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2—1．P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ，利用2T V Vi np n e =导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空穴为小注入和大注入两种情况下的)(n n x p 表达式.解:在n x x =处 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 而()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+∆≈∆=+∆=+ （n n n p ∆=∆）()()TTV V in n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=∆+⇒=∆+2001TV V n i n n n p n p e n n ⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭ T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为一般结果） 小注入：（0n n n p <<∆）T T V V n V V n i n e p e n n p 002== ()002n n i p n n =大注入: 0n n n p >>∆ 且 n n p p ∆= 所以 TV V inen p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2．热平衡时净电子电流或净空穴电流为零,用此方法推导方程20lni ad T p n n N N V =-=ψψψ。
解:净电子电流为()n nn nI qA D n xμε∂=+∂ 处于热平衡时，I n ＝0 ，又因为 d dxψε=-所以nn d n n D dx x ψμ∂=∂,又因为n T nDV μ=（爱因斯坦关系） 所以dn nV d T=ψ， 从作积分，则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3．根据修正欧姆定律和空穴扩散电流公式证明,在外加正向偏压V 作用下,PN 结N 侧空穴扩散区准费米能级的改变量为qV E FP =∆。
半导体器件物理（第⼆版）第⼆章答案解析2-1．P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ，利⽤2TV V i np n e=导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空⽳为⼩注⼊和⼤注⼊两种情况下的)(n n x p 表达式。
解：在n x x =处 ()()??-=??-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =-= ⽽()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+?≈?=+?=+ （n n n p ?=?）()()TTV Vin n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=?+?=?+2001TV V n i n n n p n p e n n +=T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为⼀般结果)⼩注⼊：（0n n n p <2== ()002n n i p n n =⼤注⼊： 0n n n p >>? 且 n n p p ?= 所以 TV V ine n p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2．热平衡时净电⼦电流或净空⽳电流为零，⽤此⽅法推导⽅程20lniad T p n n N N V =-=ψψψ。
解：净电⼦电流为()n nn nI qA D n xµε?=+?处于热平衡时，I n ＝0 ，⼜因为d dxψε=-所以nnd nn D dx xψµ?=?，⼜因为n T n D V µ=（爱因斯坦关系）所以dn nV d T=ψ，从作积分，则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3．根据修正欧姆定律和空⽳扩散电流公式证明，在外加正向偏压V 作⽤下，PN 结N 侧空⽳扩散区准费⽶能级的改变量为qV E FP =?。
第二章 半导体中的载流子及其输运性质1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E －E C ）的状态数Z 由式（2-20）给出。
证明：设导带底能量为C E ，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-l t C m k m k k E k E 23222122)( 与椭球标准方程2221122221k k k a b c++= 相比较，可知其电子等能面的三个半轴a 、b 、c 分别为212])(2[ c t E E m b a -== 212])(2[c l E E m c -= 于是，K 空间能量为E 的等能面所包围的体积即可表示为232122)()8(3434C t l E E m m abc V -==ππ因为k 空间的量子态密度是V/(4π3)，所以动能小于（E －E C ）的状态数（球体内的状态数）就是2/332/122)()8(31C t l E E m m V Z -=π2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。
证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量m p 轻和m p 重表示。
价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。
即：2/132/321)()2(2)(E E m V E g V p V -= 轻π 2/132/322)()2(2)(E E m V E g V p V -=重π价带顶附近的状态密度 =)(E g V 1)(E g V 2)(E g V +即：=)(E g V 2/132/32)()2(2E E m V V p -轻π+2/132/32)()2(2E E m V V p - 重π ]2)2[()(223232212）（重轻p P V m m E E V +-=π 只不过要将其中的有效质量m p *理解为3/22/32/3*)(重轻p p p m m m +=则可得：])2)2[()2(2/32323*重轻（p p p m m m +=带入上面式子可得： 2/132/3*2)()2(2)(E E m V E g V p V -=π 3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决定。
第五章 金属-半导体接触1、 用不同波长的光照射置于真空中的金、银、铜三种金属和施主浓度皆为1×1016cm -3的锗、硅、砷化镓三种半导体的清洁表面，欲使其向真空发射电子，求各自的激发光临界波长。
计算时需要的相关参数见表5-1和5-2（下同）。
解：根据能量与波长关系：λγchh E ==可得Ehc =λ 金、银、铜三种金属的功函数分别为5.20eV 4.42eV 4.59eV 施主浓度皆为1×1016cm -3的锗、硅、砷化镓三种半导体的功函数分别为 4.31eV 4.25eV 4.17eV对于金：nm E hc 239106.120.51031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 对于银：nm E hc 281106.142.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ对于铜：nm E hc 270106.159.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 对于锗：nm E hc 288106.131.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 对于硅：nm E hc 292106.125.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ对于砷化镓：nm E hc 298106.117.41031062.619834=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2、 计算N D = 5×1016cm -3 的n-Si 室温下的功函数。
将其分别与铝、钨、铂三种金属的清洁表面相接触，若不考虑表面态的影响，形成的是阻挡层还是反阻挡层？分别画出能带图说明之。
解：设室温下杂质全部电离，则其费米能级由n 0=N D =5⨯1015cm -3求得：17C C C 19C 10ln 0.026ln 0.15 eV 2.810D F NE E kT E E N =+=+=-⨯ 其功函数即为：C () 4.050.15 4.20V SF W E E e χ=+-=+=若将其与功函数较小的Al （W Al =4.18eV ）接触，则形成反阻挡层，若将其与功函数较大的Au （W Au =5.2eV ）和Mo （W Mo =4.21eV ）则形成阻挡层。
2-1．P N +结空间电荷区边界分别为p x -和n x ，利用2TV V i np n e=导出)(n n x p 表达式。
给出N 区空穴为小注入和大注入两种情况下的)(n n x p 表达式。
解：在n x x =处 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=KT E E n x n KT E E n x p i Fn in n FP i i nn exp exp()()VT V i Fp Fn i n n n n e n KT E E n x n x p 22exp =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 而()()()000n n n n nn n n n n n n p x p p p n x n n n p x =+∆≈∆=+∆=+ （n n n p ∆=∆）()()TTV Vin n n V V in n n en p n p e n n n p 2020=∆+⇒=∆+2001TV V n i n n n p n p e n n ⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭ T V V 22n n0n i p +n p -n e =0n p =(此为一般结果)小注入：（0n n n p <<∆）T TV V n V V n i n e p e n n p 002== ()002n n i p n n =大注入： 0n n n p >>∆ 且 n n p p ∆= 所以 TV V inen p 22=或 TV Vi n en p 2=2-2．热平衡时净电子电流或净空穴电流为零，用此方法推导方程20lni ad T p n n N N V =-=ψψψ。
解：净电子电流为()n nn nI qA D n xμε∂=+∂ 处于热平衡时，I n ＝0 ，又因为 d dxψε=-所以nnd nn D dx xψμ∂=∂，又因为n T n D V μ=（爱因斯坦关系） 所以dn nV d T=ψ， 从作积分，则2002ln ln ln ln ln i a d n p T n T po T d T T a in N NV n V n V N V V N n ψψψ=-=-=-=2-3．根据修正欧姆定律和空穴扩散电流公式证明，在外加正向偏压V 作用下，PN 结N 侧空穴扩散区准费米能级的改变量为qV E FP =∆。
证明：n P PdP J qD (1)dx=-P P P FP P d J (x)dxdE P(2)dxϕσμ=-=(1)(2)=FP P nP n nTn dE qD dP dx P dxdP 1qV P dxμ-==-从12x x →积分：n 2n 1P (x )FP T nP (x )E qV ln P ∆=-将Tn 2n0V /V 1n0P (x )P Pn(x )P e=⎧⎪⎨=⎪⎩代入 得FP E qV ∆=2-4． 硅突变结二极管的掺杂浓度为：31510-=cm N d ，320104-⨯=cm N a ，在室温下计算：（a ）自建电势（b ）耗尽层宽度 （c ）零偏压下的最大内建电场。
解：（a ）自建电势为V n N N V i d a T p n 913.01025.210410ln 026.0ln 20201520=⨯⨯⨯==-=ψψψ （b ）耗尽层宽度为14114002219152211.88.854100.913()() 1.09101.61010n d k W x cm qN εψ---⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯ (с) 零偏压下最大内建电场为191544140 1.61010 1.0910 1.6710V/cm 11.88.85410d n m qN x k εε---⨯⨯⨯⨯=-=-=⨯⨯⨯2–5．若突变结两边的掺杂浓度为同一数量级，则自建电势和耗尽层宽度可用下式表示)(2)(020d a p n d a N N K x x N qN ++=εψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)(200d aa a n N N qN N K x ψε2100)(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=d aa d p N N qN N K x ψε试推导这些表示式。
解：由泊松方程得：()()220220p an dd x qN dxk d x qN dx k ψεψε⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()()n p x x x x ≤≤≤≤-00积分一次得()()12p an d d x qN x c dxk d x qNx c dx k ψεψε=+=-+()()n px x x x≤≤≤≤-00由边界条件()()00pn p x x n x x d x dx d x dx ψψ=-=⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⇒1020a p d nqN c x k qN c x k εε⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以()()()()00p ap n d n d x qN x x dxk d x qN x xdx k ψεψε⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩()()n p x x x x ≤≤≤≤-00 再积分一次得()()()()21022022a p p d n n qN x x x D k qN x x x D k ψεψε⎧=++⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩()()n p x x o x x ≤≤≤≤-0令 ()()00p p n n x x ψψψ⎧-=⎪⎨=⎪⎩得：10D = ， 20D ψ=于是()()()()2020022a p p d nn qN x x x k qN x x x k ψεψψε⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩()()n p x x o x x ≤≤≤≤-0再由电势的连续性，当x ＝0时 ， ()()00p n ψψ=： 所以 ()22002a p d n q N x N x k ψε=+ 再由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=n d pa np x N x N x x W 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=d a d p da a n N N W N x N N W N x故 ()()()22222020022a d n p a dd a a d a d qN N x x N N W N N W q k k N N N N ψεε⎡⎤++==⎢⎥++⎢⎥⎣⎦将 p a n dx N x N =代入上式，得()12002d p a a d k N x qN N N εψ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ ()12002a n d ad k N x qN N N ψε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦2–6．推导出线性缓变PN 结的下列表示式：（a ）电场（b ）电势分布（c ）耗尽层宽度（d ）自建电势。
解：在线性缓变结中，耗尽层内空间电荷分布可表示为 N d -N a ＝ax a 为杂质浓度斜率设 2W x x p n == 由泊松方程得 22d qax dx k ψε=- 积分为22d qa x A dx k ψε=-+ 当 2Wx ±=时 ε=0， 即20W x d dxψ=±= ⇒ 028εk qaW A =所以()22048d qax W dx k ψε=-- ()()2222max 0448qa x W x W k εεε=-=- 且max 08qak εε= 对d dxψ式再积分一次得 320483qa x W x B k ψε⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭33320003332000481624481624W n x W x qaW qaW qaW B Bk k k qaW qaW qaW B B k k k ψεεεψεεε==⎧=-++=+⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-+=-+⎪⎩⇒ 30012n p qaWk ψψψε=-=⇒310012⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=qa k W ϕε 因为 02ln ln ln a d a aT T i i i N N N N V V n n n ψ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭当 2W x x n ==时 ， a W N ax N N d a d 2=⇒=- 当 2W x x p -=-=时 ， 2WN a =故2202ln 2ln 42T Ti ia W aWV V n n ψ== 2-7．推导出N N +结（常称为高低结）内建电势表达式。
解：+N N 结中两边掺杂浓度不同（d1d2N >N ），于是+N 区中电子向N 区扩散，在结附近+N 区形成+d N ,N 区出现多余的电子。
二种电荷构成空间电荷，热平衡时：d1n1T 2i N =V lnn ψ d2n2T 2i N =V ln n ψ n1n2>ψψ令0n1n2ψψψ≡- 则d10T d2N V lnN ψ= 0ψ即空间电荷区两侧电势差。
2-8．（a ）绘出图2-6a 中31410-=cm N BC 的扩散结的杂质分布和耗尽层的草图。
解释为何耗尽层的宽度和R V 的关系曲线与单边突变结的情况相符。
（b ）对于31810-=cm N m 的情况，重复（a ）并证明这样的结在小R V 的行为像线性结，在大R V 时像突变结。
2-9． 对于图2-6（b ）的情况，重复习题2-8。
2–10．（a ）PN 结的空穴注射效率定义为在0=x处的0/I I p ，证明此效率可写成np p n p L L II σσγ/11+==（b ）在实际的二极管中怎样才能使γ接近1。
证明（a ）：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1exp 0Tpn p n p V VL p qAD x I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1exp 0Tpno p n p n V VL p qAD L n qAD I0011p n p p p n n I In L p L γμμ==+而q n n p n μσ0=，q p p n p μσ0=所以np p n p L L II σσγ+==11（b ）1→γ则1n pn pp n p nL L L L σσσσ⇒因为 p T p p p p V D L τμτ==，n T n n n n V D L τμτ==而 q n n p n μσ0=，q p p n p μσ0=，p n ττ≈所以 即 0p n n p n p μμ所以 00p n n p ，即d a N N ，即 受主杂质浓度远大与施主杂质浓度。
2-11．长PN 结二极管处于反偏压状态，求：（1）解扩散方程求少子分布)(x n p 和)(x p n ，并画出它们的分布示意图。
（2）计算扩散区内少子贮存电荷。
（3）证明反向电流0I I -=为PN 结扩散区内的载流子产生电流。
解：（1）n n x x w ≤≤2n n0n p 2pp p d p D 0dx τ--=其解为pp-x L x L n n012p -p =K e +K e（1）边界条件：n n n n n0x =x , p =0x =w ,p -p =0⎧⎨⎩有 px L n n012p -p K e (K 0)-==n p-x L n01-p =K e将n px L 1n0K =-p e代入（1）：n p-(x-x )L n n0n0p -p =-p e（2）此即少子空穴分布。
