人教A版高中数学《复数的四则运算》专家课件-ppt1

z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,

即 z· z ＝|z|2＝|z |2＝|z2|
这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个 性质.
二、复数的除法
复数除法的法则
（a+bi）÷（c+di）＝ ac bd + bc ad i（a，b，c，d
c2 d 2
c2 d 2
∈R，且c+di≠0）.
说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）÷
x y
2，1，∴
点D对应的复数为2-i.
训练题 4［2019·广东深圳高级中学高二期末］在复平面内，
O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，
那么 BC 对应的复数为
.
4.答案： 4-4i 解析：∵ BC ＝-（ OA - OC + AB ），∴ BC 对 应的复数为-［-2+i-（3+2i）+（1+5i）］＝-［（-2-3+1） +（1-2+5）i］ ＝-（-4+4i）＝4-4i.
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
学习目标
1.能进行复数代数形式的四则运算. 2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形 结合”的思想解题.
重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几 何意义. 难点：复数减法的运算法则.
知识梳理
一.复数的加法
1. 复数的加法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的 和 （a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i. （1）两个复数相加，类似于两个多项式相加. （2）复数的加法满足交换律、结合律. （3）复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形. 2.复数加法的几何意义

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2．(1)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)复数 z＝3－14－i1i＋4 i2(其中 i 是虚数单位)，则 z·－z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)由已知得 4a＋(a2－4)i＝－4i，
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且___b_＝__d___(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝___0_ (a，b∈R)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算 把复数化为 a＋bi 的形式，然后从定义出发，把复数问题 转化为实数问题来处理．
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)表示－z 的点与表示 z 的点关于实轴对称， 所以表示－z 的点为 B. (2)根据题意，画出示意图：
①因为 AD ＝ BC ＝ AC － AB ，所以 AD 对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为 OD － OA ＝ AD ，所以 OD ＝ OA ＋ AD ， 所以 D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.

02
仍然是一个确定的复数
03
01
复数的加法运算律
01
（对任意 z1，z 2，z 3 ∈C,有
02
（1）交换律：z1 + z 2 = z 2 + z1
03
（2）结合律：（z1 + z 2）+ z 3 = z1+（z 2 + z 3 ）
01 复数的减法法则
02
设 z1 =a+bi，z2 =c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，
经典例题
解析
【答案】5+i 1+7i 【分析】 根据加法法则（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3;bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3-2）+（4+3）i=1+7i
经典例题
例2
已知复数z1=2+4i,z2=6+2i， 求z1z2，z1÷z2
经典例题
解析
【答案】4+28i 1/2+1/2i 【分析】 根据乘法法则（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+bdi²=（ac-bd)+(ad+bc)i带入 （2×6-4×2）+（2×2+4×6）i=4+28i 根据除法法则（a+bi）÷（c+di）= ac bd + bc ad i带入
第七章复数
7.2复数的四则运算
学习目标
01
复数的加、减法法则
02
复数的乘、除法法则
03

人教A版高中数学《复数的四则运算》 全文课 件1
思考：| z z1 | r(r 0) 表示复数 z 的对应点的轨迹是什么？
以复数 z1 a bi 表的对应点（a,b）为圆心半径为 r 的圆
人教A版高中数学《复数的四则运算》 全文课 件1
【知识应用】 人教A版高中数学《复数的四则运算》全文课件1
2.运算律： ①交换律： z1 • z2 z2 • z1 ②结合律： (z1 • z2 ) • z3 z1 • (z2 • z3 ) ③分配率： z1 • (z2 z3 ) z1 • z2 z1 • z3
注：复数乘法中可以类比多项式的运算，应用平方差公式，完全平方公式。
(a bi)(a bi) a2 b2 ， (a bi)2 a2 b2 2abi
【分析】 根据条件求复数时，可考虑设出复数的代数形式，
利用待定系数法来解决。
山东省莱州市第一中学人教A版（2019 ） 必修（第二册）课件：7.2复数的四则 运算( 共22张P PT)
山东省莱州市第一中学人教A版（2019 ） 必修（第二册）课件：7.2复数的四则 运算( 共22张P PT)
【变式】 1. 复数 z 的共轭复数为 z ，若 (1 2i)z 4 3i ，求 z 。 2. 设复数 z 满足关系式 z z 2 i ，求 z。
【例 1】计算：（1） (5 6i) (2 i) (3 4i) （2） (i2 i) | i | (1 i)
人教A版高中数学《复数的四则运算》 全文课 件1
【知识应用】 人教A版高中数学《复数的四则运算》全文课件1
【例 2】已知平形四边形 OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复数分别为 0， 3 2i, 2 4i . （1）求 AO 表示的复数；（2）求 CA 表示的复数；

=-47+79i
(4)(3 + 2i)^2
=5+12i
(5)试求，i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值； i，-1，-i，1，i，-1，-i，1
(6)由(1)推测in(n∈N＋)的值有什么规律，
并求 i 2016的值．
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＝1(n∈N＋)；
1．复数的定义： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数.
z＝a＋b i ，a ∈R，b∈R
2．复数的分类． 实部 虚部
实数b 0
复数a＋bi
虚数b

纯虚数a 0，b 0 0非纯虚数a 0，b
0
3．复数相等．
若a，b，c，d ∈R，
a＋bi＝c＋d i

1：1+ i 2 = 0
[例2] 计算：
（1）(1 + 4i) (7 - 2i)
1 7 (2)i 4 7i 8i2 7 + 26i + 8 15+ 26i
练习：
(1)(-2-i)(3+i)
(2)(-2-3i)(-1+3i)
=-5-5i
=11-3i
(3)(3 - 2i) ( - 4 + 3i)(5 + i)
i 2016 =1
观察下列三组复数
(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；
5
(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i； 25
(3)z1＝4i；z2＝－4i.
16
实部相等，虚部互为相反数．
并且z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数
当两个复数的 实部 相等， 虚部 互为相反数时，这样的

（2）原式=22-(3i)2=4-(-9)=13 （3）原式=1+2i+i2=1+2i-1=2i 思考：复数a+bi与它的共轭复数的积等于什么？
高中数学---复数的四则运
学习过程
【类比探究】类比复数减法运算法则的规定，再结合无理 数的除法运算，想一想我们应该怎样来规定复数除法的运 算法则？
(a bi) (c di)
a bi c di
(a ，b ，c ，d R
a bi c di
c di 0)
高中数学---复数的四则运
学习过程
例4 计算： (1 2i) (3 4i)
【练习】课本P80练习3
高中数学---复数的四则运
学习过程
例5 在复数集范围内解方程： x2 2 0
【课后探究】在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式你能总结出来吗？
复数的 四则运算
2 学习重点：
1.复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其 运算律。 2.复数加、减运算的几何意义。
复数的 四则运算
3 学习难点：
1.复数减法的运算法则。 2.复数除法的运算法则。
4 学习过程： 请快速化简下列式子：
（1）(2 3x) (3 2x) （2） (2 3x) (3 2x)
学习过程
一、复数的加法、减法运算： （2）复数的减法运算法则： 设 z1 a bi ，z2 c di(a ，b ，c ，d R) 是任意两个复数，那么 我们规定：
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
【探究学习】类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法 的几何意义吗？动手画一画吧！
Z1（a,b）
何意义。

a bi c di
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
；宠物X光机 宠物X光机 ；
复数的运算
谓搭配不当；B句“掀起了……”后面缺少了中心词“高潮”，造成动宾搭配不当；C句歧义，“有人认为…… 化有利于”和“有人认为”这种认识“有利于”两个意思间杂，不清楚。 考点：病句判断 点评：本题不难，常见病句容易判断，平时学习中对病句的判断训练比较多，学生具备一 定的能力。把句子写正确是非常重要的，句子通顺才能正确表达意思，传递信息，进行正常的交流。 129．下面这段文字有三句话，各有一处语病，请加以修改。(3分) ①了给百姓创立更为优良的就医环境，卫生部准备在全国推广“先诊疗后结算”的服务模式。②所谓“先诊疗后结算”，是 指患者在门诊诊疗时，先缴纳押金，统一待本次所有诊疗结束后再去结账。③实施“先诊疗后结算”的服务模式，患者就诊时间可节省大约20％以上。 结果①“创立”改为“创设”或“创造”②将“统一”放到“结账”前③删去“以上”，或删去“大约” 解析 130．下面句子没有语病的 一项是（） A．受日本大地震影响，中国部分地区3月16日开始发生食盐抢购。 B．消减贫富差别，建立社会保障体系的关键在于经济能否发展。 C．以快乐心面对人生，于艰难处寻觅快乐，人的生命便有了亮色。 D．通过这个阶段的复习，同学们普遍的成绩提高了。 131．下列文段中有四 处病句，请按提示进行修改：（4分） “开通了腾讯微博，欢迎多交流。”2月25日，继全国人大代表、重庆川剧院院长沈铁梅入驻腾讯微博后，全国人大代表重庆一中校长鲁善坤也开通了腾讯微博。①这样能更广泛的听取关注民意，②与网友“近距离”。③开博不到一周引来上万网民吹捧， ④平均每天增加听众2000余人左右。网友留言纷纷表示支持，大赞校长观念新、意识潮。 ①处语序不当，应将 与 对调 ②处成分残缺，应在句末添加 ③处用词不当，应将 改为 ④处词语赘余，应将 删去 结果①关注与听取②的交流或沟通③吹捧改为追捧④左右或余（4分） 解析 132．下 面这段文字有三句话，各有一处语病，请加以修改。（3分） ①据有关部门报道，我国每年约有近三分之一的城市人口饮水达不到卫生标准。②抓住市场机遇，我市纯净水生产企业发展迅速起来。③为确保纯净水饮用安全，市政府要求纯净水企业努力提高生产。 结果①删去“约”或“近”； ②“发展”与“迅速”换位置③“生产”后面加“质量” 解析 133．下列句子没有语病的一项（ ▲ ）（2分） A．通过收看专题片，使我们认识到人类要与动物和谐相处。 B．2003年10月16日，我们靠自己力量完成了我国首次载人航天飞行，这是中国人永远值得纪念和骄傲的日子。 C．我 们要确保安全生产，防止万无一失。 D．近段时期以来，小王电脑水平有了明显的增强。 结果（2分）B 解析A介词滥用，造成无主语；C语意表达错误，确保万无一失；D搭配不当，水平提高 134．下列各句中没有语病的一项是（）（3分） A．会不会用心观察，能不能重视积累，这是提高 我们写作水平的基本能力。 B．为了防止再出事故，各个单位都加强了“国庆”期间的安全保卫工作。 C．祖国的山山水水使你从来没有如此地鲜明感受到生命的活跃、强盛和存在。 D．刚开学，几个学校的老师找刘小洋同学就如何克服学习困难交换了意见。 结果B（3分） 解析试题分析： A中前后不一致，应删去“会不会”“能不能”；C中不合逻辑，应是“存在活跃和强盛”；D中有歧义。 考点：辨析或修改病句。能力层级为表达运用E。 135．下列句子中没有语病的一项是（）（2分） A．在这次旅游中，许多景点令我一辈子终生难忘。 B．这朴素的话语多么深刻地蕴含着 人生哲理啊！ C．圆明园，其造园之术，可用“因水成景，借景西山”八字来概括。 D．为了避免公路改道不影响市民的日常生活，政府专门召开会议，研究对策，采取措施。 结果C 解析 136．下列句子中没有语病的一项是（2 分） A．中国共产党建党90周年，是中国历史上开天辟地的大 事。 B．能否成功举行校运会，关键是所有部门要全力以赴开展工作。 C．跨进初中的大门，同学们会有许多地方不适应。 D．最近，泰州推行文明服务用语和服务忌语，此举受到广大市民的欢迎。 137．下列句中没有语病的句子是（）（3分） A．为了防止校园安全事故不再发生，各个学 校都加强了安全保卫工作。 B．在创建卫生文明城市的动员会上，各相关部门交换了广泛的意见。 C．我们的教育应该培养学生善于观察、善于思考、善于创造的水平。 D．一本好书可以给你带来许多教益，甚至可以影响你的一生。 结果D 解析 138．下列句子都有语病，在原句上改正过来。 （2分） ①能否推进素质教育是保证青少年健康成长的条件之一。 ②这次会议规定每位发言者的发言时间最多不超过30分钟。 结果①删掉“能否”②删掉“最多”或“不超过”评分：每小题改对得1分。共2分。其他改法正确也可。 解析 139．下列句子没有语病，句意明确的一项是（） （2分） A．毒黄瓜、瘦肉精、塑化剂……种种食品安全问题如雨后春笋般出现在公众面前，令人惴惴不安。 B．环境保护部已全面启动全国辐射环境监测网络，并要求省级环保部门加强预报和监测。 C．在阅读文学名著过程中，常常能够使我们明白许多做人的道理，悟出世间人生的真谛。 D．随着“天宫一号”飞行器的发射升空，中国向空间站时代迈出了坚实的一步。 140．下列句子没有语病的一项是（▲）（2分） A．通过此次班团课，让我懂得了同学之间要互相谦让。 B．他的学习成绩不仅在全校拔尖，而且在班里也名列前茅。 C．在节能环保型社会里，人们的低碳意识 正在进一步增强。 D．具有认真负责的工作态度，是一个人事业成败的关键。 结果C （2分） 解析A介词滥用，造成无主语；B语序不当，递进关系前后颠倒；D一对多，逻辑照应不周，是否具有 141．下面句子没有语病的一项是（）。 （3分） A．夏天的青岛，真是我们纳凉避暑、休闲 的 好季节。 B．我们一定要发扬和继承世界闽商精诚团结、共谋发展的精神。 C．他奋不顾身抢救落水儿童的先进事迹，我们听后非常感动，真是骇人听闻。 D．我们要引导青少年用美的眼光去看世界，用美的心灵去感受世界。 142．下列句子没有语病的一句是（）。（3分） A． 教师公寓发 生重大火灾，为了防止此类事故不再发生，相关部门采取了强有力的应对措施。 B．为打造一个别开生面的亚运会开幕式，在筹备会上，导演们交换了广泛意见。 C．能否帮助孩子树立正确的财富观，是他们形成良好人生观的关键。 D．我们虽然无法控制生命的长度，但是可以拓展生命的宽 度。 结果D 解析 143．下列句子中没有语病的一项是 分) A．我们中学生应学会保护自然，与自然和谐共处。 B．只要打好知识基础，掌握科学思维方法、积极进行创新活动，人人都可成为富有创造力。 C．电脑越来越成为我们这个时代重要的学习和生活上的工具，广泛地提高着我们的生 活。 D．刘文的这篇作文构思新颖，语言流畅，在全校作文比赛中把它评为一等奖。 144．下面是小强写给他爷爷信中的一个片断，加横线的部分有语病，请加以改 正(4分) ……我们已有几个月未见面了，我常常惦念您。①有时思念之初，我恨不得一下子很快到您的身旁，②向您汇报和倾 诉思念之情．爷爷，③通过您多年对我的谆谆教导，使我各方面都有很大进步．目前，我各科成绩都很好，请勿挂念④我打算寒假到您那里去 下面是小强写给他爷爷信中的一个片断，加横线的部分有语病，请加以改 正(4分) ……我们已有几个月未见面了，我常常惦念您。①有时思念之初， 我恨不得一下子很快到您的身旁，②向您汇报和倾诉思念之情．爷爷，③通过您多年对我的谆谆教导，使我各方面都有很大进步．目前，我各科成绩都很好，请勿挂念④我打算寒假到您那里去玩，请您务必同意…… 答：① ② ③ ④ 结果（1）＂一下子＂和＂很快＂删其一 （2）＂汇报＂ 删去 （3）＂通过＂或＂使＂删其一 （4）将＂请您务必同意＂改为＂您同意吗？＂ 解析 145．修改下列画线的病句，每句只改一处。（2分） ① 国际时尚中心前身是坐落位于东外滩杨树浦路、黄浦江之间的百年老厂 第17棉纺织厂，是 市政府为加速时尚产业发展进程、在世博会期间展示 之美和中国之美的标志性工程。经过改建后的 国际时尚中心外墙为清水红砖，②既保留了上世纪20年代老 工业文明的历史年轮，但是融入了当代时尚的审美元素。 - 修改下列画线的病句，每句只改一处。（2分） ① 国际时尚中心前身是坐落位于东外滩杨树浦路、黄浦江之间的百年老厂 第17棉纺织厂，是 市政府为加速时尚产业发展进程、在世博会期间展示 之美和中国之美的标志性工程。经过改建后的 国际时尚中心外墙为清水红砖，②既保留了上世纪20年代老 工业文明的历史年轮，但是融入了当代时尚的审美元素。 146．下列句子中没有语病的一项是（）(2分) A．从 这些小事中，往往反映出一个人的精神境界。 B．姹紫嫣红的月季、芳香四溢的玫瑰，构成了令人陶醉的花的世界。 C．第十个五年计划是我国今后五年发展的总蓝图，是全国人民的努力方向和追求目标。 D．学校采纳并研究了学生会的意见，这是使学生们欢欣鼓舞的事情。 147．下面一段 话中画线句子有两处语病，请找出来加以修改。（4分） 由李少红导演的50集新版《红楼梦》，①经过近3年多时间的筹备、拍摄和后期制作之后，于近日陆续在青岛、四川、 、宁波、温州等地方电视频道进行首轮播出。②从筹拍之初，新版《红楼梦》便经历了一系列风波话题。到如今开播 伊始，它依旧是各方关注的焦点，③在赢得赞誉支持的同时也惹来了无数口角官司。 下面一段话中画线句子有两处语病，请找出来加以修改。（4分） 由李少红导演的50集新版《红楼梦》，①经过近3年多时间的筹备、拍摄和后期制作之后，于近日陆续在青岛、四川、 、宁波、温州等地方 电视频道进行首轮播出。②从筹拍之初，新版《红楼梦》便经历了一系列风波话题。到如今开播伊始，它依旧是各方关注的焦点，③在赢得赞誉支持的同时也惹来了无数口角官司。 第 句，修改： 第 句，修改： 148．下面这段

设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝____(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___， z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.

特别地，a+bi=0 a=b=0 .
问题：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的 必要不充分条件
注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否 比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小.
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
例1.计算 (5 6 i) ( 2 i) (3 4 i)
解: (56i)(2i)(34i) (523)(614)i 11i
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似
的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
(2) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(3)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与
实部,虚部与虚部分 别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例2：计算（ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai bb 2 ii2
a2 b2
（ 2 ） (ab)2ia22 a bb2 i2
a22abbi2
（ 3 ） (1 2 i)3 ( 4 i) ( 2 i)
(12i)(34i)(2i) (11 2i)(2i) 2015i
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

2.加法法则
追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？
设两个任意复数 = + , = + , , , , , ∈ .
1 + 2 = + i + + i = + + + i.
2 + 1 = c + i + + i
= + + + i
= 1 + 2 .
所以2 + 1 = 1 + 2 ，复数的加法交换律成立.
类似的可得
1 + 2 + z3 = 1 + 2 + 3 .（加法结合律）
2.加法法则
探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，
而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复

数加法的几何意义吗？
结合律同理可得。
z1

Z1 (, )

3.减法法则
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数
减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
实数减法：若满足 + = (, ∈ )则称为减去的差。
复数减法：若满足 2 + = 1 (1 , 2 ∈ )则称为1 减去 的差。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
+ i + + i
= + + + i.
①复数的和仍然是一个复数; ②加法法则对实数也成立.
2.加法法则
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈

3 4i
1 3
2i3 4i3
4i 4i
3 8 6i 4i 32 42
5 10i 1 2 i
25
55
例6、在复数范围内解下列 方程：
1 x 2 2 0;2 ax2 bx c 0,其中a,b, c R, 且a 0, b2 4ac 0
解：1因为
2
2i
解：因为复平面内的点Z1(x1, y1), Z2 (x2 , y2 )对应的复数
z1 x1 y1i, z2 x2 y2i
所以点Z1(x1, y1), Z2 (x2 , y2 )之间的距离为
Z1Z2 Z1Z2 z2 z1 x2 y2i x1 y1i
x2 x1 y2 y1 i x2 x1 2 y2 y1 2
1.复数的加法的运算律
设z1 a bi, z2 c di a,b, c, d R是任意两个复数，那么
z1 z2 a bi c di a c b d i z2 z1 c di a bi c a d bi
a c b d i
由此，我们可以得到z1 z2 z2 z1,这就是复数加法的交换律。
a 6 b 13
课堂小结 1、复数的加减运算及其几何意义； 2、复数的乘除运算。 3、实系数一元二次方程的求根公式。
作业布置 课本P80 习题7.2 第1、3、4、6、7题
则OZ a,b c, d a b,c d
复数加法的几何意义：
Z1 (a, b)
O
x
向量OZ就是复数a b c d i 对应的向量。
复数的减法运算 我们知道，实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的 意义，你认为该如何定义复数的减法？
我们规定，复数的减法是加法的逆运算。
即把满足c di x yi a bi 的复数x yi x, y R叫做复数a bi 减去 复数c di c,d R的差，记作a bi c di.

设向量O→Z1及O→Z2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋ 2i.
如下图所示，Z→2Z1即为 z1－z2 所对应的向量． 根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连结向量O→Z1，O→Z2
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
2．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( )A．0B．2i源自C．6D．6－2i
3．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1＋2i，
－2－3i，则B→C对应的复数为
A．－1－5i
B．－1＋5i
()
C．3－4i
D．3＋4i
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
2．复数减法的几何意义 复数 z2－z1 是指连结向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向被减数 的向量Z→1Z2所对应的复数．
3．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何 图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复 数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中．
＝(a＋c)＋(b＋d)i ，z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i
.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1 ＋ z2)
＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z1，z2对应向量分别为
，

返回导航 上页 下页
课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
[教材提炼] 知识点一 复数的乘法法则及其运算律 预习教材，思考问题 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复 数相乘？
[提示] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2 换成－1， 并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i.
D．b<2
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
解析：(1)(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. (2)因为(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(1＋2b)i，又因为在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i 是虚数 单位，b 是实数)表示的点在第四象限，所以21－＋b2>b<0，0， 即 b<－12.
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
返回导航 上页 下页
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
探究一 复数代数表示式的乘法运算
[例 1] (1)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．－3－2i
D．－3＋2i
(2)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数 a 等于( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
[解析] 因为 i2 020＝i4×505＝i4＝1，所以其共轭复数为 1，故选 C.

+ Z1 Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i )
= (a1+a 2 ) + ( b1+b2 )i = (a1+a 2 )－( b1+b2 )i = (a1－b1 i)+( a2－b2 i)
=Z1+ Z2
同理可证： Z1-Z2= Z1－Z2
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
2 2 2 2、(a＋bi) ＝a －b ＋2abi.
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有 z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
即实部等于实部，虚部等于虚部
特别地，a+bi=0 a=b=0
.
即 两个复数（除实数外）只能说相等或不相等， 而不能比较大小.
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1 (交换率 ); 2. ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )(结合率 )
实部相等，虚部互为相反数的两个复 数叫做互为共轭复数.
共轭复数