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一：多元函数概念1.空间：R n 称为n 维空间。
2.邻域：),(000y x P 是二维空间（平面xoy ）上一个点，δ为某一正数，则与点P 0的距离小于δ的点R P y x P 2),,(∈全体，称为P 0的δ邻域。
记作),(0δP U ，即),(0δP U }|||{0δ<=P P P ，几何意义为，以点P 0为圆心，δ为半径的圆内所有点，当该领域不包括圆心P 0时，就称为为P 0的去心δ邻域，记为),(0δP U。
3.点与点集关系：（1）内点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则),(y x P 为点集E 的一个内点。
证：有),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，假设),(y x P 不是点集E 的内点，此时假设),(y x P 是点集E 的外点，则对于),(y x P 的任意邻域)(P U 都不可能满足E P U ⊂)(，因为该邻域中至少有一点【例如：邻域中心),(y x P 】就不属于该点集，故),(y x P 不是点集E 的外点，若),(y x P 是点集E 的边界点，则P 的δ邻域),(δP U （无论δ多么小），都会使得该邻域有不属于点集E 的部分（除非0=δ），综合上述：),(y x P 既不是点集E 的外点，也不是边界点，所以),(y x P 是点集E 的内点，而此时能找到),(y x P 的某个邻域)(P U 满足题意。
（2）外点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得∅=⋂E P U )(，则),(y x P 为点集E 的一个外点。
证明从上，用反证法能得出结论。
（3）边界点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，),(y x P 的任意邻域)(P U ，使得⎩⎨⎧⊄∅≠⋂E P U E P U )()(，则),(y x P 为点集E 的一个边界点。
高等数学同济第七版摘要本文档是关于《高等数学同济第七版》的简要介绍和内容概述。
该教材是中国教育部批准的高等数学教材之一，被广泛使用于大学本科高等数学课程中。
本文档将从整体结构和各章节的内容进行总结，旨在帮助读者更好地了解该教材及其应用。
1. 教材概述《高等数学同济第七版》是同济大学数学系主编的高等数学教材，是一本系统、完整的高等数学教材。
该教材分为上册和下册，共计包括14个章节，内容全面，涵盖了高等数学的核心内容。
2. 教材结构《高等数学同济第七版》的结构十分清晰，每一章节包含若干小节，便于学生进行学习和掌握。
每个小节都有详细的证明和例题，帮助学生理解和运用相关的数学概念与定理。
下面是该教材的章节组成：上册1.函数与极限2.导数与微分3.微分中值定理与导数的应用4.不定积分5.定积分与反常积分6.定积分的应用7.微分方程下册8.空间解析几何9.多元函数微分学10.重积分11.曲线积分与曲面积分12.常微分方程13.算法程序简介14.位图和矢量图形3. 教材特点《高等数学同济第七版》作为一本经典的高等数学教材，具有以下突出特点：3.1 详细的解析与例题教材中的每个数学概念和定理都有详细的解析和例题，帮助学生理解和掌握数学原理与应用。
这有助于读者在学习过程中巩固所学内容，培养解决数学问题的能力。
3.2 突出实际应用教材在呈现数学原理的同时，充分融入实际应用，并提供了相应的例题和练习。
这有助于学生将数学与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
3.3 清晰的结构和逻辑教材的章节结构清晰有序，每个章节内容的安排合理，从易到难，逻辑性强。
这有助于学生系统地学习高等数学的各个方面，并且能够将各个知识点之间的关系联系起来。
3.4 丰富的习题与答案教材中提供了大量的习题和答案，既有用于巩固基本知识的选择题和填空题，也有用于拓展思考的应用题和证明题。
这有助于学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 教材适用对象《高等数学同济第七版》适用于大学本科高等数学课程的学生，特别是理工科专业的学生，如工程、物理、计算机等专业。
高等数学(微积分)课件一、教学内容1. 定积分的定义：通过实际问题引入定积分的概念，理解定积分的意义及其表示方法。
2. 定积分的性质：掌握定积分的单调性、奇偶性、有界性等基本性质。
3. 定积分的计算方法：学习牛顿莱布尼茨公式，掌握定积分的计算技巧。
二、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的表示方法。
2. 掌握定积分的性质，能够运用性质解决实际问题。
3. 学会使用牛顿莱布尼茨公式计算定积分，提高计算能力。
三、教学难点与重点1. 定积分的概念及表示方法。
2. 定积分的性质及其应用。
3. 牛顿莱布尼茨公式的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、彩笔、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引导学生思考如何求解曲线下的面积。
2. 定积分的定义：讲解定积分的概念，通过图形直观展示定积分的意义。
3. 定积分的表示方法：介绍定积分的表示方法，如黎曼和、积分图像等。
4. 定积分的性质：讲解定积分的单调性、奇偶性、有界性等基本性质。
5. 例题讲解：运用定积分的性质解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解函数的定积分等。
6. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固定积分的概念和性质。
7. 牛顿莱布尼茨公式：讲解牛顿莱布尼茨公式的推导过程，引导学生理解公式的作用。
8. 定积分的计算方法：通过实例演示如何使用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。
六、板书设计1. 定积分的定义。
2. 定积分的表示方法。
3. 定积分的性质：单调性、奇偶性、有界性。
4. 牛顿莱布尼茨公式。
5. 定积分的计算方法。
七、作业设计1. 题目：计算下列定积分：(1) ∫(0 to π) sinx dx(2) ∫(0 to 1) x^2 dx2. 答案：(1) cosx |_{0 to π} = cosπ (cos0) = 2(2) (1/3)x^3 |_{0 to 1} = (1/3) (0/3) = 1/3八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实际问题引入定积分的概念，让学生理解定积分的意义及其表示方法。
