中招数学考试函数类命题及分析

函数、一次函数、反比例函数、二次函数在初中数学中具有十分重要的地位，它是联系代数式、几何图形的知识纽带，通过平面直角坐标系，演绎数与形的关系以及变换的规律.本部分知识在中考中具有重要的地位，考查形式有选择题、填空题、解答题.近几年，一次函数与方程以及不等式（组）结合设计最佳方案，成为中考命题的热点；二次函数在实际问题中有着广泛的应用，结合问题情境，建立相应的二次函数模型解决实际问题，利用二次函数的最值也是解答方案设计问题的一种有效途径.本部分知识点在中考中占30%左右.一、一次函数的图象、性质与应用例1（2015?潍坊）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图1，图象由三条线段oa，ab和bc组成.设线段oc 上有一动点t（t，0），直线l过点t且与横轴垂直，梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）.（1）①当t=2分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米；②当t=15分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米.（2）当0≤t≤3和3750.因此路程是750米时，运动时间应当小于15分钟.二、反比例函数图象的性质例2（2015?湖州）如图4所示，已知在平面直角坐标系xoy中，o是坐标原点，点a是函数y=1x（x0，k是不等于0的常数）的图象于c，点a关于y轴的对称点为a′，点c关于x轴对称点为c′，连接cc′，交x轴于点b，连接ab，aa′，a′c′，若△abc的面积等于6，则由线段ac，cc′，c′a′，a′a所围成的图形的面积等于（）a.8b.10c.310d.46分析：点a关于y轴的对称点为a′，点c关于x轴对称点为c′，根据坐标系内的点关于坐标轴成轴对称的性质，进行图形的转化，把由线段ac，cc′，c′a′，a′a所围成的图形的面积，转化为由点o，b，c和o，b，c′和o，a，a′所构成的三个三角形面积之和的形式，便于计算.解：如图5，过点a作ak⊥x轴于k，连接oa′.由对称性，知o，a′，c′在一条直线上.设a（a，1a），直线ac的解析式为y=mx，代入点a的坐标，得1a=am，得m=1a2，∴直线ac的解析式为y=1a2x.设c（c，k2c），∵c是直线ac与反比例函数的交点，∴k2c=1a2?c，得c=±ak.①当k0时，线段ac，cc′，c′a′，a′a所围成的图形的面积为10.故选b.评注：反比例函数图象上任意一点向两条坐标轴引垂线，这点和垂足以及原点为顶点的矩形面积是函数式中常数k的绝对值，此题四条线段ac，cc′，c′a′，a′a所围成的图形不规则，根据题意进行图形的转化，转化为两个直角三角形、一个等腰三角形的面积之和，注意“图形转化”以及“数形结合”等数学思想方法的灵活运用.三、一次函数与反比例函数的综合例3（2015?达州）如图6，在平面直角坐标系中，四边形abco是菱形，b，o在x轴负半轴上，ao=5，tan∠aob=12，一次函数y=k1x+b的图象过a，b两点，反比例函数y=k2x的图象过oa的中点d.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x 的图象无交点时，求b的取值范围.分析：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此连接ac，可以构成直角三角形，运用oa 长度及tan∠aob=12，即可确定点a与点b的坐标，进而确定一次函数的解析式，而点d是线段oa中点，即可得出点d的坐标，从而求出反比例函数的解析式；一次函数图象平移，不改变直线的倾斜方向与程度，即是k1的值不变，平移后的直线的解析式y=k1x+b，解y=k1x+b 与y=k2x构成的方程组，消元得到关于x的一元二次方程，令一元二次方程根的判别式小于0，即可得出b的取值范围.解：（1）如图7，连接ac交x轴与e.∵四边形abco是菱形，∴ac⊥ob，be=oe.∴∠aeo=90°.∴tan∠aob=aeoe=12.设ae=x，则oe=2x，x>0.在rt△aeo中，根据勾股定理，得ae2+eo2=oa2，即x2+（2x）2=（5）2.解得x=1.∴ae=1，eo=2，ob=2oe=4.∴a（-2，1），b（-4，0）.∵一次函数y=k1x+b的图象过点a（-2，1），b（-4，0），∴-4k1+b=0，-2k1+b=1.解得k1=12，b=2.∵d是oa的中点，a（-2，1），∴d（-1，12）.∵反比例函数y=k2x的图象过点d（-1，12），∴12=k2-1.解得k2=-12.∴一次函数的解析式为y=12x+2，反比例函数的解析式为y=-12x.（2）设平移后的一次函数解析式为y=12x+b.由题意，得y=12x+b，y=-12x.∴12x+b=-12x.化简得x2+2bx+1=0.∴δ=（2b）2-4×1×1=4b2-4.∵一次函数的图象和反比例函数的图象没有交点，∴δ=4b2-45，∴5 （2）若函数y=kx（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k（k为常数）的图象与x轴相交，得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？分析：第（1）问根据题意在一次函数y=3x+2的图象上找“中国结”必须满足x，y同时为整数，由于3是无理数，只有乘以整数0，才可以转化为整数（乘以3的整数倍，这里x 不是整数了）.第（2）问中反比例函数图象上有且只有两个“中国结”，则在xy=k中，自变量x与函数y只有两组对应的整数值，因此k的绝对值是1，如果绝对值是大于1的整数，则这个整数的约数就会有1和它本身，则xy的整数值会多于两组，不符合题意.第（3）问中给定的二次函数图象与x轴相交，得到两个不同的“中国结”，则函数图象与x轴有两个交点，先解关于x的一元二次方程，确定方程的整数解，分别用x1，x2表示常数k，构造出关于x1，x2的等式，运用分解整数因数的方法，构造出关于方程两根的方程组，通过解方程组，得出符合题意的常数k的值，进而得出二次函数的解析式，通过计算自变量与函数的对应值，判断x与y同时是整数的点的坐标，得出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”.解：（1）函数y=3x+2的图象上中国结的坐标只有一点是（0，2）.（2）①当k=1时，显然xy=1只有两组数满足题意（1，1），（-1，-1）；②当k=-1时，显然xy=-1只有两组数满足题意（1，-1），（-1，1）；③当k≠±1时，如k=2，则图象上的“中国结”个数超过两个，有（2，1），（-2，-1），（1，2），（-2，-1）.类似的，当k≠±1时，中国结个数必将多于两个.综上所述，只有当k取±1时，反比例函数图象上有且只有两个中国结.当k=1时，其坐标分别是（1，1），（-1，-1）；当k=-1时，其坐标分别是（1，-1），（-1，1）.（3）令（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k=0，即[（k-1）x+k]?[（k-2）x+（k-1）]=0.解得x1=-kk-1，x2=-k-1k-2.由于交点都是“中国结”，所以这两个根都是整数，x1=-kk-1，则k=x1x1+1；x2=-（k-1）（k-2），则k=2x2-1x2+1.因此x1x1+1=2x2+1x2+1，化简为x1x2+2x2=-1，即是x2（x1+2）=-1.由于-1=1×（-1）=-1×1，因此得出关于x1，x2的方程组x2=1，x1+2=-1或x2=-1，x1+2=1.因此以上方程组的解是x1=-3，x2=1或x1=-1，x2=-1.由于二次函数的图象与x轴相交，有两个交点，因此x1≠x2，所以舍去x1=-1，x2=-1.当x1=-3（x+3），x2=1时，k=x1x1+1=32；此时二次函数解析式是y=-14x2-12x+34，即是y=-14（x-1）在-3≤x≤1中，整数x的值是-3，-2，-1，0，1；当x=-2时，y=34不是整数；当x=-1时，函数值y=1，坐标（-1，1）为“中国结”；当x=0时，y=34不是整数.因此当k=32时，该函数图象与x轴所围成的平面图形中（含边界）一共包含6个“中国结”：（-3，0），（-2，0），（-1，1），（-1，0），（1，0），（0，0）.评注：第（3）问在确定了二次函数的解析式后，画出这个二次函数的图象如图9，可以直接看出问题答案来，巧妙地运用图形信息，可以避免复杂的计算.六、二次函数与几何图形的综合应用例6（2015?湖州）已知在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，线段ab的两个端点a （0，2），b（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点c为线段ab的中点.现将线段ba绕点b按顺时针方向旋转90°得到线段bd，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点d.（1）如图10，若该抛物线经过原点o，且a=-13.①求点d的坐标及该抛物线的解析式.②连接cd.在抛物线上是否存在点p，使得∠pob与∠bcd互余？若存在，请求出所有满足条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由.（2）如图11，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点e（1，1），点q在抛物线上，且满足∠qob与∠bcd互余.若符合条件的q点的个数是4，请直接写出a的取值范围.分析：对于第（1）问中①结合线段旋转的性质，及三角形全等的性质，先确定点d的坐标，再确定抛物线的解析式；对于第（1）问中②，判断两个角互余，通过构造含两个角所在的直角三角形，运用直角三角形的性质及锐角三角函数，构造比例式求解；对于第（2）问参考第（1）问中确定点p的坐标的方法，探究二次项系数a的取值范围.解：（1）①如图12，过点d作df⊥x轴于f.∵∠dbf+∠abo=90°，∠bao+∠abo=90°，∴∠dbf=∠bao.又∵∠aob=∠bfd=90°，ab=bd，∴△aob≌△bfd.∴df=bo=1，bf=ao=2.∴点d的坐标是（3，1）.根据题意，得a=-13，c=0，且a×32+b×3+c=1，∴b=43.∴该抛物线解析式为y=-13x2+43x.②∵c，d两点纵坐标都为1，∴cd∥x轴.∴∠bcd=∠abo.∴∠bao与∠bcd互余.若要使得∠pob与∠bcd互余，则需满足∠pob=∠bao，设点p的坐标为（x，-13x2+43x）.（?。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—求函数的取值范围通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看k ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；第二步：当a x =时，min y y =；当b x =时，max y y =；所以max min y y y ≤≤.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。

（1）若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处abx 2-=时，取到最值.（2）若abn x m 2-<≤≤，如图②，当m x =时，max y y =；当n x =时，min y y =.（3）若n x m ab≤≤<-2，如图③，当m x =，min y y =；当n x =，max y y =.（4）若n x m ≤≤，且n a b m ≤-≤2，m a b a b n -->+22，如图④，当a bx 2-=，min y y =；当n x =，max y y =.1.（中考真题）设a 、b 是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a ⩽x ⩽b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ⩽x ⩽n 时,有m ⩽y ⩽n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”。

(1)反比例函数xy 2013=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值。

【解答】解：（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y＝在第一象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2013；当x＝2013时，y＝1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝x；②当k＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝﹣x+m+n；（3）∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝x2﹣x﹣的最小值是﹣＝a，根据“闭函数”的定义知，b＝a2﹣a﹣或b＝b2﹣b﹣；a）当b＝a2﹣a﹣时，由于b＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝＜2，不合题意，舍去；b）当b＝b2﹣b﹣时，解得b＝，由于b＞2，所以b＝；③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．2．（中考真题）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）解：①当1t =时，则111122x -≤≤+，即1322x ≤≤， 4044y x =，4044k =0>，y 随x 的增大而增大，314044404422202222M N h ⨯-⨯-∴===，②若函数y kx b =+，当0k >时，1122t x t -≤≤+，∴11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==，当0k <时，则11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==-，综上所述，0k >时，2k h =，0k <时，2kh =-，（2）解：对于函数()21y x x=≥， 20>，1x ≥，函数在第一象限内，y 随x 的增大而减小，112t ∴-≥，解得32t ≥，当1122t x t -≤≤+时，∴2424,11212122M N t t t t ====-+-+，()()()()()()2221221144442221212121212141t t M N h t t t t t t t +---⎛⎫∴==-=== ⎪-+-+-+-⎝⎭，∵当32t ≥时，241t -随t 的增大而增大，∴当32t =时，241t -取得最小值，此时h 取得最大值，最大值为()()4412121242h t t ===-+⨯；（3）对于函数24y x x k =-++()224x k =--++，10a =-<，抛物线开口向下，2x <时，y 随x 的增大而增大，2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x =时，函数y 的最大值等于4k +，在1122t x t -≤≤+时，①当122t +<时，即3t 2<时，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=22111114422222t t k t t k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++---+-+⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2t -，∴h 的最小值为12（当32t =时），若124k =+，解得72k =-，但32t <，故72k =-不合题意，故舍去；②当122t ->时，即5t 2>时，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=2t -，∴h 的最小值为12（当52t =时），若124k =+，解得72k =-，但52t >，故72k =-不合题意，故舍去③当11222t t -≤≤+时，即3522t ≤≤时，4M k =+，i )当112222t t ⎛⎫⎛⎫--≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，即322t ≤≤时，211422N t t k⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭22114415252222228k t t k M N h t t ⎛⎫⎛⎫++---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+ 对称轴为52t =，102>，抛物线开口向上，在322t ≤≤上，当t =2时，h 有最小值18，148k ∴=+，解得318k =-；i i )当112222t t ⎛⎫⎛⎫--≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，即522t ≤≤时，4M k =+，N =211422t t k ⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴2211441392222228k t t kM N h t t ⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+， 对称轴为32t =，102>，抛物线开口向上，在522t <≤上，当t =2时，h 有最小值18，148k ∴=+解得318k =-，综上所述，2t =时，存在318k =-．3．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（）②my (m 0)x=≠（）③31y x =-（）（2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x 的“H 函数”()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，②(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【详解】（1）①2y x =是“H 函数”②my (m 0)x=≠是“H 函数”③31y x =-不是“H 函数”；故答案为：√；√；×；（2）∵A,B 是“H 点”∴A,B 关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B （-1，-4）代入()20y ax bx c a =++≠，得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩，解得40b ac =⎧⎨+=⎩，又∵该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，∴-2b a ＞2，∴-42a ＞2，∴-1＜a ＜0，∵a+c=0，∴0＜c ＜1，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜1；（3）∵223y ax bx c =++是“H 函数”，∴设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q⎧++=⎨-+=-⎩，解得ap 2+3c=0,2bp=q ，∵p 2＞0，∴a,c 异号，∴ac ＜0，∵a+b+c=0，∴b=-a-c ，∵(2)(23)0c b a c b a +-++<，∴(2)(23)0c a c a c a c a -----+<，∴(2)(2)0c a c a -+<，∴c 2＜4a 2，∴22c a＜4，∴-2＜c a ＜2，∴-2＜c a ＜0，设t=c a ，则-2＜t ＜0，设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0），∴x 1,x 2是方程223ax bx c ++=0的两根，∴12x x -=，又∵-2＜t ＜0，∴2＜12x x -＜4.（2022春•芙蓉区校级期末）在y 关于x 的函数中，对于实数a ，b ，当a ≤x ≤b 且b ＝a +3时，函数y 有最大值y max ，最小值y min ，设h ＝y max ﹣y min ，则称h 为y 的“极差函数”（此函数为h 关于a 的函数）；特别的，当h ＝y max ﹣y min 为一个常数（与a 无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y ＝2x （）；②y ＝﹣2x +2（）；③y ＝x 2（）．（2）y 关于x 的一次函数y ＝px +q ，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h ＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a ≤x ≤b （b ＝a +3）时，写出函数y ＝ax 2﹣bx +4的“极差函数”h ；并求4ah 的取值范围．【解答】解：（1）①∵y ＝2x 是一次函数，且y 随x 值的增大而增大，∴h ＝2（a +3）﹣2a ＝6，∴y ＝2x 是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y ＝﹣2x +2是一次函数，且y 随x 值的增大而减小，∴h ＝﹣2a +2﹣[﹣2（a +3）+2]＝6，∴y ＝﹣2x +2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y ＝x 2是二次函数，函数的对称轴为直线x ＝0，当a +3≤0时，h ＝a 2﹣（a +3）2＝﹣9﹣6a ；当a ≥0时，h ＝（a +3）2﹣a 2＝9+6a ；∴y ＝x 2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x ＝0时，y ＝q ，∴函数与y 轴的交点为（0，q ），当y ＝0时，x ＝﹣，∴函数与x 轴的交点为（﹣，0），∴S ＝×|q |×|﹣|＝1，∴＝2，当p ＞0时，h ＝p （a +3）+q ﹣（pa +q ）＝3，∴p ＝1，∴q ＝±，∴函数的解析式为y ＝x ；当p ＜0时，h ＝pa +q ﹣[p （a +3）+q ]＝3，∴p ＝﹣1，∴q ＝±，∴函数的解析式为y ＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y ＝x 或y ＝﹣x；（3）y ＝ax 2﹣bx +4＝a （x ﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x ＝，∵b ＝a +3，∴x ＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a +3≤，∵（a +3﹣﹣）﹣（+﹣a ）＝2a +2﹣，∵，∴2a +2﹣＞0，∴a +3到对称轴的距离，大于a 到对称轴的距离，∴当x ＝a +3时，y 有最大值a （a +3）2﹣（a +3）2+4，当x ＝时，y 有最小值4﹣＝4﹣，∴h ＝a （a +3）2﹣（a +3）2+4﹣4+＝（a +3）2（a ﹣1+），∴4ah ＝（2a 2+5a ﹣3）2，∵2a 2+5a ﹣3＝2（a +）2﹣，，∴≤2a 2+5a ﹣3≤9，∴≤4ah ≤81．5.（雅实）若函数1y 、2y 满足12y y y =+，则称函数y 是1y 、2y 的“融合函数”.例如，一次函数121y x =+和二次函数2234y x x =+-，则1y 、2y 的“融合函数”为21253y y y x x =+=+-.（1）若反比例函数12y x=和一次函数23y kx =-，它们的“融合函数”过点()1,5，求k 的值；（2）若21y ax bx c =++为二次函数，且5a b c ++=，在x t =时取得最值，函数2y 为一次函数，且1y 、2y 的“融合函数”为224y x x =+-，当12x -≤≤时，求函数1y 的最小值（用含t 的式子表示）；（3）若二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y ax b =--，其中0a b c ++=且a b c >>，若它们的“融合函数”与x 轴交点为()1,0A x 、()2,0B x 12x -的取值范围.【解答】解：(1)由题意可得y 1、y 2的融合函数23y kx x=+-，将点()1,5代入，可得：523k =+-，解得6k =.(2)∵12y y y =+，∴()()2222124214y y y x x ax bx c a x b x c =-=+----=-+---，∵y 2为一次函数，∴20a -=，即2a =，∴212y x bx c =++在x =t 处取得最值，∴4bt =-，即4b t =-，∴5a b c ++=，即54234c t t =+-=+，∴212434y x tx t =-++，对称轴：x t =.①若1t ≤-时，即当1x =-时，min 58y t =+，②若12t -<<时，即当x t =时，2min 234y t t =-++，③若2t ≥时，即当2x =时，min 114y t =-.(3)y 1、y 2的融合函数()2y ax b a x c b =+-+-，∵与y 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，∴12b a x x a -+=，12c b x x a -⋅=，∵12||x x a -==，又∵0a b c ++=，∴b a c =--，∴12x x ==，∵a b c >>∴a a c c >--<，∴122c a -<<-，当2ca=-时，12maxx x -=，当12c a =-时，12min32x x -=12x <-<.6．（立信）已知：抛物线1C ：2y ax bx c =++（0a >）．（1）若顶点坐标为(1,1)，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）当0c <时，求函数220221y ax bx c =-++-的最大值；（3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =--与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 的值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线1C 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴y ＝a （x ﹣1）2+1＝ax 2﹣2ax +a +1，∴b ＝﹣2a ，c ＝a +1；（2）∵y ＝ax 2+bx +c ，a ＞0，c ＜0，∴Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴有两个交点，∴|ax2+bx+c|≥0，∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，∴方程组只有一组解，∴ax2+（b﹣m）x++m+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（b﹣m）2﹣4a（+m+c）＝0，整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac ＝0恒成立，∴，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，∴（k+1﹣1）2＝k，解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，∴k＝0；③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，∴（k﹣1）2＝k，解得：k＝或，∵k＞1，∴k＝，综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．7．（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k （b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数kyx（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．【详解】解：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵1≤x ≤3，∴k ﹣1≤y ≤3k ﹣1，∵函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“k 属和合函数”，∴（3k ﹣1）﹣（k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝4；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴3k ﹣1≤y ≤k ﹣1，∴（k ﹣1）﹣（3k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝﹣4，综上所述，k 的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y ＝kx，k ＞0，∴在第一象限，y 随x 的增大而减小，当a ≤x ≤b 且0＜a ＜b 是“k 属和合函数”，∴k a ﹣kb＝k （b ﹣a ），∴ab ＝1，∵a +b ＝3，∴（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ＝9﹣4＝5，∴a ﹣b （3）∵二次函数y ＝﹣x 2+2ax +3的对称轴为直线x ＝a ，∵当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，∴当x ＝﹣1时，y ＝2﹣2a ，当x ＝1时，y ＝2+2a ，当x ＝a 时，y ＝a 2+3，①如图1，当a ≤﹣1时，当x ＝﹣1时，有y 最大值＝2﹣2a ，当x ＝1时，有y 最小值＝2+2a ∴（2﹣2a ）﹣（2+2a ）＝k •[1﹣（﹣1）]＝2k ，∴k ＝﹣2a ，而a ≤﹣1，∴k ≥2；②如图2，当﹣1＜a ≤0时，当x ＝a 时，有y 最大值＝a 2+3，当x ＝1时，有y 最小值＝2+2a ，∴a 2+3﹣（2+2a ）＝2k ，∴k ＝2(1)2a -，∴12≤k ＜2；③如图3，当0＜a ≤1时，当x ＝a 时，有y 最大值＝a 2+3，当x ＝﹣1时，有y 最小值＝2﹣2a ，∴a 2+3﹣（2﹣2a ）＝2k ，∴k ＝2(1)2a +，∴12＜k ≤2；④如图4，当a ＞1时，当x ＝1时，有y 最大值＝2+2a ，当x ＝﹣1时，有y 最小值＝2﹣2a ，∴（2+2a ）﹣（2﹣2a ）＝2k ，∴k ＝2a ，∴k ＞2．综上所述，当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，k 的取值范围为k ≥12．8．（师大附中博才）已知a 、b 是两个不相等的实数且a b <，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],.a b 对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当a x b ≤≤时，有(ta y tb t ≤≤为正数)，我们就称此函数是闭区间[],a b 上的“t 倍函数”．例如：正比例函数2y x =，当13x ≤≤时，26y ≤≤，则2y x =是13x ≤≤上的“2倍函数”．(1)已知反比例函数4yx=是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，且m n +=22m n +的值；(2)①已知正比例函数y x =是闭区间[]1,2023上的“t 倍函数”，求t ；②一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，求此函数的解析式．(3)若二次函数269y x x =--是闭区间[],a b 上的“7倍函数”，求实数a 、b 的值．【详解】（1）已知反比例函数4y x=是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，∴当m x n ≤≤时，22m y n ≤≤，当x m =时，4y m =；当x n =时，4y n=，又40k => ，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，当0x <时，y随x 的增大而减小，42n m ∴=，且42m n=，24mn ∴=，又m n += ，()22222023m n m mn n ∴+=++=，2220232202342019m n mn ∴+=-=-=．（2）①已知正比例函数y x =，y 随x 的增大而增大，且当1x =时，1y =；当2023x =时，2023y =，∴当12023x ≤≤时，12023y ≤≤，y x ∴=是闭区间[]1,2023上的“1倍函数”，即1t =．② 一次函数0y kx b k =+≠（）是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，∴当m x n ≤≤时，22m y n ≤≤，若0k >时，y 随x 的增大而增大，∴当x m =，则2y km b m =+=；当x n =，则2y kn b n =+=，()()2m n k m n ∴-=-，2k ∴=，将2k =代入2km b m +=，得22m b m +=，0b ∴=．∴若0k >时，函数解析式为2y x =．若0k <时，y 随x 的增大而减小，∴当x m =时，2y km b n =+=；当x n =时，2y kn b m =+=，2k ∴=-，22b m n =+．∴若0k <时，函数解析式为()22y x m n =-++，综合以上分析，函数的解析式为2y x =或()22y x m n =-++．（3）由二次函数269y x x =--解析式可知，抛物线开口向上，对称轴3x =，∴当3x <时，y 随x 的增大而减小；当3x >时，y 随x 的增大而增大， 二次函数269y x x =--是闭区间[],a b 上的“7倍函数”，∴当a x b ≤≤时，()770a y b a ≤≤≠，若3b ≤时，根据增减性，当x a =时，2697y a a b =--=；当x b =时，2697y b b a =--=，两式相减得：226677a b a b b a --+=-，()()a b a b b a ∴+-=-，1b a ∴=--，将1b a =--代入2697a a b --=得：220a a +-=，2a ∴=-或1a =，当2a =-时，1b =；当1a =时，2b =-（舍去，a b <）．若3a ≥时，当x a =时，2697y a a a =--=，解得a =a =x b =时，2697y b b b =--=．解得132b =或b =均不符合a b <，舍去．若3a <，3b >时，当3x =时，236397y a =-⨯-=，187a ∴=-，则x a =时，26396949y a a =--=，若639749b =，6393343b =<，（舍去），当x b =时，2697y b b b =--=，则b =b =综上分析，2a =-，1b =或者187a =-，b =9．（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记为[]P x y =+．(1)已知点A （1，3），B （2-，4），C 22），直接写出[]A，[]B ，[]C 的值；(2)已知点D 是直线2y x =+上一点，且[]4D =，求点D 的坐标；(3)若抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且[]24M ≤≤．令2242022t b a =-+，试求t 的取值范围．【详解】（1）解：∵A （1，3），B （−2，4），C ），∴[A ]=|1|+|3|=4，[B ]=|-2|+|4|=6，[C ；（2）设D (m ，n )，∵D 是直线y ＝x +2上一点，且[D ]＝4，∴42m n n m ⎧+⎨+⎩＝＝，解得13m n =⎧⎨=⎩或31m n =-⎧⎨=-⎩，∴点D 的坐标（1，3）或（-3，-1）；（3）由题意方程组21y x y ax bx =⎧⎨=++⎩只有一组实数解，消去y 得2(1)10ax b x +-+=，由题意224(1)40b ac b a -=--=，∴24(1)a b =-，∴方程可以化为()()2214140b x b x -+-+=，∴1221x x b ==-，∴22,11M b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∵[]24M ≤≤，∴2121b ≤≤-或2211b -≤≤--，解得10b -≤≤或23b ≤≤，∵点M 在第一象限，∴10b -≤≤，∵22222420222(1)202222021t b a b b b b =-+=--+=++=2(1)2020b ++，∵10b -≤≤，∴20202021t ≤≤．10．（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=11b ab a≥⎧⎨-⎩，，＜，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．（1）①点1)的限变点的坐标是；②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y＝2x图象上某一个点的限变点，这个点是；（填“A”或“B”）（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【详解】（1）①根据限变点的定义可知点1)1）；②（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B．（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=31321x xx x-+≥⎧⎨--≤⎩，，＜的图象上．∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．当b′=-2时，-2=-x+3．∴x=5．当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．∴x=-2或x=8．∵-5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．。

一、考查内容分析函数是初中数学的核心知识，是研究数量关系和变化规律的重要数学模型，蕴涵着丰富的思想和方法，是历年中考命题的重点考查内容.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，函数内容主要包括：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；理解一次函数、反比例函数与二次函数的概念、图象、性质，并利用这三类函数解决简单的实际问题.同时，函数与方程、不等式及几何图形的融合也是函数部分的重点考查内容.为了分析2020全国各地区中考试卷中函数试题的权重、考查内容、试题类型等，笔者从2020全国各地区中考试卷中抽取了32份样卷进行分析，得到了如表1所示的各组数据.平均题数分值比重选择题1.23%填空题1.042%解答题1.813%总量4.0418%表1由表1可知，2020年全国各地区中考试卷中函数相关内容平均设计4道试题，选择题、填空题和解答题均有涉及，其中解答题占比较高，函数内容总分值占全卷分值的18%左右.这些试题在全面覆盖函数基础知识、基本技能和基本方法的同时，更加注重对函数本质属性与内涵的考查，更加关注学生在新的问题情境下合理构建函数模型解决实际问题的能力，重视对过程的评价和基本活动经验的考查，凸显函数思想和研究函数的基本过程和方法.严格遵循基础教育课程改革的基本理念和精神，有效落实了《标准》的基本要求和数学学科核心素养，增强了试题的应用性和创新性，教学导向作用明显.二、命题思路分析1.立足基础，考查函数核心知识函数的概念、图象和性质是函数的核心知识，也是学生学习的重点内容.2020年全国各地区中考试卷中的函数试题继续立足基础与核心，着重考查学生对函数概念的理解、图象的掌握和性质的运用，以及不同问题情境下的综合运用函数知识解决问题的能力.例1（北京卷）有一个装有水的容器，如图1所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水2020年中考“函数”专题命题分析陈世文摘要：函数是研究变量之间关系的重要数学模型，统领着“数与式”“方程和不等式”，也是连接“图形与几何”与“数与代数”的桥梁.2020年全国各地区中考试卷中的函数试题立足基础，考查函数核心知识；注重方法，凸显函数本质属性；突出应用，彰显函数现实价值；设问新颖，关注函数学习力.新课程的评价理念落实到位，教学导向作用明显.通过对2020年全国各地区中考试卷函数试题的考查内容和命题思路进行分析，提出命题建议，并提供一些模拟题供读者参考.关键词：考查内容；命题思路；命题建议收稿日期：2020-10-12作者简介：陈世文（1979—），男，高级教师，主要从事初中数学课堂教学与解题研究.之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）.（A）正比例函数关系（B）一次函数关系（C）二次函数关系（D）反比例函数关系例2（浙江·台州卷）如图2，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图3所示，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）.图2图3（B）（A）（C）（D）【评析】例1、例2均以生活中的实际问题情境作为试题背景，让学生从实际问题情境中抽象出相关函数和图象，有效考查了学生对函数概念和函数图象的理解.同时，例2以图象形式给出运动速度v与运动时间t之间的关系，进而探究小球的运动路程y与运动时间t之间的函数图象，在考查函数概念的同时，也加大了对学生识图、作图能力的考查，提高了试题的区分度和可推广性.例3（贵州·遵义卷）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2.抛物线与x轴的一个交点在点()-4，0和点()-3，0之间，其部分图象如图4所示，下列结论中正确的个数有().①4a-b=0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④b2+2b>4ac.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个例4（山东·威海卷）如图5，点P()m，1，点Q()-2，n都在反比例函数y=4x的图象上.过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N.连接OP，OQ，PQ.若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（）.（A）S1∶S2=2∶3（B）S1∶S2=1∶1（C）S1∶S2=4∶3（D）S1∶S2=5∶3【评析】例3、例4均是对函数图象和性质的考查.例3直接借助二次函数图象分析相关问题，考查学生从图象中获取信息和处理相关信息的能力.而例4在图象中融入几何元素，求四边形与三角形面积之比，其本质是考查反比例函数的定义（xy=k）和其图象关于原点中心对称的性质.结合图象或在图象中融入几何元素，加强学生对函数性质的理解掌握情况的考查是中考试题的常见类型，如广东东莞卷第10题、浙江湖州卷第16题等.2.注重方法，凸显函数本质属性《标准》指出，对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解.2020年全国各地区中考试卷中的函数试题，在立足基础、考查函数核心知识的同时，注重对函数思想方法的考查，关注函数的概念、图象与性质的本质属性.例5（安徽卷）在平面直角坐标系中，已知点A()1，2，B()2，3，C()2，1，直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点.（1）判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.例6（浙江·嘉兴卷）已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是().（A）当n-m=1时，b-a有最小值（B）当n-m=1时，b-a有最大值（C）当b-a=1时，n-m无最小值（D）当b-a=1时，n-m有最大值例7（北京卷）在平面直角坐标系xOy中，M()x1，y1，N()x2，y2为抛物线y=ax2+bx+c()a>0上任意两点，其中x1<x2.（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；（2）设抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围.【评析】例5已知抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点，求a，b的值，需要学生尝试描点、画图，同时结合二次函数的性质进行判断，倡导学生“做数学”，深刻考查学生对图象性质及特征的把握；第（3）小题中求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值，则需要抓住顶点仍在直线y=x+m上构建关于纵坐标的函数关系式.例6中给定二次函数y=x2，则函数的图象确定.抛物线越向上，其“斜率”越大，当b-a=1时，则两点间的水平距离不变，当两点关于对称轴对称时，n-m有最小值为14；当n-m=1时，则两点间的铅垂距离不变，越向上b-a的值越小，所以b-a有最大值，而无最小值.例7的第（2）小题已知x1+x2>3时，都有y1<y2，反过来探究对称轴t的取值范围，需要抓住二次函数的增减性本质，对M，N两点与对称轴的位置进行分类讨论，同时抓住x1+x2>3进行突破.以上三道例题均是通过在函数中增加“变化”元素，让图象或点动起来，在变与不变、动与不动中探究最值、比较大小等，在考查函数概念、性质和图象的本质属性时，也进一步凸显了函数是研究变量之间关系的本质，蕴涵了数形结合、分类讨论等思想方法.3.突出应用，彰显函数现实价值《标准》指出，为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识. 2020年全国各地区中考试卷中的函数试题都非常注重创设学生身边熟悉的生活情境，注重设计结合本地经济热点、社会热点等的实际问题.通过研究实际问题中所包含的数量关系和变化规律，并以函数的形式加以表达，然后利用函数表达式、图象和性质等知识使原问题得以解决.这对于学生深刻理解并体会函数的应用价值，突出建立函数模型的思想方法，发展学生的应用意识具有重要的意义.例8（江苏·连云港卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2，则最佳加工时间为.例9（陕西卷）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图6所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约多少天，开始开花结果？y/图6【评析】例8直接给出爆米花的可食用率y与加工时间x（单位：min）之间的函数表达式，要求最佳加工时间，关键是要理解实际问题“最佳加工时间”的意义.例9以图象的形式给出瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系，要求继续生长大约多少天开始开花结果，则需根据图象建立函数模型，然后代入求解.两道例题结合生活实际考查学生对函数关系中变量的深刻理解，同时凸显函数能够表示相关变量之间的数量关系和变化规律，能对事物做出研判和预测的实际价值.例10（浙江·绍兴卷）如图7，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的点C发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA=2.88m，这时水平距离OB=7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图8.（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图7，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 在底线上的哪个位置？（参考数据：2取1.4.）图7图8【评析】模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.例10通过判断这次发球能否过网、是否出界，以及发球点在底线上的哪个位置等系列实际问题，考查学生建立函数模型、求解函数模型的能力，凸显函数的应用价值，有助于学生初步形成函数模型思想，值得借鉴与推广.4.设问新颖，关注函数学习力《标准》指出，数学教学应引导学生在参与数学活动的过程中，积累基本活动经验，帮助学生形成独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯与思维品质.2020年全国各地区中考试卷中的函数试题，基于研究函数的基本策略与路径，设计新颖问题，考查学生在新的问题情境中，能否合理运用已有的函数学习经验和思考路径解决新问题，注重对活动经验的考查，关注学生的函数学习力.例11（江苏·扬州卷）小明同学利用计算机软件绘制函数y =ax (x +b )2()a ，b 为常数的图象如图9所示，由学习函数的经验，可以推断常数a ，b 的值满足（）.（A ）a >0，b >0（B ）a >0，b <0（C ）a <0，b >0（D ）a <0，b <0例12（北京卷）小云在学习过程中遇到一个函数y =16||x ()x 2-x +1()x ≥-2.下面是小云对其探究的过程，试补充完整.（1）当-2≤x <0时，对于函数y 1=||x ，即y 1=-x ，当-2≤x <0，y 1随x 的增大而，且y 1>0；对于函数y 2=x 2-x +1，当-2≤x <0时，y 2随x 的增大而，且y 2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当-2≤x <0时，y 随x 的增大而.（2）当x ≥0时，对于函数y ，当x ≥0时，y 与x 的几组对应值如表2所示.x y00121161163271621529548372……表2结合上表，进一步探究发现，当x ≥0时，y随x 的增大而增大.在如图10所示的平面直角坐标系xOy 中，画出当x ≥0时函数y 的图象.图10（3）过点()0，m ()m >0作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数y =16||x ()x 2-x +1()x ≥-2的图象有两个交点，则m 的最大值是.【评析】例11给出一个新函数y =ax (x +b )2（a ，b 为常数）的图象，判断a ，b 的符号，主要考查系数对函数图象的影响，注重数与形的对应分析.因为()x +b 2>0，由图象可知，当x <0时，y >0，所以a <0.又因为x ≠-b ，由图象可知，图象分界线在x 轴负半轴，所以-b <0，即b >0.例12通过让学生经历一个新函数性质和图象的探究过程并对其加以应用，将函数图象、性质的研究方法及路径巧妙地融合于对新函数的研究之中.三、命题建议中考数学试卷中函数试题的命制，既要严格遵循《标准》的内容要求，又要考量学生进一步的数学学习与发展.因此，一要聚焦函数核心知识，坚持主干知识覆盖考、重点知识重点考，严格落实基础知识和基本技能；二要注重对思想方法的考查，关注函数的本质属性，围绕运动变化及变量之间的对应关系等，在试题中加强对函数思想方法的渗透，凸显函数模型价值；三要不在形式化“应用”等方面纠缠，多让学生用函数观点解释、分析和解决具体问题，不能为了“综合”而强行“揉捏”，即便植入了外部知识，亦要突出函数的本质属性；四要结合学生未来的学习之需，在现有的函数属性和学习经验中“做文章”，编制新颖试题，重视对基本活动经验的考查，关注学生的学习过程和创新能力.四、模拟题欣赏为了便于交流与学习，笔者为大家提供了几道函数相关的模拟试题，仅供参考与赏析，也欢迎大家批评指正.1.如图11，在正方形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OD 的中点.动点P 从点E 出发，沿着E →O →B →A 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A ，在此过程中线段AP 的长度y 随着运时间x 的函数关系如图12所示，则AB 的长为（）.图11（A ）4（B ）42（C ）33（D ）22参考答案：B.2.已知二次函数y =x 2+bx +c （b ，c 是常数）的图象与x 轴的交点坐标是()x 1，0和()x 2，0，且m <x 1<x 2<m +1，当x =m 时，y =p ，当x =m +1时，y =q ，则（）.（A ）p ，q 至少有一个小于14（B ）p ，q 都小于14（C ）p ，q 至少有一个大于14（D ）p ，q 都大于14参考答案：A.3.如图13，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且AE ⊥EF ，则AF 的最小值为.ABCDE F图13参考答案：5.4.如图14，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE .若AD 平分∠OAE ，反比例函数y =k x ()k >0，x >0的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF ＝EF ，△ABE 的面积为18，则k 的值为.参考答案：12.5.已知，点M 为二次函数y =-()x -b 2+4b +1图象的顶点，直线y =mx +5分别交x 轴正半轴、y 轴于点A ，B .（1）判断顶点M 是否在直线y =4x +1上，并说明理由；A ，B ，且mx +x 的取值范围；（3）如图16，点A 坐标为A ()5，0，点M 在△AOB 内，若点C æèöø14，y 1，D æèöø34，y 2都在二次函数图象上，试比较y 1与y 2的大小.参考答案：（1）点M 在直线y =4x +1上.（2）x 的取值范围是x <0或x >5.（3）①当0<b <12时，y 1>y 2；②当b =12时，y 1=y 2；③当12<b <45时，y 1<y 2.6.在篮球比赛中，东东投出的球在点A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（建立如图17所示的直角坐标系），抛物线顶点为点B .（1）求该抛物线的函数表达式.（2）当球运动到点C 时被东东抢到，CD ⊥Ox 于点D ，CD ＝2.6m.①求OD 的长.②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E ()4，1.3.东东起跳后所持球离地面高度h 1()m （传球前）与东东起跳后时间t （s ）满足函数关系式h 1=-2()t -0.52+2.7()0≤t ≤1；小戴在点F ()1.5，0处拦截，他比东东晚0.3s 垂直起跳，其拦截高度h 2()m 与东东起跳后时间t （s ）的函数关系如图18所示（其中两条抛物线的形状相同）.东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E ？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，试说明理由.（直线传球过程中球运动时间忽略不计.）x A(图18D F E/参考答案：（1）y =-2()x -0.42+3.32；（2）①OD =1m ；②110<t 参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］刘金英，张义民.评价“有形”教育“无痕”：2017年中考“函数”专题命题分析［J ］.中国数学教育（初中版），2018（1/2）：57-65.［3］车宏路，于永生，刘伟，等.2018年中考“函数”专题命题分析［J ］.中国数学教育（初中版），2019（1/2）：47-53.［4］吴仲玲，张宗余.回归函数本质，彰显理性思维：2019年中考“函数”专题命题分析［J ］.中国数学教育（初中版），2020（1/2）：57-62.。

中考数学二次函数综合题赏析 知识精讲余丽 朱昌宝二次函数是初中数学的重点，也是初中数学与高中数学联系的纽带，它与代数、几何三角函数等知识都有密切的联系。

函数综合题是各地中考题的热点，它经常要运用一元二次方程的判别式，根与系数的关系等知识，解题过程中常渗透数形结合思想、整体思想等，解决好此类题，有利地增强学生的理解能力，在读题、建模、解模、答题等思维过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力。

一、与线段结合，求点的坐标例1（市海淀区）已知抛物线2m mx x y 2-+-=。

（1）求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点。

（2）若m 是整数，抛物线2m mx x y 2-+-=与x 轴交于整数点，求m 的值。

（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ，若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标。

分析：（1）略。

（2）方程m 为整数，当()42m +-为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点，解得m=2。

（3）m=2时，()11x x 2x y 22--=-=，顶点为A （1，-1）的抛物线与x 轴的交点O （0，0），B （2，0），设抛物线对称轴与x 轴交于1M ，则1M 点坐标为（1，0），可证△ABO 为等腰直角三角形，由B M A M 11=可得1M （1，0）。

若2M 在y 轴上，并设()y ,0M 2，由勾股定理可得()22222y 11y +=++解得1y =，可得符合条件的M （1，0）或（0，1）。

解：略。

点评：在第（2）小题中，难点是如何求m ，在第（3）小题中m 有两种情况，不能漏解，难点是根据勾股定理列方程。

二、与角结合求字母的值例2（某某省某某市）已知抛物线上A （-2，0），B （1，0），C （0，2）三点。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）在这条抛物线上是否存在点P ，使∠AOP=︒45，若存在，求P 点坐标，若不存在，请说明理由。

二次函数综合题型精讲精练主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题2例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的分析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．分析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=022 2（2）由y=﹣x+x=﹣（x﹣1）+，可得抛物线的对称轴为x=1，而且对称轴垂直均分线段OBOM=BMOM+AM=BM+AM连结AB交直线x=1于M点，则此时 OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，Rt△ABN中，AB===4，所以OM+AM最小值为．方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A对于这条直线的对称点A’，将点B与A’连结起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。

同理，我们也能够做出点B对于这条直线的对称点B’，将点A与B’连结起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。

应用的定理是：两点之间线段最短。

A AB BM或许MA’B’例2：已知抛物线C1的函数分析式为y ax2bx3a(b0)，若抛物线C1经过点(0,3)，方程ax2bx3a0的两根为x1，x2，且x1x24。

（1）求抛物线C1的极点坐标.（2）已知实数x0，请证明：x 1x1≥2,并说明x为什么值时才会有 2. x x（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后获取抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不一样点，且知足：AOB900，m0，n0.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数分析式。

分析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3＝－３a∴a＝１∴ｙ＝x2＋bx－３212且x1-x2＝４∵x＋bx－３=０的两根为x,x∴x1x2(x1x2)24x1x2＝４且b＜０∴b＝－２2２∴ｙ＝x－２x－３＝（x－１）－４（2）∵x＞０，∴x12(x1)20x x∴x 12,明显当x＝１时，才有x1 x2,x3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的分析式为：y＝x2∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）∵ΔAOB为Rt２２２∴OA+OB=AB２４２４２２２）２∴m＋m＋n＋n＝（m－n）＋（m－n 化简得：mn＝－１∵Ｓ1OA?OB=1m2m4?n2n4 =AOB22∵mn＝－１∴ＳAOB＝12m2n212m2122m2＝1(m1)21m11212m2m2∴ＳAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)∴直线OA的一次函数分析式为ｙ＝x方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x 1-x2|。

中考复习函数型应用问题题型分析初中阶段所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合。

类型之一、分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

例1：2013年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销。

为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农。

下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图。

请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平。

【分析】从函数图象容易看出前面一段是出台该项优惠政策前的情况，后面一段是出台该项优惠政策后的情况，前面一段所有的量已经知道，容易求出该果园共销售脐橙的重量，为后面一段的求值奠定了基础。

（1）政策出台前的脐橙售价为（2）设剩余脐橙为x吨,则103×（3×9+0.2）x=11.7×104该果园共销售了10 +30 = 40吨脐橙；（3）①设这个一次函数的解析式为y=mx+n(10≤x≤40)，代入两点（10，3）、（40，11.7）得：解得：函数关系式为y=0.29x+0.1(10≤x≤40)，②令y≥10.25(万元)，则10.25≤0.29x+0.1解得x≥35（吨）答：（1）原售价是3元/千克；（2）果园共销售40吨脐橙；（3）①函数关系式为y=0.29x+0.1(10≤x≤40)；②今年至少要销售35吨，总收入才达到去年水平。

中考数学题考点分析代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。

可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。

而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。

今天作者在这给大家整理了一些中考数学题考点分析，我们一起来看看吧!中考数学题考点分析1.在正比例函数时，x与y的商一定。

在反比例函数时，x与y的积一定。

在y=kx+b(k，b为常数，k≠0)中，当x增大m倍时，函数值y则增大m倍，反之，当x减少m倍时，函数值y则减少m倍。

2.当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

3.当b=0时，一次函数变为正比例函数。

当然正比例函数为特别的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合;当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行;当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交;当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y 轴上的同一点(0，b);当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像相互垂直。

5.两个一次函数(y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时(k≠0)，得到的的新函数为二次函数，该函数的对称轴为-(k2b1+k1b2)/(2k1k2);当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上;当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。

二次函数与y轴交点为(0，b2b1)。

6.两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比性函数，渐近线为x=-b/a，y=c/a。

一次函数公式性质有六大点，都是重要的不可忽视的知识。

中考数学题考点总结角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA(由余弦英文cosine简写得来)，即cosA=角A的邻边/斜边(直角三角形)。

中考数学反比例函数的命题分析与复习策略中考知识梳理1.反比例函数的概念反比例函数y=(k≠0中的是一个分式，自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点，y=也可写成y=kx-1(k≠0，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件。

2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=的图象时，应注意自变量x的取值不能为。

运用函数图象（草图即可），比较函数值的大小，根据自变量（或函数0值）的取值确定函数值（或自变量）的范围是非常有用的。

3.反比例函数图象性质图象分布象限；反比例函数增减性；反比例函数图象是关于原点成中心对称；反比例函数图象关于直线成轴对称。

4.反比例函数y=中k的意义注意:反比例函数y=(k≠0中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=(k≠0上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为│k│。

5.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.综观2007年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。

函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。

”1.反比例函数的基本题(江苏省淮安市例1．在函数中，自变量x的取值范围是（）。

A、x≠0B、x≥2C、x≤2D、x≠2分析：根据反比例函数y=(k≠0，自变量的取值范围,X-2≠0,得x≠2。

答案：D点评：此题考查的是基本概念，体现新课程注重双基。

(浙江台州例2．反比例函数图象上一个点的坐标是。

分析：按照要求写一对符合函数的有序实数。

答案：略。

点评：函数图象的点与符合函数的有序实数对一一对应，这是一道结论开放的填空题，新颖、独特，也让学生感受数学的灵动性，感受数学的无限魅力。

中考数学试题“函数”专题命题分析
函数作为初中数学最基本、最核心的内容之一，一直是中考命题的重要考点. 函数与发展学生的模型思想密切相关，初中数学有关函数的内容主要有函数基础知识及其图象、一次函数、二次函数、反比例函数四部分，基本考点涉及相关函数的图象、性质及应用，作为与实际问题联系十分紧密的知识，题目设计的背景常常与社会生活实际较为贴近. 无论是选择题、填空题，还是解答题，都有与函数有关的试题，题目不仅重视有效考查函数的基础知识、基本技能、基本思想方法，还越来越重视对学生探索创新能力和实践能力的考查. 许多省、市的中考压轴题也往往是函数综合问题.
与二次函数有关的压轴题，涉及的考点比较多，
题目形式主要有三类：第一类是由应用题引出的最值问题，第（1）小题往往是一次函数问题，第（2）小题是复合函数问题，得出一个二次函数关系式，再求最值，最值的取得需要考虑自变量的取值范围，有时是在顶点处取得最值，有时不是在顶点处取得；第二类是结合二次函数和一次函数的图象，与几何问题有关，这样的问题设计，第（1）小题通常为待定系数法求解析式，以及求对称轴、交点坐标、顶点坐标等，后面的问题通常是与多边形的周长、面积有关，往往涉及最值求解，最后通常是等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、特殊四边形的存在性等一些特殊情况的存在性问题，这也是最难的压轴性问题；第三类是与动态几何有关的综合问题，根据点的运动规律.。