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复数四则运算复数是一种普遍存在于数学中的特殊数据，它不但外表简单，而且具有深刻的数学内涵，可以成为数学文献研究的重要研究内容。
同时，复数的四则运算也是数学课堂中不可缺少的内容之一。
本文将论述复数的定义，并进一步阐述其四则运算的相关知识，为读者提供一份参考资料。
一、复数的定义复数，又称复数类型的数，是组合实数和虚数的组合体。
它可以以a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，值为-1.因此，复数可以认为是双重元素的组合，具有实数和虚数两部分构成。
二、复数的四则运算一、加法运算复数的加法运算规则如下：a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，即复数的加法运算是将实数部分和虚数部分分别进行加法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)+(1+2i)=(3+5i).二、减法运算复数的减法运算规则如下：a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，即复数的减法运算是将实数部分和虚数部分分别进行减法运算，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)-(1+2i)=(1+1i).三、乘法运算复数的乘法运算规则如下：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，也就是说，复数的乘法运算是将实数部分和虚数部分分别进行乘法运算，然后将乘法结果相加，得到新的复数结果。
例如：(2+3i)×(1+2i)=(-4+7i).四、除法运算复数的除法运算规则如下：1/(a+bi)=(a/[a2+b2])-(b/[a2+b2])i，也就是说，复数的除法运算是将实数部分和虚数部分分别进行除法运算，然后将除法结果相加，得到新的复数结果。
例如：1/(2+3i)=(-3/13)+(2/13)i.三、复数四则运算的应用复数的四则运算广泛应用于数学研究、物理实验和工程设计等多种领域。
除了可以求解数学问题外，复数运算还可以用于物理实验，例如电流和电压的实验，也可以用于工程设计，例如电路设计等。
复数的四则运算(3) 例题解析【要点梳理】１． 复数的除法法则：=++di c bi a ２． 特殊结论：=i 1 =-+i i 11 =+-i i 11【典型例题】例1． 已知i i ab b a b a b ab a 2382722222+-=+++++，求实数b a ,． 解析：可先由已知等式变形 左边＝abi b a abib a abi b a abi b a abi b a abi b a -+=++-+++=++-+))(()()(22 右边＝i i i i i i 65137865)23)(23()23)(827(-=-=-+-- 所以i abi b a 65-=-+由复数相等的定义知：⎩⎨⎧==+65ab b a解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3223b a b a 或 点评：本题解答是否简便关键在于采取的变形方法．例２．计算：（１）54)31()22(i i -+ （２）199********⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-i i i解析：（１）原式[]ωωωωω22242)2(23212)1(2312)1(325252254==--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i i i i i i 3123212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= （其中i 2321+-=ω） （２）原式＝2249499899899822212321)321(+⨯+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++i i i i i i i i i ii i i +-=+=12点评：代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质，i 2321±-=ω的性质及i ±1的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度．例３．已知,682i z +=求z z z 100163--的值． 解析：z i z z z z z z z z 164)6(164)8(1001610016222243-=--=--=--z200-= 又[])3(,)3(6822i z i i z +±=∴+±=+=Θ． 当,3i z +=i i i z z z z 206010)3(2003200200100163+-=--=+-=-=-- 当),3(i z +-=i i i z z z z 206010)3(2003200200100163-=-=+=-=-- 点评：对于复数计算题，尤其是对条件求值问题．正确的处理是先审清题意，选准正确的切入方向．。
学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。
7.2 复数的四则运算(精练)【题组一 复数的加减运算】1(2021·全国·高一课时练习)计算：①(12i)(34i)(2i)-+-+； ②(34i)(34i)+-； ③2(1i)+．2．(2021·全国·高二课时练习)计算下列各式的值. (1)5(32)i -+； (2)(45)3i +-； (3)0(45)i --.3．(2021·上海·高一课时练习)计算：(1)(13)(2)(23)i i i ++-++-； (2)(2)(15)(34)i i i ---+++； (3)()(34)5(,)a bi a bi i a b +--+∈R .【题组二 复数的乘除运算】1．(2021·云南·昆明一中)已知i 为虚数单位，则232021i i i i +++⋅⋅⋅+=( ) A ．i B ．i -C ．1D ．-12．(2021·广西南宁 )已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=( ) A ．34i + B ．43i + C ．36i +D ．63i +3．(2021·全国·高一课时练习)设复数z 满足1-1z z+=i 2 017,则|1+z|=( ) A ．0 B ．1 CD ．24．(2021·河南 )若z =246810122020z z z z z z z ++++++⋅⋅⋅+=( ) A ．0 B ．1i -C ．1i --D ．1i -+5．(2021·全国·高一专题练习)计算：1996=_______．=_______．6．(2021·天津四十三中高三月考)若z (1+i )=2i ，则复数z 的虚部为___________.7．(2021·上海)已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.8．(2021·全国·高一专题练习)计算：12112i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)50820028i +-⎝⎭．9．(2021·全国·高一课时练习)计算:(1)12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(2－i)(3+i);.10．(2021·全国·高一课时练习)计算：(1)()2020222i1i ++-⎝⎭；(2)22021i i i +++．【题组三 复数运算的应用】1．(2021·重庆一中 )设复数z 满足()1i 2z +=，i 为虚数单位，则z =( )A ．1B ．2C D2．(2021·广东顺德 )已知为i 虚数单位，复数1i12iz +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(2021·浙江 )已知复数z 满足()1i 2z +=，(i 为虚数单位)，则( ) A ．2z =B ．复数z 的共轭复数为1i z =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 是方程2220x x +=-的一个虚根4．(2021·浙江 )已知i 是虚数单位，若(2i)a +(1i)⋅+是实数，则实数a =( ) A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-15．(2021·浙江)若复数11iz =+ (i 为虚数单位)，则z =( ) A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i - D ．1i +6．(2021·浙江杭州)设()12i 3i z +⋅=+(i 为虚数单位)，则z =( )A B C ．3 D ．27．(2021·广东·蕉岭县蕉岭中学)设复数3i1iz +=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为( ) A ．()2,1- B ．()2,2- C ．()2,1 D ．()2,28．(2021·广东·福田外国语高中 )若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为( )A ．B ．C ．D ．9．(2021·广东湛江9)已知12i z =-+，则izz z -+=( ) A ．25i + B ．23i - C ．25i -+ D ．23i --10．(2021·甘肃·静宁县第一中学)在复平面内，复数10i3i +的共轭复数对应的点坐标为( ) A ．(1，3) B ．(1，3-)C ．(1-，3)D ．(1-，3-)11．(2021·福建·泉州科技中学)若1i Z =+，则20202021()()Z ZZ Z --+的虚部为( )A ．iB ．i -C ．1D ．1-12(2021·河南·温县第一高级中学 )已知复数z 满足12(1i)iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13(2021·福建·福州三中 )已知复数()202112i i z =+⋅，则z =( )A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +14．(2021·辽宁 )已知复数202120221i i i 11i 1-+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭z ，则z 的共轭复数z =( )A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --15．(2021·福建 )(多选)若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则( ) A ．1i y +的共轭复数为1i - B ．1xy = C ．|i |y +D ．32y x -=-16．(2021·河北邢台 )(多选)若复数z 满足i 2i z =-+(其中i 是虚数单位)，则( ) A ．z 的实部是2 B ．z 的虚部是2i C ．12i z =- D．|z |=【题组四 求根】1(2021·上海 )若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则( ) A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=2 ．(2021·全国·高一课时练习)若方程20x x m ++=有两个虚根,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为( ) A ．52B ．52-C ．2D ．2-3．(2021·全国· 专题练习)设α，β是实系数方程()22120x a x a -+++=的虚根，并且它们的立方是实数，求a 的值．4．(2021·安徽宣城·)已知复数2i(i z =-是虚数单位)是关于x 的实系数方程20x px q ++=根． (1)求,p q 的值； (2)复数i w p q =+，求复数34iw-的值．5．(2021·上海·)设虚数12z z 、满足212z z =，且12z z 、是一个实系数一元二次方程的两个根，求12z z 、．6．(2021·上海·)已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值及方程的另一个根．7(2021·江苏徐州·)已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位. (1)求z 和z ；(2)若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.8．(2021·全国·)在复数范围内解下列一元二次方程： (1)290x +=；(2)210x x -+=.9．(2020·全国·)在复数范围内解下列方程： (1)2450x x ++=； (2)22340x x -+=.10．(2020·全国·)若复数()()12i mi ++为纯虚数，其中i 为虚数单位，m R ∈ (1)求实数m 的值；(2)若用mi 为实系数方程()2220x a x a +-+=的根，求实数a 的值．【题组五 复数的综合运用】1．(2021·湖北·大冶市第一中学高一月考)(多选)下列命题中正确的有( ) A ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈；C ．若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =；D ．若复数z R ∈，则z R ∈．2(2021·湖北 )(多选)设1z ，2z 是复数，则( ) A ．1212z z z z -=-B ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若120z z -=，则12z z =D ．若22120z z +=，则120z z ==3．(2021·全国·专题练习(多选))设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =4．(2021·全国·高一单元测试)(多选)已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是( ) A ．若复数3i z =+，则13i 1010z =-. B ．复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=. C ．若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥. D ．复数3i 1z =-+的虚部是1.5．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.下列命题中正确的是( ) A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3 C ．若23z z =，则|z 1z 2|＝|z 1z 3| D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 26(2021·河南)已知复数42i()1iz m m +=+∈-R ，z 的共轭复数为z . (1)若1m =，求：z z ⋅；(2)若5z z z ⋅>，求m 的取值范围.7．(2021·河南)已知复数()i ,R z a b a b =+∈的共轭复数为z . (1)若2z =，求：z z ⋅；(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，且2i 2z z b b ++=+，求a 的取值范围.8．(2021·全国·高一课时练习)已知复数13i z m =-，212i z =+，m R ∈. (1)若12iz z +是纯虚数，求实数m 的值； (2)若1212z z z z +=-，求12z z -.9．(2021·全国·高一课时练习)已知复数z1满足(2+i)z1＝3+4i，z2＝m﹣i，其中m∈R，i为虚数单位. (Ⅰ)求z12；z+z2|＜2|z1|，求实数m的取值范围.(Ⅱ)若|110．(2021·全国·高一课时练习)已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i，求:(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积.。
