为2212x y +=． …………………………………………………4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以22111OP OQ+=． …………6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得()22212k x +=，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+． ………………………………………………………………9分因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=-．由21y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2x k =-，所以2222OQ k =+． ………………………………12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=． ……………………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 【解】（1）当∠EFP =4π时，由条件得 ∠EFP =∠EFD =∠FEP =4π． 所以∠FPE =2π．所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形．…… 3分 所以四边形MNPE 的面积 S=PN MN ⋅=2 m 2．………… 5分（2）解法一：设<<2EFD θθπ∠=（0），由条件，知∠EFP =∠EFD =∠FEP =θ．ABCDFEPMN（第18题）所以22sin sin PF=θθ=π-22（）， 23sin NP=NF PF θ-=-2， 23tan ME θ=-． ………………………………………………………………8分 由230sin 230tan <<2θθθ⎧->⎪2⎪⎪->⎨⎪⎪π⎪⎩，，0，得2sin 32tan 3<<.2θθθ⎧2>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪π⎪⎩*，，（）0 所以四边形MNPE 面积为1()2S=NP ME MN +122(3)(3)22sin tan +θθ⎡⎤=--⨯⎢⎥2⎣⎦226tan sin 2=θθ--2222(sin cos )6tan 2sin cos =θθθθθ+--36(tan )tan θθ=-+ ………………………………………………………12分66-=-≤． 当且仅当3tan tan =θθ，即tan 3=θθπ时取“=”．………………14分 此时，*（）成立． 答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分 解法二：设BE t = m ，3<<6t ，则6ME t =-．因为∠EFP =∠EFD =∠FEP ，所以PE =PFt BP =-． 所以21323t BP=t --（），213333323t NP=PF=PE=t BP =t t ------+-（）（）． ………8分 由223<<613023133023t tt tt t ⎧⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪--+>⎪-⎩，，（），（）得23<<612310.t t t t ⎧⎪>⎨⎪-+<⎩*，（）所以四边形MNPE 面积为 1()2S=NP ME MN +2113362223t t +t t ⎡⎤-=-+-⨯⎢⎥-⎣⎦（）（）（） 23306723t t t -+=-（）…………………………………………………………12分 326323t +t ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦（）6-≤当且仅当32323t =t --（），即=3+3t +时取“=”． ………14分 此时，*（）成立．答：当点E 距B 点3m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以(32)(2)31()144x x f x x x x+-'=--=，（x>0）． ……………………………2分令()0f x '=，得2x =，当(02)x ∈，时，()0f x '<；当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．………………………………4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()210ax x f x ax x x x--'=--=>，． 所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=， 函数()f x 在(0+)∞，上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．……………………6分因为当0a -1≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e ea f -+=，所以当0a -1≤≤时，函数()f x 在(0+)∞，上有零点．综上，当0a -1≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点． ………………………8分 （3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分由2()ln f x ax x x =--，得221()(0)ax x f x x x--'=>，，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0)+∞，上只有一个零点，设为0x ．当0(0)x x ∈，时，()0()0g x f x '<<，；当0()x x ∈+∞，时，()0()0g x f x '>>，． 所以函数()f x 在0(0)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． 要使得函数()f x 在(0+)∞，上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数()2ln 1h x =x x +-在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<． ……………………………………………………………………13分 以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a ag a a a a-=--=>，所以011x a<<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01()ex ，上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a =----=>≥（因为ln 1x x -≤），且0()0f x <．所以函数()f x 在02()x a，上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12()e a，内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1)0，． ……………………………………………16分 下面证明：ln 1x x -≤．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（x>0）． 令()0t x '=，得1x =．当(01)x ∈，时，()0t x '<；当(1)x ∈+∞，时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x -≤成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分 由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x x a x+=，（x>0）有两个不等 的实数解． 又因为ln 1x x -≤，所以222ln 211(1)1x x x a x x x +-==--+≤，（x>0）． 因为x>0时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当=1a 时，=1x ，即关于x 的方程2ln x x a x+=有且只有一个实数解． 所以<<1a 0． ……………………………………………………………………13分 （以下解法同解法1）20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， ………2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =． ……………………………4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以[][][]2111312(1)(1)(1)a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．………………………………………6分 当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=． 所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．………………………………………8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．……………………10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x <≤，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取201n ⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当10n n >时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[)2+∞，． ……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE ⋅=⋅， 所以21322x x x ⨯=⋅=，所以x =．…………2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH ．…………………………………………………………………………6分又因为2CE x =，所以△OCE的面积1122S OH CE =⋅==…………………………10分 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ． 【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量，所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，． ………………………………4分 因为点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，． …………………………………………………8分（第21-A 题）解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．………………………………10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB= …………………10分 解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， ………………………………………3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②． ……………………………6分 由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，……………………………………………………………8分所以(00)(22)A B ，，，， 所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB= ………………10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++…………………………………………2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+++=≤，……………………………8分所以max 5y =，此时3sin =5x ．所以函数3sin y x =+5． …………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（第22题）（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．【解】以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为=(122)AP ，，，=(201)AQ ，，， 所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>，=．所以AP 与AQ ．………………………………………4分 （2）由题意可知，1=(002)AA ，，，=(202)AQ λ，，． 设平面APQ 的法向量为n ()x y z =，，， 则00AP AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩，．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-．所以n (222)λλ=--，，．…………………………………………………………6分 又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos<n ，1AA >|11=||||AA AA⋅n n =2=， 可得2540λλ-=，又因为0λ≠，所以45λ=． ……………………………10分 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值． 【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知y = f (x )（第23题）yOxF AB PE12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．……………………………………………………3分 （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，．因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=． 则点2()4t E t ，到直线PF的距离为d ==5分联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =， 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． ………………7分 所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x32min 4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为10分。

江苏省通州高级中学2017-2018学年度 高三第一学期期初考试数学试卷（2017.8）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．设集合{1,2,3,5,7}A =, {2,3,5,6}B =,则=⋂B A ▲ ． 2．已知复数z ＝1－2i ，则z 的模为 ▲ ．3．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm ．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 5．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ▲ ． 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3锥的体积为 ▲ ．7．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油 ，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是 ▲ ．8．已知双曲线方程22164x y -=，则该双曲线的焦距为 ▲ ． 9．若a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝7，则 4a ＋1b ＋2的最小值为 ▲ ．10．某公司为适应市场需求，投入98万元引进新生产设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元，则引进该设备 ▲ 年后，该公司开始盈利．11． 已知函数321()13f x x mx x =+++没有极值，m 的取值范围是 ▲ ．12．已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，21, 1 1 ()311 1 3 ,22x x f x x x ⎧--<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，，则方程f (x )－|x| = 0的实数根的个数为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4．过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为 ▲ ．14．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD的中点，N 为线段BC 上一点（不包括端点），若AC →＝λAM →＋μAN →，则1λ＋3μ的最小值为 ▲ ．s ←0For I from 1 to 10 s ←s+I End for Print s二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答是应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共14分）如图，在直三棱柱111ABC ABC -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：(1) 直线AD ⊥平面11BCC B ； (2) 直线1//A F 平面ADE ．16．（本小题共14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1) 求角B 的大小；(2) 设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．1A1CFDCABE1B在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长为6分米的材料弯折而成，BC 边的长为t 2分米（231≤≤t ）；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为1cos -=x y ），此时记门的最高点O 到BC 边的距离为()t h 1；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为89，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为)(2t h (1)试分别求函数()t h 1、)(2t h 的表达式 (2)要使得点O 到BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18．（本小题共16分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数.(1) 若0a =，函数f (x )在区间 [0，2] 上单调递增，求实数b 的取值范围；(2) 设g (x )是函数f (x )的导函数，若e a =，求函数g (x )在区间[0，2]上的最小值（用b 表示）； (3) 若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.20．（本小题共16分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.(1) 若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ；(2) 若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由； (3) 设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.江苏省通州高级中学2017-2018学年度 高三第一学期期初考试数学试卷（2017.8）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．设集合{1,2,3,5,7}A =, {2,3,5,6}B =,则=⋂B A ▲ ．{2,3,5} 2．已知复数z ＝1－2i ，则z 的模为 ▲3．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm ．304．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为___ ▲ _____．55第3题 第4题 5．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为___▲____．3 6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3为 ▲ _7(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油 ，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是 ▲ ．49π8．已知双曲线方程22164x y -=则该双曲线的焦距为 ▲． 9．若a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝7，则 4a ＋1b ＋2的最小值为 ▲ ．110．某公司为适应市场需求，投入98万元引进新生产设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元，则引进该设备 ▲ 年后，该公司开始盈利．311． 已知函数321()13f x x mx x =+++没有极值，m 的取值范围是 ▲__ __ ．11m -≤≤12．已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，21, 1 1 ()311 1 3 ,22x x f x x x ⎧--<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，，则方程f (x )－|x| = 0的实数根的个数为 ▲ ．313．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4．过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为__▲ __．3 5s ←0For I from 1 to 10 s ←s+I End for Print s【提示】设M (3，t )，P (x 0，y 0)，因为OP ⊥PM ，所以OP →·PM →＝0，可得x 02＋y 02－3x 0－ty 0＝0 ① 又圆M 截x 轴所得的弦长为4，所以4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t )2，整理得x 02＋y 02－6x 0－2ty 0＋5＝0 ② 由①②得x 02＋y 02＝5，即点P 在圆x 2＋y 2＝5上，于是P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为105＋5＝35． 14．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点（不包括端点），若AC →＝λAM →＋μAN →，则1λ＋3μ的最小值为 ▲ ．274【提示】：以AB 为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系，设B (2，0)，C (1，t )，M (12，t )，N (x 0，y 0)， 因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)，即y 0＝t (2－x 0)，因为AC →＝λAM →＋μAN →，所以1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－(1－12λ)所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4(1λ＋3μ)＝(3λ＋4μ)(1λ＋3μ)＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27，所以1λ＋3μ≥274，(当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号)所以1λ＋3μ的最小值为274．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答是应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共14分）如图，在直三棱柱111ABC ABC -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：(1) 直线AD ⊥平面11BCC B ； (2) 直线1//A F 平面ADE ．1A 1C F DCAE1B16．（本小题共14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1) 求角B 的大小；(2) 设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值． 解 (1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ． 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22． 因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．17．（本小题共14分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长为6分米的材料弯折而成，BC 边的长为t 2分米（231≤≤t ）；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为1cos -=x y ），此时记门的最高点O 到BC 边的距离为()t h 1；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为89，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为)(2t h(1)试分别求函数()t h 1、)(2t h 的表达式(2)要使得点O 到BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=231cos 41t tt t h()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+-=23139422t t t t h ……………6分（2）由于10()1sin h t t '=-+≤恒成立，所以函数1()h t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此，()()11max 13cos1h t h ==-而()2523max2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h th ， 53cos13cos 32π-<-= 所以选用2C18．（本小题共16分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）， 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.19．（本小题共16分）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数. (1) 若0a =，函数f (x )在区间 [0，2] 上单调递增，求实数b 的取值范围；(2) 设g (x )是函数f (x )的导函数，若e a =，求函数g (x )在区间[0，2]上的最小值（用b 表示）； (3) 若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1. 解(1) 1b ≤ (2)2ln 2-e b(3)证明 设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1， 同理，g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2， 所以g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点. 当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1＜2， 有g (0)＝a －e ＋2＞0，g (1)＝1－a ＞0， 解得e －2＜a ＜1.所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.20．（本小题共16分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.(1) 若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ；(2) 若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由； (3) 设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”. 解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =.因为67818a a a ++=，所以610a =，即310a =. （Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”.设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. 设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， 所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠，故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”.（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质，所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+，所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i =.②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， 所以1n j i n j ia a d i+---=，2n i ≥+， 所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”.。

2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1.设集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )＝______．【答案】{}14，【解析】由{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}3,2=B A ，故(){}1,4U A B ⋂=ð，故答案为{}1,4.2.函数()f x =___________【答案】(【解析】由已知可得212log 0{00x x x -≥⇒<≤>，故答案为(.3.已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|2a －b|的值为____． 【答案】2 【解析】因为1a =，2b =，a 与b 的夹角为60，所以22212444412442a ba ab b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，故22a b -=，故答案为2.点睛：本题主要考查了数量积的应用之求向量的模长，属于基础题；求向量模长常用的方法：利用公式22a a =，将模的运算转化为向量数量积的运算，同时须注意展开以后是含有⋅，而不是ab ⋅.4.若指数函数()f x 的图象过点()2,4-，则不等式()()52f x f x +-<的解集是_________. 【答案】(1,1)- 【解析】设211115()(2)4()22222x x xx f x a f a a f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒-==⇒=⇒=⇒+<⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2151111021122222xxxx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+<⇒<<⇒-<<⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解集为(1,1)-.5.已知函数23,0()(2),0x x x f x f x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则()9f -=________.【答案】2 【解析】点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos 3cos a B c b A =-，则cos A ＝____． 【答案】13【解析】∵()cos 3cos a B c b A =-，∴由正弦定理，可得sin cos 3sin cos sin cos A B C A B A =-，∴sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=，即()sin 3sin cos A B C A +=，∴1cos 3A =，故答案为13. 点睛：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的利用公式A R a sin 2=（R 为三角形外接圆半径）可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，往往用到三角形内角和定理和两角和与差的正、余弦公式等.7.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 【答案】2 【解析】由函数的解析式可得函数在()0,∞+上是增函数，且()2ln 2240f =+-<，()3ln3340f =+->，故有()()230f f <，根据函数零点的判定定理可得函数在区间()2,3上存在零点，结合所给的条件可得，故2k =，故答案为2.8.已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1a ≥ 【解析】 ∵函数()3213f x ax x x =-+在区间(0,2)上单调递增， ∴f ′(x )=ax 2−2x +1⩾0,在x ∈(0,2)恒成立，∴221x a x -…,在x ∈(0,2)恒成立， 令()()()232122,0,20x x g x x g x x x --+=∈'=<， 故g (x )在(1,2)递减,(0,1)是增函数,函数的最大值为：g (1)=1， 故g (x )⩾g (1)=1， 故a ⩾1.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x )>0（或f′(x )<0）仅是f (x )在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

江苏省南通市2017年高考一模数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数π2sin(3)3y x =-的最小正周期为_________．2．设集合}3{1A =,，5{}2B a =+,，{}3A B =，则AB =__________．3．复数212i z =+()，其中i 为虚数单位，则z 的实部为__________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为__________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为__________．6．若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =+的最大值为_________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为__________．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3AB cm =，11AA cm =，则三棱锥11D A BD -的体积为__________cm 3．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为_________升． 11．在ABC △中，若2BC BA AC AB CA CB ∙+∙=∙，则sin sin AC的值为_________． 12．已知两曲线2sin f x x =()，cos g x a x =()，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为_________．13．已知函数4f x x x =+-()，则不等式22f x f x +()＞()的解集用区间表示为_________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点11A(,)，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证： （1）直线//PA 平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当π4EFP ∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．已知函数2ln f x ax x x =()--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数f x ()的最小值； （2）若10a ≤≤-，证明：函数f x ()有且只有一个零点；（3）若函数f x ()有两个零点，求实数a 的取值范围．20．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…12n k k k (＜＜＜＜)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意*n ∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．南安市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足2CE CD =，求OCE △的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)，求矩阵A ． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． [选修4-5：不等式选讲]24．求函数3sin y x =+ [必做题]共2小题，满分20分）25．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11C D 的中点，Q 为棱1BB 上的点，且1BQ BB λ=0λ≠()．（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线1AA 与平面APQ 所成的角为45︒，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线220x py p (＞)上的点1M m (,)到焦点F 的距离为2， （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，2c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-=- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞，又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e a f e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点． 又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜． 所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点． 所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-．设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =． 当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()．所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d =．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立．所以不等式1111112n n na k a q k q --+>， 即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q qn a k q k q --+<<=+恒成立．…10分 下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<， 解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =，所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量， 所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分． 23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分 所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQAP AQ AP AQ ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=．设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩ 令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分． 26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2p y =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p +=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-． 令0y =，则2t x =，即点(,0)2t P ． 因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2t y x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t ++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min ()g x == 所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。

江苏省南通市通州区2018届高三（上）学业水平测试数学试卷（1月份）（文科）一.填空题1．已知复数z满足（1+i）z=2i，则复数z的模为．2．已知集合A={1，2}，B={a，a2+1}，若A∩B={1}，则实数a的值为．3．双曲线=1的焦距为．4．某射击运动员在五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子里都有球的概率为．7．设a，b∈R，关于x的不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则a﹣b的值为．8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的体积为．9．设等差数列{a n}的公差不为0，且2a1=a10，若a k是a1与a2k的等比中项，则实数k的值为．10．设函数f（x）=2cos（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若，f（π）=0，且f（x）的周期大于π，则φ的值为．11．若正实数a，b满足3a+b=2，则的最小值为．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+（y﹣3）2=a2（a＞0），点，B（1，0），C（3，2），若圆M上存在点P，使得∠BPC=90°，∠P AB=45°，则a的值为．13．定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），当x∈[0，2]时，f（x）=x2+x，则函数g（x）=f（x）﹣|log2（x﹣1）|的零点个数为．14．已知向量，||=1，||≤2，||=3，对于任意的向量，都有|•|+|•|≤2，则•的最大值是．二.解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，．（1）求角A的大小；（2）若三角形ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=5，求边b，c的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，E为线段AD上一点，且AC⊥BE．（1）求证：平面PBE⊥平面P AC；（2）若∠PCD=90°，求证：CD∥平面PBE．17．如图，某小区内有两条互相垂直的道路l1与l2，平面直角坐标系xoy的第一象限有一块空地OAB，其边界OAB是函数y=f（x）的图象，前一段曲线OA是函数y=k图象的一部分，后一段AB是一条线段．测得A到l1的距离为8米，到l2的距离为16米，OB长为20米．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形OPQB（其中PQ，OB为两底边）．问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积．18．在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，过左焦点F1的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）若MF2与x轴垂直，且，求椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的左项点为A，过点A与直线l平行的直线交椭圆C于点P，交y轴于点Q．求证：为定值．19．已知函数f（x）=e x+m（x+1），其中m∈R，e是自然对数的底数．（1）若直线y=2x+2是曲线y=f（x）的一条切线，求m的值；（2）讨论f（x））的单调性；（3）若f（x）在R上有两个零点，求m的取值范围．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且S n=．（1）求证：数列{S n2}为等差数列；（2）从数列{S n2}中抽出k个不同的项按一定次序组成新数列{b k}．①若b1≤3，且b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，求b1+b2+b3的值；②是否存在偶数k，使得b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】一.填空题1．【解析】由（1+i）z=2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．2．0【解析】∵集合A={1，2}，B={a，a2+1}，A∩B={1}，∴a=1或a2+1=1，当a=1时，B={1，2}，A∩B={1，2}，不成立；当a2+1=1时，a=1，B={0，1}，A∩B={1}，成立．故实数a的值为0．故答案为：0．3．6【解析】双曲线=1，可得a=，b=，则c=3，双曲线的焦距为：2c=6．故答案为：6．4．【解析】五次射击中分别打出了10，x，10，7，9环，∴这组数据的平均数为×（10+x+10+7+9）=9，解得x=9；∴这组数据的方差是s2=×[2×（10﹣9）2+（7﹣9）2+2×（9﹣9）2]=．故答案为：．5．205【解析】模拟程序语言的运行过程，得：I=1，满足条件I＜100，执行循环体I=3，S=9满足条件I＜100，执行循环体I=5，S=13…满足条件I＜100，执行循环体I=99，S=201满足条件I＜100，执行循环体I=101，S=2×101+3=205此时，不满足条件I＜100，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．6．【解析】将3个球随机放入编号为1，2的两个盒子里，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子里都有球包含的基本事件个数m==6，∴每个盒子里都有球的概率p==．故答案为：．7．9【解析】根据题意，⇒⇒x2+bx+a≤0，若不等式组的解集为{x|1≤x≤4}，则x2+bx+a≤0的解集为{x|1≤x≤4}，则方程x2+bx+a=0的两个根为1、4，则有1+4=﹣b，即b=﹣5，1×4=a，即a=4，则a﹣b=9；故答案为：9．8．【解析】∵正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，侧面积为，取AC中点D，连结BD，过S作SO⊥底面ABC，交BD于O，则BD==，OD==，∴3S△SAC==2，解得SD=，∴SO===1，∴它的体积为==．故答案为：．9．4【解析】设等差数列{a n}的公差d不为0，且2a1=a10，可得2a1=a1+9d，即a1=9d，可得a n=a1+（n﹣1）d=（n+8）d，a k是a1与a2k的等比中项，可得a k2=a1a2k，即为（k+8）2d2=9d•（2k+8）d，可得k2﹣2k﹣8=0，解得k=4（﹣2舍去），故答案为：4．10．﹣【解析】∵f（x）=2cos（ωx+φ）的周期大于π，其中ω＞0，|φ|＜π，∴＞π，∴0＜ω＜2．∵=2cos（+φ），∴cos（+φ）=1，∴+φ=2nπ，n∈Z①，∵f（π）=2cos（ωπ+φ）=0，∴ωπ+φ=kπ+，k∈Z，即ωπ=kπ+﹣φ，②．∴×（kπ+﹣φ）+φ=2nπ，故有φ=﹣，令k=n=0，求得φ=﹣，故答案为：．11．7【解析】根据题意，若3a+b=2，则有3a+b+1=3，=3++=3+（3a+b+1）（+）=3+（6++）=5+（+）≥5+（2）=7；即的最小值为7；故答案为：7．12．【解析】根据题意，设P的坐标为（m，n），P在圆上，则有m2+（n﹣3）2=a2，①又由点，B（1，0），AB都在x轴上，若∠P AB=45°，则有K P A==1，变形可得n=m+，②，若∠BPC=90°，则BP⊥PC，则有K PB×K PC=﹣1，即，变形可得：n2﹣2n+m2﹣4m+3=0，③，联立①②③，解可得：a=，故答案为：．13．32【解析】∵定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，且为R上的偶函数，根据周期性画出函数y=f（x）的图象和y=|log2（x﹣1）|的图象，如下：根据y=|log2（x﹣1）|的图象在（2，+∞）上单调递增函数，当x=65时，log264=6，∴当x＞65时，y=|log2（x﹣1）|的图象与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有32个交点，故答案为：32．14．【解析】设向量=（1，0），=（3cosα，3sinα），则α∈[0，π]，∴•=3cosα；设x∈[0，π]，且α﹣x∈[0，π]，∴cos x+3cos（α﹣x）=cos x+3cosαcos x+3sinαsin x=（3cosα+1）cos x+3sinαsin x≤=，||+||≤2（cos＜，＞+3cos＜，＞）≤2≤2，解得cosα≤；∴≤；∴•的最大值是．故答案为：．二.解答题15．解：（1）∵．∴2×﹣cos2A+sin2A=，化简可得：sin（2A﹣）=，又∵△ABC是锐角三角形，∴﹣＜2A﹣＜，∴2A﹣=，可得A=.（2）由，可得：a=2sin A=，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，可得：3=b2+c2﹣bc，可得：bc=2，又因为b2+c2=5，解得：b=1，c=2，或b=2，c=1.16．证明：（1）∵P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴P A⊥BE，∵AC⊥BE，P A∩AC=A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面P AC．（2）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵∠PCD=90°，∴PC⊥CD，∵P A∩PC=P，P A⊂平面P AC，PC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC，∵AC⊂平面P AC，∴CD⊥AC，∵在平面ABCD内，AC⊥BE，∴CD∥BE，∵CD⊄平面PBE，BE⊂平面PBE，∴CD∥平面PBE．17．解：（1）把A（16，8）代入y=k，可得k=2，∵B（20，0），得直线AB：y=﹣2x+40，∴f（x）=，（2）设梯形的高为t米，则0＜t＜8，且P（，t），Q（20﹣t，t），∴PQ=20﹣t﹣t2，∴梯形的面积为S（t）=[（20﹣t﹣t2）+20]×t=﹣t3﹣t2+20t，由S′（t）=﹣t2﹣t+20=﹣（3t﹣20）（t+8），由S′（t）=0，解得t=，当S′（t）＞0时，即0＜t＜，函数S（t）单调递增，当S′（t）＜0时，即t＞，函数S（t）单调递减，当t=时，S（t）取得最大值，即为最大值为，答：梯形的高为米时，该社区活动中心的占地面积最大，且最大面积为平方米．18．解：（1）由题意M（c，），∵，∴=，得N（﹣，﹣），∵点N在椭圆上，∴+=1，解得e=，证明：（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），直线MN的方程为y=k（x+c），（斜率显然存在），直线AQ的方程为y=k（x+a），由，得（a2k2+b2）x2+2a2k2cx+a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|=•=，由可得（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2b2=0，∴﹣a•x p=，从而x p=，∴y p=k（+a）=，∴=（+a，）=（，），又Q（0，ka），∴=（a，ka），∴•=+=，∴=a．19．解：（1）设切点为（x0，y0），∵f′（x）=e x+m，∴切线的斜率k=e+m，∴切线方程为y﹣[+m（x0+1）]=（e+m）（x﹣x0），即y=（e+m）x+﹣x0+m，∵切线方程为y=2x+2，∴e+m=2，﹣x0+m=2，∴x0=0，∴x0=0，∴m=1；（2）f′（x）=e x+m，①当m≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，②当m＜0时，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣m），若f′（x）＞0，则x＞ln（﹣m），∴f（x）在（ln（﹣m），+∞）上为增函数，若f′（x）＜0，则x＜ln（﹣m），∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣m）上为减函数，（3）当m≥0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）至多只有一个零点，当﹣1≤m＜0时，0＜﹣m≤1，ln（﹣m）≤0，由（2）知，f（x）min=f（ln（﹣m））=m ln（﹣m）≥0，由于f（﹣1）=＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣m）上有一个零点，设t（x）=e x﹣（1+x+x2），则t′（x）=e x﹣（1+x），由（2）知，当m=﹣1时，t′（x）在（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）上为增函数，∴t′（x）≥t′（0），∴t（x）在R上为增函数，∴当x＞0时，t（x）＞t（0）=0，即e x＞1+x+x2，∴f（﹣2m）=e﹣2m+m（﹣2m+1）＞[1+（﹣2m）+（﹣2m）2]+（﹣2m2+m）=1﹣m＞0，设h（x）=2x﹣ln x，x＞0，由h′（x）=2﹣=，知当0＜x＜时，h′（x）＜0，当x＞，h′（x）＞0，即h（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴h（x）≥h（）=1﹣ln，∴2x＞ln x在（0，+∞）上恒成立，∴﹣2m＞ln（﹣m），∴f（x）在（ln（﹣m），+∞）上有一个零点，∴当m＜﹣1时，f（x）在R上有2个零点，综上，若f（x）在R上有两个零点，则m的范围是（﹣∞，﹣1）．20．（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n=，由a1=S1=（a1+），可得a1=1（负的舍去），可得2S n=S n﹣S n﹣1+，即有S n2﹣S n﹣12=1，则数列{S n2}为首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）可得S n2=n，①b1b2，b2b3，b3b1成等差数列，可得2b2b3=b1b2+b3b1，即2=+，设b2＜b3，若b1=1，则2=+，无解；若b1=2，则1=+，b3显然不为1，b2≥3，b3≥4，则1=+≤+无解；若b1=3，则=+，b2显然不为1，b2≥2，所以=﹣≥﹣=，所以4≤b3≤6，容易得b2=2，b3=6适合，则b1+b2+b3=11；②若b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列，则2b2b3=b1b2+b3b4，2b3b4=b2b3+b4b5，…，2b k﹣1b k=b k﹣2b k﹣1+b k b1，所以2=+=+=…=+，（*）令c i=（i=1，2，…，k﹣2），则=c1c3c5…c k﹣1，所以（*）即为2=c1+=c2+=…=c k﹣2+c1c3c5…c k﹣3，若c1=1，则ci均为1，所以bi=bi+2，i=1，2，…，k﹣2，不合题意；若0＜c1＜1，则＞1，即0＜c2＜1，以此类推，可得0＜ci＜1，i=1，2，…，k﹣2，这与2=c k﹣2+c1c3c5…c k﹣3，矛盾；若c1＞1，可类似得到矛盾，综上可得，不存在偶数k，使得b1b2，b2b3，b3b4，…，b k﹣1b k，b k b1成等差数列．。

绝密★启用前江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试考试范围：集合、函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、随机变量概率与数学期望、数学归纳法；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-13题等，第14题注重考查新情境下向量知识运用，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第17题考查实际应用能力，第15，18,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查新情境下数列知识运用，难度较大．本卷一轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查概率，第23题归纳较难 一、填空题1．已知集合{}0,1,2A =，则A 的子集个数为__________．2．已知复数12z ai =+, 22z i =-（其中0a >， i 为虚数单位）.若12z z =，则a =__． 3．执行如图所示的流程图，则输出的结果S =_________．4．若直线1y x b e =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是__________．5．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________． 6．已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…， (),n ax b a b R +∈ 的方差为12，则a 的值为__________．7．我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为__________． 8．在平面直角坐标系中，如果双曲线的焦距为，那么当任意变化时，的最大值是__________．9．已知函数()()21,0{1,0x x f x f x x --+≤=->，若方程()()log 2(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为__________． 10．已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8π的等差数列，若()()()()()123455f a f a f a f a f a π++++=， 则()2315f a a a ⎡⎤-=⎣⎦__ ____．11．在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆((222:49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为__________．12．已知实数6n ≤，若关于x 的不等式()2280xm x n +--≥对任意的[]4,2x ∈-都成立，则443m n m n-的最小值为__________． 13．已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若()2sin 3αβ+=，则()sin αβ-的值为________． 14．将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为______． 二、解答题15．在平面直角坐标系中，已知点()0,0A ， ()4,3B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D . （1）求cos CAD ∠的值； （2）求点C 的坐标.16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2ABC π∠=.（1）求证： //BC 平面11AB C ； （2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .17．已知城A 和城B 相距20km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数.（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆22:31(0)C mx my m +=>的长轴长为， O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程和离心率.（2）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.19．已知函数()32(0)f x ax bx cx b a a =-++=>.（1）设0c =.①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点()1,0，求0x 的值； ②若a b >，求()f x 在区间[]0,1上的最大值.（2）设()f x 在1x x =， 2x x =两处取得极值，求证： ()11f x x =， ()22f x x =不同时成立.20．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1mi ii a b=-∑.（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离. （2）记A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =， 13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤， 0n a =或1）的集合， T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： T 中的元素个数小于或等于16.21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]如图， AB BC ，分别与圆O 相切于点D ， C ， AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证： 2BC OD =.B.[选修4-2：矩阵与变换]在平面直角坐标系中，已知点()0,0A ， ()2,0B ， ()2,2C ， ()0,2D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M .C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1{x cos y sin αα=+=（α为参数）.现以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.D.[选修4-5：不等式选讲]已知,a b 为互不相等的正实数，求证： ()()3334a b a b +>+.22．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =中，抽取三个不同的元素构成子集{}123,,a a a . （1）求对任意的i j ≠满足2i j a a -≥的概率；（2）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n=，且()221,1{,2n n n S n f n S S n -==-≥.（1）计算()()()123f f f ，，的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.。