苏教版数学高二-选修2-2导学案 3.2《复数的四则运算》(1)

3.2 复数的四则运算(1)【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则： (2)复数的减法法则:： (3) 两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为 =z =±21z z4．复数的代数形式的乘法运算法则5．乘法运算律：对任何C z z z ∈321,,，*∈N n m ,有=21z z =321)(z z z =+)(321z z z =n m z z =n m z )( =n z z )(216．几个特殊结论：（1）=+14n i =+24n i =+34n i =n i 4(2)如果i 2321+-=ω,则ω= =2ω =3ω =++21ωω =ωω =2ω(3)=+2)1(i =-2)1(i【典型例题】例1． 计算：50325032i i i i ++++例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值．例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．例4．求i 3016+-的平方根．★ 基础训练★1．已知：,21iz -=则150100++z z 的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．=---+-6)2321)(2321)(2321(i i i （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．以上全不对3． 已知复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．43- 4．当复数+-=+=2,3121z i z i 时，=+21z z +i 8，+-=-312z z i ． 5．,1)(,5,3221z z f i z i z -=-=+=则=-)(21z z f ．6．已知集合}{C z z z w w P ∈+==,，{}C z z z w w Q ∈-==,，则=⋂Q P 7．(12)(23)(34)(20062007)i i i i ---+----= 8．32121232++--+++n n n n i i i i = ．9．已知复数,230i z +=复数z 满足,300z z z z +=⋅则复数=z ．10．复数),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==，且321,,z z z 成等比数列，则=2z11．164-x 分解成一次式的乘积为 ．12．已知,,R y x ∈复数xi y x 5)23(++与复数18)2(+-i y 相等，求y x ,．13．设,R m ∈复数,)3(2,)15(2221i m m z i m m m m z -+-=-+++=若21z z +是虚数， 求m 的取值范围．。

第2课时复数的四则运算(1)教学过程一、问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以依据实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+b i,z2=c+d i,则z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+b i)-(c+d i)=x+y i(x,y∈R),即复数x+y i为复数a+b i减去复数c+d i的差.由规定,得(x+y i)+(c+d i)=a+b i,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+b i,依据复数相等定义,得即故(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+b i,z2=c+d i,得z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.问题4学校学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解(a+b)(c+d)=ac+ad +bc+bd ··=(ac+2bd)+(ad+bc).由于a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数,当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+b i)(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(由于i2=-1,所以才能合并)由于a,b,c,d∈R,所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法依据以下的法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积照旧是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及支配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1;(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的方法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+b i 的共轭复数是什么?特殊地,实数a的共轭复数是什么?解=a-b i;实数的共轭复数是它本身.三、数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见同学用书P55)[处理建议]类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.[规范板书]解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.[题后反思]不要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i).[规范板书]解法一原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004)i=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.解法二由于(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…(2001-2002i)+(-2002+2003i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见同学用书P56)[处理建议]3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.[规范板书]解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.[题后反思]也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+b i)(a-b i).[3](见同学用书P56)[处理建议]类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.[规范板书]解原式=a2-(b i)2=a2+b2.[题后反思]在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(1)x2+4;(2)x4-4.[规范板书]解(1)x2+4=(x+2i)(x-2i).(2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则=-3+i.[4][处理建议]先进行乘法运算,然后依据共轭复数的定义求出结果.[规范板书]解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.[题后反思]认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.[5][处理建议]这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.[规范板书]解设z=a+b i(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-b i)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.[题后反思]待定系数法解复数方程.。

Word 文档仅限参照教课目的：1．掌握复数的除法及乘方运算法例及意义．2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．教课重点：复数乘方运算．教课难点：复数运算法例在计算中的娴熟应用．教课方法：类比研究法．教课过程：一、复习回首1．复数的加法 ,减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：z＝ a＋bi 与z＝a－bi互为共轭复数；实数的共轭复数是它自己；共轭复数的简单性质：z＋ z＝2a ； z－ z＝2bi ； z z＝a2＋b2．二、建构数学乘方运算法例： z,z1,z2∈C及 m,n∈N*．（ 1）m n m＋ n（ 2）(m ) n mn n n nz z＝z z＝z（） ( z1z2 ) ＝ z1 z2．3除法运算： z2＝c＋di≠0,＋＋－＋bd2－ad2 i ．a bi ＝ (a bi)( c di)＝ac2＋bc2c＋ di(c＋di)( c－ di) c ＋ d c ＋ d三、数学应用例 1 计算2－i．3－ 4i2－ i解解法一设＝x＋yi,即(3－4i)( x＋yi)＝2－i；Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照因此＋＝因此x＝2因此2－i＝2＋1i3x 4 y 25－＝－1－3 4i 5 53y 4 x1y＝5例 4设＝－1＋3求证：（）＋＋2＝0（ 2）3＝．22i,111证明（ 1）2＝(－1＋3i)2＝－1－3i 2222因此 1＋＋2＝1－1＋3i －1－3i＝0 2222（ 2）2＝(－1＋3i)2＝－1－3i 2222因此3＝2＝(－1＋3i)(－1－3i)＝1 2222思虑写出 x31在复数范围内的三个根？＝－1＋3i＝－1－3i22222结论 421＋＋,＋＋＝＝013＝13＝122＝＝四、稳固练习课本 P117 练习第 2, 3 题．Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照五、重点概括与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法例和运算律．2．复数的除法法例和运算律．3．几个常用的结论．Word 文档仅限参照。

某某中学西区高二数学教案（ ）
主备人
胡广宏 授课人 授课日期 课题 §复数的四则运算 课型 新授
教学目的：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程
备课札记 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z1,z2,z3
∈C 及m,n ∈N*有:
zmzn=zm+n,
(zm)n=zmn,
(z1z2)n=z1nz2n.
例2:设1322i ω=-+
,求证:
(1)
2310,(2)1ωωω++==
2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi
除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi
a ++
3.除法运算规则：
①设复数a+bi(a ，b ∈R)，除以c+di(c ，d ∈R)，其商为x+yi(x ，y ∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx －dy)+(dx+cy)i.
∴(cx －dy)+(dx+cy)i=a+bi.。

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算（2）编写人： 编号：003学习目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。

2、能运用运算律进行复数的四则运算。

学习过程：一、预习：1、复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：2.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++ 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法练一练：计算： ii 432--例5、例6. ⑴、已知复数z 的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.例1.计算(12)(34)i i +÷-.,34)21(.2z i z i z 求满足复数例+=⋅+。

3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。

复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。

复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。

• §3.2复数的四则运算（一）一． 教学目标1．理解复数代数形式的四则运算法则； 2. 能运用运算律进行复数的四则运算。

二． 重点、难点重点：了解复数的四则运算是一种新的规定，不是多项式运算法则合情推理的结果； 掌握复数代数形式的四则运算法则；难点：理解复数代数形式的四则运算法则；会应用法则解方程、因式分解等。

三． 知识链接实系数一元二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++根与判别式∆的关系四． 学习过程（一）自主学习，合作探究阅读课本第106~109页，完成下列问题：在引入虚单位i 的过程中，规定．．i 与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算， 在对复数的加法进行运算时，又作一次新的规定．．．．。

1. 规定．．bi a z +=1，di c z +=2，则1z +2z = = 2.规定．．：若bi a yi x di c +=+++)(）（，则记作)()(di c bi a yi x +-+=+。

由复数相等的定义知b y d a x c =+=+,，即x = ，y = ，从而记bi a z +=1，di c z +=2，得21z z -= = 3.规定．．bi a z +=1，di c z +=2，则21z z = = 4.试验证复数的乘法满足交换律、结合律、分配律。

5.规定．．：若）（）（0)(≠++=++di c bi a yi x di c ，则=+yi x 6.由复数的四则运算法则可知，两个复数进行四则运算的结果仍为7.复数bi a z +=的共轭复数z = ，特别的，实数a 的共轭复数是8．规定．．：复数的乘方是相同复数的积，即2)())((bi a bi a bi a +=++，3)())()((bi a bi a bi a bi a +=+++等。

根据复数乘法的运算律，容易验证：C z z z ∈21,,，且+∈N n m ,时，有n m z z = ，nmz )(= ，n z z )(21= 。

2019-2020学年高中数学 3.2复数的四则运算导学案1苏教版选修
2-2
【学习目标】
知识与技能：掌握复数的乘法运算及意义；
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实
部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。

【学习重点】复数乘法、除法运算。

【学习难点】复数乘法、除法运算。

【学习流程】
复习回顾
复数的加法、减法运算法则
重点点拨：
1．复数乘法运算律：
2．除法运算的运算律：
3．共轭复数及其性质：
诱思讨论1：怎样判断一个复数是实数？
诱思讨论2：的变化有怎样的规律？
例题分析
例1．已知复数，求实数使。

变题：复数满足，求。

例2．求值：。

例3．已知，求的值。

巩固练习
设复数满足（是虚数单位），则的实部为____。

2．若复数其中是虚数单位，则复数的实部为____________________。

3．表示为，则=_______________。

5．设，（i为虚数单位），求的值。

课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？笔记栏：
学后反思。

3．2 复数的四则运算二、预习指导1．预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算．2．预习提纲(1)复数四则运算法则：①加法法则：______________ ；②减法法则：______________ ；③乘法法则：______________ ；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗?④除法法则：______________ ．(2)复数的正整数指数幂的运算律：① ____________________ ；② ____________________ ；③ ____________________ ．(3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为________；_____数的共轭复数仍是它本身．(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习．(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2＋y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较．3．典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算．复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆．例1 计算(2＋3i)＋(4－5i)－ (－2－i)的值．解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i．(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：(i)(i)()()i a b c d ac bd bc ad ++=-++乘法运算律：1221123123(1);(2)()()z z z z z z z z z z ==；(3)1231213()z z z z z z z +=+；(4)m nm nz z z+=；(5)()m n mn z z =；(6)1212()m m nz z z z =例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(12-)3；)6＋)6． 分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用n i 化简后， 在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理． 解：(1)原式=(11－2i)(－2＋i)=2015i -+；(2)原式=331(1)(2--+= －1；(3)原式=661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦＋661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦= －2． 点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：①i 的周期性：i 4n ＋1=i ；i4n ＋2= －1；i4n ＋3= －i ；i 4n=1(n Z ∈)；②若12ω=-，则=ω212--，=ω31，1＋=ω+ω20．(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数．共轭复数的性质：① z z =；② 1212z z z z ±=±；③ 对于复数z ，z 是实数z z ⇔=；④ 若z 为纯虚数，则0z z +=．例3 已知复数22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数，求m 的值． 分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数． 解：由22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数得：2212,(13).m m m m ⎧+=⎪⎨+=--⎪⎩解得：1,1.m m =±⎧⎨=⎩从而m =1． 即m =1时，12,z z 是共轭复数．点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数．例4 已知f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，求f (－z )的值．分析：先利用f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，得到复数z 满足的等式，然后设z =a ＋b i(,a b R ∈)，利用复数相等得到关于实数a ，b 的方程组，解方程组即可． 解：f (z ) = 2z ＋z －3i ，∴ f (z ＋i )=2()()3z i z i i +++-=22z z i +-．又f (z ＋i )=6–3i ，∴22z z i +-=6– 3i ，即2z z +=6－i ． 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，∴2()()6a bi a bi i -++=-，即3a －bi =6－i ．由复数相等的定义知：36,1.a b =⎧⎨-=-⎩解得：2,1.a b =⎧⎨=⎩∴z =2＋i ．∴ f (－z )=2(－2－i )＋(－2＋i )－3i = －6－4i ．点评：本题中要求f (－z )的值关键先求出z ，求复数z 时通常设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．(5)复数的除法满足(c ＋di )(x ＋yi )=(a ＋bi )的复数x ＋yi (x ，y ∈R )叫复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商，记为：(a ＋bi )÷(c ＋di )或者dic bia ++． 一般地，我们有di c bi a ++=22)(b a i ad bc bd ac di c di c di c bi a +-++=--⋅++=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++． 例5 已知2222227832a ab b a b ia b abi i+++-=+++，求实数a ，b ．分析：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到．因此我们先得将已知等式变形．解：已知左边=22()()[][]a b abi a b abi a b abi a b abi a b abi+-+++-=++++=()a b abi +-，右边=(278)(32)657856(32)(32)13i i ii i i ---==-+-，所以()a b abi +-=5－6i ．由复数相等的定义知：532623a b a a ab b b +==⎧⎧⎧⎨⎨⎨==⎩⎩⎩=解得或= 点评：该例解答是否简便关键在于采取的变形方法．表面上看对已知等式作如下的变形：2222(2)(32)()(278)a ab b a b i a b abi i ++++=++-，再施行复数运算较为简便．但事实上不如上述解答简捷．这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a ，b 对称的式子，因此就得到如此简捷的解法． 4．自我检测(1)(1－2i)–(2–3i)＋(3–4i)－…＋(2007－2008i)=______________． (2)已知复数,230i z +=满足0035,z z z z +=-则复数z = ______________． (3)设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =______________． (4)复数()221i i +=______________． (5)复数32(1)i i +=______________． 三、课后巩固练习A 组1． 若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=_______. 2． 计算:ii+-13=_______(i 为虚数单位). 3． 若复数z 满足1iz i =+,则z =_______.4． 设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-,则a b +的值为____. 5． 若复数z 满足(2)z i z =-，则z =______________． 6．已知2()2a i i -=，那么实数a =______________．7．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =______________．8．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，则22b a +=______________．9．)2321(i +-)2321(i --)2321(i -6=______________．10．设,,,,a b c d R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是______________． 11．设复数：z 1=1＋i ，z 2=x ＋2i (x ∈R )，若z 1 z 2为实数，则x = ______________． 12．若复数z 满足方程220z +=，则3z =______________．13．416x -分解为一次式的乘积为______________．14．复数－7＋24i 的平方根为______________．15．已知复数z 满足3i )z ＝3i ，则z =______________．16．已知复数1z i =-，则21z z =-______________．17．11ii+-表示为a ＋bi (a ，b ∈R )，则a ＋b = ． 18．计算：(1)31()i i -； (2)(2)12i i i +-； (3)1＋22i；(4)(1)(12)1i i i -++； (5) 201311⎪⎭⎫⎝⎛-+i i ； (6)()()221111iii i -+++-；3； (8)3123i i ++；19．计算： (1) (1－i )＋(2－i 3)＋(3－i 5)＋(4－i 7)；(2) (22－22i )2＋(22＋22i )2； (3) (a ＋bi )(a －bi )(－a ＋bi )(－a －bi )．20．计算： (1)ii i 1212++；(2)1i i + (3)212i i-+-+． B 组21．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是______________． 22．已知z =，则z 100＋z 50＋1=______________．23．i 1i 2i 3i 4…i2001= ，(1－i )11的实部为 ，)2321(i +-2001的虚部为 ．24．已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a =______________． 25．复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a为_____ ．26．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，则z 的实部是_________．27.已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-，复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，则2z =———．28．复数11212i i+-+-的虚部是______________． 29．若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为______________． 30．已知11mni i=-+，其中m ，n 是实数，则m ni +=___________． 31．复数11z i=-的共轭复数是______________．32．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=____________ ． 33．若i z i1+2=，则复数z =__________ ．34．设z 1=2＋3i ，z 2=4－5i ，则2121z z z z -= ______________． 35．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz ，则z =______________． 36．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z =4，z ·z ＝8，则zz=______________． 37．设211z z iz =-，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 ．38．若f (z )=z ，z 1=3＋4i ，z 2=－2＋i ，则)(21z z f -的值为______________． 39．设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，求x y +的值． 40．已知x ，y ∈R ，复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18)2(+-i y 相等，求x ，y 的值． 41．已知复数z =1＋i ，求实数a ，b ，使22(2)az bz a z +=+．42．已知1(3)(4)z x y y x i =++-，2(42)(53)z y x x y i =--+(,)x y R ∈．设12z z z =-，且132z i =+，求12,z z ．C 组43．已知12()1,23,5,f z z z i z i =-=+=-求12()f z z -．44．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i )t ＋2xy ＋(x －y )i =0(x ，y ∈R )． (1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程； (2)求方程实根的取值范围．45．求同时满足下列两个条件的所有复数： (1)10z z +是实数，且1＜10z z+≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数． 46．设z 为虚数，1w z z=+是实数，且－1＜w ＜2，若设z =a ＋bi (b ≠0)． (1)求a 2＋b 2的值，及a 的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；(3)求w－u2的最小值．五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2＋(a＋bi)x＋(c＋di)=0有实根的充要条件是什么?下面是某同学给出的解法：由题意知x∈R，且x2＋ax＋c＋(bx＋d)i=0，∴20,(1)0.(2) x ax cbx d⎧++=⎨+=⎩由(2)得dxb=-，代入(1)得d2－abd＋b2c=0．以上解法是否正确?请给出你的评价．3.2 复数的四则运算（1）1004-1005i （2）9+6i （3）-1 （4）-4 （5）21.(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+=2.i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-3.1i -4.由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=a b ，,=8a b +5．1+i 6．-1 7．-1 8．5 9．1 10．ad +bc =0 11．-2 12．i 22± 13．(x +2)(x -2)(x +2i )(x -2i )14．3+4i 或-3-4i 15．34 16．2 17. 1 18．(1) -8i (2) -1 (3) -1 (4) 2-i (5) i (6) -1 (7) i (8)1710i+ (9) i 19．(1)10；(2)0；(3)(a 2+b 2)220．(1)i ；(2)12i-；(3) 0 17．0 22．-i 23．i ，-32，0 24．1 25.2 26.1 27.1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ 28．15 29．38 30．2+i 31．1122i - 32．i - 33． i 2+ 34．44i 35．i -136．±i 37．1 38．5+3i39．解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x yi i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4.40．x = -2，y =12 41．2,1,a b =-⎧⎨=-⎩或4,2,a b =-⎧⎨=⎩42．z 1=5-9i ，z 2=-8-7i 43． 4-4i 44．(1)设实根为t ，则t 2+2t +2xy +(t +x -y )i =0，根据复数相等的充要条件，得t 2+2t +2xy =0，且t +x -y =0.消去t 得：(x -1)2+(y +1)2=2；(2)所求点的轨迹是以(1,-1)t=y-x 与圆有公共点，≤-4≤t ≤0.45．设,,z x yi x y Z =+∈，则222210101010()x y z x yi x y i z x yi x y x y+=++=++-+++， 因为10z z +为实数，所以2210y y x y-+=0，所以y =0或x 2+y 2=10.当y =0时，1010z x z x +=+，因为1010x x x x+≥+≤-或 又1＜10z z+≤6，所以y =0不合题意. 当x 2+y 2=10时，1010210x z x x z +=+=，所以1＜2x ≤6,又因为x ∈Z ,所以x =1,2,3 分别代入检验，得z =1±3i ，或z =3±i . 46．(1)222211()()a b w z a bi a b i z a bi a b a b =+=++=++-+++, 因为-1＜w ＜2，所以w 为实数，所以220bb a b-=+， 又因为b ≠0,所以a 2+b 2=1.此时w =2a ∈(-1,2),所以1(,1)2a ∈-.(2)221(1)[(1)][(1)]1(1)(1)1z a bi a bi a bi bu i z a bi a b a-----+-====-++++++, 因为b ≠0，所以u 是纯虚数.(3)222222112()222(1)311(1)(1)b b a w u a i a a a a a a a -⎡⎤-=--=+=+=++-⎢⎥++++⎣⎦因为1(,1)2a ∈-，所以11(,2)2a +∈，所以1(1)21a a ++≥+， 当且仅当a =0时取等号，所以w -u 2的最小值为1.。

_3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc ＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ， z 2z 1＝(c ＋d i)(a ＋b i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. 故z 1z 2＝z 2z 1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1]计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2 ＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .[思路点拨] 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i (a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1. ∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数，∴由 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1 或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋b i看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝⎛⎭⎫2－12i ＋⎝⎛⎭⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i ； (3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ；(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z . 解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i.。

复数的四则运算（一）导学案1.复习巩固（1)复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？(2)若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？(3)计算：2()a b ±= (32)(32)a b a b +-= (32)(3)a b a b +--=2.复数的加法运算 （1）设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么()()()()a bi c di a c b d i +++=+++ 很明显，两个复数的和仍然是 .（2）问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z +=+ ； 123123()()z z z z z z ++=++（3）试试：计算（1）(14)(72)i i +-+= （2）(72)(14)i i -++=（3）[(32)(43)](5)i i i --++++= （4）(32)(43)(5)]i i i --++++[= 反思：复数的加法运算即是：3.复数的减法运算类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.复数的减法法则为： ()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.4.复数代数形式的乘法运算（1）复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=___________________即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？（2）试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[（3）新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z ⋅=⋅ ；123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ ； 1231213())z z z z z z z +=+5.共轭复数（1）当两个复数的____相等，____互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

高二数学讲义（40）复数的运算（一）【教学目标】1.理解并掌握复数的代数形式四则运算及其运算法则.2.理解加法与减法，乘法与除法的关系.3.掌握共轭复数的概念及性质.【知识构建】1.复数相等2.复数的加法法则(a +bi )+(c +di )=复数的减法法则(a +bi )-(c +di )=复数的乘法法则(a +bi )(c +di )=复数的除法法则 a bi c di+=+ 3.复数运算满足的运算律4.共轭复数的概念【典型例题】例1.计算（1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）(12)(34)(2)i i i -+-+（3）1234i i +- （4）ii i i 4342)1)(41(++++-例2.(1)求复数11z i =-的共轭复数.（2）设122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.例3.已知132w =-，求w ，234,,w w w 的值.高二数学课后作业（40）班级: 姓名: 学号： 1.0z z +=是z 为纯虚数的 条件2.设z =3+i , 则z1等于 3.aib bi a ai b bi a +-+-+的值是 4.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 5.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________, y =___________ 6.已知222(32),()x x x x i x R +-+-+∈与420i -互为共轭复数，则x =7.已知x.y ∈R ，22(2)3(1)x x y x i x y i +++-+和是共轭复数，求复数z ＝x ＋yi 及z .8.已知221,1,,1z az b z i i a b R z z ++=+=-∈-+，求,a b 的值.9.已知椭圆的两个焦点12,F F 在x 轴上，以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程10.如图，,',A A B 分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为焦点F ，且',105AB OP FA =-平行于，求椭圆的方程A 'F y xP O B A11.求曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离.。

3．2 复数的四则运算(一)1.理解复数加(减)法和乘法运算法则并会运用，理解共轭复数的概念． 2．掌握复数的加、减法与乘法的运算法则，并能熟练地进行复数运算．1．复数加、减法及运算律 (1)复数加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d 均为实数)是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行：(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，即：两个复数相加就是把实部、虚部分别相加； 复数的减法按照以下的法则进行： (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ，即：两个复数相减就是把实部、虚部分别相减． (2)复数加法满足的运算律 对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．(3)复数的减法是加法的逆运算，并且加法和减法互为逆运算． 2．复数的乘法及运算律 (1)复数乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，复数的乘法按照以下的法则进行：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. (2)复数乘法的运算律 对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数(1)我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． (2)复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i ．(3)当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，有z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身． (4)共轭复数的性质：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是任意一个复数，则： ①z ＋z －＝2a ； ②z －z －＝2b i ；③z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的和、差、积都是复数．( )(2)两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．( ) (3)任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．( )(4)两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，复数z 2＝3－4i ，那么z 1＋z 2等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i答案：B3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝________．解析：因为z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，所以z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3－i 2＋2i ＝4＋2i. 答案：4＋2i4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，实数y ＝________．解析：由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.答案：－1 1复数的加减法运算计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)原式＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i ； (2)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i ；(3)原式＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i.(1)复数的加减运算就是复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，然后写成a ＋b i(a ，b ∈R )形式，相当于把i 看作字母的多项式来合并同类项．(2)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，则从左到右依次进行，注意防止符号错误．(3)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部、虚部分别相加．当算式中的字母不能确定为实数时，可将其设为x ＋y i(x ，y ∈R )形式，再进行运算． 1.计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；(2)(－1＋2i)＋(1－2i)． 解：(1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(－1＋1)＋(2－2)i ＝0.2．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i.复数的乘法运算计算：(1)(1－i)2； (2)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (3)(－5＋8i)(2－3i)；(4)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)． 【解】 (1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i. (2)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(3)(－5＋8i)(2－3i)＝(－5×2＋8×3)＋(8×2＋5×3)i ＝14＋31i.(4)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.复数的乘法运算可以按照多项式的乘法运算进行，再将i 2＝－1代入，三个或三个以上的复数相乘可按从左向右的顺序运算或利用结合律运算．3.设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，求x 的值． 解：因为z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x －2＋(x ＋2)i ∈R ， 所以x ＋2＝0， 所以x ＝－2.共轭复数的应用(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i(2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i)z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.(1)只有实部相等，虚部互为相反数的两个复数才是共轭复数，如3＋4i 与2－4i 不是共轭复数．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用这个性质可以证明一个复数是实数． (3)共轭复数包括共轭实数和共轭虚数，当z ＝a ＋b i 时，z ·z －＝a 2＋b 2，反过来，当a ，b ∈R 时，不仅a 2－b 2＝(a ＋b )·(a －b )(平方差公式)，而且a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，即a 2＋b 2能进行因式分解．(4)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质可以证明一个复数是纯虚数． 4.设z 1、z 2∈C ，A ＝z 1·z －2＋z 2·z －1， B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2，问A 与B 是否可以比较大小？为什么？解：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z －1＝a －b i ，z －2＝c －d i ，所以A ＝z 1·z －2＋z 2·z －1 ＝(a ＋b i)(c －d i)＋(c ＋d i)(a －b i)＝ac －ad i ＋bc i －bd i 2＋ac －bc i ＋ad i －bd i 2 ＝2ac ＋2bd ∈R ，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2∈R ， 所以A 与B 可以比较大小．1．对复数加、减、乘法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.(4)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2．共轭复数的性质对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，有 ①z ＝z =；②z ∈R ⇔z ＝z －；③非零复数z 是纯虚数⇔z ＋z －＝0； ④z ＋z －＝2a ，z －z －＝2b i ； ⑤z 1±z 2——＝z －1±z －2； ⑥z 1·z 2——＝z －1·z －2； ⑦⎝⎛⎭⎫z 1z 2—＝z 1－z 2－(z 2≠0)．已知f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，求f (－z )． 【解】 因为f (z )＝2z ＋z －－3i ， 所以f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋z －＋i ——－3i ＝2z －＋2i ＋z －i －3i ＝2z －＋z －2i. 又知f (z －＋i)＝6－3i ， 所以2z －＋z －2i ＝6－3i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ，即3a －b i ＝6－i ，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，－b ＝－1.解得a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i ，故f (－z )＝f (－2－i) ＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i.当z ∈C 时，f (z )为复数函数，与函数f (x )在实数范围内进行运算类似；f (z )的解析式应在复数范围内进行运算，这里在将z －＋i 代替f (z )解析式中的z 后用到了共轭复数的性质：z 1＋z 2——＝z －1＋z －2.从而z －＋i ——＝z －i ，此为第一个关键点，此处因性质不熟造成失分．设出复数z ＝a＋b i(a ，b ∈R )是将复数问题转化为实数问题的常用方法，此为本题第二个关键点．所用复数相等条件求出a ，b 达到求出复数z 的目的．求f (－z )仍然要借助函数解析式进行复数运算，可能因运算失误造成失分．1．(5－i)－(3－i)－5i 等于( ) A ．5i B ．2－5i C ．2＋5iD ．2解析：选B ．(5－i)－(3－i)－5i ＝5－i －3＋i －5i ＝2－5i. 2．i 是虚数单位，则i(1＋i)＝________． 答案：－1＋i3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为________．答案：－3，－44．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．解析：因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 答案：21[A 基础达标]1．已知复数z 1＝－2－i ，z 2＝i ，i 是虚数单位，则复数z 1－2z 2＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．1＋2iD ．－2－3i解析：选D ．因为z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1－2z 2＝－2－i －2i ＝－2－3i. 2．设a ，b ∈R ，z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i解析：选D ．由⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 所以a ＋b i ＝－2－i.3．复数z ＝i(1＋i)2(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－2 B ．2 C ．2iD ．－2i解析：选A ．因为z ＝i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ·2i ＝－2，所以z －＝－2. 4．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( ) A ．－2 B ．－12C ．12D ．2解析：选D ．因为(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i 是纯虚数，所以b ＝2. 5．已知i 是虚数单位，若(m ＋i)2＝3－4i ，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．±2 C ．± 2D ．2解析：选A ．(m ＋i)2＝(m 2－1)＋2m i ＝3－4i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝3，2m ＝－4，解得m ＝－2，故选A ．6．已知复数z 满足z －＋1＋2i ＝10－3i ，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a －b i ＋1＋2i ＝10－3i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝10，2－b ＝－3，所以a ＝9，b ＝5.所以z ＝9＋5i. 答案：9＋5i 7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d )＝(a ＋d )－(c ＋b )，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－2i 1－i )＝0的复数z ＝________．解析：由定义得z ＋(1－i)－(1＋2i ＋1－2i)＝0，所以z －1－i ＝0.所以z ＝1＋i. 答案：1＋i8．已知复数z 1＝⎝⎛⎭⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________．解析：z 1＝⎝⎛⎭⎫12－32i (1＋i)＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 因为z 1·z 2∈R ，所以a ＝4，所以z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i 9．计算：(1)(－2＋3i)－[(3i －2)－(3＋2i)]＋(－2i ＋3)； (2)(1－2i)(2＋i)(3－4i)；(3)(1＋2i)(3＋4i)＋(3－4i)(4－5i)＋(5＋6i)(6－5i)．解：(1)原式＝(－2＋3＋2＋3)＋(3－3＋2－2)i ＝2 3. (2)原式＝(2－2i 2－4i ＋i)(3－4i)＝(4－3i)(3－4i)＝12＋12i 2－9i －16i ＝－25i.(3)原式＝(3－8)＋(6＋4)i ＋(12－20)＋(－16－15)i ＋(30＋30)＋(36－25)i ＝(－5－8＋60)＋(10－31＋11)i ＝47－10i.10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2且z －＝13＋2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 所以z －＝(5x －3y )－(x ＋4y )i. 又z －＝13＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.[B 能力提升]1．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________． 解析：z 2－2z ＝(z －1)2－1＝(2i)2－1＝－3. 答案：－32．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z －＝________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则(x ＋y i)(1＋i)＝1－i ， 即(x －y )＋(x ＋y )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，所以z ＝－i ，z －＝i. 答案：i3．已知z ＝1＋i ，z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：因为z ＝1＋i ，所以z 2＝2i ，z 2－z ＋1＝i ， z 2＋az ＋b ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i ， 所以z 2＋az ＋b ＝(1－i)i ＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.4．(选做题)已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b 使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 对应得b 1＝－1，b 2＝2. 所以所求实数为a ＝－2， b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.。

教学目标：1．掌握复数的加减法及乘法运算法则及意义；理解共轭复数的概念．2．理解并掌握实数进行四则运算的规律．教学重点 ：复数乘法运算．教学难点：复数运算法则在计算中的熟练应用．教学方法：类比探究法．教学过程：复习复数的定义，复数的分类及复数相等的充要条件等上节课所学内容．一、问题情境问题1 化简：(23)(1)x x ＋＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋＋－＋吗？ 问题2 化简：多项式(23)(1)x x ＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋－＋吗？ 问题3 两个复数a ＋b i ，a －b i 有什么联系？二、学生活动1．由多项式的加法类比猜想(23)(1)x x ＋＋－＋＝1＋4i ，进而猜想(i)(i)()()i a b c d a c b d ＋＋＋＝＋＋＋．若()i (i)i x y c d a b ＋＋＋＝＋，根据复数相等的定义，得i ()()i x y a c b d ＋＝－＋－．2．由多项式的乘法类比猜想(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i ，进而猜想(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．3．两个复数a ＋b i ，a －b i 实部相等,虚部互为相反数．三、建构数学复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ．复数和的定义：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ．复数差的定义：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．复数积的定义：z 1z 2＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．性质：z 2z 1＝z 1z 2； (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)； z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身． 共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．四、数学应用解 a 2＋b 2．思考1 当a ＞0时，方程x 2＋a ＝0的根是什么？解 x ＝±a i ．思考2 设x ，y ∈R ，在复数集内，能将x 2＋y 2分解因式吗？解 x 2＋y 2＝(x ＋y i) (x －y i)．五、巩固练习课本P115练习第3，4，5题．六、拓展训练例4 已知复数z 满足：2i 42i z z z -⋅⋅＋＝＋ ，求复数z ．七、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．复数的加减法法则和运算律．2．复数的乘法法则和运算律．3．共轭复数的有关概念．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。