2018届中考数学《第四部分第四讲第4课时操作探究型问题》同步练习

中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。

2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系 的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关 系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25， 故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。

第4课时 操作探究型问题(60分)1．(15分)[2017·北京]如图4－4－1，P 是AB ︵所对弦AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交AB ︵于点M ，连结MB ，过点P 作PN ⊥MB 于点N .已知AB ＝6 cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，N 两点间的距离为y cm(当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)．小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：图4－4－1(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(2)第1题答图(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△P AN 为等腰三角形时，AP 的长度约为__2.2(答案不唯一)__cm.【解析】 (3)如答图，作y ＝x 与函数图象交点即为所求．则AP ≈2.2(答案不唯一)． 2．(15分)[2017·襄阳]如图4－4－2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC .一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N.图4－4－2(1)如图①，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ； (2)如图②，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中：①探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由； ②若CE ＝4，CF ＝2，求DN 的长．解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°.又∵CE ＝CF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF . ∴DE ＝DF ；(2)①∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°.又∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE . ∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CFCD ，即CD 2＝CE ·CF . ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴CD ＝12AB .∴AB 2＝4CE ·CF .②如答图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，则∠DGN ＝∠ECN ＝90°，CG ＝DG . 当CE ＝4，CF ＝2时，由CD 2＝CE ·CF ，得CD ＝22.第2题答图∴在Rt △DCG 中，CG ＝DG ＝CD ·sin ∠DCG ＝22×sin45°＝2. ∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN . ∴ CN GN ＝CE DG ＝2，∴GN ＝13CG ＝23. ∴DN ＝GN 2＋DG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22＝2103. 3．(15分)(1)问题发现与探究：如图4－4－3①，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM ⊥AE 于点M ，连结BD ，则：①线段AE ，BD 之间的大小关系是__AE ＝BD __，∠ADB ＝__90°__，并说明理由． ②求证：AD ＝2CM ＋BD ； (2)问题拓展与应用：如图②、图③，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，过点A 作直线，在直线上取点D ，∠ADC ＝45°，连结BD ，BD ＝1，AC ＝2，则点C 到直线的距离是__3－12__或__3＋12__，写出计算过程．图4－4－3解：(1)①∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECB ＝∠BCD ＋∠ECB ，∴∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS )，∴AE ＝BD ，∠AEC ＝∠BDC ，∵∠CED ＝∠CDE ＝45°，∴∠AEC ＝135°，∴∠BDC ＝135°，∴∠ADB＝90°；②证明：在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AD＝DE＋AE＝2CM＋BD；(2)如答图①，过点C作CH⊥AD于点H，CE⊥CD交AD于点E，则△CDE是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝2AC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝3，∴DE＝AD－AE＝3－1，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝12DE＝3－12；如答图②，过点C作CH⊥AD于点H，CE⊥CD交AD于点E，则△CDE是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝2AC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝3，∴DE＝AE＋AD＝1＋3，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝12DE＝3＋1 2.综上，点C到直线的距离是3－12或3＋12.第3题答图4．(15分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE 与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图4－4－4①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；(2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝12AB；(3)如图③，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝3(BE－CF)．图4－4－4解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4. ∵点D 是线段BC 的中点， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝2. ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，∴∠AED ＝360°－60°－90°－120°＝90°， ∴∠BED ＝90°，∴BE ＝BD ·cos B ＝2×12＝1；(2)证明：如答图①，过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°.∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°－60°－90°－90°＝120°. ∵∠EDF ＝120°， ∴∠MDE ＝∠NDF . 在△MBD 和△NCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△MBD ≌△NCD ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN . 在△EMD 和△FND 中，第4题答图①⎩⎪⎨⎪⎧∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，∴△EMD ≌△FND ，∴EM ＝FN ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋CF ＝BM ＋FN ＋CF ＝BM ＋CN ＝2BM ＝2BD ·cos60°＝BD ＝12BC ＝12AB ；(3)如答图②，过点D 作DM ⊥AB 于M ， 同(1)可得∠B ＝∠ACD ＝60°.同(2)可得BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN . ∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋CF ＝CN ＋DM ＋CF ＝NF ＋DM ＝2DM ，BE －CF ＝BM ＋EM －CF ＝BM ＋NF －CF ＝BM ＋NC ＝2BM .在Rt △BMD 中，DM ＝BM ·tan B ＝3BM ， ∴BE ＋CF ＝ 3(BE －CF )．(20分)5．(20分)[2017·天门]在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠DAC ＞∠BAC ，且DA ＝DC ，过点B 作BE ∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连结MD ，ME . (1)如图4－4－5①，当∠ADC ＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是__MD ＝ME ；__；图4－4－5(2)如图②，当∠ADC ＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；第4题答图②(3)如图③，当∠ADC＝α时，求MEMD的值．解：(2)MD＝ 3 ME.证明：如答图①，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠F AM＝∠EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BMF，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝30°，∴CE＝BE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°.在Rt△MDE中，tan∠MDE＝MEMD ＝33.∴MD＝3ME；第5题答图(3)如答图②，延长EM交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠F AM＝EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝α2，∴在Rt△MDE中，MEMD ＝tan∠MDE＝tanα2.(20分)6．(20分)[2017·衡阳]如图4－4－6，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转得到CF，连结DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)连结EF，MN，当MN∥EF时，求AE的长．【解析】(1)证明三点共线，一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180°.由旋转不改变图形的形状和大小，可证△CBE≌△CDF，得到∠CDF＝∠CBE＝90°，所以可证∠ADF＝180°，问题得证．(2)求AE的最值，需要建立适当的函数模型，考虑AE，AH是同一个直角三角形的边，所以设AH＝y，AE＝x，由图直观看出△CBE∽△EAH，利用对应边成比例，可以得出y与x 的函数关系式，从而最值问题可解．(3)连结CG，根据正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，EF∥MN，所以NG＝GM，所以CN＝CM，从而可推出∠EFD＝∠ECA＝∠1＝∠3，所以Rt△CBE∽Rt△F AE，所以BCAF ＝BEAE，因此AE可求．第6题答图解：(1)证明：如答图①，由旋转的性质知，CF ＝CE ， 又∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3， 又∵ CD ＝CB ，∴△CBE ≌△CDF ， ∴∠CDF ＝∠CBE ＝90°，∴∠ADF ＝180°. 故点A ，D ，F 三点共线；(2)设DH ＝y ，AH ＝1－y ，AE ＝x ，在Rt △CBE 和Rt △EAH 中，∠4＋∠5＝90°， ∴Rt △CBE ∽Rt △EAH ， ∴CB AE ＝BE AH ，即1x ＝1－x 1－y ，∴y ＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，即当点E 是AB 的中点时，DH 最小，最小值为34；(3)如答图②，连结CG .∵矩形∠FGE 是正方形，对角线CG 所在的直线是其对称轴， 又∵FG ＝GE ，EF ∥MN ，∴GN ＝GM ， ∴CN ＝CM ，又∵∠CNM ＝45°＋∠3，∠NMC ＝45°＋∠ECM ， 又∵∠ECM ＝∠EFH ，∴∠3＝∠EFH ＝∠1， ∴Rt △CBE ∽Rt △F AE ，∴BC AF ＝BEAE ，BC ＝1，BE ＝1－AE ，AF ＝1＋1－AE ＝2－AE ，即有12－AE＝1－AEAE ，∴AE 2－4AE ＋2＝0，解得AE ＝2＋ 2>1(不合题意，舍去)，AE ＝2－ 2.。

《中考数学复习模块4•圆》之典型中考题讲解1、（2017-金华）如图，已知：AB是的直径，点C在（DO上，CD是（DO的切线，AD丄CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交（DO于点F,连结OC,AC.（1）求证:AC平分ZDA0.（2）若ZDAO=105°, ZE=30°.①求ZOCE的度数.②若的半径为2运，求线段EF的长.2、（2017浙江台州）.如图，已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC 上一点（不与B, C重合），PE是△ ABP的外接圆（DO的直径.（1）求证：△ APE是等腰直角三角形；（2）若的直径为2,求PC2+PB2的值.3、（2017山东枣庄）.如图，在△ ABC中，ZC=90°, ZBAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC, AB于点E, F.（1）试判断直线BC与。

0的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2V3, BF=2,求阴影部分的面积（结果保留兀）. 4、（2017山东聊城）.如图，OO是△ ABC的外接圆，O点在BC边上，ZBAC的平分线交于点D,连接BD、CD,过点D 作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.（1）求证：PD是（DO的切线；（2）求证：APBDsADCA；D （3）当AB=6, AO8时，求线段PB的长.5、（2017山东东营）.如图，在△ ABC中，AB=AC,以AB为直径的（DO交BC于点D,过点D作的切线DE,交AC于点E, AC 的反向延长线交于点F.（1）求证：DE丄AG；（2）若DE+EA=8, OO的半径为10,求AF的长度.6、（2017山东潍坊）.如图，AB为半圆O的直径，AC是（DO 的一条弦，D为辰的中点，作DE丄AC,交AB的延长线于点F,连接DA.（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6J5,求阴影区域的面积.（结果保留根号和兀）7、（2017江苏无锡）.如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于4, B两点（点B在点4的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与分别交于C, D两点（点C在点D的上方），直线AC, DB交于点E.若AC：CE=1： 2.（1）求点P的坐标；（2）求过点4和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.8、（2017江苏盐城）.如图，在平面直角坐标系中，RtA ABC的斜边AB在y 轴9、(2017湖北襄阳).如图，AB为(DO的直径，C、D为©O ±的两点，ZBAOZDAC,过点C做直线EF丄AD,交AD的延长线于点E,连接BC.(1)求证：EF是(DO的切线；(2)若DE=1, BC=2,求劣弧晓的长1.10、(2017湖北恩施).如图，AB、CD是(DO的直径，BE是(DO 的弦，且BE〃CD,过点C的切线与EB的延长线交于点P,连接BC.(1)求证：BC平分ZABP；(2)求证：PC2=PB«PE；(3)若BE-BP=PC=4,求(DO 的半径.11、（2017 湖北随州）.如图，在RtA ABC 中，ZC=90°, AC=BC,点O在AB上，经过点A的（DO与BC相切于点D,交AB于点E.（1）求证：AD平分ZBAC；（2）若CD=1,求图中阴影部分的面积（结果保留兀）.12、（2017湖北宜昌）.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC, 以AE为直径的与边CD相切于点D. B点在（DO上，连接0B.（1）求证：DE=OE；/一:（2）若CD〃AB,求证：四边形ABCD是菱形. / 丿/答案：1、(1)解：•.•直线与(DO相切，AOC 丄CD；又VAD丄CD,.•.AD//OC,/.ZDAC=ZOCA;又VOC=OA,.*.ZOAC=ZOCA,.*.ZDAC=ZOAC;••.AC 平分ZDA.O.(2)解:①TAD//OC, ZDAO=105°,ZEOC=ZDAO=105°;T ZE=30°,ZOCE=45°.②作OG丄CE于点G,可得FG=CG,VOC=2\P,ZOCE=45°..\CG=OG=2,.*.FG=2;*.•在RTA OGE 中,ZE=30°,:.GE=2^, .\EF=GE-FG=2V3-2.2、(1)证明：VAB=AC, ZBAC=90°,/.ZC=ZABC=45°,A ZAEP=ZABP=45°,VPE是直径，/. ZPAB=90°,A ZAPE=ZAEP=45°,.*.AP=AE,•••△PAE是等腰直角三角形.(2)作PM丄AC于M, PN丄AB于N,则四边形PMAN是矩形, .*.PM=AN,「△PCM, △ PNB都是等腰直角三角形，.•.PCpPM, PBpPN,/.PC2+PB2=2 (PM2+PN2) =2 (AN2+PN2) =2PA2=PE2=22=4.3、解：(1) BC与(DO相切. 证明：连接OD.TAD是ZBAC的平分线，.*.ZBAD=ZCAD.又TODOA,.*.ZOAD=ZODA./.ZCAD=ZODA..•.OD〃AC..•.ZODB=ZC=90°,即0D±BC. 又TBC过半径OD的外端点D, ABC与(DO相切.(2)设0F=OD=x,则OB=OF+BF=x+2, 根据勾股定理得：OB2=C)D2+BD2,即(x+2) 2=X2+12,解得：x=2,即OD=OF=2,/. OB=2+2=4,VRtA ODB 中，OD=*3B,:.ZB=30°,/.ZDOB=60°,• u_60K X4_2H••S 號AOB-，则阴影部分的面积为S A ODB -S麻DOF=*X2X2*\/^-2? -故阴影部分的面积为2^3 -写.4、(1)证明：•.•圆心0在BC±,ABC是圆O的直径，.\ZBAC=90o, 连接OD,TAD 平分ZBAC,ZBAO2ZDAC,VZDOC=2ZDAC,.•.ZDOC=ZBAC=90°,即OD丄BC,VPD/7BC,AOD 丄PD,TOD为圆O的半径，.•.PD是圆O的切线；(2)证明：•.•PD〃BC,.*.ZP=ZABC,T ZABOZADC,.*.ZP=ZADC,T ZPBD+ZABD=180°, ZACD+ZABD=180°,A ZPBD=ZACD,.•.APBD^ADCA；(3)解：••'△ABC为直角三角形，BC2=AB2+AC2=62+82=100,.\BC=10,TOD垂直平分BC,.*.DB=DC,VBC为圆O的直径，.•.ZBDC=90°,在RtA DBC 中，DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100,.\DC=DB=5V2-V APBD^ADCA,.PB_BD''~DC~W川"9_DC・BD_Sx奶_25人AC 8 4 -5、(1)证明：VOB=OD,.*.ZABC=ZODB,VAB=AC,.•.ZABOZACB,.*.ZODB=ZACB,.•.OD〃AC.「DE是(DO的切线，OD是半径,.'.DE 丄OD,A DEX AC；(2)如图，过点0 作OH丄AF于点H,则ZODE= ZDEH= ZOHE=90°, •••四边形ODEH是矩形，.*.OD=EH, OH=DE.设AH=x.VDE+AE=8, OD=10,/. AE=10 - x, 0H=DE=8 - ( 10 - x) =x - 2.在RtA AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,即x2+ (x-2) 2=102,解得xi=8, x2= - 6 (不合题意，舍去)..\AH=8.TOHIAF,.*.AH=FH=—AF,2・：AF=2AH=2x8 二16.6、(1)证明：连接OD,VD为说的中点，/.ZCAD=ZBAD,VOA=OD,A ZBAD=ZADO,.•.ZCAD=ZADO,VDE 丄AC,ZE=90°,ZCAD+ZEDA=90°,即ZADO+ZEDA=90°,AOD 丄EF,・・.EF为半圆O的切线；(2)解：连接OC与CD,VDA=DF,A ZBAD=ZF,A ZBAD=ZF=ZCAD,又T ZBAD+ ZCAD+ ZF=90°,A ZF=30°, ZBAC=60°,VOC=OA,AAOC为等边三角形，ZAOC=60°, ZCOB=120°,TOD丄EF, ZF=30°,.•.ZDOF=60°,在RtA ODF 中,DF=6屈OD=DF *tan3 0°=6,在RtA AED 中，D26胰,ZCAD=30°, /. DE=DA*sin30 "晶,EA=DA*cos30°=9, T ZCOD=180° - ZAOC - ZDOF=60°, /. CD/7 AB,故S △ACD-S A COD，•'•S 阴萨S A AED -S扇旳COD=*<9X3后-~^Q nX^2=~^~ ~ ^71-7、解：(1)如图，作EF丄y轴于F, DC的延长线交EF于H.设H (m, “), 则P (m, 0), PA=m+3, PB=3 - m.EH//AP,△ACPs&CH,AC = PC = AP=j_CE_CH_'^7，CH=2n, EH=2m=6,CD 丄AB,PC=PD=n,PB//HE,ADPB s'DHE,PB」)P_ n _13-m _ 12nH-6 4'm=l,P (1, 0).(2)由(1)可知，PA=4, HE=8, EF=9, 连接OP,在R仏OCP中，PC=7OC^O P=2V2-:.CH=2PC=4皈 PH=6屈:.E (9, 6冋,•••抛物线的对称轴为CD,:.(-3, 0)和(5, 0)在抛物线上，设抛物线的解析式为尸a (x+3) (%-5), 把E (9, 6迈)代入得到a欝,•••抛物线的解析式为尸誓.&+3) &-5),即尸导2-孚-耳Z8、(1)证明：连接EF,TAE 平分ZBAC,/. ZFAE=ZCAE,VFA=FE,ZFAE=ZFEA, /. ZFEA=ZEAC,.・.FE〃AC,ZFEB=ZC=90°,即BC 是OF 的切线;(2)解：连接FD,设。

2018年中考数学提分训练: 四边形一、选择题1.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（）A. B. C. D.2.如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 20cmD. 18cm3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°4.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB：AD=2：3，∠BAD=2∠ABC，则CF：FD的结果为（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：45.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）A. 1＜m＜11B. 2＜m＜22C. 10＜m＜12D. 2＜m＜66.把一个多边形割去一个角后,得到的多边形内角和为1440°,请问这个多边形原来的边数为（）A. 9B. 10C. 11D. 以上都有可能7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，过点0的直线分别交边AD，BC于点E，F，EF=6．则AE2+BF2的值为（）A. 9B. 16C. 18D. 368.已知ABC(如图1)，按图2所示的尺规作图痕迹不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形9.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝14，则△DOE的周长为（）A. 50B. 32C. 16D. 910.如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E.则阴影部分面积为（）A. 6－πB. 2 －πC. πD. π11.如图，ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，依次连接EB，EC，FC，FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题12.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．13.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________.14.点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是________15.如图，正六边形的顶点分别在正方形的边上．若，则=________．16.如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．17.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋.其中正确的序号是_________.(把你认为正确的都填上)18.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．三、解答题19.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F。

2018年中考数学总复习实验操作类问题专题综合训练题1．如图，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是( )2. 如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以3. 如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA 上．(1)已知DE∥AC，DF∥BC.①判断：四边形DECF一定是什么形状？②裁剪：当AC＝24 cm，BC＝20 cm，∠ACB＝45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；(2)折叠：请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF ＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值．5. 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，求BE的长．6. 手工课上，老师要求同学们将边长为4 cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形的面积．(注：不同的分法，面积可以相等)7. 在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种)．8. 矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4.(1)如图1，能否在矩形纸片ABCD中裁剪出一个最大面积的正方形？若能，试求该面积，并说明理由；(2)用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2中画出裁剪线，以及拼成的正方形示意图，并且该正方形的顶点都在网格的格点上．9. 在一副直角三角板ABC和DEF中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定△ABC，将△DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．(1)如图2，当△DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求∠EMC 的度数和BF的长；(2)如图3，在△DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在△DEF的运动过程中，设BF＝x(x＞0)，两块三角板重叠部分的图形为三角形时，试求x的范围．10．将一副三角尺(在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求PMCN的值．11. 如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现：如图②，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_ ． (2)猜想论证：当△DEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究：已知∠ABC ＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)，若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连结AP并延长交BC于点E，连结EF.(1)四边形ABEF是________；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，求AE的长，∠ABC 的度数．13. 动手实验：利用矩形纸片(图1)剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图2无盖的正六棱柱(棱柱底面为正六边形)．(1)做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？(2)在(1)的前提下，当矩形的长为2a时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率．(矩形纸片的利用率＝无盖正六棱柱的表面积÷矩形纸片的面积)参考答案:1. A 解析：根据题意直接动手操作得出，也可以将操作后的图形放到四个选项中去比较．2. A 解析：根据图形可得甲可以拼一个边长为2的正方形，图乙可以拼一个边长为5的正方形．3. 解：(1)①∵DE∥AC，DF ∥BC ，∴四边形DECF 是平行四边形 ②作AG⊥BC，交BC 于G ，交DF 于H ，∵∠ACB ＝45°，AC ＝24，∴AG ＝12×AC 2＝122，设DF ＝EC ＝x ，平行四边形的高为h ，则AH ＝122－h ，∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴DF BC ＝122－h 122，即x 20＝122－h122，∴x ＝122－h 122×20，∵S ＝xh ＝h ·122－h 122×20＝20h －526h 2，∴h ＝－b 2a ＝－202×－526＝62，∴AH ＝122－62＝62＝12AG ，∴AF ＝FC ，∴在AC 中点处剪四边形DECF ，能使它的面积最大(2)先折∠ACB 的平分线(使CB 落在CA 上)，压平，折线与AB 的交点为点D ，再折DC 的垂直平分线(使点C 与点D 重合)，压平，折线与BC ，CA 的交点分别为点E ，F ，展平后四边形DECF 就是菱形．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形解析：(1)②设DF ＝EC ＝x ，根据△ADF ∽△ABC 得出比例关系式，然后进行转换，即可得出平行四边形的高h 与x 之间的函数关系式，从而可得平行四边形的面积S 关于h 的二次函数表达式，就可求出S 最大时h 的值；(2)先折出∠ACB 的角平分线，再折出角平分线的垂直平分线，由对角线互相线垂直平分的四边形是菱形即可得出．4. 解：如图，延长FP 交AB 于M ，当FP⊥AB 时，点P 到AB 的距离最小．∵∠A ＝∠A，∠AMF ＝∠C＝90°，∴△AFM ∽△ABC ，∴AF AB ＝FMBC ，∵CF ＝2，AC ＝6，BC＝8，∴AF ＝4，AB ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝FM8，∴FM ＝3.2，∵PF ＝CF ＝2，∴PM ＝1.2，∴点P 到边AB 距离的最小值是1.25. 解：如图，由翻折的性质，得AB ＝AB′，BE ＝B′E，①当MB′＝2，B ′N ＝1时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋1， △B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1，B ′N ＝2时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋22， △B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B′E＝12＋4＝322，则BE 的长为322或3556.解：(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH，△BEF，△CFG，△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)(2)第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO，△BEO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO，△DHO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI，△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是(4÷2)×(4÷2)÷2÷2＝2×2÷2÷2＝1(cm2)解析：按等腰直角三角形的特点进行分割、连结对角线，连结对边中点都可以得到等腰直角三角形．7.解：如图1，三角形的周长＝25＋10；如图2，三角形的周长＝42＋25；如图3，三角形的周长＝52＋34；如图4，三角形的周长＝32＋108. 解：(1)能．要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16 (2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形的边长是4×5＝25，所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方形部分剪成4个斜边为25的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪拼方法如下图：9. 解：(1)三角板ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB＝45°，∠E ＝30°，∠EMC ＝15°. 三角板DEF 中，∠FDE ＝90°，DF ＝4，BF ＝AB －DF ＝2 (2)由平移可知：∠ACF＝∠E＝30°.在Rt △ACF 中，cos ∠ACF ＝AC CF ，tan ∠ACF ＝AFAC ，∴CF ＝AC cos ∠ACF ＝6cos30°＝43，AF ＝AC·tan ∠ACF ＝6×tan30°＝23，∴BF ＝AB －AF ＝6－2 3 (3)如图，x 的范围是6－23≤x ＜6解析：(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC 即可；(3)操作后观察图形，需要分类讨论． 10. 解：3311. (1) DE ∥AC S 1＝S 2解：(1)①由旋转可知AC ＝DC ，∵∠C ＝90°，∠B ＝∠E＝30°， ∴∠BAC ＝∠CDE＝60°，∴△ADC 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°， 又∵∠CDE＝60°，∴DE ∥AC ②过D 作DN⊥AC 交AC 于点N ， 过E 作EM⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF⊥AB 交AB 于点F. 由①可知：△ADC 是等边三角形，DE ∥AC ，∴DN ＝CF ，DN ＝EM ， ∴CF ＝EM ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ， 又∵AD＝AC ，∴BD ＝AC ，∵S 1＝12 CF·BD，S 2＝12AC·EM，∴S 1＝S 2(2) ∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCM ＋∠ACE＝180°，∵∠ACN ＋∠ACE＝180°，∴∠ACN ＝∠DCM， 又∵∠CNA＝∠CMD＝90°，AC ＝CD ，∴△ANC ≌△DMC ，∴AN ＝DM ，又∵CE＝CB ，∴S 1＝S 2 (3) 作DF 1∥BC 交BA 于点F 1，作DF 2⊥BD 交BA 于点F 2.按照(1)(2)求解的方法可以计算出BF 1＝433，BF 2＝83312. 解：(1)菱形 (2)103，120° 13. 解：(1)2∶ 3(2)设高为x ，S ＝－43x 2＋6ax ，当x ＝34a 时， S ＝334a 2，此时，底面积＝338a 2，334a 2＋338a 2＝938a 2，利用率＝916。

天津市河西区普通中学2018届初三数学中考复习规律探索型问题 专题综合训练1. 观察下列等式:3] = 3, 32 = 9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 3?= 2187,… 解答下列问题：3 +节+3'+34 +…+ 32（H3的末位数字是（C ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 72. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10 个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是（B ）A. 31B. 46C. 51 D ・ 663. 根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015,箭头的方向是以下图示 中的（D ）4. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4, BC = 3,矩形在直线1上绕其右下角的顶点 B 向右旋转90。

至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90。

至图②位置，・・・, 以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点人在整个旋转过程中所经过的路程之和是5. 如图，以点0为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1, 2, 3, 4,…, 20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第 20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（B ）A. 231nB. 210nC. 190 n D ・ 171 n6. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆0” 02, 03,…JT组成一条平滑的曲线，点P 从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒百个(D )A. 2015nDC彳 〃① ②③/B. 3019.5n D. 3024nA. B. _• C.C. 3018 n单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（B）B. (2015, -1)C. (2015, 1)D. (2016, 0)7. 设a 2,…，82014是从1，0, —1这三个数中取值的一列数，若內+比32014= 69, (ai+1)2+ (a 2+l)2 ------------- (a 2oi4 + 1)2=4001,则 ％, a 2,…，如^中为 0 的个数 是165・13 5 7 98. 观察下列一组数：'話…，它们是按一定规律排列的，那么这一9. 如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成, 第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个 图案由3n + l 个▲组成.▲▲ ▲ ▲▲ ▲ A A▲ ▲▲▲ ▲ ▲ ▲上 ▲ ▲ ▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲第一个图案 第二个图案 第三个图案 第四个图案10. 如图，止方形AAA3A4, AsAeAyAs, A9A10A11A12,…，(每个正方形从第三象限的顶点 开始，按顺时针方向顺序,依次记为A], A 2, A 3, A 4； A 5, A 6, A 7, A S ； A 9, A 10, An, A 12；-)的中心均在坐标原点0,各边均与x 轴或y 轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6…，则顶点A20的坐标为—(5, —5)・A. (2014, 0) 组数的第n 个数是2n-l(n + 1)o.11. 下面是一个按照某种规律排列的数阵:172第1行/r 2 /T /6 第2行 JT 2/T3 yio yrr 2/T 笫3行 713 /14/i54yn3/2 /i9 2/y第4行根据数阵的规律，第n(n 是整数，且n^3)行从左到右数第n —2个数是 逅三 _・(用含n 的代数式表示)12. 如图，直线y= —2x + 2与两坐标轴分别交于A, B 两点，将线段0A 分成n 等份, 分点分别为R, 巳，…，匕―】，过每个分点作二轴的垂线分别交直线AB 于点T” T2，T3,…，Tn-i,用 Si, S 2> S3,…，Sn —1 分别表示 RtAT|OP1， RtAT 2P I P 2,…，RtA则当 n = 2015 时，S 1 + S 2+S 3+- + S n -1 = 1007201513.在平面直角坐标系中，若一个多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC是格点三角形，对应的S = l, N-0, 1-4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S, N, L；(2)已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL + b,其中a, b为常数，若某格点多边形对应的N = 82, 1—38,求S的值.14.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:第1个第2个第3个第4个(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.解：(1)寻找规律：第一个图需棋子6 = 3X2,第二个图需棋子9 = 3X3,第三个图需棋子12 = 3X4,第四个图需棋子15 = 3X5, A第五个图需棋子3X6=18.答:第5个图形有18颗黑色棋子(2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n + l)颗，设第门个图形有2013颗黑色棋子，则35+1)=2013,解得n = 670.答：第670个图形有2013 颗黑色棋子15.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究:名称及图形几何点数层数三角形数正方形数五边形数六边形数第一层几解：・・•前三层三角形的几何点数分别是1、2、3,・・・第六层的几何点数是6,第n 层的几何点数是n；•・•前三层止方形的几何点数分别是：1=2X1 —1、3 = 2X2 —1、5 = 2X3 —1,・••第六层的几何点数是：2X6-1 = 11,第n层的几何点数是2n-l； V 前三层五边形的几何点数分别是：1 = 3X1—2、2 = 3X2 —2、3 = 3X3 —2,・••第六层的几何点数是：3X6-2 = 16,第n层的几何点数是3n-2；前三层六边形的几何点数分别是：1 = 4X1 —3、5 = 4X2 —3、9=4X3 —3,・••第六层的几何点数是：4X6 -3 = 21,第n层的几何点数是4n-3故答案为：6, 11, 16, 21, n, 2n-l, 3n —2, 4n-3。

第45课时 实验操作型问题(50分)一、选择题(每题10分，共10分)1．[2016·宁波]如图45－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 (A)A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题(每题10分，共10分)2．[2017·绍兴]把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为22，宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是__154＋42__.【解析】 ∵在长为22，宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似， ∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大． ∵矩形的长与宽之比为22∶1，∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1， 宽为1×122＝24， ∴另外一个矩形的长为22－24＝724， 宽为724×122＝78，∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24＋724＋78＝42＋154. 三、解答题(共30分)图45－13．(15分)[2016·南充]如图45－2，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝35，求AB的长．解：(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，根据折叠的性质可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°，∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；(2)∵AD∥BC，∴∠DQC＝∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC＝∠DQM，∴∠MDQ＝∠DQM，∴MD＝MQ，∵AM＝ME，BQ＝EQ，∴BQ＝MQ－ME＝MD－AM，∵sin∠DMF＝DFMD＝35，∴设DF＝3x，MD＝5x，∴BP＝P A＝PE＝3x2，BQ＝5x－1，∵△AMP∽△BPQ，∴AMBP＝APBQ，图45－2∴13x 2＝3x 25x －1， 解得x ＝29或x ＝2， 又∵AP >AM ，∴x ＝29时，AP ＝13<AM ， ∴x ＝29时，不符合题意， ∴AB ＝6.4．(15分)[2016·宁波]在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为S ＝ma ＋nb －1，其中m ，n 为常数． (1)在图45－3的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；图45－3(2)利用(1)中的格点多边形确定m ，n 的值． 解：(1)如答图；第4题答图(2)三角形：a ＝4，b ＝6，S ＝6； 平行四边形：a ＝3，b ＝8，S ＝6； 菱形：a ＝5，b ＝4，S ＝6； 任选两组数据代入S ＝ma ＋nb －1，解得m＝1，n＝12.(30分)5．(15分)提出问题：(1)如图45－4①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；类比探究(2)如图45－4②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；拓展延伸(3)如图45－4③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由．图45－4解：(1)证明：∵△ABC，△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN；(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由：∵△ABC，△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN；∴∠ABC＝∠ACN；(3)∠ABC＝∠ACN.理由：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ABAM＝ACAN.∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC ＝∠ACN .6．(15分)[2016·南充]如图45－5，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，10.△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连结PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q . (1)求证：△APP ′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ 的大小； (3)求CQ 的长．图45－5 第6题答图解：(1)证明：因为△ABP ′是由△ABP 顺时针旋转90°得到， 则AP ＝AP ′，∠P AP ′＝90°， ∴△APP ′是等腰直角三角形； (2)∵△APP ′是等腰直角三角形， ∴∠APP ′＝45°，PP ′＝2， 又∵BP ′＝10，BP ＝22， ∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2， ∴∠BPP ′＝90°， ∵∠APP ′＝45°，∴∠BPQ ＝180°－∠APP ′－∠BPP ′＝45°；(3)过点B 作BE ⊥AQ 于点E ，则△PBE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝PE ，BE 2＋PE 2＝PB 2， ∴BE ＝PE ＝2，∴AE ＝3，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝13，则BC ＝13， ∵∠BAQ ＝∠EAB ，∠AEB ＝∠ABQ ＝90°， ∴△ABE ∽△AQB ，∴AE AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ ，∴AQ ＝133，∴BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313， ∴CQ ＝BC －BQ ＝133.(20分)7．(20分)[2017·娄底]如图45－6①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，如果点P 由点B 出发沿BA 的方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们速度均是1 cm/s ，连结PQ ，设运动时间为t (s)(0<t <4)，解答下列问题：图45－6(1)设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？(2)如图②，连结PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；(3)当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？解：(1)由勾股定理，得AB ＝5； 由题意得BP ＝AQ ＝t ，AP ＝5－t . 如答图①过点P 作PD ⊥AC 于点D ， 则△APD ∽△ABC ，∴PD 3＝5－t 5，解得PD ＝3－35t ， ∴S ＝12t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－35t ＝－310⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋158，∴当t ＝52时，S 取得最大值是158；第7题答图① 第7题答图②(2)连结PP ′交AC 于点D ， ∵PQP ′C 是菱形，∴PP ′与QC 互相垂直平分， ∴AD ＝t ＋4－t 2＝t2＋2， PD ＝3－35t ，AP ＝5－t .由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－35t 2＝(5－t )2，解得t 1＝2013，t 2＝20(舍去)；第7题答图③ 第7题答图④(3)△APQ 是等腰三角形，①当AP ＝AQ 时，t ＝5－t ，则t ＝52；②当P A ＝PQ 时，如答图③，作PE ⊥AC 于E ， ∵cos ∠A ＝45，则AE ＝45(5－t )，又∵AP ＝PQ ，∴AE ＝12AQ ＝t2， ∴45(5－t )＝t 2，∴t ＝4013；③当QA ＝QP 时，如答图④，作QF ⊥AB 于点F ， ∴AF ＝45t ；∴85t＝5－t，∴t＝2513.综上所述，当t＝52或t＝2513或t＝4013时，△APQ是等腰三角形．。