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第3章 功率谱估计和信号频率估计方法

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功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。

功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。

如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。

第三章功率谱估计_1_

第三章功率谱估计_1_

1 N −1 ˆ 样本的自相关函数: Rx (k ) = ∑ x(n) x* (n + k ) k = 0,1,..., M 1 N n =0 周期图间接法： 功率谱：Px (ω ) =
k =− M
M<N
∑
M
ˆ Rx (k )e− jωk
周期图的不足之处
当观测数据数量N趋于无穷时，估计方差仍不趋于零，是非一 致估计。 分辨率和窗长N有关，是低分辨率估计，无法完成功率谱的高 分辨。
周期图法
数据窗
有偏估计,平滑性差 加窗函数
Px (ω ) =
1 N
N −1 k =0
x ( n ) c ( n ) e − jnT ω ∑
n=0
N −1
2
谱窗
功率谱曲线平滑, 但分辨率下降
Px (ω ) = ∑ R x ( k ) w ( k ) e − jkT ω
要提高分辨率，使用参数化的谱估计！ 经典谱估计：使用FFT的谱估计 现代谱估计：参数化谱估计
周期图及其改进方法
由N个离散随机数据样本x(0), x(1),..., x( N − 1), 估计信号的功率谱。 频谱： X N (ω ) = ∑ x(n)e− jωn
n =0 N −1
周期图直接法： 功率谱：Px (ω ) = 1 1 2 X N (ω ) = N N x(n)e− jωn ∑
n =0 N −1 2
第3章 平稳过程的线性模型
3.2 平稳随机信号通过线性系统
y (n) = x(n) ∗ h(n) =
m = −∞
∑
∞
x(m )h(n − m )
如果x(n)为确定性信号
Y (e ) = X (e ) H (e )

功率谱估计和频率估计

功率谱估计和频率估计

实验四功率谱估计实验内容、步骤:实验内容包括三个:实验一、宽带 AR 过程 ( x n 是由单位方差的高斯白噪声通过滤波器1221( (10.50.5(10.5 H z z z z −−−=−++ a. 生成 ( x n 的 256N =个样本,取 4p =并用自相关方法来计算功率谱,画出估计的功率谱并与真实功率谱相比。

b. 重复 a 中的计算 20次,分别画出 20次的重迭结果和平均结果。

评论估计的方差并说明怎样才能提高自相关方法估计功率谱的精度;c. 分别取 6,8,12p =来重复 b 中的计算,描述模型阶数增加时会出现什么结果。

d. 分别采用协方差方法、修改的协方差方法来重复 b,c 中计算过程,说明对宽带 AR 过程而言,哪种方法最好。

e. 把宽带 AR 过程改为下列窄带 AR 过程, 12121( (11.5850.96(11.1520.96 H z z z z z −−−−=−+−+重复 a,b,c,d 中的所有分析。

实验二、本实验是验证最大熵方法的功率谱估计。

对随机过程 (( ( y n x n w n =+, ( w n 是方差为2w σ的白高斯噪声, ( x n 是 (2AR 过程,由单位方差的白噪声通过如下滤波器所获得 121( 11.5850.96H z z z −−=−+a. 画出 ( x n 和 ( y n 的理论功率谱。

b. 取20.5,1, 2,5w σ=,取 ( y n 的 100N =个样本,采用 2p =的 MEM 方法由 ( y n 来估计( x n 的功率谱,看看噪声对功率谱估计的精度有多大影响。

c. 改 5p =,再重复 b 中的过程,分析所观测的结果;d. 由于自相关序列为 2( ( ( y x w r k r k k σδ=+,如果在计算 MEM 功率谱前从自相关值 (0y r 中减去2ωσ,用修改后的自相关序列来估计 MEM 功率谱,重复 c 中的过程。

功率谱估计的方法

功率谱估计的方法

功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。

2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。

3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。

二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。

2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。

3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。

以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。

第3章功率谱估计和信号频率估计方法

第3章功率谱估计和信号频率估计方法

第3章功率谱估计和信号频率估计方法在信号处理和通信系统设计中，功率谱估计和信号频率估计是非常重要的技术。

功率谱估计可以用来研究信号的频域特性和频率分量的强度分布，信号频率估计可以用来确定信号的频率成分。

本章将介绍功率谱估计和信号频率估计的常用方法。

3.1功率谱估计功率谱是描述信号功率随频率变化的函数。

常用的功率谱估计方法有非参数法和参数法。

非参数法是一类基于信号的样本序列进行计算的方法，不依赖于对信号的概率模型的先验假设。

常见的非参数法有周期图法、半周期图法等。

周期图法是一种基于时域序列的离散傅里叶变换的方法。

它将信号分成多个时段，对每个时段进行傅里叶变换，然后求得功率谱密度。

周期图法具有快速计算和较好的频率分辨能力的特点，适用于信号周期性较强的情况。

半周期图法是周期图法的一种改进方法。

它首先将信号分成两个连续的时段，计算各自的功率谱密度，然后取两个时段的平均值作为最终的功率谱估计。

半周期图法减少了周期图法中窗函数的影响，提高了估计的准确性。

参数法是一种基于对信号进行参数建模的方法。

常见的参数法有自回归(AR)模型、线性预测(ARMA)模型等。

自回归模型是一种用于描述信号随机过程的自回归线性滤波模型。

它通过自回归系数描述信号当前样本值与过去样本值的线性关系。

自回归模型估计功率谱的方法主要有Burg方法、 Yule-Walker方法等。

自回归模型具有较好的频率分辨能力和较高的准确性，适用于信号具有较长时间相关性的情况。

线性预测模型是将信号分解成预测误差和线性组合的方式。

它通过选择适当的线性预测滤波器系数来最小化预测误差的均方差，从而得到功率谱的估计。

线性预测模型估计功率谱的方法主要有Levinson-Durbin算法和Burg算法等。

线性预测模型具有较好的频率分辨能力和较高的估计准确性，适用于信号具有较强的谱峰特性的情况。

3.2信号频率估计信号频率估计是通过对信号进行时域分析来确定信号的频率成分。

随机信号的功率谱估计方法

随机信号的功率谱估计方法

随机信号的功率谱估计方法随机信号的功率谱估计方法介绍随机信号是指信号的每个值都是随机的，即在同一时刻下，其取值可以是不同的。

由于随机性导致了随机信号的分布不确定，因此分析随机信号的机理比较复杂。

一个优秀的信号分析方法是估计随机信号的功率谱。

功率谱是一个很有用的统计量，它描述了信号在不同频率上的能量分布。

估计功率谱可以帮助我们了解信号的构成、将信号分解成不同的频率分量、对信号的特征进行定量分析，以及在通信和控制系统中使用。

本文将介绍几种常见的随机信号功率谱估计方法，包括周期图法、自相关函数法、半岭功率谱估计法和最大熵谱估计法。

方法一、周期图法周期图法经常用于信号频谱估计。

当我们有大量采样数据时，可以通过对信号进行傅里叶变换来计算功率谱。

但是，当信号是随机过程时，它的频谱也是一个随机变量，因此我们必须通过使用大量的测量值来确定频谱估计的不确定性。

由此带来的问题是，我们要计算的是随机过程信号的平均功率谱密度函数，而不仅仅是单次测量结果的功率谱。

周期图法通过将数据分成多个重叠的子段，然后计算每个子段的傅立叶变换来估计平均功率谱密度函数。

二、自相关函数法自相关函数法采用的是自相关函数相关的频谱估计方法。

通过对随机信号进行卷积，可以获得信号的自相关函数。

自相关函数是指信号与自身的延迟信号的乘积。

自相关函数可以通过傅立叶变换来计算功率谱密度函数。

这种方法可以用于非平稳和平稳信号，并且在信号较长的情况下效果良好。

三、半岭功率谱估计法半岭功率谱估计法是利用谱曲线的形状确定能量的集中程度。

半岭是谱曲线上右侧的谷底点。

我们可以将信号的谱曲线绘制出来，并计算它到半岭的近似功率谱曲线。

该方法可以适用于处理非平稳信号，需要进行多次计算才能获得准确结果。

四、最大熵谱估计法最大熵谱估计法可以通过最小化误差来估计功率谱密度函数。

该方法通过将信号视为时间序列，然后利用最大熵原理来进行谱估计。

最大熵原理是指在不知道任何关于信号的先验信息的情况下，使用最少的假设来描述数据的过程。

《功率谱估计》课件


实验数据展示 功率谱估计结果对比 误差分析 实验结论与展望
结果分析：对比不同方法的结果，分析优缺点 实验误差来源：讨论实验误差的来源，如设备、环境等因素 改进方向：提出针对实验误差的改进措施，提高实验精度 未来展望：探讨功率谱估计在未来的应用和发展趋势
功率谱估计的应用 案例
语音信号处理：用于语音分析和编码，提高语音质量 图像和视频信号处理：用于图像和视频的压缩和传输，降低带宽需求 雷达和声呐信号处理：用于目标检测和跟踪，提高定位精度
通信领域：用于调制解调、频 谱管理、频谱监测等
生物医学工程：用于心电图信 号处理、脑电图信号处理等
总结与展望
介绍了功率谱估计的基本概念和原理 分析了功率谱估计的常用方法 探讨了功率谱估计在实际应用中的优势和局限性 总结了本次PPT的主要内容和知识点
功率谱估计技术的进一步优化 拓展应用领域，如语音、图像等 结合深度学习等先进技术，提高估计精度 探索与其他领域的交叉研究，如信号处理、通信等
信号的分类
信号的时域和频域 表示
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的应用 场景
功率谱估计的方法
FFT算法原理 FFT算法优缺点分析
FFT算法实现步骤
FFT算法在功率谱估计中的应 用
最小二乘法的基本 原理
功率谱估计的数学 模型
基于最小二乘法的 实现过程
算法的优缺点及改 进方向
卡尔曼滤波原理
功率谱估计与卡尔 曼滤波结合
《功率谱估计》PPT 课件
汇报人：PPT
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功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的方法
功率谱估计的原理 与步骤
功率谱估计的实验 与分析
功率谱估计的应用 案例
添加章节标题

数字信号处理中的功率谱密度估计

数字信号处理中的功率谱密度估计数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一种对连续时间信号进行数字化处理的技术，广泛应用于通信、音频、图像、雷达等领域。

在数字信号处理中，功率谱密度估计是一项重要的技术，用于分析信号的频率成分和能量分布。

一、引言功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是信号功率在频域上的分布，它反映了信号在不同频率上的能量强弱情况。

在数字信号处理中，由于信号是以数字形式存在的，因此需要通过一定的方法来估计信号的功率谱密度。

二、频谱估计方法频谱估计方法是用于估计信号功率谱密度的技术。

常见的频谱估计方法包括周期图法、自相关法、Burg方法、Welch方法等。

1. 周期图法周期图法是一种直接估计信号周期图的方法，通过将信号分成若干段进行快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），然后将各段频谱进行平均得到功率谱密度估计。

2. 自相关法自相关法是通过信号与自身进行相关计算，得到自相关函数，并通过傅里叶变换得到功率谱密度估计。

自相关法能够较好地估计周期性信号的功率谱密度。

3. Burg方法Burg方法是一种模型拟合的方法，通过拟合信号的自回归（Auto-regressive，AR）模型，从而得到信号的频谱估计。

Burg方法适用于非平稳信号，并且能够较好地估计窄带信号的功率谱密度。

4. Welch方法Welch方法是一种经典的频谱估计方法，它将信号分段，对每段信号进行窗函数加权，然后通过傅里叶变换得到每段信号的功率谱密度估计，最后将所有段的功率谱密度进行平均得到最终的估计结果。

三、功率谱密度估计的应用功率谱密度估计在数字信号处理中具有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用领域：1. 通信领域在通信系统中，功率谱密度估计用于信号频谱分析、频率选择性衰落分析、频带分配等。

准确的功率谱密度估计可以提供可靠的信号分析结果，对系统性能评估和调试具有重要意义。

(完整word版)功率谱分析

三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。

随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。

因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。

前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。

1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。

巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。

由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。

自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。

两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。

为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。

功率谱估计


E [ x ( n ) x ( k ) x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( k ) ] E [ x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( p ) ] E [ x ( k ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( q ) ] E [ x ( k ) x ( p ) ]
✓ 这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估计的结果。
➢ 周期图的均方值
E[IN(1)IN(2)]EN12 XN(ej1)2 XN(ej2)2
N12 n
k
p
RN(n)RN(k)RN(p)RN(q)
q
E[x(n)x(k)x(p)x(q)]e-j1(nk)e-j2(pq)
利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有
Ii()M 1 M n01xi(n)ejn 2
将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下：
Pˆxx(ej)L1 iL1 Ii()
估计效果分析：
➢ 偏移分析：
E[Pˆxx(ej)]
1 L
L i1
EIi()EIi()
1 2π
-ππWB(ej)Pxx(ej(-))d
式中
P x(xej)F[T rx(xm )]
W B(ej)F[T w B(m ) ]N 1 ssiiN n n /(/2 (2 )) 2
✓ 周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N→∞时，wB(m)→1， 三角谱窗函数趋近于δ函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。
P ( je ) xx
2
2
1
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1 N
UN (w)2
26
归一化功率谱(dB) 归一化功率谱(dB)
0 -5 -10 -15 -20
-25 -30 -35 -40
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 w 2p
（a） N = 32
0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
当 M = N - 1 时，周期图法和BT法是相同的，即
åN- 1
rˆ(m)e-
m= - (N - 1)
jwm =
1 N
U N (w) 2
而当 M = N - 1时，这相当于对长度为 2N - 1的 rˆ(m)
做截断处理，也即施加了一个矩形窗，即
rˆM (m) = w2(RM)+ 1 (m)rˆ(m)
的渐近一致估计。
另外，还有一种常用的 r(m) 的估计 rˆ(m)
å rˆ (m) =
1 N- m
N- 1
uN (n)uN* (n -
n= 0
m),
其均值为
E {rˆ(m)}= r (m)
m? N 1
9
若信号 u(n)是零均值的实高斯随机信号，则 rˆ(m)的方
差为
å var {rˆ(m)}=
N
1 -
|m|
N,
| m |? N 1 其它
7
的乘积，w2(TN)- 1(m) 的长度为 2N - 1。 (2) 方差
rˆ(m) 的方差为
{ } var {rˆ(m)}= E rˆ(m) - E{rˆ(m)}2 { } = E rˆ(m) 2 - E{rˆ(m)}2
假定信号 u(n) 是零均值的实高斯随机信号，得
SNR1 = 30dB,SNR2 = 30dB,SNR3 = 27dB
25
步骤3 将三个实正弦信号和高斯白噪声进行叠加， 得观测信号 uN (n) 。
(1) 周期图法
步骤1 计算信号的离散傅立叶变换：
N- 1
å UN (w) = uN (n)e- jwn
n= 0
步骤2 计算信号的功率谱：
SˆPER (w)=
这种方法是Welch在1967年提出的，又称修正平均 周期图法，是应用较广的一种方法。它是对Bartlett法 的改进。
22
Welch法也对 N 点的信号 uN (n)进行分段，只是分段 时允许每段的信号有所交叠，通常取相邻两段的信号
交叠一半，若每段的信号长度仍为M ，信号被分为 L
段，则
L= N- M /2 M /2
将每段信号uNi (n)和窗函数w(n)相乘，然后按式(5)得到
每段信号的功率谱估计
å SˆPi ER (w) =
1 MU
M- 1
uNi (n)w(n)e-
n= 0
2 jwn
23
修正的周期图为
邋 S%PER (w) =
1 LMU
L i= 1
M- 1
2
uNi (n)w(n)e- jwn
n= 0
Welch方法允许分段数据样本的重叠，于是可以得到 更多的周期图估计，从而进一步减小估计的功率谱 密度的方差。通过窗函数加权，可以减小了相邻样 本段之间的相关性。所以，Welch方法可以更好地控 制功率谱密度估计的方差特性。
å SˆPi ER (w) =
1 M
M- 1
2
uNi (n)e- jwn ,
n= 0
1＃i L (5)
然后对每段功率谱估计结果作平均，得到平均周期图
20
邋 ? ( ) ( ) ( ) SPER
w
=
1 L
L i= 1
SˆPi ER
w
=
1 LM
L M- 1
u
i N
i= 1 n= 0
2
n e- jwn
SPER (w)的均值为
周期图（Periodogram）法又称直接法。以 SˆPER (w) 表示周期图法估计出的功率谱，则
SˆPER (w)=
1 N
UN (w) 2
(4)
N- 1
å 其中， UN (w)= uN (n)e- jwn
n= 0
因为这种功率谱估计方法是直接通过观察数据的
11
傅里叶变换求得的，所以人们习惯上称之为直接法。
所以，BT法实际上是对周期图法的平滑。
12
3.1.3 经典功率谱估计性能讨论
1 M = N - 1时的估计性能 在这种情况下，周期图法和BT法的性能是一致的。
⑴ 均值
BT法的均值为
{ } E
SˆBT (w)
=
1 2p
S (w)*W2(NT)-
1
(w)
由上式可知，功率谱估计的均值可以表示为信号的
13
是一对傅立叶变换。
算法3.1（用FFT计算自相关函数的方法）
步骤1 对 uN (n)补 N个零，得 u2N (n)，对 u2N (n)做快速 傅立叶变换（FFT）得U2N (k) k = 0,1,L ,2N - 1
5
步骤2
求 U2N
(k)的幅度平方，然后除以N，得
1 N
U2N (k) 2
步骤3
对
1 N
{ } ò E
SPER (w)
=
1 2p
( W (T)
2p 2M- 1
w-
l )S(l )dl
SPER (w) 的方差为
å { } { } { } var
SPER (w)
=
1 L2
L
var
i= 1
SˆPi ER (w)
=
1 var L
SˆPi ER (w)
21
由以上讨论可知，Bartlett功率谱估计频率分辨率下降 为原来的 1 L ，方差也减小为周期图法的 1 L ，因此 Bartlett功率谱估计较周期图法的结果更为平滑。 2 Welch法
第3章 功率谱估计和信号频率估计方法
1
•本章要回答的问题是，怎样利用随机过程u(n) 的N 个观测数据 uN (0),uN (1),L ,uN (N - 1)估计出随机过程 的功率谱 S (w) ？ •经典功率谱估计 •参数模型法估计 •基于相关矩阵特征分解的信号频率估计
2
3.1 经典功率谱估计方法
å var {rˆ(m)}=
1 N
N- 1- |m| l= - ( N- 1- |m|)
轾犏犏臌1-
|m|+ |l| N
轾犏臌r2 (l)+ r(l + m)r(l -
m)
8
由于r(m) 是有限的，显然当 N 时，rˆ(m) 的方差 将趋近于零。所以，对于固定的延时 m ，rˆ(m) 是 r(m)
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 w 2p
2p
p
W (w)dw
-p
ò 1
p
W (w)d w = w(0)= 1
2p - p
约束下，它是渐近无偏估计。不过由于W (w) 的影响，
其偏差趋于零的速度要小于周期图法，因此对周
期图作平滑的结果是使偏差变大。
17
⑵ 方差
{ } var SˆBT (w)
1
{ } ò å Kr = var SˆPER (w) = 2p N
是周期图所存在的固有矛盾。
2 M = N - 1时的估计性能
在这种情况下，两种方法不一致，BT法是对周 期图法的平滑。
16
⑴ 均值
{ } E SˆBT (w) = S (w)*W2(NT)- 1 (w)*W (w)
BT法也是一种有偏估计，当 N 很大，且在下面两式
{ } ò E
SˆBT (w)
=
S(w) 1
真实功率谱 S(w)和窗函数 W2(NT)- 1 (w)的卷积，因此，经
典的功率谱估计应该是有偏的。但是，当 N
，
W2(NT)- 1 (w)趋向于冲激函数，因此该估计又是渐近无偏的。
⑵ 方差
假定
u(n)是零均值的实高斯白噪声，方差为
s
2 u
，
Sˆ (w1 )和 Sˆ (w2 ) 的协方差为
{ } cov
导致估计的偏差变大。由此可以看出，在方差，偏
差和分辨率之间存在着矛盾，在实际应用中，只能 18
根据需要做出折衷的选择。
3.1.4 经典功率谱估计的改进
周期图法估计出的谱性能不好，当观测数据长度 太大时，谱的曲线起伏加剧；而数据太短时，谱的分 辨率又不好。因此需要加以改进。
1 Bartlett法
Bartlett法的基本步骤是：将N点的观测数据 uN (n) 分为 L段，每段的长度为 M 即
N
从式（3）可以看出， 对于固定的延时 m ，lim E{rˆ(m)}= r(m)。即 rˆ(m)是对
N
r(m) 的渐近无偏估计；
对于固定的 N，当 m 越接近于 N 时，估计的偏差
越大； 由式(3)可知，rˆ(m) 的均值是真值r(m)和三角窗函数
w2(TN)- 1(m) =
ìïïíïïî
10,
m
l
=
N - 1- (N-
|m| 1- |m|)
轾 犏 犏 犏 臌1-
l N- m
轾 犏 臌r2 (l)+ r (l + m)r (l -
m)
由以上两式得，rˆ(m) 为无偏估计，当 m 接近于 N 时，
估计 rˆ(m) 的方差很大，但当 N ? m 时，rˆ(m)是 r(m)
的渐近一致估计。
10
3.1.2 周期图法
19
L= N M